Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán khôi phục trong lý thuyết hàm giải tích

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

TRẦN NGỌC LIÊN BÀI TOÁN KHÔI PHỤC

TRONG LÝ THUYẾT HÀM GIẢI TÍCH

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số : 62.46.01.01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS. TS. Đặng Đức Trọng

Thành phố Hồ Chí Minh – 2007

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các số liệu, các kết

quả của luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công

trình nào khác.

Tác giả luận án

Trần Ngọc Liên

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các số liệu, các kết

quả của luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công

trình nào khác.

Tác giả luận án

PHẦN MỞ ĐẦU

Việc khảo sát bài toán khôi phục hàm giải tích bắt nguồn từ thực tế, trong các

lĩnh vực điều khiển học, vật lý, nhận dạng... Trong quá trình giải bài toán khôi phục,

các kết quả thu được đã có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như Phương

trình đạo hàm riêng, xử lý tín hiệu, lý thuyết hệ thống và gần đây là nhận dạng trong

tình huống xấu nhất...

Bài toán khôi phục mà chúng tôi quan tâm được phát biểu như sau:

U

(1)



Cho U là đĩa đơn vị mở trong mặt phẳng phức, nghĩa là 1|z|:Cz  

K là một tập con của U . Cho  là một hàm số xác định trên K .

Hãy khôi phục hàm f giải tích trong U khi biết trước giá trị của f trên K

là .

là một dãy vô hạn đếm

Trong luận án chúng tôi giới hạn ở trường hợp

K 

 nz

)U(H p

, không gian

được các điểm trong U . Khi hàm số f thuộc không gian Hardy

p(U

)1

)U(A

các hàm giải tích trên

, hoặc đại số đĩa

(nghĩa là hàm f liên tục trên



|z|:CzU

và giải tích trên U ) thì bài toán khôi phục chính

đĩa đơn vị đóng



 

1

là bài toán moment. Luận án của chúng tôi nghiêng về mặt ứng dụng nên các bài toán

khôi phục hàm giải tích được rút ra từ các ứng dụng trong vật lý (chương 3: bài toán

nhiệt ngược và chương 5: bài toán Cauchy không gian cho phương trình Parabolic),

trong giải tích thực (chương 4: bài toán biến đổi Laplace ngược).

Đây là bài toán ngược và không chỉnh theo nghĩa Hadamard, nghĩa là bài toán

có thể vô nghiệm; bài toán có nghiệm nhưng nghiệm không duy nhất; nghiệm của bài

toán tồn tại nhưng không ổn định. Bài toán nội suy hàm giải tích có một thư mục rất

lớn (xem [20, 63]). Tuy vậy, thật đáng ngạc nhiên là các bài báo lại không khảo sát tính

không chỉnh của bài toán và tính ổn định của thuật toán khi có sai số của dữ liệu.

f trong không gian

Thực vậy, xét bài toán: xác định một hàm giải tích

)U(H 2

sao cho

n

,...3,2,1

(2)



)z(f n

  n

(

)

là một dãy vô hạn các điểm trong U ,

với

n là dãy số phức bị chặn, tức là

 1nn )z(

(

)

.

 l

n

(

)

và

xác

Với

)z( n

n bất kỳ thì bài toán có thể vô nghiệm. Chẳng hạn dãy

)z( n

)0(f

1

và

. Khi đó

.

định bởi







n

1

)z(f 1

 1

Mặt khác ta có

)0(f

(f

)

0

(vô lý). Vậy bài toán vô nghiệm.







 n

lim n 

lim n 

1 n

Trong “ Lecture on Complex Approximation” , D.Gaier đã chứng minh rằng



tính duy nhất của bài toán (2) chỉ có khi và chỉ khi

(điều kiện



)|z| k

 1(

1k

Blaschke).

Bg

với f

Nếu điều kiện này không thoả, bài toán có nghiệm tổng quát là

f 

)z(

là một nghiệm đặc biệt của (2), B là tích Blaschke với các không điểm

k và g là

)U(H 2

một hàm tùy ý trong

. Vậy bài toán có nghiệm không duy nhất.

tuỳ ý trên đường tròn

và dãy

Xét bài toán (2). Cho

|z|:Cz





 1nn )z(

1 4

  

  

m



n

,...3,2,1

với m là số tự nhiên .



m 

 n xác định bởi

  m  n

)z2( n

m

|

|

)z2(|

|

0

khi

.

Khi đó ta có

m



  m  n

n

1 2

m   

  

( ( z z,0 1n )    ) n  1 n 1 n

Xét hàm

f

U:

C



m

m

z

)z2(

.



m

2

2

||

f

2

f

f

Ta có

và

,

. Vậy lim ||

  .

2 

f  m H

)z( n

m

 m  n

|| m H

|| Hm

x



Điều này chứng tỏ bài toán (2) không ổn định: từ sự sai lệch nhỏ của dữ liệu có

thể dẫn đến kết quả cuối cùng có sai lệch lớn.

là nghiệm chính xác của bài toán (2), ứng với giá trị chính xác

0f

, tức là

Gọi   0  0  l  n

,...3,2,1n



)z(f 0

n

0   n

)

là một dữ liệu đo được thoả :

và

 l

( n 

0   

0    n

||    . ||  sup n

Tính không ổn định của nghiệm ở chỗ: tính toán với nhiều dữ liệu hơn một

)

lượng cần thiết nào đó thì có thể làm cho sai số lớn hơn. Do đó cần xác định một số tự

(n  ( với mỗi

0 ), mà ta gọi là tham số chỉnh hóa để chỉ ra số lượng dữ liệu

n cần thiết phải sử dụng và giới hạn việc tính toán trên máy tính. Nói cách khác là

)

)

,

nhiên

(n  sao cho từ

(n  dữ liệu

(n

1

)

,...,  2

xác định tham số chỉnh hóa ta có thể xác

Một số kết quả cụ thể:

của bài toán. định một hàm f mà nó xấp xỉ ổn định nghiệm chính xác 0f

Như chúng ta đã biết, trong bài toán nội suy hàm giải tích trên đĩa đơn vị các

nhà toán học thường sử dụng đa thức (đặc biệt là đa thức Lagrange) hay hàm phân thức

để xây dựng các hàm xấp xỉ (xem [20, 63]) .Tính chất của dãy các điểm nội suy và tính

chất của hàm cần xấp xỉ có ảnh hưởng nhiều đến sự hội tụ của hàm số xấp xỉ. Phép nội

suy Lagrange rất thuận lợi cho việc sử dụng, nhưng nó không ổn định. Các hệ số bậc

cao của đa thức Lagrange tăng nhanh khi số điểm nội suy tăng và dãy các đa thức

2H . Một trong những cách giải quyết vấn đề này là loại

Lagrange không hội tụ trong

bỏ hay chặt cụt các số hạng bậc cao của Đa thức Lagrange. Đó là một phương pháp

chỉnh hóa. Bài báo “Reconstruction of Analytic Functions on the Unit Disc from a

Sequence of Moments : Regularization and Error Estimates”, của nhóm nghiên cứu

của G.s T.s Đặng Đình Áng đã trình bày kết quả với một số đánh giá sai số. Trong

luận án này chúng tôi tiếp tục sử dụng ý tưởng đó để chỉnh hoá các bài toán nội suy

hàm giải tích.

Cách chỉnh hóa bằng hàm phân thức không đòi hỏi các điều kiện chặt chẽ như

pH -functions”, Totik dùng hàm phân thức

dùng đa thức Lagrange, chẳng hạn bao đóng của các dãy điểm nội suy không cần nằm

hẳn trong đĩa đơn vị. Trong “Recovery of

để xấp xỉ hàm cần tìm, nhưng không đưa ra công thức cụ thể. Và tác giả cũng không

trình bày cách đánh giá sai số trong phép xấp xỉ.

Vấn đề chúng tôi quan tâm là tính sai số của phép xấp xỉ và tính thứ nguyên

chỉnh hóa trong phương pháp chặt cụt các đa thức Lagrange. Một số kết quả bằng số

cũng được thực hiện để minh họa cho phương pháp.

Nội dung của luận án gồm có phần mở đầu, chương kiến thức chuẩn bị (chương

1), phần chính của luận án được trình bày trong bốn chương (chương 2-5) tương ứng

với bốn bài toán mà chúng tôi sẽ lần lượt giới thiệu dưới đây, phần kết luận, danh mục

các công trình của tác giả luận án và tài liệu tham khảo.

Phần mở đầu giới thiệu tổng quan về các bài toán được trình bày trong luận án, các

kết quả trước đó và tóm tắt nội dung chính của các chương trong luận án.

Chương 1 giới thiệu và nhắc lại một số kiến thức, các ký hiệu, các không gian hàm

được sử dụng trong luận án.

Chương 2 (Bài toán thứ nhất) giới thiệu bài toán Khôi phục hàm giải tích bằng các đa

thức Lagrange bị chặt cụt. Kết quả của chương này lấy từ bài báo [60] của chúng tôi.

Nội dung của chương gồm hai phần chính: thiết lập các điều kiện cần và đủ cho sự hội

tụ của các đa thức Lagrange bị chặt cụt và đưa ra kết quả của sự chỉnh hóa.



f

z

)U(H 2

Cho U là một đĩa đơn vị trong mặt phẳng phức. Chúng tôi sẽ khôi phục một

 n



m



( m N ; 1 n m )



 

hàm f trong không gian Hardy từ các giá trị , với

m  nz

 bài toán không chỉnh. Hàm f được xấp xỉ bởi các đa thức Lagrange bị chặt cụt. Cụ

(2 UH

)

là một hệ thống điểm trong U . Như đã phân tích, đây là một





f ( z

)mn

sao cho thể, ta xét bài toán khôi phục hàm f trong không gian

1;Nm( 



 m n

 m )  n

(m

) là một tập các số phức bị chặn. Bài toán (2.1) đã được đề cập trong nhiều

, (2.1)

với  n công trình mà bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu [20, 22, 39, 63]. Hàm f chưa

biết đã được xấp xỉ bởi các đa thức (đặc biệt là các đa thức Lagrange (xem [20, 63] ) và

bởi các hàm hữu tỉ (xem [39, 57, 63] ). Như đã phân tích, tính ổn định của các thuật

toán xấp xỉ này đã không được đề cập trong các công trình ấy.

)

(2 UH

Một cách vắn tắt, chúng tôi sẽ trình bày một cách chỉnh hóa bài toán (2.1) dựa

( m )

( m )



L ( v )( z )

( m ) k z

l

( 0

1; v

(

,

,...,

))



  



) hàm f bởi các đa thức trên việc xấp xỉ (trong

m

k

( m )   2 1

 m



0 k

 

( m 1 ) 



)m(

(2.2)

kz trong khai triển của đa thức Lagrange



1m 

)v(Lm

kl

)m(

)m(

z)(v(L

)

1(

)mk

với là hệ số của có bậc ,



m

k

  k

. thỏa:

 )v(Lm

Đa thức được gọi là một đa thức Lagrange bị chặt cụt. Ta chú ý rằng

1 thì

 )v(Lm

nếu chính là đa thức Lagrange.

2/1

L

)v(

Theo sự hiểu biết của chúng tôi thì cách tiếp cận trong chương này là mới.

m

Trong [8, 28], đa thức bị chặt cụt được dùng để xấp xỉ hàm f . Ở đây, chúng

 )v(Lm

tôi sẽ nghiên cứu sự hội tụ của với  nằm trong một khoảng mở. Cụ thể chúng

f

)U(H 2



1,0

0 trong 

)v(Lm

1

   .

0    0

tôi sẽ chứng tỏ rằng có một sao cho trong với

, và kết quả sẽ không đúng nếu 0

Chương 3 (Bài toán thứ hai) trình bày vấn đề chỉnh hóa một bài toán nhiệt ngược rời

rạc bằng các hệ số của đa thức Lagrange bị chặt cụt. Chương này là mở rộng của bài

báo [41].

u 

t,xu 

t,x

0

biểu diễn sự phân phối nhiệt độ thỏa phương trình sau đây Cho







1,0 

R . (3.1)

ut  u  Bài toán nhiệt ngược là tìm nhiệt độ ban đầu 

0,xu

T,xu

. Để từ nhiệt độ cuối 

1T  . Đây là bài toán không chỉnh (xem [10]) và đã được

cho đơn giản ta giả sử

nghiên cứu từ lâu. Bài toán đã được xem xét bởi nhiều tác giả với nhiều cách tiếp cận

khác nhau. Bài toán đã được xem xét kỹ lưỡng bởi phương pháp nửa nhóm kết hợp với

phương pháp quasi – reversibility và phương pháp quasi – boundary value (xem [6, 3,

14, 16, 37, 52, 53, 31, 40, 35, 21, 66]). Dùng hàm Green ta chuyển phương trình nhiệt

x





2 



1

  t4

u

tới phương trình sau

x



d 

 t,xu



 

 e0,



2

t 



R , t > 0.



1



 x 

2 

Do đó



d 

  e0,2u 

  1,x2u







.

Với dạng này ta có thể xem xét bài toán nhiệt ngược như bài toán tích chập Gauss

0,x2u 

1,x2u 

từ ảnh của nó. Nhiều ngược ( hoặc phép biến đổi Weierstrass) để tìm

công thức biến đổi ngược của phép biến đổi Gauss đã được cho trong [36, 48, 49].

Trong [49] , dùng lý thuyết reproducing kernel các tác giả đã đưa ra các công thức giải

2L không chính xác và đưa ra một số ước lượng

tích ngược tối ưu trong trường hợp cụ thể. Trong các tài liệu sau này thì các tác giả đã

nghiên cứu trường hợp dữ liệu trong

sai số cụ thể. Gần đây nhất, trong [36] các tác giả đã sử dụng không gian Paley –

Wiener và xấp xỉ sinc để thiết lập một công thức giải tích ngược cho phép biến đổi

Gauss mà nó rất hiệu quả khi được thực hiện trên máy tính. Với [17,67] thì phép biến

đổi ngược Weierstrass cho các hàm tổng quát đã được nghiên cứu.

Trong thực hành, ta chỉ lấy nhiệt độ được đo tại một tập điểm rời rạc. Nghĩa là

  j 1,xu

 j

. (3.2)

Do đó bài toán tìm nhiệt độ tại thời điểm ban đầu từ những giá trị nhiệt độ cuối, rời rạc

là cần thiết. Bài toán trong trường hợp này là không chỉnh. Vì vậy ta cần chỉnh hoá bài

toán. Theo hiểu biết của chúng tôi thì các tài liệu về hướng này là rất hiếm. Trong [41],

chúng tôi dùng đa thức Legendre được dịch chuyển (shifted Legendre) để chỉnh hoá

 

y,x

2

2 y 



 xe 

,

một dạng rời rạc của bài toán nhiệt ngược trên mặt phẳng. Tuy nhiên giả thiết rằng

  ) là quá nghiêm ngặt. Ở

y,xu 

 x y



lim x y , 

có bậc ( nhiệt độ

chương này, điều kiện trên được loại bỏ hoàn toàn.

Trong phần cuối chương, một số kết quả tính số cũng được trình bày.

Chương 4 (Bài toán thứ ba) chúng tôi xét bài toán khôi phục hàm

 ,0:f



R.





xp j

dx

e

  xf



L  pf

j

 j

 

0

j

,3,2,1

...



thỏa phương trình

 ,0 

 ,

p j

với

Bài toán này đã được trình bày trong bài báo [34].

Trong chương này chúng tôi sẽ chuyển bài toán tới một bài toán nội suy hàm

giải tích trong không gian Hardy của đĩa đơn vị và đưa ra một kết quả về tính duy nhất.

Sau đó dùng đa thức Laguerre và hệ số của đa thức Lagrange để xấp xỉ hàm f . Chúng

tôi sẽ đưa ra hai kết quả chỉnh hóa trong các trường hợp dữ liệu chính xác và dữ liệu bị

nhiễu.

Mặc dù phép biến đổi Laplace ngược đã được nghiên cứu trong nhiều tài liệu [4,

pf

pf

được biết trên một tập con đếm được là giải tích nên nếu L 







pf

của được xác định trên toàn 7, 8, 12, 52, 53, 65], nhưng các tài liệu tập trung vào bài toán với dữ liệu rời rạc là hiếm thấy. Vì L    pRe và tập con đó có một điểm tụ thì L 

pRe

. Một cách tổng quát thì một tập hợp dữ liệu rời rạc đếm được là đủ bộ tập 

cho việc xây dựng một hàm xấp xỉ của f . Đó là một bài toán moment. Trong [38], các



e

tác giả nêu một số định lý về tính ổn định của phép biến đổi Laplace ngược. Với việc

xp j

là độc xây dựng một nghiệm xấp xỉ của bài toán, ta lưu ý rằng dãy các hàm số 

lập tuyến tính và hơn nữa không gian vector sinh ra từ dãy hàm đó là trù mật trong

,0L2 

. Phương pháp chặt cụt khai triển trong [8] (mục 2.1) đã sử dụng tổ hợp tuyến

tính của các hàm này và chúng tôi đề nghị độc giả tham khảo tài liệu này để biết thêm

chi tiết. Với [18, 29], nhóm chúng tôi chuyển bài toán ban đầu thành một bài toán

1,0L2 

và sau đó dùng đa thức Muntz để xây dựng một moment đi tìm hàm f trong

xấp xỉ cho f . Tuy nhiên trong thực tế, việc tính toán các đa thức Muntz không dễ. Do

đó chúng tôi đã sử dụng một cách khai triển khác theo các đa thức Laguerre để chỉnh

hoá bài toán. Điều này làm dễ dàng cho việc tính toán vì các đa thức Laguerre là các

hàm thông dụng mà các phần mềm tính toán đều có.

Chương 5 (Bài toán thứ tư) trình bày sự chỉnh hóa một bài toán Cauchy theo biến

không gian cho phương trình Parabolic.

Một bài toán Cauchy theo biến không gian cho phương trình parabolic là tìm

Au

f





ut

một hàm u thỏa

 

từ dữ liệu Cauchy của nó được cho trên một phần biên ngoài , với là một

nR , A là một toán tử elliptic và u là một hàm được định nghĩa trên

Q



 

. Bài toán còn được gọi là bài toán Cauchy non-analytic cho các phương miền của T,0 

liệu bên trong, hàm u được khôi phục từ nhiệt độ được cho trên một tập con các điểm

trình parabolic. Một phiên bản khác của bài toán có tên là bài toán parabolic với dữ

trong của . Bài toán được mô hình hoá từ việc tìm sự phân bố nhiệt độ của vật thể

 có một phần (hay toàn bộ) biên ngoài 

là không thể đo đạc được. Nếu nguồn

nhiệt f triệt tiêu thì ta nói bài toán là thuần nhất.

f  trong trường hợp

0

. Tác giả đã đưa ra điều kiện cần và Như ta đã biết bài toán là không chỉnh. Trong [26], Holmgren đã nghiên cứu bài 1,0  toán thuần nhất 

đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán. Với [31, ch.5], các tác giả đã dùng phương pháp

quasi-reversibility để chỉnh hoá một bài toán thuần nhất. Tuy nhiên họ không đưa ra sự

ước lượng sai số và việc chọn tường minh thứ nguyên chỉnh hóa. Trong [24], các tác

 ,0 



 0,xu

 0  . Họ dùng

giả xem xét bài toán thuần nhất trong trường hợp với

phép biến đổi Fourier để đưa ra một công thức tường minh về nghiệm của bài toán, từ

đó ta có thể dùng phương pháp mollification (xem [23]) để chỉnh hóa bài toán. Gần đây

(xem [65]), các tác giả đã dùng phương pháp chỉnh hoá Fourier để chỉnh hóa bài toán

trong một phần tư mặt phẳng.

Trong thực hành, dữ liệu được đo chỉ trên một tập điểm rời rạc của thời gian

t,xu 

 jt

. Do đó bài toán khôi phục nhiệt độ từ dữ liệu rời rạc là có ý nghĩa. Trong

t,xu 

chương này chúng tôi sẽ xem xét bài toán không thuần nhất về việc tìm nhiệt độ





 T,0



 ,0

 

2,0 

jt,0u 

được định nghĩa trên từ phân bố nhiệt đã cho tại

0x  và một tập đếm được các thời điểm

0,xu 

jt

khác nhau. Dữ liệu ban đầu trong

bài toán của chúng tôi là chưa biết, nên bài toán được xem như là sự kết hợp của bài

toán Cauchy theo biến không gian và bài toán nhiệt ngược. Vì nhiệt độ sẽ được xác

0,xu 

định nếu tìm được nên chúng tôi tập trung vào bài toán khôi phục dữ liệu ban

  x 

0,xu 

. đầu

Bài toán là không chỉnh. Chúng tôi dùng phương pháp hàm Green để chuyển hệ

thống trên thành bài toán moment dạng phương trình tích phân. Sau đó dùng đa thức

Laguerre, chúng tôi đưa bài toán moment về bài toán tìm một hàm giải tích được định

nghĩa trên đĩa đơn vị của mặt phẳng phức. Sau đó phương pháp dùng hệ số của đa thức

Lagrange bị chặt cụt sẽ được áp dụng.

Các kết quả trên của luận án đã được công bố trong [34, 41, 60, 61, 62].

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Bài toán không chỉnh. Sự chỉnh hóa

Ax  y

(1.0)

Chúng ta xét phương trình

X vào một không gian Banach Y và

Xx  được tìm từ y đã cho.

với A là một toán tử liên tục (không nhất thiết là tuyến tính) từ một không gian Banach

1.1.1. Bài toán chỉnh và không chỉnh

Chúng ta nói phương trình (1.0) biểu diễn một bài toán chỉnh theo nghĩa

Hadamard nếu toán tử A có một toán tử ngược liên tục từ Y vào X, với X và Y là các

Yy  có nhiều nhất một

Xx  thỏa (1.0) (tính duy nhất

 với bất kỳ

không gian Banach. Nói cách khác chúng ta đòi hỏi rằng

Xx  thỏa (1.0) (sự tồn tại

Yy  tồn tại một nghiệm

 với bất kỳ

nghiệm). (1.1.1.1)

1 

0

y

y

0

nghiệm). (1.1.1.2)

1   *yAyA







*  Y

X

khi (tính ổn định nghiệm).

(1.1.1.3)

Nếu một trong các điều kiện (1.1.1.1) – (1.1.1.3) không thỏa thì bài toán (1.0)

được gọi là không chỉnh (theo nghĩa Hadamard).

1.1.2. Sự chỉnh hóa

Ý tưởng cơ bản trong việc giải (1.0) là dùng sự chỉnh hóa, nghĩa là thay phương

trình này bởi một phương trình “gần” với nó bao gồm cả một tham số nhỏ  để ta có

thể giải phương trình đã thay đổi một cách ổn định và nghiệm của nó là gần với

nghiệm của phương trình (1.0) ban đầu khi  là nhỏ.

Định nghĩa 1.1.2. Giả sử X và Y là các tập đã cho trong bài toán (1.0). Một họ các

toán tử tuyến tính, liên tục R từ Y vào X được gọi là một chỉnh hóa đối với phương

trình (1.0) nếu R thỏa điều kiện

,

v



  . v X

R Av 

lim 0 

Số dương  được gọi là tham số chỉnh hóa.

Nếu trong định nghĩa 1.1.2, R là một dãy đếm được các toán tử thì ta có thể lấy

R Av

v  .

lim n n 

các số tự nhiên n làm tham số chỉnh hóa và điều kiện trên trở thành

1.2. Đa thức Lagrange - Biểu diễn Hermite

1.2.1 Hàm giải tích

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử f là một hàm phức xác định tại 0z và lân cận của nó.



f

Nếu giới hạn

tồn tại, ký hiệu

thì giới hạn đó gọi là đạo hàm

 ' z

0

lim z z  0

  f z z

 f z 0 z

 

o

của f tại z0.

f

Định nghĩa 1.2.2. Nếu

thì ta nói f là giải tích trong .

 ' z

0

tồn tại với mọi 0z

.

Lớp tất cả các hàm giải tích trong  được ký hiệu là

H 

Định lý 1.2.1. (Identity theorem)

là một dãy các điểm đôi một

Giả sử f là hàm giải tích trên miền  và  nz

0

. Nếu

f  trên .

 zf

khác nhau, hội tụ đến điểm 0z

 0 n  với mọi n N thì

Định lý 1.2.2. (Maximum modulus theorem)

. Khi đó

Giả sử  là một miền,

Hf  



ire

.





  af

và  afmax

 r,aD 



(*)

không có cực trị

Dấu bằng xảy ra trong (*) nếu và chỉ nếu f là hằng số trong . f

địa phương tại điểm bất kỳ trong , trừ khi f là một hằng số.

1.2.2. Đa thức Lagrange.

)

RPn 

( CPn

1 n

i1

n

Ký hiệu K là tập các số thực R hay các số phức C và (hay ) là tập



tất cả các đa thức bậc . Cho n điểm phân biệt it K và n giá trị i K,

i1,

n

đã cho. Ta tìm một đa thức



p  (K) thoả: n P n   tp n

  i

i

. (1.2.2.1)

n

t



j

t

Để làm điều đó, ta giới thiệu các đa thức il :

l

l

,.....,







  t

 t



i

i

t;t n

1

t



 t  t

 ; 

i

j

 1j  j i 

(1.2.2.2) K , i =1, 2, …, n.

l  (K) , i = 1, 2, …, n và i

P n

nếu

j

,i



Rõ ràng

l



 t



j

i

nếu

j

.i



1   0 

,2,1

(1.2.2.3)



 i

n...,

li

Các đa thức được gọi là các đa thức Lagrange cơ bản. Chúng có thể

được viết dưới dạng khác.

n

Ta giới thiệu đa thức

...





   t  ,t  1

t;t, n

j

  t t 

1j 

. (1.2.2.4)

n

t



Khi đó



j

  t

  t  t t 

i

1j  j i 

t

,

' 











t i

j

t i







lim t t  i

  t  t t  i

j 1  i j 

.

l



  t

i

t

' 

  t   t 

 t

i

i

n

Điều đó cho phép ta viết . (1.2.2.5)



  tp n

   l t ii

1i 

(1.2.2.6) Dễ thấy rằng đa thức

là đa thức duy nhất trong nP (K) thoả (1.2.1.1). Dạng (1.2.2.6) của đa thức nội suy được

:f

gọi là dạng Lagrange.

Bây giờ nếu K, i = 1, 2, …, n là các điểm K  K là một hàm bất kỳ và it

n

nút phân biệt, ký hiệu:

K

t;f





 t;fL







 tf

n

,....., t

i

    l t,t i



L t 1

n

1i 

,2,1

(1.2.2.7)

n...,

 ti  i

. là đa thức duy nhất trong nP (K) mà nó đồng nhất với f tại các điểm nút





 tp

n

(1.2.2.8) Hiển nhiên, nếu p nP (K) thì  t;pLn



 i1,

 tp i

L

của nó. vì p được xác định duy nhất bởi các giá trị

:Ln

nP (K) là luỹ đẳng, nghĩa là

2 L  n

n

Do đó, toán tử tuyến tính K . Vì vậy nó là

một phép chiếu, ta gọi là phép chiếu nội suy Lagrange.

1.2.3. Công thức nội suy Hermite [20, trang 62]

,2,1,0

n...,



với

Đa thức nội suy. Cho n+1 cặp số phức 



k,w,zk k

kz là phân biệt, khi đó tồn tại chính

,2,1,0

n...,

xác một đa thức p có bậc nhiều nhất là n sao cho:





 zp



k

k,w k

. (1.2.3.1)

n

z

z

z

z

z

z

z

z













  z









  .....

k

0

1

n

 

0k 

Theo mục 1.2.2 thì đa thức này có được là qua công thức nội suy Lagrange. Ta đặt:

l

,1,0

)n...,



k( 

  z

k

z

z

' 

  z   z 





k

k

và (theo (1.2.2.5)).

nếu

j

,k



l



 z



j

k

nếu

j

.k



1   0 

Mỗi đa thức trong các đa thức cơ bản kl này có bậc n và ta có:

  z

  zL n

lw kk

Do đó đa thức bậc n

.....









  z

  z

 z

n   0k  lw 00

lw 11

lw nn

(1.2.3.2)

thoả mãn yêu cầu nội suy.

 zf

w  k

k

G

Trường hợp , với f là một hàm giải tích trong miền G với các điểm

zk  , là rất quan trọng cho mục đích của chúng ta. Ta cũng có thể biểu diễn

nội suy

đa thức nội suy bởi một tích phân phức. Giả sử biên G của miền G bao gồm một số

k,G

,2,1,0

n...,

các đường cong Jordan khả trường và xét hướng dương đối với G, và giả sử f là hàm







 zp

 zf

k

zk

k

, với . giải tích trên G, liên tục trên G . Bài toán nội suy là: 

  z

.

dt



Bài toán được giải bởi công thức:

  zL n

1 i2 

  t   t z 

  tf   t 

 G 

(1.2.3.3)

.

và ta có:





  zf

 dt

Gz 

  zL n

1 i2 

  tf t z 

  z   t

    G

. (1.2.3.4)





   zh.z

  zL n

, với h là hàm giải tích trên G, Từ (1.2.3.4) suy ra rằng   zf

với

dt



  zh



t(

1 i2 

  tf )z 



  t

G 

.

Hệ thức (1.2.3.3) là biểu diễn Hermite của đa thức nội suy, và (1.2.3.4) là biểu diễn tích

phân của sai số nội suy.

Sự nội suy trong trường hợp các điểm nội suy được phân bố đều.

Chúng ta giả sử rằng K là một tập con compact của một miền G  C.

  K z n k 

Giả sử rằng với mỗi n (n = 0,1,2,…), có n+1 điểm nội suy cho trước

z

z

z

  1 1

.....

z

z

z

  0 0   1 0 ..........   n 0



..........   n 1 ..........

  n n .......... ..



(k = 0,1,…..,n). Khi đó ta có các nút ma trận

n

z

.......).

,2,1,0n(, 



  :z

 z



 n

  n k

0k

   Nếu f là giải tích trên G, thì theo (1.2.3.4), sai số nội suy là:

.

của các điểm trong K, và ta viết







  f x

 dt z K



  L x n

f t

  t x 

  x   t

 1 n  2 i   nG 

.

Điều này được dùng để có được một phát biểu về sự hội tụ.

Nếu







 dist K, G



diam K D D  2

1

(1.2.3.5)

D

thì



G  ).

  z

Kz 

  t 

 n

 1n  D 1

n

1n  2





   n zf

Kz ,

và ( t

Do đó trong trường hợp này ta có:   zLn

  K z n k  .

và sự hội tụ này không phụ thuộc vào việc chọn các nút

Bây giờ ta trở lại với mối liên hệ giữa sự phân phối đều của các nút và sự hội tụ

n(

)Kz,

Sự hội tụ

,

xảy ra với mỗi hàm f giải tích trên K



của quá trình nội suy tương ứng (xem [20], tr. 65-67).

Định lý 1.2.3. (Kalmar 1926, Walsh 1933)   zLn 

 zf

được phân bố đều trên K.

nếu và chỉ nếu các nút nội suy

 n kz

Ta sẽ không nêu định nghĩa tổng quát của sự phân phối đều. Nếu K là đĩa đơn

m    nz

vị, ta có các nút gọi là phân phối đều trên K nếu nó thỏa (2.1.3).

1.3. Phép biến đổi Laplace và Laplace ngược

s

wi

 là 

Cho f(t) là hàm thực hay hàm phức với biến t thực, không âm. Đặt

một biến phức. Khi đó phép biến đổi Laplace của f(t), ký hiệu F(s), được định nghĩa





st dt

như sau:



  sF

  etf



0

. (1.3.1)





st

st





f

dt

f

dt

Ta định nghĩa tích phân trong (1.3.1) như sau:





  F s

  t e

  t e







lim 0  

0



.

F(s) = Lf(t).

Phép toán trên f(t) được mô tả bởi phương trình (1.3.1) cũng được viết:

1L F(s).

Hàm của t mà phép biến đổi Laplace của nó là F(s) được viết:

1L là phép biến đổi ngược của L. L và L-1 đều thoả tính chất

Vậy f(t) = L-1F(s). Ta gọi











  t

   t

  tLfC

 sFCsFCt    

fC 22

1

1

LfC 2

2

11

2

2

(1.3.2) tuyến tính. Vậy  fCL 11

với C1, C2 là hằng số và

1 







     sFCsFCL



  t

 t

11

2

2

fC 11

fC 22

.

0t  và nếu tồn tại các hằng số thực k, p và T sao cho:

pt

ke

Nếu hàm f(t) liên tục từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn trên đường thẳng



Tt 

  tf

với (1.3.3)

thì f(t) sẽ có biến đổi Laplace F(s) với mọi s thoả Re s > p. Biến đổi này không chỉ tồn

tại trên nửa mặt phẳng Re s > p mà còn là một hàm giải tích trên nửa mặt phẳng. Các hàm thoả mãn (1.3.3) với cách chọn k, p và T nào đó được gọi là có bậc ept.

Định lý 1.3. (công thức Laplace ngược)

Cho F(s) là một hàm giải tích trên nửa mặt phẳng Re s  a của mặt phẳng phức

khi

trong



  sF

s. Giả sử tồn tại các hằng số dương m, R0 và k sao cho

0Rs 

m ks

nửa mặt phẳng này. Khi đó có một hàm f(t) mà phép biến đổi Laplace của nó là F(s),

và nó được xác định bởi:

a i

 

st

.

f





  t

1    L F s

  F s e dt



1 2 i

a i

 

Đẳng thức trên cũng được gọi là công thức tích phân Bromwich.

(xem Complex Variables with Applications, A. David Wunsch, tr. 423)

Hàm Gamma:

0 bởi:

1.4. Đa thức Laguerre (G. Sansone, Orthogonal Functions, tr. 259)  là hàm Gamma được định nghĩa với





1

x



 x

e

dx



  



0

.

1 

  1

Điều này suy ra

và





x

x

x







 ex

dx

 ex

1   x

e

dx











 

 1

 

 



 0





0

0

.

n















 1n

 

 1n 





   n     n .....  

   n     1mn  

Tổng quát hơn ta có:

!n



sao cho

.

Định lý 1.4. (Công thức Stirling) Với mỗi n N, tồn tại

  1n  .1mn     1n  Đặc biệt, đối với những giá trị nguyên không âm của n, ta có: 1,0 

!n

n  n12 e



n2 

n e

  

  

(xem Advanced Calculus p.458 của Wilson).

n

0

Để thuận lợi cho việc sử dụng, công thức trên còn được phát biểu dưới dạng sau

  . 1

!n





n2 

n e

 n2 

  

  

 1   

   



xz z1 

z1

 1 e

, với

   

1

và sự khai triển của nó thành chuỗi luỹ thừa Xem xét hàm 

z  .Ta có

k

k

k







z

k

xz z1 

theo z với

e





 

 1

k

x !k

!k.

 0k 

 0k 

 z1 



   z1 

 xz k 

.

k

k

k









1

m

k

k

 





xz z1 

e





 

 z1 

 

 

 1

 1

 1

 km1k z



  m

1k



x !k

x !k

   0m 

 0k 

 0k 

 z1 

  

  

z   Vì cả hai chuỗi đều hội tụ tuyệt đối, ta có thể chọn những số hạng có zn, ta được



1

 



xz z1 

e

Khi đó

1 

 z1 

 

  x

 n  Lz n

  1n 

; (1.4.1)

m

mn 

mn 



  x

 1

 

 1



 x

  L n

1mn   m

1   !mn 

n    0m 

với

n







 n 



m

mn 

 1mn x

hay





 

  x

 1

 n   L1 n

x !n

  1n .....     !m!mn 

n    1m 

m

mn 

(n

1,2,3,...)





 

  x

 1

, (1.4.2)

 n   L1 n



   !mn!m 

  

 1n x  1mn 



n    1m 

.(1.4.31)

  L0

. Để thuận lợi về ký hiệu, ta định nghĩa:   1 x  (1.4.32)

2





n 



 n 



  ..... 

 1

Với x = 0 ta có



  0

  Ln

 1n  !n

.

0 , các đa thức

  x L 0 n

Với sẽ được định nghĩa lại là Ln(x). Các đa thức này rõ ràng

!n

mn 

mn 

x

được xác định bởi:



 1

  xL n

n    0m 

 !mn!m 

 

 2

n

k

k

,

(n

1,2,3,...)



 

 1

  x

n k

 

1 !k

0k 

(1.4.4)

 x

  Ln

Các đa thức được gọi là các đa thức Laguerre.

n

x

d

x

n

x



  e

1,2,3,...

Ta có





  x

 n ,

 x

  L n

n

dx

(1.4.5)













   L1n 

  x

 n

  L

   0 x 

  e !n   x

 n2

  Lx1

 n

 n

 1n 

(1.4.6)

  0 x 

  L 1 

với qui ước . (1.4.7)

1.5. Đa thức Hermite (G. Sansone, Orthogonal Functions, tr. 303)

z2

xz2





e

1.5.1. Nếu ta khai triển



n

xz

 

2 

2

2

2

n ed

z

xz2

x

xz

x





 

2 

thành một chuỗi lũy thừa theo z thì ta có

e

e

e

e

.





n



z !n

dz

0n 

   

   

0z 

2



x

n



2

2

n ed

z

xz2

x





.

.

e

e



n



z !n

dx

0n 

. Do đó:

2

x



2

n ed

x

e

n ;

1,2,3,...

xH ;





Đa thức Hn(x) được định nghĩa bởi

  1 

  xH n

0

n

dx

(1.5.1.1)



2

z

xz2

n





z,x

e

z

thì





 





  xH n !n

0n 

(1.5.1.2)

và chuỗi hội tụ với mọi giá trị của x và z.

n

Từ (1.5.1.1) dẫn đến

H

x

 



 

n

 xH1  n

. (1.5.1.3)

Vậy các đa thức Hn(x) là các hàm chẵn hay lẻ tùy theo chỉ số n là chẵn hay lẻ.

Các đa thức (1.5.1.1) được gọi là các đa thức Hermite. Các đa thức này có vai trò trong

'H

. việc nghiên cứu khai triển của một hàm theo các đa thức trực giao trong khoảng  , 





. (1.5.2.1)

1.5.2. a) Lấy đạo hàm (1.5.1.2) theo biến x ta suy ra được:   x

 xH1n2  

n

1n 

H

xH2

nH2

b) Lấy đạo hàm của (1.5.1.2) theo biến z, ta suy ra được:





  x

  x

  0 x 

n

1n 

1n 

. (1.5.2.2)

c) Lấy đạo hàm 2 vế của (1.5.2.2) và dùng (1.5.2.1) ta có:

H

xH2

nH2

0









n

' n

' 1n 

H

H2

xH2

0











H2 

n

' n

' n

'' n

nH2



' 1n   H1n2  x   .

 H

'' n

' 1n 

xH2

nH2

và cuối cùng ta có phương trình vi phân của đa thức Hn





  x

  0 x 

  '' xH n

' n

n

. (1.5.2.3)

1.5.3. Các hệ thức về tính trực giao có được theo cách thông thường.

2xe 

2

2

x

x





a) Nhân (1.5.2.3) với , ta được

ne2



  0 

' n

xH n

 

   xHe 

d dx

.

x2



0

Nhân phương trình đầu với Hm và tích phân từ  đến  ta có:





 dxxHxHemn2

 

 

m

n



  



x2



0

.

mn 



  dxxHxHe

 

m

n





Khi , .



x2



n !n2

,3,2,1n,

....







 

2 dxxHe n





b) Ta có

x2 2

  xH n

c) Từ 1.5.3(a), 1.5.3(b) suy ra rằng hệ thống

L2

 , 

n

!n2

   e    

     

là trực chuẩn trong .

1.6. Hàm nguyên với bậc hữu hạn

Một hàm f(z) giải tích trên toàn bộ mặt phẳng phức, nghĩa là nó được biểu diễn

bởi một chuỗi lũy thừa có dạng:



n

n

c

0





  zf

zc n

n



lim ; n 

0n 

được gọi là một hàm nguyên.

Đây là lớp hàm đơn giản nhất của các hàm giải tích mà có chứa tất cả các da

thức. Hàm nguyên được phân lớp dựa vào bậc của chúng, nghĩa là theo sự tăng

z

. Một hàm nguyên có thể tăng theo (growth of Entire function) của chúng khi

các cách khác nhau theo nhiều hướng khác nhau. Với sự đặc trưng tổng quát của sự



  rM f

 zfxma z r



. Theo nguyên lý cực đại hàm này đơn điệu tăng, ta giới thiệu hàm

tăng.

Một đa thức có càng nhiều nghiệm thì tăng càng nhanh. Tính chất này cũng

được mở rộng cho hàm nguyên nhưng phức tạp hơn nhiều. Mối liên hệ giữa sự tăng

của một hàm giải tích và sự phân bố nghiệm của nó là nội dung chính của định lý về

hàm nguyên.

Ta sẽ chỉ ra có một số định lý tương tự định lý đồng nhất. Các kết quả này phát biểu

rằng nếu hàm nguyên f “tăng đủ chậm” và nghiệm của nó “được sắp xếp một cách rất

 . Đây là những định lý về tính duy nhất tương tự với các định lý

  0 zf

trù mật”, thì

về tính duy nhất đơn giản nhất cho đa thức.

1.6.1. Bậc của hàm nguyên

Các ký hiệu.



 r

as 

là đúng với các giá trị r đủ lớn, chúng ta gọi nó là bất đẳng thức Nếu   rh

 r

tiệm cận và viết:   rh

nr

thì ta sẽ viết: Nếu bất đẳng thức trên đúng với dãy nào đó của các giá trị

n 

  rh

 r

.

Một hàm nguyên f(z) được gọi là hàm với bậc hữu hạn nếu

k

kr

exp

e

as 



 r



  rM f

với k > 0

Bậc của hàm nguyên là chặn dưới lớn nhất của các giá trị k mà bất đẳng thức

tiệm cận được thực hiện.

f

. Ký hiệu bậc của một hàm nguyên f là

 

 

r

r

e

e

n 

as 

  rM f

Lấy logarithm theo cơ số e 2 lần ta được:

log

Mlog

  r

f

n 



as 



log

r

Từ định nghĩa của bậc ta có

log

Mlog

  r

f

sup



lim r 

log

r

hay

Định lý 1.6. Bậc của hàm nguyên được xác định bởi công thức

n

sup

lim  n 

log

1 c

n

logn    

   

1.6.2. Số mũ hội tụ

Cho một dãy số

a

,...,

a



, chặn dưới lớn nhất của  sao

0  ,

a,a 1

2

n

n

lim n 



1

hội tụ gọi là số mũ hội tụ.



cho 

1n

na

1.6.3. Định lý Hadamard [33, trang 18]

Số mũ hội tụ của các không điểm (các zero) của một hàm nguyên không vượt

quá bậc của hàm nguyên đó.

1.7. Không gian

pH (không gian Hardy)

1.7.1. Các không gian

pH và N

rf trên T như sau

i 

i 

)

re(f

)

Ta định nghĩa



)1r0( 

e(f r

(1.7.1.1)

1)T(

)



nếu f là hàm liên tục bất kỳ xác định trên U , và cholà độ đo Lebesgue trên T ,

pL -chuẩn được hiểu là

(Lp  . Đặc biệt

1 p

p

f

f

0(

p

)

. Theo đó được chuẩn hóa





r

pr

  d   

      T

i 

f

re(f

)

(1.7.1.2)



r



sup 

(1.7.1.3)



f

exp

log

và ta giới thiệu



.

df r

0r



T

0

 p

(1.7.1.4)

Định nghĩa 1.7. Nếu

và

(1.7.1.5)

sup

f

f

0:



r 

)U(Hf  

 , đặt 1 .

p

pr

0

 p



Nếu

PH được định nghĩa là lớp tất cả các hàm

với

thì

)U(Hf 

f

.



p

)U(Hf 

f

mà

.

Lớp N bao gồm tất cả các hàm

0

p

s

0

p

s 



H

H

H

N







p

Rõ ràng là nếu .

, Định lý 17.3 và Định lý 17.5 (xem [47], tr. 336-337) cho

Nhận xét: a) Khi

thấy

là hàm không giảm theo r, với mọi

.

)U(Hf 

prf

p

Khi , theo Định lý module cực đại ta có kết luận tương tự. Do đó

f

f



p

pr

lim 1 r 

1

(1.7.1.6)

PH là một không gian tuyến tính định chuẩn.

 p



PH là không gian con đóng của

pL và do đó nó là không gian

b) Với ,

c) Có thể xem

Banach.

Định lý 15.23 (xem [19], tr.311] cho thấy các không điểm của hàm f bất kỳ thuộc

PH . Ta có

 

n

  1  . Điều này cũng đúng trong

lớp N thỏa điều kiện Blaschke

p

,

,....

định lý sau (tương tự với định lý đồng nhất)

Định lý 1.7.1. Nếu

(hoặc

là các không điểm của f

f H

Nf  ), nếu

, 1  3 2

trong U , và nếu



0)z(f

thì

 với mọi

Uz  .

 

  1  n

1n

PH

1.7.2. Một số tính chất quan trọng của không gian

0

p

,

Định lý 1.7.2. Nếu

và

thì





pHf 

*

e(

)

f

(a) Giới hạn không tiếp xúc

i  tồn tại hầu khắp nơi trên T và

p

f

)T(L

.

* 

*

(b)

f

f

0





r

p

lim r 1 

*

f

f

(c)



p

p

1.7.3. Không gian

2H

2H có một cách tính chuẩn đơn giản như sau.

Không gian

Định lý 1.7.3. Giả sử

và

)U(Hf 



n

)z(f



n za



0n 





2

2

f

a

.

thì

nếu và chỉ nếu

. Ngoài ra

2Hf 



n

2 2

 na



0n

0n 

Chứng minh: Áp dụng Định lý Parseval cho

1r  ta có

rf với





2

2

.

a

n22 r

a

f

f







d 

r

n

n

2 2







lim r 1 

lim r 1 

0n 

0n 

T

)U(H 2

Nhận xét: (a) Một cách tự nhiên, không gian





2

)T(L2

in  với

được xem như một không

nea

 na

0n

0n

n:



0 ).

, là gian con đóng của (gồm tất cả các hàm có dạng 

z  thì theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz







1 2

2

2n

n

z



 

a z n

a n







n 0 

n 0 

n 0 

   

1   2      

   

sự mở rộng tuyến tính đóng của các tập  ein  Chú ý rằng: nếu 1

và do đó các chuỗi lũy thừa như vậy có bán kính hội tụ ít nhất là 1 và xác định một

)

(2 UH

hàm giải tích trên U .





n

n



,za n

zb n

ba nn







0n 

0n 

0n 

   

   

là không gian Hilbert với tích trong xác định bởi (b)

2 

it

it

g,f

dt)e(g)e(f

hay tương đương









1 2 

0

n n,z

0

.

2H . Ta suy ra





)z(e n

2 

2

2

i 

tạo thành cơ sở trực chuẩn của Các hàm

f

dt



 f e





1 2 

0

.

CHƯƠNG 2

KHÔI PHỤC HÀM GIẢI TÍCH

BẰNG CÁC ĐA THỨC LAGRANGE BỊ CHẶT CỤT

Giới thiệu

)U(H 2

Cho U là đĩa mở đơn vị trong mặt phẳng phức C và cho là không gian

2 

1 2

f

f re (

)

Hardy gồm các hàm f giải tích trên U và thỏa:



 

2



0

 1  lim  2  1 r  

  2 i   d   



.

)z(f

)U(Hf



2

k k z  thì



k

2 



2

i 

1 2

f

(

)



 k

2

 f e







1 2 

k 0 

0

    

1  22   

Ta nhắc lại rằng, nếu có khai triển

(xem [47: chương 17] hay [Chương 1, (1.7.3)]).

)m(

)mn1;Nm(





n



)m(

)m(

)m(

là một hệ thống điểm trong đĩa U . Với mỗi m , Cho  z

z

z,

,....,

z

1

2

m

)

(2 UH

ta giả sử rằng là những điểm phân biệt. Trong chương này,

)m(

)m(

z(f

)

)mn

sao cho chúng tôi xem xét bài toán khôi phục hàm f trong không gian

1;Nm( 



n

 n

(m

(2.1.1)

) là một tập các số phức bị chặn.

với  n

Bài toán (2.1.1) là không chỉnh. Trong những kết quả gần đây của chúng tôi [8,

28, 59, 58] thì tính không chỉnh của bài toán đã được xem xét. Trong [39] thì một hàm

f trong đại số đĩa

UA 

đã được xấp xỉ bởi một dãy các hàm số được xây dựng từ dữ

liệu bị nhiễu và được gọi là một thuật toán định dạng đều.

)

(2 UH

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một cách chỉnh hóa bài toán (2.1.1)

)m(

)m(



) hàm f bởi các đa thức dựa trên việc xấp xỉ (trong

)z)(v(L

k)m( z

0(

v;1

(

,

,...,

))



 



m

1

)m(  2

 m



k0

l k )1m( 





)m(



1m 

(2.1.2)

kz trong khai triển của đa thức Lagrange

kl

)v(Lm

)m(

)m(

là hệ số của có bậc , với

z)(v(L

)

)mk1( 

m

k

  k

thỏa: .

1

 )v(Lm

Đa thức được gọi là một đa thức Lagrange bị chặt cụt. Chú ý rằng nếu

 )v(Lm

là đa thức Lagrange. thì

Trước khi đưa ra những định nghĩa và những kết quả chính, chúng tôi có một

vài nhận xét sau.

)v(Lm

tới f phụ thuộc rất nhiều vào tính chất của dãy

. Định lý Kalmar-Walsh (xem [Chương I, Định lý 1.2.3]) cho thấy rằng điểm  nz Trước hết, sự hội tụ của )m(

với mọi hàm f giải tích trong một lân cận của U nếu và chỉ

)v(Lm  trong f nếu dãy điểm  nz

)U(C )m(



được phân phối đều trong U , nghĩa là:

1



m

)z(m

max 1z 

lim m 

)m(

(2.1.3)

z(

z

)......(

z

z

)

)z( 





m

)m( 1

m

)U(C

)U(H 2

với . (2.1.4)

bởi (xem phản thí dụ ở mục Điều này sẽ không còn đúng nếu thay

)m(

không thỏa điều kiện (2.1.3). 2.2). Hơn nữa điều kiện (2.1.3) là rất nghiêm ngặt. Trong bài toán của chúng tôi về tổng quát thì hệ thống điểm  nz

2/1

Theo sự hiểu biết của chúng tôi thì cách tiếp cận trong chương này là mới.

)v(

L m

Trong [8, 28], đa thức bị chặt cụt được dùng để xấp xỉ hàm f . Ở đây, chúng

 )v(Lm

)U(H 2

tôi sẽ nghiên cứu sự hội tụ của với  nằm trong một khoảng mở. Cụ thể chúng

f



1,0

0 trong 

)v(Lm

0

1

tôi sẽ chứng tỏ rằng có một sao cho trong với



 0

0

)m(

)m(

)m(

, và kết quả sẽ không đúng nếu .

z

z,

,....,

z

1

2

m

Cuối cùng, nếu với mỗi m các nút không khác nhau đôi

một và nếu tại những điểm này chúng ta không chỉ biết các giá trị của f mà còn biết

các giá trị của đạo hàm cấp cao hơn của f , thì chúng ta có thể dùng các đa thức

Lagrange – Hermite bị chặt cụt để xấp xỉ hàm f .

Điêù kiện cần của sự hội tụ của các đa thức Lagrange bị chặt cụt và phản

thí dụ

m

)z(

Ta đặt

)z)(v(L

v



m

k

)m(



 m )m( z)(

z

)

z('



1k 

k

 m

k

(2.2.1)

v

,...,

v( 1

)v m

và đặt với m như trong (2.1.4),

1

)m( 

0

)m(

)m(

)m(

z...

j(

s1,k

,





,1p,p 

)1m..., 



p,k

j

s

p

 

z j 1 j1 mj ...  1 p

.

0

Ta phát biểu điều kiện cần của sự hội tụ của các đa thức Lagrange bị chặt cụt.

Định lý 2.1. Cho

 . Nếu 1

2

(2.2.2)

f

z )( )

0

f H U

(

))





(  

 L T f ( m m

2

lim m 

được định nghĩa trong (2.1.2) và (2.2.1) và

với

 )v(Lm



)f(T

z(f(

),...,

z(f

 ))



 m m

m

 m 1

thì

1 2

1 

2

z



)m( j

)m( k

)m( l1m,k 



sup max mk1m 

l0



 )1m( 



 z1   k\m,1j 

   

   

với

.



m,...,1m,1 

, thì

có

)U(H 2

là (cid:129)nh c(cid:129)a f trên



 )fT(L m m

 )1m()T(L m

m

là chu(cid:129)n c(cid:129)a các toán t(cid:129) này.

. Ta ký hi(cid:129)u

mmTL

sup

Ch•ng minh: N•u ta xem các (cid:129)a th(cid:129)c Lagrange b(cid:129) ch(cid:129)t c(cid:129)t th(cid:129) (cid:129)(cid:129)(cid:129)c xem là m(cid:129)t dãy các toán t(cid:129) tuy(cid:129)n tính trên )U(H 2 T(cid:129) (cid:129)(cid:129)nh lý Banach – Steinhaus, h(cid:129) th(cid:129)c (2.2.2) d(cid:129)n (cid:129)(cid:129)n .

 TL mm

m

z-z

f

f

)z(



1 . Thật vậy, xét với z

(*)

1 .

m

. Ta có m 2

z-1

z

(m) j )m( j

\m,1j 

   k

z

z





2

z.z

z

1

z

)

Khi đó

(





f

)z(





m

1 z

z

z1 

)m( z j )m( j

   k\m,1j 

   k\m,1j 

1



 z

z

)m( z j 1  m j

z

z





z

1

.



 m j

z

z



)m( j )m( j

    k\m,1j 

Do đó

2 

,

f

1





2 m 2

 f e

2  i   d



1 2 

0

Do đó, theo bất đẳng thức (*) thì:

f





  .

 L T f m m m

 L T m m

m

 L T m m

2

(2.2.3)

Mặt khác ta có:

Đặt

.

fT(L

)z)(



mm

m

z

z-1

(m) z-z j )m( j

   k\m,1j 

)m( k

Bằng cách tính trực tiếp ta có:

)1m( 



l

l1m 

z

)1( 



)m( l1m,k 



0l 

.

)z)(



 fT(L m

mm

z

)

)m( j

)m( k

 z1(    k\m,1j 

Từ đó dẫn đến:

1m 



2

2

2



m





z

.



z1 



  fTL mmm

 j

 m k

  m  l1m,k 

  

0l 

   k\m,1j 

   

   

Kết hợp với bất đẳng thức (2.2.3) ta có điều phải chứng minh. Nghĩa là

 m 1



 1

m

m





z

1 z 

 j

 k

  m  ,   k m l 1

  

sup max m

      1 k m j 1 m k , \

 l 0

   

1 2 2    

2



  .



  L T f m

m m

sup m



)U(C

Phản thí dụ: chúng tôi sẽ chứng tỏ định lý Kalmar – Walsh là không đúng nếu

)U(H 2

được thay thế bởi

.

là một đa thức Lagrange.

Thật vậy: đặt

1 , với mỗi m ,

 fTL mm

Đặt

z

)mn1,Nm(

.







)m( n

1 1n 

Ta có

)

z ( )

1 (

1 )...(

.







 m

max z 1 

1 2

1 m 1 

Từ đó dẫn đến

z ( )

 1

 m

lim max m m  z 1 

được phân bố đều trong U . Mặt khác:

)m( nghĩa là hệ thống  nz

1m 



1 

1 2

2

z

)m( j

)m( m

  m  l1m,m 

  

0l 

z1    m\m,1j 

   

   

1 

1m 

1





)m(  1,m



1 )1m)(1j(





1j 

.

...







  m

1 m

1 2

)U(Hf

2

sao cho

không hội

Vậy dùng Định lý 2.1 ta có thể tìm một hàm số

fTL mm

)U(H 2

khi

.

tụ về f trong

m

2.3. Điều kiện đủ cho sự hội tụ của các đa thức Lagrange bị chặt cụt

Để phát biểu những điều kiện đủ cho sự hội tụ của các đa thức Lagrange bị chặt

mà thỏa một vài tính chất.

)m( cụt, chúng ta sẽ xem xét hệ thống điểm  nz Lấy

, ta đặt:

1,0 

z,mn1Nn





.

A m

)m( n





trong U thỏa mãn

)m( Ta ký hiệu F là họ các hệ thống điểm  nz

(2.3.1)

 , 0

lim m 

Card A m m

(2.3.2)

1

 ,

lim m m 

Card

với

mA

là số phần tử của mA và

 ,

khi



A m

1 m



 m



 .

z

khi





 m n

A m

 1



An  m

    

1           

tập trung trên đĩa

không quá gần biên của đĩa đơn vị. Tổng quát thì hệ

)m( Điều kiện (2.3.1) cho thấy là hầu hết các điểm của hệ thống  nz bán kính , tâm là 0. Điều kiện (2.3.2) nghĩa là  )m( nz )m( thống điểm  nz

trong F không thỏa mãn điều kiện (2.1.3).

khi

,1

 

1 2

1   2  1 



)

khi

0



1

0

,

vớI

( 

 

 , ta đặt

1  

1 2

1(

1(

)



1     ) 



khi

.0





1

  



. Hơn nữa,

          Ta có thể kiểm tra rằng  là hàm liên tục và tăng nghiêm ngặt trên 

1,0

1



1(2)1( 



 )

1 

 ) 

1 

và với

. Do đó trong trường

sao cho:

hợp này, tồn tại một số duy nhất

,0 )0( 1( 1 ,       

0 

,1) 

(2.3.3)

).





(  0 ( 0(1) 

 0

1   2  1,0 

Định lý 2.2. Cho

1,0 

1,0 

và .

(Lm  )

)f(Tm

Cho được định nghĩa trong (2.1.2), (2.2.1) và cho được định nghĩa

0



trong Định lý 2.1. Khi đó

1   , thì 2

2

f

0

f H U

)

(

(

))

i) Nếu







 ( L T f m m

2

lim m 

, (2.3.4)

0

 0

2 )U(H

1

(

f

,

. Thêm vào đó, nếu trong F và với mọi

)m( với mọi hệ thống điểm  nz ' 

)  

(m  sao cho: )

2

'

f

2

2m

f

1

f

z )( )

(

(2.3.5)











 m 1 )  

 L T f ( m m



 

2 2

2

(

2 2 2 m 1 )  

(mm

,

với

là số nguyên lớn nhất không vượt quá x .



 x),

ii) Nếu

0



)m(   , thì ta có thể tìm một hệ thống điểm  nz

trong F sao cho

1 2

.

(2.3.4) không đúng với mọi

1



0

iii) Nếu

1



)m(  , thì ta có thể tìm một hệ thống điểm  nz

trong F sao cho

1 2

.

(2.3.4) không đúng với mọi

1,0 

0



Định lý cho thấy

 là một điều kiện quan trọng cho sự hội tụ của các đa thức

1 2

Lagrange bị chặt cụt.

và , thì tồn tại một

Chứng minh: Chúng ta sẽ chứng minh định lý trong ba trường hợp sau đây:

  1 

i)

1 2

0



1

ii)



0

1   và 2

0



0

iii)

 0

1   và 2

1



(i) Trường hợp

  : chúng ta xây dựng một dãy điểm  (m nz

) sao cho ta có thể tìm

1 2

)

(2 UH

)U(Hf

được một hàm

thỏa mãn:

f trong

khi

.

2

m

 )fT(L m m

, đặt

và

.

Với mỗi

z

z

1 

1 

1,0 

)m( m

)m( 1

1 m

1 m2

1

Chú ý rằng với

thì

y





sn

1 2

2



 mn

s

2m 

1m 

y

1

sj

.

s(

)







)m(

zy1



2j 

msj

1



1 m2

     

     

Chúng ta chọn mp sao cho:

2m 

1m 

y

1

jp m

.



)m(

1 2

y1



2j 

z mjP m

1



1 m2

     

     

1

z

y

)1mn



2,Nm( 





Ta đặt:

)m( n

np m

p

m

1  2

 2mn 



card

3m  , ta có

thoả mãn

với



)2A 

  (m,1

Am



0

1



 ), nghĩa là

. Do đó, hệ thống điểm  )m( nz  F   z m m  .

 m

m

(2.3.1), (2.3.2) (vì lim 

card A m m

, lim m 



)1m( 

1 

1 2

2

z



z1 

)m( j

)m( m

)m( l1m,m 



0l 

   m\m,1j 

   

   

1m 

1 

z





z1 

)m( j

)m( m

)m( 1m,m 



1j 

1m 

z

)m( 1





z

z1 

2j 

)m( z j )m( j

z

z1 

)m( m

)m( m

)m( 1

Mặt khác, ta có:

2m

z

)m( 1

1

m

.





1 2

z

z1 

1



)m( m

)m( 1

1 m2

     

     

khi

0

1

Do đó từ Định lý 2.1 ta thấy (2.3.4) không đúng.



o

(ii) Trường hợp

2 )U(Hf

1   và  2 )m( Ta xây dựng một hệ thống điểm  nz

)U(H 2

1

sao cho tồn tại một hàm



 

 )fT(L m m

0

thỏa mãn: f trong với . Ta lý luận tương tự như

1 2

  

 ,0   

z

n

1m,...,1

trường hợp đã nói trên. Với bất kỳ , đặt

z

1

1 









)m( m

)m( n

1 2

1 3

m

m

n



   

  

card

và với



)1A 

  (m

)m( 2m  . Do đó hệ thống điểm  nz

Am

với mỗi thỏa (2.3.1) Ta có



)1m( 

1 

1 2

2

z

z1 



)m( j

)m( m

)m( l1m,m 



0l 

   m\m,1j 

   

   

1 

z



)m( j

)m( m

)m(    mm,m

 

  z1   m\m,1j 

1m 

z...

z





)m( j  mm 

 



z

z1 

j

1j 

1 )m( j

)m( m

j1 ...  1

)m( 1j 1m   

 mm 

   

   

 mm 

 

1



1

C



  mm  

  m m

1m 

1 3 1m 

  

  





1

1



3

1 2

1 

m

m

m

   

  

  

  

 1  

  

và (2.3.2), nghĩa là nó thuộc F . Ta có:

z

z





)m( j

)m( j

C k m

!m !km!k 



với (vì dãy ta chọn là các số thực nên ).

1 m

 

m

C



 m m

lim m 

lim m 



!m    !mm!m  

 



  

  

m e

Dùng công thức Stirling (xem [Chương I, Định lý 1.4]) ta được:



 

lim m 

  m  m

 mm  m

 

  m  e

 mm  e

  

  

  

  



(2.3.6)



1    1 

1   

.

1 m

 )1m(



1 

1 2

2

sup

z



)m( j

)m( m

)m( l1m,m 



lim m 

 0l

 z1    m\m,1j

   

   

    

    





 1

1    

1       )

)

 

 1  (  (  0

.1





)1m( 

1 

1 2

2

Điều này dẫn đến

sup

z





z1 

)m( j

)m( m

)m( l1m,m 



lim m 

0l 

   m\m,1j 

   

   

)U(Hf

Do đó: .

2

 )fT(L m m

)U(H 2

Dùng Định lý 2.1, ta có thể tìm một hàm sao cho f trong

0

.

0

 0

1  và  2

(iii) Trường hợp . Giả sử rằng:





2

k

,







  zf

k z

 k





0k 

0k 

deg

1m)fT(L





(2.3.7)

)fT(L m

m

m

m

1m 

km z

là một đa thức có , ta có thể viết: Vì



  z)fT(L m

m

 k

 l

0k 

m

(2.3.8)

1m 



k

z







là các hằng số. Lấy (2.3.7) trừ (2.3.8) ta được: với  kl

  zf

  z

 fTL mm

 k

 k)m( z  k



0k 

mk 

m



(2.3.9)



mk1 



  k

 k

 l m k

. với

Mặt khác, biểu diễn Hermite (xem [Chương I, (1.2.2.3)] cho ta:





  zf

  z

 fTL mm



1 i2 

   fz  m   

 d   z 

m

U 

. (2.3.10)

m

rm 

r

z

Tính trực tiếp ta được:



  z

 

 1

 m

  m  rm 



0r 



, (2.3.11)

sm z



   s

z

1 i2 

  f d     



0s 

 U m 

1

(2.3.12)

  m  0

m







z...

, với

mr1 



  r

 m j r

 

 m z j 1 j1 mj ...  1 r

m



, (2.3.13)

  s



  f d  0s     1s  

m

U 

.  1 i2 

k



k

z

Nhân (2.3.11) với (2.3.12) và thay kết quả vào (2.3.10) ta được





  zf

  z

 

rm   1

 fTL mm

)m(  rm 

)m( rk 

0k 

0r 

     

   

(2.3.14)

...

0





2

    1

k

0(

)1mk

trong đó ta đặt . Từ (2.3.9) và (2.3.14) suy ra





 

rm   1

)m(  rm 

)m(  k

)m( rk 

 

0r 

)m(

. (2.3.15)

k . Trước hết ta có:

1 2

2 

d 

m

)

f

Ta sẽ ước lượng





(  s

2

2





1 2 i 

1 2 

d f ) (   s 1  ( )   

m

0

U 

(

e

i  )

 m

    

    

m

.

z





)z( m

)m( j

 1





1j 

f

m

)

2

2

. Mặt khác:





(  s

m

)

f m card A m

)

1

1

z







  

( m j







1

z



( m j







j A  m

j 1 

Do đó . (2.3.16)

Từ (2.3.13), ta có

)m( km 

)m( j km 



m

)m( j 1 

j1 ...  1

j km 

km

card

A



m

1







j1 ...  1

j mkm 

km

card



A Cm

z z...  



k m

0

.



mk 

card

A Cm

Từ đó dẫn đến, với



  mm   

k m

)m(   km

. (2.3.17)

Chúng ta có bổ đề sau.

Bổ Đề. Với giả thiết của Định lý 2.2 thì

0

1

1

 . (2.3.18)







 ( )  

1 m m ) (  m k 

m



 limsup max     0 k m    

   

, với

f

1 m 



m

)

2

Từ (2.3.15), ta có



(  k

m ) (  m k 





1 z 

max   0 k m   

  m card A m

 m j





1





 

 j Am 

0



.

mk 

1  m m



. Kết hợp bất đẳng thức trên với (2.3.18) và (2.3.2) ta nhận được: với

   

0 k m  



  k f

m



2

  limsup max     

    

0

. (2.3.19)

 0

1  m m

1

.

Bây giờ với , xem lại (2.3.3) và (2.3.19) ta có:





   

  k f 

m



2

  limsup max   0 k m    

    

1 

m 

(2.3.20)

 

  0

m



f

ta có thể tìm một sao cho: Do đó, với



m 



  

 m m



  k

2

max  0 k m  

 

. (2.3.21)

1m 



 

k

Từ (2.3.7), (2.3.8) ta được

 km z







  zf

   zfTL mm

      k

0k 

 z  k   1  

  1mk  

.

m 1 





 

2

2

2

m



f

Từ đó dẫn đến







k 

 L T f m m

  k

    

2

k 0 

1

k

m 1 







    

 

.



2

2

2m

f

1

f

Do đó từ (2.3.21) ta được:



m 1 





 L T f m m

 k

 

   

    

2 2

2

k

m 1 

1 





    

 

f

(2.3.22)

trong

khi



m

UH 2 

 fTL mm

. Từ đó suy ra:





'

'

1k 

f

f

z

f

' 

UH  2

k  k

2 k  k



   z 

2

k 0 

0k 

    

1  22   

Nếu thì ta có và .



f

2

Điều này cho thấy:



 k

2 

m 1 

k

m 1 

1 



' 2 2 2 





    

 

. (2.3.23)

Kết hợp (2.3.22) và (2.3.23) ta nhận được:

2

2m



 L T f m m

 

   

    

2 2

2

2 

' 2 2 2 



f . f 1 f  m 1   m 1 

Định lý 2.1 được chứng minh xong sau khi ta chứng minh Bổ đề .

Chứng minh bổ đề.

0

Chúng ta phải xét các trường hợp:

1  2

i)

 1

1 2

C

...

C

ii)





1 m

m  m

m



  

m

 

1 m

m

card A m

C

Nếu (i) đúng thì . Do đó (2.3.17) suy ra:

1  



 m m

  m  m k 

max  0 k m  

 

0

 ta có:

m

. (2.3.24)

cardA m m

Từ (2.3.24), (2.3.6) và giả thiết lim 

1







     

1   m m  m k 

 

m



1

 



1    

1    

  limsup max   0 k m   

    

.

Nếu (ii) đúng, từ (2.3.17) ta được:

m



  

card A m m

1 m

1  2 



) ( m  m k 

max   0 k m   

m

m

C

2

(2.3.25)



k m

0k 

. trong đó ta đã dùng đẳng thức: 

1 m

1

Từ đây suy ra:

1   2 







 ( )  

  m  m k 

 

m



  limsup max   0 k m   

    

.

Do đó bất đẳng thức (2.3.18) đúng. Ta đã chứng minh xong Bổ đề và cũng chứng minh

xong Định lý 2.1. 

Cuối cùng, để có được kết quả chỉnh hóa trong trường hợp dữ liệu bị nhiễu, ta

nêu một số khái niệm.

Đặt



D m

m

)

z

z

)

(



z ( )  m m ( ' ) ( z ( )  m n n

 max max   z 1 1 n m    

   

R

.



 ,1: 

D)1

Cho là một hàm tăng thoả:





m(m)m( 



)1m( 

m

(2.3.26)

  .

t lim ( ) t 



1 2

(2.3.27)

(m

)

(



  1    

  )  

Ta đặt: .

(m 

)

0

0,0

0,

(

1













)  

Rõ ràng là khi .

Định lý 2.3. Cho

 0

1 2

và

 n

)m(

Giả sử thỏa:

m

(

(

)

) )m

f z (



 

n

 n





sup max 1 n m  

m

,

0

(

2 )U(H'f,f

,

)

) 0 

(o 

'

f

( ) 

1 2

f

m

1 f

( ) 





m   





 L m

( ) 

T m

) (   ( )





2

2

m

( ) 

2 1 



 

)

,...,

thì có một sao cho, với mọi và ,

(T m

)m(  m

 )m(   1

(2.3.28)











 m Dm1m

 m

m

Ch(cid:129)ng minh: Tr(cid:129)(cid:129)c h(cid:129)t ta ch(cid:129)ng minh r(cid:129)ng  )T(L)fT(L  m 



với .

m

.

fT(L

))(

)z













 zf



m

m

T(L m

)m( n

)m(  n





z

z

z(

)





)z(  m  )m( '  m n

)m( n

0n 

Thật vậy, ta có:

)

(

)1

Dm

z









Bằng cách tính trực tiếp ta được:

 z )()

fTL ( mm

TL ( m

m



. (2.3.29) 

1m 

Mặt khác ta có



 )z()T(L)fT(L

m

m

m



k)m( z  k

  

0k 

d) 

  ()T(L)fT(L 

m

m



(2.3.30)



)m(  k

m 1k 



1 i2 



U 

với . (2.3.31)

mD m

)m(   k

Từ (2.3.29) và (2.3.31) ta có: . (2.3.32)

Từ (2.3.29) và (2.3.32) suy ra:













 mm

 m D1

 fT(L m

m

 )z)(T(L)z)( m



   1mk  

k)m( z  k   

,

nghĩa là (2.3.28) đúng.

Bây giờ ta có

)

)

f

f

f

f

( )) 

( )) 











 L m

T ( m

 L m

T ( m

 L m

T ( m

 L m

T ( m

( ) 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) 

2

2

2

.

'

f

( ) 

f

m

1

f

m

( )) 

m ( )  

( ) 





m ( )   









 L m

T ( m

 1 D m

( ) 

( ) 

( ) 

2

2

m

( ) 

2 1 



 

Dùng Định lý 2.2 và (2.3.28) ta được:

 m ta có:



1 2

Từ định nghĩa của





) 





 (m

 (m) 

 (m)

 D1

(m

)



.

'

f

( ) 

f

m

1

f

Do đó:

1 2 





m ( )   





 L m

T ( m

)) (   ( )

( ) 

2

2

m

( ) 

2 1 



 

.

Ta chứng minh xong Định lý 2.3. 

Tài liệu tham khảo

[1] Ang, D. D., Gorenflo, R., Le, V. K. and D. D. Trong, Moment Theory and Some

Inverse Problems in Potential Theory and Heat Conduction, Lect. Notes Math.

1792 (2002).

[2] Gaier, D., Vorlesungen u ber Approximation im Komplexen, Basel-Boston-Stutgart,

Birkhauser Verlag 1980.

[3] Guelfond, A. O., Calcul des Différences Finis, Paris, Dunod 1963.

[4] Hoffman, K., Banach Spaces of Analytic Functions, Englewood Cliffs (N.J., USA),

Prentice – Hall Inc. 1962.

[5] Huy, N. V., Nhan, N. V. and D. D. Trong: Reconstruction of Analytic Function on

the Unit Disc from a Sequence of Moments: Regularization and Error Estimates,

Acta Math. Vietnamica 27 (2002), 307-320.

[6] Patington, J. R.: Interpolation, Identification, and Sampling, Oxford, Clarendon

Press 1997.

[7] Taylor, A., Advance Calculus, New York et al, Blaisdell Publ. Comp. 1965.

[8] Trong, D. D., Nam, L. Q., Luc, N. L., and T. T. Tuyen: Reconstruction of

pH

Functions: Best Approximation, Regularization and Optimal Error

Estimates. J. Math. Anal. Appl. (submitted 2002).

pH - Functions, Amer. Math. Soc. 90 (1984).

[9] Totik, V., Recovery of

[10] Rudin, W., Real and Complex Analysis, New York, McGraw – Hill Co. 1987.

[11] Trong, D. D. and D. D. Ang: Reconstruction of Analytic Functions: Regularization

and Optimal Recovery. Preprint 1997.

[12] Walsh, J. L.: Interpolation and Approximation by Rational Function in the

Complex Domain. Providence (R.I., USA): Amer. Math. Soc. 1960.

CHƯƠNG 3

CHỈNH HÓA MỘT BÀI TOÁN NHIỆT NGƯỢC RỜI RẠC

BẰNG CÁC HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC LAGRANGE BỊ CHẶT CỤT

3.1. Giới thiệu

Trong chương này, chúng tôi xem xét việc chỉnh hóa một bài toán nhiệt ngược

rời rạc.

u 

t,xu 

0

t,x

Cho biểu diễn sự phân phối nhiệt độ thỏa phương trình nhiệt sau







1,0 

ut  u 

R (3.1.1)

0,xu 

T,xu 

Bài toán nhiệt ngược là tìm nhiệt độ ban đầu từ nhiệt độ cuối . Để cho

đơn giản ta giả sử 1T  . Đây là bài toán không chỉnh (xem [10]) và đã được nghiên

cứu từ lâu. Như đã trình bày trong phần mở đầu, bài toán được xem xét bởi nhiều tác

giả với nhiều cách tiếp cận khác nhau.

Trong thực hành, ta chỉ lấy nhiệt độ được đo tại một tập điểm rời rạc. Nghĩa là

  j 1,xu

 j

(3.1.2)

Do đó bài toán tìm nhiệt độ tại thời điểm ban đầu từ những giá trị nhiệt độ cuối, rời rạc

là cần thiết. Bài toán trong trường hợp này là đặc biệt không chỉnh. Vì vậy ta cần chỉnh

hoá bài toán. Theo hiểu biết của chúng tôi thì các tài liệu về hướng này là rất hiếm.

y,x

 

2

2 y 

Trong [41], chúng tôi dùng đa thức Legendre được dịch chuyển (shifted – Legendre) để

,

 xe 

  ) là quá nghiêm

y,xu 

 x y



x y ,

lim   

chỉnh hoá một dạng rời rạc của bài toán nhiệt ngược trên mặt phẳng. Tuy nhiên giả  thiết rằng nhiệt độ có bậc (

ngặt. Ở chương này, điều kiện trên được loại bỏ hoàn toàn.

Chúng tôi sẽ xem xét một dạng rời rạc của bài toán ngược cho phép biến đổi

Weierstrass

2

x









1

j 2

   

   

v

e



  

 xvW



j

d   j







(3.1.3)

  

0,2u  

jxWv    .

. Sau đây ta sẽ ký hiệu Wv là dãy với  v

2



x 2

e

f

2 L

Trước hết, chúng ta đưa ra một vài định nghĩa. Ký hiệu



2L(R) = { f: R R | f là đo được Lebesgue và

(R)}.

2L(R) là không gian Hilbert với chuẩn

 

1 2

2

2

x



f

e

dx



  f x





2L R  



   

   

Không gian



2x



g,f

g,f

,dx

và tích trong







    exgxf





với 2L(R).



l

R







 

 j

 |

, sup j

      j j 

  

Chúng ta cũng ký hiệu





 j



sup j

. với chuẩn

z R} và

z R}.

RB

RC

C | C | Với R > 0, ta ký hiệu { z { z

 1 BH

R



n





n z

   z 

0n 

là không gian Hardy của các hàm Ta cũng ký hiệu

giải tích trên đĩa RB với chuẩn



2n

R





 n

2 1  BH

  

R

0n 

.

2 

Dùng đẳng thức Parseval ta có thể viết lại chuẩn nêu trên dưới dạng khác.





 Re 

  2 i  d

2 1  BH



R



1 2 

0

.



 2,0



 Rei 

 M

Nếu với mọi thì đẳng thức trên cho ta



2 1  BH

 M 

R

.

Phần còn lại của chương được chia thành ba mục. Ở mục 3.2 chúng tôi sẽ

chuyển bài toán đang xét thành một bài toán nội suy hàm giải tích và chứng minh một

kết quả về tính duy nhất. Trong mục 3.3, chúng tôi tìm các hàm chỉnh hóa bởi sự kết

hợp giữa đa thức Hermite và các hệ số của đa thức Lagrange. Cuối cùng chúng tôi đưa

ra một vài ví dụ bằng số trong mục 3.4.

3.2. Sự trình bày lại bài toán và tính duy nhất nghiệm



n



2 



 z 

2 

e

e

H

Dùng đa thức Hermite (xem [Chương I, mục 1.5]) ta có thể viết



  z 

n



1 !n

0n 

.

n

d

2 

2 



H

e

  

 

n  e1

n

n

d 

n !n2





H,H n

m

 nm

0

1

Nhắc lại rằng

mn 

nm 

nn  Ta sẽ tìm một dãy  na sao cho



v





  

 0,2u 



  

n Ha

n



0n 

khi và . với

nH trong không gian 2L(R) ta có thể thay thế khai

thỏa (3.1.3). Từ tính trực giao của 





 j

xa n

n j



0n 

triển nói trên vào (3.1.3) và nhận được



n

Nêú đặt

n za

    zv 

0n 

(3.2.1)

thì rõ ràng ta có





  jxv 

 j

. (3.2.2)

  zv

thỏa (3.2.2). Trước hết Do đó bài toán được trình bày lại thành bài toán cổ điển là tìm dãy  na (và xây dựng một hàm v) từ những giá trị được xác định 

j sao cho  v .



chúng tôi đưa ra một số tính chất của hàm

Bổ đề 3.1. Cho   xv

0,x2u 



v



  

  

n Ha

n



0n 

thuộc 2L(R). Nếu v có khai triển

2

n !n2

(3.2.3)



n

  a 0n 

thì

2 . Ở đây, lưu ý rằng bậc của hàm nguyên f

  .v

và hàm là một hàm nguyên bậc

ln ln





ln

  M r f r

r

limsup 

là số



  f z

  M r f

max r z 

. với

Chứng minh: Như đã đề cập, các hàm

nH thỏa

n !n2





H,H n

m

 nm

0

1

mn 

nm 

nn 



v



  

  

n Ha

n



0n 

với khi và . Vì



2

n 2 n

v

!

ta có





 

a n





2 2  L R 

n 0 

. (3.2.4)

 v là hàm nguyên. Thật vậy, xét chuỗi lũy thừa



n

n za

    zv 

0n 

Ta chứng minh

v

2





a n

2 2  L R  n 2 n

!

Từ (3.2.4) ta có

Suy ra

lim n n 

R

Vậy chuỗi lũy thừa có bán kính hội tụ

, hay là hàm nguyên.

Bây giờ ta ước lượng bậc của hàm . Ta có thể tính bậc của hàm  theo công

thức sau (xem [Chương I, Định lý 1.6]):





ln

n

limsup 

ln n n  / 1 a n



Từ phương trình (3.2.4) ta có

1

n !n2C

C

v

, với





2



2  2  L R 

a

n

Mặt khác, theo công thức Stirling (xem [Chương I, Định lý 1.4]):

n

n



!n

 ne



enn2 

0  a n

với





 n



1   1n12

1 1n12  

Do đó

n

n

n !n2

Từ đó suy ra

1

ln

nlnn





lnnnlnln 

2

2 e

  

  

  

 1C  1 

a

n

   

   

với

1C là hằng số chung. Do đó

2n

n

ln





2

n

limsup 

ln

/ 1 a n





2





n

n

ln ln

n / 2 e

ln



n

limsup 

ln 2n  ln n n 



C 1





Bổ đề được chứng minh.



Bây giờ ta có một kết quả về tính duy nhất.

0 . Nếu

n n2   2 e      

Định lý 3.1. Cho





1 2

 



1n 

nx

2L(R).

có một điểm tụ trên trục thực mở rộng

Điều kiện sau trong định lý có nghĩa là dãy  nx

thì bài toán (3.1.3) có nhiều nhất một nghiệm v

R

phải đủ “trù mật” gần  .

 

. Hơn nữa nếu điểm tụ này là  thì dãy  nx

Chứng minh: Cho

1 v,v

2

2L(R) là hai nghiệm của (3.1.3).



v

v

v

Đặt

, ta sẽ có (như ở mục 3.1)







n Ha

n

v 1

2

và giả sử rằng 

1n 

,0

j

,2,1

...





  xv 



j



n

,2,1

...

với

. Từ đó suy ra các điểm

là các không điểm của hàm



j,x j

n za

    zv 

0n 

,2,1

...

có một điểm tụ hữu hạn thì theo định lý về tính đồng



nguyên . Nếu các

j,x j

,2,1

...

nhất ta có

. Nếu các điểm

không có điểm tụ nào thì không mất



v 

  0

j,x j

x



tính tổng quát ta giả sử rằng

và

.

x

...





j

x 1

2

lim j 

, ta được (xem [33], tr. 18 hay mục 1.6.2, Chương 1):

Vì bậc của

v 

  2



inf

2

.







n 1 

1 x  n

  |    

       

Từ đó suy ra



.



1 2

 



1n 

nx

. Suy ra

Điều này mâu thuẫn. Vậy trong cả hai trường hợp ta đều có

v 

  0

...

hay

0v  . Định lý 3.1 được chứng minh.





,2,1n,0 

an

3.3. Chỉnh hoá và ước lượng sai số

Giả sử có một

0R  sao cho

sup j x j

z

z

z

z

Đặt

và

.





  z 





 ...

  l

 j 

n

0

n

Ký hiệu

là đa thức Lagrange có bậc nhiều nhất là n, nghĩa là

nL 

n

L



 

  z

n

 j



x

 n  x

  z  z 



j

j

'  n

0j 

thỏa

.



  x 



j

L n

 j

R .

là hệ số của

jz trong khai triển của đa thức Lagrange

,

Ký hiệu  

n jl

nL 

nghĩa là

n

j

.

(3.3.1)

l

z



 

 

 

 

zL n

n j



0j 

Chúng tôi sẽ xây dựng một dãy chỉnh hóa. Ký hiệu

là số nguyên lớn nhất thỏa

n0k

.

(3.3.2)

 k2

 kln1

n0

n0

k

  .

Ta có thể dễ dàng kiểm tra lim 0n

n



sao cho

Chọn một dãy  nk

0

k

k

,

(3.3.3)





  .

k 0n

n

n

lim n 

bởi hàm



Với mỗi n, xấp xỉ hàm   xv

0,x2u 

.

(.3.3.4)

l



 

  x

 

 

T n

n j

  xH j

nk 

0j 

Bây giờ ta kiểm tra  nT là một dãy chỉnh hóa.

Trước hết chú ý rằng

l:Tn

2L(R) là bị chặn, như vậy điều kiện (i) trong mục 3.1 thỏa. Trong Định lý 3.2 dưới đây chúng tôi sẽ chứng minh  nT thỏa (ii) và trong Định lý 3.3 thì  nT thỏa (iii). Thật vậy, ta có được kết quả chỉnh hóa đưới đây

trong trường hợp các dữ liệu là chính xác.

là dãy như ở (3.3.3),

lnn  3 2      

1R  và v

Định lý 3.2. Cho  nk

2L(R) như trong Định lý

3.1. Đặt

. Khi đó

Wv 

F n 

T n

0 khi n

v F 



  .



2 n L R  

2L(R) thì ta có thể tìm một 0n sao cho

n

2

8 R

v

e

v

'

Hơn nữa nếu 'v

n 





0n

v F  n







2 2  L R 

2 2  L R 

2 2  L R 

2 3

1 k

  

  

n

k

k

...

với .



,2,1n, 

n0

n

n

2

8 R

thì bất đẳng thức trên có thể viết lại như sau Nếu chọn

n 

0n







2 2  L R 

2 2  L R 

2 2  L R 

với . ' v e v   v F  n 2 3 1 n      

j

k

1

Trước khi chứng minh Định lý 3.2 chúng tôi đưa ra một số nhận xét và bổ đề sau.

jz (



n 

Chúng tôi lưu ý rằng các hệ số của ) trong khai triển của đa thức

jz

Lagrange (3.3.1) đã bị chặt cụt trong (3.3.4). Nếu dùng các hệ số của

nL trong (3.3.4) thì ta sẽ nhận được các hàm xấp xỉ không ổn định của

(với j lớn) của

v. Để minh họa cho điều này chúng tôi sẽ đưa ra một ví dụ trong mục 3.4. Thật vậy, ta

k

n

j

L

z



  z

nk

n j

n

  l

0j 

có thể nói rằng

 v

là đa thức Lagrange bị chặt cụt (xem [60] hay Chương 2). Vì vậy phương pháp chỉnh hóa của chúng tôi là dùng các hệ số của đa thức Lagrange bị chặt cụt. Bổ đề 3.2. Cho ,v  như trong Bổ đề 3.1. Khi đó

 1 BH

R

2

2

R 2

e

v





  v



2 2  L R 

1  H B



R

là một toán tử tuyến tính bị chặn thỏa : 2L(R)

Chứng minh: Ta có





n2

2

2

R

n2

a

R

n !n2n

a







  v

n

n

2 1  BH

  



R

n !n2n

0n 

0n 



2n

v





2 2  L R 

R  n ! 2 n

n 0 

2

R 2

.

e

v





2 2  L R 

Ta chứng minh xong Bổ đề 3.2.

là các điểm

Bổ đề 3.3. Cho

 v

,v  và dãy  na như trong Bổ đề 3.1. Giả sử  jx

2n

n



2

2

2

8 R

2 j R a

l

2 j R a

e

v





j

  n j

j







2 2  L R 

1 2    9 3 

  

j 0 

j n 1  

trong đĩa RB . Khi đó ta có

Chứng minh: Để cho ngắn gọn, ta ký hiệu  thay cho

 v . Ta có biểu diễn Hermite

dt









  z

  zL n

  t  t z 

1 i2 

  z   t

 n  n

 R4C

(xem [Chương 1, (1.2.3.3)])

R4Ct 

  t 

 R3

n

n

Với mọi ta có

Rz 

Mặt khác ta có với mọi

  z 

 R2

n

n

Cần chứng tỏ rằng

n

.





1 BHn





1  BH

R4

R

. L   1 3 2 3      

iRe4

z  , R

t 

i 

n



dR













  z

  zL n



1 2 

 Re4  RR4 

2   R2  R3

 n 

0

2 



 Re4 

  i  d



1 3

2 3

1 2 

  

n   

0

Thật vậy, với thì

2 

n

1 2



 Re4 



1 3

2 3

1 2 

  

  

0

   

  2  i   d  

1 BH 

R4

n   

.  1 3 2 3   

2

i 

i 

L

Từ đó dẫn đến









d 

2   Re 



 Re



L n





2 1  BH



R4

2 1 BHn R



1 2 

n2   

0

.  1 9 2 3   

2n

n



2

2

2

8 R

.

2 j R a

l

2 j R a

e

v





j

  n j

j







2 2  L R 

1 2    9 3 

  

j 0 

j n 1  

Theo Bổ đề 3.2 ta có

Bổ đề 3.3 được chứng minh xong. 

Bổ đề 3.4. Cho f



.

f



n Hc

n



0n 

2L(R) thỏa 'f 2L(R) và



n 2 n

f

!

'

Khi đó ta có





2 2 n c n





2 2  L R 

n 0 

.

Chứng minh: Chú ý rằng

nH thỏa phương trình vi phân (xem [Chương 1, (1.5.2.4)])

ny2

0

'xy2"y 





.

nH thỏa

2

2

x

x





'y

e

nye2

0

Từ đó dẫn đến



  

'   

.

Do đó ta có



2

x





'f

e

c

2 x He

n

' n



  

'   

  

'   

0n 



2

x





eHcn2 n

n

0n 

.  

nH và theo tính chất trực giao của

nH ta có

x2



 e

dx

cn2

n !.n2





 

  xHcx'f n

n

2 n





Lấy tích trong trong 2L (R) đối với

0



 sao cho

n0k

n,a 0 0

j

,

.

2!j

0

j 

n0k

3 2

n   

   và sao cho

như trong (3.3.2), tồn tại Ta đã chứng minh xong bổ đề 3.4. Bổ đề 3.5. Với 

n 

0a

n

k n0 

với mọi

n 

0n

với mọi .

Chứng minh: Với mọi

ta có



k 



 e2ln  



 1k

kln

22e k  4 

 ek2ke2ln

2ln

kln

klnk









 e2ln  



 1k



1 2

kln 2ln     1 2







  kln1k2

 kg

1 

k

576

22 e

.



4 

 576



n0k

n0

0

n a g ln , theo định nghĩa ta có . Với mọi   3 2      

n 

0a

Do đó, ta có với





 k2

 kln1

 ek2



n0

n0

n0

n0

 ke2ln 

n0k

.

n0k

Vì thỏa

lnn



 k2

 kln1

n0

n0

3 2

  

  

n 

0a

nên với ta có

 ek2



 ke2ln 

n0k

n0

n0

. lnn 3 2      

k n0

k n0

k

2!

Dùng công thức Stirling ta được





ke2 

 ke2



n0

n0

n0

.

k n0

k n0

.

k

2!



ke2 



 ke2



n0

n0

n0

3 2

  

n   

k2

lnn









Vì 

  kln3

 1

 k2

 kln1

n0

n0

n0

n0

3 2

  

  

Suy ra

n

n0k

ln

n

    . 2

lim n 

   ln

3 2 k 0n

k 0n

nên ta có khi và

2k

ln

n

k 0n



 0



lim n 

lim n 

2k

n ln

k 0n

0n k 0n

0n

k 0n

n

Từ đó dẫn đến

n 

n  0

a 0

k n0 

0n

sao cho với mọi . Do đó ta có thể tìm một

Bổ đề 3.5 được chứng minh. 

Chứng minh Định lý 3.2.

nH ta có

k



n

2

2

j

j

a

l

! j 2

! j 2











v F  n

j

  n j

a n







2 2  L R 

j 0 

1 j k   n

Với 1R  , vì tính trực giao của 



j

j

j2 aR

l

2!j





j

2n   j

j

2!j j2

nk  



 R

0j 

2 a  1

kj  n



j

j

j2 aR

l

2!j

2!j







j

2n   j

j

nk  



0j 

2 a  1

kj  n

.

2n



2

2

j

8 R

2!j

Theo Bổ đề 3.3 ta có



j





2 2  L R 

2 2  L R 

a 1

kj 



n

. v e   v F  n .  1 2   9 3    

n



2

k

j

8 R

n

2!j

v

e

Dùng Bổ đề 3.5 ta được







j

v F  n

! k 2 n







2 2  L R 

2 2  L R 

2 3

  

  

2 a  1

kj  n

.



2

j

Ta nhận được theo Bổ đề 3.1

a

0

! j 2





j



lim n 

1

j k   n

.

v F 

 . 0



2 n L R  

lim n 

Suy ra



2

j

a

v

j 2 !

'





j





2 2  L R 

1 k

n

j k 1   n

Bây giờ nếu 'v 2L(R) thì theo Bổ đề 3.4 ta có

n

v

v

'

dẫn đến





v F  n







2 2  L R 

2 2  L R 

2 2  L R 

2 3

1 k

  

  

n

.

k

n

Điêù này chứng minh ước lượng thứ nhất trong Định lý 3.2.

n 

k  n

n0

kn 

0n

Nếu thì Bổ đề 3.5 cho thấy với . Do đó

n

v

v

'





v F  n







2 2  L R 

2 2  L R 

2 2  L R 

2 3

1 n

  

  

.

Định lý 3.2 được chứng minh xong. 

0 và

1,xu   

  j 

j

Cho là một dữ liệu bị nhiễu của thỏa Bây giờ ta xem xét trường hợp các dữ liệu bị nhiễu.   xWv

    j



   .

j

 ,j u x 1



sup j



D m



z









  z  m '   m

x n

x n

  max max  1 n m z R   

   

Trước hết đặt

nk





  



 F n

T n

j

  n Hl j 

0j 

jz trong khai triển của đa thức Lagrange

và

jl  là hệ số của

n

với  n



 j

L n 



z

  z  m   z z 



'  n

j

j

0j 

.

n 2

,





 





  n



  x

 n 1 D n

lim x 

3 2

  

  

Cho  là một hàm tăng sao cho

1

1 2

n

1





   

   

   

        

và

ta sẽ chứng minh

với  x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Dùng hàm  n được  nT thỏa điều kiện (iii).

là một dữ liệu đo được của

2L(R). Cho

1R  và v

 0 và  j

thỏa

Định lý 3.3. Cho 1,xu j   

   .

j

 u x 1 ,j



 sup j

.









   

v F  n

 v F    n 

  





2  L R 

2  L R 

Khi đó ta có

2L(R) thì

n

  

2

2

.

'

2 v

v

2 







 v F     n



2 2 L 

2 2  L R 



2 3

k

2  L R 

  

  

n

  

k

0

Hơn nữa nếu 'v

k  n

n0

0 

n

  

2

'

2 v

v

2 







 v F     n





2 2  L R 

2 2  L R 



2 3

2  L R 

  

  

n

2   

0

Trong bất đẳng thức trên, nếu thì tồn tại một số sao cho

 0

với .

Chứng minh: Trước hết ta cần chứng minh rằng

n 2

.





 F n



2  L R 

Theo Bổ đề 3.5 ta có

k

n

2

j

l

! j 2





F n

 F n

2   n   j

  n  l j



2  L R 

j 0 

j

j2 lR

l





  n j

2n   j 

2!j j2

nk 

 R

0j 

n

j2 lR

l





  n j

2n    . j

nk 

3 2

  

  

0j 

n 1   F n D n 3 2        

Do đó

n

2







F n

 F n

L n

L 



2 n H B 1  R



2  L R 

3 2

  

  

. (3.3.5)

n

Mặt khác





  z

  zL n

    j

j

L n 



x

  z  n  z 

 x



 '  n

j

j

0j 

.

n

D



L n

   j

j

n

L 

 BHn 1

  

R1

0j 

Suy ra



  nD1n 

.

n 2

Vậy ta có





 F n



2  L R 

n 1 .   F n D n 3 2        

Đến đây ta có

 v F  n

 F n



2  L R 





2  L R 

2  L R 

   . v F  n F n

n 2

Do đó

 

 v F  n

 n 1 D n



2  L R 



2  L R 

.    v F  n 3 2      

n 

 n

.







v F  n

 v F    n 

  





2  L R 

2  L R 

ta có Với thì theo định nghĩa của  n

0

 . 0

 v F    n 

lim 0 



2  L R 

2L'v

khi nên từ Định lý 3.2 và bất đẳng thức trên ta có Vì   n

 (R) thì từ Định lý 3.2 và (3.3.5) ta nhận được

Bây giờ nếu

n

n

  

2

2

2 2

2 v

v

'









2   2 n 1 e D n

 v F    n 





2 2  L R 

2 2  L R 



2 3

k

3 2

2  L R 

  

  

  

  

n

  

.

n

  

2

2

.

2 v

v

'

2 







 v F    n 





2 2  L R 

2 2  L R 



2 3

k

2  L R 

  

  

n

  

k

0

ta có Từ định nghĩa của  n

k  n

n0

0 

n

0

Cuối cùng, nếu thì Bổ đề 3.5 chứng tỏ rằng tồn tại một số sao cho



 

kn

 0

  

với mọi . Do đó chúng ta sẽ nhận được sự ước lượng như

mong muốn.

Ta đã chứng minh xong Định lý 3.3.

3.4. Các ví dụ bằng số

j

,2,1,0

...

,

100

,

Chúng tôi sẽ đưa ra hai ví dụ bằng số như sau.





x j

1 1j 

1

. Chúng tôi chọn hàm Trong ví dụ thứ nhất, xét





 1

j

102 

1  20

1j 

và dữ liệu bị nhiễu là . chính xác là  v













l,

l,

l,

l,

l,

Từ dữ liệu trên chúng tôi tính (bằng Maple) được 6 hệ số đầu tiên của đa thức

 l

 . Đó là

 100 4

 100 5

 100 0

 100 1

 100 2

 100 3

14

20

10







2575

.

000000

10

546062500

10

.1,

094478041

10

,

1[:s 





.6, 





4 

7 

1 

.1

354054633

10

.1,

322015356

10

060903238

10

]

Lagrange tương ứng







.1, 



.

4

Nếu dùng 5 hệ số đầu tiên của đa thức Lagrange tương ứng, chúng tôi nhận

H



F 1

 100 j

j

 l

0j 

2

001586418

.0

0000016248

65429

0063456732

x71

.1:F 



.0x 

1

được xấp xỉ dưới đây của v

3

4

.0

0000010832

43706

x

.0

0021152245

x70





20

2

x



dx

.0

0034489715

24

.





  exv

  xF 1



20



. Ta có

1F (xem hình dưới đây). Xấp xỉ này là rất tốt

Chúng tôi có đồ thị của hai hàm v và

2,2

. trên đoạn 

5

Nêú dùng 6 hệ số đầu tiên của đa thức Lagrange tương ứng, chúng tôi nhận được xấp

H



F 2

 100 j

j

 l

0j 

2

001586418

.12

73083724

0063456732

x71

.1:F 



.0x 



2

3

4

5

.16

97445073

x

.0

0021152245

x70

.3

394890362

x

của v xỉ dưới đây





.

20

2

x



dx

.8

752434897

Ta có





  exv

  xF 2



20



.

j

,2,1,0

...

,

140

,

Trong trường hợp này, chúng ta thấy rằng sai số lớn hơn nhiều so với trường hợp trên.





x j

1 1j 

1

và chọn hàm Trong ví dụ thứ hai, chúng tôi xét





 1

j

102 

1  20

1j 

và dữ liệu bị nhiễu là . chính xác là  v













l,

l,

l,

l,

l,

Từ dữ liệu trên chúng tôi tính được 6 hệ số đầu tiên của đa thức Lagrange tương

 l

 . Đó là:

 140 4

 140 5

 140 0

 140 1

 140 2

 140 3

20

13

10







:s

1[

5005

. 000000

10

481893750

10

.8,

126181478

10

,







.2, 





2 

5 

.0

1976424306

10

.0,

3808576622

10

056645660

]

ứng







.6, 

.

4

Nếu dùng 5 hệ số đầu tiên của đa thức Lagrange tương ứng, chúng tôi nhận

H



F 3

 140 j

j

 l

0j 

2

045702918

.0

0000237170

9117

1828116746

x

.1:F 



.0x 

3

3

4

.0

0000158113

9445

x

.0

0609372259

x5

của v được xấp xỉ dưới đây





.

20

2

x



dx

.0

0993609613

8

Ta có





  exv

  xF 3



20



.

5

Mặt khác, nếu dùng 6 hệ số đầu tiên của đa thức Lagrange tương ứng, chúng tôi nhận

H



F 4

 140 j

j

 l

0j 

2

3

045702918

726

. 7974555

1828116746

x

969

.

0632898

x

.1:F 



.0x 



4

của v được xấp xỉ

4

5

.0

0609372259

x5

193

.

8126611

x





.

20

2

x



dx

499

.

6722779

Chúng tôi có ước lượng sai số





  exv

  xF 4



20



.

Trường hợp này cho thấy sai số là rất lớn nếu ta dùng quá nhiều hệ số của đa thức

Tài liệu tham khảo

[AH] Ames, K. A. và Hughes, R. J., Structural stability for ill-posed problems in Banach

spaces, Semigroup Forum, 70, 2005, 127-145.

[AY] Alekseeva, S. M. và Yurchuk, N. I., The quasi-reversibility method for the problem of

the control of an initial condition for the heat equation with an intergral boundary

condition, Differential Equation 34, N0. 4, 1998, 493-500.

Lagrange.

[BBC] Beck,J.V., Blackwell, B., và St. Clair, C. R., Inverse heat conduction, ill-posed

problems, Wiley, New York-Chichester, 1985.

[BE] P. Borwein, T. Erdelyi, Polynomials and polynomial inequalities, Springer-Verlag, New

York Inc., 1995.

[CO] Clark,G. và Oppenheimer, C., Quasireversibility Methods for Non-Well-Posed Problem,

Electronic Journal of Differential Equations, Vol.1994, N0. 08, 1-9.

[D] Ditzian, Z., Inversion of Weierstrass transformation for generalized functions, J. Math.

Anal. Appl. 32, 1970, 644-650.

[DB] Denche, M. and Bessila, K., A modified quasi-boundary value method for ill-posed

problems, J. Math. Anal. Appl., Vol. 301, 2005, 419-426.

[GZ] Gajewski, H. và Zcharias, K., Zur Regularizierung einer Kklasse nichkorrec-ter

probleme bei Evolutionsgleichungen, J. Math. Anal. Appl. 38, 1972, 784-789.

[I] Isakov, V., Inverse problems for partial differential equations, Springer-Verlag, New York

Inc., 1998.

[L] B. Ya. Levin, Lectures on entire functions, AMS, Providence Island, 1996.

[LL] Lattes, R. và Lions, J. L., M e thode de Quasi-Reversibilit e et Applications, Dunod,

Paris, 1967.

[G] Gaier, D., Lectures on Complex Approximation, Birkhauser, Boston-Basel- Stuttgart, 1987.

[MST] T. Matsuura, S. Saitoh và D. D. Trong, Approximate and analytical inversion formulas

in heat conduction on multidimentional spaces, J. of Inverse and Ill-posed Problems, 13,

2005, 479-493.

[MS] T. Matsuura, S. Saitoh, Analytical and numerical inversion formulas in the Gaussian

convolution by using the Paley-Wiener spaces, Applicable Analysis, Vol. 85, N0. 8,

2006, 901-915.

[M] Miller, K., Stabilized quasi-reversesibility and other nearly-best-possible methods for

non-well-pose problems, Symposium on Non-Well-posed Problems and Logarithmic

Convesity, in: Lecture Notes in Math. Vol. 316, Springer-Verlag, Berlin, 1973, 161-176.

[P] Payne, L. E., Some general remaks on improperly posed problems for partial differential

equation, Symposium on Non-Well-posed Problems and Logarith-mic Convesity, in:

Lecture Notes in Math. Vol. 316, Springer-Verlag, Berlin, 1973, 1-30.

[QLT] P. H. Quan, T. N. Lien và D. D. Trong, A discrete form of the backward heat problem

on the plane, International Journal of Evolution Equations. Vol.1, N0. 3, 2005.

[Ro1] Rooney, P. G., On the inversion of the Gaussian transform, Cand. Math. Bull.9, 1957,

459-464.

[Ro2] Rooney, P. G., On the inversion of the Gaussian transform.II, Cand. Math. Bull.10,

1958, 613-616.

[Ro3] Rooney, P. G., A generalization of an inversion formula for the Gauss transformation,

Cand. Math. Bull.6, 1963, 45-53.

[Sa] S. Saitoh, The Weierstrass transform and an isometry in the heat equation, Applicable

Analysis, Vol. 16 ,1983, 1-6.

[SH1] Showalter, R. E., Quasi-reversibility of first and second order parabolic evolution

equations, Improperly posed boundary value problems (Conf. Univ. New Mexico,

Albuquerque, N. M., 1974), 76-84. Res. Notes in Math., N0.1, Pitman, London, 1975.

[SH2] Showalter, R. E., The final value problem for evolution equations, J. Math. Anal. Appl.,

Vol. 47, 1974, 563-572.

[T] Taylor, A., Advance Calculus, New York et al, Blaisdell Publ. Comp. 1965.

[TL] Đặng Đức Trọng và Trần Ngọc Liên, Reconstructing an analytic function using

truncated Lagrange polynomials. Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwen dungen,

[YQ] YongZhong Huang and Quanzheng, Regularization for a class of ill-posed Cauchy

problems, Proc. Amer. Math. Soc., Vol. 133, 2005, 3005-3012.

[Z] Zemanian, A.H., A generalized Weierstrass transformation, SIAM J. Appl. Math. 10,

1967, 1088-1105.

Vol. 22, 2003, No.4, 925-938.

CHƯƠNG 4 ĐA THỨC LAGUERRE VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

SỬ DỤNG DỮ LIỆU RỜI RẠC

4.1 Giới thiệu

Trong chương này, chúng tôi xem xét bài toán tìm một hàm được xác định trên

từ một tập đếm được các giá trị của biến đổi Laplace. Bài toán là không chỉnh.

,0 

,0

,0L2  

sao Cho là không gian các hàm đo được Lebesgue xác định trên 



2

cho

f

x  e dx



 

  f x

2 2 L 



0

f



.



 2 ,0L 





xp j

e

dx

  xf

(I)



L  pf

j

 j

 

0

j

,3,2,1

...

thỏa phương trình Chúng tôi xét bài toán khôi phục hàm



 ,0 

 ,

p j

với

 xf

pg 

từ ảnh đã cho của Chúng ta đã biết bài toán cổ điển về việc tìm hàm



px



e

dx



nó thỏa



  xf

pg 

L  pf

 

0

pf

thường là một hàm

(4.1)

pRe

với  là một số thực thích hợp. Thường thì với p thuộc tập con của mặt phẳng phức. Chú ý rằng L  giải tích trên nửa mặt phẳng 

ảnh của một phép biến đổi Laplace được biết chỉ trên một tập con của nửa mặt phẳng

pRe

. Tùy thuộc vào tập  ta sẽ có phương pháp thích hợp để xây bên phải 

dựng một hàm f từ các giá trị trong tập

p:pf



,a

i 

i 

}. {L 

pg

a

p:p

Nếu dữ liệu  được cho như một hàm trên đường thẳng

a 





Ry,iy 

) trên mặt phẳng phức thì ta có thể dùng công thức (nghĩa là

 xf

biến đổi ngược Bromwich (xem [Chương I, Định lý 1.3]) để tìm hàm .

Nếu  { p R : p > 0} thì ta có bài toán về phép biến đổi Laplace ngược

,0

,0

. Trong trường thực. Phía bên phải được biết là trên  hay một tập con của 

hợp này việc dùng công thức Bromwich là không khả thi. Tài liệu về vấn đề này gây

được sự chú ý cả về mặt lý thuyết và tính toán (xem [2, 4, 13, 38, 43, 54]). Thực ra nếu

pg 

đã cho là chính xác thì vì g là giải tích, ta có nhiều công thức biến đổi dữ liệu

k

d

x



  tf

  x ege

 

  ab k

k

dx

N  0k 

ngược (xem [4, 7, 12, 49, 50]). Trong [4], tác giả xấp xỉ hàm f bởi

 abk

với là các hệ số chỉnh hóa được tính và sắp thành bảng và g là phép biến đổi

Laplace cho trước. Saitoh và nhóm của ông đã phát triển một phương pháp khác, với



st

u

st

...



  t



 ,2,1N,ds

N

   Pesg N

 

0

việc xấp xỉ hàm f bởi các tích phân có dạng

và NP đã biết (xem [13]). Dùng công thức Saitoh ta có thể nhận được ước lượng sai số

trực tiếp.

Tuy nhiên trong trường hợp dữ liệu bị nhiễu, chúng ta gặp khó khăn vì tính

không chỉnh của bài toán. Thật vậy một nghiệm tương ứng với dữ liệu bị nhiễu không

tồn tại nếu dữ liệu là không trơn và trong trường hợp nếu tồn tại nghiệm thì chúng cũng

không phụ thuộc một cách liên tục vào dữ liệu đã cho (nó được biểu diễn ở bên vế phải

của phương trình). Do đó một phương pháp chỉnh hóa được xem xét.

Như đã nêu trong phần mở đầu, phép biến đổi Laplace ngược đã được nghiên

cứu trong nhiều tài liệu, nhưng các tài liệu tập trung vào bài toán với dữ liệu rời rạc là

hiếm thấy. Trong chương này chúng tôi sẽ chuyển (I) tới một bài toán nội suy giải tích

trong không gian Hardy của đĩa đơn vị. Sau đó dùng đa thức Laguerre và hệ số của đa

thức Lagrange để xây dựng hàm f . Chúng tôi sẽ trình bày một xấp xỉ tương ứng với

dữ liệu bị nhiễu và đưa ra ước lượng sai số.

Phần tiếp theo của chương được chia thành hai mục. Trong mục 4.2 chúng tôi

chuyển bài toán thành bài toán nội suy và đưa ra một kết quả về tính duy nhất. Chúng

tôi đưa ra hai kết quả chỉnh hóa trong các trường hợp dữ liệu chính xác và dữ liệu bị

nhiễu ở mục 4.3. Mục 4.4 trình bày một số kết quả bằng số.

4.2. Một kết quả về tính duy nhất

x

n

d



Trong mục này chúng tôi sử dụng đa thức Laguerre



 e

nx x

  xL n

n

e !n

dx

.

,0L2  

. Ta cũng lưu ý (xem Ta chú ý rằng  nL là dãy các đa thức trực giao trong



zx 1z 

  

  

e

[Chương I, mục 1.4])



 z1 

1  

  n zxL

n



0n 

.





  xf

  xLa nn



0n 





x

n



zx 1z 

  

  

Vì vậy nếu ta có khai triển

e

dx



  exf

 z1 

1  

za n





0n 

0

. thì

Từ đó dẫn đến





1



n

x 1z 

  

  

dx



  exf

 z1 



za n





0n 

0



.

1 



  zf

n ,za n

 j

 

j

0n 

p

Đặt , ta có





1 p  f  j

 j

j

,

f trong không gian Hardy

nghĩa là ta có một bài toán nội suy tìm một hàm giải tích

UH 2 

. Chúng ta có thể thử trực tiếp để thấy toán tử tuyến tính là một đẳng cự từ

UH 2 

2L vào

(xem Bổ đề 4.1 dưới đây). Ở đây ta ký hiệu U là đĩa đơn vị của mặt

UH 2 

UH 2 



2

k

g H U

là không gian Hardy. Nhắc lại rằng là không gian các phẳng phức và



  g z





  thì a z k

k 0 



2

g

  . a k

2 2  H U



n 0 

2/1

có khai triển hàm g giải tích trong U và nếu

z 

là giải tích trên { z C | Re }.

Bổ đề 4.1. Cho

f





 2 ,0L 

. Khi đó L  zf



f



nn La



0n 

Nếu có một khai triển

2

UHf





2

2

2

thì ta có và

f

a

f







n



2  UH







2  ,0L 

0n 

x

2'



.

xe

f



 1 ,0L





2

x

2'



Hơn nữa, nếu có thêm giả thiết thì

an

ex

f



n



0n 

1  ,0L



.

tz

F

Chứng minh: Đặt

 e



 tf

 2 ,0L



  tF z

z



dt

, ta có với mọi Re z > 1/2. Do đó



UH 2 

L  zf

,0L2  

  tF z



0

và ta có là giải tích với Re z > 1/2. Từ định nghĩa

'

"

f

f,

sự đồng nhất khoảng cách.

trong Bây giờ ta chứng minh bất đẳng thức thứ hai. Trước hết ta xét

,0Lgx

không gian







,0

2 

| }. B { g đo được Lebesgue trên 



f



Ta có khai triển

nn La



0n 

.

nLy 

'

"

ny

0









 yx

'

x

x

'





thỏa phương trình sau: Hàm số

y

nye

0





yx  ex

 1 

hay .







'

x

'

dx







 '  Lexf m

 ' x  Lex m

dxL n

n

  a



0n 

0

0n 





'



dx



n

  x ' LLex n m

  a

0n 

0





x



na

dx

Từ đó dẫn đến

n

eLL mn

0n 

0

.   

mL



'

x

'



f

ma

ta có Do tính trực giao của 



...

,1,0m 

 

 ex

   xdxLax mm

2 m



0

với





'

x

'



f

dx

na



  xf

 ex

   x

2 n





0n 

0

Suy ra .





2

x

'



ex

f

dx

na

Tích phân từng phần ta được



  x

2 n





0n 

0

B

f

f,

B

,2,1

...

.

 với mọi

k 

f '  , ta chọn  kf

' k

" k

f

sao cho và Bây giờ với

n

f k  trong 2L khi



f

. Giả sử rằng



k

La nnk



0n 

.





2

x



ex

f

dx

na

Khi đó ta có



  x

' k

2 nk



0n 

0

.

 trong đẳng thức trên ta được

k





2

x

'



ex

f

dx

na

Cho



  x

2 n





0n 

0

.

2/1

Từ đó chúng ta hoàn thành chứng minh Bổ đề 4.1.

,2,1

...

j 

với mọi Nếu

Định lý 4.1. Cho

p j 

p2

1







 

1 p

j p

j

j

p

1

p2/1

1







j

j

,0L2  

. thì bài toán (I) có nhiều nhất một nghiệm trong

Chứng minh: Cho

là hai nghiệm của bài toán (I).





f,f 1

2

 2 ,0L 

g

f

f

,0

j

,2,1

...

















j

1

2

2 ,0Lg 

j,0

,2,1

....





1 p

j

   

  1g   

thì Từ đó suy ra Đặt và L  pg

và do đó

là các không điểm của

g . Ta có

1 

2

UHg



j

1 p

j



p2

1



và









 1   j







1 p

j p

j

j

p

p2/1

1j 

1 



1 

j

j

0

0

.

g  . Ta đã

g 

Vậy ta có (xem [Chương I, Định lý 1.7.1]). Điều này dẫn đến

chứng minh xong Định lý 4.1.

4.3 Sự chỉnh hoá và ước lượng sai số Trong mục này chúng ta giả sử 

jp là một dãy hội tụ. Không mất tính tổng

1

1

p







j

 0

lim j 

lim j p j 

'

 

 x1

1

p

p



 e





. Thật vậy, nếu thì với việc đặt quát ta giả thiết rằng

~   xf

 xf

j

j

 0

~ f

, ta có thể chuyển bài toán đang xét thành và





 2 ,0L 





' xp j

e

dx

,

j

,2,1

...





  xf

 j



0

1

sao cho việc tìm



j

lim ' p j 

. trong đó

kz trong khai triển của đa thức Lagrange

 v

v...,

là hệ số của Ta ký hiệu



   vvL

 l m k m 

m

 ,v 1

có bậc nhiều nhất là m-1 thỏa





  zvL



m

k

mk1,v k

,

kz  k

m

k

. Ta ký hiệu với



    zvL m

k0

 l k 1m 



  

  zv 



.

 vLm

g

được gọi là đa thức Lagrange bị chặt cụt (xem [60] hay Chương 2). Với Đa thức





 2 ,0L 

, đặt mọi

gTn

1p L 

1 g  , …,

np L 

n g  ).

(

n

n

m

1 

Ở đây ta nhắc lại rằng . Ta sẽ xấp xỉ hàm f bởi 1  1 p







F m

  fTL mm

m

k

k0

 l k 1m 



  

  LfT 

.

,2/,1

j

,2,1

...

Chúng tôi sẽ chứng minh mF là một xấp xỉ của f . Chính xác hơn ta có





, f là như trong Bổ đề 4.1 và thỏa

Định lý 4.2. Cho

p j

1

1 3  ,0      



1





lim j p j 

1 jp

ln

  

và .

1  

 0

1    2  ln 

Đặt:



0,0  

0 khi m

f F 



  .



2 2 m L 0  ,  

x

2'



xe

f

ta có Khi đó với



 1 ,0L



2m

2

3

'

x



f

xe

f

Nếu giả thiết thêm rằng thì





1 m 



 

f F  m

0

,



2 2 L  



1 m

,



1  L 0



 1   2 2  2  L 1  

   

   

   

x1 

1

.





2  1 

. Lưu ý: 0 là nghiệm duy nhất của phương trình:

Chứng minh: Theo Bổ đề 4.1 ta có:

2

2

m







f F  m

a k

  k

,





2 2  L 0 

0 k

k

 

m 1 

m 1 

  



   



m

k . Ta có:

k

 fT m

  m  k

 k

. Chúng tôi sẽ đưa ra một sự ước lượng cho m với a l 

m



2

2m 

1









f 



k

 fTL mm

  k

2 2  UH







0k 

a 1mk 







  zf

  z

 fTL mm



1 i2 

. (4.2)

f  

   z m   

m

U 



z

z

0

Mặt khác biểu diễn Hermite (xem [Chương I, mục 1.2.3]) cho ta  d  z







... 



  z



  ...

 m

 1

m

   m m      2 1

1

  m 0 

m



. Bây giờ nếu ký hiệu và với

mr1  

  r

 

...  j j 1 m mj j1 ...  1 r

m





  s



1 i2 

  f d    1s  

m

U 

,

k



k

z

thì ta có thể viết theo biểu diễn Hermite







  zf

  z

 

r  1

 fTL mm

    m m  rm  rk 

0k 

0r 

   

     

.

k

m



,

0

1mk







Từ biểu diễn trên ta được

 

r  1

  k

    m m  rm  rk 



0r 

.

m

m



f

1

 



  

  s

2  H U

 

Tính trực tiếp ta thu được

rm 



C

mkm 2

và









r m

  m  rm 

,



C k m

!m !km!k 



với . Do đó

m

m



f



 m1 

 

  k

2 L 

1   2  1 



   

   

.

m2



2

f

Từ bất đẳng thức trên và (4.2) ta được

Ff 





 m1 

3  

k



2 ,0Lm







2 

2 2 L 

1   2  1 



mk 

a 

   

   

.



0,0  

, ta có Với

1   2  1 

1   2  0 1 





. 0 1   

f F 

 . 0



2 2 m L 0  ,  

lim m 

x

2'



xe

f

Từ đó ta có điều phải chứng minh



 1 ,0L







2

2

ak



k

k

1 m 

 0k 

 a mk  

x

2'



ex

f

thì Bây giờ nếu



1 m 

 1 ,0L



.

Ta đã chứng minh xong Định lý 4.2.

Bây giờ chúng ta xét trường hợp dữ liệu bị nhiễu. Đặt



D m



z



  z



  z  m '    m n

  max max  1 n m z R   

   

.

 ,0:



...



4/3

1

m



 ,2,1m,Dmm   m  1         và  với  x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x.

Cho R là một hàm tăng thỏa

0 và 

j

là dữ

}thỏa

Định lý 4.3. Giả sử các giả thiết của định lý 4.2 được thỏa. Cho liệu được đo của {L 

jpf





jpf

j

j

  2m 

2

3

1 

)  p (L  sup j

f

 v

f

 



 2 1 m 

    

 L m



 





2 L 

1    2  2  2  L 1 

   

2

2

2'

x



ex

f







' 

1 2 2 

V

m

1   



1  ,0L



   

   

v

p

,

j

,2,1

...





thì ta có

 j

  j

j

với

Chứng minh: Ta chú ý rằng

m



 m

p





  z

  z





 fTL mm

 vL m

  v  j j

j





 z

  z j   '  m

j

0j 

.



Từ đó dẫn đến









 fTL mm

 vL m

  m D1m  



.

















  fTL mm

  vL m

 fTL mm

 vL m



2  UH



Vì vậy ta có

mDm

.

2

2

1 

1 

f

1  



2 f F 

2  

 



  L T f m

m

   L v m



   L v m



2 2 m L 

2 L 

2 L 

m2

x

2'

2



ex

f

Do tính chất đẳng cự của  suy ra

2 Dm2

 m12 

3  

2 m

2 2 L 

2 m 

1   2  1 



1  ,0L



. f          

 mm 

ta có kết quả cần tìm.Ta đã chứng minh xong Định lý 4.3. Chọn

4.4 Kết quả bằng số

 xf

Chúng tôi sẽ đưa ra một số kết quả so sánh bằng số giữa hàm đã cho trong

,0L2  

xe 

và dạng xấp xỉ mF của nó mà chúng tôi đã phát biểu trong Định lý 4.2.

  xf



e

và khai triển thành chuỗi Laguerre của nó Trước hết xét hàm

x  

  xL n

1 1n 



2

0n 

. (4.4.1)

UH 2 



n

x

, chúng ta phải nội suy hàm giải tích Vậy trong không gian Hardy



xf

1 1n 

   

1 x2 

2

0n 

(4.4.2)

fTL  mm



p



x



xp j

1fTL

p

e

e

dx

được xác định như sau bởi đa thức Lagrange







 mm

j



1 p

1

p

j 

j

j

    

   

0

(4.4.3)

p j  khi 1

với . j

xe và xấp xỉ

8,1;8,1

10

12

chúng ta thấy ở hình (4.4.1) đường cong Trên khoảng 

m 

m 

 x

 fTL mm

của nó với . Nếu thì ta thấy phép nội suy của chúng ta có

1,1

( hình 4.4.2). sự phân kỳ ngoài khoảng 

Hình 4.4.1

Hình 4.4.2

n



4/x

e

Trong ví dụ hai chúng tôi chọn hàm







  xf

  xL n



4 3

1 3

  

  

0n 

(4.4.4)

UH 2 

n











  f x



4 3

x 3

4 3 x 

  

  

n 0 

p4



Trong không gian Hardy , ta xấp xỉ hàm

1

,

p,

1





fTL  mm

j

1 p

j p41 

j

j

   

   

j tại điểm khi . bởi đa thức Lagrange

11

Hình (4.4.3) (hay hình (4.4.4)) cho thấy sự hội tụ (hay phân kỳ) rất tốt trên

4m  (hay với

m 

8,2;8,2

với ). khoảng 

Hình 4.4.3

Hình 4.4.4

,29,0

25,0







 0

0,1

Trong cả hai trường hợp chúng tôi đã chọn ( 0 được xác









1 3

01    2 1  

11

29,0

2,3

định bởi ). Vì vậy trong trường hợp thứ hai đa thức Lagrange bị





. chặt cụt gần như nằm ngang vì

Tài liệu tham khảo

[1] [AM] Abramowitz, M. và Stegun, I. A, Handbook of Mathematical Functions, New

York, Dover, 1972.

[2] [AJ] Ahn, J., Kang, S., và Kwon, Y., A flexible inverse Laplace transform

algorithm and its applications. Computing 71, 2003, No.2, 115-131.

[3] [AS] Al-Shuaibi, A., A regularization method for approximating the inverse

Laplace transform, Approx. Theory Appl. (N.S.) 13 (1997), No.1, 58-65.

[4] [AK]

CHƯƠNG 5

CHỈNH HÓA MỘT BÀI TOÁN CAUCHY

THEO BIẾN KHÔNG GIAN

CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC

5.1. Giới thiệu

nR , A là một toán tử elliptic và u là một hàm được

Q

Cho  là một miền của



 

T,0 

định nghĩa trên . Một bài toán Cauchy theo biến không gian cho phương

uA

f





ut

trình parabolic là tìm một hàm u thỏa

 

từ dữ liệu Cauchy của nó được cho trên một phần biên ngoài . Bài toán còn

được gọi là bài toán Cauchy non-analytic cho các phương trình parabolic. Nếu nguồn

nhiệt f triệt tiêu thì ta nói bài toán là thuần nhất.

Trong thực hành, dữ liệu được đo chỉ trên một tập điểm rời rạc của thời gian

t,xu 

. Do đó bài toán khôi phục nhiệt độ từ dữ liệu rời rạc là có ý nghĩa. Mặc dù  jt

tài liệu về bài toán với dữ liệu liên tục theo thời gian là rất nhiều, nhưng các tài liệu tập

trung vào dữ liệu rời rạc là rất hiếm. Trong chương này chúng tôi sẽ xem xét bài toán

t,xu 

được định nghĩa trên không thuần nhất về việc

0x  và một tập đếm được





 T,0



 ,0

 

từ nguồn nhiệt đã cho tại

2,0  jt,xu 

các số đo nhiệt độ . Dữ liệu ban đầu trong bài toán của chúng tôi là tìm nhiệt độ jt,0u  0,xu 

0,xu

nên chúng tôi chưa biết, nên bài toán được xem như là sự kết hợp của bài toán Cauchy theo biến thời gian và bài toán nhiệt ngược. Vì nhiệt độ sẽ được xác định nếu có 

  x 

0,xu 

. tập trung vào bài toán khôi phục dữ liệu ban đầu

2,0

, chúng tôi xem xét bài toán tìm một hàm là một dãy trong 

,0

  x 

0,xu 

u

u

2







 t0,0xt,xf 



t

xx



sao cho và Cho  jt được định nghĩa trên 

 j0

t0

2







  th

(5.1)  jt,0u

(5.2)  t,0u x

(5.3)

h,f,j

đã cho. với  

Bài toán là không chỉnh. Chúng tôi dùng phương pháp hàm Green để chuyển hệ

thống trên thành bài toán moment dạng phương trình tích phân. Sau đó chúng tôi dùng

đa thức Laguerre để đưa bài toán moment về bài toán tìm một hàm giải tích được định

nghĩa trên đĩa đơn vị của mặt phẳng phức. Dùng tính chất của các không điểm của hàm

trong không gian Hardy (xem [Chương I, Định lý 1.7.1]) chúng ta sẽ có được tính chất

duy nhất nghiệm của bài toán. Theo hiểu biết của chúng tôi thì kết quả về tính duy nhất

này là mới và có ý nghĩa riêng của nó.

Nội dung còn lại của chương gồm ba mục. Trong mục 5.2 chúng tôi sẽ đưa ra

các không gian đặc biệt được dùng trong chương này và các toán tử giữa các không

gian. Chúng tôi chuyển bài toán thành một bài toán nội suy trong không gian Hardy và

đưa ra một kết quả về tính duy nhất ở mục 5.3. Mục 5.4 được tập trung để chỉnh hóa

bài toán trong hai trường hợp: dữ liệu chính xác và dữ liệu bị nhiễu.

5.2. Các ký hiệu và kết quả cơ bản

,0L2 



Như chương 4, chúng ta ký hiệu là không gian Hilbert các hàm đo dược

C thỏa

 ,0:g



Lebesgue



2

g

g

  e d



 

  

,

  

2 2  L 0 



0

ta có

,0L2  

. Khi đó hàm

.

,0L2  



W

exp

d 





  

  tL W



 t

  

  

0

tRe

.

0:Ct 





là giải tích trên 

2

Từ định nghĩa của Bổ đề 5.1. Cho W

n

Trong chương này chúng tôi sẽ dùng đa thức Laguerre

  

 e

n   

L n

 e !n

d n d 

(xem [11,42], hay mục 1.4,

,0L2 



  .

f

Lưu ý rằng  nL là một dãy cơ sở trực chuẩn của





 2 ,0L 



f

có khai triển Chương 1). Với mỗi



n Lc n



0n 



n

,

zf

n zc

   

0n 

. ta đặt

UH 2 



k

là không gian Hardy Ký hiệu U là đĩa đơn vị của mặt phẳng phức và

z

UH 2



k za

   

0k 



2

a

có khai triển thì của tất cả các hàm giải tích trên U và nếu

2 2

k

2L vào

 UH

  

0k 

. Ta có thể kiểm tra toán tử  là một phép đẳng cự từ

UH 2 

.

Ký hiệu



x2 8

e

v

V







 2 ,0L

x

  :v    

      

.

2





x 4

g,f

e

dx

Khi đó V là một không gian Hilbert với tích trong





 V



    xgxf x

0

.

Vv  , đặt

 2v

 

Tv

Với mỗi



  



Tv



V:T

.

Vv  và







 2 ,0L 

 2 ,0L 

với mọi là Ta có thể kiểm tra để thấy rằng

Vf  . Nếu ta có một khai triển

một phép đẳng cự.

Bổ đề 5.2. Cho



Tf



nn La



0n 

Tf

2

thì ta có

và

UH 



2

Tf

a

Tf

.





n



2 2  UH





 

2 2  ,0L 

0n 

Vf

Hơn nữa nếu có thêm giả thiết

và

và

x 1 

f '  thì V

  e



 Tf

2' 

 1 ,0L





2

2

2

'

1 

an

x4

f

f4

.



  e





 Tf

2' 

n



V

V



1  ,0L



0n 

Chứng minh: Chúng ta chỉ phải chứng minh bất đẳng thức cuối cùng.

Tf

' Tf   ,

"

,0Lgx



trong không gian Trước hết ta xem xét 





,0

2 

| }. B { g đo được Lebesgue trên 



Tf

Ta có khai triển



nn La



0n 

.

nLy 

"

'

y

y

ny

0







  1  

thỏa phương trình sau Hàm số

'

 

y

nye

0

hay





   e

 

.







'

'

d 





 Tf

 



 



dL n

'   Le m

'   Le m

n

  a

0n 

 0

0n 









   

n

 ' ' dLLe n

m

  a

0n 

0





na

deLL

Từ đó dẫn đến

 

n

mn

0n 

0

.   

mL



'

ma

...

dẫn đến Do đó từ tính trực giao của 



,1,0m 

 Tf

  d 

    e

 '    

La mm

2 m



0

với





'

na

Suy ra



 Tf

  d 

    e

  '    Tf 

2 n





0n 

0

.



na

Tích phân từng phần ta được

2 d 



 Tf

'   

2 n



     e

0n 

0

B

f

f,

B

,2,1

...

.

 với mọi

k 



' k

" k

Tf '  , ta chọn  kf

sao cho và Bây giờ với 

Tf

n

f k  trong 2L khi



f

. Giả sử rằng



k

La nnk



0n 

.



f

na

Khi đó ta có



2   d 

' k

2 nk



     e

0n 

0

.

k



na

trong đẳng thức trên ta được Cho

2 d 



 Tf

'   

2 n



     e

0n 

0

.

 

Ta có

Tf





  

 ' 2f 

d d 

  2f  2 

.

2

2

2

 ' 2f

 

 

 

 

 

e2

e

Do đó





e 

 Tf

'    



 2f 2 2 

.

2

2



 ' 2f

 

 

 

 

 

e

2 d 



d 



d 

 Tf

'   

  e 



  e2



 2f 2 2 

0

0

0

2

2

2

'

2

f





  x

x 4

x 4

dx

dx





  e4

  e4

x

  xf 3 x

0

0

2

2

1

'



f4

x4

f

Từ đó suy ra





V

V

.

Ta đã chứng minh xong Bổ đề 5.2.

5.3. Phát biểu lại bài toán

x

x





2 



2 





  t4

  t4

e

e

d 





 t,xu





2

1 t 

0

   

      

t







f

2   x     t4  

2   x     t4  

e

e





dd 



2

1 

  ,  t  

0 0

    

    

t



2    t4  

Dùng hàm Green ta có phương trình sau

e

d 





h t

1 

    

0

x

.

 0



e

2  t4 d





 t,0u



   



1 t 

0

t





f

2    4 t  

e

d d  



 

1 

  ,   t 



0 0

t

ta được Cho



d 



h t

1 

    

0

.

t  trong đẳng thức trên ta có bài toán nội suy sau đây

jt





2  t4

j

e

,h,f

Cho

  





d   j

 0



1 t 

j

0

(IP)

 0  

j0

t

t

j

j





f

2   t4

  

j

,h,f

e

và với

d 

dd 







 j

   j0

0

 



h t

1 

  ,  t  

1 

    

j

j

0 0

0

.



2   4

Đặt ta được





,h,f

e

 t j  . d







 j

 0



1 t 

  2  

j

0

0

t

2



V và

j 

Từ Bổ đề 5.1 ta thấy rằng với thì vế phải của đẳng thức trên được

xác định (định nghĩa tốt).



n

z  1z 

e

z

Chú ý rằng (xem [Chương 1, mục 1.4])



 z1 

1  

  L  n

0n 

.







  T 

  

nn La



  2  

0n 

Do đó nếu ta có khai triển





n

z  1z 

e

  de

thì





  T 

 z1 

1  

za n





0n 

0

.





n

 1z 

e

Từ đó dẫn đến

T 

d 





  z

  T 

 z1 

1  

za n





0n 

0

t1 

.

j

j

T

Với ta có





  j j

 t

j

,

nghĩa là chúng ta có một bài toán nội suy tìm hàm giải tích W trong không gian

UH 2 

. Sử dụng dạng nội suy của bài toán của chúng tôi có được kết quả về Hardy

0

t

2



,2,1

...

với mọi

Nếu

j 

tính duy nhất sau đây.

Định lý 5.1. Cho

j 

t





 t2 



j

j





t0

2

1  j

t1  j

thì bài toán (IP) có nhiều nhất một nghiệm trong V.

V

Chứng minh: Cho

 là hai nghiệm của bài toán (IP).

f,f 1

2

g

f

f

Tg

,0

j

,2,1

...

thì và

Từ đó suy ra













 t1Tg 



j

1

2

 2 ,0L 

Tg

Đặt

t1 

2

và

là các không điểm của Tg . Ta có

UH 

j

j









 t2 





 1   j

j

j







t

t0

1j 

1 

j

t 1  j

.

0

Tg 

Tg  . Vì 0

Do đó ta có (xem [Chương1, Định lý 1.7.1]). Điều này dẫn đến

0

g  . Ta đã chứng minh xong Định lý 5.1.

vậy

là một dãy hội tụ. Không mất tính tổng quát ta giả

5.4. Chỉnh hóa và ước lượng sai số Trong mục này, giả sử  jt

1

1

t

t







j

0

lim j 

lim j t j 



1 

1 t 0

  

  

e

. Thật vậy, nếu thì với việc đặt thiết rằng



t



~   

 

' j

tt j0 t0t 

j

tt j0

và , ta có thể chuyển bài toán đang xét thành





,0L~ 2  

 ' t

j

  e

,h,f

,

j

,2,1

...





 



 t 

~ d  j

0

j



0

1

sao cho việc tìm



lim ' t j j 

. trong đó

kz trong khai triển của đa thức Lagrange

 v

 l m k

v...,

là hệ số của Chúng tôi ký hiệu



   vvL

m

 ,v 1

m 





  zvL



m

k

mk1,v k

có bậc nhiều nhất là m-1 thỏa

0

1

v

,h,f

,h,f







kz  k

j

   j

0

 0

 t

j

m

k

với và . Cho   , ký hiệu



  zv

    zvL m

k0

 l k 1m 



  





.

 vLm

Vg  , đặt

...

L,

được gọi là đa thức Lagrange bị chặt cụt (xem Chương 2). Với mọi Đa thức



 ,

 L

gT n

Tg

  1

Tg

n   

.

t1 

n

n

m

1 

Ở đây ta nhắc lại rằng . Ta xấp xỉ hàm f bởi

1 1   



TW  m

 wTL mm

  LTwT k

m

k0

 l k 1m 



  



. 

,2

j

,2,1

...

,

Vw  và

t0 





 và 1

Chúng tôi sẽ chứng minh mW là một xấp xỉ của f . Chính xác hơn ta có

Định lý 5.2. Cho

j

thỏa lim j t j



1 3

  

 ,0   

.



 jt1

ln

  

Đặt

1  

 0

1    2  ln 

Khi đó với

ta có



0,0  

0

mkhi

.

Ww 





2 Vm

V'w,wx 1 

Nếu giả thiết thêm rằng

thì



m2

2

w

1  wx

'w

.

Ww 







 m1 

3  

2 Vm

2 V

2 V

V



4 m 

1   2  1 

  

  

   

   

.



Tw



mm La

. Theo Bổ đề 5.2 ta có

Chứng minh: Giả sử rằng 

0m 

2

2m 

Ww 





  k

2 Vm

k0

k



1m 

  



   

a k  1m 

m

(5.4)

a

l



k . Ta có

k

 wT m

  m  k

 k

m



2

2

2

m



 







 w L T w m

m

a k

  k





2  H U



k 0 

k m 1  

với . Chúng tôi sẽ đưa ra một sự ước lượng cho m



Mặt khác biểu diễn Hermite (xem [Chương I, mục 1.2.3]) cho ta

  zTw

  zwTL

 mm



1 i2 

   z Tw  m    

 d  z

m

U 



z

z

0

 









... 

  z



  ...

 m

 1

m

   m m      2 1

1

  m 0 

m



. Bây giờ nếu ký hiệu và với

mr1  

  r

 

...  j j 1 m mj j1 ...  1 r

m



,

  s



1 i2 

  Tw d    1s  

m

U 



k



k

z

thì ta có thể viết theo biểu diễn Hermite

T 





  z

  zwTL

 

rm   1

 mm

    m m  rm  rk 

0k 

0r 

     

   

.

k

m



,

0

1mk

Từ biểu diễn trên ta được







 

rm   1

  k

    m m  rm  rk 



0r 

.

Tính trực tiếp ta thu được

m



wT









 m 

  s

 1

2  UH

km 



C

mkm 2

và









k m

  m  rm 

,



C k m

!m !km!k 



m

m



với . Do đó, từ tính đẳng cự của  và T dẫn đến

  wm1 

  k

V

1   2  1 



.          

m2



2

w

Từ bất đẳng thức trên và (5.4) ta được

Ww 





 m1 

3  

k

2 Vm

2 V





1   2  1 

mk 

a 

   

   

.



0,0  

Với , ta có

0

1

1   2  1 

1   2 0  1 





.   

w W 

 . 0

2 m V

lim m 

Vw,wx 1 

Từ đó ta có điều phải chứng minh







2

2

ak



k

k





1 m 

mk 

0k 

a 

  e



 Tw

2' 

1 m 

1  ,0L



2

2

1  wx

' w

thì Bây giờ nếu





V

4 m 

  

  

.

Ta đã chứng minh xong Định lý 5.2.

Bây giờ chúng ta xét trường hợp dữ liệu bị nhiễu. Đặt



D m

z



  z



  z  m '    n m

  max max  z R 1 n m    

   

.

 ,0:



...





 m 



 ,2,1m,D1m



m

Cho R là một hàm tăng thỏa

2/1

m

     

 1   với  x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x.

Vw,wx 1 

. Cho

(R

),



0 và

 L

và

Định lý 5.3. Cho

2,0 

  ,    j

f

f

h

là dữ liệu đã biết của

(R

),

thỏa

 L



2,0L 

2,0L 

2,0 

0 ,

 h

.

f

h









  j0

 j

f 

h 

   )2,0R(L 

  2,0L

  

sup j

Khi đó tồn tại một hằng số C độc lập với  sao cho

  2m 

3

1 

,

w

w T 

1  



 v f h



,    

 C 1 m 

    





 L m

2 V

  

V



1    2    1 

   

2

2

1  wx

' w

.

1 2 





V

V

m

  

  

C   

,



Trong đó

.

 v f h







 j

,    

f h , ,    

 t

j

   

   

Chứng minh: Chúng ta chú ý rằng

m

,h,f





  zwTL

  fvL

 





 

 mm

m

  j

   j

0

,h,  

,h, f  





 z

 z

  z  m  '  j m

0j 

v

,







   j

j

f ,h, 

,h, f  

 t

j

. với

Do đó ta có thể tìm một hằng số C độc lập với  sao cho

L T w L v f h 



 











m

m

m

C m 1 D  m

, ,   







.

















 L T w L v f h  m

 m

m

m

m

m

, ,   





  L T w L v





2  H U



Do đó

  

 mD1mC 

.

2

1 

w T 

1  



2 w W 



  L v f h m

, ,   





2 m V

2 L 

2

1 

1 

2  

 





  L T w m

m

  L v f h m

, ,   





2 L 

m2

w

Do tính chất đẳng cự của  suy ra

 m1 

3  

 

 m D1mC 

2 V

1   2  1 



         

  e



 Tw

2' 

1 m 

1  ,0L



.

 mm 

Chọn ta có kết quả cần tìm. Chúng ta đã chứng minh xong Định lý 5.3.

Tài liệu tham khảo

[1] [BP] Borwein, P. và Erdelyi, T., Polynomials and polynomial Inequalities,

Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1995.

[2] [GD] Gaier, D., Lectures on Complex Approximation, Birkhauser, Boston-Basel-

Stuttgart, 1987.

[3] Đinh Nho Hào, A mollification method for ill-posed problems, Numer. Math. 68

1994, 469-506.

[4] Đinh Nho Hào and Reinhart, H-J., On a sideways parabolic equation, Inverse

problems 13 (1997), 297-309.

[5] [HE] Holmgren, E., Sur l’ extension de la method d’int egration de Riemann,

Arkiv for Math. 1 1904, 315-26.

[6] [LL] Latte`s-Lions, M ethod de quasi-r eversibilit e et application, Dunod, Paris,

1967.

[7] [RA] Rabenstein, A. L., Introduction to Ordinary Differential Equations, New

York et al. Acad. Press, 1972.

[8] [Ru] Real and Complex analysis, New York et al., McGraw-Hill, 1987.

truncated Lagrange polynomials. Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwen dungen,

[9] [TL] Trong, D. D. và Lien, T. N., Reconstructing an analytic function using

Vol. 22, 2003, No.4, 925-938.

method of a sideways heat equation for determining surface heat flux, J. Math.

[10] [X] Xiong, Xiang-Tuan, Fu, Chu-Li và Li, Hong-Fang, Fourier regularization

Anal. 317 (2006) No.1, 331-348.

KẾT LUẬN

Luận án của chúng tôi xem xét bài toán khôi phục trong lý thuyết hàm giải tích.

Cụ thể là Khôi phục hàm giải tích trong đĩa đơn vị U (trong không gian Hardy) từ giá

trị của hàm tại một dãy điểm trong U. Bài toán là không chỉnh. Trong luận án này,

chúng tôi chỉnh hoá bài toán và khảo sát một số bài toán không chỉnh khác ứng dụng

trong vật lý và giải tích thực. Những đóng góp chính của luận án là:

1. Như ta đã biết nếu giá trị của hàm f cho trên dãy điểm tùy ý và nếu khôi phục

UH 2 

thì định lý Kalmár- Walsh không còn đúng nữa. hàm f trong không gian Hardy

Do đó các đa thức Lagrange không thể dùng làm xấp xỉ tốt cho các hàm giải tích. Tuy

nhiên qua khảo sát cho thấy các số hạng có số mũ bậc cao của đa thức làm cho xấp xỉ

không ổn định. Vì vậy chúng tôi dùng các đa thức Lagrange bị chặt cụt để chỉnh hoá

bài toán. Mặc dù bài toán nội suy hàm giải tích trên đĩa đơn vị đã được các nhà toán

học nghiên cứu từ lâu và được trình bày trong nhiều bài báo, nhưng như đã phân tích

thì tính ổn định của các thuật toán không được đề cập trong các công trình ấy. Do đó

trong khi chỉnh hóa bài toán chúng tôi đã chỉ ra sai số trong phép xấp xỉ và sự tồn tại

tham số chỉnh hóa trong phương pháp chặt cụt các đa thức Lagrange.

2. Bằng phương pháp đã trình bày ở bài toán khôi phục hàm giải tích nói trên,

chúng tôi chỉnh hóa các bài toán ứng dụng trong trường hợp dữ liệu rời rạc, trong khi

hầu hết các tài liệu trước đây chỉ nghiên cứu các bài toán với dữ liệu liên tục.

Kết quả chỉnh hóa của từng bài toán thu được trong hai trường hợp: dữ liệu là

chính xác và dữ liệu bị nhiễu.

Phương pháp sử dụng công cụ là các hàm phân thức chưa được khảo sát trong

luận án này và vấn đề đó có thể là đề tài nghiên cứu trong tương lai.

DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ

[1] Đặng Đức Trọng và Trần Ngọc Liên, Reconstructing an analytic function using

truncated Lagrange polynomials. Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwen

dungen, Vol. 22, 2003, No.4, 925-938.

[2] Phạm Hoàng Quân, Trần Ngọc Liên và Đặng Đức Trọng, A discrete form of the

backward heat problem on the plane, International Journal of Evolution

Equations. Vol.1, N0. 3, 2005, pp. 265-279.

[3] Đặng Đức Trọng và Trần Ngọc Liên , Regularization a discretely backward

problem by coefficients of truncated Lagrange polynomials, Electron. J. Diff.

Eqns. , Vol. 2007 (2007), No. 51, pp.1-14.

[4] Trần Ngọc Liên, Đặng Đức Trọng và Alain Phạm Ngọc Định, Laguerre

polynomials and the inverse Laplace transform using discrete data, J. Math.

Anal. Appl. 337(2008) 1302-1314.

[5] Đặng Đức Trọng, Trần Ngọc Liên, Trịnh Anh Ngọc và Nguyễn Công Tâm,

Regularization of a spatial Cauchy problem for a parabolic equation, đã báo

cáo tại International Conference on Nonlinear Analysis & Engineering

Mechanics Today. December 11-14, 2006, Ho Chi Minh City, VN.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Abramowitz, M. và Stegun, I. A, Handbook of Mathematical Functions, New

York, Dover, 1972.

[2] Ahn, J., Kang, S., và Kwon, Y., A flexible inverse Laplace transform algorithm

and its applications. Computing 71, 2003, No.2, 115-131.

[3] Alekseeva, S. M. và Yurchuk, N. I., The quasi-reversibility method for the

problem of the control of an initial condition for the heat equation with an

intergral boundary condition, Differential Equations 34, No. 4, 1998, 493-500.

[4] Al-Shuaibi, A., A regularization method for approximating the inverse Laplace

transform, Approx. Theory Appl. (N.S.) 13 (1997), No.1, 58-65.

[5] Amano, K., Saitoh, S. and Yamamoto, M., Error estimates of the real inversion

formulas of the Laplace transform, Integral Transforms and Special Functions

10, 2000, pp. 165-178.

[6] Ames, K. A. và Hughes, R. J., Structural stability for ill-posed problems in

Banach spaces, Semigroup Forum, 70, 2005, 127-145.

[7] Đặng Đình Áng, Lund, J., and Stenger, F., Complex variables and

regularization method of

inversion of

the Laplace

transform, Math.

Computation 54, No.188, 1989, pp. 589-608.

[8] Đặng Đình Áng, Gorenflo, R.and Đặng Đức Trọng, A multidimentional

Hausdorff moment Problems: regularization by finite moments, Zeitschrift fur

Anal. Und ihre Anwendungen 18, No.1, 1999, pp. 13-25.

[9] Đặng Đình Áng, Gorenflo, R., Lê Khôi Vỹ and Đặng Đức Trọng, Moment

Theory and Some Inverse Problems in Potential Theory and Heat Conduction,

Lect. Notes Math. 1792 (2002).

[10] Beck,J.V., Blackwell, B., và St. Clair, C. R., Inverse heat conduction, ill-posed

problems, Wiley, New York-Chichester, 1985.

[11] Borwein, P., Erdelyi, T., Polynomials and polynomial inequalities, Graduate

Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York Inc., 1995.

[12] Boumenir, A. and Al-Shuaibi, A., The inverse Laplace transform and analytic

pseudo-differential operators, J. Math. Anal. Appl. 228,1998, No.1,16-36.

[13] Byun, D. W. and Saitoh, S., A real inversion formula for the Laplace

transform, Z. Anal. Anw. 12, 1993, pp. 597-603.

[14] Clark,G. và Oppenheimer, C., Quasireversibility Methods for Non-Well-Posed

Problems, Electronic Journal of Differential Equations, Vol.1994, No. 08, 1-9.

[15] Daya Reddy, B., Introductory Functional Analysis, Texts in Appl. Math. 27,

Springer –Verlag New York, Inc., 1998.

[16] Denche, M. and Bessila, K., A modified quasi-boundary value method for ill-

posed problems, J. Math. Anal. Appl., Vol. 301, 2005, 419-426.

[17] Ditzian, Z., Inversion of Weierstrass transformation for generalized functions,

J. Math. Anal. Appl. 32, 1970, 644-650.

[18] Nguyễn Dũng, Nguyễn Vũ Huy, Phạm Hoàng Quân và Đặng Đức Trọng, A

Hausdorff-like Moment Problem and the inversion of the Laplace transform,

Math. Narch., Vol 279, Issue 11, 2006, pp. 1147-1158.

pH spaces, Michigan, Academic Press, 1970.

[19] Duren Peter L., Theory of

[20] Gaier, D., Lectures on Complex Approximation, Birkhauser, Boston-Basel-

Stuttgart, 1987.

[21] Gajewski, H. và Zacharias, K., Zur Regularizierung einer Klasse nichkorrec-

ter probleme bei Evolutionsgleichungen, J. Math. Anal. Appl. 38, 1972, 784-

789.

[22] Guelfond, A. O., Calcul des Différences Finis, Paris, Dunod 1963.

[23] Đinh Nho Hào, A mollification method for ill-posed problems, Numer. Math.

68 1994, 469-506.

[24] Đinh Nho Hào and Reinhart, H-J, On a sideways parabolic equation, Inverse

problems 13 (1997), 297-309.

[25] Hoffman, K., Banach Spaces of Analytic Functions, Englewood Cliffs (N.J.,

USA), Prentice – Hall Inc. 1962.

 [26] Holmgren, E., Sur l’ e xtension de la method d’int

egration de Riemann, Arkiv

for Math. 1 1904, 315-26.

[27] Hrushikesh, N. Mhaskar and Devidas V. Pai, Fundamentals of Approximation

Theory, Boca-London-New York-Washington, D.C.-New Detli, 2000.

[28] Nguyễn Vũ Huy, Nguyễn Văn Nhân and Đặng Đức Trọng, Reconstruction of

Analytic Function on the Unit Disc from a Sequence of

Moments:

Regularization and Error Estimates, Acta Math. Vietnamica 27 (2002), 307-

320.

[29] Nguyễn Vũ Huy and Đặng Đức Trọng, A Hausdorff Moment Problem and the

Inversion of the Laplace transform, Vietnam Journal of Mathematics 32:4, 2004,

pp. 371-377.

[30] Isakov, V., Inverse problems for partial differential equations, Springer-

Verlag, New York Inc., 1998.

e

et Applications,

[31] Lattes, R. và Lions, J. L., M ethode de Quasi-Reversibilit

Dunod, Paris, 1967.

[32] Lebedev, N. N., Special Function and Their Applications, New York, Dover

Publications Inc. 1972.

[33] Levin, Ya. B., Lectures on entire functions, AMS, Providence Island, 1996.

[34] Trần Ngọc Liên, Đặng Đức Trọng và Alain Phạm Ngọc Định, Laguerre

polynomials and the inverse Laplace transform using discrete data, J. Math.

Anal. Appl. 337(2008) 1302-1314.

[35] Matsuura, T., Saitoh, S. và Đặng Đức Trọng, Approximate and analytical

inversion formulas in heat conduction on multidimentional spaces, J. of Inverse

and Ill-posed Problems, 13, 2005, 479-493.

[36] Matsuura, T., Saitoh, S., Analytical and numerical inversion formulas in the

Gaussian convolution by using the Paley-Wiener spaces, Applicable Analysis,

Vol. 85, N0. 8, 2006, 901-915.

[37] Miller, K., Stabilized quasi-reversesibility and other nearly-best-possible

methods for non-well-posed problems, Symposium on Non-Well-posed Problems

and Logarithmic Convexity, in: Lecture Notes in Math. Vol. 316, Springer-

Verlag, Berlin, 1973, 161-176.

[38] de Mottoni, P. and Talenti, G., Stabilization and error bounds for the inverse

Laplace transform, Numer. Funct. Anal. Optim. 3 (1981), no.3, 265-283.

[39] Partington, J. R., Interpolation, Identification, and Sampling, Oxford,

Clarendon Press 1997.

[40] Payne, L. E., Some general remarks on improperly posed problems for partial

differential equations, Symposium on Non-Well-posed Problems and Logarith-

mic Convesity, in: Lecture Notes in Math. Vol. 316, Springer-Verlag, Berlin,

1973, 1-30.

[41] Phạm Hoàng Quân, Trần Ngọc Liên và Đặng Đức Trọng, A discrete form of

the backward heat problem on the plane, International Journal of Evolution

Equations. Vol.1, N0. 3, 2005, pp. 265-279.

[42] Rabenstein, A. L., Introduction to Ordinary Differential Equations, New York

et al. Acad. Press, 1972.

[43] Rizzardi, M., A modification of Talbot’s method for the simultaneous

approximation of several values of the inverse transform, ACM Trans. Math.

Sofware 21, 1995, no.4, 347-371.

[44] Rooney, P. G., On the inversion of the Gaussian transform, Cand. Math.

Bull.9, 1957, 459-464.

[45] Rooney, P. G., On the inversion of the Gaussian transform.II, Cand. Math.

Bull.10, 1958, 613-616.

[46] Rooney, P. G., A generalization of an inversion formula for the Gauss

transformation, Cand. Math. Bull.6, 1963, 45-53.

[47] Rudin, W., Real and Complex Analysis, New York et al., McGraw – Hill Co.

1987.

[48] Saitoh, S., The Weierstrass transform and an isometry in the heat equation,

Applicable Analysis, Vol. 16 ,1983, 1-6.

[49] Saitoh, S., Integral transform, Reproducing kernels and their Aplications,

Pitman, Res. Notes in math. Series 369, Addison Wesley Longman Ltd., U.K.,

1997.

[50] Saitoh, S., Vũ Kim Tuấn and Yamamoto, M., Conditional stability of a real

inverse formula for the Laplace transform, Z. Anal. Anw. 20, 2001, 193-202.

[51] Sansone, G., Orthogonal Functions, Interscience Publ., Inc., New York, Vol.

IX, 1959.

[52] Showalter, R. E., Quasi-reversibility of first and second order parabolic

evolution equations, Improperly posed boundary value problems (Conf. Univ.

New Mexico, Albuquerque, N. M., 1974), 76-84. Res. Notes in Math., N0.1,

Pitman, London, 1975.

[53] Showalter, R. E., The final value problem for evolution equations, J. Math.

Anal. Appl., Vol. 47, 1974, 563-572.

[54] Soni, R.C. and Singh, D., A unified inverse Laplace transform formula

involving product of a general class of polynomials and the Fox H-function,

Tamkang J. Math. 36, 2005, no.2, 87-92.

[55] Talenti, G., Recovering a function from a finite number of moments, Inverse

Problems 3, 1987, 501-517.

[56] Taylor, A., Advanced Calculus, New York et al, Blaisdell Publ. Comp. 1965.

pH - Functions, Amer. Math. Soc. 90 (1984).

[57] Totik, V., Recovery of

[58] Đặng Đức Trọng and Đặng Đình Áng: Reconstruction of Analytic Functions:

Regularization and Optimal Recovery. Preprint 1997.

[59] Đặng Đức Trọng, Lê Quang Nẫm, Nguyễn Lê Lực, and Trương Trung Tuyến,

Functions: Best Approximation, Regularization and

Reconstruction of

pH

Optimal Error Estimates, Compl. Var. Theory Appl. 49 (2004), No.4, 285-301.

[60] Đặng Đức Trọng và Trần Ngọc Liên, Reconstructing an analytic function

using truncated Lagrange polynomials. Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwen

dungen, Vol. 22, 2003, No.4, 925-938.

[61] Đặng Đức Trọng, Trần Ngọc Liên, Trịnh Anh Ngọc và Nguyễn Công Tâm,

Regularization of a spatial Cauchy problem for a parabolic equation, đã báo cáo

tại International Conference on Nonlinear Analysis & Engineering Mechanics

Today. December 11-14, 2006, Ho Chi Minh City, VN.

[62] Đặng Đức Trọng và Trần Ngọc Liên , Regularization a discretely backward

problem by coefficients of truncated Lagrange polynomials, Electron. J. Diff.

Eqns. , Vol. 2007 (2007), No. 51, pp.1-14.

[63] Walsh, J. L.: Interpolation and Approximation by Rational Functions in the

Complex Domain. Providence (R.I., USA): Amer. Math. Soc. 1960.

[64] Widder, D.V., The Laplace transform, Princeton University Press, 1946.

[65] Xiong, Xiang-Tuan, Fu, Chu-Li và Li, Hong-Fang, Fourier regularization

method of a sideways heat equation for determining surface heat flux, J. Math.

Anal. 317 (2006) No.1, 331-348.

[66] YongZhong Huang and Quanzheng, Regularization for a class of ill-posed

Cauchy problems, Proc. Amer. Math. Soc., Vol. 133, 2005, 3005-3012.

[67] Zemanian, A.H., A generalized Weierstrass transformation, SIAM J. Appl.

Math. 10, 1967, 1088-1105.