BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH _______________________________________________________
Nguyễn Viết Thăng ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ ĐA TRỊ
Chuyên nghành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TRẦN ĐÌNH THANH
Thành phố Hồ Chí Minh – 2010
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS. Nguyễn Bích Huy và TS. Trần Đình
Thanh đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy phản biện đã nhận xét và đóng cho tôi những ý
kiến quý báu.
Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô đã nhiệt tình giảng dạy trong thời gian tôi học
tập tại trường Đại học Sư phạm Tp HCM và đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn
này.
Tôi xin cảm ơn bạn bè và người thân đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập
và thực hiện luận văn này.
Tp. HCM, tháng 10 năm 2010
Học viên
Nguyễn Viết Thăng
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nhiều hiện tượng trong tự nhiên và xã hội dẫn đến việc nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và xây
dựng xấp xỉ cho các phương trình phi tuyến. Phương pháp điểm bất động là một trong các phương
pháp quan trọng và hữu hiệu nhất để chứng minh sự tồn tại và nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm của
các lớp phương trình phi tuyến khác nhau. Lý thuyết điểm bất động ra đời từ những năm 1920, được
phát triển và hoàn thiện cho tới ngày nay để có thể áp dụng cho ngày càng nhiều lớp phương trình.
Cùng với sự phát triển của khoa học và do nhu cầu phát triển nội tại của Toán học, các ánh
xạ đa trị đã được đưa vào nghiên cứu từ những năm 1950. Chúng là công cụ hữu hiệu để mô tả
nhiều hiện tượng của tự nhiên, xã hội, kinh tế… Từ đó nảy sinh ra yêu cầu phát triển các phương
pháp nghiên cứu với ánh xạ đa trị, trong đó có phương pháp điểm bất động.
Cho đến nay, lý thuyết điểm bất động cho các ánh xạ đa trị đã thu được nhiều kết quả có giá
trị . Tuy nhiên đây vẫn là hướng nghiên cứu đang được các nhà Toán học quan tâm nghiên cứu và
hứa hẹn được tới những kết quả thú vị về lý thuyết cũng như ứng dụng.
Mục tiêu của luận văn là giới thiệu những kết quả ban đầu về lý thuyết điểm bất động của các
ánh xạ đa trị. Cụ thể luận văn trình bày các định lý điểm bất động và các vấn đề liên quan cho các
lớp ánh xạ dạng co, ánh xạ đa trị có giá trị lồi và không lồi, ánh xạ đa trị tăng và các ánh xạ đưa về
ánh xạ tăng trong không gian có thứ tự. Các lớp ánh xạ này được nghiên cứu bằng các phương pháp
khác nhau như phương pháp sử dụng lát cắt đơn điệu, phương pháp bậc tôpô, phương pháp sử dụng
nguyên lý Entropy…
2. Nội dung luận văn
Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn có 2 chương.
Chương 1 gồm các khái niệm về ánh xạ đa trị, các định lý về điểm bất động của các lớp ánh
xạ có tính chất co, có giá trị lồi và không lồi.
Phần 1.1 nhắc lại các khái niệm về ánh xạ đa trị; một số thuật ngữ và ký hiệu liên quan.Các kết
quả này được trích từ tài liệu tham khảo.
Phần 1.2 trình bày định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị có tính chất co , tính chất của tập
điểm bất động của ánh xạ đa trị có tính chất co.Đây là mở rộng nguyên lý điểm bất động của
Banach, phần này chúng tôi tham khảo [3]
Phần 1.3 trình bày các định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị có giá trị lồi, từ Định lý định
lý điểm bất động Bruower Bất đẳng thức KyFan Định lý 1.3.6 về điểm cân bằng Định lý
điểm bất động Kakutani. Phần này chúng tôi tham khảo trong [3], [6], [7].
Phần 1.4 trình bày các định lý liên quan đến điểm bất động của ánh xạ có giá trị không
lồi.Phần này chúng tôi tham khảo trong [3].
Chương 2 gồm các khái niệm về không gian Banach có thứ tự, các định lý điểm bất động của
ánh xạ đa trị tăng có tính chất co, compact và T – đơn điệu trong không gian Banach có thứ tự. Phần
này chúng tôi tham khảo [2], [4], [5].
Phần 2.1, 2.2 trình bày các khái niệm và kết quả của không gian Banach có thứ tự và ánh xạ đa
trị đơn điệu.
Phần 2.3 trình bày các định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị tăng là mở rộng định lý
Tarskii.
Phần 2.4 trình bày các định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị tăng có tính chất co.
Phần 2.5 trình bày các toán tử có liên quan tới tính chất compact.
Phần 2.6 trình bày về điểm bất động của ánh xạ T – đơn điệu đa trị.
3. Phương pháp nghiên cứu
1. Phương pháp lát cắt đơn điệu, ứng dụng các định lý cơ bản về tập có thứ tự.
2. Phương pháp bậc tôpô.
3. phương pháp sử dụng nguyên lý Entropy…
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ ĐA TRỊ
Chương 1
1.1. CÁC KHÁI NIỆM – KẾT QUẢ ĐƯỢC SỬ DỤNG
,X Y là hai tập bất kỳ, ta ký hiệu
Y2 là họ tất cả các tập con của Y . Một ánh xạ
1.1.1. Ánh xạ đa trị
F X gọi là một ánh xạ đa trị từ X vào Y .
:
2Y
F x
( *)
2 X x F X nếu *
:
Cho
Điểm *x được gọi là điểm bất động của ánh xạ đa trị
:
2Y
1.1.2. Một số thuật ngữ và ký hiệu liên quan
F X là tập con của X Y ký hiệu gphF , định nghĩa bởi
gphF
)
x y ( ,
X Y y F x ( ) :
domF
x X F x : ( )
Đồ thị của
rgeF
y Y
:
,
Domain của F ( miền hữu hạn ) được ký hiệu và định nghĩa:
x X y F x ( )
Miền ảnh ký hiệu rgeF :
F
Y của ánh xạ 1 :
2 X
F X được định nghĩa bởi công
:
2Y
Ánh xạ ngược:
F
1( ) y
y Y )
x X y F x ( ) :
x F
1( ) y
y F x ( )
x y ( ,
)
gphF
thức , (
F M (
Đối với mỗi tập M Y ta phân biệt hai loại ảnh ngược sau đây:
F M (
) x F x M ( ) : + Nghịch ảnh của M là:
Z
) x F x M ( ) : + Nhân của M qua F là:
G X :
Y 2 ;
H Y :
. Khi
2
H G X :
2Z
Giả sử đó xác định bởi:
y G x ( )
( H G x )( ) H y ( ), x X
,X Y là các không gian tôpô.
F X là các ánh xạ đa trị,
:
2Y
Cho
+ Nếu gphF là tập đóng trong không gian tôpô tuyến tính X Y thì F được gọi là ánh xạ
đóng.
,X Y là các không gian tuyến tính tôpô và nếu gphF là tập lồi trong không gian tích
X Y thì F được gọi là ánh xạ đa trị lồi.
+ Nếu
thì F được gọi là ánh xạ có giá trị đóng.
( )F x là tập đóng x X
thì F được gọi là
+ Nếu
( )F x là tập lồi, x X
+ Nếu Y là không gian tuyến tính tôpô và nếu
ánh xạ có giá trị lồi.
1.1.3. Tính liên tục của ánh xạ đa trị
Định nghĩa 1.1.3.1
Y thỏa mãn
( )F x
V tồn tại lân cận U của x sao cho
F x ( )
V
,
x U
nếu với mọi tập mở V Ta nói ánh xạ đa trị F là nửa liên tục trên tại x domF
Nếu F là nửa liên tục trên tại mọi điểm thuộc domF , thì F được gọi là nửa liên tục trên ở
trong X.
domF
Định nghĩa 1.1.3.2
Y thỏa mãn
( )F x
V tồn tại lân cận U của x sao cho
F x ( )
,
x U domF
V
nếu với mọi tập mở V Ta nói ánh xạ đa trị F là nửa liên tục dưới tại x
Nếu F là nửa liên tục dưới tại mọi điểm thuộc domF , thì F được gọi là nửa liên tục dưới ở
trong X.
Định nghĩa 1.1.3.3
domF
x .
nếu F đồng thời là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại Ta nói F là liên tục tại x
Nếu F là liên tục tại mọi điểm thuộc domF , thì F được gọi là liên tục trên X.
:
2Y
F X là hêmi liên tục trên tại
Định nghĩa 1.1.3.4 ( Ánh xạ hêmi liên tục trên )
domF
p Y
*
0x
nếu với mọi , hàm số Ta nói
x
F x p ( ),
0x .
là nửa liên tục trên tại
F gọi là hêmi liên tục nếu nó là hêmi liên tục tại mọi x domF
.
1.2. ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ CÓ TÍNH CHẤT CO
Định nghĩa 1.2.1
.
)XX d ,
h A C ,
(
d
a C ( ,
d
c A ( , )
A C , 2 \X là một không gian metric và Cho (
h A C được cho phép. Số thực
(
)
,
X
X
Đặt , với
) max sup a A
), sup c C
h A C được gọi là khoảng cách Housdorff giữa A và C liên quan đến metric
( ,
)
Xd .
d
x A ( ,
d
x y ( ,
)
)
x A là khoảng cách giữa điểm x và tập A nghĩa là ( ,
X
X
Xd
) min y A
. Với
F X :
(
)
Định lý 1.2.2 (Định lý điểm bất động Naler) [3]
)XX d ,
P X f
h F x F y
( ( ),
( ))
x y X k ,
,
[0,1)
Nếu ( là một không gian metric đầy đủ và là một ánh xạ h-co ( tức là
kd x y ( , ) X
x X x F x :
( ).
với ) thì F có điểm bất động tức là
x
Chứng minh
x , tức là
k
( ,1)
x
)
)
(
X . Sau đó lấy 1
F x 0(
Xd x x 0 ,
0
1
0
1
thỏa Chọn 1 k và 0x
0x là điểm bất động cần tìm của F )
(Nếu 1x không tồn tại thì
))
d x F x ( , (
))
d x F x ( ( , 1
X
1
X
1
sup x F x (
0
d x F x ( , (
d y F x ( , (
X
1
X
0
)
), sup y F x (
)
0
1
) max sup x F x (
))
( (
),
))
kd x x (
,
)
,
)
Vì
h F x F x ( 0
1
0
1
X
k d x x ( 1
X
0
1
=
x
F x sao cho
)
d x x (
,
)
,
)
1(
X
1
2
k d x x ( 1 X
0
1
. Theo tính chất inf, ta có 2
x
F x (
),
n
và 1
1
n
n
n n
sao cho
d x x (
,
,
),
n
1
x Bằng quy nạp, chúng ta chọn được một dãy 1
X
n
)
1
n
n k d x x ( 1 X
0
1
x
X
(1.2.1)
n n
là dãy Cauchy.
x trong X.
Từ bất đẳng thức (1.2.1) ta suy ra rằng 1
x F x .
Do X là đầy đủ nên suy ra nx
,
F x
( ))
h F x ( (
),
F x
( ))
kd x x , ) (
0
Ta chứng minh ( )
d x ( X
n
1
X
n
n
Thật vậy ta có:
( ))
( ,
0
x F x . Xd x F x và vì F(x) là đóng nên chúng ta có ( )
Vì vậy
Ghi chú 2.1.3
i) Điểm bất động trong Định lý 1.2.1 là không duy nhất.
ii) Tập các điểm bất động của F (kí hiệu là Fix(F)) là tập đóng.
F x ( )
X
, x X
i) Nếu
thì với mọi x X là điểm bất động của F.
Fix F
( )
Chứng minh
nx
( )
x F x .
x , ta chứng minh
x Fix F nghĩa là chứng minh ( )
. Lấy
( ))
(
h F x ( (
),
F x
( ))
kd x x , ) (
ii) Giả sử nx
0
d x F x , n
X
X
n
n
( ,
Ta có
Xd x F x 0 ( ))
Suy ra
Vậy Fix(F) là đóng.
,
:
(
)
Mệnh đề 1.2.4 [3]
)XX d
F F X 2
1
P X bf
là một không gian metric đầy đủ, là h-co với hằng số co Nếu ( ,
k
Fix F kí hiệu là tập điểm bất động của
(
1, 2)
[0,1)
)i
iF i (
và thì
),
(
(
(
))
h F x F x ( ),
( ))
h Fix F Fix F 1 2
1
2
sup ( x X
1
k
1
n
x
1
0
0
Chứng minh
e và chọn
x sao cho
. n k
n
1
xe
e Đặt 1
1
k
1
x
)
)
F x sao cho
x Lấy 0
Fix F và sau đó chọn 1
1(
0(
2
)
),
(
(
))
e
Lấy
Xd x x ( ,
0
1
h F x F x ( 0
1
2
0
(1.2.2)
)
x
)
Fix F ( 1
0
F x ( 1
0
A
, ) :
x F x (
inf
A d x F x ( (
,
))
),
(
. Vì x 0
d x x (
)
)
X
0
2
0
0
2
0
X
h F x F x ( 0
1
2
0
)
)
),
(
(
))
Đặt
e
Xd x x ( ,
0
1
h F x F x ( 0
1
2
0
x 1
F x 0( 2
x
)
Suy ra sao cho
),
(
kd x x (
,
)
)
h F x F x ( 1
2
2
0
X
1
0
F x 1( 2
2
d x x (
,
)
kd x x (
,
)
X
2
1
X
1
. ke 1
0
x
)
(
))
),
(
(
))
(
)
,
nên chúng ta có thể tìm thỏa Vì
kd x x . Suy ra tồn tại
d x F x ; ( 1
2
1
h F x F x ( 0
2
2
1
X
0
1
F x 1( 2
2
(
,
)
kd x x (
,
)
Thật vậy ta có : sao
ke .
d x x 2
1
X
0
1
1
x
cho
n n
x
),
n
1
sao cho Bằng phương pháp quy nạp ta chọn được một dãy 1
1
F x 2(
n
n
n
(1.2.3)
,
x
)
,
)
d x ( X
n
k d x x ( X
0
1
n
1
n nk e 1
(1.2.4) và
m
n
Từ bất đẳng thức (1.2.4) ta được
d x (
,
x
)
d x x (
,
)
n
n
1
X
0
1
e 1
nk
k 1
k
n m
n m
x
(1.2.5)
)XX d ,
n n
x trong X
nx
d x (
,
( ))
),
( ))
(
(
kd x x , ) (
là dãy Cauchy, và do ( đầy đủ nên ta có: Do (2.1.5) nên 1
0
F x 2
h F x F x n
2
2
X
n
n
1
d x F x
( ,
( ))
x F x ( )
0
Từ (1.2.3) ta có:
2
2
)
Suy ra
x Fix F 2(
Vậy
n
d x x ( , )
,
)
d x x (
,
)
nk
X
0
d x x ( n
X
n
1
X
0
1
e 1
1
k
n
0
n
1
),
(
e 2
)
h F x F x ( 0
1
2
0
1 1
1
k
Hơn nữa từ (1.2.5) và (1.2.2) ta có
Suy ra
),
(
(
e
0
)
h Fix F Fix F 1 2
1
2
1
h F x F x ( ) ( ), x X
1 sup k
2 , e
),
(
(
.
)
h F x F x ( ), ( )
h Fix F Fix F 1 2
2
1
sup x X
1 k
1
Suy ra , .
F F X
,
:
(
)
1
Hệ quả 1.2.5 [3]
n là các hàm h-co
n
P X bf
)XX d ,
[0,1)
k
( ),
0
Nếu ( là một không gian mêtric đầy đủ, với
h F x F x ,
( )
n
sup x X
),
0
(
h Fix F Fix F .
và với hằng số
( )
n
thì
Chứng minh
),
(
h F x F x ( ), ( )
h Fix F Fix F ( ) n
n
sup x X
1 k
1
Áp dụng Định lí 1.2.3 ta có
0
h F x F x ( ) ( ),
n
sup x X
),
0
(
Do
h Fix F Fix F .
( )
n
1.3. ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ CÓ GIÁ TRỊ LỒI
Suy ra,
1, 2,...,
n
Định nghĩa 1.3.1
, i i
Giả sử X là không gian mêtric, K X và là phủ mở hữu hạn của K. Ta nói các hàm
:i K là phân hoạch đơn vị liên tục ứng với họ phủ i nếu
liên tục
x ( ) 0
n
0
( ) 1 ; x
( ) 1 x
x K
,
sup( ) x K : và với mọi i i i
i
i
i
1
.
Định nghĩa 1.3.2
Cho X là một không gian vectơ.
L
Y X (Y x
với x X và L là không gian con hữu hạn chiều của X) là đóng trong
a) Một tập C được gọi là đóng hữu hạn nếu nó giao với một phẳng hữu hạn chiều bất kì
C
không gian tôpô Euclid Y.
i
i
của X được gọi là có tính chất giao hữu hạn nếu giao của mỗi họ con hữu hạn b) Một họ 1
là khác rỗng.
Định lý 1.3.3 ( Định lý điểm bất động Brouwer) [6]
f x ( )
x .
Ánh xạ f đơn trị liên tục từ một tập lồi compact trong không gian hữu hạn chiều vào chính
tập này luôn có điểm bất động, tức là tồn tại điểm x thỏa
Định lý 1.3.4 (Bất đẳng thức Ky Fan) [6], [7]
thỏa:
: X X
y K
y ,
(.,
)
Giả sử K là tập lồi, compact trong không gian định chuẩn X. Giả sử
x K
x ,
( ,.)
i) Với mọi là hàm nữa liên tục dưới.
y K
y y ,
( ,
) 0
ii) Với mọi là hàm lõm.
iii) Với mọi
x y ,
.
y K
0,
Khi đó, tồn tại x K sao cho
Chứng minh
x K y K ,
x y ( ,
i) Xét trường hợp X hữu hạn chiều.
sao cho
) 0
{
x K
:
x y ( ,
) 0}
Giả sử
y
(.,
Với mỗi y K , đặt (*)
)y là hàm nữa liên tục dưới nên
y là tập mở trong không gian tôpô cảm sinh K.
Vì
y K
n
K
là một phủ mở của K. Từ (*) suy ra y
,...,
y
K sao cho
y y , 1
2
n
. Khi đó tồn tại phân hoạch liên tục
y i 1
i
Do K compact nên tồn tại
i ứng với họ phủ iy
1,...,
i
n
:f K
.
K như sau:
n
x K f x , ( )
x y ( ) i
i
i
1
n
( ) 1
Xét ánh xạ ( đơn trị )
i
1,...,
n
f x ( )
. , K x
x i
iy K với
i x và ; ( ) 0
i
1
Vì K là tập lồi, nên
f x là ánh xạ liên tục. ( )
( )i là các hàm liên tục nên
Do
y
f y
Theo định lý Brouwer tồn tại y K sao cho
n
n
y y ,
y
,
i
i
y y , i
y y i
y
i
1
i
1
n
1
Do giả thiết ii)
y i
I y vì
I y
y
i
0
i
1
y
supp
Đặt thì
i
i
y i
I y
Ngoài ra ta có thì
,
suy ra
0
y ,
y y i
n
y y ,
0
i
i
i
y y , i
y
i
1
i I y
y
Do đó theo định nghĩa
,
( mâu thuẩn với iii)).
0
y y
Tức
M y y
,...,
y
K
b) Trường hợp X vô hạn chiều.
và đặt
v
)
{ , 1
2
}m
x y i
i
sup inf max ( , x K y M M S
Gọi S là họ mọi tập hữu hạn,
0v
m
m
m
Ta chứng minh
,...,
,
m
)
0
( , )
1, i
i
( 2
1
M
j
y y , i i
:
i
1
j
1
1
i i
mS
,
và đặt , Gọi mS là đơn hình
Ta thấy M thỏa cả 3 giả thiết cho .
Thật vậy
i) Hiển nhiên thỏa.
m
m
m
) (
,
,
y
0
ii) Thỏa vì M tuyến tính theo .
M
i
y y , i
j
y i
j
j
i
j
1
1
m i i 1
1
i j
mS sao cho
iii) Thỏa vì
m
m
S
,
x y ,
,
0
j
M
j
i
1
m
Do đó theo phần a) trên đây, tồn tại
x
i
coM K
y i
i
1
Với .
m
x y
x y ,
x y ,
0
M
j
j
j
i
m
inf max ( , x K y M
) max y M
j
j
sup S
1
Bây giờ ta có:
0
M
M
m
sup S
,
.
Vậy
x y
sup y K
Ta còn phải chứng minh tồn tại x K để
Đó là nội dung của bổ đề sau:
Bổ đề 1.3.4
Giả sử X là không gian tôpô, K X là tập compact, L là tập bất kỳ.
thỏa điều kiện
: K L
., y
Giả sử là nửa liên tục dưới y L . Gọi S là họ các tập hữu
j
hạn của L. Khi đó, tồn tại x K để x y , x y , x y , inf max x K y M j sup y L sup m M S
Chứng minh
x K
:
,
x y
yS là tập đóng nằm trong tập compact K nên là compact. Ta
yS
,
i
1, 2,...,
n
Đặt .
yS có tính chất là mọi giao hữu hạn đều khác . Xét
iyS
sẽ chứng tỏ họ nào đó. Gọi
,
,...,
y
., y
M y y
y .,
1
2
n
max iy M
x
,
y
K :
. Vì là hàm nửa liên tục dưới nên (của hữu hạn hàm) cũng là
x y , i
M
i
inf max x K y M i
max y M i
n
S
nửa liên tục dưới và do đó đạt minimum trên K tại Mx
x
S
x
S
M
y
y
y i
. Do tính compact, giao toàn bộ
sẽ thỏa bổ đề.
y L
i
1
y L
Vậy , điểm
Định nghĩa 1.3.4 (Điểm cân bằng)[6]
F X . Điểm x K được gọi là điểm
:
2 X
Giả sử X là không gian định chuẩn, K X ,
0 F x
cân bằng của F với ràng buộc K nếu
Định nghĩa 1.3.5
2 X F X
:
Giả sử X là không gian định chuẩn,
Tập K domF
F x
0 x
T K
gọi là miền tồn tại của F nếu với mọi x K ,
clS
x là bao đóng của nón sinh bởi K x , tức là
x
x
KT
T K
K
cl
K x h
h
0
Với
Định lý 1.3.6 (Định lý về sự tồn tại điểm cân bằng)[6]
F X là ánh xạ đa trị hêmi liên tục trên ở trong
:
2 X
Giả sử X là không gian định chuẩn,
X, có giá trị lồi đóng. Nếu tập lồi compact khác rỗng K X là miền tồn tại của F thì tồn tại x K
x K
: 0
F x
là điểm cân bằng của F, tức là
Chứng minh
x K
, 0
F x
Giả sử phản chứng là với mọi
F x là lồi đóng và
0 F x
*
,
0
X sao cho
F x p
x
xp
, sử dụng định lý tách các tập lồi, ta tìm được Với mỗi x K , do
* p X , họ
x K
,
p
F x
p
:
0
p mở do tính hêmi liên tục trên của F) (
Khi đó với là phủ mở của K
1, 2,...,
n
, i ip
Do K compact nên tồn tại họ phủ hữu hạn
ip
Gọi i là phân hoạch đơn vị liên tục ứng với họ
n
x y ,
y
cho bởi công thức:
: K K
x
i
p x , i
1
i
Xét hàm
Rõ ràng là
y K
y ., ,
i) là hàm số liên tục
x K
x ,
,.
y K
,
là hàm số aphin (do đó là hàm lõm) ii)
0
y y ,
iii)
n
Vậy các giả thiết của định lý KyFan được thỏa
p
x y ,
p x ,
y
0
để với
i
x p i
i
1
và mọi y K , Do vậy x K
p y ,
x
, tức
0
p T K
x
Điều này tương đương với
F x
T x K
Vì K là miền tồn tại của F nên tồn tại
,
p
p
,
0
Vậy
1, 2,...,
n
:
Đặt
I x
x i
F x i
0
n
I x
x i
nên 0, i x i
i
1
và Vì
i
x ip
Với mọi , do
,
,
0
i
p i
F x p
F x
I x
0 i x nên
Từ đó suy ra (mâu thuẫn)
x
i
I x
Định lý được chứng minh
Định lý 1.3.7 (Định lý điểm bất động Kakutani)[6]
:G K
K là ánh xạ đa trị
Giả sử K là tập lồi, compact trong không gian Banach X, Cho
hêmi liên tục trên ở trong K, có giá trị lồi, đóng, khác rỗng. Khi đó, G có điểm bất động x trong K,
x K G x
tức là
Chứng minh
. Từ các giả thiết đặt trên G suy ra rằng
x
:F K
X là ánh xạ đa trị
F x G x
Đặt
K x T K
Vì K lồi nên hêmi liên tục trên, có giá trị lồi, đóng, khác rỗng. x
K nên
x K x T x
x K
G K
F x G x
,
K
Mặt khác
Do đó K là miền tồn tại của F
0 F x
x G x
Theo Định lý 1.3.6, tồn tại x K sao cho tức là tồn tại x K sao cho
Định nghĩa 1.3.8 ( Ánh xạ hướng vào và hướng ra)
,
x K
G K thỏa
:
2 X
G x
x
x T K
được gọi là hướng vào. i) Ánh xạ
,
x K
G K thỏa
:
2 X
G x
x T x K
được gọi là hướng ra. ii) Ánh xạ
Định lý 1.3.9 [6]
2 X G X là ánh xạ đa
:
Giả sử X là không gian Banach, K X là tập lồi, compact. Giả sử
trị hêmi liên tục trên với ảnh lồi, đóng, khác rỗng. Nếu G hướng vào hoặc hướng ra thì G có điểm
x K G x
bất động x trong K, tức là
I G
Chứng minh
nếu G hướng vào và của F
nếu G hướng ra.
Rõ ràng K là miền tồn tại của F G I
Theo Định lý 1.3.6 về điểm cân bằng ta thấy x là điểm cân bằng của F hoặc F tương ứng. Chúng
đều là điểm bất động của G.
Định lý 1.3.10 [3]
Nếu X là không gian lồi địa phương, K X là tập khá rỗng, compact và lồi và
F
:
F K : 2 \K là ánh xạ đa trị với giá trị tập lồi, sao cho với mỗi y K ,
x F x
y
x K y F x
là mở thì tồn tại x K sao cho
Chứng minh
F
y
y K
n
là một phủ mở của K. Họ
F
y
k
1
k
n
Vì vậy chúng ta có thể tìm được một phủ con hữu hạn và một phân hoạch đơn vị liên
i
1
i
n
tục tương ứng
u x =
x y i
i
i
1
Đặt
:u K
K là hàm chọn liên tục của F
Thì
x K x u x :
F x
Áp dụng định lý Brouwer, ta thu được
1.4. ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ CÓ GIÁ TRỊ KHÔNG LỒI
Định nghĩa 1.4.1
Cho X là không gian tô pô Hausdorff và C X . Chúng ta nói rằng C là một tập co của X, nếu
:r X
C , thỏa mãn
r
id
|C
C
có một ánh xạ liên tục
Ánh xạ r được gọi là ánh xạ co.
Định nghĩa 1.4.2
M
U K K
) :
,
X
là một tập co; U K là tập bị chặn, mở tương đối,
là
:U
K
( ,
Fix
U , với ( )
Cho X là một không gian Banach và xem họ
compact và
Fix
( )
:
x ( )
u U
x
.
)U K M
, chúng ta có thể định nghĩa chỉ
,
:r X
K là một ánh xạ co, thì với mỗi ( ,
Nếu
số điểm bất động giá trị theo K của trên U với mối quan hệ K , bởi
( , i U K
,
)
d
(
id
1 , r r U
(
), 0)
LSd được ký hiệu là bậc Leray – Schauder.
X
LS
, với
Định lý 1.4.3
,X Y là hai không gian Banach và
C X D Y ,
là tập đóng, lồi và khác rỗng, tiếp theo
Cho
)D w là tập D được trang bị với quan hệ tôpô yếu trên Y. Xem
,
có
G C : 2 \C ta kí hiệu (
(1.4.3) sự phân tích sau: G K N
)D w và có giá trị compact yếu, lồi,
,
N C
:
2 \D
là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên vào (
w
K D w : ( )
,
C là hàm liên tục theo dãy nghĩa là nếu
y trên D thì
)
K y ( )
ny
nK y (
Với
trên C .
Giả sử G là compact, nghĩa là ánh xạ biến tập bị chặn thành tập compact tương đối. Nếu ký
)
,
,
G U C với G và C như trên và U C là khác rỗng, bị chặn, mở tương
hiệu M là là họ bội ba (
Fix G (
)
U , thì trên M ta có thể định nghĩa điểm bất động tương tự như định
đối sao cho
:i M , sao cho
nghĩa 1.4.2. Khi đó ta có kết quả:
Tồn tại một ánh xạ
K y ( )
U
,
, thì
y Y
v 0
i G U C ( ,
,
)
0 nêu
v U 0 v U 0
1 nêu
a) Sự tiêu chuẩn hóa: Nếu K trong (1.4.3) là một ánh xạ hằng, nghĩa là
Fix G U U U
(
)
, với 1
2
1U và
2U là hai tập con mở rời nhau của U ,
b) Sự cộng tính: Nếu
i G U C ( ,
,
)
i G U C ( ,
,
)
i G U C ( ( ,
,
)
2
1
thì
là một ánh xạ đa trị với sự phân tích F S L
F C : 2 \C c) Bất biến đồng luân: Cho
như trong (1.4.3) và giả sử G và F là đồng luân như sau: “ Tồn tại một ánh xạ đa trị nữa
H
:[0,1]
C
2 \D
( D với quan hệ tôpô yếu) có giá trị compact yếu,
liên tục dưới
u
:[0,1]
(
D w ) ,
, thỏa C
H
(0,.)
N
(1,.)H
L và một dãy ánh xạ liên tục
u
(0,.)
K u
, (1,.)
”. S
lồi, thỏa và
Chúng ta đặt
t x ( , )
u t H t x
( , ))
( ,
và giả sử rằng là compact và
x
t x ( , )
t x ( , )
[0,1]
U
i G U C ( ,
,
)
i F U C ( ,
,
)
thì
'D là khác rỗng, đóng, lồi
G K N
'
'
'
d) Tính phân tích: Với bất cứ sự phân tích khác với tập
'Y , thỏa mãn tồn tại một dãy ánh xạ liên tục
p D w )
: (
,
(
D w ', )
của không gian Banach
N
'
' p N K p K
,
i G U C ,
,
)
i G U C ( ',
,
)
với , chúng ta có (
i G U C , thì
) 0
,
,
Fix G U .
)
(
e) Tính giải được: Nếu (
Định lý 1.4.4
RG B
:
2 \X
là ánh xạ đa trị compact với sự phân tich như
Nếu X là không gian Banach,
trong (1.4.3) thì ít nhất một trong hai phát biểu sau xảy ra:
)
(0,1)
x 0
B R
x 0
G x 0(
a) Tồn tại và , sao cho ; hoặc
Fix G )
(
b)
R
Chứng minh
r X :
B là ánh xạ co và thu được sự phân tích
G r K N r
(
)
Đặt
R
Fix G (
)
B
Giả sử rằng
i G r B X ,
,
)
R
đã dược định nghĩa. Thì (
u
:[0,1]
(
D w ,
)
được định nghĩa bởi
X
u t y ( ,
)
tK y ( )
Đặt
D N r
) 0
(
là đồng luân trong định lý 1.4.3 với điều kiện a) Đối với hàm u ta thấy rằng G r và
là không hợp lệ.
i G r B X ( ,
,
)
i
(0,
) 1
R
B X , R
Theo tính chất sự tiêu chuẩn hóa trong định lý 1.4.3, ta có
x B , sao cho
x G r x G x ( )
)( )
(
R
Theo tính chất giải được của định lý 1.4.3, chúng ta tìm được .
G C
:
2 \C
Định lý 1.4.5
là một ánh xạ đa trị với sự phân tích như
Nếu X là không gian Banach,
trong (1.4.3) và 0 C ,thì thì ít nhất một trong hai phát biểu sau xảy ra:
a) G có điểm bất động; hoặc.
S
x C x
:
G x
( ), 0
không bị chặn.
1
b) Tập
Chương 2
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ TĂNG TRONG
KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ
2.1. KHÔNG GIAN BANACH VỚI THỨ TỰ SINH BỞI NÓN
Định nghĩa 2.1.1
K
Cho X là không gian Banach và K là tập con của X. K được gọi là nón nếu:
0
i) K đóng khác rỗng và .
a b ,
;
a b ,
0;
x y K ,
ax by K
. ii)
.
x K
0
x
K
{(
,...,
)
0,
i
1, 2,..., }.
n
iii) x K và
n X và
x x , 1 2
x n
X x : i
Ví dụ: Cho Thì K là nón trong X.
Định nghĩa 2.1.2
x y X x ,
,
x K y
y
Trong không gian Banach X với nón K, ta xét quan hệ như sau:
Khi đó, quan hệ là một quan hệ thứ tự.
Thật vậy quan hệ có các tính chất:
x
. x
x X
K
0
x
x
,
i) Phản xạ:
y và y
x y X ,
nếu x
,
x thì y
và x
x K
. y K
Phản đối xứng:
x
y
0
y
x
Do iii) trong định nghĩa 2.1.1, ta có
x y z X , ,
,
và z
x K
. y K
nếu x
y và y
z thì y
Bắc cầu:
z
x
(
z
y
)
(
y
z
x K )
x
Do ii) trong trong định nghĩa 1, ta có
Mệnh đề 2.1.3
Cho X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K. Khi đó:
0,
x y z X , ,
y
nếu x
y thì x
. y
z
z
i) và x
y .
x
y
,
n N
x
x
y
thì x
y
n
n
n
n
và lim
x
, lim x
ii) Nếu
x (hoặc
x ) với mọi n.
)nx
nx
nx
tăng (hoặc giảm) và hội tụ về x thì iii) Nếu dãy (
Chứng minh
y thì
x
y K
(
y
x
x
y K )
y
x
. i) Nếu x
y thì
x
y K
x
y
(
y
z
)
(
x
. x
z K )
y
z
z
Nếu x
x
y
,
y
n N
Vì . K
y
)
và K đóng nên
y
x
n
n
n
x n
n
x n
lim( x
y
y .
x
k
x
x
ii) Nếu thì
x , với mọi n.
)nx
x
n m
n
nx
iii) Giả sử ( tăng. Với mỗi n, ta có: . Cho m , ta được
Định nghĩa 2.1.4
)X là một tập có thứ tự. Tập M X được gọi là tập sắp thẳng của X nếu:
,
y hoặc y
x .
,x y M
thì x
Cho (
Bổ đề Zorn
Giả sử X là một tập có thứ tự. Nếu mọi tập con sắp thẳng của X đều có cận trên ( cận dưới )
thì X có ít nhất một phần tử cực đại ( phần tử cực tiểu ).
Mệnh đề 2.1.5
Cho X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K, tập M X là tập con sắp thẳng
M . Khi đó từ dãy (
)nx
)nx
knx
đơn điệu. của X và dãy ( ta có thể rút ra dãy con
Chứng minh
N
:
,
k
n
n N x n
0
x k
Ta đặt .
Ta có các trường hợp:
0N hữu hạn:
N sao cho
n N .
0n
n n 0
0
x
Khi đó, tồn tại thì
n sao cho
x k
n
( Do M là tập sắp thẳng ). Lúc đó, tồn tại k
x
...,
)nx
x n
x n 1
2
n 0
knx
với đây chính là dãy Do đó, từ dãy ( ta có thể chọn được dãy con
con cần tìm.
0N vô hạn:
N
. ...
,...
n 2
n n , 1 2
0
x
...
Giả sử với 1 n
là dãy con cần tìm.
x n 2
n 1
knx
với Khi đó dãy
Định nghĩa 2.1.6 (Nón chuẩn)
x y K x ,
,
x N y
y
Nón K trong không gian Banch X được gọi là nón chuẩn nếu tồn tại N > 0 sao cho:
.
Khi đó, số N được gọi là hằng số chuẩn của nón K.
Ví dụ:
X C
1[0,1]
K
f C
1[0,1]:
f
0
Trong không gian , nón không phải là nón chuẩn.
X C
1[0,1]
không gian , nón sau đây là nón chuẩn:
K
f C
1[0,1]:
f
( ) 0, t
f
t '( ) 0,
t
[0,1]
. Trong
Mệnh đề 2.1.7
Cho K là nón chuẩn trong không gian Banach X.
u v X u v
thì
,
,
u v ,
x X u
:
x
v
i) là một tập đóng và bị chặn.
y
z
z
x
. x
x n
n
thì lim n y
x n
n
n
x
x
lim x
ii) Nếu ( n = 1,2,…) và lim
)nx
)nx
knx
iii) Nếu dãy đơn điệu ( hội tụ về x thì dãy ( hội tụ về x. có dãy con
)nx
)nx
hội tụ về x. iv) Nếu dãy ( đơn điệu hội tụ yếu về x thì dãy (
)
u v ,
Chứng minh
. x
nx
x và lim n
x
i) Giả sử dãy (
u
. Suy ra
n
v
,
u
x
v
u v ,
x n
đóng. Ta có:
x u K v u K ,
x
u v ,
và x u v u
. Do K là nón chuẩn nên có hằng số
ii) thì
N v u
chuẩn N sao cho: x u
u
N v u
x N v u
u
,u v là bị chặn.
. Suy ra x
Vậy
iii)
x
y
z
y
z
x
n
n
n
n
x n
n
n
y
N z
Nếu thì 0
n
x n
x n
n
z
x 0
x
z
nên
x
n
n
n
n
. Do K là nón chuẩn nên
lim x
y
x 0
Vì lim x
n
n
Suy ra
y
(
y
)
.
x
n
n
x n
x n
Vậy
)nx
knx
x
,
x
n
x
,
hội tụ về x . iii) Giả sử ( là dãy tăng có dãy con
và k
. x n
x n
n
knx
k
Ta có:
x nên
k ,
:
x
0
knx
x kn
0
N
Vì .
,
0
x
x
x
x
x
N x
x
x n
x n
x n
x n
n n k 0
k 0
n k 0
n k 0
Khi đó
x .
nx
Vậy ta có
iv)
nx là dãy đơn điệu và hội tụ yếu về x. Gọi N là hằng số chuẩn của nón chuẩn K.
Giả sử
f K
*
)
)
Với mỗi , ta có:
f x ( n
f x ( m
)
f x ( )
n . x
,
với n m .
f x ( n
x n
m
0,
z
:
z
x
Cho m , ta được
t x i
n i
N
1
i
1
Theo định lý Mazur,
n n , 1 2
0
x
z
z x
n n z 0 ,
x n
n
x
z N x
z
n
N 1 N
x
x
z
z
x
n
x n
max Đặt thì ta có: n 0 n ,..., m
nx hội tụ về x.
Vậy dãy
Định nghĩa 2.1.8 (Nón đều)
Nón K trong không gian Banach X được gọi là nón đều ( chính quy ) nếu mọi dãy đơn điệu
tăng, bị chặn trên trong X đều hội tụ.
Ví dụ:
X L
[0,1]
, nón K là nón các hàm không âm hầu khắp nơi là nón đều. i) Trong không gian
X C
[0,1]
ii) Trong không gian , nón K là nón các hàm không âm không phải là nón đều.
Mệnh đề 2.1.9
Cho K là nón trong không gian Banach X.
i) K là nón đều trong X khi và chỉ khi mọi dãy đơn điệu giảm, bị chặn dưới trong X đều hội tụ.
ii) K là nón đều thì K là nón chuẩn.
Chứng minh
i)
...
.
...
x
Giả sử K là nón đều trong X.
nx
x giảm, bị chặn dưới: 1
x 2
x n
Ta xét dãy
x
x .
x 1(
)n
Khi đó, dãy là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi 1x
Vì K là nón đều nên dãy hội tụ.
nx
hội tụ. Vậy
...
...
x
Giả sử mọi dãy giảm, bị chặn dưới trong X đều hội tụ.
.
)nx
x 2
x n
Ta xét dãy ( tăng, bị chặn trên: 1 x
x
x
)
x
x 1(
)n
x 1(
x 1(
)n
Khi đó, dãy là dãy giảm và bị chặn dưới bởi nên dãy hội tụ.
nx
hội tụ. Suy ra
Vậy K là nón đều.
ii)
K y ,
N x ,
K
, 0
x
y
Giả sử ngược lại K không phải là nón chuẩn.
x
N y
N
N
N
N
N
N
2
N n
)
K y , (
)
K
nhưng . Khi đó
thỏa mãn:
x n
n
0
y
,
2 n y
x n
n
x n
n
n
Cho , ta được các dãy (
x
y
0
' n
' n
nx , ta xét các dãy:
y y
x n x n
n
'
'
'
y
Với và .
0
x
y
,
x
1,
y
' n
' n
n
n
n
hội tụ.
1 2 n
n
1
n
y
y
, n y
. Suy ra chuỗi Ta có:
' n
' n
thì y
k
n
1
1
Đặt .
z
...
x
)nz
n
' x 1
' x 2
' n
Ta thấy dãy tăng và bị chặn trên bởi y nên ( hội tụ
( vì K là nón đều).
x
(
z
)
0
n
z
n
1
n
Suy ra
' x 1
n
Mâu thuẫn với điều kiện
Vậy K là nón chuẩn.
Mệnh đề 2.1.10
Cho X là không gian Banach phản xạ. Nếu K là nón chuẩn thì K là nón đều.
Chứng minh
)nx
Xét dãy ( là dãy tăng bị chặn trên trong X .
)nx
knx
tăng sao cho Vì ( bị chặn ( theo chuẩn) và X là không gian phản xạ nên tồn tại dãy con
hội tụ yếu về x .
knx Theo iv) của Mệnh đề 2.1.7, suy ra dãy
hội tụ về x .
knx hội tụ về x .
)nx
Vì K là nón chuẩn nên dãy (
Vậy, K là nón đều.
Định nghĩa 2.1.11 (Nón Minihedral mạnh)
X đều tồn tại sup M .
Nón K trong không gian Banach X được gọi là nón Minihedral mạnh nếu mọi tập M bị chặn trong
2.2. ÁNH XẠ ĐA TRỊ ĐƠN ĐIỆU
Định nghĩa 2.2.1
Cho X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K. Gọi A, B là các tập con của X. Ta
A B
: :
a A b B a b b B a A a b
, ,
định nghĩa quan hệ thứ tự giữa hai tập A, B như sau:
Định nghĩa 2.2.2
Cho X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K. Gọi A, B là các tập con của X. Ta
A B
a A b B a b
:
,
định nghĩa quan hệ thứ tự < giữa hai tập A, B như sau:
Định nghĩa 2.2.3
Cho X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K. Gọi A, B là các tập con của X. Ta
A
a A b B ,
a b
B
định nghĩa quan hệ thứ tự << giữa hai tập A, B như sau:
Tính chất 2.2.4
Ta có một số tính chất sau đây:
Cho X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K. Gọi A, B, C là các tập con của X. Khi đó:
A A A ,
2X
i)
thì A C
A B B C ,
B
A B
A B
ii) Nếu
iii) A
Chứng minh:
i) Hiển nhiên.
,
a A b B a b
. Khi đó, do B C nên
:
,
b B c C b c
:
ii) A B thì
,
a A c C a c
.
:
Nên
,
c C b A b c
:
(do
B C
)
Đồng thời ta cũng có
,
c C a A a c
:
,
b B a A a b
. Suy ra
:
Mà A B nên
A C
a A c C a c c C a A a c
: :
, ,
Vậy
A
: :
a b , , a b
a A b B
b B a A
a A b B a b b B a A a b
B
, ,
iii) nên nghĩa là A B
Ví dụ
K
[0,
. Ta xét các tập con của X như
)
Trong không gian Banach thực X = R với nón
sau: A = [1,2],
B = [0,3], C = [2,3]. Thì A << C, A < B, B C .
Định nghĩa 2.2.5
F M X .
:
2 X
Cho X là một không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K. Toán tử đa trị
x y M x ,
,
y
F x ( )
F y ( )
i) Toán tử đa trị F được gọi là toán tử đa trị đơn điệu nếu: .
x y M x ,
,
y
F x ( )
F y ( )
. ii) Toán tử đa trị F được gọi là đơn điệu nghiêm ngặt nếu:
Tính chất 2.2.6
F M X .
:
2 X
Cho X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K. Toán tử đa trị
F A ( )
F B (
)
Nếu F là toán tử đa trị đơn điệu và A < B thì i) .
Nếu F là toán tử đa trị đơn điệu nghiêm ngặt thì F cũng là toán tử đa trị đơn điệu. ii)
Nguyên lý Entropy
)M là một tập sắp thứ tự và hàm
,
S M thỏa: ;
[
)
:
Cho (
Mọi dãy tăng đơn điệu trong tập M đều có cận trên. i)
S đơn điệu tăng và bị chặn trên. ii)
v M v u ,
S u ( )
S v ( )
Khi đó, tồn tại u M sao cho:
2.3. ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ ĐƠN ĐIỆU
Định lý 2.3.1
:F M
X là ánh xạ đơn điệu thỏa:
x
)
Giả sử X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K, M X là tập đóng và
F M M , )
(
sao cho 0 0x M
F x 0(
i)
ii) F biến mỗi dãy tăng thuộc M thành dãy hội tụ
Khi đó, F có điểm bất động trong M.
M
/
Chứng minh
x M x
0
F x ( )
g x ( )
sup
F y ( )
F z
( ) :
y z M y , ,
z
0
x
Đặt
)g
0M và hàm (
. Ta sẽ áp dụng Nguyên lý Entropi cho tập
M
x M
x
F x
n
x n
0 ,
x n
: lim x
x
tăng, suy ra tồn tại i) Với mọi dãy
x ( do
). x
nx
n
F x n
Suy ra
)
)
:
z
:
z
x 1
x 2
2 0
x 2
2 0
x 1
g x ( 1
g x ( 2
y z M y ( , )
y z M y ( , )
và . ii) Với
a M
:
u M u ,
a
g u ( )
g a ( )
0
0
Do đó .
g a ( ) 0
y
,
:
a F y
,
(
)
)
Ta chứng minh
c
g a ( )
c , ta có 0
y M y 1
0
2
2
y 1
2
F y ( 1
:
y
y
F y (
)
)
g a ( )
c
Nếu
nên tồn tại
c
y y , 3
4
4
y 3
2
, F(y ) 4
3
g y 2(
Do
(
y
)
M F y
,
(
)
F y (
)
(vô lý)
0
c
n
2
n
2
n
1
Lặp lại quá trình như trên, ta có dãy tăng
g a nên
( ) 0
F y ( )
F a
( ),
y M y ,
. a
a M
Do
F a ( )
a
F F a (
( ))
F a ( )
b F a ( )
0
Vì nên hay là điểm bất động của F trong M.
Định lý 2.3.2 (Định lý Tarskii cho ánh xạ đa trị đơn điệu)[5]
M u v F M ,
,
:
là toán tử
2M
Giả sử X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K.
đa trị thỏa mãn:
a) F là toán tử đa trị đơn điệu.
b) K là nón Minihedral mạnh.
F x
( ),
. x M
c) sup ( ) F x
Khi đó, F có điểm bất động trong M.
Chứng minh
N
{
x M x /{ }
F x
( )}
Ta xét tập . Thì N khác rỗng và bị chặn trên bởi v.
Vì K là nón Minihedral mạnh nên tồn tại x* = supN.
Đặt y* = supF(x*). Ta có:
x N x ,{ }
F x ( )
.
x
* x
F x ( )
F x
( *)
x . Từ đó suy ra { }
F x
( *)
x
y * sup ( *)
F x
* x
y
*
Mặt khác: (1)
Vì x* y* nên suy ra F(x*) < F(y*) ( do F đơn điệu)
y Từ điều kiên c) suy ra *
F x
( *)
z F y
( *)
z . Suy ra:{ *}
y
F y
( *)
. Lúc đó tồn tại sao cho: *y
N
nên *y
* sup x
N
y
*
x
*
(2).
y * sup ( *)
F x
F x
( *).
Từ (1) và (2) suy ra * x
Vậy F có điểm bất động trong M.
Định lý 2.3.3
A B X A B
a A b B a b
:
,
,
,
M
u v ,
X F M :
.
là toán tử đa trị thỏa mãn:
2M
Giả sử X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K. Ta xét quan hệ thứ tự < như sau:
a) F là toán tử đa trị đơn điệu.
b) F là nón Minihedral mạnh.
F x ( )
F x
( ),
x M .
c) inf
Khi đó, F có điểm bất động trong M.
Chứng minh
N
{
x M x /{ }
F x
( )}
. Thì N khác rỗng và bị chặn trên bởi v. Ta xét tập
Vì K là nón Minihedral mạnh nên tồn tại x* = supN.
Đặt y* = infF(x*). Ta có:
x N x ,{ }
F x ( )
.
x
* x
F x ( )
F x
( *)
x . Từ đó suy ra { }
F x
( *)
x
y * sup ( *)
F x
* x
y
*
Mặt khác: (1)
Vì x* y* nên suy ra F(x*) < F(y*) ( do F đơn điệu)
y Từ điều kiên c) suy ra *
F x
( *)
z F y
( *)
z . Suy ra:{ *}
y
F y
( *)
. Lúc đó tồn tại sao cho: *y
N
nên *y
* sup x
N
y
*
x
*
(2).
* inf y
F x
( *)
F x
( *).
Từ (1) và (2) suy ra * x
Vậy F có điểm bất động trong M.
Chu ý
Định lý 2.3.2 sẽ không còn đúng nếu không có điều kiên c) ( tương tự như vậy đối với định
lý 2.3.3). Ví dụ sau đây chứng tỏ tầm quan trọng của điều kiện c) trong định lý 2.3.2.
Ví dụ
K
[0,
và quan hệ thứ tự < như sau:
)
A B ,
X A B
a A b B a b
. Ta xét toán tử đa trị F xác định bởi:
:
,
,
x
x ( ,
) khi
[0,
)
1 2
1 2
( ) F x
[
,1]
(0, ) khi x
x
1 2
Cho không gian số thực X = R với nón
y thì:
x y ,
[0,1]
Ta có sao cho x
0
y
x
:
F x ( )
x ( ,
)
F y ( )
y ( ,
)
1 2
1 2
1 2
.
0
x
y F x ( )
:
x ( ,
)
F y ( )
(0,
y
)
1 2
1 2
x
y
1:
F x ( )
x (0, )
F y ( )
(0,
y
)
x F x ( )
Như vậy, F là toán tử đa trị tăng nhưng không có điểm bất động ( vì không thể xảy ra ).
2.4. ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ TĂNG CÓ TÍNH CHẤT CO
Định lý 2.4.1
F X là toán tử đa trị thỏa
:
2 X
Giả sử X là không gian Banach được sắp thứ tử bởi nón K.
mãn:
a) F(x) đóng với mọi x thuộc X.
)
b) F là toán tử đa trị đơn điệu.
X sao cho
0x
x { } 0
F x ( 0
c) Tồn tại
F x ( )
F y ( )
B
(0,
q x .
y
)
với
K
x y X x ,
,
thì y
q
(0,1)
d) Tồn tại sao cho
.q x
y
B
(0,
q x .
y
)
*x
là quả cầu đóng tâm O bán kính là
X với
x 0
. Khi đó, F có điểm bất động *x
Chứng minh:
u F x
( ),
v F y u v v u
( ) :
,
q y .
x
y thì :
)
(*) Điều kiện d) có thể viết nếu x
x Do điều kiện c) ta có : 1
F x 0(
x 0
x . 1
sao cho
x
) :
,
2
F x ( 1
x 1
x 2
x 2
x 1
q x . 1
x 0
Từ (*), suy ra tồn tại
)nx
Lặp lại quá trình như trên, ta tìm được dãy ( thỏa mãn:
n
1
n
1
x ) : x q .n F x ( n x n x 1 x 0
n p
1
n p
1
x
x
n p
n
x k
1
x k
k q x 1
x 0
k n
k n
n p
1
n
k
q
x 1
x 0
x 1
x 0 .
q 1
q
k n
Suy ra
nx
là dãy Cauchy. Do đó, dãy
x
X sao cho * lim n x
n
. Vì X là không gian Banach nên tồn tại *x
x
x *,
n
)
F x
( *),
. n
F x ( n
1
n
1
nx
tăng nên suy ra: Dãy
y
q x
*
x
)
F x
( *)
F x (
n
1
n
ny
n
x n
x
n
1
y Suy ra: * lim n x
n
nên tồn tại sao cho: Ta có
F x
( *)
)
F x
( *)
ny
*x
. và theo điều kiên a) ta suy ra * x Dãy (
x . 0
Vậy F có điểm bất động *x và
Định lý 2.4.2
:
2M
F M là toán tử đa trị thỏa mãn:
Giả sử X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K. M X là một tập đóng,
( )F x đóng với mọi x X .
a)
b) F là toán tử đa trị đơn điệu.
c) K là nón chuẩn.
x
)
0x
X sao cho 0
F x 0(
:L X
d) Tồn tại .
X có phổ
( ) 1, r L
L K (
)
K
và thỏa mãn x
y
e) Tồn tại toán tử tuyến tính
u F x
( ),
v F y
( ) : 0
v u L y
(
x
)
thì: .
Khi đó, F có điểm bất động trong M.
n
1 n
q
(0,1)
n L
q
Chứng minh
n L
r L
( ) 1
nên tồn tại
lim n
)
Vì sao cho khi n đủ lớn.
x Do điều kiện d), ta có: 1
F x 0(
x 0
x . 1
sao cho
) :
)
Từ điều kiện e), ta suy ra:
x 2
F x ( 1
x 1
x x , 2 2
x 1
L x ( 1
x 0
.
)nx
) :
x
,
)
1
1
1
n L x ( 1
x 0
x n
F x ( n
n
x n
x n
x n
thỏa mãn: Lặp lại quá trình như trên, ta tìm được dãy số (
n
x
x
n N L .
N q .
.
n
n
1
x 1
x 0
x 1
x 0
Vì K là nón chuẩn nên có hằng số N sao cho:
n p
1
n p
1
x
x
.
n p
n
x k
1
x k
k N q x 1
x 0
k n
k n
n p
1
n
k
.
N x . 1
x 0
q N x 1
x 0
q 1
q
k n
Suy ra:
)nx
là dãy Cauchy. Do đó, dãy (
x
X sao cho * lim n x
n
. Vì X là không gian Banach nên tồn tại *x
x *,
. Suy ra
n
F x
( *),
. n
)nx
nx
1
nF x (
)
1
x
)
F x
( *)
tăng nên suy ra: Dãy (
F x (
n
1
n
ny
y
N L x
.
*
0
y
x
L x
( *
)
n
x n
x
n
1
n
n
x
n
1
Ta có nên tồn tại sao cho:
n
Suy ra: * lim n y x
)
F x
( *)
x và theo điều kiện a) ta suy ra *
F x
( *)
ny
. Dãy (
*x
x 0
. Vậy F có điểm bất động x* và
2.5. ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ TĂNG CÓ TÍNH COMPACT
Định lý 2.5.1
Giả sử X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K, M X là một tập đóng.
là ánh xạ đa trị đơn điệu thỏa mãn:
F M : 2 \M
i) F(x) đóng, x M .
x
)
0x
X sao cho 0
F x 0(
ii) Tồn tại .
x M y y ,
,
F x
( ),
y F x
( ) :
y y ,
. y
1
2
y 1
2
), (
y
)
y
(
)
iii)
x n
n
F x n
n
)ny hội tụ.
là các dãy tăng sao cho thì dãy ( iv) Nếu các dãy (
Khi đó, F có điểm bất động cực đại trong M.
Chứng minh
M
:
x M x
0
F x ( )
x M
Đặt
x
,
y F x ( )
y
0
với (*). Ta có thể giả sử
0M như sau:
Thật vậy, nếu ta định nghĩa toán tử G xác định trên
G x ( )
F x ( )
thì
x [ ,
)
x
,
y G x ( )
y
.
:G M
M 0
0
Mặt khác, ta có
y , từ đó suy ra
y G x ( )
F x ( )
F y ( )
y F x ( )
y M
F y ( )
0
Vì mà , nghĩa là . thì x nên y
Ngoài ra, G cũng thỏa mãn các điều kiện i), ii), iii), iv) của định lý.
Thật vậy ta có:
z .
G x ( )
nx
nx
và Xét x M , giả sử dãy
z F x ( )
nx
F x ( ) và do F(x) đóng nên . Khi đó:
x
n
nên suy ra x
z .
x ,n
Mặt khác
z G x ( )
Suy ra , nghĩa là G(x) đóng.
x
)
z
)
0
F x 0(
0x M sao cho 0
F x 0(
+ Theo giả thiết tồn tại . Khi đó tồn tại sao cho
z
z
)
[
;
)
)
x
)
x 0
0
F x ( 0
x 0
0
G x ( 0
G x 0(
. Suy ra: . , nghĩa là 0
y F x ( )
( ).
,
F x ( )
y y ,
. y
x M y y G x , 1
2
y y , 1
2
y 1
2
+ Suy ra nên tồn tại sao cho
y nghĩa là
,
x
y
y G x ( )
y y G x ( ) 1 2
y x , 1
2
( ),
,
y G x
( ) :
y y ,
Vì nên . suy ra x
. y
x M y y G x , 1
2
y 1
2
Vậy ta có:
(
)
y
(
)
,
n
y G x n
n
F x n
n
y là các dãy tăng sao cho . Khi đó, nên dãy + Giả sử các dãy x n
ny
hội tụ.
F M (
)
M
0
0
Từ (*), ta kiểm tra được
y F M
(
)
x M
y F x ( )
0
0
Thật vậy, với mỗi thì tồn tại sao cho
x
y
F x ( )
F y ( )
F y ( )
y M
y
0
0
x M
0
( vì ). Khi đó theo (*) ta có nghĩa là . F M ( F x ( ) )
Để áp dụng nguyên lý Entropy, ta kiểm tra hai điều kiện sau:
)nx
0M đều có cận trên.
y
(
)
trong Điều kiện 1: Chứng minh mọi dãy tăng (
)ny sao cho
n
F x n
n
y
( vì F đơn điệu) Khi đó, ta có thể chọn dãy tăng (
. ,
y
y lim n
ny
n
thì Đặt
y
(
)
x
n
y
,
)
F y
( ),
. n
n
F x n
n
F x ( n
F y ( )
y
z
Vì , nên theo (*), ta có
nz
n
n
)nz
sao cho . Do điều kiện c) ta có thể giả sử ( là dãy tăng. Khi đó, Khi đó, tồn tại
z F y ( )
nz hội tụ về
z
n
z
z
,
,
dãy .
n y
n
n
Ta có
y
z
F y ( )
y M
y
0
nghĩa là . Suy ra:
y M
)nx
0
có cận trên . Vậy dãy tăng (
0M .
Điều kiện 2: Tồn tại một hàm đơn điệu tăng và bị chặn trên xác định trên
x M
0
( ),
( ),
/
y
z y z M ;
,
u v M M u v u F y v F z x ( , ) ,
xM
0
0
0
, ta đặt: Với
x x M
x
xM .
nên Ta có ( , )
S M xác định bởi: ]
[0;
:
0
S x ( )
sup
u v
/( , )
u v M
x
Xét hàm
y thì
)S là hàm tăng.
M
M
y
x
Nếu x nên S là hàm giảm. Do đó (
a M
(
)S
0M và hàm
0
Áp dụng nguyên lý Entropy cho , thì tồn tại sao cho:
S x ( )
S a ( )
x M x a 0 ,
(**)
S a . ( ) 0
Ta chứng minh
( )S a .
0 sao cho
,
,
,
Giả sử ngược lại tồn tại
x x y y sao cho: 2
1
2
Tồn tại 1
a
x 2 ),
y
),
y
F x ( 2
y 1
2
x 1 F x ( 1 2 y 2
y 1 y 1
a
)
. S a
( )
y M 2
0
S y 2(
,
,
,
, theo (**), suy ra : Vì
x x y y sao cho: 3 4
4
3
y
x 4 ),
y
F x (
),
y
y 3
4
4
y 3 y 3
x 3 F x ( 3 4 y 4
y
)
x
y
x
Tiếp tục, ta chọn
2
F x 2(
2
2
x 3
2
)
y
Vì , nên theo (*), ta có : suy ra .
y 3
F x 3(
x 3
y 3
2
y 3
Vì , nên theo (*), ta có : suy ra .
a
)
S a
( )
y M 3
0
S y 3(
), (
y
)
y
(
)
Khi đó. , suy ra:
y
(
x n
n
n
F x n
1
y 2
n
2
n
Làm tương tự, ta sẽ có các dãy ( tăng sao cho thỏa mãn :
điều này mâu thuẩn với điều kiện d))
S a ( ) 0
Vậy
b F a ( )
Ta chứng minh: mỗi là điểm bất động của F trong M.
c F b ( )
b c F b ( )
b c M
Thật vậy, với mỗi , ta có: .
a b F a ( )
a
nên suy ra ( , ) Vì
b c F b ( )
b c
S a
( ) 0
Suy ra: nên b là điểm bất động của F .
b F a ( )
. Vậy F có điểm bất động
b F a ( )
là điểm bất động cực đại trong M. Ta chứng minh:
a
x
b x b F a ( )
b x M ( , )
b x
S a
( ) 0
a
Thật vậy, nếu x là điểm bất động của F trong M và x b thì:
Suy ra x b .
b F a ( )
Vậy là điểm bất động cực đại của F trong M.
Hệ quả 2.5.2
M u v
,
X F M
,
:
2 \M
là toán tử đa trị đơn điệu thỏa mãn:
Giả sử X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K.
( )F x đóng, x M .
a)
x M y y ,
,
F x
( ),
y F x
( ) :
y y ,
. y
1
2
y 1
2
b)
c) K là nón đều.
Khi đó F có điểm bất động trong M.
M u v
,
F u ( )
Chứng minh
x
), (
y
)
y
(
)
Do . nên u
n
n
F x n
n
)ny hội tụ.
n
v
,
Ta chứng minh: nếu ( là các dãy tăng sao cho thì (
và K là nón đều nên (
ny
)ny hội tụ.
Thật vậy, do
Như vậy các điều kiện a), b), c) của hệ quả 2.5.2 thảo các điều kiện a), b), c), d) trong định lý 2.5.1.
Vậy F có điểm bất động.
Hệ quả 2.5.3
M u v
,
X F M
,
:
2 \M
là toán tử đa trị đơn điệu thỏa mãn:
Giả sử X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K.
( )F x đóng, x M .
x M y y ,
,
F x
( ),
y F x
( ) :
y y ,
a)
. y
1
2
y 1
2
b)
c) K là nón chuẩn và X là không gian phản xạ.
Khi đó F có điểm bất động trong M.
Chứng minh
Ta có, nếu K là nón chuẩn và X là không gian phản xạ thì K là nón đều. Từ đó áp dụng hệ
quả 2.5.2 ta có kết quả toán tử F có điểm bất động.
Định lý 2.5.4
0X là không gian con đóng của X ,
F M
:
2 \M
Giả sử X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K.
là toán tử đa trị đơn điệu thỏa mãn:
M là tập con đóng của X ,
( )F x đóng, x M .
a)
x
)
0x
X sao cho 0
F x 0(
b) Tồn tại .
X
F x ( )
và hơn nữa:
x M
,
F x
( ),
y F x
( ) :
y y ,
. y
0
y y , 1
2
y 1
2
c)
), (
y
)
y
)
F x ( )
x n
n
n
F x ( n
)ny
là các dãy tăng sao cho hội tụ. d) Nếu các ( thì dãy (
Khi đó F có điểm bất động trong M.
Chứng minh
M
:
x M x
0
F x ( )
x M
Đặt
x
,
y F x ( )
y
0
Ta có thể giả sử với (*).
0M như sau:
Thật vậy, nếu ta định nghĩa toán tử G xác định trên
G x ( )
F x ( )
thì
x [ ,
)
x
,
y G x ( )
y
:G M
.
M 0
0
y M
Mặt khác, ta có
y , từ đó suy ra
y G x ( )
F x ( )
F y ( )
y F x ( )
F y ( )
0
Vì mà , nghĩa là . thì x nên y
Ngoài ra, G cũng thỏa mãn các điều kiện a), b), c), d) của định lý.
Thật vậy ta có:
z .
nx
nx
G x ( ) và Xét x M , giả sử dãy
z F x ( )
nx
x
n
F x ( ) và do F(x) đóng nên . Khi đó:
nên suy ra x
z .
x ,n
Mặt khác
z G x ( )
, nghĩa là G(x) đóng. Suy ra
z
)
x
)
0
F x 0(
0x M sao cho 0
F x 0(
+ Theo giả thiết tồn tại . Khi đó tồn tại sao cho
z
z
)
[
;
)
)
x 0
0
F x ( 0
x 0
0
G x ( 0
x ) . Suy ra: . , nghĩa là 0 G x 0(
X
F x ( )
nên suy ra
x M y y ,
,
G x
( ).
F x ( )
0
X 0
2
y y , 1
2
X 0
1
+ Vì Suy ra
y X
F x ( )
y y ,
. Vì
y
G x ( )
x
y
0
y 1
2
y y , 1
2
X 0
y x , 1
2
nên tồn tại sao cho nên suy ra
x
y nghĩa là
y X
G x ( )
0
.
x M y y ,
,
G x
( ),
y X
G x
( ) :
y y ,
. y
X 0
2
1
0
y 1
2
Vậy ta có:
y
)
y
,
n
X 0
G x ( n
x n
n
là các dãy tăng sao cho . + Giả sử các dãy
y
F x (
)
n
X 0
n
ny
hội tụ. Khi đó, nên dãy
F M (
)
M
0
0
Từ (*), ta kiểm tra được
y F M
(
)
x M
y F x ( )
0
0
Thật vậy, với mỗi thì tồn tại sao cho
y M
x
y
F x ( )
F y ( )
F y ( )
y
0
0
x M
0
). Khi đó theo (*) ta có nghĩa là . ( vì F M ( F x ( ) )
Để áp dung nguyên lý Entropy, ta kiểm tra hai điều kiện sau:
)nx
0M đều có cận trên.
trong Điều kiện 1: Chứng minh mọi dãy tăng (
y
F x (
)
)ny sao cho
n
X 0
n
n
y
( vì F đơn điệu) Khi đó, ta có thể chọn dãy tăng (
. ,
y
ny
y lim n
n
Đặt thì
y
F x (
)
x
n
y
,
)
F y
( ),
. n
n
X 0
n
n
F x ( n
Vì , nên theo (*), ta có
F y ( )
y
z
nz
X 0
n
n
)nz
z X
F y ( )
Khi đó, tồn tại sao cho . Do điều kiện c) ta có thể giả sử ( là dãy tăng.
nz hội tụ về
0
Khi đó, dãy .
z
n y
n
z
z
,
,
n
n
y
z
F y ( )
y M
Ta có
y
0
y M
Suy ra: nghĩa là .
)nx
0
Vậy dãy tăng ( có cận trên .
0M .
x M
Điều kiện 2: Tồn tại một hàm đơn điệu tăng và bị chặn trên xác định trên
0
Với , ta đặt:
u v M M u v u F y v F z x ( , ) ,
xM
0
0
0
( ), ( ), / y z y z M ; ,
x x M
xM .
x
[0;
:
nên Ta có ( , )
S M xác định bởi: ]
0
S x ( )
sup
u v
/( , )
u v M
(
X
X
0
x
0
)
Xét hàm
M
M
M
(
X
X
)
M
(
X
X
)
)S
y thì
y
x
y
0
0
0
0
x
là nên S là hàm giảm. Do đó ( Nếu x
a M
hàm tăng.
(
)S
0M và hàm
0
Áp dung nguyên lý Entropy cho , thì tồn tại sao cho:
S x ( )
S a ( )
x M x a 0 ,
(**)
S a . ( ) 0
Ta chứng minh
0 sao cho
( )S a .
,
,
,
Giả sử ngược lại tồn tại
x x y y sao cho: 2
1
2
a
),
y
),
y
F x ( 1
2
X 0
F x ( 2
y 1
2
x x 1 2 X 0 y 2
y 1 y 1
Tồn tại 1
a
)
. S a
( )
y M 2
0
S y 2(
Vì , theo (**), suy ra :
,
,
x x , 3
4
y y sao cho: 3
4
Tiếp tục, ta chọn
y
),
y
),
y
x 4 F x ( 3
4
X 0
F x ( 4
y 3
4
x 3 X 0 y 4
y 3 y 3
y
)
x
y
x
2
F x 2(
2
2
2
x 3
)
y
, nên theo (*), ta có : suy ra . Vì
y 3
F x 3(
x 3
y 3
2
y 3
a
)
( )
Vì , nên theo (*), ta có : suy ra .
S a
y M 3
0
S y 3(
Khi đó. , suy ra:
y
x
), (
y
)
y
)
n
n
n
X 0
F x ( n
1
y 2
n
2
n
tăng sao cho thỏa mãn : Làm tương tự, ta sẽ có các dãy (
( điều này mâu thuẩn với điều kiện d))
S a ( ) 0
Vậy
b X
F a ( )
0
c X
F b ( )
b c X
F b ( )
là điểm bất động của F trong M. Ta chứng minh: mỗi
0
0
Thật vậy, với mỗi , ta có: .
a b X
F a ( )
b c M ( , )
(
X
X
)
0
0
0
a
b c
S a
( ) 0
Vì nên suy ra
b c X
F b ( )
0
nên b là điểm bất động của F . Suy ra:
b F a ( )
Vậy F có điểm bất động .
Định lý 2.5.5
M u v , X F M , : 2M là toán Giả sử X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K.
tử đa trị đơn điệu thỏa mãn:
a) K là nón chuẩn.
b) F là toán tử đa trị đơn điệu nghiêm ngặt.
)nx
))nF x (
)ny
sao cho c) Nếu ( là dãy đơn điệu thì từ dãy ( ta có thể lấy dãy hội tụ (
y
(
)
n
F x n
.
Khi đó F có điểm bất động trong M.
u M
Chứng minh
M
x M x :{ }
F x ( )
0M (Vì
0
0
Ta đặt thì ).
F M (
)
M
0
0
z F M
(
)
F x ( )
Ta chứng minh: .
z F x ( )
0
sao cho
x M
0
. , tồn tại x
z .
x F x ( )
nên x Vì
F x ( )
F z
( ).
z M
Do F đơn điệu nghiêm ngặt nên suy ra:
z F z ( )
z F x ( )
0
(vì ), suy ra
F M (
)
M
0
0
N M
,x y N
x
y
. Vậy
hay y
x .
0
Giả sử là một tập con sắp thẳng nghĩa là
0M .
Ta chứng minh N có cận trên trong
F N là một tập compact đương đối.
(
)
y
(
)
Trước hết ta chứng minh
N sao cho
y
)
F N (
)
F x ( )
nx
n
F x n
n
x N
)
. Khi đó với mỗi n, tồn tại . Thật vậy, giả sử dãy (
)nx
knx
y
),
Do N là tập sắp thẳng nên từ dãy ( , ta có thể chọn được dãy con ( hội tụ (theo mệnh đề
. k
' n k
F x ( n k
' kny
với 2.1.5) Theo điều kiện c), tồn tại dãy
y
y .
' kn
lim k
Đặt
x
...
nên
...
)
F x (
)
...
F x (
)
...
x n 2
n 1
x n k
F x ( n 1
n 2
n k
Vì
y
y
y
n
' n k
1
k
' n k
1
y (do K là nón chuẩn).
. Khi đó ta có:
kny
Cho k thì ta có
F N là tập compact tương đối.
(
)
)
)
F N (
)
ny
kny
hội tụ, nên , ta tìm được dãy con ( Vậy từ dãy (
Ta chứng minh N có cận trên.
F N compact tương đối nên tồn tại dãy (
(
)
F N . Khi đó
(
)
Do trù mật khắp nơi trong
n u ,
N z :
F u (
)
u
u
n
n
n
' n
n
)nz . Vì N là tập sắp thẳng nên ta có thể xây dựng dãy tăng
u
u
. n
n
' , n
và
v
)
'( F u n
n
nv
' nu , tồn tại dãy tăng
hội tụ với . Theo điều kiện c), từ dãy tăng
v lim n
x 0
n
Đặt .
nên
n
)
),
n
)
)
nv
x 0 ,
F v ( n
F x ( 0
F v ( n
F x ( 0
v
F u (
)
F M (
)
M
v
)
Vì .
n
n
F v ( n
' n
0
0
Mà
),
n
)
nv
F x 0(
x { } 0
F x ( 0
x M 0
0
F x
( ) { },
x N
Suy ra nghĩa là .
x 0
. Thật vậy xét x N Ta lại có
t F x ( )
t F N
(
)
z
)
z (
)
t .
n
kn
knz
thì sao cho nên tồn tại dãy (
u
u
...
u
nên
...
F u (
)
F u (
)
...
F u (
)
...
' n
' n 1
2
' n k
' n 2
' n k
' n 1
z
z
z
,
( do K là nón chuẩn ).
k
t
Vì
n
n k
k
1
n k
1
v n k
Suy ra:
k
t
F x
nên suy ra
x . Vậy
x 0 ,
0
x ( ) { } 0
knv
Mà .
F x
F x ( )
x
x ( ) { } 0
x 0{ }
x 0
và nên suy ra . Như vậy với mọi x N ta có:
Vậy N có cận trên.
0M có cận trên thì
0M có phần tử cực đại x*.
Theo bổ đề Zorn, mọi tập con sắp thẳng N của
Ta chứng minh x* là điểm bất động của F .
t F x
( *)
t
x
*
0M )
t M 0
*x M
thì (vì x* là phần tử cực đại của Thật vậy
t .
x Mà *
F x
( *)
0
(vì ) nên *x
t F x
( *)
. Từ đó suy ra * x
Vậy x* là điểm bất động của F .
Hệ quả 2.5.6
M u v , X F M , : Giả sử X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K. 2M là
toán tử đa trị đơn điệu thỏa mãn:
a) K là nón đều.
b) F là toán tử đa trị đơn điệu nghiêm ngặt.
Khi đó F có điểm bất động trong M.
Chứng minh
)nx
x
...
x
.
...
v
x 1
2
n
là dãy đơn điệu tăng trong M, ta có: Giả sử (
)
)
...
)
...
F v ( )
F x ( 1
F x ( 2
F x ( n
Do F là toán tử đơn điệu nghiêm ngặt nên:
y
(
)
n
F x n
y
...
y
.
...
v
y 1
2
n
Ta có thể chọn sao cho:
)ny
)ny
tăng và bị chặn trên, nên dãy ( hội tụ (vì K là nón đều). Suy ra dãy (
M u v
,
X F M
,
:
Theo kết quả của định lý 2.5.4, F có điểm bất động trong M. Hệ quả 2.5.7
2M là
Giả sử X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K.
toán tử đa trị đơn điệu thỏa mãn:
a) K là nón chuẩn và K là không gian phản xạ.
b) F là toán tử đa trị đơn điệu nghiêm ngặt.
Khi đó F có điểm bất động trong M.
Chứng minh
Theo mệnh đề 2.1.10 trong chương 1, nếu K là nón chuẩn và X là không gian phản xạ thì K
là nón đều.Vậy ta suy ra được các điều kiện của hệ quả 2.5.6 nên F có điểm bất động trong M.
Hệ quả 2.5.8
M u v
,
X F M
,
:
2M là
Giả sử X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K.
toán tử đa trị đơn điệu thỏa mãn:
a) K là nón chuẩn.
b) F là toán tử đa trị đơn điệu nghiêm ngặt.
c) F là toán tử compact.
Khi đó F có điểm bất động trong M.
Chứng minh
...
v
...
)nx
x là dãy đơn điệu trong M, ta có: 1
x 2
x n
y
(
)
Giả sử (
F M là tập compact tương đối (vì
(
)
n
F x n
Vì F là toán tử chặt nên ta có thể chọn được . Do
y
y
n
kn
F là toán tử compact) nên tồn tại
kny
hội tụ. sao cho
ny
y
(
)
là dãy hội tụ. Vì K là nón chuẩn nên suy ra
ny
)nx
F x n
n
Vậy với dãy đơn điệu ( hội tụ với . ta chọn được dãy
Theo định lý 2.5.4, suy ra F có điểm bất động trong M.
2.6. ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ T – ĐƠN ĐIỆU ĐA TRỊ
:T X
Định nghĩa 2.6.1
X .
Cho X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K và toán tử tuyến tính
C được gọi là điểm chính quy của T nếu ( .
I T
)
là một song ánh, với I là toán tử đồng Số
T ( )
nhất trong X.
/
Ta ký hiệu là điểm chính quy của T . Khi đó ta định nghĩa phổ của T là:
T ( )
C T ( \
)
.
:T X
Định nghĩa 2.6.2
X và
Cho X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K . Cho toán tử tuyến tính
F X .
2 X
:
F được gọi là toán tử đa trị T – đơn điệu nếu thỏa mãn:
toán tử đa trị
x y X x ,
,
thì y
T y (
x
)
F x ( )
F y ( )
.
Bổ đề 2.6.3
F M u v
:
,
và toán tử tuyến tính
2M
:T X
X .
Cho X la không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K. Cho toán tử đa trị
)
( )T
x
( .
I T
)
1 .( .
F T x )( )
x F x ( )
thì ta có: Xét . Nếu (
Chứng minh
)
( )T
I T
)
là một song ánh. Vì ( nên ( .
x F x ( )
x T x ( )
F x ( )
T x ( )
( .
I T x )( )
(
F T x )( )
1
1
( .
I T
)
( .
I T x )( )
( .
I T
)
(
F T x )( )
x
( .
I T
1 .( .
)
F T x )( )
Khi đó ta có:
:T X
X .
Bổ đề 2.6.4
Cho X la không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K và toán tử tuyến tính
,A B M sao cho A B thì ta có:
)
( )T
1
1
( .
I T
)
.(
A )
( .
I T
)
.(
B
)
và Xét . Nếu (
1
Chứng minh
I T x )( )
A
x
( .
I T
)
.(
A )
Lấy bất kỳ , suy ra ( .
I T x )( )
y
Vì A B nên tồn tại y B sao cho ( .
)
( )T
I T
)
1
x
( .
I T
)
y ( )
1
1
là một song ánh, nên suy ra: Vì ( nên ( .
( .
I T
)
y ( )
( .
I T
)
(
B
)
1
1
( .
I T
)
.(
A )
( .
I T
)
.(
B
)
Mà nên suy ra:
Bổ đề 2.6.5
:T X
X . Giả sử
Cho X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K và toán tử tuyến tính
F M u v
:
,
là chặt và T – đơn điệu thoả mãn:
2M
toán tử đa trị
a) T là toán tử tuyến tính dương.
(0,1)
)
( )T
( )T x
x
b) Tồn tại và sao cho ( thì x K .
S
( .
I T
)
1 .( .
F T
)
Khi đó là toán tử đa trị đơn điệu trên M.
Chứng minh
(0,1)
)
( )T
( )T x
x
1
Xét và sao cho ( thì x K . (*)
I T ( .
)
1
Ta chứng minh là một song ánh dương.
)
( )T
I T ( .
)
1
nên là một song ánh. Thật vậy, vì (
I T ( .
)
1
x
( .
I T
)
(
K
)
Do đó, cũng là một song ánh.
Lấy bất kỳ
y
( .
I T x )( )
Thì tồn tại y K sao cho
x T x ( )
K
x T x
( ) 0
( )T x
x
Suy ra:
1
Theo (*), ta suy ra: x K
( .
I T
)
(
K
)
K
1
Suy ra
I T ( .
)
Vậy là một song ánh dương.
Ta chứng minh S là toán tử đa trị đơn điệu trên M.
x y M x ,
,
ta có:
y
T y (
x
)
F x ( )
Với mỗi
T y (
x
)
F x ( )
F y ( )
(0,1)
F x ( )
T x ( )
F y ( )
T y ( )
(
F T x )( )
(
F T y )( )
1
(vì ) Suy ra:
I T ( .
)
1
1
( .
I T
)
.(
F T x )( )
( .
I T
)
.(
F T y )( )
S x ( )
S y ( )
Vì là toán tử tuyến tính dương nên suy ra:
Vậy S là toán tử đa trị đơn điệu trên M.
Định lý 2.6.6
:T X
X . Giả sử
Cho X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K và toán tử tuyến tính
F M u v
:
,
thoả mãn:
2M
toán tử đa trị
a) K là nón đều.
b) F là toán tử đa trị T – đơn điệu.
c) T là toán tử tuyến tính dương.
(0,1)
)
( )T
( )T x
x
d) Tồn tại và thì x K . sao cho (
Khi đó F có điểm bất động trong M.
Chứng minh
S
( .
I T
)
1 .( .
F T
)
Ta xét toán tử đa trị:
Từ điều kiện c), d) và theo bổ đề 2.6.5, ta có S là toán tử đa trị đơn điệu trong M.
S x
( *)
*x M
sao cho * x
Theo hệ quả 2.5.2
x *
S x
( *)
( .
I T
)
1 .(
F T x
)( *)
x *
F x
( *)
Theo bổ đề 1 ta có:
Vậy F có điểm bất động trong M.
Hệ quả 2.6.7
:T X
X . Giả sử
Cho X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K và toán tử tuyến tính
F M u v
:
,
thoả mãn:
2M
toán tử đa trị
a) X là không gian phản xạ.
a) K là nón chuẩn.
b) F là toán tử đa trị T – đơn điệu.
e) T là toán tử tuyến tính dương.
(0,1)
)
( )T
( )T x
x
f) Tồn tại và sao cho ( thì x K .
Khi đó F có điểm bất động trong M.
Chứng minh
Ta đã có kết quả: nếu K là nón chuẩn và X là không gian phản xạ thì K là nón đều.
Áp dụng định lý 2.6.6, suy ra F có điểm bất động trong M.
KẾT LUẬN
Qua quá trình nghiên cứu tài liệu, được sự chỉ dẫn, lý giải thêm của thầy hướng dẫn chúng tôi
đã nắm được nội dung một số kết quả cổ điển về điểm bất động của một số lớp ánh xạ đa trị và một
số mở rộng ban đầu về điểm bất động của ánh xạ đa trị tăng, ánh xạ đa trị tăng có tính chất co,
compact và T – đơn điệu. Tuy nhiên, chúng tôi chưa có điều kiện trình bày các ứng dụng của các kết
quả trên vào việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của các lớp phương trình cụ thể. Một số hướng có
thể phát triển luận văn là:
1. Làm giảm nhẹ các điều kiện của các kết quả trình bày trong luận văn.
2. Tìm các ứng dụng của kết quả lý thuyết vào việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của các lớp
phương trình cụ thể như phương trình vi phân, phương trình tích phân ….
Qua quá trình làm luận văn tôi đã thấy các kiến thức học được trong các phần giải tích: giải
tích hàm nâng cao, giải tích phi tuyến, lý thuyết bậc tô pô… đã giúp tôi rất nhiều trong việc hoàn
thành luận văn này. Quan trọng hơn là bước đầu tôi đã học được phương pháp tự học và nghiên cứu.
Tôi hy vọng sẽ được học tập và nghiên cứu thêm về ứng dụng của đề tài này.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. K. Deimling (1984), Nonliear Functional Analysis, Springer – Verlag.
2. Đào Bảo Dũng, Toán tử đa trị đơn điệu tăng trong không gian Banach có thứ tự và ứng dụng
Luận văn thạc sỹ, ĐHSP TP.HCM, 2000
3. L. Gasinski, N.S. Papageorgiou (2005), Nonlinear Analysis, Chamman and Hall / CRC.
4. Nguyen Bich Huy (2002), “Fixed points of increasing multivalued operators and an application
to quasimonotone elliptic equations”, Nonlinear Analysis, 51, pp. 673-678.
5. Nguyễn Bích Huy, Nguyễn Hữu Khánh
Fixed point for multivalued increasing operrators (gởi đăng).
6. Phan Quốc Khánh (1999), Giải tích đa trị,
Giáo trình cao học, ĐHQG TP.HCM
7. Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình giải tích đa trị, nhà xuất bản khoa học tự nhiên và công
nghệ.
8. E. Zeidler (1985), Nonlinear Analysis and its Applications, Springer – Verlag.
![Luận văn Thạc sĩ: Tổng hợp và đánh giá hoạt tính chống ung thư của hợp phần lai chứa phần tetrahydro-beta-carboline và imidazo[1,5-a]pyridine](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250816/vijiraiya/135x160/26811755333398.jpg)
