Luận văn Thạc sĩ Toán học: Điểm bất động của lớp ánh xạ tăng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH _________________________ Bùi Thị Doan

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA LỚP ÁNH XẠ TĂNG

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY

Thành Phố Hồ Chí Minh - 2010

LỜI CẢM ƠN

Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến :

Quý Thầy Cô thuộc khoa toán trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh đã

nhiệt tình dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu và học tập của

khóa học.

Ban giám hiệu, các quý thầy cô phòng sau đại học trường ĐHSP

đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt khóa học.

Ban giám hiệu, các thầy cô đồng nghiệp trường THPT Xuyên

Mộc đã tạo điều kiện và giúp đỡ mọi mặt để tôi hoàn thành luận văn.

Đặc biệt là PGS.TS Nguyễn Bích Huy đã tận tình hướng dẫn,

giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn này.

TP.Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 10 năm 2010

Học viên: Bùi Thị Doan

MỞ ĐẦU

Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự được xây dựng từ những năm 1940 và

đựơc phát triển, hoàn thiện cho đến tận nay. Lý thuyết này tìm được những ứng dụng rất đa

dạng và có ý nghĩa để nghiên cứu nhiều lớp phương trình cụ thể xuất phát từ Toán học, Khoa

học Tự nhiên, Y học, Kinh tế học,…

Trong lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự thì lớp phương trình với ánh xạ tăng

đóng vai trò rất quan trọng. Khi nghiên cứu các phương trình dạng này ta có thể nghiên cứu sâu

hơn các tính chất nghiệm như sự duy nhất, tính ổn định của nghiệm, tính gần đúng của nghiệm

nhờ các dãy lặp đơn điệu,…. Các định lý đầu tiên của Tarskii và Krasnoselskii về điểm bất động

của ánh xạ tăng đòi hỏi các điều kiện khá ngặt đặt lên nón (nón Minihedral) hoặc lên ánh xạ

(điều kiện hoàn toàn liên tục). Với việc sử dụng các nguyên lý cơ bản về tập có thứ tự như bổ đề

Zorn, Nguyên lý đệ quy tổng quát, Nguyên lý Entropy thì điều kiện liên tục của ánh xạ đã được

bỏ qua và điều kiện Compact đã được giảm nhẹ rất nhiều trong các định lý điểm bất động của

Krasnoselskii, Carl, Heikkila, …được tìm ra gần đây.

Để nghiên cứu các lớp phương trình mới xuất phát từ khoa học thì gần đây các nhà nghiên

cứu đã khảo sát các lớp ánh xạ có thể nghiên cứu bằng cách đưa về các ánh xạ tăng hoặc bằng

các phương pháp tương tự khi xét ánh xạ tăng, đó là lớp ánh xạ T-đơn điệu và hỗn hợp đơn điệu.

Gần đây các ánh xạ đa trị đơn điệu cũng đã được nghiên cứu và ứng dụng.

Các kết quả về phương trình với ánh xạ tăng thu được cho đến nay rất phong phú và đa dạng

nhưng chỉ được trình bày trong các bài báo khoa học. Luận văn muốn giới thiệu một cách hệ

thống với các chứng minh chi tiết cho các kết quả về một số lớp ánh xạ tăng quan trọng và

thường gặp nhất. Luận văn có 5 chương.

Chương 1.Các khái niệm sử dụng.

Chương 2. Điểm bất động của toán tử đơn điệu liên quan đến tính compắc.

Chương 3. Điểm bất động của toán tử T-đơn điệu.

Chương 4. Điểm bất động của toán tử hỗn hợp đơn điệu.

Chương 5.Ứng dụng .

Chương 1. Ở chương đầu này trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản trên không gian

Banach có thứ tự như nón, nón sinh, nón chuẩn ,nón chính quy,ánh xạ tăng ( ánh xạ đơn

điệu)…, đặc biệt là nguyên lý Entropi (Brezis, Browder) mà sẽ được dùng để chứng minh các

định lý cơ bản của luận văn.

Chương 2. Chương này trình bày về điểm bất động của các toán tử compact đơn điệu,

compact đơn điệu tới hạn và điểm bất động của toán tử đơn điệu trên không gian với nón

Minihedral- mạnh.

Chương 3. Trình bày về điểm bất động của toán tử T-đơn điệu, nguyên lý ánh xạ co trên các

phần tử so sánh được và phương trình toán tử ngược dương.

Chương 4. Trình bày về toán tử hỗn hợp đơn điệu và điểm bất động, điểm bất động của toán

tử hỗn hợp đơn điệu

Chưong 5. Là chương kết thúc của nội dung luận văn, trình bày một vài ứng dụng điểm bất

động của một số lớp ánh xạ tăng vào bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phân.

Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM SỬ DỤNG

1.1 Không gian Banach có thứ tự

1.1.1 Nón và thứ tự sinh bởi nón

Định nghĩa 1.1.1: Cho X là không gian Banach thực.

1. Tập K chứa trong X được gọi là nón nếu

i. K là tập đóng

K K K  



K K 

  

ii.

iii.

(

)



  K  



2. Nếu K là nón thì thứ tự trong X sinh bởi nón K được định bởi



    y

Mỗi

gọi là dương



  x K 

Mệnh đề 1.1.1 Giả sử “  ” là thứ tự sinh bởi nón K. Khi đó:

z X

y



z    

y   

0 ,    

(

),lim

, lim

)

ii. (







y  x

x n

(cid:0)



iii. Nếu dãy {xn} tăng, hội tụ về x thì

  (cid:0)

Chứng minh

i. Với mọi z X

ta có y + z –(x + z) = y- x K (vì x

y ) nên

y z   

Với mọi

0 ,

) x K

(

ta có y - x K nên

   suy ra x

y  

ii. Vì

x n

    n

x n

Mà

)

và K là tập đóng



y  

x n

lim ( n 

Nên (

x K )

y    

tăng nên

iii. Vì dãy  nx

x n

x  n m

  (cid:0)

Cố định n, cho m   ta có

n mx

 

suy ra



  (cid:0)

x y y hay x K x

1.1.2 Nón chuẩn

Định nghĩa 1.1.2 Nón K được gọi là nón chuẩn nếu:

x N y

N > 0 : 0 x

y    

Mệnh đề 1.1.2 Giả sử "

" là thứ tự sinh bởi nón chuẩn K. Khi đó

i. u

u v ,

x X u

v thì đoạn

bị chặn theo chuẩn

x  

 :  

 v

và



ii. Nếu



x n

lim n 

Thì



đơn điệu, có dãy con hội tụ về a

lim y n  iii. Nếu dãy  nx

Thì



lim x n n 

Chứng minh

i. Với

u v ,

x u v u     

x  

x   

N v u

Mà K nón chuẩn nên N > 0 sao cho x u







x  



x u 



v u 





v u 



bị chặn theo chuẩn

,u v

ii. Ta có 0









x n

Mà K nón chuẩn nên N > 0 sao cho

N z







x n

N z













x n

a N a x n





a N z 







x n

a N a x n

(





a N z 





a x  n

suy ra

Vì







x n

lim n 

lim y n 

hội tụ về a

iii. Giả sử dãy  nx

lim n  knx tăng có dãy con 

Với n cố định, k đủ lớn ta có

x n

x n k

Cho k   ta có

n    (cid:0)

Cho

thì ta có





0 , chọn

0k để

knx

 N

 

n n     k

a x n

a x n k



 





a x n

a x  n k

Vậy



(cid:0)

lim x n n 

1.1.3 Nón chính quy (Regular cone)

Định nghĩa 1.1.3: Nón K được gọi là nón chính quy nếu mọi dãy tăng, bị chặn trên thì hội

tụ

Mệnh đề 1.1.3: Nón chính quy là nón chuẩn.

Chứng minh

Giả sử K là nón chính quy nhưng K không là nón chuẩn

Khi đó

mà

2 n y



 

* n N x y 

 sao cho: 0



x n

ta có

Đặt



nu 

x n x n

ta có





v n

1 2 n

y x n

y n x n

hội tụ suy ra

Vì

v n

  n 1 

  hội tụ n 1 

1   hội tụ nên 2 n n 1 



Đặt





...  

u 1

u 3

v   , n 1 



Ta có dãy (sn) tăng và bị chặn trên (vì

  (cid:0) )

K là nón chính quy nên dãy (sn) hội tụ

điều này là vô lý vì

Suy ra



nu  (cid:0) 1

  hội tụ suy ra lim    n 1 

1.1.4

Nón sinh (Repro ducing cone)

Định nghĩa 1.1.4: Nón K được gọi là nón sinh nếu X= K – K hay x X, u,v

 

  K sao

cho x u v  

Mệnh đề 1.1.4: Nếu K là nón sinh thì tồn tại M>0 sao cho

x X, u,v

K x u v

u M x

v M x

   

 



Chứng minh:

Đặt

C K B



( ,1) 



( ,1) 



K B 



Vì K là nón sinh nên

 

1n 



Thật vậy

suy ra



* n N x n C :   0

x   

1n 

Suy ra

mà

u v B

,  

( ,1) 





, x X (vì K nón sinh và

x n u n v 0 0

n u n v K ) ,  0 0



,u v K



Ngược lại x X

  suy ra

 mà x u v  

Ta có

u B

v B

)

( , 

1 u

1 v

Suy ra

( ,1),

( ,1)



u B 



v B 

u v n B

max

,  



( ,1) , 

n 0







( ,1)

nB 

, u v   

1 



x   

1 

Ta chứng minh :

r  sao cho

( , ) C r  



mà X là không gian Banach nên

mở trong X sao

Vì

, G 

n  0

(cid:0)

 

1n 

cho

G n C

Vì C lồi , đối xứng nên

C C





1 2

Suy ra





1 2 n 0

Ta có



r  Sao cho

mở chứa  nên

1 n 2 0

r ( , )  



1 n 2 0

II, Đặt

( ,1)

B B 

Ta chứng minh : B C 

r 2

ta chứng minh

Lấy

Ca 

r B 2

thoả mãn







x n

x k

Ta xây dựng dãy  nx

r n 1 

n  k 1 

1 n 2

Thaät vậy: Vì

neân

y  

  

x  

r n 2

1 C n 2

r n 2

1 n 2

Sao cho y



x   .

Ta có

nên

sao cho





nên

sao cho

a x   1

x   2

a x  1

x 2

1 2 2

r 22

r 32

  





nên

sao cho

a x 1

x   3

a x   1

x 2

x 3

1 3 2

r 32

r 42

a C  x   1 a x 1 1 2 r B 2 r 22

K B

( ,1) 



K B 

 

Cứ tiếp tục quá trình trên ta được dãy (xn) thỏa

x n

hay x n





1 n r

K B

: K u





( ,1) 



K B 

 







nên

mà Ta có

Vì

x n

v n

x n

, u v n n

v n





1 n 2

1 n r



v n



 hội tụ nên

 hội tụ

1 2n

1 

Đặt



1 ,





v n

  n 1 

  ta có n 1 

  n 1 

Suy ra

(1.1.1)

)

u v

 

x k

n lim (  n   k 1



Suy ra

Mặt khác





  (1.1.2)

x n

x k

1 

r n 2

n  1 k 

Từ (1.1.1) và (1.1.2) suy ra a u v

 

(do



u v , n n

Mà

nên

( ,1)

u v K B   



u v K    

III)

 

x X x  , 

Ta có

B C

' '  



 nên

u v K u 



 và

r x x 2

r 2

Suy ra

x u

x v



' 

2 r

x u

Đặt

x v

2 r 2 r

 u     v 

Ta có x u v

x u .

  và



2 r 2 r

   , u v K  2   r  2   r

Đặt

 khi đó ta có điều phải chứng minh (cid:0)

2 r

1.1.5 Nón Minihedral

Định nghĩa 1.1.5

sup





 thì tồn tại

- Nón K được gọi là nón Minihedral nếu





,x x 1 2

x x , 1 2

sup



- Nón K được gọi là nón Minihedral mạnh nếu A K

  thì tồn tại

1.1.6 Nón liên hợp

Định nghĩa 1.1.6: Nếu K là nón thì ta định nghĩa nón liên hợp của nón K là

* /

f x

x K





( ) 0 

 





*K có các tính chất sau:

*K đóng







K 



  0 



) 0

f K

 

Mệnh đề 1.1.6

*   

x 0

f x ( 0

Chứng minh:

Chiều  ) Hiển nhiên

Chiều  ) Giả sử trái lại tức là

) 0 f K     K f x ( 0 x , 0

nên theo định lý tách tập lồi

Suy ra

X K \ g X : ( ) g y ( )       y K x 0 g x 0

  , cố định x ta có

x K

) g tx ( ) 0 t ( ) 0  g x    . Cho t   ta có g x 0(

g K   g(x0) < 0 điều này là vô lý. (cid:0)

1.2 Ánh xạ tăng

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X, Y là các không gian Banach thực; P và K là các nón tương ứng

trong X và Y.

:F X

Ánh xạ

Y gọi là ánh xạ tăng (hay ánh xạ đơn điệu) nếu

X  ,x x 1 2  và 1 x x 2

ta có

:F X

) )  F x ( 1 F x ( 2

Y gọi là dương nếu

Ánh xạ

  x X x  ,  ta có ( )F x 

Chú ý Nếu F là ánh xạ tuyến tính thì :

F là ánh xạ tăng  F dương

F x ( )

 

x X x  ,



F   ( )

Thật vậy :

 và F tăng nên

 suy ra F dương

X   mà F dương ,x x 1 2  và 1 x x 2 x   1 x  2

  F x ( 1  x  ) 2

. Vậy F tăng (cid:0)

) )   F x ( 1 F x ( 2

Ñịnh lý 1.2.1

:F X

Giả sử P là nón sinh trong X, K là nón chuẩn trong Y và

Y là toán tử tuyến

tính dương. Khi đó F liên tục.

Chứng minh : Vì F là toán tử tuyến tính nên ta chỉ cần chứng minh F bị chặn.

x P F x , ( )

m x

 



i. Trước tiên ta chứng minh rằng :

0m  sao cho

(

)

n  



Giả sử trái lại tức là

x   n

P F x n

x n

(cid:0)



Đặt

ta có

x n

1 . x n



z , F z ( )   n 1 2 n

Vì

 hội tụ suy ra

 hội tụ .

1 



z z 1  hội tụ nên 2 n n 1 

Đặt z =

 và sn =

 z

1 

và P đóng nên suy ra z P

Ta có

n p 

1 

z P z , s   lim n 

Vì

n p

 

 nên



k n

1 

1  

z z z z z s z       P s n p 

. Cho p   ta được

Suy ra

n p

z z s 



Mặt khác F là ánh xạ tăng, tuyến tính nên F là ánh xạ dương nên

mà K

nF z (

0 :

F z (

)

N F z ( )

N  



là nón chuẩn nên

F z (

)

N F z ( )





Suy ra

. Cho n   ta có

( )F z   , vô lý.

x P F x ( ) ,

m x

 



Vậy

0m  để

x u v

u M x

0 :



u v P M ,  





ii. x X

  , vì P là nón sinh nên

v M x



      

F x ( )

F u ( )

F v ( )

F u ( )

F v ( )









Ta có

( ) F u



m u 1

0 :





,u v P nên theo chứng minh trên

, m m 1 2

( ) F v



m v 2

   

F u ( )



M m x . 1

Suy ra

F v ( )



M m x 2

   

F x ( )

F u ( )

F v ( )

(









Suy ra

m m M x ). 2

Vậy F bị chặn mà do F tuyến tính nên F liên tục.(cid:0)

) F z ( ) 

1.3 Nguyên lý Entropi (Brezis, Browder)

Giả sử có :

1. X là một tập sắp thứ tự sao cho mỗi dãy tăng trong X có một cận trên, nghĩa là nếu

v X u

 

u 

  (cid:0) thì

   (cid:0) n

s v ( )

2. Phiếm hàm

S X    là tăng và bị chặn trên , nghĩa là nếu u

v thì ( ) s u

và





S u ( )

u X

tồn tại một số thực c sao cho

  

v X

u X v u ,

S u ( )

S v ( )

 

 



Thế thì 

  

Chứng minh:

....



Lấy tùy ý

như sau:

X , rồi xây dựng các phần tử 1 u

u 3



Giả sử có un , ta đặt



 u X u u     n

sup S(u) u M 

)

i. Nếu

  n

nS u (

u X u ,

u M

 

  

Với

S u ( )

S u (



Suy ra

S u (

)

S u ( )

u  



(do S tăng)

Mặt khác

)

S u ( )

 





 u

Vậy

nên un là phần tử cần tìm

u X u , n

nS u (

)

tìm

được

thỏa

ii.

Nếu

un+1

  n

nS u (



1 

)

.....

)........,



S u (

)

S u (

)) (1.1.3)





F x ( 1

2 F x ( 2

n F x ( n

x M  n

 n

(  n

1 

1 2

   

)



(1.1.3)

S u (

)



  n

Ta thấy

1 

S u ( 2

S u (

)



và chứng minh như

* Quá trình trên là hữu hạn thì ta tìm được un+p nào đó mà

 n

n p 

trên ta được un+p là phần tử cần tìm

* Quá trình trên là vô hạn thì ta có dãy tăng {un} thỏa

S u 2 (

S u (

)



 n

)  

 (cid:0)

Do {un} là dãy tăng nên theo giả thiết thì dãy {un} có cận trên. Gọi u0 là cận trên của dãy

{un}. Ta chứng minh u0 là giá trị cần tìm

u u

Với

, Ta có

* " Î 

 Î

u M n

* " Î 

S u ( )

S u 2. (

)

S u (

)









 n

1 

,  và bị chặn trên nên tồn tại



Do dãy {un} tăng trong X nên dãy {S(un)} tăng trong 

giới hạn.

S u ( )



suy ra

S u lim ( n 

S u ( )

S u (

)





S u ( )

S u (

)

S( u )





(vì

³  u 0

S( u ) 0

(cid:0)

Chương 2 : ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ ĐƠN

ĐIỆU LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH COMPACT

Trong chương này ta xét X là không gian Banach thực với quan hệ thứ tự sinh bởi nón K.

2.1 Điểm bất động của toán tử compact đơn điệu

Định nghĩa 2.1.1 Cho M X

:F M

X được gọi là Compact đơn điệu nếu nó biến mỗi dãy tăng trong M

Toán tử

thành dãy hội tụ.

Định lý 2.1.1 Giả sử :

1) M là tập đóng trong X

(

:F M X là toán tử tăng, compact đơn điệu và

F M M )

)



3) Tồn tại

0x M sao cho

x 0

0( F x

Khi đó F có điểm bất động trên M.

Chứng minh:



và

Đặt

  

 x M x F x ( ) :

x M

Với mỗi



 x

g x ( ) sup F y ( ) F z ( ) / ;   y z M y ,  z  

Từ giả thiết 2) và 3) ta có

0M  và

Ta sẽ áp dụng nguyên lý Entropy vào tập M0 và phiếm hàm (-g)

M

đều có cận trên

i. Trước tiên ta chứng minh: Mỗi dãy tăng   nx

tăng nên dãy {F(xn)}n hội tụ (vì F là compact đơn điệu)

Thật vậy dãy tăng  nx

F M ( ) M

M

Đặt

)

ta có x M ( vì M đóng và 

 )nF x (

x F x  )n lim ( n 

ii. Phiếm hàm (-g) là tăng và bị chặn trên

g x

( ) 0

g x

x X

x X     

( ) 0 

)g

  nên (

bị chặn trên

Ta có

)    (vì x  ) x x n F x ( n

,x x X x g x ( ) g x ( )      , giả sử x ta chứng minh

y M x





và 

 y

0 /

Xét 

 y

y M x  

Vì



 y

x y M x / y M x /      x nên 



 x

Suy ra 



sup F y ( ) F z ( ) / , sup F y ( ) F z ( ) / , x  y z M y ,  z     y z M y ,  z  

suy ra (-g) là hàm tăng

g x ( ) g x ( ) g x ( ) g x ( )      

Vậy theo nguyên lý Entropi tồn tại

sao cho

ta có

   u M 0 x M x u , 0

Ta chứng minh

g x ( ) g u ( ) g x ( ) g u ( )     

g u  ) 0 0(

Giả sử

, y >u :

)

F u (

) >c



y M   1

F y ( 1

) c  ta có 0 g u 0(

, y

F y (

)

) >c





y M   2

y 1

u : 0

F y ( 1

là dãy tăng trong M

Cứ tiếp tục như vậy ta có dãy  ny

) g u ( ) c   nên g y ( 1

Mà

1 

Vậy

F y ( ) F y ( ) c   điều này là vô lý (vì F biến dãy tăng thành dãy hội tụ)

g u  ) 0 0(

ta có

(vì

)

Đặt

0u M

F b ( )

F u (

)





Ta có

g(u )=0 0

)  b u   b F u 0( F(u ) u 0

(cid:0)

F b ( ) F u ( ) b )     vậy F có điểm bất động là b F u 0(

Hệ quả 2.1.1 Giả sử

1. K là nón chuẩn,

)  u 0 A u 0( )A v ( 0 v 0

2. Toán tử

tương đối.

, ( , )    là toán tử đơn điệu và tập  là tập compact : A u v  0 u v , 0 0 A u v  0

Khi đó A có điểm bất động trên

0,u v

Thật vậy:

 

1. Do K là nón chuẩn nên tập

0,u v

2. Toán tử A là compact đơn điệu vì:

  là tập đóng

chứa trong

với mọi dãy tăng 

0,u v

n n x

A x (

là dẫy điệu tăng

Do A là ánh xạ tăng nên dãy 

 )n

A x (

 



Vì

có dãy con (

sao



 là tập compact tương đối nên dãy  

 )n

u v 0, 0

cho

 a



 A x k

lim k 





 đóng nên



Vì

0,u v

u v 0, 0

K là nón chuẩn



hội tụ vì



Dãy 

u v 0, 0

 )nA x (

A x ( kn

tăng có dãy con 

 )

hội tụ

Nên dãy 

 )nA x (

) x ( ) n n x kn

(

)

  



A u v  0

u v , 0 0

Vậy theo định lý 2.1.1 thì A có điểm bất động.(cid:0)

Hệ quả 2.1.2 Giả sử

A u (

) ,

)



1. K là nón chính quy,

A v ( 0

v 0



  

 là toán tử đơn điệu.

u v , 0 0

Khi đó A có điểm bất động.

Thật vậy:

1. Vì K là nón chính quy nên K là nón chuẩn suy ra



 là tập đóng và bị chặn

Tập

0,u v

2. A là oán tử compact đơn điệu vì:



tăng trong

bị chặn trên và dãy tăng

Với mọi dãy 

 suy ra dãy 

0,u v

 )nA x (

n n x



trong



0,u v

A x (

hội

Do K là nón chính quy và 

dãy tăng, bị chặn trên nên suy ra dãy 

 )nA x (

 )n

tụ



Vậy theo định lý 2.1.1 A có điểm bất động trên

0,u v

 .(cid:0)

Hệ quả 2.1.3: Giả sử



1. X là không gian phản xạ, K là nón chuẩn,

)A v ( 0

v , 0

)A u ( 0

  

 là toán tử đơn điệu

: A u v  0

u v , 0 0



 .

Khi đó A có điểm bất động trên

0,u v

Thật vậy:



 là tập đóng, bị chặn, lồi. Nên

 là compact yếu

 Do K nón chuẩn nên

0,u v

vì X là không gian phản xạ



đơn điệu tăng trong



 Với mọi dãy 

0,u v

nx

A x (



là dãy đơn điệu tăng tong



Ta có dãy 



0,u v



hội tụ yếu, về y trong



Suy ra dãy 

0,u v

 )nA x (

A x ( kn

có dãy con 

 )

)





*f

là dãy tăng trong

 với mọi

X ,

Đặt

0,u v

, ta có dãy  k

A x ( n k

f y (

)

f y (



), m k  

f y (

)

f y

( )



Cho m   ta có

   y k

 y

Ta chứng minh lim k y



 N

, 0 x



x y K , 

 

Do K nón chuẩn nên

sao cho

yeáu

N y .





vì

y trong

 nên theo định lý Mazur tồn tại

Ta có

0,u v

)





...  







sao cho

t y 1

t y 2

  C y ( 0

t y m k

k 1

 N 

Đặt





k k k 1 2

k ,..., m

k  

N y .





 

z  

Khi đó k

Ta có

  nên 0

 z

k

k 

















Ta có

 z 



1

 y

Suy ra lim k y



là dãy tăng nên có dãy con hội tụ về y và K nón chuẩn nên dãy

Vậy dãy 

 )nA x (

hội tụ.



 )nA x (

Vậy A là đơn điệu compact.(cid:0) Kết luận: Theo định lý 2.1.1 thì A có điểm bất động.

2.2 Điểm bất động của toán tử đơn điệu tới hạn.

Định nghĩa 2.2.1

:F M X

Toán tử

thỏa

n F x ( n

  gọi là compact đơn điệu tới hạn nếu mỗi dãy 

 )

)

...,



 (2.2.1) đều hội tụ

mãn điều kiện

F x ( 1

2 F x ( 2

3 F x ( 3

x M n

Định lý 2.2.1 Giả sử

1.Tập M đóng, và bị chăn trong X.

:F M M đơn điệu, compact đơn điệu tới hạn.

2. Toán tử

)



3. Tồn tại

0x M sao cho

x 0

F x 0(

Khi đó F có điểm bất động.

Chứng minh



* Đặt

  

 x M x F x / ( )

)

F M (

)



M

Ta có

) (Theo giả thiết 3) và

0M  (vì

x 0

F x 0(

* Trên

0M ta định nghĩa dãy các phiếm hàm

nS như sau:

sup

n F u ( )

n F v

( ) /









nS x ( )

u v M x F u ( ) , 0



 n F v ( )

n F v







Ta đặt

;

nM x ( )

 u v u v M x F u ( , ) : ( )

 ( )

( )

x F x ( )

n F u

( )



Ta có

và

nM x  vì

nM x là tập bị chặn trên X X

Vậy

nS được xác định.

( )

(

)

M x M x 



Ngoài ra: Nếu

, x thì

nên

S x ( ) n

S x ( n

Suy ra

nS là hàm giảm trên











Nên

n  1 ( )

n  1 ( ) : ,

n  1 ( )

n  1 ( ) : ,

n  1 , ( )

n  1 ( )

Ta nhận xét thấy 

 n  1 F u F v u v M x F u F v  ( )



 F u F v u v M x F u F v  ( )





là dãy số giảm và bị chặn dưới nên hội tụ.





 S x ( ) n

S x







 và S cũng là hàm giảm trên

Đặt

S x ( )

( )

0M (do

nS giảm trên

S x ( ) n

S x lim ( ) n n 

0M )

(Ta sẽ áp dụng nguyên Entropi cho tập

0M và phiếm hàm (-S))

M

có cận trên.

1. Xét dãy tăng 

ta chứng minh dãy số 

 x n n

n n x

Ta lập bảng vô hạn 2 phía sau:



)

...

)

 ...

F x ( 1

2 F x ( 1

n F x ( 1



F x (

)

2 F x (

)

...

n F x (

)

 ...

.………………………………….

………………………………….

.………………………………….



F x (

)

2 F x (

)

...

n F x (

)

...

………………………………….

là dãy tăng nên các phần tử trên một cột là dãy tăng(do F là toán tử tăng).

Vì (

)nx

là dãy tăng, vì F là toán tử compact đơn điệu tới hạn nên

n F x (

Do vậy dãy chéo 

 )



n F x (

)

, Ta kiểm tra

dãy này hội tụ về x và

 nghĩa là x là cận trên của  n n

x M



n F x (

)

Thật vậy

 n

n  F



)

 1

F x





n F x (

)

(

)

( ) ,

 n

x M



 

Cho n   ta được

x F x ( )

a M

 



sao cho

2. Áp dụng nguyên lý Entropi ta tìm được

x M x 0,

S a ( )

S x ( )



Ta có

Ta chứng minh

S a  ( ) 0

( )

S a 

Giả sử

 0

S n S x ( ) n x 1( )

)



 S a  ( ) 2

 nên tồn tại

sao cho thỏa mãn

 a

 Ta có

,u v M 1 1

1 F v ( 1

1 F u ( 1



)

(

 F u  )

ta có

1 F v ( 1

)

)) S(a)=2 >0

0 S a 1( )





)) S(a) 

a nên

 nên tồn tại

 Do

,u v M 2

1 F v 1(

1 F v ( 1

S ( 2

1 F v ( 1

)

2 F u (

)

(





 và a

sao cho

2 F v ( 2

 F u  ) 2

2 F v ( 2

1 F v ( 1

)

)) S(a) 



2 

a nên

 nên

tồn

tại

sao cho

 Do

,u v M 3 3

2 F v 2(

S ( 3

2 F v ( 2

)

(



)



và

3 F v ( 3

 F u  ) 3

3 F v ( 3

3 F u ( 3

2 F v ( 2

M

 Cứ tiếp tục như trên ta sẽ xây dựng được các dãy    

v n

sao cho

)

2 F u (

)

n F u (

)

...



...  



 (2.2.2)

1 F u ( 1

1 F v ( 1

2 F v ( 2

n F v ( n

)

(





(2.2.3)

Thỏa mãn

n F v ( n

F u  ) n

Rõ ràng dãy (2.2.2) là dãy hội tụ theo định nghĩa F là toán tử compact

tới hạn mà điều này thì mâu thuẩn với (2.2.3).

Vậy s(a) = 0

3. Bây giờ ta chứng minh F có điểm bất động trên M0

a F a ( )

2 F a ( )

3 F a ( )

4 F a ( )

...



Ta có

 Do F là toán tử compact tới hạn nên dãy

1( )  a



nF a hội tụ, đặt

nF a là dãy tăng nên

 b



( )

mà do 

( )

n F a lim ( ) n 

nF a ( )

F b

( )





n  

 (cid:0)

b F b

( )



b  

Cho n   ta có

a F a ( )

n F b ( )

n F a ( )

n F b ( )







 nên

S a ( ) n

S a

( ) 0

n F a ( )

n F b ( )





 0

Do lim ( ) S a n n 

 nên lim 

F b ( )

b F b ( )

n F a ( )



 



Từ 0

( )F b

b hay F có điểm bất động trong

Ta có

0M (cid:0)

)

thì ta vẫn có kết luật: “Khi đó F có điểm bất động trong

 

* Chú ý: Trong định lý 2.2.1 ta giữ nguyên các giả thiết1. và 2. còn giả thiết 3 ta thay bằng giả thiết 3’ là

  sao cho 0x M

F x ( 0

x 0

M ”

Định nghĩa 2.2.2

Cho

toán tử F được gọi là u0 - lõm đều trên nếu.

0 u

1. A đơn điệu trên

0, >0

x  

u v     

F x ( )



u 

u 

sao cho

(0,1),

a b ( , ) 0

u v ,

a b ( , )

F tx (

)





   

x  

t   

tF x  ( )

 sao cho

thì



, a b

0  và phụ thuộc vào x

Từ định nghĩa u0 - lõm đều ta thấy

F tx (

)

tF x

( )

(0,1),

u v ,



t  

x  



Nếu F là u0 - lõm thì

Định lý 2.2.2

Giả sử

1. K là nón chuẩn

2. F là toán tử u0 - lõm đều trên

u Fu Fv



 v

Khi đó F có điểm bất động trên

Thật vậy:

 Do K là nón chuẩn nên đóng, bị chặn

(

u v ,

F u v 

)  

 ta chứng minh toán tử F compact đơn điệu

 Do giả thiết 3, mà ta có

tới hạn.



0 :

u v ,

vaø

* Giả sử

 1

u      0

u  0

 

Thật vậy nếu u, v không có tính chất trên thì từ điều kiện 2. trong định nghĩa F là u0-lõm đều

F u F v ( ), ( )



u 

u 

 sao cho

suy ra

    0,

, 0

u 



u 



F v ( )



ta có

 1

u v , 1 1

Ta đặt 1 u

F u v ( ), 1

 



)





( do F(v) v

)

và

)



)

   

Khi đó ta xét F là

,u v

0u - lõm đều trên

  





x M 

u v M , ,

0 :

,u v đóng, bị chặn

Do K là nón chuẩn nên

...



...  

 thỏa điều kiện

 (*)

 

u v ,



 n F x n

 F x 1

 2 F x 2

* F là toán tử compact đơn điệu tới hạn vì: Giả sử 



n n

là dãy cauchy (khi đó sẽ hội tụ vì X là không gian Banach)

Ta sẽ chỉ ra

 n F x



 

1  

0 đủ bé để

(N là hằng số chuẩn của nón K)

Lấy

 .M N

 

u v ,

x  

t  



Do F là

,u v nên

0  sao cho

ta có

0u - lõm đều trên

 . M N

    

  

 F tx



 1  

 

  tF x

v F v ( ) v     1 F v ( 1 v 1 F v ( 1 F u ( 1 v 1 u 1

1 

 1

 

Chọn

0N là số tự nhiên thỏa điều kiện

 1  

 1

 

 1    M N .  M N .         

Bằng cách giảm số , ta có thể coi

 1

 0

n k 

   1  

Ta chứng minh





 n F x n

  

u v ,

u 

u v



và

nên

và

 k F x



n n k N F     thì   x n k

n k

  

n k 



n k 

u 0

 k F x



n k 

 k F x 

1 

u    x n x n     

Ta có





 1  

 



 F x n



F F  x n x n k           





 1

 



 1  

 



 F x n

 2 F x n

………………………………………………….

………………………………………………...

.............…………………………………………..

1 

k N 

1 

F F   x n k           





 1

 





 1  

 





n N 

k N 

n N 

n k 

F F F F   x n x n x n k           









 





 1

F F F F F   x n x n k  x n k          1     

 1

 

 n F x



 1

 

 n F x



       

 n F x



n k 

  M N .   1    

ta có

Kết hợp điều kiện:





x n k

 n F x n

  

n k 

 n F x







 n F x



n k 

    M N .

)

Do đó



 n F x n

n k 

 n F x







 n N F x



Vậy dãy

là dãy cauchy, mà do X là không gian Banach nên dãy

hội tụ.

 n F x



 



 

Vậy theo định lý 2.2.1 ta có F có điểm bất động trên

,u v (cid:0)

,     u v  (do  M  M N .

2.3 Điểm bất động của toán tử đơn điệu trên không gian với nón Minihedral - mạnh

Giả sử X là không gian Banach thực, sắp bởi nón Minihedral K. Ta có kết quả sau:

Định lý 2.3.1: Giả sử:

F u v :

u v

là toán tử đơn điệu

K là nón Minihedral - mạnh sao cho

 F u v



,u v .

Khi đó F có điểm bất động trên

Chứng minh:

, u v , 

Đặt

: khi đó

nên

0M  vì u Fu

 x  

 x Fx 

x Fx

x M

M u v , : u M



Ánh xạ

( )F x M 

 Fx F F x ( )



Ta chứng minh mỗi tập con sắp tuyến tính trong M0 đều có cận trên thuộc M0

Thật vậy

Giả sử N là tập con sắp tuyến tính trong M0 ta có N bị chặn trên bởi v. Vì K là nón

      :F M M được thỏa mãn vì

sup

u c 0

x N

    v

c mà F đơn điệu nên

  ta có

do đó

là cận trên đúng

Minihedral mạnh nên N có cận trên đúng 0 c 

 F x

 F c 0



 x F x



 F c 0



0F c 

   

(do định nghĩa supremum)

của N nên

c 0

c M   0

 F c 0



*x ta chứng minh

*x là điểm bất động của

Theo bổ đề Zorn trong

0M có phần tử tối đại là

toán tử F



* x M

Thật vậy

nên

mà F đơn điệu nên

 F x



 F x



  F F x



x  

(do

*x phần tử tối đại của

0M )

 F x



 F x



x   M   0

Vậy

 F x

*

*. (cid:0)

x

Chương 3: ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ

T-ĐƠN ĐIỆU

Trong chương này ta vẫn xét X là không gian Banach thực với quan hệ thứ tự sinh bởi nón K.

3.1 Toán tử T-đơn điệu và điểm bất động

Định nghĩa 3.1.1

:F X

X nếu

F  là

 Số thực  được gọi là điểm chính quy của toán tử tuyến tính

song ánh, ở đây I là toán tử đồng nhất trong X.

F được gọi

 Ký hiệu

F là tập tất cả các điểm chính quy của F và



 



 \  (cid:0)

là phổ của toán tử F.

thành một tập Compact yếu

 Toán tử F được gọi là Compact yếu nếu F biến

0,u v

 Toán tử F được gọi là liên tục yếu nếu F biến mỗi dãy hội tụ yếu thành dãy hội tụ yếu

trong X.

L X X



L X X là không gian các toán tử tuyến tính trong X . Toán tử

 Ký hiệu









gọi là dương nếu

K với K là nón trong X.

 T K



Định nghĩa 3.1.2

  được gọi là T-đơn điệu nếu

L X X



 



  ở đây





Giả sử D X toán tử   T x y

:F D X 

  F y

 F x

T  thì khái niệm T-đơn điệu trở thành khái niệm đơn điệu thông thường đã biết.

Như vậy nếu

Bổ đề 3.1.1



1  (

và

Thì

Nếu

 F L X X



   

F

Chứng minh:

   

F

x ) A F x )( ) x Ax  (  I F    

  



I F



là song ánh

1 

F   

1 

A x ( ) I F x ) A F x )( ) ) ) (     (    (  I F  (  Ax Fx 



) )  (  I F  (  x Fx 

) I F x )( )  I F  (  

Vậy bổ đề được chứng minh (cid:0)

(  x

Bổ đề 3.1.2

u u Fu ,  

Giả sử

, toán tử

X là T-đơn điệu với

0,u v

F u v 0

Hơn nữa, giả sử T thỏa điều kiện :

(H1) T dương

K và v 0 Fv 0 v 0

x -

  x K

(H2)

   

T

(0,1)  

1  (

Khi đó

là đơn điệu trên

và

0,u v

Chứng minh

I T  ) dương

Do giả thiết (H1) ta có ánh xạ (



I T

( ) T

   



S ) )  (  I T  F T  u Su , S   v 0 v 0

  song ánh nên tồn tại ánh xạ

và

dương

x y ,

;







 



Nếu

F x ( )

F y ( )

T x (

)

 ta có

( do F là T- đơn điệu )

u v , 0 0

T x y

- Fx Fy

)

- Tx Ty

)

(

)





( 

- ( 

(

)( ) F T x

)( ) F T y











( 

(3.1.1)



) ) I T (  I T ( 

Tác động

dương vào bất đẳng thức (3.1.1) ta được



1 

) I T ( 

Sx  

 S là toán tử đơn điệu trên

0,u v

) F T x )( ) ) F T y )( ) (  F T  (    (  F T  (  

(3.1.2)

u Fu Tu F u ( ) T u ( )   u     

(3.1.3)



) ) )     Fv 0 v   0 F v ( 0 T v ( 0 v  0 T v ( 0

Tác động

dương vào bất đẳng thức (3.1.2) và (3.1.3)

S u (

)



Ta được

)



0 S v ( 0

0 v 0

  

) I T ( 

Vậy bổ đề được chứng minh (cid:0)

Định lý 3.1.1

, toán tử

X là T-đơn điệu với

Giả sử K là nón chính quy,

0,u v

F u v 0

u K và v 0

. Hơn nữa, giả sử T thỏa điều kiện :

(H1) T dương

(0,1)

x -

 

  x K

(H2)

   

T

Khi đó F có ít nhất một điểm bất động trên

0,u v

Chứng minh:

u Fu ,   Fv 0 v 0

1  (

Đặt

với

. Do bổ đề 3.1.1 ta chỉ cần Chứng minh S có ít nhất

   

T

một điểm bất động trên

0,u v

Theo bổ đề 3.1.2 toán tử

là đơn điệu

u v , 0 0

u v 0

S ) )  (  I T  F T 

K nón chính quy,

nên theo hệ quả 2.1.2 suy ra S có điểm bất động trên

0,u v

Vậy F có ít nhất một điểm bất động trên

0,u v

u Su , S   v 0 v 0

Định lý 3.1.2

. Toán tử

X là T-đơn điệu và

Giả sử K là nón chuẩn,

0,u v

F u v 0

K và u 0 v 0

. Hơn nữa, giả sử T thỏa điều kiện:

(H1) T dương

x -

u Fu ,   Fv 0 v 0

  . x K

(H2)

   

T

Khi đó

Nếu X là không gian phản xạ thì F có ít nhất một điểm bất động trên

0,u v

Chứng minh :

(0,1)  

1  (

Đặt

với

   

T

S ) )  (  I T  F T 

Do toán tử

X là T- đơn điệu ,

và T thỏa điều kiên (H1),(H2)

F u v 0

nên theo bổ đề 3.1.2 thì toán tử

là đơn điệu

u v , 0 0

u v 0

Mặt khác X là không gian phản xạ và K là nón chuẩn nên theo hệ quả 2.1.3 thì S có điểm bất

động trên

0,u v

Vậy theo bổ đề 3.1.1 thì F có ít nhất một điểm bất động trên

0,u v

. (cid:0)

u Fu ,   Fv 0 v 0

3.2 Nguyên lý ánh xạ co trên các phần tử so sánh được

Cho X là không gian Banach thực được sắp bởi nón K, F là toán tử trên X.

Xét phương trình : F(x) = x (3.2.1)

Nghiệm của phương trình (3.2.1) thường được tìm dưới dạng giới hạn của một dãy lặp:

(3.2.2)

 

Với giá trị x0 ban đầu tùy ý. Kết quả đã biết trong giải tích hàm đó là nguyên lý ánh xạ co.

Dưới đây chứng minh một số kết quả tương tự nguyên lý ánh xạ co, song sự đánh giá chỉ

dựa trên các phần tử so sánh được .

n ) ( 0,1, 2,...)  x n F x ( n

Định lý 3.2.1

Giả sử

1. K là nón sinh, nón chuẩn

2. F là toán tử trên X thỏa điều kiện :

(3.2.3)

Nếu x

Ở đây A là toán tử tuyến tính dương với bán kính phổ là r(A) < 1

Khi đó F có trong X điểm bất động duy nhất , với khởi đầu x0 tùy ý nào đó.

Chứng minh:

Ta đã biết với mỗi toán tử tuyến tính A trên X ta có thể xét một chuẩn tương đương với

chuẩn ban đầu sao cho A và r(A) sai khác nhau đủ nhỏ.

Vậy từ r(A) < 1 ta có thể xem A <1

K là nón sinh nên với mỗi x X có thể biểu diễn dưới dạng x = u(x) – v(x) với u(x), v(x) K

A x ( y ) F x ( ) F y ( ) A x ( y )       y thì

Nghĩa là với mỗi x X tương ứng với yK sao cho y

= u(x) + v(x) với u(x) , v(x) từ khai triển của x ở trên).

x y    ( chẳng hạn ta có thể lấy y

(3.2.4)

Trên X ta định nghĩa chuẩn mới



 y

là chuẩn dựa trên tính chất của chuẩn

. và định nghĩa của

Dễ dàng ta kiểm tra được

infimum.

x inf y : y K y , x     

Vì K là nón sinh nên với mỗi x X có thể chọn u, v K sao cho

u , v a x . 

Ở đây a là hằng số không phụ thuộc vào x.

x X

2 .

a x

 



u v 











Như vậy

N y .

   

Mặt khác K là nón chuẩn nên có hằng số N sao cho từ 0

x u v      

Với

N y .

x  



, y K y



y  









Suy ra

với

     y

x  



Vậy

.(cid:0)

x    

Ta xét x, y tùy ý thuộc X. Giả sử

 , y u u K

0 y x y x y 2 y       

Rõ ràng từ đây ta có

( ) x x y u   

( ) x y u   1 2 1 2      y 

Từ giả thiết (3.2.3):

x x x A F A F x ( )     y u   2 y u   2 y u   2

( ) A u

( ) F x

( ) F y

( ) A u









Suy ra

F x ( )

F y ( )

A u ( )

q u .

u K







  với

1q  ( do A liên tục và

1A  )

y x y A F A F y ( )    x u   2 y u   2 x u   2                                           

F x ( )

F y ( )

q x .









 1

Vậy F là ánh xạ co theo chuẩn

. X là không gian Banach nên F có điểm bất động duy nhất.

F x ( ) F y ( ) q . u    inf u x y u    

Chú ý : định lý 3.2.1 vẫn đúng nếu điều kiện (3) được thay bởi điều kiện sau :

(3')



, , x y K x 



y ) F x ( ) F y ( ) y )      

;

A x ( 1 A x ( 2

Ở đây A1 , A2 là các toán tử tuyến tính liên tục dương với r(A1 + A2) < 1

3.3 Phương trình toán tử ngược dương

3.3.1 Xét phương trình F(x) = z (3.3.1)

Với F là toán tử từ không gian Banach X1 được sắp bởi nón K1 vào từ không gian

Banach X2 được sắp bởi nón K2 . Phần tử z là phần tử cố định trong X2

Giả sử F thỏa điều kiện

(3.3.2)

Ở đây B1, B2 là các toán tử tuyến tính từ X1 vào X2 . Ta có định lý sau:

x y B x , ( y ) F x ( ) F y ( ) y )       B x ( 2

Định lý 3.3.1 Giả sử

1. K1 là nón sinh, nón chuẩn

2. Toán tử

ngược dương .

Khi đó phương trình (3.3.1) có trong X1 nghiệm dương duy nhất với mỗi

X thỏa điều kiện (3.3.2) , ở đây B1 và B1+B2 có các toán tử F : X 1

z Î X 2

Chứng minh

Ay=

Đặt

khi đó có thể đưa (3.3.1) về dạng y

trong X2 với toán tử

( B 1

B ) 2

1 2

- 1

= -

y FD y

+ (3.3.3)

* x

1 D ( y )

Nghiệm x* của (3.3.1) được xác định qua nghiệm y* của (3.3.3) bởi hệ thức

Từ giả thiết của B1 , B2 và B1+B2 suy ra D-1 là toán tử tuyến tính dương

-³ 1

u, v XÎ

D ( u ) D ( v )

Vì vậy với

và u

v³ ta có

Từ giả thiết (3.3.2) ta có đánh giá :

- £

- B D ( u

v ) FD ( u ) FD ( v ) B D ( u

- v )

- £

£ -

v ) A( u ) A( v )

- v )

Suy ra

( I B D )( u 2

( I B D )( u 1

Mà

- nên

B 2

D B 1

- 1

- = -

v )

( I

- v )

( I B D )( u 2

2 ( D B )D )( u 1

= - +

(

- v )

I B D )( u 1

= - -

- v )

( I B D )( u 1

³ v

Suy ra , với

Î u,v X , u 2

- 1

- -

- £

£ -

v ) A( u ) A( v )

v )

- (3.3.4)

( I B D )( u 1

Ở đây bất đẳng thức (3.3.4) có thể xem như bất đẳng thức (3.2.3) trong định lý3.2.1. Vì vậy

để hoàn thành chứng minh ta chỉ cần chỉ ra

(3.3.5)

r( I B D )- 1 1

là toán tử tuyến tính từ

 Ta có

1X vào

I B D- - 1

là toán tử dương ( suy ra từ (3.3.4))



I B D- - 1

là toán tử

Nên suy ra

là liên tục (vì K1 là nón sinh và K2 là nón chuẩn mà

I B D- - 1

tuyến tính dương từ K1 vào K2 )

Khi đó

1B D- có toán tử ngược là

1DB- và

1DB- liên tục

Biểu thức (3.3.5) được chứng minh nếu ta có được đánh giá

r( P ) < (3.3.6)

= - P I B D

Trong đó

- (3.3.7)

- 1 = Q DB 1

P, Q trong (3.3.7) là dương và chúng liên hệ với nhau bởi hệ thức :

Các toán tử

= -

- 1 Q P( I P )

( I P ) P

r( Q )

Q )-e

Giả sử

e > và 0

e < khi đó ( I

có toán tử ngược liên tục .

-e

= + e + e

( I

- 1 Q )

+ + e ...

+ ...

-e

( I

Q )-

Hơn nữa từ tính dương của Q suy ra tính dương của

- + e = -

-e

)P ( I P )( I

(

Q )

Từ đồng nhất

(3.3.8)

( I

(

)P )

- + e 1

Suy ra toán tử

có toán tử ngược liên tục và với mỗi

n ³ có 1

+ 1

+ e

(

j ) P

= - + e (

( I

- 1 )P )

é ê ê ë

ù ú ú û

(

- Q )

- ( I P ) P (

+ 1 n ) P

Suy ra

+ e = -e - - + e 1 é ê ê ë ù ú j ) P P ( I ú û

- + e 1

= - e ( I

1 Q ) Q (

+ 1 n ) P

Qua đó ta thấy toán tử dương P thỏa điều kiện

+ 1

- 1

(

+ n n ) P ( u )

Q ) Q( u ) , ( u K , n

)

+ e Î £ -e ( I ³ (3.3.9)

(

+ 1 n n ) P ( u )

Q ) Q( u ) , ( u K , n

Hay

Giả sử x tùy ý trong

2X ,

Î u, v K

sao cho x

= - u v

Vì

2K là nón chuẩn nên

- £ £ và từ (3.3.9)

Suy ra v

£ + e 1

- -e ( I

1 Q ) Q( v )

(

+ 1 n n ) P ( x )

£ - e ( I

1 Q ) Q( u )

Suy ra

+ e

(

+ n n 1 ) P ( x )

(

+ n n 1 ) P ( x )

bị chặn trong nón

bị

Như vậy

2K mà

2K là nón chuẩn nên

" Î

x X

chặn với

+ 1

+ e Î £ -e ( I ³ ) 1

(

) P + 1 n n

(

n ) P

bị chặn nên

0M$ > sao cho

Suy ra

1 + 1

+ 1

1 + 1

+ e + e £ M

r( P )

Suy ra

n )

 P < 1 æ M ç£ ç ç ç + e ( 1 è ö÷ ÷ ÷ ÷ ø

Nhận xét: Trong các điều kiện của định lý 3.3.1 nghiệm x(z) của phương trình (3.3.1) phụ thuộc

đơn điệu vào z. Nếu 1 z

z£ thì 2 x( z ) 1 x( z ) 2

3.3.2 Bây giờ ta xét phương trình

Tx = Gx (3.3.10)

Ở đây T, G là các toán tử tác động từ X1 vào X2 , T là toán tử tuyến tính, G là toán tử phi tuyến

thỏa điều kiện :

Ở đây B là toán tử tuyến tính. Tương tự định lý 3.3.1 ta chứng minh kết quả sau.

- - £ £ - " Î B( x - y ) G( x ) G( y ) B( x y ) x, y X ; x y ³ (3.3.11)

Định lý 3.3.2 Giả sử

1. K2 nón sinh, nón chuẩn

2. Các toán tử T, G thỏa các điều kiện (3.3.11) thêm nữa các toán tử T,

T-B có toán tử ngược dương.

Khi đó phương trình (3.3.10) có nghiệm duy nhất.

Chứng minh

Tx Gx- = 0

Phương trình (3.3.10) tương đương với phương trình

Đặt F( x ) Tx Gx

= - , Do T, G thỏa điều kiện (3.3.11) nên ta có

- £

B( x

- y ) T( x ) T( y ) B( x

- y )

- £

- y ) G( x ) G( y ) B( x

- y )

Suy ra

B( x

- - - £ + £ - - - T( x ) T( y ) B( x + y ) T( x ) T( y ) G( x ) G( y ) T( x ) T( y ) B( x y ) - Hay

- - £ - £ + ( T B )( x y ) F( x ) F( y ) ( T B )( x - y )

Với

thỏa điều kiện của định lý 3.3.1

Tx Gx- = có nghiệm duy nhất

Vậy phương trình

= - T B = + là các toán tử tuyến tính và T, T-B có toán tử ngược dương nên F B 1 T B; B 2

3.3.3 Trong phần này ta vẫn xét phương trình: Tx = Gx (3.3.10)

Nếu toán tử T có toán tử ngược thì phương trình (3.3.10) tương đương với phương trình sau

trong X2:

(3.3.12)

= y GT y- 1

Bổ đề 3.3.1

Giả sử

£ £

Với

0 Gx B x z , z K X tuyến tính dương B : X 1

T , T B- có toán tử ngược dương

- - T( T B )

và toán tử

1GT - biến

Khi đó phần tử

00,u vào chính nó

Chứng minh

= +

- - T( T B )

- T B ( T B )

Từ đồng nhất thức

u ( z ) K

- - T( T B )

- - B ( T B )

Ta có

= + z 0

u ( z ) 0 ( z ) 0

- 1  - ( T B )

Vì

Î ( z ) K 1



- B ( T B )

z K

( z ) K

Vậy

- 1

" Î y

 £ 0

- 1 £ T y T u

( do T-1 dương )

 £

1 0 GT y B T y

+ z 0

- B T y

- 1 B T u

mà

+ ( do B1 dương)

+ £ z 0

u KÎ

- 1 B T u

Suy ra

£ + 0 £ GT y B T y + £ z 0 z 0

- 1 B T u

- B T ( T( T B )

Mặt khác

- )z + = z 0 + z 0

- - B ( T B )

- 1 GT ( y )

Vậy

,u 00

= z u z + = 0

Định lý 3.3.3

Giả sử các toán tử T, G thỏa các điều kiện 1. và 2. của bổ đề 3.3.1 và thỏa một trong các điều kiện

- 1

là tập compact tương đối

i. K2 là nón chuẩn và

(

)

00 ,u

ii. K2 là nón chính quy

iii. K2 là nón chuẩn và X2 là không gian phản xạ

Khi đó phương trình Tx = Gx có nghiệm trên

Chứng minh

0,( T B ) z-- 1 1

Vì G thỏa điều kiện 1. của bổ đề 3.3.1 nên với 1 x

x£ ta có

£ £ 0 G( x ) B x 1 1 1 + z 0

+ z 0

Suy ra

0 G( x ) B x 2 1 2

³ z ) B x 0 1 2

+ - z 0



- G( x ) G( x )

G( x ) G( x ) G( x ) 1 ( B x 1 1 ( B x 1 1 z ) 0

)

³ ( do B1 tuyến tính dương nên 1 x

£  x 2

0 B x 1 1 B x 1 2

0 , u

thành chính nó

Mà T-1 tuyến tính dương nên GT-1 tăng và biến

Vậy

i. Nếu

 ³ G( x ) G( x )

là tập compact tương đối

 K2 là nón chuẩn, tập

(

)



- 1 GT :

là toán tử tăng



0 , u

tức

sao cho

Thì GT-1 có điểm bất động trên

$ Î y 0

,u 00

- 1 GT ( y )

= y 0



-= 1 T ( y )

với

Gx 0

Tx 0

GT ,u 00

x 0

1 ,T ( u )

- - ,( T B )

Hay phương trình (3.3.10) có nghiệm trên

ii. Nếu



K2 là nón chính quy

0 0 ( z ) 0

- 1 GT :

là toán tử tăng



0 , u

Thì GT-1 có điểm bất động trên

 0 ,u 0 ,u

- 1 ,T ( u )

- 1 - ,( T B )

Hay phương trình (3.3.10) có nghiệm trên

iii. Nếu

 K2 là nón chuẩn, X2 là không gian phản xạ



- 1 GT :

= 0 0 ( z ) 0

là toán tử tăng



0 , u

Thì GT-1 có điểm bất động trên

0 ,u 0 ,u

- 1 ,T ( u )

- 1 - ,( T B )

Hay phương trình (3.3.10) có nghiệm trên

0 0 ( z ) 0

Chương 4: ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ HỖN HỢP ĐƠN

ĐIỆU

Trong chương này ta vẫn xét X là không gian Banach thực với quan hệ thứ tự sinh bởi nón K.

4.1 Toán tử hỗn hợp đơn điệu và điểm bất động

´  được gọi là hỗn hợp đơn điệu nếu A( x, y ) là

 Giả sử D KÌ , toán tử A : D D

không giảm theo biến x và không tăng theo biến y. Nghĩa là

£ A( u ,v ) A( u ,v )

£ và 2 v

* ( x , y ) DÎ

được gọi là cặp điểm tựa bất động của toán tử A nếu

 Điểm

* A( x , y )

* A( y ,x )

; u v£ ta có u ,u ,v ,v D u 1 2 1

* y=

* A( x ,x )

*x DÎ được gọi là điểm bất động của toán tử A nếu

* x=

 Điểm

" Î t

Ì  được gọi là lồi nếu x, y D

Î mà x

x= và

 Toán tử F : D X

[

]0 1 ,

y£ và

+ - ( 1

+ - 1 (

Ta có

(4.1.1)

F( tx t )y ) tF( x ) t )F( y )

F được gọi là lõm nếu F- là lồi

Định lý 4.1.1

Giả sử K là nón chuẩn, A : K K

´  là toán tử hỗn hợp đơn điệu, hơn nữa:

i. Với y cố định, A(., y ) : K

Với x cố định, A( x,.) : K

K là lõm

$ Î

v K sao cho v

K là lồi

ii.

> và 0

< (4.1.2)

,v )

cA( v,

)

và

, y

)

- 1

và từ các dãy lặp

Khi đó A có duy nhất điểm bất động

A( x - 1 n A( y

)

n ,x n

- 1

ì =ïïí x n ï =ïî y

0A( v, ) v c$ > thỏa 0 1 2

(4.1.3)

tùy

có

Với

các

khởi

đầu

( x , y ) 0

* -  x

n ³ . 1

* -  x

 ¥ .

* - £ x

0 ; y 0 khi n x n

æ 1 ç 2 N . ç çè

n ö- c ÷ ÷ ÷ ø c

Tốc độ hội tụ là

(4.1.4)

* x

. v x n

æ 1 ç 2 N . ç ç è

n ö- c ÷ ÷ ÷ ø c

ìï ï ï ï ïïí ï ï ï - £ ï ï ïî

Chứng minh

a) Chứng minh sự tồn tại điểm bất động:

y . v

Đặt

= ta có

A( u

)

,v n

- 1

Giả sử

, n = 1, 2, 3, …

(4.1.5)

- 1 ,u

)

A( v - 1 n

- 1 n

00 ,v ì =ïïí u ï =ïî v n

Vì

tăng

theo biến

thứ nhất và giảm

theo biến

thứ

hai nên

u v u v< . 0

= < £ £ £ £ £ £ u 3

£ £ £ = (4.1.6) v 0

từ giả thiết ii) của định lý ta thấy :

0 ... u u u ... v v n v - n u 1 v - 1 n v 1

mà

và

= ³ nên suy ra

³ = u 1

0 ,v ) cA( v, 0 ) cA( v, 0 ) cv n A( u ,v ) 0 A( u ,v ) A( 0 cv 1

(4.1.7)

: u

, 1 2 3 ,

,...

u cv³ n

suy ra

Đặt

{ sup t

}

nt £ ( vì 1

tv n

u v£ ) n

Khi đó

và

( do (4.1.6)) (4.1.8)

³ ³ u n

+ 1

Từ (4.1.7) và (4.1.8) suy ra

u u t v³ n n t v n n t v n n

< £ £ £ £ £ £ (4.1.9)

0 ... ... 1 c t t t 1

= và 0

Nên tồn tại

t* = 1

* Bây giờ ta chứng minh

Thật vậy từ giả thiết i. ta có các hệ thức sau:

t* 1 t*£ £ lim t ¥ x

[

] , 0 1

" £ x 1

+ - ( 1

+ - 1 (

(4.1.10)

)

( A tx 1

t )x , y 2

tA( x , y ) 1

t )A( x , y ) 2

K là lõm )

( do A(., y ) : K

+ - 1 (

t )y

tA( x, y )

+ - 1 (

t )A( x, y )

(4.1.11)

)

( A x,ty 1

y , t x , y 2 1

( do A( x,.) : K

- 1

= A( x, y ) A x,t.t

K là lồi)

+ - 1 (

+ - ( 1

" Î t

(4.1.12)

[

]0 1 ,

(

) t ). 0

Từ (4.1.11) ta suy ra

y tA( x,t y ) t )A( x, 0 )

- ³ 1 y )

- - ( 1

(4.1.13)

Từ (4.1.5) đến (4.1.12) và giả thiết A là toán tử hỗn hợp đơn điệu tăng ta có

³ A( u ,v ) A( tv ,v )

" = n

, 1 2 3 ,

,...

+ =

+ - 1 (

t A( v ,v ) n n

t )A( n

,v ) n

+ - 1 (

,v )

t A( v ,t u ) n n

- n

t )A( n

(do A giảm theo biến thứ nhất và tăng theo biến thứ hai)

1 1 (

+ - 1 (

,v )

Suy ra

1nu +

- t A( v ,u ) n n

- n

t )A( v , n n

t )A( n

é ê ë

ù ) ú û

- - 1 (

)

+ - ( 1

,v )

A( v ,u ) n

t )A( v , n n

t )A( n

A( x,t A( x, y ) t )A( x, ) 0 1 t

+ - 1 (

v n

+ 1

] A( v ,u ) 0

+ - 1 (

]

v n

+ 1

[ t ) u 1 n [ t ) u 1 n

v 1

,v )

cA( v,

)

Mà

cv³ hay 1 v

u 1

nên 1 u

1 c

+ - 1 (

Suy ra

v n

+ 1

u 1

1 c

é ê t ) u n 1 ê ë

ù ú ú û

+ - 1 (

u 1

+ 1

v n

+ 1

t ) n

æ ç 1 ç çè

ö÷ 1 - ÷ ÷ ø c

Mặt khác

< £  ³ 1

1 2

1 c

 - £

)

u 1

v n

+ 1

( do u 1

v n

+ 1

æ ç  - 1 ç ç è

æ ç ³ - 1 ç ç è

ö ÷ ÷ ÷ ø

1 c ö 1 ÷ ÷ ÷ ø c

1 c

³ + -

Nên

(

" = n

, , 1 2 3

,...

+ 1

v n

+ 1

æ ç 1 t ) ç ç n è

é ê 1 ê ë

ù ö÷ 1 ú - ÷ ÷ ú ø c û

Suy ra

³ + - (

+ 1

æ ç t ) 1 ç çè n

ö÷ 1 - ÷ ÷ ø c

- = -

 - 1

(4.1.14)

£ - ( 1

(

" = n

, 1 2 3

, ,...

+ 1

t ) n

æ ç t ) ç çè n

ö ÷ 1 ÷ ÷ ø

1 c

- c

Như vậy

£ - ( 1

+ 1

1 c

- £ -

(

- 1 n

æ ç t ) ç çè n æ ç ) ç çè

ö÷ - ÷ 1 ÷ ø ö÷ - ÷ 1 ÷ ø

1 c

(

)

£ - ( 1

- n 1

- 2 n

æ ç ) ç çè

ö÷ - ÷ 1 ÷ ø

1 c

- £ -

(

t ) 2

......................................... ö÷ - ÷ 1 ÷ ø

æ ç t ) ç çè 1

1 c

- £ -

Nên suy ra

£ - ( 1

(

+ 1

æ ç t ) ç ç n è

ö ÷ 1 ÷ ÷ ø

æ ç t ) ç ç 1 è

n ö ÷ 1 ÷ ÷ ø

1 c

³  ³

t 1

cv Do u 1 1

 - £ - t 1

 - £

( do

< £ c

)

t 1

- c

+ 1

Suy ra

£ - 1

+ 1

+ 1 n ö ÷ =÷ 1 ÷ ø

æ 1 ç ç ç è

æ 1 ç £ - ç ç è c

n ö- c ÷ ÷ ÷ ø c

Mặt khác

< £  £ <

1 2

1 1

1 c 1  £ - < c

suy ra

= 1

(4.1.15)

Nên

lim ¥ n

lim t ¥ n

+ 1 n ö÷ =÷ 1 ÷ ø

æ 1 ç - ç çè c

Từ (4.1.6) và (4.1.15) ta có :

Î 

" ³ p

, p

- £ - £ -

- £ u n

v + n p

v n

t v n n

+ n p

- £ -

(

 £ 0

£ - ( 1

t )v n n

t )v n

+ n p

Do K là nón chuẩn, với N là hằng số chuẩn ta có

(4.1.16)

N .(

+ n p

- £ u n

t ) v n

æ 1 ç N . ç çè

n ö- ÷ c ÷ ÷ ø c

(4.1.17)

N .(

v n

- £ u n

t ) v n

æ 1 ç N . ç çè

n ö- ÷ c ÷ ÷ ø c

Từ (4.1.16) và X là không gian Banach nên tồn tại

* = u

lim u ¥ n

Ta lại có

£ - 1 (

v + n p

+ n p

t )v n

+ n p



(4.1.18)

v + n p

+ n p

æ 1 ç N . ç çè

n ö- ÷ c ÷ ÷ ø c

Và

- + - u

v + n p

- £ v n

v + n p

+ n p

v n



(4.1.19)

Nên

v + n p

- £ v n

æ 1 ç .N . 3 ç çè

n ö- ÷ c ÷ ÷ ø c

mà X là không gian Banach nên tồn tại

* = v

lim v n ¥ n

Cho p  ¥ , từ (4.1.15) và (4.1.19) ta được

* - £ u

æ 1 ç N . ç çè

* - £ v

v n

æ 1 ç N . ç çè

n ö- ÷ c ÷ ÷ ø c n ö- ÷ c ÷ ÷ ø c

* v

nên ta có 0

£ - £ -

Vì

* £ £ £ v v n

v n

- £ -

Mà

nên

(

£ - ( 1

t v³ n n

v n

t )v n n

t )v n

Do vậy 0

* £ - £ - u

* v

(

t )v n



*  - v

* u

£ - 1 (

(

khi n

, mà 1

 ¥

t ) v n

Do đó * v

* u=

* x

* ,v , x

Lấy

u= thì

> 0

£ £ 

* x

£ A( u ,v ) A( x ,v )

Từ

v n

+ 1

* A( x ,x )

+ £ nu

A( v ,u ) n

v n

 £ u + 1 n

+ 1

Lấy giới hạn khi

* u

* A( x ,x )

* £ v

khi n  ¥ ta có

*  £ x

* A( x ,x )

* £ x



* A( x ,x )

* = x

Nghĩa là

*x là điểm bất động của A

b) Sự duy nhất của điểm bất động

Giả sử x là điểm bất động nào đó của A trên 0,v

Khi đó :

= £ £ = suy ra A( x,x ) v 0

£ A( u ,v ) A( x,x )

= £ x

Nên

u 1

A( v ,u ) 0

= v 1

£ A( u ,v ) A( x,x )

= £ x

A( v ,u ) 1

= v 2

….. …………………………………………

Theo phương pháp quy nạp ta chứng minh được

= £

A( u

£ ) A( x,x )

)

" ³ n

,v n

v n

- 1

x A( v - 1 n

- 1 n

Cho n  ¥ ta được

* x

* £ £ hay x

Vậy A có điểm bất động duy nhất trên 0,v

c) Tốc độ hội tụ

Với

ta có

0 x , y 0

= £ £ = và v

x 0

v 0

= £ £ = v 0 0

£ A( u ,v ) A( x , y )

Suy ra 1 u

= £ x 1

A( v ,u ) 0

= v 1

£ A( u ,v ) A( x , y )

= £ x 2

A( v ,u ) 1

= v 2

Theo phương pháp quy nạp ta chứng minh được

A( u

, y

)

" ³ 1

= £ x n

v , n n

,v - 1 n

£ ) A( x - 1 n

- 1 n

A( v - 1 n

- 1 n

Tương tự ta cũng có

" ³ 1

£ £ y n

v , n n

Suy ra 0

£ - £ - và 0 v n

x n

£ - £ - n n

v n

và

Suy ra

* - £ x

. v

x n

N v n

- £ u n

æ 2 1 ç N . ç çè

n ö- ÷ c ÷ ÷ ø c

* - £ x

. v

N v n

- £ u n

æ 2 1 ç N . ç çè

n ö- ÷ c ÷ ÷ ø c

Định lý 4.1.2 Giả sử



v K , v

A :

> ; 0

là toán tử hỗn hợp đơn điệu mà

K là nón chuẩn;

,v )

và

1 v> 2



,v , A(., y ) :

là toán tử lồi

i. Với y cố định,



Với x cố định,

là toán tử lõm

,v , A( x,.) :

ii. Có hằng số c thỏa

c< £ và 1

1 2

A( v,

)

c.A(

,v )

+ - 1 (

v ).v

(4.1.20)

,vÎ 0

Khi đó A có duy nhất điểm bất động

. Hơn nữa, với

tùy ý các

x , y 0

dãy lặp (xn), (yn)

v A( v

)

;

1 2 3 , ,

,...

(4.1.21)

x n y

v A( v

x - 1 n y

)

- 1 n

- 1 n x - 1 n

ì = - ïï í ï = - ïî

* x

 ¥

(4.1.22)

có sự hội tụ

khi n

* x

ìï -  v x ï n í ï -  v y ïî

Chứng minh

a) Sự tồn tại điểm bất động

= -

B( x, y )

v A( v

- - x,v

y )

x, y

Bặt

Do A là toán tử hỗn hợp đơn điệu nên toán tử B cũng hỗn hợp đơn điệu.

B(., y ) :

,v 0

Ngược lại với toán tử A, với y cố định thuộc 0,v ,

là lõm và

B( x,.) :

,v 0

với x cố định thuộc 0,v ,

là lồi.

,v )

 Nếu

0A(

<  v

£ ,v ) A( v,

)

(do A là toán tử hỗn hợp đơn điệu)

Vì 0

= + -

A( v,

)

c.A(

,v )

v ).v

c.v

(

v ).v

+ - 1 (

Mà

= v

A( v,

)

,v )

= v

Nên

A( v,v )

do A(

,v ) A( v,v ) A( v,

Suy ra

(

) )

Vậy trong tương hợp này A có điểm bất động

< khi đó

 Nếu

,v )

1 2

= -

B( v,

)

do B( v,

)

v A(

,v );

,v )

æ ç ç çè

ö÷ < ÷ v ÷ ø

1 2

A( v,

)

c.A(

,v )

+ - ( 1

v ).v

Theo ii. Có hằng số c thỏa

c< £ và 1

1 2

nên

= -

,v )

v A( v,

)

³ - v

c.A(

,v )

- - 1 (

v ).v

- c. v A(

- - ( 1

v ).v

(

) ,v )

Suy ra B(

,v )

cB( v,

)

Vậy theo định lý 4.1.1 thì toán tử B có duy nhất điểm bất động

suy

,vÎ 0

= - là điểm bất động của toán tử A.

b) Sự duy nhất của điểm bất động

Giả sử

là điểm bất động của A. Ta cần chứng minh

* x=

,vÎ 0

x 0

Ta có

A( x ,x ) 0

x= 0

= -

B( v

v A( x ,x )

x ,v 0

x ) 0

= - x 0

Suy ra

x- là điểm bất động của B mà do B có duy nhất điểm bất động x nên

= -

- = x 0

x suy ra x 0

Vậy

* x=

x 0

c) Chứng minh (4.1.22)

ta có

Với mọi

x , y 0

v A( v

x ,v 0 y ,v 0

y ) B( x , y ) 0 x ) B( y ,x ) 0

ì = - x ïïí 1 ï = - y ïî 1

v A( v

x ,v 1 y ,v 1

y ) B( x , y ) 1 - = x ) B( y ,x ) 1

ì = - x ïïí 2 ï = - y ïî

………………………………………..

v A( v

, y

)

, ...

, n

1 2 3 ,

v A( v

x - 1 n y

= ) B( x - 1 n = ) B( y

)

- 1 n

- 1 n ,x - 1 n

- 1 n x - 1 n

ì = - x ïï n í ï = - y ïî

Theo định lý 4.1.1 thì

x n

 ¥

mà

= - v x

khi n

* x

x n

 ¥

khi n

hay

Nên ta có

* x

ìï - -  ïï í ï - -  ïïî

* x

 ¥

Vậy

khi n

* x

ìï -  x ïï í ï -  x ïïî ìï - +  v ïï í ï - +  v ïïî ìï -  v x ï n í ï -  v y ïî

Định lý 4.1.3

Giả sử các điều kiện i. và ii. của định lý 4.1.1 được thỏa mản. khi đó các tồn tại số

= l

A( u,u )

0A( v,

)

l ³ sao cho

£ và

"l Î l phương trình u

có duy nhất

[

]00,

)l .

nghiệm u(

l = )

)

l = và v

Giả sử

u ( 0

, v ( 0

l = l )

(

),v - 1 n

khi đó ta ước lượng

,..

, , 1 2 3

l = l )

(

) ) ) )

( A u ( - 1 n ( A v - 1 n

),u ( - n 1

ì ïï u ( n í ï v ( ïî n

l - l £



) u(

)

u ( n

æ 1 ç N . ç çè

n ö- c ÷ ÷ ÷ ø c

 ¥

khi n

(4.1.23)

l - l £ v(

)

v ( n

æ 1 ç N . ç ç è

n ö- c ÷ ÷ ÷ ø c

ìï ï ï ï ïï í ï ï ï ï ï ïî

Chứng minh

Điều kiện i. và ii. của định lý 4.1.1 đó là : Giả sử K là nón chuẩn, A : K K

´  là toán tử

hỗn hợp đơn điệu, hơn nữa

K là lõm

i. Với y cố định, A(., y ) : K

Với x cố định, A( x,.) : K

K là lồi

$ Î

v K sao cho v

0A( v,

)

> và 0

c$ > thỏa 0

< (4.1.2)

ii.

1 2

,v )

cA( v,

)

và

: tA( v,

)

* Từ giả thiết ii. của định lý suy ra

< luôn tồn tại

{ sup t

}

: tA( v,

)

< , cũng từ giả thiết ii. Ta suy ra

l ³ 1

Đặt

{ sup t

}

l = 0

* Với

]00, [ "l Î l

= l

l = ta có

và thỏa các

Nếu

) = là nghiệm của phương trình u

A( u,u )

điều kiện còn lại

³ l

< l

£ l

Nếu

l Î l ta có

< và

,v )

c A( v,

)

A( v,

)

A( v,

)

(

]00,

Vậy Al thỏa các điều kiện của định lý 4.1.1 nên theo định lý 4.1.1 thì Al có duy nhất

l Î )

điểm bất động

và

)l > 0

* Các ước lượng về tốc độ hội tụ (4.1.23) dễ dàng suy ra từ định lý 4.1.1

Bổ đề 4.1.1

Giả sử X là không gian Banach được sắp bởi nón dương K1, Y là không gian Banach

Ì  là lõm hoặc lồi. Với

được sắp bởi nón chuẩn dương K2 và toán tử A : D X

0x DÎ ,

d > 0

khi đó A liên tục tại

0x nếu và chỉ nếu A bị chặn địa phương tại

0x . Nghĩa là tồn tại số

N ( x )

sao cho A bị chặn trong lân cận

tại

0x .

Chứng minh

a) Điều kiện cần : A liên tục tại

"e > $d > , 0 0

0x nên

- < d 

- A( x ) A( x )

< e

x 0

N ( x )

x D : x

A( x )

+ e " Î ,

Nếu lấy

thì

{ = Î

}

x N ( x ) d

A( x ) 0

- < d x 0

b) Điều kiện đủ.

$ > M

: A( x ) M

= N ( x ) B( v, )

Giả sử A bị chặn địa phương trên

d tức là

trên

B( v, )d . Bằng cách giảm d , có thể coi B( v, ) D

d Ì , xét dãy

DÎ và

( x ), x n n

= . Ta có thể viết

với

= và 0

x n

= + x 0

t y n

x 0

lim x n ¥ n

, lim t ¥ n

d £ 2

Chẳng hạn lấy

x n

x 0

- -

2 d

d 2

( x n x n

x ) 0 x 0

= - ( 1

Với n đủ lớn mà

và áp dụng tính lồi của A

nt £ ta viết

x n

t )x 0 n

t ( x 0 n

y ) n

ta có

£ - ( 1

A( x ) n

t )A( x ) n

t A( x n 0

y ) n



(4.1.25)

- A( x ) A( x )

[ t A( x 0 n

] y ) A( x ) n

= + -

Vì ta cũng có

x 0

t ( n

x n

y ) n

 = -

(

x 0

t )x n n

t ( x n n

y ) n



£ - 1 (

x ) 0

t )A( x ) n

t A( x n n

y ) n



(4.1.26)

x ) A( x ) 0

[ t A( x n n

] y ) A( x ) n

từ (4.1.25) và (4.1.26) ta có :

 -

- A( x ) A( x )

[ t A( x n n

] y ) A( x ) n

[ t A( x 0 n

] y ) A( x ) n

(4.1.27)

Vì

x-  nên 0

n sao cho n 0

" ³ ta có n 0

x n

£ d

(4.1.28)

x n

d 2 x 0

x n

x 0

x 0 d 2

ì ïï - £ x ïïïïï - - £ - + 0 í ïïï ï + - = y ïïïî Từ (4.1.28) suy ra

y , x 0 n

x , x n n

+ Î y n

d B( x , ) 0

A( x n

y ) A( x ) n

A( x n

y ) n

A( x ) n

và

= 0

Nên

lim t ¥ n

- A( x ) A( x 0

A( x ) 0

A( x 0

y ) n

ì ïï í ï ïî

và

hội tụ về 0

Suy ra

[ t A( x n n

] y ) A( x ) n

[ t A( x 0 n

] y ) A( x ) n

khi n  ¥



khi n

là nón

chuẩn

nên

 ¥

Do K2

- nA( x ) A( x )



hay A( x )

A( x ) khi n

 ¥

Vậy A liên tục tại

Định lý 4.1.4

´  là toán tử hỗn hợp đơn điệu, các giả

Giả sử K là nón chuẩn trong X ; A : K K

A( v,

thiết i. và ii. trong định lý 4.1.1 được thỏa và

) ³ 0

Khi đó phương trình

A( u,u )

(4.1.29)

]0 [ = l Î l

)l thỏa :

có đúng một nghiệm u(

l 

liên tục

u(.) :

[

]00 ,

)

cu(

)

l l

(4.1.30)

ii.

]

[

"l l Î l ta có , 00

)

cu(

)

l l

ì ïï l ³ u( ïï ïí ï ï l ³ u( ïï ïî

: tA( v,

)

Ở đây

{ sup t

} < v

l = 0

Chứng minh

Do điều kiện i. và ii. của định lý 4.1.1 được thỏa nên theo định lý 4.1.3 thì tồn tại

= l

)

A( u,u )

0A( v,

l ³ sao cho

£ và phương trình u

có duy nhất nghiệm u(

1) Ta chứng minh sự tồn tại nghiệm

đặt

và

l = )

l = v

)

]00, [ "l Î l ,

u ( 0

, v ( 0

l = l )

(

),v - n 1

(4.1.31)

,..

1 2 3 , ,

l = l )

(

) ) ) )

( A u ( - n 1 ( A v - n 1

),u ( - n 1

ì ïï u ( n í ï v ( ïî n

l  l

Từ định lý 4.1.3 ta có

)

l  l là đều theo )

)

]00, [ l Î l

u ( n

), v ( n

* Ta chứng minh

n" ³ 1

u , v liên tục trên [ n

]00,l với



Với

và

0 Î Ç K

x , y 0 0

x , y 0

 y 0

x , y n

,v sao cho x n

Ta có

- A( x , y ) A( x , y )

(4.1.32)

Theo bổ đề 4.1.1 : Nếu cố định y thì A(., y ) bị chặn trên 0,v nên A(., y ) liên tục tại

và tương tự nếu cố định x thì A( x,.) liên tục tại

x 0

( x , y )

Vậy theo (4.1.32) suy ra A(.,.) liên tục tại

,vÇ

0 0K

Suy ra A(.,.) liên tục trên

,v )

),v ( 0

[

]00, "l Î l ta có

A( v,

)

) l = l ) ) l = l )

( A u ( 0 ( A v ( 0

),u ( 0

ì l = l ïï u ( ) 1 í ï l = l v ( ) ïî 1

u , v liên tục trên [

Dễ dàng ta chứng minh được 1

]00,l

* Gỉa sử

, v-

- liên tục tại

[ ]00 l Î l ,

l = l )

(

) l )

u ( n

( A u ( - 1 n

),v - 1 n

0 0K

,vÇ

nên

Vì A(.,.) liên tục trên

(

) l = )

),v - n 1

( A u ( - n 1

) )

( lim A u ( - n 1 ' ll



l = )

(

) l )

),v - n 1

lim u ( n ' ll

( lim A u ( - n 1 ' ll

' = l

(

),v - n 1

l = l ) u ( n

( A u ( - n 1

) )

Suy ra un liên tục tại

'l suy ra un liên tục trên [

]00,l

" = n

1 2 3 , ,

...

Vậy theo phương pháp chứng minh quy nạp ta có un liên tục trên [

]00 l ,

" = n

1 2 3 , ,

...

Tương tự ta cũng chứng minh được vn liên tục trên [

]00 l ,

l  l

)

Kết luận :

l  l là đều theo )

[

l Î l và un , vn liên tục trên

]00,

u ( n

), v ( n

" = n

...

1 2 3 , ,

[

nên suy ra u(.), v(.) liên tục trên [

]00 l ,

]00,l .

2) Chứng minh (4.1.30)

Vì

nên

"l l Î l  l ,

), u(

]

[

l Î ) 2

),u(

,v )

( A u(

l = l ) 1

l 1

) l ³ l ) 1

)

³ l cA( v, 1

0A( v,

)

l 1 l

Suy ra

),u(

( do u(

),u(

,v )

( A u(

) )

)l 1

l Î ) 2

l 1 l

 l ³

)

c.u(

)

l l

Tương tự ta chứng minh được

c.u(

)

l ³ ) 2

l 1

l l 1

Hệ quả 4.1.1

´  là toán tử hỗn hợp đơn điệu, thỏa các điều

Giả sử K là nón chuẩn trong X ; A : K K

kiện sau:

K là lõm

i. Với y cố định, A(., y ) : K

Với x cố định, A( x,.) : K

K là lồi

$ $

c, u,v K sao cho

< £ c

u,v

ii.

và

( , A u,v 1

)

1 2

(4.1.33)

A( u,v )

cA( v,u )

+ - 1 (

c )u

u,v

Khi đó A có đúng một điểm bất động x

Chứng minh

B( x, y ) A( x

u, y

+ - " u ) u

Î x, y K

(4.1.34)

Đặt

- ´ u

Khi đó ta có

- và B là toán tử hỗn hợp đơn điệu thỏa điều

(

) - Ì u

kiện i. của định lý 4.1.1

Hơn nữa

(4.1.35)

- -

= 0 ) A( v,u ) u u, - = u ) A( u,v ) u

B( v 0 B(

ì ïïí ï ïî

Từ các hệ thức (4.1.33), (4.1.34) và (4.1.35) ta có

B( v

)

£ - v

- =

- ³

u ) A( u,v ) u

c. A( v,u ) u

)

c B( v

] - ³

[

ì ïïí ï ïî

B( v

)

= thì A( v,u )

u= ( do (4.1.35) )

* Nếu

x, y

u,v

ta có A( x, y )

u³

Mặt khác A( x, y ) A( v,u )

= u

Suy ra

A( x, y )

= " u,

x, y

u,v

u= nên u là điểm bất động duy nhất của A

Suy ra A( u,u )

B( v

)

> thì toán tử B thỏa giả thiết ii. trong định lý 4.1.1 nên B có duy nhất

* Nếu

,v u

điểm bất động

- nghĩa là

+ - = 

* A( x

* u,x

u ) u

* x

* A( x

* u,x

u )

* + = + u x

x với

* = + u x

( Hay A x,x

)

Vậy x là điểm bất động duy nhất của của A 

Hệ quả 4.1.2



là toán tử hỗn hợp đơn điệu và

Giả sử K là nón chuẩn trong X , A : u,v

u,v

thỏa các điều kiện sau :

u,v

i. Với y cố định, A(., y ) : u,v

là lõm

là lồi

Với x cố định, A( x,.) : u,v

u,v

ii. Tồn tại số c sao cho

< £ c

cA( u,v )

c )v

1 , A( v,u )

+ - 1 (

1 2

A( u,v )

( u

và

+ v )

1 2

u,v

Khi đó A có đúng một điểm bất động x

Chứng minh

Tương tự như chứng minh hệ quả 4.1.1 ta xét toán tử

B :

- ´ u

-  - 0

+ -

B( x, y ) A( x

u, y

u ) u

x, y

được xác định như sau

Như vậy ta thấy B thỏa các điều kiện i. và ii. của định lý 4.1.2 nên theo định lý 4.1.2 thì B có

B( x*,x*)

duy nhất điểm bất động

- . Nghĩa là x*

+ - =

+ Hay A( x* u,x* u ) u



A( x* u,x* u )

+ = + x* u



A( x,x )

= với x

= + x* u

Vậy x là điểm bất động duy nhất của của A

4.2 Điểm tựa bất động của toán tử hỗn hợp đơn điệu

* Các khái niệm :

X là không gian Banach được sắp bởi nón K

Đặt

và

= = = = Ì

D X

u ,v 0 0

D 1

D 2

... D k

Định nghĩa 4.2.1

a. Toán tử

´ ´ ´  được gọi là hỗn hợp đơn điệu nếu A tăng đối

A : D D ... D 2 k

với mỗi một trong m biến đầu tiên và giảm đối với mỗi một trong các biến còn lại.

b. Giả sử

Î ´ được

´ ´ ´  là hỗn hợp đơn điệu. điểm ( x, y ) D D

A : D D ... D k 2

gọi là cặp điểm tựa bất động của A nếu

và

A( s ,s ,...,s ) 2

A( s' ,s' ,...,s' ) 2

x, s'

y, s'

ở đây

= nếu A tăng theo biến thứ i và

= nếu A giảm ở

s i

biến thứ i

Nhận xét :

Nếu A là toán tử hỗn hợp đơn điệu, tăng với m biến đầu và giảm với k-m biến còn

X '

lại

thì

có

thể xét

toán

tử

A' : D'

Ì  xác định như

X X

= ´ và X '

= ´ . Khi đó A' tăng

A x y '( , )

y ,..., )

=   , trong đó D' D D

x y y , , - k m bieán

A x x ( , ,..., m bieán

theo biến thứ nhất và giảm theo biến thứ hai.

ii)

Trong không gian Banach X ' , ta xét nón K ' K ( K )

= ´ - và kí hiệu " "a là quan hệ

a ( x, y ) ( x', y')

với £ là quan hệ thứ tự

thứ tự trong X ' sinh bởi nón K ' như sau :

 í

ì £ïï x x' ï £ïî y'

sinh bởi nón K . Dể dàng kiểm tra được rằng nếu K có tính chất nón chuẩn hay nón chính

quy hay nón Minihedral thì K ' cũng có tính chất tương tự

Xét ánh xạ B : D'

X ' xác định bởi

B( x, y )

(4.2.2)

(

) A'( x, y ), A'( y,x )

Bổ đề 4.2.1.

A : D

' B : D

X là toán tử hỗn hợp đơn điệu và

X được xác định bởi (4.2.2) khi đó:

Giả sử

1. (x,y) là cặp điểm tựa bất động của A nếu và chỉ nếu nó là điểm tựa bất độngcủa B.

2. B là ánh xạ đơn điệu tăng đối với quan hệ “a ”.

A( u ,..,u ,v ...,v ), A( v ,..,v ,u ...,u )

3. Nếu

v 0

B( u' )

trong đó

Thì

B( u' ) ua 0

( u ,v ) , u 0

( v ,u ) 0

Chứng minh:

1. Giả sử A tăng với m biến đầu và giảm với k-m còn lại (x,y) là cặp điểm tựa bất động của A khi

và chỉ khi

A( x,x,...,x, y,..., y ) A( y, y,..., y,x,x,...,x )

ì =ïïí x ï =ïî y

A ( x, y )

hay B(x,y) = (x,y)

Tương đương với

A ( y,x )

ìï ïí ï ïî

Vậy (x,y) là điểm tựa bất động của B

2. B là ánh xạ đơn điệu tăng đối với quan hệ “a ”.

DÎ ta có

Thậy vậy (

)

) ( x , y , x , y 1

£ A ( x , y ) A ( x , y )



)

(

)

( x x , y 1 1

( x , y 2

x 1 y

£ A ( y ,x ) A ( y ,x )

x 2 y 1

ì ï ï í ï ï î



ì ïï í ï ï î a B( y ,x ) B( y ,x )

3.Do

= '

A( u ,u ,...,u ,v ,...,v ) A ( u ,v )

x y ,

y x ,

£ a - .

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

æ ç ç A x x ,... ç  ç è m

x ,...,  - k m

y ,...,  - k m

æ ç ç- A y y , ,..., ç  ç è m

= '

0 v

A( v ,...,v ,u ,...,u , ) A ( v ,u ) 0

A ( u ,v ), A ( v ,u )

Nên

( u ,v ) 0

'  a u 0

( u ,v ) 0

' ( u ) 0

Tương tự ta chứng minh được

' ( v ) 0

4.2.2. Trường hợp toán tử liên tục.

Định lý 4.2.1

D D i

= " =

,k , 1

...

Giả sử

´ ´ ´  là toán tử hỗn hợp đơn điệu có tính chất:

A: D D 1

,...,x )

+ 1

A( x ,x ,...x ,x 2 m

,x m

(4.2.1)

' ,x

' ,...,x )

' ' A( x ,x ,...x ,x 2

+ 1

ì £ïïí u ï ³ïî v 0

£ £

i m, m+1

Ở đây

u với 1

£ £ . Giả sử một trong các điều

' u , x 0

= và v 0

x i

' , = v x 0 j

kiện sau được thỏa mãn:

(H1) K là nón chuẩn và A hoàn toàn liên tục



x, y

(H2) K là nón chính quy và A là tựa liên tục yếu, tức là nếu

 thì y

x n

yeáu 

khi đó A có cặp điểm

tựa bất động

A x

A x (

,...,

)

( ,...,

x y y , ,

y ,..., )

x y y , n n

* A( u ,...,u ,v ,...,v )

* A( v ,...,v ,v ,u ,...,u )

( u ,v ) nghĩa là

* u= và

v= , hơn nữa

v£ và với

cặp điểm tựa bất động bất kỳ (x,y) của A ta có

* v

A( u

,...,u

)

£ £ ,

* £ £ v

với

;

,v - 1 n

,...,v - 1 n

- 1 n

,...,u

)

" ³ 1

v n

A( v - 1 n

,v - 1 n

,...,v - 1 n

- 1 n

£ £ £ £ £

Và

£ (4.2.2)

...

u 1

v n

...v 1

v 0

Ta có

* u

* v =

v n

lim u , n ¥ n

lim ¥ n

Chứng minh: Xét ánh xạ A' :

'A ( x, y ) A( x,...,x, y,..., y )

'A : D D

´  xác định bởi

Đặt 1 u

A ( u ,v ), v 1

A ( v ,u ) 0

Từ giả thiết A hỗn hợp điệu,

v£ nên

£ £ £ v v 1 0

u 1

Ta xác định :

+ =

A ( u ,v ) n

+ =

v n

A ( v ,u ) n

£ £ £

Từ giả thiết

và A hỗn hợp đơn điệu nên

+£ u

v n

v - 1 n

- 1 n

£ v n

do đó ta có (4.2.4)



* v

* Ta sẽ chứng minh:

 Î trong 2 trường hợp:

* u ,v n

a) Nếu có (H1)

}

Vì K là nón chuẩn nên dãy {xn} bị chặn mà A hoàn toàn liên tục nên tập {

u ,u ,u ,...,u ,... là 1



khi k  ¥

sao cho u

* * u ,u

Î khi X

{ } u

tập compact tương đối . Do đó tồn tại dãy { } u

n k



khi n

Suy ra

 ¥ (do K là nón chuẩn và dãy {xn} đơn điệu )

Suy ra

* " ³ 1 u , n



Chứng minh tương tự ta có được

 ¥

* * v ,v

X khi n

£ £ £

* v

Vậy ta có

" ³ 1

v , n n

b) Nếu có (H2)



* v khi n

 ¥ +

Từ giả thiết (4.2.4) và K là nón chính quy nên suy ra

* u , v n

Vì A tựa liên tục nên :

yeáu 

 ¥

)

* A u v (

)

khi n

u n

+ 1

yeáu 

 ¥

* A v u khi n

)

(

v n

A u v ( n n A v u ( n n

+ 1

* A ( u ,v )

Cho n

 ¥

, áp dụng (4.2.5) ta được

* A ( v ,u )

ìï =ïí u ï =ïî * v

( u ,v ) là cặp điểm tựa bất động của

'A và rõ ràng

* v£

Như vậy

* v

* Bây giờ ta giả sử ( x, y ) là một cặp điểm tựa bất động bất kì của

'A ta chứng minh

* v

ìï £ £ u ï í ï £ £ u ïî

A ( x, y )

Thật vậy

A ( y,x )

ìï =ï x í ï =ïî y

£ £ x

A ( u ,v ) A ( x, y ) A ( v ,u )

v 0

v 1

hay

vì

£ £ y

A ( u ,v ) A ( y,x ) A ( v ,u )

v 0

v 1

ìï £ £ u ï 1 í ï £ £ u ïî 1

ì ï u ï í ï u ï î

ì ï ï í ï ï î

v n

Bằng phương pháp chứng minh quy nạp ta được:

v n

ìï £ £ u ï í ï £ £ u ïî

* v

Cho n

 ¥

ta có

* v

ìï £ £ u ï í ï £ £ u ïî

Định lý 4.2.2

$a < a < 0

sao cho

Giả sử các điều kiện của định lý 4.2.1 được thỏa mản, hơn nửa

£ a

(4.2.3)

x y -

;

Î x y D ,

x y ,

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

æ ç ç A x x ,... , ç  ç è m bieán

x y x ,..., ,  k m bieán -

y ,...,  k m bieán -

æ ç ç A y y , ,..., ç  ç è m bieán

Khi đó A có duy nhất điểm bất động x DÎ

Chứng minh:

Ta cũng giả sử

A x,x,...x , y,..., y

( A x, y

)

æ ç ç= ç çè

ö÷ ÷   ÷ ÷÷ ø

- k m

Do toán tử A hỗn hợp đơn điệu nên A' cũng là toán tử hỗn hợp đơn điệu

Từ (4.2.6) ta có

£ a

u , n

,...

1 2 ,

)

+- u

+ 1

v n

( A v ,u n

( A u ,v n n

. v n

Lặp lại lập luận trên ta có

£ a

+- u

v n

+ 1

. v 1

- u 1



( do

< a < )

Cho n  ¥ , ta được

+- u

v n

+ 1

Từ kết luận của định lý 4.2.1 ta có

* * = = u v

Vậy x là điểm bất động duy nhất của A

Nhận xét:

Rõ ràng với k = 1 thì điều kiện (4.2.6) là điều kiện Lipschits truyền thống đã biết cho ánh xạ

co.

4.2.3 Trường hợp toán tử không liên tục

Định lý 4.2.3

Giả sử

K là nón Minihedral mạnh . Toán tử

X là toán tử hỗn hợp

X ,Î

A : u ,v 0

u ,v 0 0

,...

,...,

A u u v u v ,   0 0 0 0 0 - k m bieán

m bieán

đơn điệu sao cho thỏa

,...

,...,

v 0

æ ç ç£ ç ç ç è æ ç ç³ ç ç ç è

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷ ø ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷ ø

A v v u v u ,   0 0 0 0 0 - k m bieán

m bieán

ì ï ï ï u ï ï 0 ï ïí ï ï ï ï ï ï ïî

* u

v£ . Hơn nũa với cặp điểm tựa bất động

Khi đó A có cặp điểm tựa bất động (

) * * u ,v với

* v

x, y của toán tử A ta luôn có

bất kì (

)

* v

ìï £ £ u ï í ï £ £ u ïî

Chứng minh

= ´

Với

= ´ , trong

' X

' D

D D,

X X

'X xét nón

= ´ - . K ( K )



Xét toán tử

' B : D

X sao cho B( x, y )

(

) A ( x, y ), A ( y,x )

,...

,...,

A u u v u v ,   0 0 0 0 0 - k m bieán

m bieán

mà

Vì

nên theo bổ đề 4.2.1 thì (

)

v ,u 0

( B u ,v 0 0

,...

,...,

v 0

æ ç ç£ ç ç ç è æ ç ç³ ç ç ç è

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷ ø ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷ ø

A v v u v u ,   0 0 0 0 0 - k m bieán

m bieán

ì ï ï ï u ï ï 0 ï ïí ï ï ï ï ï ï ïî

nên ta có

)

( B u ,v 0 0

(

) A ( u ,v ), A ( v ,u )

A ( u ,v ) 0 A ( v ,u ) 0

ìï £ïí v 0 ï ³ïî u

'D vào

 Ta chứng minh B là toán tử đơn điệu từ

Ta có

và theo bổ đề 4.2.1 thì B là ánh xạ đơn điệu

' B( D ) XÌ

 Chứng minh B có điểm bất động

Do K là nón Minihdral mạnh nên K ' cũng là nón Minihdral mạnh .

Áp dụng định lý 2.3.1 đối với toán tử B ta suy ra B có điểm bất động

( * * u ,v

)

* * u ,v

Vậy theo bổ đề 4.2.1 thì A cũng có điểm tựa bất động là (

)

* v£

 Chứng minh

' x

* v

u ,v là cặp điểm tựa bất động bất kì của A' , Ta chứng minh

Giả sử (

)

* v

ìï £ £ u ïí ï £ £ u ïî

* * u ,v

trong định lý 4.2.2 có thể được xác định rõ hơn . Chẳng hạn ta đặt

Chú ý : Cặp điểm tựa bất động (

)

: A( x,...,x, y,..., y )

x & A( y,..., y,x,...,x )

u ,v 0 0

} £ y

{ ( x,...,x, y,..., y )

Từ giả thiết (4.2.1) ta suy ra D ¹ f

x : ( x,...,x, y,..., y ) D

Giả sử

{

}

y : ( y,..., y,x,...,x ) D

{

}

Vậy

* v

sup D , u 1

infD 2

Định lý 4.2.4

Giả sử

X là toán tử hỗn hợp đơn điệu thỏa (4.2.1)

X , u

u ,v 0 0

< và v 0

A : u ,v 0

là tập compact tương đối trong X.

trong định lý (4.2.1) và

( A u ,v 0

)

Khi đó A có cặp điểm tựa bất động.

Chứng minh:

X X

, X

= ´ và

Đặt

u ,v 0 0



B : D'



= B( u ) B( u,v )

( A ( u,v ), A ( v,u ))

Do A thỏa điều kiện (4.2.1) trong định lý 4.2.1 và A là toán tử hỗn hợp đơn điệu nên suy ra

B là toán tử tăng . Mặt khác do

là tập compact tương đối trong X nên suy ra B(D’)

( A u ,v 0

)

* * u ,v

compact tương đối trong X’ và K là nón chuẩn nên theo hệ quả 2.1.1 thì B có điểm bất động ( * * u ,v

trên D’ nên suy ra A có cặp điểm tựa bất động (

)

Định lý 4.2.5

X , u

Giả sử

X là toán tử hỗn hợp đơn điệu thỏa (4.2.1)

A : u ,v 0

u ,v 0 0

< và v 0

trong định lý (4.2.1) và K là nón chính quy.

* * u ,v

* u

với

x, y là điểm tựa bất

Khi đó A có cặp điểm tựa bất động (

)

v£ . Hơn nữa nếu (

)

* u

* £ v

động nào đó của A thì

Chứng minh

Kết quả suy được khi sử dụng bổ đề 4.2.1 , hệ quả 2.2.1 và toán tử B được xác định trong bổ

đề 4.2.1

Chương 5: ỨNG DỤNG

5.1 Bài toán tìm nghiệm tuần hoàn chu kì 2p của phương trình

a( t ).x

(5.1.1)

( t ,x( t ),x( t

) h )

Ta tìm nghiệm của phương trình (5.1.1) là tìm hàm x = x(t) có chu kì 2p liên tục tuyệt

đối và thỏa (5.1.1) hầu khắp nơi.

Giả sử

a( t )dt

 a(t) liên tục, có chu kì 2p ,

3 , liên tục theo t, có chu kì 2p theo t và tăng theo x, y.

 f(t,x,y) bị chặn trên

Ta chứng minh rằng với các giả thiết trên thì phương trình (5.1.1) có ít nhất một nghiệm

tuần hoàn với chu kì 2p .

Chứng minh

g( t )

, t

 là

Công thức nghiệm của phương trình

a( t ).x =

x 0

ìï + 'x ï í ï x( t ) ïî 0

a( s )ds

t 0

(5.1.2)

- e

x( t )

g( u )du

é ê ê +ê . x 0 ê ê ë

ù ú ú ú ú ú û

)

p 2 )

Xét t0 = 0 và ta muốn tìm nghiệm thỏa

a( s )ds

p = 2 )

- e

g( u )du

Ta có

x 0

ù ú ú ú ú û

é ê ê . x ê 0 ê ë

a( s )ds



g( u )du

x .e 0

- = x 0

a( s )ds

g( u )du

 = x 0

ò .

é ê ê ê ê ë

ù ú ú 1 ú ú û

Khi đó (5.1.2) trở thành

a( s )ds

x( t )

g( u )du

- e

ò .

é ê ê . e ê ê ë

ù ú ú 1 ú ú û

a( s )ds

g( u )du

.g( u )du

ò .

é ê ê ê ê ë

ù ú ú 1 ú ú û

0 2

p  ]

0 2

p ]

được

xác

định

bởi

Xét

ánh

xạ

S : C [ ; 0

C [ ; 0

Sx t ( )

2 h

) neáu h ) neáu 0 2

£ £ p t £ £ t

ìï - x t ( ï= í ï + p - x t ( ïî

Ta có x = x(t) có chu kì 2p và thỏa (5.1.1) tương đương với x = x(t) có chu kì 2p và

a( t )x

, t

; 0 2

p hay

( ) t,x( t ),Sx( t )

[

]

p 2

)

a( t )x

, t

; 0 2

( ) t,x( t ),Sx( t )

[

]

ì 0 x( ) ïïí ï + ' x ïî

0 2

p  ]

0 2

]

Xét ánh xạ

p được xác định bởi

F : C [ ; 0

C [ ; 0

a( s )ds

Fx( t )

. f u,x( u ),Sx( u ) du

( f u,x( u ),Sx( u ) du

)

(

ò .

é ê ê ê ê ë

ù ú ú 1 ú ú û

)

' x (

)

Nếu x là điểm bất động của F thì ta có

p 2

' , ) x (

p nên từ x ta có thể 2

xây dựng nghiệm chu kì 2p của (5.1.1)

 Bây giờ ta chứng minh F có điểm bất động

i. Ta có F là ánh xạ tăng ( do f là ánh xạ tăng theo biến x,y)

Do f bị chặn trên

3 nên tồn tại m > 0 sao cho

f ( t,x, y ) m ,

t,x, y

a( s )ds



ò .

é ê ê £ Fx( t ) m e ê ê ë

ù ú ú 1 ú ú û

ì ï ï ï ï í ï ï ï ï î

ü ï ï ï ï  ï ï ï ï 

a( t )dt

nên có số b đủ lớn sao

Mà do a(t) là hàm liên tục , có chu kì 2p và

cho

p " Î

Fx( t )

" Î t

, x C [ ;

b ,

0 2 ,

0 2

p ]

[

]

 - £

" Î

b , x C [ ;

b Fx( t )

0 2

p ]

0 2

] sao cho x ( t )

= " Î

, 0 2

Chọn

suy ra

b= và thỏa

[

]

x C [ ; 1 0

1x ( t )

Fx 1

x 1

ì- £ x ïïí 1 ï £ïî Fx 1

Ì -

Vậy

(

)

x ,x 1 1

là tập compact tương đối

ii. Ta chứng minh

(

)

x ,x- 1 1

]

p cho trước, ta có

Với

x C [ ; 0 0 2

Fx( t )

k( t,u )du

ò c. h( t,u )du



' ( Fx ) ( t )

( t,u )du

k( t,u )

p ¶ h ò c. ¶ t

¶ k ¶ t

" Î

' sao cho ( Fx ) ( t ) M t

, 0 2

Nên

0M$ >

p ( do f bị chặn trên

3 )

[

]



" Î

p " Î

( Fx ) ( t ) M t

, 0 2

, x C [ ;

0 2

p ]

[

]

$ >

" Î -

Hay M

sao cho ( Fx ) ( t ) M ,

" Î t

, 0 2

[

]

x ,x , 1 1

là tập compact tương đối

Nên theo định lý Ascoli-Azela ta có

(

)

x ,x- 1 1

]p là nón chuẩn

iii. Mặt khác nón các hàm không âm trong

C [ ; 0 0 2

Vậy theo hệ quả 2.1.1 thì F có điểm bất động x trong

x ,x- 1 1

5.2 Xét phương trình

"x - = l

f ( t,x )

(5.2.1)

)

x( ) 1

với

= 0

Ở đây l là tham số ,

f ( t,x ) xác định và liên tục trên đoạn

é ë

ù 0,1 û

) é´ ¥ 0, ë

x( t )

f ( t,

³ và 0

) º . Rõ ràng ta thấy

l º là nghiệm tầm thường của phương x ( t )

trinh (5.2.1) với bất kì l . Bây giờ ta giả thiết :

t£ £ ,

i. f(t,x) là hàm tăng theo biến x. Nghĩa là 0

£ £ ta có x 2

x 1

f ( t,x )

> " Î

f ( t ,x )

, x (0,1)

ii.

iii.

hội tụ đều đến 0 với

khi  ¥

[ ,Î

]0 1

f ( t,x ) x

Khi đó Với bất kì M > 0 thì tồn tại số R > 0 sao cho khi

Rl ³ có ít nhất một nghiệm

thỏa mãn

không tầm thường

- t )

" Î t

[

]0 1 ,

[ ] 2 0 1 Î x ( t ) C , l

l ³ x ( t ) Mt(

Chứng minh

Ta có bài toán (5.2.1) tương đương với việc tìm nghiệm thuộc

]0 1C , của phương trình

[

x( t )

G( t,s ). f ( s,x( s ))ds

= lò

Ở đây hàm G(t,s) là hàm Green của toán tử vi phân

"x với điều kiện biên

s ) , t

G( t,s )

)

x( ) 1

= và được xác định bởi

t ) , t

ì - t( 1 ïï= í ï - s( 1 ïî

Ta xét toán tử A : P

E được xác định bởi

Ax( t )

G( t,s ) f ( s,x( s ))ds

= ò

E C[ ; ] 0 1

x C[ ; ] / x( t ) 0 1

³ " Î ,

[ ; ] 0 1

và

Đặt

{ = Î

}

* Rõ ràng P là nón chuẩn của của E

* Ta thấy A là hàm tăng do giả thiết i.

Đặt

w( t ) Au ( t )

t ) f ( s,u ( s ))ds 0

s ) f ( s,u ( s ))ds 0

Với

- , M > 0

= u ( t ) Mt(

t )

Ta tính được

' w ( t )

(

" Î t

[ ; ] 0 1

s ) f ( s,u ( s ))ds 0

s ) f ( s,u ( s ))ds , 0

= -

(5.2.2)

Do đó

w t "( )

< " Î 0

(

) 0,1

) t u t , ( ) 0

)

= , tồn tại số a đủ nhỏ thỏa mản

Từ (5.2.2) và

u ( 0

u ( ) 1 0

³ a

W ( t )

" Î t

[

] , 0 1

u ( t ) 0

³ m

= Au ( t ) W ( t )

" Î t

Hay

[

] , 0 1

u ( t ) 0

1-= aR

Ta đặt

. Khi đó với bất kì

Rl ³ ta có

(5.2.3)

" Î t

[

] , 0 1

Au ( t ) 0

u ( t ) 0

Từ giả thiết (iii) ta chọn số c sao cho c > M và

" Î t

[

] , 0 1

8 l

f ( t,c ) c

" Î t

và

cº thì

[

] , 0 1

Đặt 0v ( t )

u ( t ) 0

v ( t ) 0

= l

G( t,s ) f ( s,c )ds

Av ( t ) 0

ò c G( t,s )ds 8

 l

- £ =

ct(

t )

" Î t

(5.2.4)

[

] , 0 1

Av ( t ) 0

v ( t ) 0

Từ (5.2.3) và (5.2.4) ta suy ra

)

( A u ,v 0

u ,v 0 0

là tập compact tương đối

* Bây giờ ta chứng minh

)

( A u ,v 0

,c nên bị chặn .

Hàm f ( t ,x ) liên tục trên [

[ ] 0´, 0 1

]

$ > k

: 0

f ( t,x )

£ " Î

" Î x

Do đó

[

] , 0 1

[

] ,c

(

s ) f ( s,x( s ))ds

(

s ) f ( s,x( s ))ds

Ta có (

) Ax( t ) '

kds

" Î t

" Î , x

Suy ra (

) Ax( t ) '

[

] , 0 1

u ,v 0 0

liên tục đồng bậc. Áp dụng định lý Arzela-Ascoli ta thấy

Từ đây ta thấy tập

)

( lA u ,v 0

là tập compắc tương đối

tập

)

( lA u ,v 0

Vậy áp dụng hệ quả 2.1.1 đối với toán tử Al thì có ít nhất một điểm bất động

l Î x

u ,v 0 0

x ( t )

" Î t

và x ( t )

là nghiệm của bài toán (5.2.1) thỏa

hay

[

] , 0 1

l£

u ( t ) 0

v ( t ) 0

" Î t

- t )

[

]0 1 ,

l ³ x ( t ) Mt(

KẾT LUẬN

Luận văn đã cố gắng trình bày một cách hệ thống, với các chứng minh đầy đủ và chi tiết các

kết quả về điểm bất động một số lớp ánh xạ tăng cơ bản như ánh xạ compắc đơn điệu, compắc

đơn điệu tới hạn, T-đơn điệu, hỗn hợp đơn điệu. Luận văn còn có thể phát triển theo hướng

nghiên cứu các ánh xạ đa trị và các ứng dụng của ánh xạ tăng.

Qua quá trình làm luận văn tôi đã biết áp dụng các phương pháp nghiên cứu và các kết quả

đã học trong các học phần Giải tích hàm, giải tích phi tuyến, phương trình vi phân …để học tập

và nghiên cứu các vấn đề mới.

TÀI LIỆU THAM KHẢO.

[1] Dajun Guo and V.Lakshmikantham, Fixed point theory on Abtract Cones

[2] K.Deimling, Nonlinear Functional in Analysis Cones, Springer Verlag, NewYork,1985.

[3] M.A.Krasnoselskii and P.P.Zabreiko, Geometrical Methods of

Nonlinear Analysis, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York Tokyo,1984.

[4] E.Zeidler, Nonlinear Functional in Analysis and its Applieations T1,3; Springer Verlag, 1987.