Luận văn Thạc sĩ Toán học: Điều khiển h∞ trong thời gian hữu hạn của hệ nơ ron thần kinh phân thứ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

————— o0o —————

NGUYỄN PHƯƠNG HẬU

ĐIỀU KHIỂN H∞ TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CỦA HỆ NƠ RON THẦN KINH PHÂN THỨ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12

TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. MAI VIẾT THUẬN

TS. NGUYỄN HỮU SÁU

Thái Nguyên, 11/2020

1

Mục lục

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 6

1.1. Giải tích phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1. Tích phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2. Đạo hàm phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn cho hệ phương trình

vi phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4. Bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ

phương trình vi phân với bậc nguyên . . . . . . . . . . . . . . . 17

Chương 2 Điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn của một lớp

hệ nơ ron thần kinh phân thứ 20

2.1. Phát biểu bài toán và một số tiêu chuẩn . . . . . . . . . . . . . 20

2.2. Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2

LỜI NÓI ĐẦU

Mô hình mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc

nguyên được nghiên cứu đầu tiên bởi L.O. Chua và L. Yang vào năm 1988

[10, 11]. Mô hình này đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà

khoa học trong những năm gần đây do những ứng dụng rộng lớn của nó trong

xử lí tín hiệu, xử lí hình ảnh, tối ưu hóa và các lĩnh vực khác [11, 21]. Năm

2008, trong một nghiên cứu của mình, A. Boroomand và M.B. Menhaj [7] lần

đầu tiên mô hình hóa mạng nơ ron bởi hệ phương trình vi phân phân thứ

(Caputo hoặc Riemann–Liouville). So với mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương

trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình

vi phân phân thứ (Caputo hoặc Riemann–Liouville) có thể mô tả các đặc tính

và tính chất của mạng nơ ron một cách chính xác hơn [7, 21]. Do đó hệ phương

trình mạng nơ ron phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều

nhà khoa học. Nhiều kết quả hay và thú vị về hệ phương trình mạng nơ ron

phân thứ đã được công bố trong những năm gần đây.

Như chúng ta đã biết, do nhiều lý do như lỗi đo lường, xấp xỉ tuyến tính,

sự không chính xác của việc mô hình hóa, nhiễu loạn thường không thể tránh

khỏi trong các hệ thống mạng thần kinh được mô tả bởi hệ phương trình vi

phân bậc nguyên và bậc không nguyên. Do đó nghiên cứu hiệu suất suy giảm

nhiễu thông qua phương pháp kiểm soát H∞ là một bài toán quan trọng nhận

được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học. Trong những năm gần

đây, bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn của một số lớp hệ phương

trình vi phân với bậc nguyên đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều

nhà khoa học trong nước cũng như quốc tế [2, 4, 6, 22, 24]. Sử dụng phương

pháp tiếp cận thời gian dừng trung bình, Xiang cùng các cộng sự [24] nghiên

3

cứu bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ chuyển mạch

trung tính. Sau đó kết quả của Xiang cùng các cộng sự [24] được cải tiến bởi

Wang cùng các cộng sự [22] cho lớp hệ chuyển mạch trung tính trong đó các

hệ con không ổn định hữu hạn thời gian. Ali và Saravanan [4] đưa ra vài tiêu

chuẩn cho bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn của lớp hệ nơ ron

thần kinh không chắc chắn chuyển mạch có trễ hỗn hợp bằng cách sử dụng

phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii và kỹ thuật bất đẳng thức ma trận

tuyến tính. Bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ nơ ron

thần kinh trung tính Markovian được nghiên cứu bởi Baskar cùng các cộng sự

[6]. Chú ý rằng các kết quả nói trên áp dụng cho các lớp hệ phương trình vi

phân với bậc nguyên. Gần đây, M.V. Thuan cùng các cộng sự [20] nghiên cứu

bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho một lớp hệ nơ ron thần

kinh phân thứ bằng cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính

và một số tính chất của đạo hàm, tích phân phân thứ.

Luận văn tập trung trình bày tính một số tiêu chuẩn cho bài toán điều khiển

H∞ trong thời gian hữu hạn của một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ dựa

trên cơ sở đọc hiểu và tổng hợp các bài báo đã được công bố trong những năm

gần đây (xem [20]). Luận văn gồm có 2 chương gồm những nội dung chính sau

đây:

Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ

như tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo hàm

phân thứ Caputo. Ngoài ra, chúng tôi trình bày bài toán ổn định hữu hạn thời

gian cho lớp hệ điều khiển tuyến tính phân thứ. Bài toán điều khiển H∞ trong

thời gian hữu hạn cho lớp hệ điều khiển tuyến tính với bậc nguyên cũng được

chúng tôi trình bày trong chương này. Nội dung chính của chương này được

tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [13, 14, 15, 17, 18].

Trong chương 2 của luận văn, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho bài

toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn của một lớp hệ nơ ron thần kinh

phân thứ. Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ tài liệu

[20].

Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái

4

Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Mai Viết Thuận và TS.

Nguyễn Hữu Sáu. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới

tập thể hướng dẫn khoa học của mình. Những người đã đặt vấn đề nghiên cứu,

dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt và chỉ bảo tôi trong suốt quá

trình thực hiện đề tài luận văn này.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại

học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin cùng các giảng viên đã

tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên

cứu.

Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, cảm ơn những người

bạn thân thiết đã chăm sóc động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình nghiên

cứu. Sau cùng tôi xin kính chúc toàn thể quý thầy cô trường Đại học Khoa

học - Đại học Thái Nguyên thật dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực

hiện sứ mệnh cao đẹp của mình là truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau. Xin

chân thành cảm ơn.

5

Danh mục ký hiệu

Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều

A(cid:62) ma trận chuyển vị của ma trận A

I ma trận đơn vị

λ(A) tập hợp tất cả giá trị riêng của ma trận A

= max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmax(A)

λmin(A)

(cid:107)A(cid:107)

A ≥ 0 = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} chuẩn phổ của ma trận A, (cid:107)A(cid:107) = (cid:112)λmax(A(cid:62)A) ma trận A nửa xác định dương, tức là (cid:104)Ax, x(cid:105) ≥ 0, ∀x ∈ Rn

A ≥ B

A > 0 nghĩa là A − B ≥ 0 ma trận A xác định dương, tức là (cid:104)Ax, x(cid:105) > 0, ∀x ∈ Rn, x (cid:54)= 0

LM Is

(cid:107)x(cid:107)

Rn×r bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) chuẩn Euclide của véc tơ x = (x1, x2, ..., xn)(cid:62) ∈ Rn không gian các ma trận thực cỡ (n × r)

C([a, b], Rn) không gian các hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị trong Rn

không gian các hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b]

toán tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α

toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α

toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α

AC m[a, b] t0I α t t0 Dα RL t t0Dα C t Γ(x) hàm Gamma

hàm Mittag-Leffler hai tham số Eα,β

(cid:100)α(cid:101) số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α

6

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về tính

ổn định và ổn định hóa của các hệ phương trình vi phân thường và hệ phương

trình vi phân có trễ. Chúng tôi cũng trình bày một số kết quả bổ trợ sẽ được

sử dụng trong chứng minh các kết quả chính của luận văn cho các chương sau.

Kiến thức sử dụng ở chương này được tham khảo ở [13, 14, 15].

1.1. Giải tích phân thứ

1.1.1. Tích phân phân thứ

Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân

thứ. Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm

tích phân lặp thông thường.

Định nghĩa 1.1. ([15]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Riemann- Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi

t0I α

t x(t) :=

t0

+∞ (cid:82)

(cid:90) t (t − s)α−1x(s)ds, t ∈ (a, b], 1 Γ(α)

0

trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) = tα−1e−t dt, α > 0.

:= I với I là toán Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước t0I α t

tử đồng nhất. Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với

0 < α < 1 được cho bởi định lý sau.

Định lý 1.1. ([15]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b]. Khi

7

t x cũng là

t x(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b]. Hơn nữa, t0I α

đó, tích phân t0I α một hàm khả tích.

Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản.

Ví dụ 1.1. ([15])

(i) Cho x(t) = (t − a)β, ở đây β > −1 và t > a. Với bất kì α > 0, chúng ta có

t0I α

t x(t) =

(t − a)α+β, t > a. Γ(β + 1) Γ(α + β + 1)

+∞ (cid:88)

(ii) Cho x(t) = eλt, λ > 0. Với bất kì α > 0, chúng ta có

t0I α

t x(t) = λ−α

j=0

, t > 0. (λt)α+j Γ(α + j + 1)

1.1.2. Đạo hàm phân thứ

Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville và

đạo hàm Caputo. Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong nhiều

lĩnh vực.

Định nghĩa 1.2. ([15]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được

cho bởi

RL

t x(t) :=

t0I n−α t

t0 Dα

t0

(cid:90) t (cid:2) (t − s)n−α−1x(s)ds, x(t)(cid:3) = dn dtn 1 Γ(n − α) dn dtn

dtn là đạo

trong đó n := (cid:100)α(cid:101) là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và dn

hàm thông thường cấp n.

Ví dụ 1.2. Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)

1, nếu t ≥ 0   f (t) =

0, nếu t < 0. 

Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann–

Liouville cấp α của hàm f (t) là

0 Dα RL

t f (t) =

. t−α Γ(1 − α)

8

Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–

Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau.

Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R. AC[a, b] là không gian các hàm

tuyệt đối liên tục trên [a, b]. Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa

các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau:

a

(cid:90) t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)),

do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f (cid:48)(t) = ϕ(t) hầu khắp nơi

trên [a, b].

Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n[a, b] như sau:

(cid:26) (cid:18) (cid:19) (cid:27) . AC n[a, b] = f : [a, b] −→ R, (Dn−1f )(t) ∈ AC[a, b] D = d dt

Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n[a, b].

Mệnh đề 1.1. ([15]) Không gian AC n[a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có dạng

n−1 (cid:88)

như sau:

t ϕ(t) +

k=0

ck(t − t0)k, f (t) = t0I α

trong đó ϕ(t) ∈ L(a, b), ck(k = 0, 1, . . . , n − 1) là các hằng số tùy ý và

t0I α

t ϕ(t) =

t0

(cid:90) t (t − s)n−1ϕ(s)ds. 1 (n − 1)!

Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có

ϕ(s) = f (n)(s), (k = 0, 1, . . . , n − 1). ck = f (k)(t0) k!

Định lý sau đây cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân

thứ Riemann–Liouville.

Định lý 1.2. ([15]) Cho α ≥ 0, n = (cid:100)α(cid:101). Nếu f (t) ∈ AC n[a, b], khi đó đạo

t f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu

t0 Dα

hàm phân thứ RL

diễn dưới dạng sau

n−1 (cid:88)

RL

t f (t) =

t0 Dα

t0

k=0

(cid:90) t (t − t0)k−α + f (k)(t0) Γ(1 + k − α) 1 Γ(n − α) f (n)(s)ds (t − s)α−n+1 .

Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.2

9

Hệ quả 1.1. ([15]) Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì

RL

t f (t) =

t0 Dα

t0

(cid:21) (cid:90) t . 1 Γ(1 − α) f (cid:48)(s)ds (t − s)α (cid:20) f (t0) (t − t0)α +

Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville là

một toán tử tuyến tính.

Mệnh đề 1.2. ([14]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân

RL

t [λf (t) + µg(t)] = λ RL

t f (t) + µ RL

t g(t)

t0 Dα

t0 Dα

t0 Dα

thứ Riemann–Liouville cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là

trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n[a, b].

RL

t0 Dα

t [λf (t) + µg(t)] (cid:90) t

Chứng minh. Ta có

t0 (cid:90) t

(t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds =

t0

t0

(cid:90) t = (t − s)n−α−1f (s)ds + (t − s)n−α−1g(s)ds µ Γ(n − α) dn dtn

t g(t).

t0 Dα

= λ RL dn dtn dn dtn t f (t) + µ RL 1 Γ(n − α) λ Γ(n − α) t0 Dα

C

t x(t) := t0I n−α

t Dnx(t),

t0Dα

Định nghĩa 1.3. ([14]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi

dxn là

trong đó n := (cid:100)α(cid:101) là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dn = dn

đạo hàm thông thường cấp n.

Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xd(t))T đạo hàm phân thứ

C

Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau:

t x(t) := (cid:0)C

t x1(t), C

t x2(t), . . . , C

t xd(t)(cid:1)T

t0Dα

t0Dα

t0Dα

t0Dα

.

Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đào hàm Caputo phân

thứ cấp α.

10

t f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b]. Hơn nữa, ta có

t0Dα t x(t) biểu diễn dưới dạng sau:

Định lý 1.3. ([15]) Cho α ≥ 0, n = (cid:100)α(cid:101). Nếu f (t) ∈ AC n[a, b], khi đó đạo

hàm phân thứ Caputo C (i) Nếu α (cid:54)∈ N thì C t0Dα

C

t f (t) =

t0Dα

(cid:90) t

t0

1 Γ(n − α) f (n)(s)ds (t − s)α−n+1 .

Đặc biệt, khi 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b], ta có:

C

t f (t) =

t0Dα

(cid:90) t

t0

1 Γ(1 − α) f (cid:48)(s)ds (t − s)α .

t f (t) biểu diễn dưới dạng sau:

t0Dn

C

t f (t) = f (n)(t).

t0Dn

(ii) Nếu α = n ∈ N thì C

C

t f (t) = f (t).

t0D0

Đặc biệt,

Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Caputo là một toán tử

tuyến tính.

Mệnh đề 1.3. ([14]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân

C

t [λf (t) + µg(t)] = λ C

t f (t) + µ C

t g(t),

t0Dα

t0Dα

t0Dα

thứ Caputo cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là

trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n[a, b].

Chứng minh. Tương tự như chứng minh Mệnh đề 1.2.

t ξ = 0.

Ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau của đạo hàm phân thứ Caputo.

Mệnh đề 1.4. ([14]) Cho trước một số thực dương α. Nếu ξ là hằng số thì t0Dα C

Giống với phép tính vi–tích phân cổ điển, đạo hàm phân thứ Caputo là

nghịch đảo trái của toán tử tích phân phân thứ.

C

t f (t)) = f (t).

t ( t0I α

t0Dα

Định lý 1.4. ([15]) Cho α > 0 và f (t) ∈ C[a, b]. Khi đó ta có

11

Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịch

đảo phải của tích phân phân thứ. Điều này được chỉ rõ trong định lý dưới đây.

n−1 (cid:88)

Định lý 1.5. ([15]) Cho α > 0, n = (cid:100)α(cid:101).. Nếu f (t) ∈ AC n[a, b] thì

t0I α t

t f (t)(cid:1) = f (t) −

k=0

(t − t0)k. (cid:0)C t0Dα f (k)(t0) k!

t0I α t

t f (t)(cid:1) = f (t) − f (t0).

Đặc biệt, nếu 0 < α ≤ 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì

(cid:0)C t0Dα

Định lý sau đây cho ta mối quan hệ giữa đạo hàm phân thứ Caputo và đạo

hàm phân thứ Riemann-Liouville.

Định lý 1.6. [15] Cho α > 0 và đặt n = (cid:100)α(cid:101) . Với bất kì x ∈ AC n[a, b], chúng

n−1 (cid:88)

C

ta có: (cid:33) (cid:32)

t x(t) = RL

t

t0Dα

t0 Dα

j=0

, x(t) − x(j)(t0) (t − t0)j j!

với hầu hết t ∈ [a, b].

Định lý dưới đây có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu bài toán điều

khiển H∞ cho hệ nơ ron thần kinh phân thứ.

Định lý 1.7. (Bổ đề 2.3, trang 73 trong cuốn sách chuyên khảo của A.A.

Kilbas và các đồng tác giả [15]) Cho các số dương α > 0, β > 0. Giả sử rằng

f (t) là một hàm liên tục. Khi đó ta có đẳng thức sau đây

t0I β

t f (t)

t ( t0I α

t

t0I α t

t f (t)) = t0I α+β

(cid:16) (cid:17) f (t), ∀t ≥ t0 ≥ 0. = t0I β

Tiếp theo chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler.

+∞ (cid:88)

Định nghĩa 1.4. [14] Cho α ∈ C, một hàm Eα : C −→ C xác định bởi

k=0

, Eα(z) = zk Γ(αk + 1)

+∞ (cid:88)

được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số.

k=0

k=0

Nhận xét 1.1. Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có +∞ (cid:88) = = ez. E1(z) = zk Γ(k + 1) zk k!

Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ.

12 Định nghĩa 1.5. [14] Cho α, β ∈ C, một hàm Eα,β : C −→ C xác định bởi

+∞ (cid:88)

k=0

, Eα,β(z) = zk Γ(αk + β)

được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số. Các hàm Mittag-Leffler nhận giá

+∞ (cid:88)

trị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là

k=0

, ∀A ∈ Rn×n. Eα,β(A) = Ak Γ(αk + β)

Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được

trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của A.A. Kilbas [15].

1.2. Một số bổ đề bổ trợ

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số bổ đề được sử dụng để chứng

minh các kết quả chính trong các nội dung tiếp theo của luận văn.

Bổ đề 1.1. (Bất đẳng thức Cauchy ma trận [8]) Cho x, y ∈ Rn và S ∈ Rn×n

là một ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó ta có đánh giá sau:

±2xT y ≤ xT Sx + yT S−1y.

Bổ đề 1.2. (Bổ đề Schur [8]) Cho X, Y, Z là các ma trận có số chiều thích

hợp, X, Y là hai ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó X + Z T Y −1Z < 0

nếu và chỉ nếu   X Z T   < 0. Z −Y

Bổ đề sau đây có vai trò quan trọng trong việc ước lượng hàm Lyapunov.

Bổ đề 1.3. ([13]) Cho x(t) ∈ Rn là một véc tơ hàm khả vi liên tục và P ∈ Rn×n

C

là một ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó ta có ước lượng sau đây:

t

t x(t), ∀t ≥ t0 ≥ 0.

t0Dα

t0Dα

(cid:0)xT (t)P x(t)(cid:1) ≤ xT (t)P C 1 2

Bổ đề 1.4. [17] Giả sử x(t) và a(t) là các hàm không âm và khả tích trên đoạn

[0, T ], T ≤ +∞, g(t) là hàm không âm, không giảm trên đoạn [0, T ], g(t) ≤ M ,

13

trong đó M là một hằng số và α > 0 sao cho

0

(cid:90) t x(t) ≤ a(t) + g(t) (t − s)α−1x(s)ds, t ∈ [0, T ].

Nếu a(t) là hàm không giảm trên [0, T ] thì x(t) ≤ a(t)Eα(g(t)Γ(α)tα), t ∈

[0, T ].

1.3. Bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn cho hệ

phương trình vi phân phân thứ

Bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn của lớp hệ phương trình vi phân

phân thứ được nghiên cứu đầu tiên bởi M.P. Lazarevi´c và A.M. Spasi´c [16].

Sau đó bài toán này được mở rộng sang cho mạng nơ ron thần kinh phân thứ

[23, 26]. Các điều kiện đưa ra trong các kết quả này rất phức tạp và khó để

tính toán. Gần đây, bằng cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến

tính kết hợp với phép biến đổi Laplace, Y.J. Ma cùng các cộng sự [17] đã đưa

ra một số tiêu chuẩn cho bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn và bị chặn

trong thời gian hữu hạn của lớp hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính.

Một số bài toán ổn định hóa liên quan cũng được nghiên cứu trong công trình

này. Trong mục này, chúng tôi trình bày lại kết quả của Y.J. Ma cùng các cộng

sự [17].

Xét hệ tuyến tính phân thứ

t x(t) = Ax(t), t ≥ 0,

0 Dα C

  (1.1)

x(0) = x0 ∈ Rn, 

trong đó α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, A ∈ Rn×n là ma trận hằng

số cho trước.

Định nghĩa 1.6. Cho c1, c2 (c1 ≤ c2), T là các số dương, R là một ma trận đối

tương ứng với bộ (c1, c2, T, R) nếu xT xứng, xác định dương. Hệ (1.1) được gọi là ổn định trong thời gian hữu hạn 0 Rx0 ≤ c1 ta đều có xT (t)Rx(t) < c2, ∀t ∈

[0, T ].

Định lý dưới đây cho ta một điều kiện đủ cho tính ổn định trong thời gian

hữu hạn của hệ tuyến tính phân thứ (1.1).

14 Định lý 1.8. [17] Cho trước các số dương c1, c2 (c1 ≤ c2), T và R ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương. Hệ (1.1) ổn định trong thời gian hữu

hạn tương ứng với bộ (c1, c2, T, R) nếu tồn tại một ma trận đối xứng, xác định dương Q ∈ Rn×n và một số dương γ sao cho các điều kiện dưới đây được thỏa

mãn

(1.2a)

< , (1.2b) Eα(γT α) P A + AT P − γP < 0, c2 c1 λmax(Q) λmin(Q)

Chứng minh. Xét hàm Lyapunov V (x(t)) = xT (t)P x(t). Áp dụng Bổ đề 1.3,

0 Dα C

t V (x(t)) ≤ 2xT (t)P C

0 Dα

t x(t) = xT (t)[P A + AT P ]x(t).

ta thu được ước lượng sau đây

Từ điều kiện (1.2a), ta có

0 Dα C

t V (x(t)) < γV (x(t)).

(1.3)

Vì γ > 0 nên tồn tại một hàm không âm M (t) sao cho

0 Dα C

t V (x(t)) + M (t) = γV (x(t)).

(1.4)

Áp dụng biến đổi Laplace vào hai vế của đẳng thức trên, ta thu được

sαV (x(s)) − V (x(0))sα−1 + M (s) = γV (x(s)).

Đẳng thức bên trên tương đương với

V (x(s)) = (sα − γ)−1 (cid:0)V (x(0))sα−1 − M (s)(cid:1) . (1.5)

Áp dụng biến đổi Laplace ngược vào đẳng thức (1.5), ta thu được

0

(cid:90) t V (x(t)) = V (x(0))Eα(γtα) − M (τ )[(t − τ )α−1Eα,α(γ(t − τ )α)]dτ.

Vì hàm dưới dấu tích phân là dương nên từ đẳng thức trên ta thu được

V (x(t)) < Eα(γtα)V (x(0)).

2 nên bất đẳng thức bên trên tương đương với

2 QR 1

1

Bất đẳng thức trên tương đương với xT (t)P x(t) < Eα(γtα)xT (0)P x(0). Vì P = R 1

1 2 QR

1 2 QR

1 2 x(0).

2 x(t) < Eα(γtα)xT (0)R

xT (t)R (1.6)

15

Từ đó suy ra

λmin(Q)xT (t)Rx(t) < λmax(Q)Eα(γtα)xT (0)Rx(0).

Kết hợp bất đẳng thức trên với xT (0)Rx(0) ≤ c1 và điều kiện (1.2b), ta có xT (t)Rx(t) < c2, ∀t ∈ [0, T ]. Định lý được chứng minh hoàn toàn.

Khi có tác động của nhiễu hệ (1.1) trở thành hệ sau đây.

t x(t) = Ax(t) + Dω(t), t ≥ 0,

0 Dα C

  (1.7)

x(0) = x0 ∈ Rn, 

trong đó α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, A ∈ Rn×n, D ∈ Rn×m là các ma trận hằng số cho trước. Nhiễu ω(t) ∈ Rm thỏa mãn điều kiện tồn tại

số d > 0 sao cho

(1.8) ωT (t)ω(t) ≤ d. sup t≥0

Định nghĩa 1.7. Cho c1, c2 (c1 ≤ c2), T, d là các số dương, R là một ma trận

hạn tương ứng với bộ (c1, c2, T, R, d) nếu xT đối xứng, xác định dương. Hệ (1.7) được gọi là bị chặn trong thời gian hữu 0 Rx0 ≤ c1 ta đều có xT (t)Rx(t) <

c2, ∀t ∈ [0, T ] và nhiễu ω(t) thỏa mãn điều kiện (1.8).

Định lý dưới đây cho ta một điều kiện đủ cho tính bị chặn trong thời gian

hữu hạn của hệ tuyến tính phân thứ (1.7).

Định lý 1.9. [17] Cho trước các số dương c1, c2 (c1 ≤ c2), T, d và R ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương. Hệ (1.7) bị chặn trong thời gian hữu

hạn tương ứng với bộ (c1, c2, T, R, d) nếu tồn tại một số dương γ, các ma trận đối xứng xác định dương P1 ∈ Rn×n, P2 ∈ Rm×m sao cho các điều kiện dưới đây được thỏa mãn   AP + P AT − γP DP2 (1.9a)   < 0, −γP2

P2DT (cid:18) (cid:19) + < , (1.9b) Eα(γT α) γdT α λmin(P2)Γ(α + 1) c1 λmin(P1) c2 λmax(P1)

2 P1R− 1 2 .

trong đó P = R− 1

16

Chứng minh. Xét hàm Lyapunov V (x(t)) = xT (t)P −1x(t). Áp dụng Bổ đề 1.3,

0 Dα C

t V (x(t)) ≤ 2xT (t)P C

0 Dα

t x(t)

ta thu được ước lượng sau đây

xT (t)P −1 (Ax(t) + Dω(t)) + (Ax(t) + Dω(t))T P −1x(t) (1.10)     P −1A + AT P −1 P −1D x(t) (cid:104) (cid:105) = xT (t) ωT (t)     . DT P −1 0 ω(t)

Nhân bên trái và bên phải của (1.9a) với ma trận đối xứng xác định dương   P −1 . Khi đó điều kiện (1.9a) tương đương với điều kiện dưới đây  0 0 P −1 2

 

2

(1.11)   < 0. P −1A + AT P −1 − γP −1 P −1D −γP −1 DT P −1

Kết hợp hai điều kiện (1.10) và (1.11), ta thu được

0 Dα C

t V (x(t)) <

    γP −1 x(t) (cid:104) (cid:105) xT (t) ωT (t)     0 ω(t) (1.12) 0 γP −1 2

2 ω(t).

= γV (x(t)) + γωT (t)P −1

2 ω(t) ≤ λmax(P −1

2 )ωT (t)ω(t) ≤

d

λmin(P2), ta thu được

Kết hợp điều này với các đánh giá ωT (t)P −1

0 Dα C

t V (x(t)) < γV (x(t)) +

, t ∈ [0, T ]. (1.13) γd λmin(P2)

Lấy tích phân cấp α từ 0 tới t, (t ≤ T ), hai vế của (1.13) và áp dụng Định lý

1.5, ta thu được đánh giá sau đây

0

(cid:90) t V (x(t)) < V (x(0)) + + (t − τ )α−1V (x(τ ))dτ. γ Γ(α) γdtα λmin(P2)γ(α + 1)

Bây giờ, áp dụng Bổ đề 1.4, ta thu được

(cid:18) (cid:19) (cid:19) (cid:18) γ V (x(t)) < V (x(0)) + Γ(α)tα Eα Γ(α) (1.14) (cid:18) (cid:19) ≤ V (x(0)) + Eα (γT α) . γdtα λmin(P2)Γ(α + 1) γdT α λmin(P2)Γ(α + 1)

17

1

1

Mặt khác, ta có các đánh giá sau đây

1 R

V (x(t)) = xT (t)P −1x(t) = xT (t)R

1 )xT (t)Rx(t) =

2 P −1 2 x(t) xT (t)Rx(t) λmax(P1)

1

1

(1.15) , ≥ λmin(P −1

2 x(0)

1 )xT (0)Rx(0) ≤

2 P −1 1 R c1 λmin(P1)

V (x(0)) = xT (0)P −1x(0) = xT (0)R (1.16) . ≤ λmax(P −1

Từ các điều kiện (1.14) tới (1.16), ta có

(cid:18) (cid:19) + . (1.17) < Eα(γT α) xT (t)Rx(t) λmax(P1) γdT α λmin(P2)Γ(α + 1) c1 λmin(P1)

Từ điều kiện (1.9b) và (1.17), ta có

xT (t)Rx(t) < c2, ∀t ∈ [0, T ].

Định lý được chứng minh hoàn toàn.

Nhận xét 1.2. Khi α = 1, các kết quả trong [5] là các trường hợp đặc biệt

của Định lý 1.8, Định lý 1.9.

1.4. Bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho

lớp hệ phương trình vi phân với bậc nguyên

Bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho một số lớp hệ phương

trình vi phân với bậc nguyên đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều

nhà khoa học [6, 18, 22, 24]. Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa và

một số tiêu chuẩn cơ bản và quan trọng cho bài toán điều khiển H∞ trong thời

gian hữu hạn cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính với bậc nguyên [18].

Các định nghĩa về tính ổn định trong thời gian hữu hạn, tính bị chặn trong

thời gian hữu hạn được định nghĩa tương tự Mục 1.3.

Xét hệ điều khiển tuyến tính với bậc nguyên

 ˙x(t) = Ax(t) + Gw(t) + Bu(t), t ≥ 0,

(1.18) z(t) = Cx(t) + D1u(t) + D2w(t), t ≥ 0,

  x(0) = x0,

18 trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, w(t) ∈ Rl là nhiễu thỏa mãn điều kiện

dưới đây

0

(cid:90) +∞ wT (t)w(t)dt < d. (1.19)

với d là một số dương, z(t) ∈ Rq là véc tơ đầu ra (output vector), u(t) ∈ Rm là véc tơ điều khiển, A ∈ Rn×n, G ∈ Rn×l, B ∈ Rn×m, C ∈ Rq×n, D1 ∈ Rq×m, D2 ∈ Rq×l là các ma trận hằng số.

Với điều khiển ngược u(t) = Kx(t), ta thu được hệ đóng sau đây

 ˙x(t) = Ax(t) + Gw(t), t ≥ 0,

(1.20) z(t) = Cx(t) + D2w(t), t ≥ 0,

  x(0) = x0,

trong đó A = A + BK, C = C + D1K.

Định nghĩa 1.8. Cho trước các số dương c1, c2 (c1 ≤ c2), T, d và R ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương. Bài toán điều khiển H∞ trong

thời gian hữu hạn cho hệ (1.18) có nghiệm nếu tồn tại một điều khiển ngược

u(t) = Kx(t) sao cho các điều kiện dưới đây được thỏa mãn:

(1) Hệ đóng (1.20) bị chặn trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (c1, c2, T, R, d),

(2) Với điều kiện ban đầu bằng 0, tức là x0 ≡ 0, bất đẳng thức dưới đây được

0

0

thỏa mãn (cid:90) t (cid:90) t zT (s)z(s)ds < γ2 wT (s)w(s)ds, (1.21)

trong đó nhiễu w(t) ∈ Rl thỏa mãn điều kiện (1.19) và γ là một hằng số dương.

Bằng cách sử kỹ thuật biến đổi trên ma trận, Q. Meng và Y. Shen [18] đưa

ra một điều kiện đủ cho bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho

hệ điều khiển tuyến tính với bậc nguyên (1.18).

Định lý 1.10. [18] Cho trước các số dương c1, c2 (c1 ≤ c2), T, d và R ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương. Bài toán điều khiển H∞ trong thời

gian hữu hạn cho hệ (1.18) có nghiệm nếu tồn tại hai số β ≥ 0, γ > 0, một

ma trận đối xứng xác định dương Q1 và một ma trận L sao cho các điều kiện

19

dưới đây được thỏa mãn

  A ˜Q1 + ˜Q1AT − α ˜Q1 + BL + LT BT G ˜Q1C T + LT DT 1

< 0, (1.22a) −γI D2         −I GT C ˜Q1 + D1L DT 2

(1.22b) , dγ < c2e−αT λmax(Q1)

2 Q1R− 1 2 .

trong đó ˜Q1 = R− 1

Bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn được nhiều tác giả nghiên

cứu cho một số lớp hệ nơ ron thần kinh với bậc nguyên [6, 22, 24]. Gần đây,

M.V. Thuan và các cộng sự nghiên cứu bài toán trên cho hệ nơ ron thần kinh

phân thứ. Trong chương tiếp theo của luận văn, chúng tôi trình bày bài toán

điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ này.

20

Chương 2

Điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn của một lớp hệ nơ ron thần

kinh phân thứ

Chương này, chúng tôi trình bày bài toán điều khiển H∞ trong thời gian

hữu hạn cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ trên cơ sở đọc hiểu và trình

bày lại một cách chi tiết kết quả trong [20].

2.1. Phát biểu bài toán và một số tiêu chuẩn

Xét hệ nơ ron thần kinh

t x(t) = − [A + ∆A(t)] x(t) + [D + ∆D(t)]f (x(t)) + [W + ∆W (t)]ω(t)

0 Dα C



+[B + ∆B(t)]u(t), t ≥ 0,

z(t) = Cx(t), t ≥ 0,

x(0) = x0 ∈ Rn,  

(2.1) trong đó 0 < α < 1, x(t) = (x1(t), . . . , xn(t))T ∈ Rn là véc tơ trạng thái, z(t) ∈ Rp là véc tơ đầu ra (output vector), ω(t) ∈ Rq là nhiễu, u(t) ∈ Rm là véc tơ điều khiển, n là số nơ ron của hệ, f (x(t)) = (f1(x1(t)), f2(x2(t)), . . . , fn(xn(t)))T ∈ Rn là hàm kích hoạt, A = diag{a1, a2, . . . , an} ∈ Rn×n ma trận đường chéo chính xác định dương, D ∈ Rn×n là ma trận trọng số liên kết, W ∈ Rn×m, B ∈ Rm×n, C ∈ Rp×n, là các ma trận thực cho trước, x0 là điều kiện ban đầu.

21

Ta cần các giả thiết sau để nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ trong thời

gian hữu hạn cho hệ (2.1).

Giả thiết 2.1.

∆A(t) = EaFa(t)Ha, ∆D(t) = EdFd(t)Hd, (2.2)

∆W (t) = EwFw(t)Hw, ∆B(t) = EbFb(t)Hb,

trong đó Ea, Ed, Ew, Eb, Ha, Hd, Hw, Hb là các ma trận thực hằng số cho trước

w (t)Fw(t) ≤ I, F T

a (t)Fa(t) ≤ I, F T

b (t)Fb(t) ≤ I, ∀t ≥ 0.

d (t)Fd(t) ≤ I, F T

có số chiều thích hợp; Fa(t), Fd(t), Fw(t), Fb(t) là các ma trận biến thiên thỏa mãn F T

Giả thiết 2.2. Các hàm kích hoạt fi(.) liên tục, fi(0) = 0 (i = 1, . . . , n), và thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên R với hằng số Lipschitz li > 0 :

(2.3) |fi(η1) − fi(η2)| ≤ li|η1 − η2|, ∀η1, η2 ∈ R.

Đặc biệt, khi η2 = 0, ta có

(2.4) (cid:107)fi(η1)(cid:107) ≤ li|η1|, ∀η1 ∈ R.

Giả thiết 2.3. Nhiễu ω(t) ∈ Rq thỏa mãn điều kiện sau đây

(2.5) ∃d > 0 : ωT (t)ω(t) < d, ∀t ∈ [0, Tf ].

Đối với hệ (2.1) và γ vô hướng dương đã cho, số đo hiệu suất H∞ của hệ

0

cho bởi (cid:90) Tf J = (cid:0)zT (t)z(t) − γ2ωT (t)ω(t)(cid:1) dt.

Khi không có tác động của véc tơ điều khiển hệ (2.1) rút gọn thành

t x(t) = − [A + ∆A(t)] x(t) + [D + ∆D(t)]f (x(t))

0 Dα C



+[W + ∆W (t)]ω(t), t ≥ 0, (2.6)

z(t) = Cx(t), t ≥ 0,

x(0) = x0 ∈ Rn,  

Định nghĩa 2.1. ([17]) Cho trước các số dương Tf , c1, c2(c1 < c2), d, và một ma trận đối xứng xác định dương R ∈ Rn×n. Hệ (2.6) với véc tơ đầu ra

22

z(t) = 0 bị chặn trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (c1, c2, Tf , R, d) nếu 0 Rx0 ≤ c1 =⇒ xT (t)Rx(t) < c2, ∀t ∈ [0, Tf ], với mọi nhiễu ω(t) ∈ Rq thỏa xT mãn Giả thiết 2.3.

Định nghĩa 2.2. Hệ (2.6) được gọi là đạt được hiệu suất H∞ tương ứng với

bộ (c1, c2, Tf , R, d) nếu các điều kiện dưới đây được thỏa mãn:

(i) Khi mà z(t) ≡ 0, hệ (2.6) bị chặn trong thời gian hữu hạn tương ứng với

bộ (c1, c2, Tf , R, d);

(ii) Với điều kiện ban đầu bằng không, tức là x0 ≡ 0, bắt đẳng thức dưới đây

được thỏa mãn

0

(cid:90) Tf J = (cid:0)zT (t)z(t) − γ2ωT (t)ω(t)(cid:1) dt < 0,

với mọi ω(t) ∈ L2([0, Tf ], Rq).

Ta thiết kế điều khiển ngược u(t) = Kx(t) sao cho hệ đóng

t x(t) = [−A + BK − ∆A(t) + ∆B(t)K] x(t) + [D + ∆D(t)]f (x(t))

C 0 Dα



+[W + ∆W (t)]ω(t), t ≥ 0,

z(t) = Cx(t), t ≥ 0,

x(0) = x0 ∈ Rn  

(2.7)

đạt được hiệu suất H∞ tương ứng với bộ (c1, c2, Tf , R, d).

Trước hết, chúng tôi trình bày một điều kiện đủ về tính bị chặn trong thời

2 X −1R− 1

gian hữu hạn cho hệ đóng (2.7). Ta ký hiệu

2 , λ1 = λmin( ˆX), λ2 = λmax( ˆX),

L = diag{l1, l2, . . . , ln}, ˆX = R− 1

a + (cid:15)2EbET

b + EdET

d + EwET w ,

Ξ11 = −AX − XA + BY + Y T BT + (cid:15)1EaET

d Hd − I,

Ξ22 = H T

w Hw − (cid:15)I.

Ξ33 = H T

Định lý dưới đây cho ta cách thiết kế điều khiển ngược u(t) để hệ đóng (2.7)

bị chặn trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (c1, c2, Tf , R, d).

23

Định lý 2.1. Giả sử rằng các Giả thiết 2.1, 2.2, 2.3 được thỏa mãn. Cho trước các số dương c1, c2, d, Tf và một ma trận đối xứng, xác định dương R ∈ Rn×n. Hệ đóng (2.7) bị chặn trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (c1, c2, Tf , R, d) n , và ma trận Y ∈ Rm×n nếu tồn tại các hằng số dương (cid:15), (cid:15)1, (cid:15)2, ma trận X ∈ S+ sao cho các điều kiện dưới đây được thỏa mãn

a Y T H T

b XLT

  Ξ11 D W XH T

0 0 0 0 ∗ Ξ22

∗ 0 0 0 ∗ Ξ33 < 0, (2.8a) ∗ 0 ∗ 0 ∗ −(cid:15)1I

∗ ∗ ∗ ∗ 0 −(cid:15)2I                         ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −I

(2.8b) λ2c1 + T α f < λ1c2. (cid:15)d Γ(α + 1)

Ngoài ra, điều khiển ngược ổn định hóa được cho bởi

u(t) = Y X −1x(t), t ∈ [0, Tf ].

Chứng minh. Vì X là một ma trận đối xứng xác định dương nên X −1 cũng là

một ma trận đối xứng, xác định dương. Xét hàm Lyapunov sau đây:

V (x(t)) = xT (t)X −1x(t).

Sử dụng Bổ đề 1.3, ta tính được đạo hàm Caputo cấp α (0 < α < 1) của hàm

t V (x(t))

t x(t)

0 Dα

0 Dα C ≤ 2xT (t)X −1 C = xT (t) (cid:2)−X −1A − AX −1 + X −1BK + K T BT X −1(cid:3) x(t)

V (x(t)) dọc theo quỹ đạo của hệ đóng (2.7) như sau

(2.9)

− 2xT (t)X −1EaFa(t)Hax(t) + 2xT (t)X −1EbFb(t)HbKx(t)

+ 2xT (t)X −1Df (x(t)) + 2xT (t)X −1EdFd(t)Hdf (x(t))

+ 2xT (t)X −1W ω(t) + 2xT (t)X −1EwFw(t)Hwω(t).

Sử dụng bất đẳng thức ma trận Cauchy và Giả thiết 2.1, ta thu được các ước

24

lượng dưới đây

a Hax(t),

− 2xT (t)X −1EaFa(t)Hax(t) ≤ (cid:15)1xT (t)X −1EaET

b HbKx(t),

1 xT (t)H T 2 xT (t)K T H T

2xT (t)X −1EbFb(t)HbKx(t) ≤ (cid:15)2xT (t)X −1EbET

d Hdf (x(t)),

2xT (t)X −1EdFd(t)Hdf (x(t)) ≤ xT (t)X −1EdET

a X −1x(t) + (cid:15)−1 b X −1x(t) + (cid:15)−1 d X −1x(t) + f T (x(t))H T w X −1x(t) + ωT (t)H T

w Hwω(t).

2xT (t)X −1EwFw(t)Hwω(t) ≤ xT (t)X −1EwET

(2.10)

Từ Giả thiết 2.2, ta có

0 ≤ −f T (x(t))f (x(t)) + xT (t)LT Lx(t). (2.11)

Đưa các ước lượng (2.10) và (2.11) vào trong (2.9), ta thu được

0 Dα C

t V (x(t)) ≤ ξT (t)Ωξ(t) + (cid:15)ωT (t)ω(t),

(2.12)

trong đó

    x(t) Ω11 X −1D X −1W

ξ(t) = , Ω = , f (x(t)) ∗ 0 Ω22                 ω(t) ∗ ∗ Ω33

với

Ω11 = −X −1A − AX −1 + X −1BK + K T BT X −1 + (cid:15)1X −1EaET

a X −1 b HbK + X −1EdET

d X −1

b X −1 + (cid:15)−1

2 K T H T

1 H T + X −1EwET

a Ha + (cid:15)2X −1EbET w X −1 + LT L,

+ (cid:15)−1

d Hd − I,

Ω22 = H T

w Hw − (cid:15)I.

Ω33 = H T

Bây giờ, nhân bên trái và bên phải của Ω bởi X = diag{X, I, I} và đặt K =

Y X −1, ta thu được

  Ω11 D W

, (2.13) X ΩX = 0 ∗ Ω22         ∗ ∗ Ω33

25

trong đó

a HaX + (cid:15)2EbET b

1 XH T

Ω11 = −AX − XA + BY + Y T BT + (cid:15)1EaET

b HbY + EdET

d + EwET

a + (cid:15)−1 w + XLT LX.

2 Y T H T

+ (cid:15)−1

Chú ý rằng điều kiện Ω < 0 tương đương với điều kiện X ΩX < 0. Sử dụng Bổ

đề Schur (Bổ đề 1.2), ta có X ΩX < 0 tương đương với điều kiện (2.8a). Từ

(2.8a) và (2.12), ta thu được đánh giá sau

0 Dα C

t V (x(t)) ≤ (cid:15)ωT (t)ω(t),

(2.14) ∀t ∈ [0, Tf ].

Lấy tích phân phân thứ cấp α hai vế của (2.14) với cận từ 0 tới t (0 < t < Tf )

và áp dụng Bổ đề 1.3, ta có

0 (cid:90) t

(cid:90) t xT (t)X −1x(t) ≤ xT (0)X −1x(0) + (t − s)α−1ωT (s)ω(s)ds

0

(2.15) (t − s)α−1ds ≤ xT (0)X −1x(0) +

≤ xT (0)X −1x(0) + T α f . (cid:15) Γ(α) (cid:15)d Γ(α) (cid:15)d Γ(α + 1)

1

Mặt khác, bằng các tính toán đơn giản, ta có

2 ˆXR

1 2 x(t)

xT (t)X −1x(t) = xT (t)R (2.16)

1

2 ˆXR

1 2 x(0)

≥ λmin( ˆX)xT (t)Rx(t) = λ1xT (t)Rx(t),

xT (0)X −1x(0) = xT (0)R (2.17)

≤ λmax( ˆX)xT (0)Rx(0) = λ2xT (0)Rx(0) ≤ λ2c1.

Từ các ước lượng (2.15), (2.16) và (2.17), ta có

(2.18) λ1xT (t)Rx(t) ≤ V (x(t)) = xT (t)X −1x(t) ≤ λ2c1 + T α f . (cid:15)d Γ(α + 1)

Kết hợp điều kiện (2.18) với (2.8b), ta suy ra xT (t)Rx(t) < c2. Vậy, hệ đóng

(2.7) với z(t) ≡ 0 bị chặn hữu hạn tương ứng với bộ (c1, c2, Tf , R, d). Định lý

được chứng minh hoàn toàn.

Nhận xét 2.1. Nhiều kết quả đã được công bố trong những năm gần đây về

bài toán nghiên cứu tính ổn định và tính bị chặn trong thời gian hữu hạn của

26

một số lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ (xem trong [9, 12, 25, 26] và các tài

liệu tham khảo trong đó). Phương pháp sử dụng trong các kết quả đã có chủ

yếu dựa trên bất đẳng thức H¨older, bất đẳng thức Bellman-Gronwall và phép

biến đổi laplace [9, 26], định lý giá trị trung bình và nguyên lý anh xạ co [19].

Chú ý rằng các cách tiếp cận trong các công trình đó không áp dụng được cho

bài toán điều khiển. Bằng cách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov, Định

lý 2.1 giải bài toán ổn định hóa cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ

dưới dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính. Chú ý rằng các điều kiện dạng

bất đẳng thức ma trận tuyến tính có thể giải hiệu quả trong thời gian đa thức

bằng hộp công cụ LMI Toolbox trong MATLAB.

Tiếp theo, chúng tôi xét một trường hợp đặc biệt của hệ (2.1). Xét hệ điều

khiển tuyến tính phân thứ

t x(t) = Ax(t) + W ω(t) + Bu(t), t ≥ 0,

C 0 Dα

  (2.19)

x(0) = x0 ∈ Rn, 

trong đó α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, ω(t) ∈ Rp là véc tơ nhiễu đầu vào (disturbance input vector), u(t) ∈ Rm là véc tơ điều khiển, x0 là điều kiện ban đầu, A ∈ Rn×n, W ∈ Rn×p, B ∈ Rn×m là các ma trận thực cho trước.

Véc tơ nhiễu đầu vào ω(t) thỏa mãn Giả thiết 2.3.

Dưới tác động của điều khiển ngược u(t) = Kx(t), hệ đóng tương ứng của

hệ (2.19) được cho bởi

t x(t) = (A + BK)x(t) + W ω(t),

0 Dα C

t ≥ 0,   (2.20)

x(0) = x0 ∈ Rn. 

Bằng cách sử dụng kỹ thuật chứng minh tương tự như chứng minh Định lý

2.1, ta thu được hệ quả dưới đây.

Hệ quả 2.1. Giả sử rằng Giả thiết 2.3 được thỏa mãn. Cho trước các số dương c1, c2, d, Tf và R ∈ S+ n . Hệ đóng (2.20) bị chặn trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (c1, c2, Tf , R, d) nếu tồn tại một ma trận đối xứng, xác định dương X ∈ Rn×n, một ma trận Y ∈ Rm×n sao cho các điều kiện dưới đây được thỏa

27

mãn   AX + XAT + BY + Y T BT W (2.21a)   < 0, ∗ −I

(2.21b) λ2c1 + T α f < λ1c2, d Γ(α + 1)

2 X −1R− 1

trong đó

2 , λ1 = λmin( ˆX), λ2 = λmax( ˆX).

ˆX = R− 1

Ngoài ra, điều khiển ngược ổn định hóa được cho bởi

u(t) = Y X −1x(t), t ∈ [0, Tf ].

Bây giờ, chúng tôi trình bày bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu

2 X −1R− 1

hạn cho hệ (2.1). Ta ký hiệu

2 , λ1 = λmin( ˆX), λ2 = λmax( ˆX),

L = diag{l1, l2, . . . , ln}, ˆX = R− 1

a + (cid:15)2EbET

b + EdET

d + EwET w ,

M11 = −AX − XA + BY + Y T BT + (cid:15)1EaET

M22 = H T

d Hd − I, w Hw − (cid:15)I − γ2I.

M33 = H T

a Y T H T

b XLT XC T

Định lý 2.2. Giả sử rằng các Giả thiết 2.1, 2.2, 2.3 được thỏa mãn. Cho trước các số dương c1, c2, d, Tf và một ma trận đối xứng, xác định dương R ∈ Rn×n. Nếu tồn tại một ma trận đối xứng xác định dương X ∈ Rn×n, một ma trận Y ∈ Rm×n, các hằng số dương (cid:15), (cid:15)1, (cid:15)2 sao cho các điều kiện dưới đây được thỏa mãn   M11 D W XH T

0 0 0 0 0 ∗ M22

∗ 0 0 0 0 ∗ M33

< 0, (2.22a) ∗ ∗ ∗ 0 0 0 −(cid:15)1I

∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 −(cid:15)2I

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −I 0                               ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −I

(2.22b) λ2c1 + T α f < λ1c2, (cid:15)d Γ(α + 1)

28

thì hệ đóng (2.7) đạt được hiệu suất H∞ tương ứng với bộ (c1, c2, Tf , R, d) dưới

tác động của điều khiển ngược u(t) xác định bởi

u(t) = Y X −1x(t), t ∈ [0, Tf ].

Chứng minh. Khi z(t) ≡ 0, các điều kiện (2.22a) và (2.22b) suy ra các điều

kiện (2.8a) và (2.8b). Do đó, theo Định lý 2.1, hệ đóng tương ứng bị chặn trong

thời gian hữu hạn ứng với bộ (c1, c2, Tf , R, d). Để giải bài toán điều khiển H∞

cho hệ (2.1), ta chọn hàm Lyapunov giống như trong chứng minh Định lý 2.1.

Khi đó, ta thu được ước lượng dưới đây:

0 Dα C

t V (x(t)) + zT (t)z(t) − γ2ωT (t)ω(t) ≤ ξT (t)Ψξ(t),

(2.23)

trong đó     x(t) Ψ11 X −1D X −1W

ξ(t) = , Ψ = , f (x(t)) ∗ 0 Ψ22                 ω(t) ∗ ∗ Ψ33

a X −1 + (cid:15)−1

a Ha

1 H T

Ψ11 = −X −1A − AX −1 + X −1BK + K T BT X −1 + (cid:15)1X −1EaET

b HbK + X −1EdET

d X −1

2 K T H T

+ (cid:15)2X −1EbET

b X −1 + (cid:15)−1 w X −1 + LT L + C T C,

+ X −1EwET

Ψ22 = H T

d Hd − I, w Hw − (cid:15)I − γ2I.

Ψ33 = H T

Bây giờ nhân tương ứng hai vế của Ψ bởi X = diag{X, I, I} và chuyển vị của

nó, đặt K = Y X −1 và sử dụng Bổ đề Schur (Bổ đề 1.2), ta có điều kiện Ψ < 0

tương đương với (2.22a). Suy ra

0 Dα C

t V (x(t)) + zT (t)z(t) − γ2ωT (t)ω(t) < 0, ∀t ∈ [0, Tf ].

(2.24)

Lấy tích phân hai vế của (2.24) với cận từ 0 tới Tf , ta có

0I 1 Tf

0 Dα C Tf

0

0

(cid:90) Tf (cid:90) Tf (2.25) zT (t)z(t)dt − γ2ωT (t)ω(t)dt < 0. V (x(t)) +

Sử dụng Mệnh đề 1.3 và Định lý 1.7, ta thu được đánh giá dưới đây

0I 1 Tf

0 Dα C Tf

V (x(t))

29

Tf

V (x(t)) = 0I 1−α

0I α Tf (cid:16) 0I α Tf

0 Dα C Tf 0 Dα C Tf

Tf

(cid:17) V (x(t)) = 0I 1−α

Tf

Tf

Tf

V (x(0)). = 0I 1−α (V (x(t)) − V ((0))) = 0I 1−α V (x(t)) − 0I 1−α

Mặt khác, ta lại có

0I 1−α Tf

0

(cid:90) Tf V (x(t)) = (Tf − s)−αxT (s)X −1x(s)ds ≥ 0, ∀Tf ≥ 0. 1 Γ(1 − α)

Với điều kiện ban đầu bằng không, ta thu được ước lượng sau đây

0I 1−α Tf

0

(cid:90) Tf V (x(0)) = (Tf − s)−αxT (0)X −1x(0)ds = 0, ∀Tf ≥ 0. 1 Γ(1 − α)

0 Dα C Tf

V (x(t)) ≥ 0, ∀Tf ≥ 0 với điều kiện ban đầu bằng không. Từ Suy ra 0I 1 Tf

0

đo suy ra (cid:90) Tf J = (cid:0)zT (t)z(t) − γ2ωT (t)ω(t)(cid:1) dt < 0.

Vậy hệ đóng (2.7) đạt được hiệu suất H∞ tương ứng với bộ (c1, c2, Tf , R, d).

Định lý được chứng minh hoàn toàn.

Nhận xét 2.2. Dựa trên hộp công cụ LMI Control Toolbox trong MATLAB,

ta có các bước sau để giải bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho

hệ (2.1).

Bước 1: Giải bất đẳng thức ma trận tuyến tính (2.22a) và thu được ba hằng số dương (cid:15), (cid:15)1, (cid:15)2, một ma trận đối xứng xác định dương X ∈ Rn×n và một ma trận Y ∈ Rm×n.

Bước 2: Kiểm tra điều kiện (2.22b) trong Định lý 2.2. Nếu đúng chuyển sang

Bước 3 còn trái lại ta quay lại Bước 1.

Bước 3: Ma trận điều khiển ngược K xác định bởi K = Y X −1. Bài toán điều

khiển H∞ trong thời gian hữu hạn được giải quyết.

Trong trường hợp hệ (2.1) không có tham số không chắc chắn, tức là

∆A(t) ≡ 0, ∆D(t) ≡ 0, ∆W (t) ≡ 0, ∆B(t) ≡ 0, hệ (2.1) rút gọn thành

t x(t) = −Ax(t) + Df (x(t)) + W ω(t) + Bu(t),

0 Dα C

 t ≥ 0,

(2.26) z(t) = Cx(t), t ≥ 0,

  x(0) = x0 ∈ Rn.

30

Dưới tác động của điều khiển ngược u(t) = Kx(t), hệ đóng tương ứng của hệ

(2.26) miêu tả bởi

t x(t) = (−A + BK)x(t) + Df (x(t)) + W ω(t),

0 Dα C

 t ≥ 0,

(2.27) z(t) = Cx(t), t ≥ 0,

  x(0) = x0 ∈ Rn.

Ta dễ dàng thu được hệ quả sau đây.

Hệ quả 2.2. Giả sử rằng các Giả thiết 2.2, 2.3 được thỏa mãn. Cho trước các số dương c1, c2, d, Tf và một ma trận đối xứng, xác định dương R ∈ Rn×n. Nếu tồn tại một ma trận đối xứng xác định dương X ∈ Rn×n, một ma trận Y ∈ Rm×n, một hằng số dương (cid:15) sao cho các điều kiện dưới đây được thỏa mãn

  W XLT XC T N11 D

∗ −I 0 0 0

< 0, (2.28a) ∗ −(cid:15)I − γ2I ∗ 0 0

∗ ∗ ∗ 0 −I                   ∗ ∗ ∗ −I ∗

(2.28b) λ2c1 + T α f < λ1c2, (cid:15)d Γ(α + 1)

trong đó

N11 = −AX − XAT + BY + Y T BT ,

thì hệ đóng (2.27) đạt được hiệu suất H∞ tương ứng với bộ (c1, c2, Tf , R, d)

dưới tác động của điều khiển ngược u(t) xác định bởi

u(t) = Y X −1x(t), t ∈ [0, Tf ].

2.2. Ví dụ số

Trong mục này, chúng tôi trình bày ba ví dụ số để minh họa cho các kết

quả lý thuyết

31

Ví dụ 2.1. Xét hệ điều khiển tuyến tính phân thứ (Ví dụ 2 trong [17])

t x(t) = Ax(t) + W ω(t) + Bu(t),

0 D0.8 C

  (2.29)

x(0) = (x1(0), x2(0))T ∈ R2, 

trong đó

      7 3 3 0 1 A =   , B =   , W =   , 9 6 0 4 0.6

x(t) = (x1(t), x2(t))T ∈ R2, u(t) = (u1(t), u2(t)) ∈ R2, ω(t) = sin t ∈ R. Với điều khiển ngược u(t) = Kx(t), hệ đóng tương ứng của hệ (2.29) mô tả bởi

t x(t) = (A + BK)x(t) + W ω(t),

C 0 D0.8

  (2.30)

x(0) = (x1(0), x2(0))T ∈ R2, 

Để so sánh kết quả của Định lý 2.1 với kết quả của Y.J. Ma cùng các cộng sự

[17], ta xét hai trường hợp sau đây:

Trường hợp I: Ta chọn c1 = 5, Tf = 0.1, R = I, d = 1. Áp dụng Hệ quả 2.1, hệ

đóng (2.30) bị chặn trong thời gian hữu hạn ứng với bộ (5, c2, 0.1, I, 1) với mọi   −2.500 −4.9939 c2 ≥ 5.9 bởi điều khiển ngược ổn định hóa cho bởi u(t) =   x(t). 0.7454 −1.6250

Chú ý rằng trong công trình của Y.J. Ma cùng các cộng sự [17], giá trị nhỏ

nhất của c2 để hệ đóng bị chặn trong thời gian hữu hạn là c2 min = 15.

Trường hợp II: Cho c1 = 5, c2 = 15, R = I, d = 1. Áp dụng Hệ quả 2.1, hệ

đóng (2.30) bị chặn trong thời gian hữu hạn ứng với bộ (5, 15, Tf , I, 1) với

khoảng thời gian 0 < Tf < Tf max = 6 bởi điều khiển ngược ổn định hóa cho   −2.500 −4.9939 bởi by u(t) =   x(t). Chú ý rằng trong công trình của Y.J. 0.7454 −1.6250

Ma cùng các cộng sự [17], giá trị lớn nhất của Tf để hệ đóng bị chặn trong

thời gian hữu hạn là Tf max = 0.1.

Do đó, Định lý 2.1 hiệu quả hơn kết quả của Y.J. Ma cùng các cộng sự [17].

Kết quả mô phỏng:

• Chọn điều kiện ban đầu x(0) = (2, 2)T ∈ R2, c1 = 5, c2 = 5.9, Tf = 0.1, R = I, d = 1. Hình 2.1 mô phỏng quỹ đạo của các véc tơ trạng thái

32

Hình 2.1: Quỹ đạo của các trạng thái x1(t) và x2(t) của hệ mở trong Ví dụ 2.1

Hình 2.2: Quỹ đạo của các trạng thái x1(t) và x2(t) của hệ đóng trong Ví dụ 2.1

x1(t), x2(t) của hệ mở. Hình 2.2 mô phỏng quỹ đạo của các véc tơ trạng

thái x1(t), x2(t) của hệ đóng. Hình 2.3 và 2.4 lần lượt mô phỏng quỹ đạo của xT (t)Rx(t) của hệ mở và hệ đóng. Rõ ràng từ các hình vẽ trên ta thấy

hệ đóng bị chặn trong thời gian hữu hạn ứng với bộ (5, 5.9, 0.1, I, 1).

• Chọn điều kiện ban đầu x(0) = (2, 2)T ∈ R2, c1 = 5, c2 = 15, Tf = 6, R = I, d = 1. Hình 2.5 và 2.6 lần lượt mô phỏng quỹ đạo của xT (t)Rx(t) của

Hình 2.3: Quỹ đạo của xT (t)Rx(t) của hệ mở trong Ví dụ 2.1

hệ mở và hệ đóng. Rõ ràng, hệ đóng bị chặn trong thời gian hữu hạn ứng

33

Hình 2.4: Quỹ đạo của xT (t)Rx(t) của hệ đóng trong Ví dụ 2.1

Hình 2.5: Quỹ đạo của xT (t)Rx(t) của hệ mở trong Ví dụ 2.1

Hình 2.6: Quỹ đạo của xT (t)Rx(t) của hệ đóng trong Ví dụ 2.1

34

với bộ (5, 15, 6, I, 1)

Ví dụ 2.2. Xét hệ nơ ron thần kinh phân thứ dưới đây

t x(t) = −Ax(t) + Df (x(t)) + W ω(t) + Bu(t), t ≥ 0,

0 D0.49 C



(2.31) z(t) = Cx(t), t ≥ 0,

  x(0) = x0 ∈ R2,

     trong đó x(t) = (x1(t), x2(t))T ∈ R2, u(t) = (u1(t), u2(t)) ∈ R2, z(t) ∈ R, ω(t) = 0.01 cos t ∈ R và   4 0 1 0.5 2 0 (cid:104) . A = (cid:105) 0.5 0.1  , C =   , W =   , D =  0 5  2  , B = 3  0 9 0 1

Với điều khiển ngược u(t) = Kx(t), hệ đóng tương ứng của hệ (2.31) mô tả

t x(t) = (−A + BK)x(t) + Df (x(t)) + W ω(t), t ≥ 0,

C 0 D0.49

bởi 

(2.32) z(t) = Cx(t), t ≥ 0,

  x(0) = x0 ∈ R2.

Các hàm kích hoạt được chọn như sau f (x(t)) = (tanh x1(t), tanh x2(t))T ∈ R2. Ta thấy hàm kích hoạt f (x(t)) thỏa mãn Giả thiết 2.2 với L = diag{1, 1}. Cho

c1 = 1, c2 = 2, Tf = 5 và ma trận R = I. Bằng cách sử dụng hộp công cụ LMI

Control Toolbox trong MATLAB, các điều kiện (2.28a) và (2.28b) trong Hệ

quả 2.2 được thỏa mãn với (cid:15) = 128.2634 và     7.6032 0.1030 −29.5516 2.9265 X =   , Y =   . 0.1030 8.9494 −0.2045 −24.7392

Theo Hệ quả 2.2, hệ đóng (2.32) đạt được hiệu xuất H∞ tương ứng với bộ

(1, 2, 5, I, 0.0001) với hiệu suất γ = 1.2598 dưới tác động của điều khiển ngược

ổn định hóa cho bởi:

  −3.8918 0.3718 u(t) =   x(t), t ∈ [0, 5]. 0.0106 −2.7645

Kết quả mô phỏng: chọn điều kiện ban đầu x(0) = (1, 0.9)T ∈ R2, c1 = 1, c2 = 2, Tf = 5, R = I, d = 0.0001. Hình 2.7 và 2.8 lần lượt mô phỏng quỹ đạo của

35

Hình 2.7: Quỹ đạo của xT (t)Rx(t) của hệ mở trong Ví dụ 2.2

Hình 2.8: Quỹ đạo của xT (t)Rx(t) của hệ đóng trong Ví dụ 2.2

xT (t)Rx(t) của hệ mở và hệ đóng. Rõ ràng, hệ đóng bị chặn trong thời gian

hữu hạn ứng với bộ (1, 2, 5, I, 0.0001).

Ví dụ 2.3. Xét hệ nơ ron thần kinh phân thứ sau đây

t x(t) = − [A + EaFa(t)Ha] x(t) + [D + EdFd(t)Hd]f (x(t))

C 0 D0.96



t ≥ 0, +[W + EwFw(t)Hw]ω(t) + [B + EbFb(t)Hb]u(t),

z(t) = Cx(t), t ≥ 0,

x(0) = x0 ∈ R2,  

Hình 2.9: Quỹ đạo của xT (t)Rx(t) của hệ mở trong Vi dụ 2.3

(2.33)

36

Hình 2.10: Quỹ đạo của xT (t)Rx(t) của hệ đóng trong Vi dụ 2.3

 trong đó x(t) = (x1(t), x2(t))T ∈ R2 và    0.1 0.5 0 (cid:104) A = , Fa(t) = sin t, (cid:105) 0.5 0.6  , Ha =  , Ea =   0

0.6  0.1   1 0.5 (cid:104) D = , Fd(t) = sin t, (cid:105) 0.1 0.2  , Ed =   , Hd =  2 

0 2.5   0.8   1 0 0.2 (cid:104) W = , Fw(t) = cos t, (cid:105) 0.1 0.3   , Ew =   , Hw =

0 1   2 0 (cid:104) (cid:104) (cid:105) B = . , Fb(t) = sin t, C = (cid:105) 0.4 0.5 1 1   , Eb = 0 3 0.3   1  , Hb =  2

Với điều khiển ngược u(t) = Kx(t), hệ đóng tương ứng của hệ (2.33) mô tả

t x(t) = [−A − EaFa(t)Ha + BK + EbFb(t)HbK] x(t)

0 D0.96 C

bởi 

t ≥ 0, +[D + EdFd(t)Hd]f (x(t)) + [W + EwFw(t)Hw]ω(t),

z(t) = Cx(t), t ≥ 0,

x(0) = x0 ∈ R2.  

(2.34)   0.01 sin t Véc tơ nhiễu đầu vào ω(t) cho bởi ω(t) = . Suy ra véc tơ nhiễu  0.01 cos t

đầu vào thỏa mãn Giả thiết 2.3 với d = 0.0001. Hàm kích hoạt f (x(t)) = (tanh x1(t), tanh x2(t))T ∈ R2. Ta quan sát thấy hàm kích hoạt f (x(t)) thỏa mãn Giả thiết 2.2 với L = diag{1, 1}. Cho c1 = 1, c2 = 1.6, Tf = 10 và ma

trận R = I. Cho trước γ = 1.2391. Sử dụng hộp công cụ LMI Control Toolbox

37

trong MATLAB, ta thấy các điều kiện (2.22a) và (2.22b) trong Định lý 2.2

được thỏa mãn với (cid:15) = 14.1493, (cid:15)1 = 17.3301, (cid:15)2 = 14.7246 và

    2.0174 −0.4117 −10.8208 −2.6891 X =   , Y =   . −0.4117 1.9908 −10.4999 −14.3833

Theo Định lý 2.2, hệ đóng (2.34) đạt được hiệu xuất H∞ tương ứng với bộ

(1, 1.6, 10, I, 0.0001) với hiệu suất γ = 1.2391 dưới tác động của điều khiển

ngược ổn định hóa cho bởi:

  −5.8879 −2.5683 u(t) =  x(t), t ∈ [0, 10].  −6.9733 −8.6667

Kết quả mô phỏng: Chọn điều kiện ban đầu x(0) = (1, 0.9)T ∈ R2, c1 = 1, c2 = 1.6, Tf = 10, R = I, d = 0.0001. Hình 2.9 và 2.10 lần lượt mô phỏng quỹ đạo của xT (t)Rx(t) của hệ mở và hệ đóng. Rõ ràng, hệ đóng bị chặn trong

thời gian hữu hạn ứng với bộ (1, 1.6, 10, I, 0.0001).

38

Kết luận

Luận văn đã đạt được những kết quả sau:

• Trình bày lại một số khái niệm cơ bản về giải tích phân thứ bao gồm tích

phân Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, hệ phương trình vi

phân phân thứ Caputo;

• Giới thiệu và trình bày một số tiêu chuẩn đơn giản cho tính ổn định và

tính bị chặn trong thời gian hữu hạn của lớp hệ điều khiển tuyến tính

phân thứ;

• Giới thiệu bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ

điều khiển tuyến tính với bậc nguyên;

• Trình bày một số tiêu chuẩn cho bài toán điều khiển H∞ trong thời gian

hữu hạn cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ;

• Trình bày 03 ví dụ số cùng với mô phỏng để minh họa cho các kết quả lý

thuyết.

39

Tài liệu tham khảo

Tiếng Việt

[1] Hoàng Thế Tuấn, Về một số vấn đề định tính của hệ phương trình vi phân

phân thứ, Luận án tiến sĩ Toán học, Viện Toán học, 2017.

[2] Nguyễn Trường Thanh, Điều khiển H∞ các hệ phương trình vi phân có trễ

biến thiên, Luận án tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên,

Đại học Quốc gia Hà Nội, 2015.

[3] Bùi Thị Thúy, Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân

số, Luận án tiến sĩ Cơ học, Học viện Khoa học và Công nghệ, 2017.

Tiếng Anh

[4] M.S. Ali and S. Saravanan (2016), “Robust finite-time H∞ control for

a class of uncertain switched neural networks of neutral-type with dis-

tributed time varying delays”, Neurocomputing, 177, pp. 454–468.

[5] F. Amato, M. Ariola and P. Dorato (2001), “Finite-time control of linear

systems subject to parametric uncertainties and disturbances”, Automat-

ica, 37, pp. 1459–1463.

[6] P. Baskar, S. Padmanabhan S, M.S. Ali (2018), “Finite-time H∞ control

for a class of Markovian jumping neural networks with distributed time

varying delays-LMI approach”, Acta Mathematica Scientia, 38(2), pp. 561–

579.

40

[7] A. Boroomand and M.B. Menhaj (2008), “Fractional-order Hopfield neural

networks”, In: International Conference on Neural Information Processing

(pp. 883-890), Springer.

[8] S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron, V. Balakrishnan (1994), Linear Matrix

Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia.

[9] L. Chen, C. Liu, R. Wu, Y. He and Y. Chai (2016), “Finite-time stability

criteria for a class of fractional-order neural networks with delay”, Neural

Computing and Applications, 27(3), pp. 549–556.

[10] L.O. Chua and L. Yang (1998), “Cellular neural networks: Theory”, IEEE

Transactions on Circuits and Systems, 35(10), pp. 1257–1272.

[11] L.O. Chua and L. Yang (1998), “Cellular neural networks: Applications”,

IEEE Transactions on Circuits and Systems, 35(10), pp. 1273–1290.

[12] X. Dinh, J. Cao, X. Zhao and F.E. Alsaadi (2017), “Finite-time stability of

fractional-order complex-valued neural networks with time delays”, Neural

Processing Letters, 46(2), pp. 561–580.

[13] M.A. Duarte-Mermoud, N. Aguila-Camacho, J.A. Gallegos and R. Castro-

Linares (2015), “Using general quadratic Lyapunov functions to prove Lya-

punov uniform stability for fractional order systems”, Communications in

Nonlinear Science and Numerical Simulation, 22(1-3), pp. 650–659.

[14] T. Kaczorek (2011), Selected Problems of Fractional Systems Theory,

Springer.

[15] A.A. Kilbas, H.M. Srivastava and J.J. Trujillo (2006), Theory and Appli-

cations of Fractional Differential Equations, Springer.

[16] M.P. Lazarevi´c and A.M. Spasi´c (2009), “Finite-time stability analysis of

fractional order time-delay systems: Gronwall’s approach”, Mathematical

and Computer Modelling, 49, pp. 475–481.

41

[17] Y.J. Ma, B.W. Wu and Y.E. Wang (2016), “Finite-time stability and finite-

time boundedness of fractional order linear systems”, Neurocomputing,

173, pp. 2076–2082.

[18] Q. Meng and Y. Shen (2009), “Finite-time H∞ control for linear continuous

system with norm-bounded disturbance”, Communications in Nonlinear

Science and Numerical Simulation, 14, pp. 1043–1049.

[19] C. Rajivganthi, F.A. Rihan, S. Lakshmanan and P. Muthukumar (2018),

“Finite-time stability analysis for fractional-order Cohen–Grossberg BAM

neural networks with time delays”, Neural Computing and Applications,

29(12), pp. 1309–1320.

[20] M.V. Thuan, N.H. Sau and N.T.T. Huyen (2020), “Finite-time H∞ control

of uncertain fractional-order neural networks”, Computational and Applied

Mathematics, 39, pp. 1–19.

[21] Z. Shuo, Y.Q. Chen and Y. Yu (2017), “A Survey of Fractional-Order

Neural Network”, ASME 2017 International Design Engineering Technical

Conferences and Computers and Information in Engineering Conference,

American Society of Mechanical Engineers.

[22] S. Wang, T. Shi, L. Zhang, A. Jasra and M. Zeng (2015), “Extended finite-

time H∞ control for uncertain switched linear neutral systems with time-

varying delays”, Neurocomputing, 152, pp. 377–387.

[23] R.C. Wu, Y.F. Lu and L.P. Chen (2015), “Finite-time stability of fractional

delayed neural networks”, Neurocomputing, 149, pp. 700–707.

[24] Z. Xiang, Y.N. Sun, M.S. Mahmoud (2012), “Robust finite-time H∞ con-

trol for a class of uncertain switched neutral systems”, Communications

in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 17, pp. 1766–1778.

[25] C. Xu and P. Li (2019), “On finite-time stability for fractional-order neural

networks with proportional delays”, Neural Processing Letters, 50(2), pp.

1241–1256.

42

[26] X.J. Yang, Q.K. Song, Y.R. Liu, Z.J. Zhao (2015), “Finite-time stability

analysis of fractional-order neural networks with delay”, Neurocomputing,

152, pp. 19–26.