Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số kết quả chính quy nghiệm cho phương trình Parabolic dạng Divergence

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Cao Phi Thơ

MỘT SỐ KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM CHO

PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC DẠNG DIVERGENCE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2019

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Cao Phi Thơ

MỘT SỐ KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM CHO

PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC DẠNG DIVERGENCE

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 84 601 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS. NGUYỄN THÀNH NHÂN

Thành phố Hồ Chí Minh - 2019

LỜI CẢM ƠN

Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Thành Nhân, người trực

tiếp hướng dẫn tôi lựa chọn và thực hiện đề tài này, cảm ơn Thầy đã tận tâm chỉ bảo,

giúp đỡ và truyền đạt kiến thức để tôi hoàn thành luận văn của mình.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến quý thầy cô trường Đại học sư phạm

Thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt là khoa Toán- tin và phòng sau đại học đã tạo điều

kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Qua đây tôi cũng xin gởi lời cảm ơn đến các bạn học viên trong lớp Toán giải tích k28,

bạn bè, đồng nghiệp đã luôn cổ cũ, động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học này.

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 28 tháng 9 năm 2019

Học viên

Cao Phi Thơ

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU

x = x(x(cid:48), xn) Rn

+ = {x ∈ R : xn > 0} Br = {x ∈ Rn : |x| < r} B+

một điểm điển hình trong Rn. không gian Rn với các điểm có xn > 0. quả cầu mở tâm O, bán kính r trong Rn

r = Br ∩ {xn > 0}

nửa quả cầu.

hình lập phương parabolic. (cid:16) (cid:105) − r2 hình lập phương parabolic tâm gốc tọa độ. Cr = Br × Qr = Br × (−r2, 0] 2 , r2

Miền trụ với chiều cao T và đáy Ω ⊂ Rn. ΩT = Ω × (0, T )

= {(x, t) : x ∈ Rn, t ∈ (0, T )}

Gradient của u.

i=1 (f i(x, t))xi f (x, t)dxdt

Divergence của f. (cid:90) giá trị trung bình của hàm f trên Qr. ∇u(x, t) = (ux1(x, t), ..., uxn(x, t)) divf(x, t) = (cid:80)n 1 |Qr| biên của parabolic. f Qr = ∂pΩT = (∂Ω × [0, T ]) ∪ (Ω × {0})

biên của parabolic. ∂pQr = (∂Br × [−r2, 0]) ∪ (Br × {−r2})

0 (ΩT ) = {u ∈ C ∞(ΩT ) : u có giá compact trong ΩT }.

C ∞

Không gian V2(ΩT ) là tập hợp các hàm v ∈ W 1,2(ΩT ) sao cho:

1 p < ∞

Ω |u|pdxdt)

(cid:107)v(·, t)(cid:107)L2(ΩT ) + (cid:107)v(cid:107)W 1,2(ΩT ) < ∞. (cid:107)v(cid:107)V2(ΩT ) = sup 0≤t≤T (cid:111) (1 (cid:54) p < ∞) (cid:110) u : (cid:107)u(cid:107)Lp(ΩT ) = ((cid:82)

0 (ΩT ) là không gian Sobolev với (cid:107)u(cid:107)W 1,p

(ΩT ) = (cid:107)u(cid:107)Lp(ΩT ) + (cid:107)∇u(cid:107)Lp(ΩT )

Lp(ΩT ) = W 1,p

0 (Ω) nếu u ∈ W 1,p(Ω) và u = 0 trên biên của Ω.

Ta nói u ∈ W 1,p

cr(x,t)

Chuẩn trong không gian BM O (dao động trung bình BM O rất bé). (cid:90) |A(y, s) − Acr(x,t)|2dyds (cid:28) 1. [A]BM O = sup r>0 1 |Cr| sup (x,t)

Mục lục

Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Chương 1. Phương trình parabolic với hệ số không liên tục . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.Sự tồn tại nghiệm yếu và bổ đề phủ Vitali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.Các đánh giá địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.Các đánh giá so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.Bất đẳng thức dạng “level sets” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.Kết quả chính quy nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Chương 2. Phương trình với hệ số BMO trên miền Lipschitz . . . . . . . . . . 22

2.1.Bổ đề phủ Vitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.Các đánh giá địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.Các đánh giá so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.Bất đẳng thức dạng “level sets” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5.Kết quả chính quy nghiệm trên miền Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Chương 3. Phương trình với hệ số BMO trên miền Reifenberg. . . . . . . . . 41

3.1.Bổ đề phủ Vitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.Các đánh giá địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3.Các đánh giá so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4.Bất đẳng thức dạng “level sets” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.5.Kết quả chính quy nghiệm trên miền Reifenberg . . . . . . . . . . . . . . . 59

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Giới thiệu

Phương trình đạo hàm riêng là một trong những chủ đề được nhiều nhà toán học

nghiên cứu, mà một trong các vấn đề cơ bản nhất là sự tồn tại, duy nhất và các tính

chất nghiệm. Bên cạnh bài toán về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình

đạo hàm riêng, thì các câu hỏi về tính chính quy nghiệm cũng rất được quan tâm. Có

khá nhiều phương pháp để khảo sát tính chính quy nghiệm của các lớp phương trình

elliptic [2], [3], [8], [9], [7] hoặc parabolic [14], [15], [11], [5]. Gần đây, một số kết quả

về chủ đề này cho các phương trình có dạng divergence với hệ số không liên tục được

nghiên cứu trên các miền có biên Lipschitz [4] hoặc thỏa điều kiện Reifenberg [10], [11],

[12]. Ý tưởng chứng minh các kết quả này dựa trên việc sử dụng bổ đề phủ Vitali và

một số bất đẳng thức có dạng “level sets” thông qua các toán tử cực đại được nghiên

cứu nhiều trong lĩnh vực giải tích điều hòa.

Trong luận văn này, chúng tôi tìm hiểu một số kết quả về tính chính quy nghiệm của

phương trình parabolic tuyến tính, có dạng divergence với điều kiện biên Dirichlet như

ut − div(A∇u) = divf trong ΩT ,  

 u = 0 trên ∂pΩT ,

trong đó tham số 1 < p < ∞, u = u(x, t) với (x, t) ∈ ΩT = Ω × (0, T ] là nghiệm của phương trình và f ∈ Lp(ΩT ; Rn) là hàm dữ liệu cho trước. Đặc biệt, chúng tôi khảo sát

phương trình này với hệ số A không liên tục, nhưng có chuẩn BMO nhỏ và thỏa điều

kiện sau:

Λ−1|ξ|2 (cid:54) ξT A(x, t)ξ (cid:54) Λ|ξ|2, ∀(x, t) ∈ ΩT , ξ ∈ Rn,

với Λ là hằng số dương cho trước. Chính xác hơn, chúng tôi trình bày lại các chứng

minh của tác giả S.-S. Byun và cộng sự về kết quả chính quy của nghiệm yếu phương

trình (1.1) trong ba trường hợp, bao gồm kết quả chính quy địa phương bên trong miền

xác định và kết quả chính quy toàn cục cho miền có biên thỏa mãn điều kiện Lipschitz

hoặc Reifenberg. Phương pháp chung cho các chứng minh này là xây dựng bất đẳng

thức sau đây mà chúng tôi gọi là bất đẳng thức dạng “level sets”:

(cid:8)(x, t) ∈ Q1 : M (cid:0)|∇u|2(cid:1) > N 2k (cid:12) (cid:12) (cid:9)(cid:12) (cid:12)

k (cid:88)

i=1

(cid:110) (cid:54) (x, t) ∈ Q1 : M|f |2 > δ2N 2(k−i) (cid:12) (cid:12) (cid:8)(x, t) ∈ Q1 : M|∇u|2 > 1(cid:9)(cid:12) (cid:12) , (cid:15)i 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:111)(cid:12) (cid:12) + (cid:15)k (cid:12)

với (cid:15)1 = C(cid:15), nếu giả thiết sau và một số giả thiết trên dữ liệu được thỏa mãn

(cid:9)(cid:12) (cid:8)(x, t) ∈ ΩT : M (cid:0)|∇u|2(cid:1) > N 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) < (cid:15) |Q1| .

Với bất đẳng thức dạng “level sets” này, tính chính quy nghiệm của phương trình (1.1)

sẽ được chứng minh dựa theo bổ đề sau đây:

Bổ đề 0.1 ([13]). Giả sử f là một hàm không âm và đo được trong miền Ω bị chặn và

hai hằng số θ > 0 và N1 > 0. Khi đó, với 0 < p < ∞,

1 }| < ∞.

k(cid:62)1

(cid:88) (cid:1)p f ∈ Lp(Ω) khi và chỉ khi S = |{x ∈ Ω : f (x) > θN k (0.1) (cid:0)N k

Hơn nữa, tồn tại hằng số dương C chỉ phụ thuộc vào θ, p, N1 sao cho

Lp(Ω)

S (cid:54) (cid:107)f (cid:107)p (cid:54) C(|Ω| + S). 1 C

Các bất đẳng thức dạng “level sets” như trên được chứng minh dựa trên một dạng bổ

đề phủ Vitali được xây dựng lại trong mỗi trường hợp tương ứng với từng giả thiết

khác nhau của bài toán. Ngoài ra, việc chứng minh các bất đẳng thức này còn dựa trên

một số đánh giá địa phương cho nghiệm yếu của phương trình (1.1) và các đánh giá

về sự sai khác giữa nghiệm này với nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng.

Các đánh giá địa phương cho nghiệm yếu của phương trình thường là các dạng đánh

giá cổ điển như sau

L2(Q1) + (cid:107)f (cid:107)2

L2(Q1)

(cid:17) . (cid:54) C (cid:16) (cid:107)∇u(cid:107)2 (cid:107)u − uQ1(cid:107)2

Về đánh giá so sánh, chúng tôi chứng minh lại kết quả với (cid:15) > 0 tùy ý, tồn tại δ > 0

sao cho nếu v là nghiệm yếu của phương trình thuần nhất

vt − div (cid:0)AQ4∇v(cid:1) = 0 trong Q4,

và các hàm dữ liệu thỏa mãn

2(cid:17)

(cid:90) (cid:90) (cid:16) dxdt (cid:54) δ2, |∇u|2dxdt (cid:54) 1 và |f |2 + (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)A − AQ5 1 |Q5| 1 |Q5|

thì ta thu được đánh giá so sánh dưới dạng:

W 1,2

∗ (Q2)

(cid:107)u − v(cid:107)2 (cid:54) (cid:15)2.

Dựa theo các ý tưởng này, chúng tôi phân chia chứng minh kết quả chính về tính chính

quy nghiệm của phương trình parabolic thành nhiều công đoạn nhỏ, bao gồm việc xây

dựng lại bổ đề phủ Vitali, các đánh giá địa phương, các đánh giá so sánh và bất đẳng

thức dạng “level sets”. Các bước chứng minh này có sự khác nhau đôi chút khi xét bài

toán trên các giả thiết khác nhau. Các kết quả tham khảo chủ yếu trong các bài báo

của S.-S. Byun và L. Wang [4], [5], [10], [11]. Luận văn được trình bày theo ba chương:

Chương 1. Phương trình parabolic với hệ số không liên tục.

Chương này khảo sát tính chính quy nghiệm của phương trình parabolic với hệ số thỏa

điều kiện BMO. Chúng tôi chứng minh kết quả chính quy nghiệm địa phương bên trong

miền Ω. Kỹ thuật chính của chứng minh dựa trên một dạng của bổ đề phủ Vitali, được

xây dựng lại cho trường hợp parabolic và các bất đẳng thức dạng “level sets”. Chúng tôi

nhắn mạnh rằng chương này khảo sát tính chính quy nghiệm địa phương của phương

trình trên các tập QR, do đó không cần giả thiết về biên của miền ΩT .

Chương 2. Phương trình với hệ số BMO trên miền Lipschitz.

Chương này khảo sát tính chính quy nghiệm toàn cục của phương trình parabolic với

điều kiện BMO và điều kiện biên Dirichlet trên miền xác định có biên Lipschitz. Các

kết quả về chính quy nghiệm địa phương được chứng minh tương tự Chương 1. Tuy

nhiên, với giả thiết biên của miền xác định là Lipschitz, một số đánh giá gần biên cần

được xử lý khác đi.

Chương 3. Phương trình với hệ số BMO trên miền Reifenberg.

Chưng này chúng tôi tiếp tục khảo sát tính chính quy nghiệm toàn cục trên miền có

biên thỏa điều kiện Reifenberg. Chú ý rằng miền Reifenberg yếu hơn miền Lipschitz.

Chương 1

Phương trình parabolic với hệ số

không liên tục

Trong chương này, ta sẽ xét tính chính quy nghiệm của phương trình parabolic dạng

∗

divergence trên không gian W 1,p với 1 < p < ∞. Cụ thể, chúng tôi tìm hiểu một số

kết quả về tính chính quy nghiệm của phương trình parabolic tuyến tính, có dạng

divergence với điều kiện biên Dirichlet như sau

ut − div(A∇u) = divf trong ΩT ,   (1.1)  u = 0 trên ∂pΩT ,

trong đó u = u(x, t) với (x, t) ∈ ΩT = Ω × (0, T ] là nghiệm của phương trình và f ∈ Lp(ΩT ; Rn) là hàm dữ liệu cho trước. Đặc biệt, chúng tôi khảo sát phương trình

này với hệ số A không liên tục, nhưng có chuẩn BMO nhỏ và thỏa điều kiện sau:

(1.2) Λ−1|ξ|2 (cid:54) ξT A(x, t)ξ (cid:54) Λ|ξ|2, ∀(x, t) ∈ ΩT , ξ ∈ Rn,

với Λ là hằng số dương cho trước. Khi A thỏa mãn điều kiện (1.2), ta nói P = − ∂ ∂t ∂i(aij∂j) là một toán tử parabolic đều.

Kết quả về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu phương trình này là cổ điển, được

chúng tôi nhắc lại và không chứng minh ở mục tiếp theo. Chứng minh định lý chính

về tính chính quy nghiệm địa phương được chia thành nhiều bước, tương ứng với các

mục bên dưới.

1.1. Sự tồn tại nghiệm yếu và bổ đề phủ Vitali

Định nghĩa 1.1. Ta nói u ∈ V2(ΩT ) là một nghiệm yếu của phương trình (1.1) nếu

0 (ΩT ), (cid:90)

với mọi ϕ ∈ C ∞

ΩT

(cid:90) (cid:90) − A∇u · ∇ϕdxdt = − f · ∇ϕdxdt. uϕtdxdt +

Định lý 1.2 ([4]). Nếu điều kiện (1.2) được thỏa mãn và f ∈ L2(ΩT , Rn) thì tồn tại

0 (ΩT ) và tồn tại

∗ (ΩT ) nếu u ∈ W 1,p

một nghiệm yếu duy nhất của phương trình (1.1).

Định nghĩa 1.3. Cho 1 < p < ∞, ta nói u ∈ W 1,p hàm F ∈ Lp(ΩT , Rn) và g ∈ Lp(ΩT ) sao cho

ut = divF − g trong ΩT

theo nghĩa phân phối, nghĩa là

0 (ΩT ).

ΩT

(cid:90) (cid:90) (F · ∇ϕ + gϕ)dxdt, ∀ϕ ∈ C ∞ uϕtdxdt =

Hơn nữa, ta xác định chuẩn sau

Lp(ΩT ) + (cid:107)∇u(cid:107)p

Lp(ΩT ) + (cid:107)F(cid:107)p

Lp(ΩT ,Rn) + (cid:107)g(cid:107)p

Lp(ΩT )

∗ (ΩT ) =

(cid:16) (cid:107)u(cid:107)p (cid:17) 1 p . (cid:107)u(cid:107)W 1,p

2 (Ω∞) với Ω∞ = Ω × (−∞, ∞), bao gồm tất cả các phần tử u của

Không gian H 1, 1

0 (Ω∞) sao cho tích phân sau hữu hạn

H 1

L2(Ω∞) dh

(cid:19) 1 (cid:18)(cid:90) ∞ h−2 (cid:107)u(., . + h) − u(., .)(cid:107)2 = . |(cid:107)u(cid:107)|Ω∞

∗ (ΩT )

Định lý 1.4 ([4]). Nghiệm yếu u của phương trình (1.1) thuộc không gian W 1,2

với đánh giá

∗ (ΩT ) ≤ C

(cid:16) (cid:17) . (cid:107)u(cid:107)W 1,2 (cid:107)u(cid:107)L2(ΩT ) + (cid:107)f (cid:107)L2(ΩT )

Trong các mục tiếp theo, chúng tôi xét phương trình

(1.3) ut − div(A∇u) = divf

trên QR với R > 0 và đánh giá tính chính quy nghiệm của phương trình này. Trước

hết, chúng tôi nhắc lại bổ đề phủ Vitali tổng quát và chứng minh một dạng bổ đề phủ

Vitali cho trường hợp parabolic.

Bổ đề 1.5 (Bổ đề phủ Vitali - [2]). Cho 0 < (cid:15) < 1 và C ⊂ D ⊂ B1 là hai tập đo được,

thỏa mãn hai điều kiện sau:

i) |C| < (cid:15) |B1|;

ii) ∀x ∈ B1 nếu |C ∩ Br(x)| ≥ (cid:15) |Br| thì Br(x) ∩ B1 ⊂ D.

Khi đó, ta có bất đẳng thức sau

|C| ≤ 10n(cid:15) |D| .

Bổ đề 1.6 ([4]). Cho 0 < (cid:15) < 1 và A ⊂ B ⊂ Q1 là hai tập đo được sao cho

(1.4) |A| < (cid:15) |Q1|

và thỏa mãn điều kiện sau:

(1.5) với mọi (x, t) ∈ Q1 nếu |A ∩ Cr(x, t)| ≥ (cid:15) |Cr| thì Cr(x, t) ∩ Q1 ⊂ B.

Khi đó, ta có đánh giá

|A| ≤ 2(10)n+2(cid:15) |B| . (1.6)

Chứng minh.

Từ giả thiết (1.4), thì với (x, t) ∈ A hầu khắp nơi, tồn tại một r(x,t) > 0 đủ nhỏ, sao

cho:

(1.7) (cid:12) (cid:12) (cid:12) = (cid:15) (cid:12) (cid:12) (cid:12)Cr(x,t)

(cid:12) (cid:12) (cid:12)A ∩ Cr(x,t)(x, t) (cid:110) (cid:12) (cid:12) , |A ∩ Cr(x, t)| < (cid:15) |Cr(x, t)| , ∀r ∈ (cid:0)r(x,t), 1(cid:3) . (cid:12) (cid:111) là một phủ của A, nên theo bổ đề phủ Vitali, tồn tại Cr(x,t)(x, t) ∩ A : (x, t) ∈ A

Do một dãy rời nhau {Cri(xi, ti) ∩ C : (xi, ti) ∈ A}∞

i=1 sao cho C5ri(xi, ti) và |A| (cid:54) 5n+2 (cid:88)

(cid:91) (1.8) A ⊂ |Cri|.

Khi đó từ (1.7) ta có

(1.9) |A ∪ C5ri(xi, ti)| < (cid:15)|C5ri| = 5n+2(cid:15)|Cri| = 5n+2|A ∪ Cri(xi, ti)|.

Chú ý rằng ri ≤ 1, dẫn đến

(1.10) |Cri| ≤ 2n+3|Cri(xi, ti) ∪ Q1|.

Do đó, với mọi r > 0 ta có |Cr(x, t) ∩ Q1| = |Cr(e1, 0) ∩ Q1| . inf (x,t)∈Q1 Mặt khác, dễ dàng kiểm tra được rằng

(cid:16)(cid:16) (cid:17) (cid:17) 1 − e1, 0 ⊂ Cr (e1, 0) ∩ Q1, C r 2 r 2

nên ta suy ra được

|Cr(x, t) ∪ Q1| ≥ |Cr(e1, 0) ∩ Q1| ≥ |C r | = 2−(n+3)|Cr(x, t)|.

Bất đẳng thức này kéo theo

|Cr(x, t)| ≤ 2n+3|Cr(x, t) ∪ Q1|.

Như vậy dẫn tới (1.10) được thỏa mãn. Ngoài ra, theo (1.8) ta có

(cid:91) A = C5ri(xi, ti) ∩ A.

Từ đó suy ra

(cid:88) (cid:91) ≤ |A| = |C5ri(xi, ti) ∩ A| (C5ri(xi, ti) ∩ A) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:88) < (cid:15) |C5ri(xi, ti)| (do (1.9))

(cid:88) = 5n+2(cid:15) |Cri(xi, ti)|

i (cid:91)

≤ 5n+2(cid:15)2n+3 (cid:88) (cid:12) (cid:12) (do (1.10))

i ≤ 2.10n+2(cid:15) |B|

= 2.10n+2(cid:15) (cid:12) (cid:12)Cri(xi, ti) ∩ Q+ 1 (cid:12) (cid:12) (Cri(xi, ti) ∩ Q+ (cid:12) 1 ) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (do (1.5)).

Vậy, bổ đề được chứng minh.

1.2. Các đánh giá địa phương

Bổ đề 1.7. Giả sử u là một nghiệm yếu của phương trình parabolic (1.3) trong Q1.

Khi đó tồn tại hằng số C > 0 sao cho

Q 1 2

(cid:90) (cid:90) (cid:0)|u|2 + |f |2(cid:1) dxdt. |∇u|2dxdt (cid:54) C

Chứng minh.

Trước hết ta sẽ chứng minh bất đẳng thức trên cho trường hợp u là một hàm trơn.

Xét hàm chặt cụt (cut-off function) η = η(x, t) thỏa mãn

0 (cid:54) η (cid:54) 1, ,   η ≡ 1 trên Q 1 2 (1.11)  η = 0 gần ∂pQ1.

Nhân hai vế của phương trình (1.3) cho η2u và lấy tích phân trên B1. Áp dụng công

thức tích phân từng phần, ta thu được

(cid:90) (cid:90) (cid:90) f · ∇(η2u)dx. A∇u · ∇(η2u)dx = − ut(η2u)dx +

Ta viết lại biểu thức trên dưới dạng

I1 + I2 = I3 + I4,

trong đó (cid:90) dx, I1 = η2 |u|2 2 d dt (cid:90) η2(A∇u · ∇u)dx, I2 =

B1 (cid:90)

(cid:90) (cid:90) ηu(A∇u · ∇η)dx, I3 = ηηt|u|2dx − 2

f · ∇(η2u)dx. I4 = −

Ta lần lượt đánh giá các số hạng I2, I3 và I4 như sau

B1 (cid:90)

(cid:90) (cid:90) η2(A∇u · ∇u)dx ≥ Λ−1 η2|∇u|2dx, I2 =

B1 (cid:18)

(cid:90) ηu(A∇u · ∇η)dx ηηt|u|2dx − 2 I3 =

(cid:19) (cid:90) (cid:90) |u|2dx + Cτ η2|∇u|2dx, ≤ C 1 + 1 τ (cid:90) f · ∇(η2u)dx I4 = −

(cid:90) = − (cid:2)(f · ∇u)η2 + 2(f · ∇η)ηu(cid:3) dx

(cid:90) (cid:90) (cid:90) η2|∇u|2dx + |f |2dx + C (cid:0)|u|2 + |f |2(cid:1) dx ≤ τ

(cid:18) (cid:90) (cid:19) (cid:90) 1 4τ (cid:90) ≤ τ η2|∇u|2dx + C |u|2dx + C 1 + |f |2dx. 1 τ

Từ đó ta suy ra

(cid:90) (cid:90) dx + Λ−1 η2|∇u|2dx, I1 + I2 ≥ d dt η2 |u|2 2

B1 (cid:0)|u|2 + |f |2(cid:1) dx + Cτ

và (cid:18) (cid:90) (cid:19) (cid:90) 1 + |u|2dx + Cτ η2|∇u|2dx I3 + I4 ≤ C 1 τ (cid:18) (cid:19) (cid:90) (cid:90) (cid:90) + τ η2|∇u|2dx + C |u|2dx + C 1 + |f |2dx 1 τ (cid:18) (cid:90) (cid:19) (cid:90) ≤ C 1 + η2|∇u|2dx. 1 τ

Do I1 + I2 = I3 + I4 nên ta suy ra được

(cid:18) (cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:19) (cid:90) dx+Λ−1 η2|∇u|2dx ≤ C 1 + η2|∇u|2dx. (cid:0)|u|2 + |f |2(cid:1) dx+Cτ d dt η2 |u|2 2 1 τ

Đến đây ta chọn τ đủ nhỏ để có được

(cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:0)|u|2 + |f |2(cid:1) dx. dx + C1 η2|∇u|2dx ≤ C2 d dt η2 |u|2 2

Lấy tích phân theo biến thời gian từ −1 đến 0 và chú ý (1.11) ta có

Q 1 2

(cid:90) (cid:90) |∇u|2dxdt ≤ C (cid:0)|u|2 + |f |2(cid:1) dxdt.

Đến đây, trở lại trường hợp tổng quát khi u là nghiệm yếu của phương trình (1.3) trong

Q1, tồn tại một dãy hàm trơn hội tụ về u. Các hàm trơn này thỏa mãn bất đẳng thức

trên nên ta suy ra được nghiệm yếu u cũng thỏa mãn. Bổ đề được chứng minh xong.

Bổ đề 1.8. Giả sử u là một nghiệm yếu của phương trình parabolic (1.3) trong Q1.

Khi đó tồn tại hằng số C > 0 sao cho

)

W 1,2

L2(Q1) + (cid:107)f (cid:107)2

L2(Q1)

∗ (Q 1 2

(cid:16) (cid:17) (cid:54) C (cid:107)u(cid:107)2 . (cid:107)u(cid:107)2

(cid:18)

(cid:19)

(cid:18)

Chứng minh. Theo Định nghĩa 1.3 và Bổ đề 1.7 ta có đánh giá sau

(cid:19) = (cid:107)u(cid:107)2 L2

(cid:19) + (cid:107)∇u(cid:107)2 L2

(cid:19) + (cid:107)A∇u + f (cid:107)2 L2

W 1,2 ∗

Q 1 2

(cid:18)

(cid:19) + 2 (cid:107)A(cid:107)2

(cid:19) + 2 (cid:107)f (cid:107)2

L2(Q1)

(cid:19) + (cid:107)∇u(cid:107)2 L2

L∞

(cid:19) (cid:107)∇u(cid:107)2 L2

(cid:107)u(cid:107)2

Q 1 2

≤ (cid:107)u(cid:107)2 L2

L2(Q1) + (cid:107)f (cid:107)2

L2(Q1)

(cid:16) (cid:17) . ≤ C (cid:107)u(cid:107)2

Vậy bổ đề được chứng minh.

Bổ đề 1.9. Giả sử u là một nghiệm yếu của phương trình parabolic (1.3) trong Q1.

Khi đó tồn tại một hằng số C > 0, chỉ phụ thuộc số chiều sao cho

L2(Q1) + (cid:107)f (cid:107)2

L2(Q1)

(cid:17) . (1.12) (cid:54) C (cid:16) (cid:107)∇u(cid:107)2 (cid:107)u − uQ1(cid:107)2

Chứng minh. Chúng ta chứng minh mệnh đề trên bằng phản chứng. Giả sử rằng,

k=1 sao cho uk là một nghiệm yếu của phương

k=1, {fk}∞

k=1, {uk}∞

tồn tại các dãy {Ak}∞

trình

(uk)t − div(Ak∇uk) = divfk

trong Q1 và tồn tại số nguyên k để

L2(Q1) + (cid:107)fk(cid:107)2

L2(Q1)

(cid:17) (cid:16) . (cid:62) k (cid:107)∇uk(cid:107)2 (cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13)uk − ukQ1

Ta có thể chuẩn hóa sao cho (cid:13) (cid:13)uk − ukQ1 (cid:13) (cid:13)L2(Q1) = 1, và ta có

L2(Q1)

L2(Q1) + (cid:107)fk(cid:107)2

W 1,2

∗ (Q1)

L2(Q1) + (cid:107)∇uk(cid:107)2 (cid:19) 1 k

(cid:17) . (cid:54) C (cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13)uk − ukQ1 (cid:16) (cid:107)uk(cid:107)2 (cid:18) (cid:54) C 1 +

(cid:54) C

và

L2(Q1) ≤

L2(Q1) + (cid:107)fk(cid:107)2

−→ 0 khi k −→ +∞. (1.13) (cid:107)∇uk(cid:107)2 1 k

Lấy u◦ là giới hạn yếu của {uk − ukQ1}. Khi đó ta có

 trong L2(Q1), (cid:0)(cid:107)u◦(cid:107)L2(Q1) = 1(cid:1) uk − ukQ1 −→ u◦

(1.14) ∇uk (cid:42) ∇u◦(= 0) trong L2(Q1),

∗ (Q1).

trong W 1,2 uk (cid:42) u◦  

Bây giờ ta cần chứng minh u◦ là nghiệm yếu của phương trình

(1.15) (u◦)t = 0 trong Q1.

0 (Q1). Khi đó theo (1.12) ta được

Để làm điều này, ta chọn bất kỳ hàm ϕ ∈ C ∞

(cid:90) (cid:90) (cid:90) (1.16) (cid:1) ϕtdxdt − Ak∇uk · ∇ϕtdxdt = fk · ∇ϕtdxdt. (cid:0)uk − ukQ1

Cho k −→ ∞ ta nhận được

(cid:90) u◦ϕtdxdt = 0,

điều này cho thấy biểu thức (1.15) là thỏa mãn. Theo (1.14) ta suy ra u◦ = 0, điều này

mâu thuẫn. Vậy, bổ đề được chứng minh.

1.3. Các đánh giá so sánh

Giả sử v là nghiệm trơn của phương trình

vt − div (cid:0)AQ4∇v(cid:1) = 0 trong Q4.

Bổ đề 1.10. Với mọi (cid:15) > 0 bất kỳ, tồn tại δ = δ((cid:15)) > 0 sao cho với mọi nghiệm yếu

u của phương trình parabolic (1.3) trong Q5 thỏa hai điều kiện

(cid:90) |∇u|2dxdt (cid:54) 1 (1.17) 1 |Q5|

2(cid:17)

và (cid:90) (cid:16) |f |2 + (cid:12) dxdt (cid:54) δ2, (1.18) (cid:12) (cid:12) (cid:12)A − AQ5 1 |Q5|

ta có đánh giá (cid:90) |u − v|2dxdt (cid:54) (cid:15)2. (1.19)

Chứng minh. Ta chứng minh mệnh đề trên bằng phản chứng. Giả sử rằng, tồn tại

k=1, {uk}∞

k=1 và {fk}∞

k=1 sao cho uk là một nghiệm yếu của phương trình

(cid:15)◦ > 0, {Ak}∞

(uk)t − div(Ak∇uk) = divfk trong Q5

thỏa mãn hai điều kiện

2(cid:17)

(cid:90) (cid:90) (cid:16) (1.20) |∇uk|2dxdt (cid:54) 1 và |fk|2 + (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)Ak − AkQ5 dxdt (cid:54) 1 k2 , 1 |Q5| 1 |Q5|

nhưng (cid:90) (1.21) (cid:107)uk − vk(cid:107)2dxdt (cid:62) (cid:15)2 ◦,

trong đó vk là nghiệm trơn của phương trình

∗ (Q4).

k=1 bị chặn trong W 1,2

(1.22) (vk)t − div(AkQ4∇vk) = 0 trong Q4.

Từ (1.17), áp dụng Bổ đề 1.8 và Bổ đề 1.9, ta có {uk −ukQ4}∞ Do đó, tồn tại dãy con mà ta vẫn kí hiệu là {uk − ukQ4}, sao cho

∗ (Q4).

(1.23) trong W 1,2 uk − ukQ4 −→ u◦ trong L2(Q4) và uk − ukQ4 (cid:42) u◦

k=1, sao cho

Do {AkQ4} bị chặn, tồn tại dãy con mà ta vẫn kí hiệu là {AkQ4}∞

(1.24) AkQ4 → A◦ khi k → ∞.

Nhưng khi đó, từ (1.18), ta có

(1.25) Ak → A◦ trong L2(Q4).

Bây giờ, ta sẽ chỉ ra rằng u◦ là nghiệm yếu của

(1.26) (u◦)t − div(A◦∇u◦) = 0 trong Q4.

◦ (Q4). Từ (1.20), ta có

Để làm được điều này, chọn hàm thử ϕ ∈ C ∞

(cid:90) (cid:90) − Ak∇uk · ∇ϕ dxdt (uk − ukQ4)ϕt dxdt +

Q4 (cid:90)

(cid:90) = − Ak∇uk · ∇ϕ dxdt (uk − ukQ4)ϕt dxdt +

(cid:90) = − fk · ∇ϕ dxdt

(cid:90) = − fk · ∇ϕ dxdt.

Cho k −→ ∞, sử dụng (1.23), (1.24) và (1.20) ta thu được:

(cid:90) (cid:90) − A◦∇u◦ · ∇ϕ dxdt = 0, u◦ϕt dxdt +

Điều này chỉ ra rằng u◦ là nghiệm yếu của phương trình (1.26). Chú ý rằng trong Q4

(u◦)t − div(AkQ4∇u◦) = (u◦)t − div[(AkQ4 − A◦)∇u◦] − div(A◦∇u◦)

= −div[(AkQ4 − A◦)∇u◦] + (u◦)t − div(A◦∇u◦)

= −div[(AkQ4 − A◦)∇u◦],

trong đó ta đã sử dụng (1.26). Bây giờ ta lấy hk là nghiệm của

(cid:3) trong Q4,   (hk)t − div(AkQ4∇hk) = −div (cid:2)(AkQ4 − A◦)∇u◦ (1.27)

= 0  hk trên ∂pQ4,

và ta khẳng định rằng u◦ − hk là nghiệm của

(1.28) (u◦ − hk)t − div (cid:0)AkQ4∇(u◦ − hk)(cid:1) = 0 trong Q4.

0 (Q4). Trong (1.26) và (1.27),

Để chứng minh khẳng định trên, chọn bất kỳ ϕ ∈ C ∞

(cid:90) (cid:90) − (u◦ − hk)ϕt dxdt + (AkQ4)∇(u◦ − hk) · ∇ϕ dxdt

Q4 (cid:90)

(cid:90) (cid:90) = − u◦ϕt dxdt − hkϕt dxdt + (AkQ4)∇(u◦ − hk) · ∇ϕ dxdt

(cid:20)(cid:90) (cid:90) (cid:90) = − (cid:21) (cid:3) ∇ϕ dxdt A◦∇u◦ · ∇ϕ dxdt + (AkQ4)∇hk · ∇ϕ dxdt − (cid:2)(AkQ4 − A◦)∇u◦

(cid:90) + (AkQ4)∇(u◦ − hk) · ∇ϕ dxdt

= 0,

suy ra (1.28). Hơn nữa từ (1.27) ta có

(cid:107)hk(cid:107)L2(Q4) (cid:54) (cid:107)hk(cid:107)H 1,2(Q4)

(cid:54) C(cid:107)(AkQ4 − A◦)∇u◦(cid:107)L2(Q4) (cid:54) C|(AkQ4 − A◦)|(cid:107)∇u◦(cid:107)L2(Q4) (cid:54) C|(AkQ4 − A◦)|.

Do vậy

(cid:107)(uk − ukQ4) − (uk − hk)(cid:107)L2(Q4) (cid:54) (cid:107)(uk − ukQ4) − u◦(cid:107)L2(Q4) + (cid:107)hk(cid:107)L2(Q4)

(cid:54) (cid:107)(uk − ukQ4) − u◦(cid:107)L2(Q4) + C|AkQ4 − A◦|.

Từ đánh giá này và cùng với các kết quả gới hạn trong (1.23), (1.24), ta khẳng định

(cid:107)(uk − ukQ4) − (uk − hk)(cid:107)L2(Q4) −→ 0 khi k −→ ∞.

Điều này mâu thuẫn với (1.21) bởi (1.28). Vậy, bổ đề được chứng minh.

Hệ quả 1.11. Với mọi (cid:15) > 0 bất kỳ, tồn tại δ = δ((cid:15)) > 0 sao cho với bất kỳ nghiệm

yếu u của phương trình parabolic (1.3) trong Q5 thỏa

2(cid:17)

(cid:90) (cid:90) (cid:16) dxdt (cid:54) δ2. (1.29) |∇u|2dxdt (cid:54) 1 và |f |2 + (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)A − AQ5 1 |Q5| 1 |Q5|

ta có đánh giá

W 1,2

∗ (Q2)

(cid:107)u − v(cid:107)2 (cid:54) (cid:15)2. (1.30)

Chứng minh. Trong biểu thức (1.29) và Bổ đề 1.9, tồn tại nghiệm v của phương trình

(1.31) vt − div (cid:0)AQ4∇v(cid:1) = 0 trong Q4

2(cid:17)

sao cho (cid:90) (cid:90) (cid:16) dxdt (cid:28) 1. (1.32) |u − v|2dxdt (cid:28) 1 với điều kiện |f |2 + (cid:12) (cid:12)A − AQ5 (cid:12) (cid:12) 1 |Q5|

Trước hết, ta chỉ ra rằng w = u − v là một nghiệm yếu của phương trình

(1.33) wt − div(A∇w) = div (cid:2)f − (A − AQ4)∇v(cid:3)

◦ (Q4). Khi đó ta có

Q4 (cid:90)

Thật vậy, chọn ϕ ∈ C ∞ (cid:90) (cid:90) wϕt dxdt − A∇w · ∇ϕt dxdt

(cid:90) = (u − v)ϕt dxdt − A∇(u − v) · ∇ϕt dxdt

(cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:90) = uϕt dxdt − A∇u · ∇ϕt dxdt − vϕt dxdt − A∇v · ∇ϕt dxdt

(cid:90) (cid:90) (cid:90) = vϕt dxdt + f · ∇ϕt dxdt − (A − AQ4 + AQ4)∇v · ∇ϕ dxdt

Q4 (cid:18)(cid:90)

Q4 (cid:90)

(cid:19) (cid:90) (cid:90) + f · ∇ϕ dxdt − = vϕt dxdt − AQ4∇v · ∇ϕ dxdt (A − AQ4)∇v · ∇ϕ dxdt

(cid:90) f · ∇ϕ dxdt − 0 + = (A − AQ4)∇v · ∇ϕ dxdt

(cid:90) = (cid:2)f + (A − AQ4)∇v(cid:3) · ∇ϕ dxdt,

từ đó suy ra được (1.33). Mặt khác, theo Bổ đề 1.8 ta khẳng định rằng

L(Q3) + (cid:107)f + (A − AQ4)∇v(cid:107)2

L(Q3) + (cid:107)∇(u − v)(cid:107)2

L2(Q3)

W 1,2

∗ (Q2)

(cid:16) (cid:17) (cid:54) C (cid:107)u − v(cid:107)2 (cid:107)u − v(cid:107)2

L(Q3) + (cid:107)f (cid:107)2

L(Q3) + (cid:107)(A − AQ4)(cid:107)2

L2(Q3)

(cid:16) (cid:17) (cid:54) C (cid:107)u − v(cid:107)2

L(Q4) + (cid:107)f (cid:107)2

L(Q5) + (cid:107)(A − AQ4)(cid:107)2

L2(Q5).

(cid:16) (cid:17) (cid:54) C (cid:107)u − v(cid:107)2

Ta thu được đánh giá (1.30) từ (1.32), (1.29) và Bổ đề 1.10

1.4. Bất đẳng thức dạng “level sets”

Trong mục này, chúng tôi chứng minh lại một bất đẳng đẳng thức dạng “level sets” để

thu được tính chính quy nghiệm của phương trình parabolic. Bất đẳng thức này được

xây dựng thông qua toán tử cực đại Hardy-Littlewood, được nhắc lại ngay sau đây.

Định nghĩa 1.12. Cho f (x, t) là hàm khả tích địa phương. Khi đó

Cr(x,t)

(cid:90) |f (y, s)|dyds 1 |C| Mf (x, t) = sup r>0

được gọi là hàm cực đại Hardy-Littlewood parabolic của hàm f .

Dưới đây là hai kết quả cơ bản về tính bị chặn của hàm cực đại parabolic mà chúng

ta sẽ sử dụng sau này

(i ) Nếu f (x, t) ∈ Lp(Rn × R) với p > 1, thì Mf ∈ Lp(Rn × R). Hơn nữa,

(cid:107)Mf (cid:107)Lp ≤ C(cid:107)f (cid:107)Lp.

(ii ) Nếu f (x, t) ∈ L1(Rn × R), thì

(cid:90) |f |pdxdt. |{(x, t) ∈ Rn × R : Mf (x, t) > α}| ≤ C α

Bổ đề 1.13. Có một hằng số N1 để với bất kỳ (cid:15) > 0, tồn tại δ = δ((cid:15)) > 0 sao cho với

mọi nghiệm yếu u của phương trình

(1.34) ut − div(A∇u) = divf trong ΩT = Ω × (a, a + T ] ⊃ Q9(0, 2)

với hai giả thiết sau thỏa mãn

(1.35) Q1 ∩ (cid:8)M (cid:0)|∇u|2(cid:1) (cid:54) 1(cid:9) ∩ (cid:8)M (cid:0)|f |2(cid:1) (cid:54) δ2(cid:9) (cid:54)= φ

và

(cid:54) δ2, (1.36) (cid:13)A − A(cid:13) (cid:13) 2 (cid:13) L2(Q9(0,2))

thì ta có đánh giá

(1.37) (cid:8)M (cid:0)|∇u|2(cid:1) > N 2 (cid:9) ∩ Q1 (cid:12) (cid:12) < (cid:15) |Q1| . (cid:12) (cid:12)

Chứng minh.

Từ điều kiện (1.35), ta thấy rằng tồn tại điểm (x◦, t◦) ∈ Q1 sao cho

Cr(x◦,t◦)∩ΩT

(cid:90) (cid:90) |∇u|2 dxdt (cid:54) 1, (cid:107)f (cid:107)2 dxdt (cid:54) δ2, ∀Cr(x◦, t◦). (1.38) 1 |C| 1 |C|

Do Q5(0, 2) ⊂ C7 ∩ ΩT ⊂ C8(x◦, t◦) ∩ ΩT , nên từ (1.38) ta có

Q5(0,2)

C8(x◦,t◦)∩ΩT

C8(x◦,t◦)∩ΩT 1 |C8| (cid:19)n+2

(cid:90) (cid:90) |f |2 dxdt 1 |Q5| (cid:90) |f |2 dxdt =

(cid:54) δ2, |f |2dxdt (cid:54) 1 |Q5| |C8| |Q5| (cid:18) 8 5

Q5(0,2)

như vậy ta có (cid:19)n+2 (cid:90) δ2. (1.39) |f |2dxdt (cid:54) (cid:18) 8 5 1 |Q5|

Tương tự, ta thấy rằng

Q5(0,2)

(cid:19)n+2 (cid:90) . (1.40) |f |2dxdt (cid:54) (cid:18) 8 5 1 |Q5|

Khi đó, theo Hệ qủa 1.11 với các giả thiết (1.39), (1.40) và (1.36), tồn tại nghiệm trơn

v của phương trình

(1.41) vt − div (cid:0)AQ4∇v(cid:1) = 0 trong Q4(0, 2)

sao cho

2(cid:17)

W 1.2

∗ (Q2(0,2)) (cid:28) 1 với điều kiện

Q5(0,2)

(cid:90) (cid:16) dxdt (cid:28) 1. (1.42) (cid:107)u−v(cid:107)2 |f |2 + (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)A − AQ5(0,2)

Khi đó theo (1.41), ta có thể sử dụng đánh giá địa phương và

Q4(0,2)

(cid:90) |v|2dxdt (cid:54) C 1 |Q4|

để thấy rằng tồn tại một hằng số N◦ sao cho

(1.43) |∇v|2 (cid:54) N 2 ◦ . sup Q4(0,2)

1 = max{4N 2

◦ , 2n+2} và sẽ chứng minh rằng

Bây giờ ta chọn N 2

0 }.

1 } ⊂ {(x, t) ∈ Q1 : M(|∇(u − v)|2) > N 2

(1.44) {(x, t) ∈ Q1 : M(|∇u|2) > N 2

Ta chứng minh bất đẳng thức này, ta giả sử

0 }.

(1.45) (x1, t1) ∈ {(x, t) ∈ Q1 : M(|∇(u − v)|2) (cid:54) N 2

Với r (cid:54) 2, Cr(x1; t1) ⊂ Q3(0, 2) và từ (1.43), (1.45), ta có

Cr(x1,t1)

(cid:90) (cid:90) |∇u|2 dxdt (cid:54) (cid:0)|∇(u − v)|2 + |∇v|2(cid:1) dxdt 2 |Cr| 1 |Cr|

Q3(0,2) ◦ + 2N 2 ◦

(cid:54) 2N 2

= 4N 2 ◦ .

Với r > 2, Cr(x1; t1) ⊂ C2r(x◦, t◦) và từ (1.38), ta có

Cr(x1,t1)∩ΩT

(cid:90) (cid:90) |∇u|2 dxdt (cid:54) |∇u|2 dxdt 1 |Cr|

C2r(x◦,t◦)∩ΩT (cid:90) 1 |C2r|

C2r(x◦,t◦)∩ΩT

= |∇u|2 dxdt 1 |Cr| |C2r| |Cr|

(cid:54) 2n+2.

Điều này chứng tỏ rằng

1 }.

(1.46) (x1, t1) ∈ {(x, t) ∈ Q1 : M(|∇u|2) (cid:54) N 2

Khi đó, khẳng định (1.44) được suy ra từ (1.45) và (1.46). Từ (1.44) và đánh giá yếu

1 − 1 dạng parabolic ta thu được

◦ } ∩ Q1|

1 } ∩ Q1| (cid:54) |{M(|∇(u − v)|2) > N 2 (cid:90)

|{M(|∇u|2) > N 2

Q2(0,2)

(cid:54) |∇(u − v)|2dxdt. C N 2 ◦

Cuối cùng từ đánh giá này và theo (1.42) ta có điều phải chứng minh.

Bổ đề 1.14. Giả sử u là nghiệm yếu của phương trình (1.3) trong miền ΩT và C là

một hình lập phương parabolic thỏa 9C ⊂ ΩT . Khi đó, nếu

(cid:9) ∩ C(cid:12) (cid:8)(x, t) ∈ ΩT : M (cid:0)|∇u|2(cid:1) > N 2 (cid:12) (cid:62) (cid:15) |C| , (cid:12) (cid:12)

thì ta có

C ⊂ (cid:8)(x, t) ∈ ΩT : M (cid:0)|∇u|2(cid:1) > 1(cid:9) ∪ (cid:8)(x, t) ∈ ΩT : M (cid:0)|f |2(cid:1) > δ2(cid:9).

Hệ quả 1.15. Giả sử u là nghiệm yếu của phương trình (1.3) trong ΩT ⊃ Q9(0, 2).

Giả thiết rằng điều kiện sau đây thỏa mãn

(cid:9)(cid:12) (cid:8)(x, t) ∈ ΩT : M (cid:0)|∇u|2(cid:1) > N 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) < (cid:15) |Q1| .

Với k là một số nguyên dương và đặt (cid:15)1 = 10n+2(cid:15). Khi đó ta có

(cid:8)(x, t) ∈ Q1 : M (cid:0)|∇u|2(cid:1) > N 2k (cid:9)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

k (cid:88)

i=1

(cid:110) (cid:54) (x, t) ∈ Q1 : M|f |2 > δ2N 2(k−i) (cid:12) (cid:12) (cid:8)(x, t) ∈ Q1 : M|∇u|2 > 1(cid:9)(cid:12) (cid:12) . (cid:15)i 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:111)(cid:12) (cid:12) + (cid:15)k (cid:12)

Chứng minh. Ta chứng minh mệnh đề này bằng quy nạp. Rõ ràng mệnh đề này đúng

trong trường hợp k = 1 theo Bổ đề 1.14 và Bổ đề 1.6 với

1 },

A = {(x, t) ∈ Q1 : M(|∇u|2) > N 2

B = {(x, t) ∈ Q1 : M(|f |2) > δ2} ∪ {(x, t) ∈ Q1 : M(|∇u|2) > 1}.

tương và (cid:101)f = u N1

1 }| < (cid:15)|Q1|.

f Giả sử mệnh đề đúng với k nguyên dương. Ta định nghĩa (cid:101)u = N1 ứng. Khi đó (cid:101)u là nghiệm yếu của phương trình (1.3) trong Q9(0, 2) và thỏa mãn

|{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇(cid:101)u|2) > N 2

Theo giả thiết quy nạp, ta có

(cid:12) (cid:12) (cid:9)(cid:12) (cid:12)

i=1

(cid:26) (cid:8)(x, t) ∈ Q1 : M (cid:0)|∇(cid:101)u|2(cid:1) > N 2k k (cid:88) (cid:54) (x, t) ∈ Q1 : M (cid:12) (cid:12) > δ2N 2(k−i) 1 + (cid:15)k 1 (cid:15)i 1 (cid:8)(x, t) ∈ Q1 : M|∇(cid:101)u|2 > 1(cid:9)(cid:12) (cid:12) . (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)(cid:101)f (cid:12) (cid:27)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Mặt khác,

2(cid:33)

(cid:40) (cid:9)(cid:12) ∇ (x, t) ∈ Q1 : M (cid:12) (cid:12) (cid:12) = > N 2k 1 (cid:8)(x, t) ∈ Q1 : M (cid:0)|∇(cid:101)u|2(cid:1) > N 2k (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) u N1 (cid:41)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

= (cid:32)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:110) (x, t) ∈ Q1 : M (cid:0)|∇u|2(cid:1) > N 2(k+1) (cid:111)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

và

k (cid:88)

(cid:26) (x, t) ∈ Q1 : M (cid:12) (cid:12) > δ2N 2(k−i) 1 + (cid:15)k 1 (cid:15)i 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)(cid:101)f (cid:12) (cid:27)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

i=1 k (cid:88)

(cid:40) (cid:40)

= ∇ > 1 (x, t) ∈ Q1 : M (x, t) ∈ Q1 : M > δ2N 2(k−i) 1 (cid:15)i 1 + (cid:15)k 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) f N1 u N1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:41)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:8)(x, t) ∈ Q1 : M|∇(cid:101)u|2 > 1(cid:9)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:41)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

i=1 k (cid:88)

(cid:110) = (x, t) ∈ Q1 : M|f |2 > δ2N 2(k+1−i) (cid:8)(x, t) ∈ Q1 : M|∇u|2 > N 2 (cid:9)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:15)i 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:111)(cid:12) (cid:12) + (cid:15)k (cid:12)

i=1 k (cid:88)

i=1

(cid:110) (cid:54) (x, t) ∈ Q1 : M|f |2 > δ2N 2(k+1−i) (cid:15)i 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:111)(cid:12) (cid:12) (cid:12)

1(cid:15)1

(cid:9) + (cid:15)k (cid:8)(x, t) ∈ Q1 : M|f |2 > δ2(cid:9)(cid:12) (cid:12) + (cid:12) (cid:12) (cid:8)(x, t) ∈ Q1 : M|∇u|2 > 1(cid:9)(cid:12) (cid:12) (cid:8)(cid:12) (cid:12)

k+1 (cid:88)

i=1

(cid:110) = (x, t) ∈ Q1 : M|f |2 > δ2N 2(k+1−i) (cid:12) (cid:12) (cid:8)(x, t) ∈ Q1 : M|∇u|2 > 1(cid:9)(cid:12) (cid:12) , (cid:15)i 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:111)(cid:12) (cid:12) + (cid:15)k+1 (cid:12)

suy ra mệnh đề đúng với k + 1.

Vậy theo phép chứng minh quy nạp thì kết luận đúng với mọi giá trị nguyên dương k.

1.5. Kết quả chính quy nghiệm địa phương

Định lý 1.16. Cho số thực p thỏa mãn 2 < p < ∞. Tồn tại một số δ = δ(p) > 0 sao

∗

cho nếu u ∈ W 1,2 là một nghiệm yếu của phương trình parabolic

(1.47) ut − div (A∇u) = divf trong Q9(0, 2),

(cid:54) δ và P là toán tử parabolic đều và f ∈ Lp(Q9(0, 2); Rn), thì ∇u ∈ Lp(Q1)

với [A]BM O và có bất đẳng thức sau

(cid:16) (cid:17) (cid:54) C . (cid:107)∇u(cid:107)Lp(Q1) (cid:107)u(cid:107)Lp(Q9(0,2)) + (cid:107)f (cid:107)Lp(Q9(0,2))

Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng

(cid:9)(cid:12) (cid:8)(x, t) ∈ ΩT : M (cid:0)|∇u|2(cid:1) > N 2 (cid:12) < (cid:15) |Q1| (cid:12) (cid:12)

bằng cách nhân phương trình (1.47) cho một hằng số nhỏ nếu cần thiết. Do f ∈

2 (Q9(0, 2)). Theo Bổ đề 0.1, ta có

∞ (cid:88)

2 k

Lp(Q9(0, 2)) nên M(|f |2) ∈ L

2 p N 1

1 }| (cid:54) C(cid:107)M|f |2(cid:107)

p 2 L

p 2 (Q((0,2)))

k=0

|{(x, t) : M|f |2 > δ2N 2k (cid:54) C, (1.48)

1 và p. Mặt khác, ta có đánh giá

∞ (cid:88)

2 k

trong đó C là hằng số dương chỉ phụ thuộc vào δ, N 2

2 p N 1

1 }|

k=1

|{(x, t) ∈ Q1 : M|∇u|2 > N 2k

∞ (cid:88)

2 k

2 p N 1

1|{(x, t) ∈ Q1 : M|f |2 > δ2N 2(k−i) (cid:15)i

i=1

k=1

∞ (cid:88)

2 k

(cid:33) (cid:32) k (cid:88) (cid:54) }|

2 p N 1

1|{(x, t) ∈ Q1 : M|∇u|2 > 1}|(cid:1)

k=1

(cid:0)(cid:15)i +

∞ (cid:88)

2 k

2 p N 1

1|{(x, t) ∈ Q1 : M|f |2 > δ2N 2(k−i) (cid:15)i

i=1

k=1

∞ (cid:88)

2 k

(cid:33) (cid:32) k (cid:88) }| =

2 p N 1

k=0

+ (cid:15)k 1|{(x, t) ∈ Q1 : M|∇u|2 > 1}|

∞ (cid:88)

2 (k−i)

1 (cid:15)1)i

2 p N 1

i=1

k=i

∞ (cid:88)

(cid:33) (cid:32) ∞ (cid:88) }| (N p = |{(x, t) ∈ Q1 : M|f |2 > δ2N 2(k−i)

1 (cid:15)1)i (cid:0)|{(x, t) ∈ Q1 : M|∇u|2 > 1}|(cid:1)

k=1

∞ (cid:88)

(N p +

1 (cid:15)1)i < ∞.

k=1

1 (cid:15)1 < 1. Khi đó,

(cid:54) C (N p

2 (Q9(0, 2)), hay ∇u ∈ Lp(Q9(0, 2)).

Đến đây ta sử dụng Hệ quả 1.15, đánh giá (1.48) và chọn (cid:15)1 sao cho N p đánh giá này và Bổ đề 0.1 suy ra M|∇u|2 ∈ L

Cuối cùng, ta chứng minh định lý chính của chương này.

Định lý 1.17. Cho số thực p thỏa mãn 1 < p < ∞. Tồn tại một số δ = δ(p) > 0 sao

cho nếu u là một nghiệm yếu của phương trình parabolic

ut − div (A∇u) = divf trong Q9(0, 2),

∗ (Q1)

(cid:54) δ, toán tử P là parabolic đều và f ∈ Lp(Q9(0, 2); Rn), thì u ∈ W 1,p

với [A]BM O và ta có đánh giá sau đây

∗ (Q1)

(cid:16) (cid:17) (cid:54) C . (cid:107)u(cid:107)W 1,p (cid:107)u(cid:107)Lp(Q9(0,2)) + (cid:107)f (cid:107)Lp(Q9(0,2))

Chứng minh. Kết quả trong trường hợp p = 2 là cổ điển và trường hợp 1 < p < 2

có thể được suy ra từ tính đối ngẫu nên ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp p > 2.

Theo Định nghĩa 1.3 và Định lý 1.16 và chú ý rằng ut = div(A∇u + f ) trong Q1, ta có

đánh giá sau

∗ (Q1)

(cid:107)u(cid:107)W 1,p

(cid:1)

Lp(Q1)

(cid:54) (cid:107)u(cid:107)Lp(Q1) + (cid:107)∇u(cid:107)Lp(Q1) + (cid:107)A∇u + f (cid:107)Lp(Q1) (cid:54) (cid:107)u(cid:107)Lp(Q1) + C (cid:0)(cid:107)u(cid:107)Lp(Q9(0,2)) + (cid:107)f (cid:107)Lp(Q9(0,2)) + 2(cid:107)A(cid:107)L∞(Q1)(cid:107)∇u(cid:107)Lp(Q1) + 2(cid:107)f (cid:107)p

(cid:1) . (cid:54) C (cid:0)(cid:107)u(cid:107)Lp(Q9(0,2)) + (cid:107)f (cid:107)Lp(Q9(0,2))

Định lý đã được chứng minh.

Chương 2

Phương trình với hệ số BMO trên

miền Lipschitz

Chương này khảo sát tính chính quy nghiệm toàn cục của phương trình parabolic với

điều kiện biên Dirichlet

ut − div(A∇u) = divf trong ΩT ,   (2.1)  u = 0 trên ∂pΩT ,

với hệ số A thỏa điều kiện BMO và miền xác định có biên Lipschitz. Kết quả về chính

quy nghiệm cho bài toán này được chia ra thành các bước tương tự chứng minh ở

Chương 1. Tuy nhiên, với giả thiết về tính Lipschitz của biên miền xác định, một số

kết quả đánh giá khác đi cùng với việc xử lý các đánh giá gần biên.

2.1. Bổ đề phủ Vitali

1 là hai tập đo được sao cho

Định lý 2.1 ([10]). Cho 0 < (cid:15) < 1 và A ⊂ B ⊂ Q+

(2.2) |A| < (cid:15)|Q+ 1 |

và thỏa mãn điều kiện sau:

1 nếu |A ∩ Cr(x, t)| ≥ (cid:15)|Cr|, Cr(x, t) ∩ Q+

1 ⊂ B.

với mọi (x, t) ∈ Q+ (2.3)

Khi đó, ta có đánh giá

|A| ≤ 2(10)n+2(cid:15)|B|. (2.4)

Chứng minh.

Từ giả thiết (2.2), thì với (x, t) ∈ A hầu khắp nơi, tồn tại một r(x,t) > 0 đủ nhỏ sao

cho

(2.5) |A ∩ Cr(x,t)(x, t)| = (cid:15)|Cr(x,t)| và |A ∩ Cr(x,t)| < (cid:15)|Cr(x,t)| ∀r ∈ (cid:0)r(x,t), 1(cid:3) .

(cid:110) (cid:111) là phủ của A, ta áp dụng bổ đề phủ Vitali’s, tồn tại Cr(x,t)(x, t) ∩ A : (x, t) ∈ A

i=1 cho sao

Khi một dãy rời nhau {Cri(xi, ti) ∩ C : (xi, ti) ∈ A}∞

(cid:91) (2.6) A ⊂ |Cri|. C5ri(xi, ti) và |A| (cid:54) 5n+2 (cid:88)

Khi đó, từ (2.5) ta thấy rằng

(2.7) |A ∩ C5ri(xi, ti)| < (cid:15)|C5ri| = 5n+2|A ∩ Cri(xi, ti)|.

Chú ý rằng ri (cid:54) 1 dẫn đến

(2.8) |Cri| (cid:54) 2n+3|Cri(xi, ti) ∩ Q+ 1 |.

1 | = |Cr(e1, 0) ∩ Q+ 1 |.

|Cr(x, t) ∩ Q+

Do đó với mọi r > 0 ta có, inf (x,t)∈Q+ Mặt khác dễ dàng kiểm tra được rằng

1 ⊃ C +

r 2

(cid:16)(cid:16) (cid:17) (cid:17) 1 − , e1, 0 Cr(e1, 0) ∩ Q+ r 2

ta suy ra được

1 | (cid:62) |Cr(e1, 0) ∩ Q+

1 | (cid:62) |C +

r 2

| = 2−(n+3)|Cr(x, t)|, |Cr(x, t) ∩ Q+

bất đẳng thức này kéo theo

|Cr| (cid:54) 2n+3|Cr(x, t) ∩ Q+ 1 |.

Từ đó dẫn đến (2.8) được thỏa mãn. Sau cùng, từ (2.6), (2.7), (2.8) và (2.4), ta có

(cid:91) (cid:107)A(cid:107) = (cid:12) (cid:12) (cid:12) (C5ri(xi, ti) ∩ A) (cid:12) (cid:12)

i (cid:88)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:54) (cid:88) |C5ri(xi, ti) ∩ A|

< (cid:15) |C5ri(xi, ti)|

(cid:88) = 5n+2(cid:15) |Cri(xi, ti)|

(cid:88) (cid:54) (5n+2(cid:15))(2n+3) |Cri(xi, ti) ∩ Q+ 1 |

(cid:91) = 2(10)n+2(cid:15) (Cri(xi, ti) ∩ A) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

≤ 2(10)n+2(cid:15)|B|,

Vậy, định lý được chứng minh.

2.2. Các đánh giá địa phương

∗ (Q+

R) là một nghiệm yếu của phương

Định nghĩa 2.2. [[10]] Ta nói rằng u ∈ W 1,2

trình (2.46) nếu

0 (Q+

R).

Q+ R

(cid:90) (cid:90) (cid:90) − A∇u.∇ϕdxdt = − f.∇ϕdxdt ∀ϕ ∈ C ∞ uϕtdxdt+

Bổ đề sau cho thấy rằng nghiệm yếu u của chúng ta mang tính địa phương trong W 1,∞.

Bổ đề 2.3. Giả sử u là một nghiệm yếu của phương trình (2.46). Khi đó ta có

Q+ 1

Q+ 1 2

(cid:90) (cid:90) (2.9) |∇u|2dxdt (cid:54) C (cid:0)|u|2 + |f |2(cid:1) dxdt.

Chứng minh.

Trước hết ta sẽ chứng minh bất đẳng thức trên cho trường hợp u là một hàm trơn.

Xét hàm chặt cụt (cut-off function) η = η(x, t) thỏa mãn

0 (cid:54) η (cid:54) 1, η ≡ 1 trên Q 1 ,   (2.10)  η = 0 gần ∂pQ1.

Bây giờ ta nhân phương trình (2.46) cho η2u. Sau đó lấy tích phân từng phần trên B+ 1

B+ 1

(cid:90) (cid:90) (cid:90) A∇u.∇(η2u)dx = − f .∇(η2u)dx. ut(η2u)dx +

Ta viết lại biểu thức trên dưới dạng

I1 + I2 = I3 + I4,

B+ 1

trong đó (cid:90) dx, I1 = η2 |u|2 2 d dt (cid:90) η2(A∇u.∇u)dx, I2 =

B+ 1

B+ 1 (cid:90)

(cid:90) (cid:90) ηu(A∇u.∇η)dx, I3 = ηηt|u|2dx − 2

B+ 1

f .∇(η2u)dx. I4 = −

Ta lần lượt đánh giá các số hạng I2, I3 và I4 như sau

B+ 1

(cid:90) η2(A∇u.∇u)dx I2 =

B+ 1

(cid:90) ≥ Λ−1 η2|∇u|2dx.

B+ 1

(cid:90) (cid:90) ηu(A∇u.∇η)dx I3 = ηηt|u|2dx − 2

B+ 1

(cid:18) (cid:19) (cid:90) (cid:90) |u|2dx + Cτ ≤ C 1 + η2|∇u|2dx. 1 τ

B+ 1

(cid:90) f .∇(η2u)dx I4 = −

B+ 1

(cid:90) = − (cid:2)(f .∇u)η2 + 2(f .∇η)ηu(cid:3) dx

B+ 1

(cid:90) (cid:90) (cid:90) |f |2dx + C (cid:0)|u|2 + |f |2(cid:1) dx ≤ τ η2|∇u|2dx +

B+ 1

(cid:18) (cid:90) 1 4τ (cid:90) (cid:19) (cid:90) ≤ τ η2|∇u|2dx + C |u|2dx + C 1 + |f |2dx 1 τ

B+ 1

Do vậy, (cid:90) (cid:90) dx + Λ−1 η2|∇u|2dx. I1 + I2 ≥ d dt η2 |u|2 2

B+ 1

B+ 1 (cid:18)

và (cid:18) (cid:19) (cid:90) (cid:90) 1 + |u|2dx + Cτ η2|∇u|2dx I3 + I4 ≤ C 1 τ (cid:18) (cid:90) (cid:90) (cid:19) (cid:90) |u|2dx + C 1 + + τ η2|∇u|2dx + C |f |2dx 1 τ

B+ 1

(cid:90) (cid:19) (cid:90) η2|∇u|2dx. ≤ C 1 + (cid:0)|u|2 + |f |2(cid:1) dx + Cτ 1 τ

Do I1 + I2 = I3 + I4 nên ta suy ra được

B+ 1

(cid:18) (cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:19) (cid:90) η2|∇u|2dx η2|∇u|2dx ≤ C 1 + dx+Λ−1 (cid:0)|u|2 + |f |2(cid:1) dx+Cτ d dt η2 |u|2 2 1 τ

đến đây ta chọn τ đủ nhỏ để có được

B+ 1

(cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:0)|u|2 + |f |2(cid:1) dx. dx + C1 η2|∇u|2dx ≤ C2 d dt η2 |u|2 2

Lấy tích phân theo biến thời gian từ −1 đến 0 và chú ý (2.10) ta có

Q+ 1

Q+ 1 2

(cid:90) (cid:90) |∇u|2dxdt ≤ C (cid:0)|u|2 + |f |2(cid:1) dxdt.

Đến đây, trở lại trường hợp tổng quát khi u là nghiệm yếu của phương trình (2.1) trong

1 , tồn tại một dãy hàm trơn hội tụ về u. Các hàm trơn này thỏa mãn bất đẳng thức

Q+

trên nên ta suy ra được nghiệm yếu u cũng thỏa mãn. Bổ đề được chứng minh xong.

∗

Bổ đề 2.4. Cho u ∈ W 1,2 (cid:0)Q+ (cid:1) là một nghiệm yếu của phương trình (2.46). Khi đó

tồn tại hằng số C sao cho

(cid:18)

(cid:19) ≤ C

L2(Q+

1 ) + (cid:107)f (cid:107)2

L2(Q+ 1 )

W 1.2 ∗

Q∗ 1 2

(cid:16) (cid:17) (cid:107)u(cid:107)2 (cid:107)u(cid:107)2 .

Chứng minh.

(cid:19)

(cid:18)

Theo Định nghĩa 2.2 và Bổ đề 2.3, ta có

W 1,2 ∗

Q+ 1 2

(cid:18)

(cid:19)

(cid:107)u(cid:107)2

(cid:19) + (cid:107)∇u(cid:107)2 L2

(cid:19) + (cid:107)A∇u + f (cid:107)2 L2

Q+ 1 2

(cid:18)

(cid:19) + 2 (cid:107)A(cid:107)2

(cid:19) + 2 (cid:107)f (cid:107)2

1 ) L2(Q+

(cid:19) + (cid:107)∇u(cid:107)2 L2

(cid:19) (cid:107)∇u(cid:107)2 L2

L∞

= (cid:107)u(cid:107)2 L2

Q+ 1 2

≤ (cid:107)u(cid:107)2 L2

L2(Q+

1 ) + (cid:107)f (cid:107)2

1 ) L2(Q+

(cid:17) (cid:16) . ≤ C (cid:107)u(cid:107)2

Vậy bổ đề được chứng minh.

∗

Bổ đề 2.5. Cho u ∈ W 1,2 (cid:0)Q+ (cid:1) là một nghiệm yếu của phương trình (2.46). Khi đó

tồn tại một hằng số C phụ thuộc vào số chiều sao cho

L2(Q+

L2(Q+ 1 )

1 ) + (cid:107)f (cid:107)2

(cid:17) (cid:16) . (cid:54) C (cid:107)∇u(cid:107)2 (cid:107)u(cid:107)2

Chứng minh. Chúng ta chứng minh mệnh đề trên bằng phản chứng. Giả sử rằng,

k=1 sao cho uk là một nghiệm yếu của phương

k=1, {fk}∞

k=1, {uk}∞

tồn tại các dãy {Ak}∞

trình

(uk)t − div(Ak∇uk) = divfk   trong Q+ 1 (2.11)

= 0  uk trên T ∗ 1

và tồn tại số nguyên k để

L2(Q+

L2(Q+ 1 )

1 ) + (cid:107)fk(cid:107)2

L2(Q+ 1 )

(cid:16) (cid:17) (cid:62) k . (cid:107)uk(cid:107)2 (cid:107)∇uk(cid:107)2

1 ) = 1, ta có

Ta có thể chuẩn hóa sao cho (cid:107)uk(cid:107)L2(Q+

L2(Q+

W 1,2

1 ) + (cid:107)∇uk(cid:107)2

1 ) + (cid:107)fk(cid:107)2

L2(Q+ 1 )

∗ (Q+ 1 )

L2(Q+ (cid:19)

(cid:16) (cid:17) (cid:54) C (cid:107)uk(cid:107)2

(cid:107)uk(cid:107)2 (cid:18) (cid:54) C 1 + 1 k

(cid:54) C

và

L2(Q+

1 ) + (cid:107)fk(cid:107)2

1 ) ≤

−→ 0 khi k −→ +∞. (2.12) (cid:107)∇uk(cid:107)2 1 k

Lấy u◦ là giới hạn yếu của {uk}. Khi đó ta có

Q+ 1

 (cid:16) trong L2 , uk −→ u◦ với (cid:107)u◦(cid:107)L2(Q+ (cid:17) 1 ) = 1

Q+ 1

(2.13) , trong L2 ∇uk (cid:42) ∇u◦(= 0)

∗ Q+ 1 .

trong W 1,2 uk (cid:42) u◦  

Bây giờ ta chứng minh rằng u◦ là nghiệm yếu của phương trình   (u◦)t = 0 trong Q+ 1 (2.14)

 u◦ = 0 trên T ∗ 1 .

1 ). Khi đó theo (2.11) ta được

0 (Q+

Để làm điều này, ta chọn bất kỳ hàm ϕ ∈ C ∞

Q+ 1

(cid:90) (cid:90) (cid:90) (2.15) ukϕtdxdt − Ak∇uk.∇ϕtdxdt = fk.∇ϕtdxdt.

Cho k −→ ∞ ta được

Q+ 1

(cid:90) u◦ϕtdxdt = 0,

điều này cho thấy biểu thức (2.14) là thỏa mãn. Theo điều kiện (2.13) và (2.14) suy ra

u◦ = 0, điều này mâu thuẫn.

Vậy, bổ đề được chứng minh.

2.3. Các đánh giá so sánh

Giả sử v là một nghiệm trơn của

  ) = 0 trong Q+ 4 vt − div(AQ+

 v = 0 trên T ∗ 4 .

Bổ đề 2.6. Cho (cid:15) > 0 bất kỳ, có một số δ = δ((cid:15)) > 0 sao cho với bất kỳ nghiệm yếu

5 ) nào của phương trình (2.46) thỏa

∗ (Q+

u ∈ W 1,2

2(cid:19)

Q+ 5

(cid:18) (cid:90) (cid:90) |f |2 + (cid:54) δ2 , (2.16) |∇u|2 (cid:54) 1, (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)A − AQ+ 1 |Q5| 1 |Q5|

Q+ 4

ta có đánh giá (cid:90) |u − v|2dxdt ≤ (cid:15)2 (2.17)

Chứng minh. Chúng ta chứng minh bổ đề này bằng phản chứng.

k=1, {uk}∞

k=1 và {fk}∞

k=1 sao cho uk là một nghiệm

Giả sử rằng, tồn tại (cid:15)◦ > 0, {Ak}∞

yếu của phương trình

(uk)t − div(Ak∇uk) = divfk   trong Q+ 5 (2.18)

= 0  uk trên T ∗ 5

với

2(cid:19)

Q+ 5

(cid:18) (cid:90) (cid:90) (2.19) |∇uk|2dxdt (cid:54) 1 và |fk|2 + (cid:12) (cid:12) (cid:12)Ak − AkQ+ (cid:12) (cid:12) (cid:12) dxdt (cid:54) 1 k2 . 1 |Q5| 1 |Q5|

Nhưng, với nghiệm tùy ý vk của phương trình   ) = 0 trong Q+ 4 (uk)t − div(AkB+ (2.20)

 vk = 0 trên T ∗ 4 ,

Q+ 4

(cid:90) (2.21) (cid:107)uk − vk(cid:107)2dxdt (cid:62) (cid:15)2 ◦.

4 ).

k=1 là biên trong W 1,2

∗ (Q+ Do đó, tồn tại dãy con mà ta cũng kí hiệu là {uk}, sao cho

Từ các Bổ đề 2.4, Bổ đề 2.5, {uk}∞

4 ) và uk (cid:42) u◦

∗ (Q+

4 ).

trong W 1,2 (2.22) uk −→ u◦ trong L2(Q+

}∞ k=1, sao cho Khi {AkQ+ } là biên, tồn tại dãy con mà ta cũng kí hiệu là {AkQ+

(2.23) → A◦ khi k → ∞. AkQ+

Nhưng khi đó, từ (2.20), ta có

(2.24) Ak → A◦ trong L2(Q+ 4 )

Bây giờ, ta sẽ chỉ ra rằng u◦ là nghiệm của

  (uk)t − div(A◦∇u◦) = 0 trong Q+ 4 (2.25)

 vk = 0 trên T ∗ 4 .

4 ). Từ (2.19), ta có

◦ (Q+

Để làm được điều này, chọn ϕ ∈ C ∞

Q+ 4 (cid:90)

(cid:90) (cid:90) − (uk)ϕt dxdt + Ak∇uk · ∇ϕ dxdt

Q+ 5

= − (uk)ϕt dxdt + Ak∇uk · ∇ϕ dxdt

Q+ 5

(cid:90) = − fk · ∇ϕ dxdt

Q+ 4

(cid:90) = − fk · ∇ϕ dxdt.

Cho k −→ ∞ và từ (2.20), (2.23) và (2.24) ta có

Q+ 4

(cid:90) (cid:90) − A◦∇u◦ · ∇ϕ dxdt = 0, u◦ϕt dxdt +

Điều này chứng tỏ (2.25) thỏa mãn. Chú ý rằng trong Q+ 4

− A◦)∇u◦] − div(A◦∇u◦) (u◦)t − div(AkQ+ ∇u◦) = (u◦)t − div[(AkQ+

− A◦)∇u◦] + (u◦)t − div(A◦∇u◦) = −div[(AkQ+

− A◦)∇u◦], = −div[(AkQ+

trong đó ta đã sử dụng (2.25). Bây giờ ta lấy hk là nghiệm của

(cid:104) (cid:105) ∇hk) = −div − A◦)∇u◦   trong Q+ 4 , (hk)t − div(AkQ+ (AkQ+ (2.26)

= 0  hk trên ∂pQ+ 4

và ta khẳng định rằng u◦ − hk là nghiệm của

(cid:16) (cid:17) (u◦ − hk)t − div ∇(u◦ − hk)   = 0 trong Q+ 4 . AkQ+ (2.27)

 u◦ − hk = 0 trên T ∗ 4 .

4 ). Trong (2.25) và (2.26),

0 (Q+

Để chứng minh khẳng định trên, chọn bất kỳ ϕ ∈ C ∞

Q+ 4

(cid:90) (cid:90) − (u◦ − hk)ϕt dxdt + )∇(u◦ − hk) · ∇ϕ dxdt (AkQ+

Q+ 4 (cid:90)

Q+ 4

(cid:90) (cid:90) = − u◦ϕt dxdt − hkϕt dxdt + )∇(u◦ − hk) · ∇ϕ dxdt (AkQ+

Q+ 4

(cid:35) (cid:34)(cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:105) ∇ϕ dxdt = − A◦∇u◦ · ∇ϕ dxdt + )∇hk · ∇ϕ dxdt − − A◦)∇u◦ (AkQ+ (cid:104) (AkQ+

Q+ 4

(cid:90) + )∇(u◦ − hk) · ∇ϕ dxdt (AkQ+

= 0,

từ đó suy ra (2.27). Hơn nữa từ (2.27) ta có

(cid:107)hk(cid:107)L2(Q+ 4 )

− A◦)∇u◦(cid:107)L2(Q+ 4 )

− A◦)|(cid:107)∇u◦(cid:107)L2(Q+ 4 )

− A◦)|. (cid:54) (cid:107)hk(cid:107)H 1,2(Q+ 4 ) (cid:54) C(cid:107)(AkQ+ (cid:54) C|(AkQ+ (cid:54) C|(AkQ+

Do vậy

(cid:107)(uk) − (uk − hk)(cid:107)L2(Q+ 4 )

4 ) + C|AkQ+

− A◦|. (cid:54) (cid:107)(uk) − u◦(cid:107)L2(Q+4) + (cid:107)hk(cid:107)L2(Q+ 4 ) (cid:54) (cid:107)(uk) − u◦(cid:107)L2(Q+

Từ đánh giá này và cùng với các kết quả gới hạn trong (2.23), (2.24), ta khẳng định

4 ) −→ 0 khi k −→ ∞.

(cid:107)(uk) − (uk − hk)(cid:107)L2(Q+

Điều này mâu thuẫn với (2.22) do (2.27)

Vậy, bổ đề được chứng minh.

Hệ quả 2.7. Cho (cid:15) > 0 bất kỳ, có một số δ = δ((cid:15)) > 0 sao cho với bất kỳ nghiệm yếu

u của phương trình

ut − div(A∇u) = 0   trong Q+ 5

 u = 0 trên T ∗ 5

thỏa mãn điều kiện

2(cid:19)

Q+ 5

(cid:18) (cid:90) (cid:90) (cid:54) δ2 , (2.28) |f|2 + |∇u|2 (cid:54) 1, (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)A − AQ+ 1 |Q5| 1 |Q5|

Khi đó tồn tại một nghiệm trơn v của

∇v) = 0   trong Q+ 4 vt − div(AQ+

 v = 0 trên T ∗ 4

sao cho

W 1,2

∗ (Q+

2 ) ≤ (cid:15)2.

(cid:107)u(cid:107)2 (2.29)

Chứng minh. Trong biểu thức (2.28) và Bổ đề 2.6, tồn tại nghiệm trơn v của phương

trình (cid:16) (cid:17) ∇v vt − div   = 0 trong Q+ 4 AQ+

v  = 0 trên T ∗ 4

sao cho

2(cid:19)

Q+ 5

Q+ 4

(cid:18) (cid:90) (cid:90) |f |2 + |u − v|2dxdt (cid:28) 1 với điều kiện dxdt (cid:28) 1. (cid:12) (cid:12) (cid:12)A − AQ+ (cid:12) (cid:12) (cid:12) 1 |Q5| (2.30)

Trước hết, ta chứng tỏ rằng w = u − v là một nghiệm yếu của phương trình

(cid:105) (cid:104) )∇v wt − div(A∇w) = div   trong Q+ 4 f − (A − AQ+ (2.31)

w = 0  trên T ∗ 4 .

4 ). Khi đó ta có

◦ (Q+

Thật vậy, chọn ϕ ∈ C ∞

Q+ 4

(cid:90) (cid:90) A∇w · ∇ϕt dxdt wϕt dxdt −

Q+ 4 (cid:90)

Q+ 4

(cid:90) = A∇(u − v) · ∇ϕt dxdt (u − v)ϕt dxdt −

Q+ 4

Q+ 5

(cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:90) = A∇v · ∇ϕt dxdt vϕt dxdt − A∇u · ∇ϕt dxdt − uϕt dxdt −

Q+ 5 (cid:90)

Q+ 5

(cid:90) (cid:90) = )∇v · ∇ϕ dxdt vϕt dxdt + f · ∇ϕt dxdt − (A − AQ+ + AQ+

Q+ 4 (cid:32)(cid:90)

Q+ 4 (cid:90)

Q+ 4

Q+ 4 (cid:90)

(cid:33) (cid:90) (cid:90) = f · ∇ϕ dxdt − ∇v · ∇ϕ dxdt + )∇v · ∇ϕ dxdt vϕt dxdt − AQ+ (A − AQ+

Q+ 4

(cid:90) f · ∇ϕ dxdt − 0 + = )∇v · ∇ϕ dxdt (A − AQ+

Q+ 4 (cid:105)

Q+ 4

(cid:90) = )∇v · ∇ϕ dxdt, (cid:104) f + (A − AQ+

từ đó suy ra được (2.31). Mặt khác, theo Bổ đề 2.4 suy ra

L(Q+

W 1,2

L2(Q+ 3 )

∗ (Q+ 2 )

(cid:16) (cid:17) (cid:54) C (cid:107)u − v(cid:107)2 (cid:107)u − v(cid:107)2 )∇v(cid:107)2

L(Q+

L2(Q+ 3 )

3 ) + (cid:107)(A − AQ+

(cid:17) (cid:16) (cid:54) C (cid:107)u − v(cid:107)2 )(cid:107)2

L(Q+

3 ) + (cid:107)f + (A − AQ+ 3 ) + (cid:107)f (cid:107)2 4 ) + (cid:107)f (cid:107)2

5 ) + (cid:107)(A − AQ+

L2(Q+ 5 )

(cid:16) (cid:17) (cid:54) C (cid:107)u − v(cid:107)2 )(cid:107)2 .

Cuối cùng, từ (2.30) và (2.28) ta có kết luận (2.29))

2.4. Bất đẳng thức dạng “level sets”

Trong mục này, chúng ta sẽ chứng minh lại bất đẳng đẳng thức dạng “level sets” để thu

được tính chính quy nghiệm của phương trình parabolic. Bất đẳng thức này được xây

dựng thông qua toán tử cực đại Hardy-Littlewood đã được nhắc lại trong chương 1

(Định nghĩa 1.12).

Bổ đề 2.8. Có một hằng số N1 sao cho với bất kỳ (cid:15) > 0, tồn tại δ = δ((cid:15)) > 0 và nếu

u là một nghiệm yếu của

9 (0, 2)

(2.32) ut − div(A∇u) = divf trong ΩT = Ω × (a, a + T ] với ΩT ⊃ Q+

với giả thiết sau được thỏa mãn

9 (0, 2),

9 (0, 2), u = 0 trˆen T ∗



(2.33)

5 (0,2)

L2Q+

5 (0,2)

v`a (cid:54) δ2, ∂Ω × (a, a + T ] ⊃ T ∗ 1 ∩ (cid:8)(x, t) ∈ ΩT : M|∇u|2 (cid:54) 1(cid:9) ∩ (cid:8)(x, t) ∈ ΩT : M|f |2 (cid:54) δ2(cid:9) (cid:54)= ∅, Q+ (cid:13) (cid:13) (cid:13)A − AQ+ (cid:13) 2 (cid:13) (cid:13)  

khi đó, ta có đánh giá

1 | ≤ (cid:15)|Q+ 1 |.

1 } ∩ Q+

(2.34) |{(x, t) ∈ ΩT : M|∇u|2(x, t) > N 2

1 sao cho

Chứng minh. Từ điều kiện (2.33), ta thấy rằng tồn tại điểm (x◦, t◦) ∈ Q+

C+

r (x◦,t◦)∩ΩT

(cid:90) (cid:90) |∇u|2 dxdt (cid:54) 1, (cid:107)f (cid:107)2 dxdt (cid:54) δ2, ∀r > 0. (2.35) 1 |Cr| 1 |Cr|

7 ∩ ΩT ⊂ C +

8 (x◦, t◦) ∩ ΩT , từ (2.35) ta có

5 (0, 2) ⊂ C + (cid:90)

Trong khi Q+

Q+

5 (0,2)

8 (x◦,t◦)∩ΩT

C+

8 (x◦,t◦)∩ΩT

C+ 1 |C8| (cid:19)n+2

(cid:90) |f |2dxdt (cid:54) |f |2 dxdt 1 |Q5| (cid:90) |f |2 dxdt =

(cid:54) δ2, 1 |Q5| |C8| |Q5| (cid:18) 8 5

Q+

5 (0,2)

như vậy ta có (cid:19)n+2 (cid:90) |f |2dxdt (cid:54) δ2. (2.36) (cid:18) 8 5 1 |Q5|

Tương tự, ta thấy rằng

Q+

5 (0,2)

(cid:19)n+2 (cid:90) |f |2dxdt (cid:54) . (2.37) (cid:18) 8 5 1 |Q5|

Khi đó, theo Hệ qủa 2.7, các điều kiện (2.36), (2.37) và (2.33),tồn tại nghiệm trơn v

của phương trình

4 (0, 2)

(cid:17) (cid:16) ∇v = 0 trong Q+ vt − div   AQ+

4 (0, 2)

v = 0 trên T ∗ 

sao cho

2(cid:19)

W 1.2

5 (0,2)

∗ (Q+

2 (0,2)) (cid:28) 1 với điều kiện

Q+

5 (0,2)

(cid:18) (cid:90) (cid:107)u − v(cid:107)2 |f |2 + dxdt (cid:28) 1. (cid:12) (cid:12) (cid:12)A − AQ+ (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(2.38)

Bây giờ ta có thể sử dụng đánh giá địa phương và

Q+

4 (0,2)

(cid:90) |v|2dxdt (cid:54) C 1 |Q4|

để thấy rằng tồn tại một hằng số N◦ sao cho

Q+

(2.39) |∇v|2 (cid:54) N 2 ◦ . sup 3 (0,2)

1 = max{4N 2

◦ , 2n+2} và yêu cầu

Bây giờ ta chọn N 2

1 : M(|∇u|2) > N 2

1 } ⊂ {(x, t) ∈ Q+

1 : M(|∇(u − v)|2) > N 2

0 }.

{(x, t) ∈ Q+ (2.40)

Để kiểm tra điều kiện này, ta giả sử

1 : M(|∇(u − v)|2) (cid:54) N 2

0 }.

3 (0, 2) và từ (2.39), (2.41), ta có

(2.41) (x1, t1) ∈ {(x, t) ∈ Q+

C+

Q+

r (x1,t1)

Cho r (cid:54) 2, C + r (x1; t1) ⊂ Q+ (cid:90) (cid:90) |∇u|2 dxdt (cid:54) (cid:0)|∇(u − v)|2 + |∇v|2(cid:1) dxdt 1 |Cr| 2 |Cr|

3 (0,2) ◦ + 2N 2 ◦

(cid:54) 2N 2

= 4N 2 ◦ .

2r(x◦, t◦) và từ (2.35), ta có

Cho r > 2, C +

r (x1; t1) ⊂ C + (cid:90)

C+

r (x1,t1)∩ΩT

(cid:90) |∇u|2 dxdt (cid:54) |∇u|2 dxdt 1 |Cr|

C+ 2r(x◦,t◦)∩ΩT (cid:90) 1 |C2r|

C+

2r(x◦,t◦)∩ΩT

|∇u|2 dxdt = 1 |Cr| |C2r| |Cr|

(cid:54) 2n+2.

Do vậy ta có

1 : M(|∇u|2) (cid:54) N 2

1 }.

(2.42) (x1, t1) ∈ {(x, t) ∈ Q+

Khi đó, khẳng định (2.40) được suy ra từ (2.39) và (2.42). Từ (2.40) và đánh giá 1 - 1

dẫn đến

1 } ∩ Q+

1 | (cid:54) |{M(|∇(u − v)|2) > N 2

◦ } ∩ Q+ 1 |

|{M(|∇u|2) > N 2

Q+

2 (0,2) (cid:54) C(cid:107)u − v(cid:107)2

W 1,2

∗ (Q+

2 (0,2)).

(cid:90) (cid:54) |∇(u − v)|2dxdt. C N 2 ◦

Cuối cùng từ đánh giá này và theo (2.38) ta có điều phải chứng minh.

9r(0, 2r2) ⊂ ΩT để ΩT ∩ Q9r(0, 2r2) = Q+

9r(0, 2r2) và

Từ bây giờ ta giả sử Q+

9r(0, 2r2).

u = 0 trên T +

9r(0, 2r2)) là một nghiệm yếu của

Hệ quả 2.9. Giả sử u ∈ H 1(Q+

9r(0, 2r2)

trong Q+ ut − div(A∇u) = divf  

9r(0, 2r2) T ∗

 u = 0 trˆen

với

9r(0,2r2)

Q+

9r(0,2r2)

(cid:90) (cid:54) δ2. (cid:12) (cid:12) (cid:12)A − AQ+ (cid:12) (cid:12) (cid:12) 1 |Q9r|

Khi đó ta luôn có tính chất sau:

1 } ∩ Cr| ≥ (cid:15)|C +

Nếu |{(x, t) ∈ Q+

9r(0, 2r2) : M(|∇u|2) > N 2 9r(0, 2r2) : M(|∇u|2) > 1} ∪ {(x, t) ∈ Q+

r |, thì 9r(0, 2r2) : M|f |2 > δ2}.

r ⊂ {(x, t) ∈ Q+

C +

Bổ đề 2.10. Nếu u là một nghiệm yếu của

9 (0, 2)

trong Q+ ut − div(A∇u) = divf  

 u = 0 trên T ∗ 9 (0, 2)

và giả thiết rằng điều kiện sau đây luôn thỏa mãn:

1 : M(|∇u|2)(x, t) > N 2

1 } với

mỗi (x, t) ∈ {(x, t) ∈ Q+

1 : M(|∇u|2)(x, t) > N 2

1 } ∩ Cr(x, t)| ≥ (cid:15)|Cr|

|{(x, t) ∈ Q+ (2.43)

thì ta có khẳng định sau

1 ⊂ {M|∇u|2 > 1} ∪ {M|f |2 > δ2}.

(2.44) Cr(x, t) ∩ Q+

1 sao cho

Chứng minh. Ta chứng minh bổ đề trên bằng phản chứng. Nếu Cr(x, t) thỏa mãn (2.43) và kết luận (2.44) sai, tồn tại một (x◦, t◦) ∈ Cr(x, t) ∩ Q+

Cρ(x◦,t◦)∩Q+

9 (0,2)

(cid:90) (cid:90) |∇u|2 dxdt (cid:54) 1, và (cid:107)f (cid:107)2 dxdt (cid:54) δ2, ∀ρ > 0. 1 |Cρ| 1 |Cρ|

1 . Bây giờ quan sát C +

9r(x, t) ⊂ C +

Nếu C9r(x, t) ∩ {xn = 0} = ∅, đây là một đánh giá bên trong (xem chương 9). Giả sử rằng (x(cid:48), 0, t) ∈ C9r(x, t)∩∂Q+ 11r(x◦, t◦) ⊂ C22r(x(cid:48), 0, t)

để thấy rằng

9 (0, 2) ⊃ C +

198r(x(cid:48), 0, t) ⊃ C +

22r(x(cid:48), 0, t) ⊃ Cr(x, t) ∩ Q+ 1 .

Q+

(cid:15) n+2 , ta có

22r(x(cid:48), 0, t) với (cid:15) thay bằng 22

Áp dụng Hệ quả 2.9 cho tâm parabolic C +

1 : M|∇u|2 > N 2 1

| (cid:8)(x, t) ∈ Q+ (cid:9) ∩ Cr(x, t)|

1 : M|∇u|2 > N 2 1

(cid:15)

n+2 |C22r|

(cid:54) | (cid:8)(x, y) ∈ Q+ (cid:9) ∩ C22r(x(cid:48), 0, t)|

< 22

= (cid:15)|Cr|,

điều này mâu thuẫn với (2.43). Vậy, bổ đề được chứng minh.

Bổ đề 2.11. Giả sử u là một nghiệm yếu của

9 (0, 2)

trong Q+ ut − div(A∇u) = divf   (2.45)  u = 0 trˆen T ∗ 9 (0, 2).

và giả thiết rằng điều kiện sau đây thỏa mãn

9 (0, 2) : M|∇u|2 > N 2

1 }| < (cid:15)|Q+ 1 |.

|{(x, t) ∈ Q+

1 : M|∇u|2 > N 2k

1 }|

Lấy k là một số nguyên dương và (cid:15)1 = 10n+2(cid:15).Khi đó ta có |{(x, t) ∈ Q+

1 : M|∇u|2 > 1(cid:9)(cid:12) (cid:12) .

k (cid:80) i=1

(cid:110) (cid:8)(x, t) ∈ Q+ (x, t) : M|f |2 > δ2N 2(k−1) ≤ (cid:12) (cid:12) (cid:15)i 1 (cid:111)(cid:12) (cid:12) (cid:12) + (cid:15)k (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Chứng minh. Ta chứng minh mệnh đề này bằng quy nạp. Rõ ràng mệnh đề này đúng

trong trường hợp k = 1 theo Hệ quả 2.9 và Định lý 2.1 với

1 : M(|∇u|2) > N 2

1 },

A = {(x, t) ∈ Q+

1 : M(|f |2) > δ2} ∪ {(x, t) ∈ Q+

1 : M(|∇u|2) > 1}.

B = {(x, t) ∈ Q+

. và tương ứng (cid:101)f = u N1 f N1

Giả sử kết luận đúng với k nguyên dương.Ta định nghĩa (cid:101)u = Khi đó (cid:101)u là nghiệm yếu của phương trình (2.45) trong Q9(0, 2) và thỏa mãn

1 }| < (cid:15)|Q+ 1 |.

9 (0, 2) : M(|∇(cid:101)u|2) > N 2

|{(x, t) ∈ Q+

Theo giả thiết quy nạp, ta có

k (cid:88)

(cid:12) (cid:12) (cid:9)(cid:12) (cid:12)

1 : M|∇(cid:101)u|2 > 1(cid:9)(cid:12) (cid:12) .

1 : M (cid:0)|∇(cid:101)u|2(cid:1) > N 2k (cid:8)(x, t) ∈ Q+ (cid:12) (cid:26) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)(cid:101)f (cid:12) (cid:12) (cid:12)

i=1

(cid:54) (x, t) : M (cid:8)(x, t) ∈ Q+ (cid:12) (cid:12) > δ2N 2(k−i) 1 (cid:15)i 1 + (cid:15)k 1 (cid:27)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Mặt khác,

2(cid:33)

1 : M

1 : M (cid:0)|∇(cid:101)u|2(cid:1) > N 2k

(cid:40) (cid:9)(cid:12) (cid:8)(x, t) ∈ Q+ (x, t) ∈ Q+ ∇ (cid:12) = (cid:12) (cid:12) > N 2k 1 (cid:32)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:41)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:110) (x, t) ∈ Q+ = u N1 1 : M (cid:0)|∇u|2(cid:1) > N 2(k+1) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:111)(cid:12) (cid:12) (cid:12)

và

k (cid:88)

1 : M|∇(cid:101)u|2 > 1(cid:9)(cid:12) (cid:12)

(cid:26) (cid:8)(x, t) ∈ Q+ (x, t) : M (cid:12) (cid:12) > δ2N 2(k−i) 1 + (cid:15)k 1 (cid:15)i 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)(cid:101)f (cid:12) (cid:27)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

i=1 k (cid:88)

(cid:40) (cid:40)

1 : M

= (x, t) : M ∇ (x, t) ∈ Q+ > 1 > δ2N 2(k−i) 1 (cid:15)i 1 + (cid:15)k 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) f N1 u N1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:41)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:41)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

i=1 k (cid:88)

1 : M|∇u|2 > N 2

(cid:110) = (x, t) : M|f |2 > δ2N 2(k+1−i) (cid:8)(x, t) ∈ Q+ (cid:9)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:15)i 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:111)(cid:12) (cid:12) + (cid:15)k (cid:12)

i=1 k (cid:88)

1 : M|f |2 > δ2N 2(k+1−i)

i=1

(cid:110) (cid:54) (x, t) ∈ Q+ (cid:15)i 1 (cid:111)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

1(cid:15)1

1 : M|∇u|2 > 1(cid:9)(cid:12) (cid:12)

(cid:9) + (cid:15)k (cid:8)(x, t) : M|f |2 > δ2(cid:9)(cid:12) (cid:8)(x, t) ∈ Q+ (cid:8)(cid:12) (cid:12) (cid:12) + (cid:12) (cid:12)

k+1 (cid:88)

1 : M|∇u|2 > 1(cid:9)(cid:12) (cid:12) ,

i=1

(cid:110) = (x, t) : M|f |2 > δ2N 2(k+1−i) (cid:8)(x, t) ∈ Q+ (cid:12) (cid:12) (cid:15)i 1 (cid:111)(cid:12) (cid:12) + (cid:15)k+1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

suy ra kết luận đúng với k + 1

Vậy theo phép quy nạp thì kết luận đúng với mọi giá trị nguyên dương k.

2.5. Kết quả chính quy nghiệm trên miền Lipschitz

Trong mục này, chúng ta sẽ nghiên cứu tính chính quy nghiệm của phương trình

parabolic trên miền Lipschitz. Trước hết ta sẽ nhắc lại hai khái niệm liên quan đến

miền Lipschitz ngay sau đây.

Định nghĩa 2.12 ([4]). Hàm u là hàm liên tục Lipschitz nếu

x,y∈Rn,x(cid:54)=y

Lip[u] = sup < ∞ |u(x) − u(y)| |x − y|

với một vài hằng số C.

Với một biên Lipschitz, chúng ta hiểu rằng biên là đồ thị địa phương của một hàm liên

tục Lipschitz. Ta chú ý rằng ∂Ω là biên Lipschitz nếu và chỉ nếu hàm liên tục Lipschitz

là cục bộ trong W 1,∞. Chính xác hơn ta sẽ sử dụng định nghĩa sau

Định nghĩa 2.13 ([4]). Biên Ω là (δ, r0) - Lipschitz nếu với mỗi x0 ∈ ∂Ω, tồn tại một hàm liên tục Lipschitz γ : Rn−1 −→ R với Lip[γ] ≤ δ

sao cho Ω ∩ Br0(x0) = {x = (x(cid:48), xn) ∈ Br0(x0) : xn > γ(x(cid:48))} trong vài hệ trục tọa độ.

Ta sẽ giả sử rằng r0 = 1 trong các chứng minh sau này vì δ là bất biến tỉ lệ.

Định lý 2.14 ([5]). Cho p là một số thực và (1 < p < ∞). Tồn tại một số dương

δ = δ(p) sao cho nếu u là nghiệm yếu của phương trình parabolic PDE (2.1), với [A]BM O ≤ δ và toán tử P là Parabolic đều và f ∈ Lp(ΩT ; Rn), miền Ω thỏa

∂Ω : (δ, 1) − Lipschitz;

∗ (ΩT ) và ta có đánh giá sau

thì u ∈ W 1,p

∗ (ΩT ) ≤ C(cid:107)f (cid:107)Lp(ΩT ),

(cid:107)u(cid:107)W 1,p

trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào u và f .

Chúng ta sẽ thiết lập đánh giá trên biên Lp cho gradient của nghiệm yếu u trong

1 = B+

1 × (−1, 0]; Sau đó, bằng tiêu chuẩn đếm gộp, phủ và làm bẹt góc, chúng ta

Q+

lấy đánh giá trên xung quanh biên. Với đánh giá trên đáy và góc của biên thì chúng

ta chỉ mở rộng các nghiệm bằng không. Chúng ta chỉ xét trường hợp p > 2. Trường

hợp 1 < p < 2 thì dễ dàng nghiên cứu bởi tính đối ngẫu của nó. Trường hợp p = 2

là trường hợp cơ bản. Chúng ta sẽ sử dụng bổ đề phủ Vitali và tập trung nghiên cứu

trên bài toán Dirichlet sau

ut − div(A∇u) = divf   trong Q∗ R (2.46)  u = 0 trên T ∗ R.

Định lý 2.15. Cho p là một số thực với 2 < p < ∞. Tồn tại một số dương δ = δ(p)

∗

sao cho nếu u ∈ W 1,2 là nghiệm yếu của phương trình parabolic

9 (0, 2)

trong Q+ ut − div(A∇u) = divf   (2.47)  u = 0 trên T ∗ 9 (0, 2).

9 (0, 2); Rn), miền Ω

với [A]BM O ≤ δ và toán tử P là parabolic đều và hàm f ∈ Lp(Q+

thỏa

∂Ω : (δ, 1) − Lipschitz;

thì ∇u ∈ Lp(Q+

1 ) và ta có đánh giá sau (cid:16) (cid:107)u(cid:107)L2Q+

9 (0,2)

9 (0,2) + (cid:107)f (cid:107)L2Q+

1 ) ≤ C

(cid:17) , (cid:107)∇u(cid:107)Lp(Q+

trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào u và f .

Chứng minh. Không mất tính tổng quát, giả sử rằng

9 (0, 2) : M (cid:0)|∇u|2(cid:1) > N 2

(cid:8)(x, t) ∈ Q+ (cid:12) (cid:12) (cid:12) < (cid:15) (cid:12) (cid:9)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)Q+ 1

bằng cách nhân phương trình P DE (2.47) cho một hằng số nhỏ.

2 (Q+

9 (0, 2)), M(|f |2) ∈ L

9 (0, 2)) vì đánh giá mạnh p − p. Khi đó

Trong khi f ∈ Lp(Q+

∞ (cid:88)

2 k

tồn tại một hằng số C phụ thuộc vào δ, p và N1 sao cho

2 p N 1

1 }| (cid:54) C(cid:107)f (cid:107)p

Lp(Q+

( (0,2)))

k=0

(cid:54) C, (2.48) |{(x, t) : M|f |2 > δ2N 2k

∞ (cid:88)

2 k

Ta tính

2 p N 1

1 : M|∇u|2 > N 2k

1 }|

k=1

k (cid:88)

∞ (cid:88)

2 k

|{(x, t) ∈ Q+

2 p N 1

1|{(x, t) ∈ Q+ (cid:15)i

1 : M|f |2 > δ2N 2(k−i)

i=1

k=1

∞ (cid:88)

2 k

(cid:54) }|

2 p N 1

1 : M|∇u|2 > 1}|

k=1

+ (cid:15)i 1|{(x, t) ∈ Q+

∞ (cid:88)

2 k

2 p N 1

1|{(x, t) ∈ Q+ (cid:15)i

1 : M|f |2 > δ2N 2(k−i)

i=1

k=1

∞ (cid:88)

2 k

(cid:32) k (cid:33) (cid:88) }| =

2 p N 1

1 : M|∇u|2 > 1}|

k=0

+ (cid:15)k 1|{(x, t) ∈ Q+

∞ (cid:88)

2 (k−i)

2 p N 1

1 (cid:15)1)i

i=1

k=i

∞ (cid:88)

(cid:33) (cid:32) ∞ (cid:88) }| |{(x, t) : M|f |2 > δ2N 2(k−i) = (N p

1 (cid:15)1)i (cid:0)|{(x, t) ∈ Q+

1 : M|∇u|2 > 1}|(cid:1)

k=1 ∞ (cid:88)

+ (N p

1 (cid:15)1)i < ∞,

k=1

1 (cid:15)1 < 1. Khi

(cid:54) C (N p

2 (Q+

9 (0, 2)).

đến đây ta sử dụng Bổ đề 2.11, và giả thiết (2.48) và chọn (cid:15)1 sao cho N p đó, từ đánh giá này suy ra M|∇u|2 ∈ L

9 (0, 2)).

Do đó ∇u ∈ Lp(Q+

Định lý 2.16. Cho p là một số thực với 1 < p < ∞. Tồn tại một số dương nhỏ

δ = δ(p) sao cho với [A]BM O ≤ δ và P là toán tử parabolic đều,

9 (0, 2); Rn),

với miền Ω thỏa ∂Ω : (δ, 1) − Lipschitz; và với mọi hàm f ∈ Lp(Q+

nếu u là nghiệm yếu của phương trình parabolic PDE

9 (0, 2)

trong Q+ ut − div(A∇u) = divf   (2.49)  u = 0 trên T ∗ 9 (0, 2),

1 ) và ta có bất đẳng thức sau

thì ∇u ∈ Lp(Q+

∗ (Q+

9 (0,2)

9 (0,2) + (cid:107)f (cid:107)L2Q+

1 ) ≤ C

(cid:17) (cid:16) . (cid:107)u(cid:107)L2Q+ (cid:107)u(cid:107)W 1,p

Chứng minh. Kết quả trong trường hợp p = 2 là cổ điền và trường hợp 1 < p < 2

có thể được suy ra từ tính đối ngẫu nên ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp p > 2.

Theo Định nghĩa 2.2 và Định lý 2.15, ta có đánh giá sau

9 (0,2))

(cid:17) (cid:16) (cid:107)u(cid:107)Lp(Q+ (cid:107)u(cid:107)W 1,p ∗ (Q+ 1 ) (cid:54) (cid:107)u(cid:107)Lp(Q+ 1 ) + (cid:107)∇u(cid:107)Lp(Q1) + (cid:107)A∇u + f (cid:107)Lp(Q+ 1 ) (cid:54) (cid:107)u(cid:107)Lp(Q+ 1 ) + C

1 )(cid:107)∇u(cid:107)Lp(Q+

9 (0,2)) + (cid:107)f (cid:107)Lp(Q+ 1 ) + 2(cid:107)f (cid:107)p Lp(Q+ 1 ) (cid:17)

+ 2(cid:107)A(cid:107)L∞(Q+

9 (0,2)) + (cid:107)f (cid:107)Lp(Q+

9 (0,2))

(cid:16) . (cid:54) C (cid:107)u(cid:107)Lp(Q+

Vậy, định lý được chứng minh.

Chương 3

Phương trình với hệ số BMO trên

miền Reifenberg

∗ (1 < p < ∞) của phương trình parabolic tuyến tính dạng divergence với điều

Chương này chúng ta sẽ nghiên cứu tính chính quy nghiệm toàn cục trên không gian

W 1,p kiện biên Dirichlet trong một miền mở bị chặn ΩT ⊂ Rn × (0, T ] như sau

ut − div(A(x, t)∇u) = divf trong ΩT ,   (3.1)  u = 0 trên ∂pΩT .

Chúng tôi khảo sát bài toán trên với giả thiết rằng các hệ số có nửa chuẩn BMO nhỏ

và Ω là một miền (δ, R)−Reifenberg. Chú ý rằng miền Ω thỏa (δ, R)−Reifenberg là

tổng quát hơn so với biên Lipschitz được khảo sát ở chương trước. Chứng minh định

lý chính được chia thành các bước như ở hai chương trước đó.

3.1. Bổ đề phủ Vitali

Định lý 3.1 ([10]). Cho 0 < (cid:15) < 1 và A ⊂ B ⊂ ΩT là hai tập đo được. Giả thiết rằng

∂Ω là (δ, 1)− Reifenberg và

(3.2) |A| < (cid:15)|C1|.

Giả thiết rằng tính chất sau đây thỏa mãn:

(3.3) mọi (x, t) ∈ ΩT , ∀r ∈ (0, 1] với |A ∩ Cr(x, t)| (cid:62) (cid:15)|Cr(x, t)|, Cr(x, t) ∩ ΩT ⊂ B.

Khi đó ta có đánh giá sau

(cid:19)n+2 |A| (cid:54) ∈ |B|. (3.4) (cid:18) 10 1 − δ

Chứng minh.

Từ giả thiết (3.2), với mọi (x, t) ∈ A hầu khắc nơi, tồn tại một số dương nhỏ r(x,t) đủ

nhỏ, sao cho

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)A ∩ Cr(x,t)(x, t) (cid:12) = (cid:15) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)Cr(x,t)(x, t) (cid:12) , (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)A ∩ Cr(x,t)(x, t) (cid:12) < (cid:15)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) , ∀r(x,t) (cid:54) r < 1. (cid:12) (cid:12) (cid:12)Cr(x,t)(x, t) (3.5)

(cid:110) (cid:111) là một phủ mở của A, theo bổ đề phủ Vitali’s, Cr(x,t)(x, t) ∩ A : (x, t) ∈ A

i=1 sao cho

Trong khi tồn tại một dãy rời nhau {Cri(xi, ti) ∩ A : (xi, ti) ∈ A}∞

(cid:91) A ⊂ (3.6) C5ri(xi, ti) và |A| (cid:54) 5n+2 (cid:88) |Cri|.

Khi đó, từ (3.5), ta thấy rằng

(3.7) |A ∩ C5ri(xi, ti)| < (cid:15)|C5ri(xi, ti)| = 5n+2(cid:15)|Cri(xi, ti)| = 5n+2|A ∩ Cri(xi, ti)|.

Quan sát rằng δ (cid:28) 1 và ta sẽ yêu cầu rằng

(cid:19)n+2 (cid:18) 2 (cid:54) . (3.8) 1 − δ sup 0

Để thực hiện được điều này, ta chọn r ∈ (0, 1] và (x, t) ∈ ΩT . Trong trường hợp đó dist[(x, t), ∂ΩT ] (cid:62) r từ cơ sở là Cr(c, t) ⊂ ΩT . Do vậy, giả sử rằng

dist[(x, t), ∂ΩT ] > r. Khi đó tồn tại (y, τ ) ∈ ∂pΩT sao cho

dist[(x, t), ∂ΩT ] = dist[(x, t), (y, τ )] < r

Khi ∂Ω là (δ, 1)- miền phẳng Reifenberg, không mất tính tổng quát, ta giả sử

Cr(x, t) ∩ {xn > δ} ⊂ Cr(x, t) ∩ Ω ⊂ Cr(x, t) ∩ {xn > −δ}

trong một số hệ tọa độ phù hợp mà y = 0. Khi đó từ cơ sở hình học và một phép tính

toán đơn giản, ta thấy rằng

(cid:19)n+2 (cid:18) 2 (cid:54) (cid:54) , 1 − δ |Cr(x, t)| |Cr(x, t) ∩ ΩT | |Cr(x, t)| |Cr(x, t) ∩ {xn > δ}|

từ điều này dẫn đến biểu thức (3.8). Cuối cùng, từ (3.6), (3.7),(3.8) và (3.3) , ta có

(cid:91) |A| = (B5ri(xi, ti) ∩ A) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

i (cid:88)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:54) (cid:88) |C5ri(xi, ti) ∩ A|

< (cid:15) |C5ri(xi, ti)|

(cid:88) = 5n+2(cid:15) |Cri(xi, ti)|

i (cid:18) 2

(cid:19)n+2 (cid:88) (cid:54) 5n+2(cid:15) |Cri(xi, ti) ∩ Ω| 1 − δ

(cid:19)n+2 (cid:91) (cid:15) = (cid:12) (cid:12) (cid:12) (Cri(xi, ti) ∩ Ω) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:19)n+2 (cid:54) (cid:15)|B|, (cid:18) 10 1 − δ (cid:18) 10 1 − δ

Vậy, định lý được chứng minh.

3.2. Các đánh giá địa phương

Định nghĩa 3.2 ([10]). Ta nói rằng ∂Ω là (δ, R)- Reifenberg (miền phẳng) nếu với

mỗi x ∈ ∂Ω và mỗi r ∈ (0, R], tồn tại một mặt (n − 1) chiều L(x, r) sao cho

D(∂Ω ∩ Br(x), L(x, r)) (cid:54) rδ,

trong đó, D là khoảng cách Hausdorff ; Tức là

D(A, B) = sup{dist(a, B) : a ∈ A} + sup{dist(b, A) : b ∈ B}.

∗ (ΩT ) là một nghiệm yếu của phương

Định nghĩa 3.3 ([11]). Ta nói rằng u ∈ W 1,2

trình (3.1) nếu

0 (ΩT ).

ΩT

(cid:90) (cid:90) (cid:90) A∇u.∇ϕdxdt = f.∇ϕdxdt, ∀ϕ ∈ C ∞ uϕtdxdt−

Sau đây là sự tồn tại và sự duy nhất của nghiệm yếu này.

Bổ đề 3.4 ([11]). Tồn tại duy nhất một nghiệm yếu của (3.1). Ta sẽ tập trung nghiên

R và đối với một nghiệm yếu của

cứu trên miềm Ω∗

ut − div(A∇u) = divf   trong Ω∗ R (3.9)  u = 0 trên ∂ωΩ∗ R.

∗ (Ω∗

R) là một nghiệm yếu của (3.9) nếu

Định nghĩa 3.5 ([10]). Ta nói u ∈ W 1,2

0 (Ω∗

R).

Ω∗ R

(cid:90) (cid:90) (cid:90) A∇u.∇ϕdxdt = f.∇ϕdxdt, ∀ϕ ∈ C ∞ uϕtdxdt−

Bổ đề sau cho thấy gradient của nghiệm u là biên địa phương trong không gian L2.

2) là một nghiệm yếu của (3.9). Khi đó ta có

∗ (Ω∗

Bổ đề 3.6. Giả thiết rằng u ∈ W 1,2

Ω∗ 1

Ω∗ 2

(cid:33) (cid:90) (cid:32)(cid:90) . |∇u|2dxdt (cid:54) C (|f |2 + |u|2)dxdt

Chứng minh. Trước hết ta sẽ chứng minh bất đẳng thức trên cho trường hợp u là

một hàm trơn. Xét hàm chặt cụt (cut-off function) η = η(x, t) thỏa mãn

0 (cid:54) η (cid:54) 1, η ≡ 1 trên Q1,   (3.10)  η = 0 gần ∂pQ2.

Ta nhân hai vế phương trình (3.9) cho η2u. Sau đó lấy tích phân trên Ω2. Áp dụng

công thức tích phân từng phần, ta thu được

Ω2

(cid:90) (cid:90) (cid:90) A∇u.∇(η2u)dx = − f .∇(η2u)dx. ut(η2u)dx +

Ta viết lại biểu thức trên dưới dạng

I1 + I2 = I3 + I4,

Ω2

trong đó (cid:90) dx, I1 = η2 |u|2 2 d dt (cid:90) η2(A∇u.∇u)dx, I2 =

Ω2

Ω2 (cid:90)

(cid:90) (cid:90) ηu(A∇u.∇η)dx, ηηt|u|2dx − 2 I3 =

Ω2

f .∇(η2u)dx. I4 = −

Ta lần lượt đánh giá các số hạng I2, I3 và I4 như sau:

Ω2

(cid:90) η2(A∇u.∇u)dx I2 =

Ω2

(cid:90) ≥ Λ−1 η2|∇u|2dx.

Ω2

(cid:90) (cid:90) ηu(A∇u.∇η)dx I3 = ηηt|u|2dx − 2

Ω2

(cid:18) (cid:19) (cid:90) (cid:90) ≤ C 1 + |u|2dx + Cτ η2|∇u|2dx. 1 τ

Ω2

(cid:90) f .∇(η2u)dx I4 = −

Ω2

(cid:90) = − (cid:2)(f .∇u)η2 + 2(f .∇η)ηu(cid:3) dx

Ω2

(cid:90) (cid:90) (cid:90) ≤ τ η2|∇u|2dx + |f |2dx + C (cid:0)|u|2 + |f |2(cid:1) dx

Ω2

(cid:18) (cid:19) (cid:90) (cid:90) 1 4τ (cid:90) |f |2dx ≤ τ η2|∇u|2dx + C |u|2dx + C 1 + 1 τ

Từ đó suy ra

Ω2

(cid:90) (cid:90) dx + Λ−1 η2|∇u|2dx. I1 + I2 ≥ d dt η2 |u|2 2

Ω2

và (cid:18) (cid:19) (cid:90) (cid:90) |u|2dx + Cτ η2|∇u|2dx 1 + I3 + I4 ≤ C 1 τ (cid:18) (cid:19) (cid:90) (cid:90) (cid:90) 1 + |u|2dx + C |f |2dx η2|∇u|2dx + C + τ 1 τ (cid:18) (cid:19) (cid:90) (cid:90) ≤ C 1 + (cid:0)|u|2 + |f |2(cid:1) dx + Cτ η2|∇u|2dx. 1 τ

Do I1 + I2 = I3 + I4 nêu dẫn đến

Ω2

(cid:18) (cid:90) (cid:90) (cid:19) (cid:90) (cid:90) dx+Λ−1 η2|∇u|2dx ≤ C 1 + (cid:0)|u|2 + |f |2(cid:1) dx+Cτ η2|∇u|2dx d dt η2 |u|2 2 1 τ

đến đây ta chọn τ đủ nhỏ để có được

Ω2

(cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:0)|u|2 + |f |2(cid:1) dx. dx + C1 η2|∇u|2dx ≤ C2 d dt η2 |u|2 2

Lấy tích phân theo biến thời gian từ −1 đến 0 và chú ý (3.10) ta có

Ω∗ 1

Ω∗ 2

(cid:90) (cid:90) |∇u|2dxdt ≤ C (cid:0)|u|2 + |f |2(cid:1) dxdt.

Đến đây, trở lại trường hợp tổng quát khi u là nghiệm yếu của phương trình (3.1) trong

2, tồn tại một dãy hàm trơn hội tụ về u. Các hàm trơn này thỏa mãn bất đẳng thức

Ω∗

trên nên ta suy ra được nghiệm yếu u cũng thỏa mãn.

Vậy, bổ đề được chứng minh xong.

Bổ đề 3.7. Cho u là nghiệm yếu của phương trình parabolic PDE

ut − div(A∇u) = divf   trong Ω∗ 2

 u = 0 trên ∂ωΩ∗ 2

L2(Ω∗

W 1,2

2) + (cid:107)f (cid:107)2

L2(Ω∗ 2)

∗ (Ω∗ 1)

Khi đó ta có (cid:17) (cid:16) . (cid:107)u(cid:107)2 (cid:54) C (cid:107)u(cid:107)2

Chứng minh. Theo Định nghĩa (1.3) và bổ đề trước, ta có đánh giá sau

W 1,2

L2(Ω∗

∗ (Ω∗

L2(Ω∗

L∞(Ω∗

1) L2(Ω∗

1) + 2 (cid:107)f (cid:107)2

L2(Ω∗ 1) 1) (cid:107)∇u(cid:107)2

1) = (cid:107)u(cid:107)2 ≤ (cid:107)u(cid:107)2 (cid:16)

(cid:107)u(cid:107)2

1) + (cid:107)A∇u + f (cid:107)2 1) + 2 (cid:107)A(cid:107)2 (cid:17) .

L2(Ω∗

1) + (cid:107)∇u(cid:107)2 1) + (cid:107)∇u(cid:107)2 2) + (cid:107)f (cid:107)2

2) L2(Ω∗

≤ C (cid:107)u(cid:107)2

Vậy bổ đề được chứng minh.

Bổ đề 3.8. Cho u là nghiệm yếu của

ut − div(A∇u) = divf   trong Ω∗ 1

 u = 0 trên ∂ωΩ∗ 1

Khi đó tồn tại hằng số C phụ thuộc vào chiều không gian sao cho

L2(Ω∗

L2(Ω∗ 1)

1) + (cid:107)f (cid:107)2

L2(Ω∗ 1)

(cid:16) (cid:17) (cid:107)u(cid:107)2 (cid:54) C (cid:107)u(cid:107)2 .

Chứng minh. Chúng ta chứng minh bổ đề trên bằng phản chứng. Giả sử rằng, tồn

k=1, {uk}∞

k=1, {fk}∞

k=1 sao cho uk là một nghiệm yếu của phương trình

tại các dãy {Ak}∞

(uk)t − div(Ak∇uk) = divfk   trong Ω∗ 1 (3.11)

= 0  uk trên ∂ωΩ∗ 1

với

L2(Ω∗

L2(Ω∗ 1)

1) + (cid:107)fk(cid:107)2

L2(Ω∗ 1)

(cid:17) (cid:16) . (cid:62) k (cid:107)uk(cid:107)2 (cid:107)∇uk(cid:107)2

1) = 1, và ta có

Ta có thể chuẩn hóa sao cho (cid:107)uk(cid:107)L2(Ω∗

L2(Ω∗

W 1,2

1) + (cid:107)∇uk(cid:107)2

1) + (cid:107)fk(cid:107)2

L2(Ω∗ 1)

∗ (Ω∗ 1)

(cid:17) (cid:16) (cid:54) C (cid:107)uk(cid:107)2

L2(Ω∗ (cid:19)

(cid:107)uk(cid:107)2 (cid:18) (cid:54) C 1 + 1 k

(cid:54) C

và

L2(Ω∗

1) + (cid:107)fk(cid:107)2

1) ≤

−→ 0 khi k −→ +∞. (3.12) (cid:107)∇uk(cid:107)2 1 k

Lấy u◦ là giới hạn yếu của dãy {uk}. Khi đó ta có

1) = 1(cid:1)

 , uk −→ u◦ (cid:0)với (cid:107)u◦(cid:107)L2(Ω∗ trong L2 Ω∗ 1

(3.13) , ∇uk (cid:42) ∇u◦(= 0) trong L2 Ω∗ 1

∗ Ω∗ 1.

trong W 1,2 uk (cid:42) u◦  

Bây giờ ta cần chứng minh rằng u◦ là nghiệm yếu của phương trình

  (u◦)t = 0 trong Ω∗ 1 (3.14)

 u◦ = 0 trên ∂ωΩ∗ 1.

1). Khi đó theo (3.11) ta được

0 (Ω∗

Để làm điều này, ta chọn bất kỳ hàm ϕ ∈ C ∞

Ω∗ 1

(cid:90) (cid:90) (cid:90) (3.15) fk.∇ϕtdxdt. Ak∇uk.∇ϕtdxdt = ukϕtdxdt −

Cho k −→ ∞ ta được

Ω∗ 1

(cid:90) u◦ϕtdxdt = 0,

điều này cho thấy biểu thức (3.14) là thỏa mãn.

Khi đó theo điều kiện (3.14) và (3.13) ta suy ra u◦ = 0, điều này mâu thuẫn.

Vậy, bổ đề được chứng minh.

3.3. Các đánh giá so sánh

Bổ đề 3.9. Với (cid:15) > 0 bất kỳ, tồn tại δ = δ((cid:15)) > 0 sao cho với bất kỳ nghiệm yếu của

ut − div(A∇u) = divf   trong Ω∗ 5

 u = 0 trên ∂ωΩ∗ 5

thỏa mãn các điều kiện

Ω∗ 5

(B5 ∩ {xn > −δ}) ⊃ Ω5 ⊃ B+ 5 , (cid:90) (cid:90) (3.16) |∇u|2 (cid:54) 1 và |2(cid:1) (cid:54) δ2, (cid:0)|f |2 + |A − AΩ∗    1 |Q5| 1 |Q5|

khi đó, tồn tại ma trận hằng số (cid:101)A với |AΩ∗ − (cid:101)A| (cid:54) (cid:15) và nghiệm trơn v tương ứng của

vt − div( (cid:101)A∇v) = 0   trong Q+ 4

 v = 0 trên T ∗ 4

sao cho, ta có đánh giá sau

Q+ 4

(cid:90) |u − v|2dxdt (cid:54) (cid:15)2. (3.17)

Chứng minh. Chúng ta chứng minh bằng phản chứng.

k=1, {uk}∞

k=1 và {fk}∞

k=1 sao cho uk là một nghiệm

Giả sử rằng, tồn tại (cid:15)◦ > 0, {Ak}∞

yếu của phương trình

(uk)t − div(Ak∇uk) = divfk   trong Ωk∗ 5 (3.18)

= 0  uk trên ∂ωΩk∗ 5

và thỏa mãn điều kiện

2(cid:19)

1 |Q5|

5 ⊃ B+ 5 , (cid:12) (cid:12) (cid:12)Ak − AkΩk∗

Ωk∗ 5

k }) ⊃ Ωk (cid:18) (cid:82) Ωk∗ 5

(B5 ∩ {xn > − 1 (3.19) (cid:82) |∇uk|2dxdt (cid:54) 1 và |fk|2 + dxdt (cid:54) 1 k2 . (cid:12) (cid:12) (cid:12)   

Q+ 4

Nhưng, (cid:90) (3.20) |uk − v|2dxdt > (cid:15)2 ◦

cho bất kỳ ma trận hằng số A nào thỏa (cid:12) (cid:12) (cid:12)AkΩk∗ (cid:12) (cid:12) (cid:12) và nghiệm v tương ứng của phương − (cid:101)A

trình

  vt − div( (cid:101)A∇v) = 0 trong Q+ 4 (3.21)

v  = 0 trên T ∗ 4 .

4 ).

k=1 là biên trong W 1,2

∗ (Q+ Do đó, tồn tại dãy con mà ta cũng kí hiệu là {uk}, sao cho

Từ các Bổ đề 3.7, Bổ đề 3.8, {uk}∞

∗ (Q+

4 )) và uk −→ u◦

4 ).

(3.22) trong L2(Q+ uk (cid:42) u◦ trong L2(W 1,2

}, sao cho Khi {AkQ+ }∞ k=1 là biên, tồn tại dãy con mà ta cũng kí hiệu là {AkQ+

(3.23) → A◦ khi k → ∞. AkQ+

Nhưng khi đó, từ (3.23) và (3.19), ta có

4 ).

(3.24) trong L2(Q+ Ak → A◦

Bây giờ, ta sẽ chỉ ra rằng u◦ là nghiệm yếu của

(3.25) (u◦)t − div(A◦∇u◦) = 0 trong Q+ 4 với u◦ = 0 trên T ∗ 4 .

4 ) và mở rộng ϕ = 0 bên ngoài

◦ (Q+

Để làm được điều này, ta cố định bất kỳ ϕ ∈ C ∞

4 . Từ (3.18), ta có

Q+

Ωk∗ 4 (cid:90)

(cid:90) (cid:90) Ak∇uk · ∇ϕ dxdt (uk)ϕt dxdt −

Ωk∗ 5

= Ak∇uk · ∇ϕ dxdt (uk)ϕt dxdt +

Ωk∗ 5

(cid:90) = fk · ∇ϕ dxdt

Ωk∗ 4

(cid:90) = fk · ∇ϕ dxdt.

Vậy, tóm lại ta có

Ωk∗ 4

(cid:90) (cid:90) (cid:90) (3.26) (uk)ϕt dxdt − Ak∇uk · ∇ϕ dxdt = fk · ∇ϕ dxdt.

4 ) với Q+

4 ⊂ Ω∗

4 và cho k −→ ∞, khi đó từ (3.26) ta thu được

◦ (Q+ (cid:90)

Chú ý rằng ϕ ∈ C ∞

Ωk∗ 4

(cid:90) (3.27) (uk)ϕt dxdt − Ak∇uk · ∇ϕ dxdt = 0.

Bây giờ, cố định bất kỳ một số dương nhỏ θ và τ ∈ (−16, 0], lấy x(cid:48) ∈ T4 = B4∩{xn = 0},

k . Chú ý rằng

Đặt s◦ = min{α : ∂Ω4 ∩ {x(cid:48), θ − s} (cid:54)= ∅}. Khi đó 0 < s◦ < θ + 1

5} trong H 1(B5).

uk(·, τ ) ∈ {ω ∈ C ∞(B5) : ω = 0 trên Ωk

Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng

uk(·, τ ) ∈ C 1(B5)vuk(x(cid:48), θ − s◦, τ ) = 0.

Khi đó, ta có

|uk(x(cid:48), θ − s◦, τ )|

= |uk(x(cid:48), θ, τ ) − uk(x(cid:48), θ − s◦, τ )|

0 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:90) 1 = uk(x(cid:48), θ − (1 − s)s◦, τ )ds (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) d ds (cid:90) 1 = s◦ (cid:12) (cid:12) uk(x(cid:48), θ − (1 − s)s◦, τ )ds (cid:12) (cid:12) (cid:18) = θ + |∇uk(x(cid:48), θ − (1 − s)s◦, τ )|ds, ∂ ∂xn (cid:19) (cid:90) 1 1 k

vì vậy,

(cid:18) (cid:19) (cid:90) 1 θ2 + |∇uk(x(cid:48), θ − (1 − s)s◦, τ )|2ds. |uk(x(cid:48), θ − s◦, τ )|2 (cid:54) 2 1 k2

4 = T4(−16, 0] ta được

Lấy tích phân trên T ∗

(cid:90) |uk(x(cid:48), θ − s◦, τ )|2dx(cid:48)dτ

T ∗ 4 (cid:90)

(cid:18) (cid:18) (cid:19) (cid:19) (cid:90) 1 2 θ2 + = dx(cid:48)dτ |∇uk(x(cid:48), θ − (1 − s)s◦, τ )|2ds

T ∗ 4 (cid:18)

(cid:19) 1 k2 (cid:19) (cid:90) 1 (cid:18)(cid:90) = 2 θ2 + ds |∇uk(x(cid:48), θ − (1 − s)s◦, τ )|2dx(cid:48)dτ

0 (cid:19) (cid:90)

Ωk∗ 4

(cid:18) (cid:54) 2 θ2 + |∇uk|2dxdt 1 k2 1 k2 (cid:18) (cid:19) (cid:54) C θ2 + . 1 k2

Cho k −→ ∞ và θ −→ 0 ta được

T ∗ 4

(cid:90) |uk(x(cid:48), 0, τ )|2dx(cid:48)dτ = 0,

điều này kéo theo

(3.28) u◦ = 0 trên T ∗ 4 .

Từ (3.27) và (3.28) suy ra (3.25). Cuối cùng ta có một mâu thuẫn với (3.20) bởi

(cid:101)A = A◦, v = u◦ và k đủ lớn.

Vậy, bổ đề được chứng minh.

Hệ quả 3.10. Với (cid:15) > 0 bất kỳ, tồn tại δ = δ((cid:15)) > 0 sao cho với bất kỳ nghiệm yếu

của

ut − div(A∇u) = divf   trong Ω∗ 5

 u = 0 trên ∂ωΩ∗ 5

thỏa mãn các điều kiện

Ω∗ 5

  (B5 ∩ {xn > −δ}) ⊃ Ω5 ⊃ B+ 5 , (cid:90) (cid:90) (3.29) |2(cid:1) (cid:54) δ2, |∇u|2 (cid:54) 1 và (cid:0)|f |2 + |A − AΩ∗  1 |Q5| 1 |Q5|

khi đó, tồn tại ma trận hằng số (cid:101)A thỏa |AΩ∗ − (cid:101)A| (cid:54) (cid:15) và nghiệm trơn v tương ứng của

vt − div( (cid:101)A∇v) = 0   trong Q+ 4

 v = 0 trên T ∗ 4

sao cho ta có đánh giá sau

W 1,2

∗ (Ω∗ 2)

(cid:107)u − V (cid:107)2 (cid:54) (cid:15)2, (3.30)

4 tới Ω∗ 4.

trong đó V là phần mở rộng bằng không của v được xác định trong Q+

Chứng minh.

(cid:54) (cid:15) và Từ Bổ đề 3.9 và giả thiết (3.29), tồn tại một ma trận hằng số (cid:101)A với (cid:12) (cid:12) (cid:12)AΩk∗ (cid:12) (cid:12) − (cid:101)A (cid:12)

một nghiệm trơn tương ứng v của phương trình

vt − div( (cid:101)A∇v) = 0   trong Q+ 4

 = 0 trên v T ∗ 4

sao cho

Q+ 4

(cid:90) |u − v|2 (cid:28) 1 (3.31)

với điều kiện

Ω∗ 5

(cid:90) (|f|2 + |A − AΩ∗ |2)dxdt + D(∂ωΩ5, T5) (cid:28) 1. 1 Q5

Trước hết, ta quan sát rằng V là nghiệm yếu của phương trình

(cid:18) (cid:19) (cid:16) (cid:17) = − (x, t) Vt − div (cid:101)A∇V (x(cid:48), 0, t)χQ+

(cid:19) = (x, t) trong Ω∗ 4, (x(cid:48), 0, t)χQ− (cid:102)ann ∂ ∂xn (cid:18) ∂ ∂xn ∂v (cid:102)ann ∂xn ∂v ∂xn

i,j=1 = (cid:101)A. Giờ ta đặt ω = u − V để thực hiện phép tính sau

trong đó {(cid:102)aij}∞

ωt − div(A∇ω) = (u − V )t − div(A∇(u − V ))

= ut − div(A∇u) − (Vt − div(A∇V ))

(cid:16) (cid:16) (cid:17) = div f + ∇V − (Vt − div( (cid:101)A∇V ))

(cid:18) (cid:19) (cid:16) (cid:16) (cid:17) = div f + ∇V − (x, t) . (cid:17) A − (cid:101)A (cid:17) A − (cid:101)A (x(cid:48), 0, t)χQ− (cid:102)ann ∂ ∂xn ∂v ∂xn

Như vậy, ω là một nghiệm yếu của phương trình

(cid:19) (cid:18) (cid:16) (cid:16) (cid:17) (x, t) f + ∇V − ωt − div(A∇ω) = div (cid:17) A − (cid:101)A (x(cid:48), 0, t)χQ− (cid:102)ann ∂ ∂xn ∂v ∂xn

4 với ω = 0 trên ∂ωΩ∗

4. Khi đó, theo Bổ đề 3.7, ta có (cid:16)

trong Ω∗

L2(Ω∗

W 1,2

3) + (cid:107)f + (A − (cid:101)A)∇V (cid:107)2

∗ (Ω∗ 2)

(cid:17) (cid:107)ω(cid:107)2 (cid:54) C (cid:107)ω(cid:107)2

L2(Ω∗ 3) (cid:19)

L2(Ω∗ 4)

L2(Ω∗

5) + δ

4) + (cid:107)f (cid:107)2

5) + (cid:107)A − (cid:101)A(cid:107)L2(Ω∗

(cid:18) + C (x, t)(cid:107)2 (x(cid:48), 0, t)χQ− (cid:107) (cid:102)ann ∂v ∂xn (cid:16) (cid:17) (cid:54) C (cid:107)ω(cid:107)2 .

Tóm lại, ta có

L2(Ω∗

5) + δ

W 1,2

4) + (cid:107)f (cid:107)2

5) + (cid:107)A − (cid:101)A(cid:107)L2(Ω∗

∗ (Ω∗ 2)

(cid:16) (cid:17) (cid:107)ω(cid:107)2 (cid:54) C (cid:107)ω(cid:107)2 . (3.32)

Ta có

W 1,2

∗ (Ω∗

3) =

Ω∗

Q+ 3

3\Q+

(cid:90) (cid:90) |ω|2dxdt (cid:107)ω(cid:107)2 |ω|2dxdt +

Q+ 3

(cid:90) (cid:90) |u − v|2dxdt |ω|2dxdt + =

3\Q+ (cid:32)(cid:90)

Ω∗ (cid:90) 0

−9

(cid:33) (cid:90) (cid:54) |u(x, t)|2dx dt + |u − v|2dxdt

Q+ 3 (cid:35) n−2

Ω3\B+ 3 (cid:34)(cid:90)

2 (cid:34)(cid:90)

n−2 dx

n 2 dx

−9

Ω3\B+ 3

  (cid:35) 2 (cid:90) 0 (cid:54) (cid:0)|u(x, t)|2(cid:1) n (1)   dt

Q+ 3

(cid:90) + |u − v|2dxdt

2 n

n−2 dx

−9

Ω3\B+ 3

Q+ 3

  (cid:35) n−2 (cid:90) 0 (cid:34)(cid:90) (cid:90) (cid:54) δ (cid:0)|∇u(x, t)|2(cid:1) n |u − v|2dxdt   dt +

n +

Q+ 3

(cid:90) |u − v|2dxdt, (cid:54) Cδ

5 . Khi đó, từ đánh giá này và (2.31) suy ra

trong đó ta đã sử dụng bất đẳng thức H¨older’s, bất đẳng thức Sobolev và (B5 ∩ {xn > −δ}) ⊃ Ω5 ⊃ B+

2 n +

L2(Ω∗

5) + δ.

W 1,2

5) + (cid:107)A − (cid:101)A(cid:107)L2(Ω∗

∗ (Ω∗ 2)

Q+ 4

(cid:90) (3.33) |u − v|2 + (cid:107)f (cid:107)2 (cid:107)u − v(cid:107)2 (cid:54) Cδ

Cuối cùng,kết hợp (3.33),(3.31), (3.29) ta suy ra kết luận (3.30).

Vậy, hệ quả được chứng minh.

3.4. Bất đẳng thức dạng “level sets”

Bổ đề 3.11. Tồn tại hằng số N1 sao cho với (cid:15) > 0 bất kỳ, δ = δ((cid:15)) > 0 và nếu u là

nghiệm yếu của

ut − div(A∇u) = divf trong ΩT

với hai giả thiết sau thỏa mãn

(3.34) B7 ∩ {xn > −δ} ⊃ Ω ⊃ B+ 7

và

5 (0, 2), (cid:107)A − AΩ∗

L2(Ω∗

5(0,2))

5(0,2)(cid:107)2 1 ∩ {(x, t) ∈ ΩT : M|∇u|2 (cid:54) 1} ∩ {(x, t) ∈ ΩT : M|f |2 (cid:54) δ2} (cid:54)= ∅,

u = 0 trên T ∗ (cid:54) δ2,   (3.35)  Ω∗

thì ta có đánh giá

1 } ∩ Ω∗

1| (cid:54) (cid:15)|Ω∗ 1|.

(3.36) |{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2) > N 2

Chứng minh.

1 sao cho

Từ điều kiện (3.35), ta thấy rằng tồn tại một điểm (x◦, t◦) ∈ Ω∗

Cr(x◦,t◦)∩ΩT

(cid:90) (cid:90) |∇u|2 (cid:54) 1 và |f |2 (cid:54) δ2, ∀r > 0. (3.37) 1 |Cr| 1 |Cr|

Từ (3.34) và δ (cid:28) 1, ta thấy

5(0, 2) = (Ω ∩ B5(0)) × (−23, 2]

√

Ω∗

1+δ2(x◦)(cid:1) × (−23, 2]

⊂ (cid:0)Ω ∩ B5+

⊂ (Ω ∩ B7(x◦)) × (−23, 2]

⊂ C7(x◦, t◦) ∩ ΩT .

Điều này cho thấy

Ω∗

5(0,2)

C7(x◦,t◦)∩ΩT

C7(x◦,t◦)∩ΩT 1 |C7| (cid:19)n+2

(cid:90) (cid:90) |f |2dxdt (cid:54) |f |2dxdt 1 |Q5| (cid:90) |f |2dxdt =

(cid:54) δ2; tức là, 1 |Q5| |Q7| |Q5| (cid:18) 7 5

Ω∗

5(0,2)

(cid:19)n+2 (cid:90) |f |2dxdt (cid:54) δ2. (3.38) (cid:18) 7 5 1 |Q5|

Tương tự, ta thấy rằng

Ω∗

5(0,2)

(cid:19)n+2 (cid:90) |∇u|2dxdt (cid:54) . (3.39) (cid:18) 7 5 1 |Q5|

Từ Hệ quả 3.10 với các giả thiết (3.35), (3.38) và (3.39) , tồn tại ma trận hằng số (cid:101)A

với (cid:54) (cid:15) và một nghiệm trơn v tương ứng của phương trình (cid:12) (cid:12) (cid:12)AΩ∗ (cid:12) (cid:12) 5(0,2) − (cid:101)A (cid:12)

4 (0, 2)

vt − div( (cid:101)A∇v) = 0 trong Q+  

 v = 0 trên T ∗ 4 (0, 2)

sao cho

W 1,2

∗ (Ω∗

2(0,2)) (cid:28) 1

(3.40) (cid:107)u − V (cid:107)2

Ω∗

5(0,2)

với điều kiện (cid:90) (cid:0)|f |2 + |A − A|2(cid:1) dxdt + D(∂ωΩ, T5) (cid:28) 1,

4 (0, 2) tới Ω∗

4(0, 2).

tại V là phần mở rộng bằng không của v được xác định trong Q+

Khi đó, ta có thể sử dụng dánh giá địa phương và

Ω∗

4(0,2)

(cid:90) |V |2 (cid:54) C, 1 |Q4|

để thấy rằng tồn tại một hằng số N◦ sao cho

(3.41) |∇V |2 (cid:54) N 2 ◦ . sup Ω∗ 3(0,2)

1 = max{4N 2

◦ , 2n+2} và sẽ chứng minh rằng

Bây giờ ta chọn N 2

1 : M|∇u|2 > N 2

1 } ⊂ {(x, t) ∈ Ω∗

1 : M|∇(u − V )|2 > N 2

◦ }.

{(x, t) ∈ Ω∗ (3.42)

Ta chứng minh bất đẳng thức này, giả sử rằng

◦ }.

1 : M|∇(u − V )|2 > N 2

(3.43) (x1, t1) ∈ {(x, t) ∈ Ω∗

3(0, 2) và bởi (3.43) và (3.41), ta có (cid:90)

Với r (cid:54) 2, Cr(x1, t1) ∩ ΩT ⊂ Ω∗

Cr(x1,t1)∩ΩT

(cid:90) |∇u|2dxdt (cid:54) |∇(u − V )|2 + |∇V |2 1 |Cr| 2 |Cr|

◦ + 2N 2 ◦

(cid:54) 2N 2

= 4N 2 ◦ .

Với r > 2, Cr(x1, t1) ⊂ C2r(x◦, t◦) và bởi (3.37), ta được

Cr(x1,t1)∩ΩT

(cid:90) (cid:90) |∇u|2 (cid:54) |∇u|2 1 |Cr|

C2r(x◦,t◦)∩ΩT (cid:90) 1 |C2r|

C2r(x◦,t◦)∩ΩT

|∇u|2 = 1 |Cr| |C2r| |Cr|

(cid:54) 2n+2.

Điều này chứng tỏ rằng

1 : M|∇u|2 > N 2

1 }.

(3.44) (x1, t1) ∈ {(x, t) ∈ Ω∗

Khi đó, khẳng định (3.42) được suy ra từ (3.43) và (3.44). Từ (3.42) và đánh giá yếu

1 − 1 dạng parabolic ta thu được

1 } ∩ Ω∗ 1

1 : M|∇(u − V )|2 > N 2

◦ }(cid:12) (cid:12)

Ω∗

(cid:12) (cid:12){(x, t) ∈ ΩT : M|∇u|2 > N 2 (cid:12) (cid:54) (cid:12) (cid:12) (cid:90) (cid:54) |∇(u − V )|2 dxdt

2(0,2) (cid:107)u − V (cid:107)2

W 1,2

∗ (Ω∗

2(0,2)) .

(cid:54) (cid:12){(x, t) ∈ Ω∗ C N 2 ◦ C N 2 ◦

Cuối cùng, từ đánh giá này và theo (3.40) ta có điều phải chứng minh.

Bổ đề 3.12 ([11]). Tồn tại hằng số N1 > 0 sao cho với (cid:15), r > 0 bất kỳ, δ = δ((cid:15)) > 0

và nếu u là nghiệm yếu của

ut − div(A∇u) = divf trong ΩT

thỏa mãn hai điều kiện sau

B7r ∩ {xn > −δr} ⊃ Ω ⊃ B+ 7r

Ω∗

5r(0,2r2)

và (cid:90) |A − A|2 (cid:54) δ2, u = 0 trên (∂Ω ∩ B7r) × (cid:0)−23r2, 2r2(cid:3) , 1 |Q5r|

Cr ∩ {(x, t) ∈ ΩT : M|∇u|2 (cid:54) 1} ∩ {(x, t) ∈ ΩT : M|f |2 (cid:54) δ2} (cid:54)= ∅,   

thì ta có đánh giá sau

1 } ∩ Cr| (cid:54) (cid:15)|Cr|.

|{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2) > N 2

Hệ quả 3.13. Tồn tại hằng số N1 > 0 sao cho với 1 (cid:62) (cid:15), r > 0, δ = δ((cid:15)) > 0 và nếu

u là nghiệm yếu của

ut − div(A∇u) = divf trong ΩT  

 u = 0 trên ∂pΩT

khi [A]BM O (cid:54) δ, ∂Ω là (δ, 63)−Reifenberg và nếu tính chất sau thỏa mãn:

1 } ∩ Cr(x, t)| (cid:62) (cid:15)|Cr(x, t)|,

(3.45) |{M|∇u|2 > N 2

thì

(3.46) Cr(x, t) ∩ ΩT ⊂ {M|∇u|2 > 1} ∪ {M|f |2 > δ2}.

Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng. Nếu Cr(x, t) thỏa mãn (3.45) và kết

luận (3.46) là sai, tồn tại (x◦, t◦) ∈ ΩT ∩ Cr(x, t) sao cho

ΩT ∩Cr(x◦,t◦)

(cid:90) (cid:90) |∇u|2 (cid:54) 1 và |f |2 (cid:54) δ2, ∀r > 0. 1 |Cr| 1 |Cr|

Nếu C7r(x, t) ∩ ∂pΩT = ∅, thì đây là một đánh giá trong (xem chương 1).

Giả sử rằng C7r(x, t) ∩ ∂pΩT (cid:54)= ∅. Xét B7r(x) ⊂ B9r(x◦), và chọn y = (y(cid:48), yn) ∈

B7r(x) ∩ ∂Ω. Khi ∂Ω là (δ, 63r)− miền phẳng Reifenberg, ta có

9r(x(cid:48), 0) ⊃ B+

r (x)

Ω ⊃ Ω63r(0) ⊃ B+

trong một vài hệ tọa độ phù hợp. Bây giờ, chúng ta áp dụng Bổ đề 3.12 vào khối lập

(cid:15) 9n+2 , thu được

phương C9r(x(cid:48), 0) thay (cid:15) bởi

1 } ∩ Cr(x, t)|

|{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2)(x, t) > N 2

1 } ∩ C9r(x(cid:48), 0, t)|

(cid:54) |{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2)(x, t) > N 2

< (cid:15) 9n+2 |C9r|

= (cid:15)|Cr|,

điều này mâu thuẫn với (3.45).

Hệ quả 3.14. Giả sử u là nghiệm yếu của

ut − div(A∇u) = divf trong ΩT  

 u = 0 trên ∂pΩT

khi [A]BM O (cid:54) δ, ∂Ω là (δ, 63)− Reifenberg. Giả thiết rằng

1 }| < (cid:15)|C1|.

(3.47) |{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2) > N 2

1 }|

(cid:19)n+2 (cid:15). Khi đó ta có Cho k nguyên dương và tập hợp (cid:15)1 = (cid:18) 10 1 − δ

k (cid:80) i=1

(cid:110) |{(x, t) ∈ ΩT : M|∇u|2 > N 2k (cid:54) (x, t) : M|f |2 > δ2N 2(k−i) (cid:12) (cid:12) (cid:8)(x, t) ∈ ΩT : M|∇u|2 > 1(cid:9)(cid:12) (cid:12) . (cid:15)i 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:111)(cid:12) (cid:12) (cid:12) + (cid:15)k

Chứng minh. Ta chứng minh mệnh đề này bằng quy nạp.

Rõ ràng mệnh đề này đúng trong trường hợp k = 1. Thật vậy, với

1 } và

A = {(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2) > N 2

B = {(x, t) ∈ ΩT : M(|f |2) > δ2} ∪ {(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2) > 1}.

Do ∂Ω là (δ, 63)− Reifenberg. Khi đó từ (3.47), Bổ đề 3.11 và Định lý 3.1, ta có

1 }|

|{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2) > N 2

(cid:54) (cid:15)1(|{(x, t) ∈ ΩT : M(|f |2) > δ2}| + |{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2) > 1}|),

. và tương ứng (cid:101)f = f N1

63r(r > 0),

Giả sử mệnh đề đúng với k nguyên dương. Ta định nghĩa (cid:101)u = u Khi đó, (cid:101)u là nghiệm yếu với (cid:101)u = 0 trên ∂Ω của

((cid:101)u)t − div(A∇(cid:101)u) = div(cid:101)f trong ΩT ⊃ Ω∗

1 }| < (cid:15)|C1|.

và thỏa mãn

|{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇(cid:101)u|2) > N 2

1 }|

Khi đó,theo giả thuyết quy nạp, ta có

i=1

1 }|,

(cid:26) |{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇(cid:101)u|2) > N 2k k (cid:88) (cid:54) (x, t) : M (cid:12) (cid:12) > δ2N 2(k−i) 1 (cid:15)i 1 + (cid:15)k 1 (cid:8)(x, t) ∈ ΩT : M|∇(cid:101)u|2 > 1(cid:9)(cid:12) (cid:12) . (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)(cid:101)f (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:27)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Ta viết bất đẳng thức này thành I1 (cid:54) I2, trong đó I1 = |{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇(cid:101)u|2) > N 2k

k (cid:80) i=1

(cid:26) (x, t) : M I2 = (cid:12) (cid:12) > δ2N 2(k−i) 1 + (cid:15)k 1 (cid:15)i 1 (cid:8)(x, t) ∈ ΩT : M|∇(cid:101)u|2 > 1(cid:9)(cid:12) (cid:12) . (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)(cid:101)f (cid:12) (cid:27)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) Ta thực hiện tính toán và đánh giá các biểu thức I1, I2 như sau:

Với I1, ta có

(cid:40)

∇ = I1 = |{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇(cid:101)u|2) > N 2k 1 }| (cid:33) ) (x, t) ∈ ΩT : M > N 2k 1 (cid:32)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) u N1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:41)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

}| = |{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2) > N 2(k+1)

Với I2, ta có

k (cid:88)

(cid:26) M I2 = (cid:12) (cid:12) > δ2N 2(k−i) 1 + (cid:15)k 1 (cid:15)i 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)(cid:101)f (cid:12)

i=1 k (cid:88)

(cid:40) (cid:40)

= M ∇ M > 1 > δ2N 2(k−i) 1 + (cid:15)k 1 (cid:15)i 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) f N1 u N1 (cid:8)M|∇(cid:101)u|2 > 1(cid:9)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:27)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:41)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:41)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

i=1 k (cid:88)

(cid:110) (cid:8)M|∇u|2 > N 2 = M|f |2 > δ2N 2(k+1−i) (cid:12) (cid:12) (cid:9)(cid:12) (cid:12) (cid:15)i 1 (cid:111)(cid:12) (cid:12) + (cid:15)k (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

i=1 k (cid:88)

i=1

(cid:110) (cid:54) M|f |2 > δ2N 2(k+1−i) (cid:15)i 1 (cid:111)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

1(cid:15)1{|{M|f |2 > δ2}| + |{M|∇u|2 > 1}|}

+ (cid:15)k

k (cid:88)

1 {|{M|f |2 > δ2}|}

i=1

(cid:110) = M|f |2 > δ2N 2(k+1−i) (cid:15)i 1 (cid:111)(cid:12) (cid:12) + (cid:15)k+1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

|{M|∇u|2 > 1}| + (cid:15)k+1 1

k+1 (cid:88)

i=1

(cid:110) = M|f |2 > δ2N 2(k+1−i) |{M|∇u|2 > 1}|. (cid:15)i 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:111)(cid:12) (cid:12) + (cid:15)k+1 (cid:12)

Do I1 (cid:54) I2, nên suy ra

}| |{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2) > N 2(k+1)

k+1 (cid:88)

i=1

(cid:110) (cid:54) |{M|∇u|2 > 1}|, M|f |2 > δ2N 2(k+1−i) (cid:15)i 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:111)(cid:12) (cid:12) + (cid:15)k+1 (cid:12)

suy ra mệnh đề đúng với k + 1.

Vậy, theo phép chứng minh quy nạp thì mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương

3.5. Kết quả chính quy nghiệm trên miền Reifen-

berg

∗ (ΩT )

Định lý 3.15. Cho số thực p : 2 < p < ∞. Có δ = δ(p) > 0 sao cho nếu u ∈ W 1,2

là nghiệm yếu của parabolic PDE

ut − div(A∇u) = divf trong ΩT   (3.48)  u = 0 trên ∂pΩT

với [A]BM O (cid:54) δ, toán tử P là parabolic đều và f ∈ Lp(ΩT ; Rn), thì ∇u ∈ Lp(ΩT ; Rn)

và ta có bất đẳng thức sau

(cid:1) , (cid:107)∇u(cid:107)Lp(ΩT ) (cid:54) C (cid:0)(cid:107)u(cid:107)Lp(ΩT ) + (cid:107)f (cid:107)Lp(ΩT )

trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào u và f .

Chứng minh. Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả thiết rằng

1 | < (cid:15)|C1|

|(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2) > N 2

2 )(ΩT ). Do đó, ta có

∞ (cid:88)

2 k

bằng cách nhân PDE (3.48) với một hằng số nhỏ nếu cân thiết. Vì f ∈ Lp(ΩT ), nên M|f |2 ∈ P ( p

2 p N 1

1 }| (cid:54) C(cid:107)M|f |2(cid:107)

p 2 (ΩT )

p 2 L

k=0

|{M|f |2 > δ2N 2k (cid:54) C, (3.49)

1 , p.

với C > 0 là một hằng số chỉ phụ thuộc vào δ, N 2

∞ (cid:88)

2 k

Mặt khác, ta có đánh giá

2 p N 1

1 }|

|{M|∇u|2 > N 2k

k=1 ∞ (cid:88)

2 k

2 p N 1

1|{M|f |2 > δ2N 2(k−i) (cid:15)i

1|{M|∇u|2 > 1}|

i=1 (cid:32) k

(cid:33) (cid:32) k (cid:88) (cid:54) }| + (cid:15)k

k=1 ∞ (cid:88)

2 k

2 p N 1

1|{M|f |2 > δ2N 2(k−i) (cid:15)i

i=1

k=1

∞ (cid:88)

2 k

(cid:33) (cid:88) = }|

2 p N 1

1|{M|∇u|2 > 1}| (cid:15)k

k=1

∞ (cid:88)

2 (k−i)

2 p N 1

1 (cid:15)1)i

i=1

k=i

∞ (cid:88)

(cid:33) (cid:32) ∞ (cid:88) = |{M|f |2 > δ2N 2(k−i) }| (N p

1 (cid:15)1)k(|{M|∇u|2 > 1}|)

k=1 ∞ (cid:88)

(N p +

1 (cid:15)1)k

k=1

(N p (cid:54) C

< ∞,

1 (cid:15)1 < 1. Khi đó, từ đánh giá này suy ra

đến đây ta sử dụng (3.49) và chọn (cid:15) sao cho N p

2 (ΩT ), hay ∇u ∈ Lp(ΩT ).

M|∇u|2 ∈ L

Cuối cùng, ta chứng minh định lý chính của chương này.

Định lý 3.16. Cho số thực p : 1 < p < ∞. Có δ = δ(p) > 0 sao cho nếu u là nghiệm

yếu của parabolic PDE

ut − div(A∇u) = divf trong ΩT  

 u = 0 trên ∂pΩT

∗ (ΩT ) và ta có đánh giá sau đây

với [A]BM O (cid:54) δ, toán tử P là parabolic đều, miền Ω thỏa ∂Ω(δ, R)−Reifenberg và mọi hàm f ∈ Lp(ΩT ; Rn), thì u ∈ W 1,p

∗ (ΩT )

(cid:54) C(cid:107)f (cid:107)Lp(ΩT ), (cid:107)u(cid:107)W 1,p

trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào u và f .

Chứng minh. Kết quả trong trường hợp p = 2 là cổ điển và trường hợp 1 < p < 2

có thể được suy ra từ tính đối ngẫu nên ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp p > 2.

Theo định lý 3.15 và ut = div(A∇u + f ) trong ΩT , ta có đánh giá sau

(cid:107)u(cid:107)W 1,p

∗ (ΩT ) = (cid:107)u(cid:107)Lp(ΩT ) + (cid:107)∇u(cid:107)Lp(ΩT ) + (cid:107)A∇u + f (cid:107)Lp(ΩT ) (cid:54) (cid:107)u(cid:107)Lp(ΩT ) + C (cid:0)(cid:107)u(cid:107)Lp(ΩT ) + (cid:107)f (cid:107)Lp(ΩT ) + 2(cid:107)A(cid:107)L∞(ΩT )(cid:107)∇u(cid:107)Lp(ΩT ) + 2(cid:107)f (cid:107)P

Lp(ΩT )

(cid:1)

(cid:1) , (cid:54) C (cid:0)(cid:107)u(cid:107)Lp(ΩT ) + (cid:107)f (cid:107)Lp(ΩT )

Vậy, định lý được chứng minh.

Kết luận

Trong luận văn này, tác giả đã tìm hiểu một phương pháp được đưa ra bởi Wang và

S.-S. Byun, để khảo sát tính chính quy nghiệm của phương trình parabolic tuyến tính

với dữ liệu dạng divergence dựa trên bổ đề phủ Vitali và một bất đẳng thức dạng “level

sets”. Cụ thể hơn, tác giả đã đọc hiểu và chứng minh lại một cách chi tiết một số kết

quả về tính chính quy nghiệm của phương trình parabolic với hệ số không liên tục có

dao động trung bình BMO rất nhỏ. Có ba kết quả chính được trình bày trong luận

văn, tương ứng với tính chính quy nghiệm địa phương và tính chính quy nghiệm toàn

cục của phương trình parabolic trong hai trường hợp ứng với giả thiết khác nhau của

miền xác định. Kỹ thuật chính của phương pháp này là xây dựng một bất đẳng thức

dạng “level sets” dựa trên các đánh giá so sánh sai khác giữa các nghiệm yếu phương

trình ban đầu với phương trình thuần nhất tương ứng.

Mặc dù luận văn chưa thu được kết quả mới như mong đợi, nhưng tác giả đã cố gắng

trình bày thật chi tiết và rõ ràng chứng minh của các định lý tìm hiểu được. Các kết

quả của Wang và S.-S. Byun được tìm hiểu trong luận văn này đã nhận được rất nhiều

trích dẫn trong các bài báo gần đây. Điều này cho tác giả luận văn có thêm niềm tin

rằng luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo có ích bằng tiếng Việt cho sinh viên, học

viên cao học và những người nghiên cứu quan tâm đến phương pháp chứng minh tính

chính quy nghiệm của các phương trình parabolic tuyến tính.

Tài liệu tham khảo

[1] K. Adimurthi, S. S. Byun (2019), Gradient weighted estimates at the natural

exponent for Quasilinear Parabolic equations, Advances in Mathematics 348, 456-

511.

[2] L. A Caffarelli, I. Peral (1998), On W 1,p estimates for elliptic equations in diver-

gence form, Communications on Pure and Applied Mathematics 51, 1 - 21.

[3] G. Di Fazio (1996), Lp estimates for divergence form elliptic equations with dis-

continuous coefficients, Boll. Un. Mat. Ita l A(7) 10, 409 - 420.

[4] S. S. Byun (2005), Parabolic equations with BMO coefficients in Lipschitz do-

mains, Journal of Differential Equations 209(2), 229-265.

[5] S. S. Byun (2007), Optimal W 1,p regularity theory for parabolic equations in di-

vergence form, Journal of Evolution Equations 7(3), 415-428.

[6] S. S. Byun, S. Ryu (2017), Weighted Orlicz estimates for general nonlinear

parabolic equations over nonsmooth domains, Journal of Functional Analysis

272(10), 4103-4121.

[7] S. S. Byun, H. Chen, M. Kim, L. Wang (2007), Lp regularity theory for linear

elliptic systems, Discrete and Continuous Dynamical Systems-Series A 18, 121 -

134.

[8] S. S. Byun, L. Wang (2004), Elliptic equations with BMO coefficients in Reifenberg

domains, Conmmunications on Pure and Applied Mathematics 57(10), 1283 - 1310.

[9] S. S. Byun, L. Wang (2005), The conormal derivative problem for elliptic equations

with BMO coefficients on Reifenberg on Reifenberg flat domains, Proceedings of

London Mathematical Society (3) 90, 245 - 272.

[10] S. S. Byun, L. Wang (2005), Parabolic equations in Reifenberg domains, Archive

for Rational Mechanics and Analysis 176, 271-301.

[11] S. S. Byun, L. Wang (2005), Lp Estimates for Parabolic equations in Reifenberg

domains, Journal of Functional Analysis 223, 44-85.

[12] S. S. Byun, L. Wang (2007), Parabolic equations in time dependent Reifenberg

domains, Advances in Mathematics 212(2), 797-818.

[13] L. Grafakos (2004), Classical and Modern Fourier Analysis, Pearson/Prentice Hall.

[14] L. Wang (1990), On the regularity theory of fully nonlinear parabolic equations,

Bulletin of the American Mathematical Society 22(1), 107-114.

[15] L. Wang (1992), On the regularity theory of fully nonlinear parabolic equations:

I, Communications on Pure and Applied Mathematics 45(1), 27-76.

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số kết quả chính quy nghiệm cho phương trình Parabolic dạng Divergence

Cao Phi Thơ

MỘT SỐ KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM CHO

PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC DẠNG DIVERGENCE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cao Phi Thơ

MỘT SỐ KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM CHO

PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC DẠNG DIVERGENCE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

LỜI CẢM ƠN

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU

Mục lục

Giới thiệu

Chương 1

Phương trình parabolic với hệ số

không liên tục

1.1. Sự tồn tại nghiệm yếu và bổ đề phủ Vitali

1.2. Các đánh giá địa phương

1.3. Các đánh giá so sánh

1.4. Bất đẳng thức dạng “level sets”

1.5. Kết quả chính quy nghiệm địa phương

Chương 2

Phương trình với hệ số BMO trên

miền Lipschitz

2.1. Bổ đề phủ Vitali

2.2. Các đánh giá địa phương

2.3. Các đánh giá so sánh

2.4. Bất đẳng thức dạng “level sets”

2.5. Kết quả chính quy nghiệm trên miền Lipschitz

Chương 3

Phương trình với hệ số BMO trên

miền Reifenberg

3.1. Bổ đề phủ Vitali

3.2. Các đánh giá địa phương

3.3. Các đánh giá so sánh

3.4. Bất đẳng thức dạng “level sets”

3.5. Kết quả chính quy nghiệm trên miền Reifen-

berg

Kết luận

Tài liệu tham khảo

Tài liệu liên quan

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và thử hoạt tính kháng viêm của loài rau dừa nước (Ludwigia adscendens)

Luận văn Thạc sĩ: Khảo sát thành phần hóa học và hoạt tính ức chế enzyme α-glucosidase trên một số hợp chất phân lập của thịt quả bình bát nước Anona glabra L.

Luận văn Thạc sĩ: Phân tích một số hợp chất bisphenol thôi nhiễm từ bao bì nhựa lên một số mẫu thực phẩm nền tinh bột

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu tổng hợp một số dẫn xuất naphthoquinone chứa nguyên tố flo bằng phản ứng đa thành phần

Luận văn Thạc sĩ: Tổng hợp và đánh giá hoạt tính chống ung thư của hợp phần lai chứa phần tetrahydro-beta-carboline và imidazo[1,5-a]pyridine

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu tổng hợp một số dẫn xuát của benzazole sử dụng phản ứng oxy hóa khử

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu tổng hợp hạt nano bạc phủ hyaluronic acid mang doxorubicin định hướng trong điều trị ung thư

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Sự chuyển biến ngữ nghĩa của nhóm từ chỉ vị giác 酸 (toan), 辣 (lạt), 咸 (hàm), 甜 (điềm), 苦 (khổ) trong tiếng Hán (liên hệ với chua, cay, mặn, ngọt, đắng trong Tiếng Việt)

Luận án Tiến sĩ: Ý niệm 家 (nhà) trong tiếng Trung (có liên hệ với Tiếng Việt)

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Ý niệm 家 (nhà) trong tiếng Trung (có liên hệ với Tiếng Việt)

Tài liêu mới

Luận án Tiến sĩ: Trích xuất mạch vành và phát hiện bất thường trên mạch vành hỗ trợ trong chẩn đoán

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Trích xuất mạch vành và phát hiện bất thường trên mạch vành hỗ trợ trong chẩn đoán

Luận án Tiến sĩ: Tổng hợp, đặc trưng và ứng dụng của vật liệu khung cơ kim loại trên cơ sở Bismuth

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Tổng hợp, đặc trưng và ứng dụng của vật liệu khung cơ kim loại trên cơ sở Bismuth

Luận án Tiến sĩ: Tác động của trách nhiệm xã hội đến tài sản thương hiệu, sự hài lòng và ý định quay lại của du khách - Trường hợp các điểm đến ở khu vực Đông Nam Bộ, Việt Nam

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Tác động của trách nhiệm xã hội đến tài sản thương hiệu, sự hài lòng và ý định quay lại của du khách - Trường hợp các điểm đến ở khu vực Đông Nam Bộ, Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu chế tạo vật liệu xúc tác quang trên nền TiO₂, ZnO biến tính bởi chấm lượng tử Graphene pha tạp nitơ và nano bạc

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu chế tạo vật liệu xúc tác quang trên nền TiO₂, ZnO biến tính bởi chấm lượng tử Graphene pha tạp nitơ và nano bạc

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu phát triển các mô hình sinh kế bền vững dựa vào canh tác nông nghiệp của người dân ở vùng đệm Vườn quốc gia Tà Đùng

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu phát triển các mô hình sinh kế bền vững dựa vào canh tác nông nghiệp của người dân ở vùng đệm Vườn quốc gia Tà Đùng

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu tổng hợp dung dịch Ferrate (FeO₄²⁻) bằng phương pháp điện hoá và ứng dụng trong xử lý nước thải

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu tổng hợp dung dịch Ferrate (FeO₄²⁻) bằng phương pháp điện hoá và ứng dụng trong xử lý nước thải

Tóm tắt Đề án Thạc sĩ: Đào tạo nguồn nhân lực trong bối cảnh chuyển đổi số tại Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông

Đề án Thạc sĩ: Đào tạo nguồn nhân lực trong bối cảnh chuyển đổi số tại Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông

Luận án Tiến sĩ: Tác động của văn hoá doanh nghiệp đến năng lực sáng tạo của nhân viên các doanh nghiệp ICT Việt Nam - Nghiên cứu trường hợp Tập đoàn FPT

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật