Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất của môđun Minimax

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

65
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất của môđun Minimax nêu lên kiến thức chuẩn bị; một số tính chất của môđun Minimax (dãy điều kiện đối với môđun con U sao cho Soc(M/U)=0, điều kiện min đối với môđun con căn,...).

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất của môđun Minimax

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Thanh Phương MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN MINIMAX LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Thanh Phương MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN MINIMAX Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
LỜI CẢM ƠN Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh được sự giúp đỡ tận tình của nhà trường, quí Thầy cô, gia đình và bạn bè, tôi đã hoàn thành chương trình học và luận văn này. Tôi vô cùng biết ơn. Trước hết, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, Khoa toán tin và Phòng sau đại học trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện tốt luận văn này. Tôi xin gửi lời biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến Thầy hướng dẫn PGS. TS Trần Tuấn Nam, Thầy đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên giúp đỡ tôi trong thời gian qua. Dù đã cố gắng thực hiện luận văn bằng cả tâm huyết nhưng sự hạn chế về ngoại ngữ của bản thân cũng sẽ làm luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp chân thành của quí Thầy cô và các bạn. TP. Hồ Chí Minh, ngày 21 tháng 09 năm 2013 Người thực hiện Nguyễn Thị Thanh Phương 1
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1 MỤC LỤC .................................................................................................................... 2 KÍ HIỆU TOÁN HỌC ................................................................................................ 3 LỜI NÓI ĐẦU.............................................................................................................. 5 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................... 7 1.1. Iđêan nguyên tố liên kết và iđêan nguyên tố đối liên kết.........................................7 1.2. Mở rộng cốt yếu. ..........................................................................................................9 1.3. Môđun căn, đơn - căn và môđun đế. .......................................................................10 1.4. Môđun coatomic. .......................................................................................................13 1.5. Số chiều.......................................................................................................................14 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN MINIMAX ....................... 16 2.1. Dãy điều kiện đối với môđun con U sao cho Soc(M/U)=0. ....................................16 2.2. Điều kiện min đối với môđun con căn. ....................................................................21 2.3. Chuyển đổi đối ngẫu M0 = HomR(M, E)..................................................................25 2.4. Điều kiện max đối với môđun con căn. ...................................................................31 KẾT LUẬN ................................................................................................................ 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 41 2
KÍ HIỆU TOÁN HỌC R Vành noether giao hoán 𝑅� Vành đầy đủ của vành địa phương R RS Vành các thương của R theo tập con nhân S MS Môđun các thương của M theo tập con nhân S Rp Môđun địa phương hóa của M tại iđêan nguyên tố p Ω Tập tất cả các iđêan tối đại của R HomR(M, N) Tập tất cả các R-đồng cấu f: M → N U⊊M U chứa trong M và U ≠ M K
Lm(M) Thành phần m-nguyên sơ của M ⊕ Tổng trực tiếp trong ⨆ Tổng trực tiếp ngoài dim M Chiều Krull của M Gd M Chiều Goldie của M 4
LỜI NÓI ĐẦU Những tính chất của môđun minimax được Zöschinger nghiên cứu vào năm 1986, nghiên cứu này dựa trên kết quả của bài báo về “Môđun compắc tuyến tính trên vành noether” của ông. Từ đây ông tìm ra được mối liên hệ chặt chẽ giữa các khái niệm: dãy điều kiện với môđun minimax, hữu hạn sinh với coatomic và artin với nửa artin. Các mối liên hệ này cho ta các tính chất của môđun minimax một cách tổng quát. Một R-môđun M được gọi là môđun minimax nếu có một môđun con hữu hạn sinh U sao cho M/U là artin hay nói cách khác M là mở rộng của một môđun hữu hạn sinh theo một môđun artin. Ở đây R là vành noether giao hoán. Cụ thể áp dụng cho R-môđun M ta có hai kết quả đáng ngạc nhiên sau đây: (2.1.2) Nếu M thỏa điều kiện max đối với lớp môđun con U sao cho Soc(M/U) = 0 thì M là mở rộng một môđun hữu hạn sinh theo một môđun nửa Artin. (2.2.3) Nếu M thỏa điều kiện min đối với lớp môđun con căn thì P(M) là mở rộng cốt yếu một môđun hữu hạn sinh theo một môđun nửa Artin. Đảo ngược lại với (2.1.2) ta có điều kiện tương đương trong (2.1.5), trong trường hợp này khái niệm “chiều Goldie hữu hạn” được đưa ra. Lấy đối ngẫu trong trường hợp điều kiện max ta có năm điều kiện tương đương trong (2.3.6), từ đây ta có khái niệm “thặng dư cốt yếu của môđun artin”. Nếu M là môđun bổ sung tiếp tục chúng ta có các điều kiện tương đương trong (2.4.5). Mục đích của luận văn này là hệ thống lại một số kiến thức cần thiết của đại số giao hoán có liên quan đến vấn đề tìm hiểu và nghiên cứu, sau đó trình bày lại chi tiết các vấn đề đưa ra dựa trên bài báo [16] của Zöschinger. Nội dung luận văn được chia thành hai chương cụ thể như sau: Chương 1- Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày lại các khái niệm và một số mệnh đề để chứng minh các kết quả trong chương 2. Chương 2- Một số tính chất của môđun minimax. Chương này gồm có 4 phần: 5
Phần 1: Dãy điều kiện đối với lớp môđun con U sao cho Soc (M/U) = 0. Phần 2: Điều kiện min đối với lớp môđun con căn. Phần 3: Chuyển đổi đối ngẫu M0 = HomR(M, E). Phần 4: Điều kiện max đối với lớp môđun con căn. Dù đã hết sức cố gắng nhưng vì còn nhiều hạn chế trong nhận thức cũng như ngôn ngữ nên luận văn này không tránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận được ý kiến đóng góp, xây dựng của quí thầy cô và các bạn đồng nghiệp. 6
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Iđêan nguyên tố liên kết và iđêan nguyên tố đối liên kết. Định nghĩa 1.1.1. Cho M là một R-môđun và x ∈ M, linh hóa tử của x là AnnR(x) = { r ∈ R/ rx = 0}. Linh hóa tử của M là: AnnR (M) = { r ∈ R/ rM = 0}. Định nghĩa 1.1.2. Cho M là một R-môđun, một iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết với M nếu tồn tại 0 ≠ x ∈ M sao cho p = AnnR(x). Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết với M được kí hiệu là Ass(M). Mệnh đề 1.1.3. Cho p là một iđêan nguyên tố của R, M là một R-môđun và U là môđun con của M. Khi đó: (i) p ∈ Ass (M) nếu và chỉ nếu có môđun con B của M sao cho B ≅ R/p. (ii) Ass(U) ⊆ Ass(M) ⊆ Ass(U) ∪ Ass(M/U). Mệnh đề 1.1.4. Cho M là một R-môđun. Khi đó phần tử tối đại của tập {AnnR(x)/ x ∈ M, x ≠ 0}. là một iđêan nguyên tố. Hệ quả 1.1.5. Cho M là một R-môđun. Khi đó Ass(M) ≠ ∅ nếu và chỉ nếu M ≠ 0. Hơn nữa, nếu M hữu hạn sinh thì Ass(M) là tập hữu hạn. Định nghĩa 1.1.6. Cho M là một R-môđun, phần tử x ∈ R được gọi là ước của 0 trên M nếu AnnM (x) ≠ 0. Mệnh đề 1.1.7. Cho M là R-môđun, tập tất cả các ước của 0 trên M là ⋃ 𝐴𝑠𝑠(𝑀). Mệnh đề 1.1.8. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó ⋂ 𝐴𝑠𝑠(𝑀) = �𝐴𝑛𝑛𝑅 (𝑀). Định nghĩa 1.1.9. Một R-môđun N được gọi là không phân tích được nếu N ≠ 0 và từ X + Y = N ta luôn có N = X hoặc N = Y. 7
Trong trường hợp này tập I(N) = { x ∈ R/ xN ≠ N} là một iđêan nguyên tố của R. Nếu M là một R-môđun không phân tích được và N là môđun con thực sự của M thì M/N là môđun thương không phân tích được và I(M) = I(M/N). Định nghĩa 1.1.10. Cho M là R-môđun, một iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố đối liên kết với M nếu có một môđun thương không phân tích được N của M sao cho p = I(N). Tập tất cả các iđêan nguyên tố đối liên kết với M được kí hiệu là Coass(M). Hiển nhiên Coass(M) ≠ ∅ nếu M ≠ 0. Theo [15, mệnh đề 2] ta có tính chất sau: ⋃ 𝐶𝑜𝑎𝑠𝑠(𝑀) = { x∈ R/ xM ≠ M}. Định nghĩa 1.1.11. Cho M là một R-môđun và m ∈ Ω. Tập Lm (M) = { x ∈ M/ me ⊂ AnnR(x) với e là số nguyên dương nào đó }. được gọi là thành phần m-nguyên sơ của M. Một R-môđun được gọi là nửa artin nếu mỗi môđun con thực sự chứa một môđun con tối tiểu. Với bất kỳ R-môđun M ta ký hiệu L(M) là tổng của tất cả các môđun con artin của M. Khi đó L(M) là môđun con nửa artin lớn nhất của M. Theo [6, Định lí 1] thì ta có L (M) = ⊕𝑚∈𝛺 Lm (𝑀). Định nghĩa 1.1.12. Cho R là vành noether và m là một iđêan của R. Một R-môđun M được gọi là m-nguyên sơ nếu M = Lm(M). Mệnh đề 1.1.13. Cho M là một R-môđun khác 0. Khi đó: (i) Nếu L (M) = M thì M là môđun nửa artin. (ii) 𝐿𝑚 (𝑀) = ∑∝𝑖=1 𝐴𝑛𝑛𝑀 (𝑚𝑖 ) với m ∈ Ω. Định nghĩa 1.1.14. Cho M là R-môđun và m ∈ Ω. Khi đó tập Km (M) = {x ∈ M/ AnnR(x) ⊆ a ⇒ a ⊆ m với bất kỳ a ∈ Ω}. được gọi là m- địa phương lớn nhất của M. Theo [14, Mệnh đề 2.3] đối với mỗi R-môđun ta có M = ⊕m∈ Ω Km (M). Mệnh đề 1.1.15. Cho M là R-môđun và B là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó ta có: 8
Coass(M ⊗ R B) = Coass(M) ⋂ Supp(B). Mệnh đề 1.1.16. Cho A là một R-môđun hữu hạn sinh và M là môđun nội xạ. Khi đó ta có: Coass(HomR(A, M)) = { p ∈ Ass(A)/ AnnM(p) ≠ 0}. Mệnh đề 1.1.17. Cho M là một R-môđun khác 0. Khi đó M là môđun nửa artin nếu và chỉ nếu Ass(M) ⊆ Ω. 1.2. Mở rộng cốt yếu. Định nghĩa 1.2.1. Cho M là R-môđun. Một R-môđun E ⊇ M được gọi là mở rộng cốt yếu của M nếu với mỗi môđun con U khác 0 của E thỏa mãn U ∩ M ≠ 0. Mở rộng cốt yếu E ⊇ M được gọi là tối đại nếu không tồn tại R-môđun K ⊋ E và đồng thời K là mở rộng cốt yếu của M. Nếu E ⊇ M là mở rộng cốt yếu của M thì M được gọi là môđun con cốt yếu (hay lớn) trong E và ký hiệu là M ⊆e E. Môđun con N của M được gọi là môđun đối cốt yếu (hay nhỏ) trong M nếu với mỗi môđun con N’ của M ta luôn có N + N’ = M kéo theo N’ = M và kí hiệu là N
(i) Nếu M là R-môđun bổ sung thì M/Rad(M) là môđun nửa artin, M/P(M) là coatomic và P(M) là môđun bổ sung. (ii) Nếu mỗi môđun con của M là một môđun bổ sung trong M thì M là môđun nửa đơn. Mệnh đề 1.2.5. Cho N là môđun con của M. Các điều sau tương đương: (i) N là bổ sung trong M. (ii) N là đối đóng trong M. Định nghĩa 1.2.5. Cho M là một R-môđun, ta nói phần tử x ∈ R tác động song ánh lên M nếu đồng cấu nhân với x: M → M, m ↦ xm là một đẳng cấu. Mệnh đề 1.2.6. Cho m là iđêan tối đại của R và M là R-môđun sao cho tồn tại phần tử x ∈ M tác động song ánh lên M. Khi đó ta có: (1) 𝑇𝑜𝑟1𝑅 (R/ m, M) = 0. (2) 𝐸𝑥𝑡𝑅1 (R/m, M) = 0. Mệnh đề 1.2.7. Cho U là môđun con của R-môđun M và S là tập con nhân của R sao cho S không chứa ước của 0 trên M. Khi đó nếu f: U → M là một mở rộng cốt yếu các R-môđun thì fS: US → MS cũng là mở rộng cốt yếu các RS-môđun. Mệnh đề 1.2.8. Cho m là một iđêan tối đại của R và M là R-môđun. Khi đó 𝑅/𝑚 ⊗𝑅 𝑀 ≅ 𝑀/𝑚𝑀. 1.3. Môđun căn, đơn - căn và môđun đế. Định nghĩa 1.3.1. Một R-môđun M được gọi là môđun đơn nếu M khác 0 và M không có môđun con nào khác 0 và M. Một R-môđun M được gọi là nửa đơn nếu mỗi môđun con của M là hạng tử trực tiếp trong M. Định lí 1.3.2. Cho M là một R-môđun . Các điều sau tương đương: (i) M là nửa đơn. (ii) M là tổng của các môđun con đơn của nó. (iii) Mỗi môđun con của M là hạng tử trực tiếp. 10
Định nghĩa 1.3.3. Đế của R-môđun M là tổng của các môđun con đơn của M, tương đương với giao của các môđun con cốt yếu của M và được kí hiệu là Soc (M). Môđun M được gọi là môđun đế nếu nó không có môđun con đơn hay Soc(M) = 0. Soc(M) là môđun con nửa đơn lớn nhất của M và M là môđun nửa đơn nếu và chỉ nếu M = Soc(M). Bổ đề 1.3.4. Cho (R, m) là vành địa phương và M là một R-môđun. Khi đó Soc(M) ≅ HomR( R/m, M). Chứng minh: Vì AnnM(m) ≅ HomR( R/m, M) nên ta có thể chỉ cần chứng minh Soc(M) = AnnM(m). Cho U là một môđun con đơn của M, ta có U ≅ R/m nên mU = 0 tức là U ⊆ AnnM(m). Điều này đúng với mọi môđun con đơn của M nên Soc(M) ⊆ AnnM(m). Để thấy bao hàm thức còn lại lấy x ∈ M sao cho mx = 0, từ đây ta phải có m = Ann(x) và do đó Rx ≅ R/m là môđun đơn tức là Rx ⊂ Soc(M). Định nghĩa 1.3.5. Một R-môđun M được gọi là có cấp tối đại nếu với mỗi x ∈ M, từ AnnR(x) ⊆ p với p là một iđêan nguyên tố của R, ta luôn có p ∈ Ω. Mệnh đề 1.3.6. Cho M là R-môđun. Các điều sau tương đương: (i) M là môđun artin. (ii) M có cấp tối đại và Soc(M) là hữu hạn sinh. Mệnh đề 1.3.7. Cho M là một R-môđun. Khi đó Soc(M/L(M)) = 0. Định nghĩa 1.3.8. Một môđun con U của R-môđun M được gọi là môđun con tối đại của M nếu M/U là môđun đơn. Định nghĩa 1.3.9. Căn của R-môđun M là giao của tất cả các môđun con tối đại của M, tương đương với tổng của các môđun con đối cốt yếu của M. Kí hiệu là Rad(M). Khi đó môđun M được gọi là môđun căn nếu M không có môđun con tối đại nào hay Rad(M) = M. Bổ đề 1.3.10. Căn của R-môđun M là giao của tất cả các môđun con U của M sao cho M/U là môđun nửa đơn. 11
Chứng minh: Kí hiệu r(M) là giao của tất cả các môđun con U của M sao cho M/U là nửa đơn, rõ ràng ta có r(M) ⊆ Rad(M). Để chứng minh chiều ngược lại, cho U là một môđun con của M sao cho M/U nửa đơn, tức là 𝑀 ∕ 𝑈 = ⨁𝑖∈𝐼 𝑆𝑖 trong đó mỗi Si là môđun đơn. Gọi p: M → M/U là phép chiếu tự nhiên, 𝜋𝑖 : M/U → Si là phép chiếu lên thành phần Si. Với mỗi i ∈ 𝐼, ta có Ui = Ker 𝜋𝑖 p là môđun tối đại của M do M/ Ker 𝜋𝑖 p ≅ Si là môđun đơn.Vì mỗi i ∈ 𝐼, Rad(U) ⊆ Ui nên Rad(M) ⊆ ⋃𝑖∈𝐼 𝑈𝑖 = U, điều này có nghĩa là Rad(M) ⊆ r(M). Mệnh đề 1.3.11. Cho M là R-môđun. Khi đó: Rad(M) = ⋂𝑚∈Ω 𝑚𝑀. Định nghĩa 1.3.12. Cho M là một R-môđun, tổng của các môđun con căn được ký hiệu là P(M). Khi đó P(M) là môđun con căn lớn nhất của M. Nếu P(M) = 0 thì M được gọi là môđun rút gọn. Một R-môđun M được gọi là môđun nhỏ - rút gọn nếu mọi môđun con căn nhỏ trong M là môđun 0. Mệnh đề 1.3.13. Nếu M là R-môđun căn và đồng thời M là môđun hữu hạn sinh thì M = 0. Mệnh đề 1.3.14. Cho M là R-môđun và U là môđun con của M. Nếu Soc(M) = 0 thì U là môđun căn. Khi đó với mỗi p ∈ Ass(M) ta có dim(R/p) ≤1. Định nghĩa 1.3.15. Một R-môđun M được gọi là đơn - căn nếu M là môđun căn khác 0 và không chứa bất kỳ môđun con căn nào. Mệnh đề 1.3.16. Cho M là môđun đế. Các điều sau tương đương: (i) M là tổng các môdun con đơn – căn. (ii) M là môđun căn và mỗi môđun con U của M thỏa mãn Soc(U) = 0 thì U là hạng tử trực tiếp trong M. Mệnh đề 1.3.17. Cho M là môđun đế và là tổng trực tiếp của các môđun đơn - căn. Các điều sau tương đương: (i) Ass(M) = Coass(M). (ii) Mỗi iđêan tối đại m của R thì tập {p ∈ Ass(M)/ p ⊂ m} là hữu hạn. Mệnh đề 1.3.18. Cho M là một môđun artin. Các điều sau tương đương: 12
(i) M là tổng của các môđun đơn - căn. (ii) M = U1+ U2+…+Un trong đó Ui là môđun không chia được và là tổng các môđun đơn - căn. Mệnh đề 1.3.19. Cho một môđun artin M là tổng của các môđun con đơn - căn. Các điều sau tương đương: (i) Mỗi môđun con căn của M là tổng của các môđun con đơn - căn. (ii) Với mọi p ∈ Coass(M) thì dim(R/p) = 1. (iii) M thỏa điều kiện max đối với lớp môđun con căn. 1.4. Môđun coatomic. Định nghĩa 1.4.1. Một R-môđun M được gọi là coatomic nếu mỗi môđun con thật sự của M chứa trong một môđun con tối đại, tương đương với Rad(M)/U ≠ M/U với mỗi môđun con thực sự U của M. Theo một cách khác, môđun M được gọi là coatomic nếu trong dãy 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ … ⊂ Mn-1 = M các môđun con của M thì Mi/Mi-1 là môđun hữu hạn sinh hoặc nửa đơn với mọi i. Mỗi môđun con và môđun thương của môđun coatomic là môđun coatomic. Mệnh đề 1.4.2. Mỗi R-môđun hữu hạn sinh hoặc môđun nửa đơn là coatomic. Định nghĩa 1.4.3. Cho U là một môđun con coatomic của R-môđun M. Khi đó M được gọi là mở rộng một coatomic nếu M/U là môđun nửa artin. Bổ đề 1.4.4. Cho 𝔥 là lớp của tất cả các R-môđun là mở rộng một môđun coatomic theo một môđun nửa artin. Khi đó ta có M ∈ 𝔥 nếu U ∈ 𝔥 và M/U ∈ 𝔥. Chứng minh: Vì U ∈ 𝔥 và M/U ∈ 𝔥 nên ta có các môđun con B ⊂ U ⊂ C ⊂ M sao cho B là coatomic, U/B là môđun nửa artin, C/U coatomic và M/C là môđun nửa artin. Đặt 𝔇 = {X ⊂ M/ X∩ U = B} khi đó ta chọn trong tập hợp này một phần tử cực đại X0 để có một đơn cấu cốt yếu f: U/B → M/X0. Điều này kéo theo M/ X0 ∩ C là môđun nửa artin, mặt khác X0 ∩ C /B là môđun con của coatomic C/U nên cũng là coatomic, do đó X0 ∩ C cũng là coatomic. Vậy nên M ∈ 𝔥. Mệnh đề 1.4.5. Nếu Coass(M) ∩ Ω = ∅ thì M là môđun căn. Nếu Coass(M) ⊂ Ω thì M là coatomic. 13
Mệnh đề 1.4.6. (xem [13, mệnh đề 2.4] Cho M là R-môđun. Các điều sau tương đương: (i) M là coatomic. (ii) M/AnnM(me) là hữu hạn sinh với e≥ 1. (iii) MeM là hữu hạn sinh với e≥ 1. 1.5. Số chiều. Định nghĩa 1.5.1. Một dây chuyền các iđêan nguyến tố của R là một dãy tăng thật sự các iđêan nguyên tố p0 ⊊ p1 ⊊….⊊ pn của R, trong đó số nguyên dương n được gọi là chiều dài của dây chuyền. Cận trên đúng của tất cả độ dài của các dây chuyền các iđêan nguyên tố của R được gọi là chiều Krull của R và được ký hiệu là dim R. Định nghĩa 1.5.2. Cho M là một môđun hữu hạn sinh, số chiều của M ký hiệu là dim M được xác định bởi dimM = dim (R/ AnnR(M)). Mệnh đề 1.5.3. Cho (R, m) là vành địa phương noether, M ≠ 0 là một R-môđun hữu hạn sinh và x ∈ m. Khi đó dim M ≥ dim(M/xM) ≥ dim M - 1. Mệnh đề 1.5.4. Cho R là vành noether và M là R-môđun hữu hạn sinh, khi đó các điều kiện sau tương đương: (i) M có chiều dài hữu hạn. (ii) dim M = 0. Định nghĩa 1.5.5. Một R-môđun M được gọi là môđun đều nếu M ≠ 0 và mỗi môđun con khác 0 của M là môđun con cốt yếu của M. Định nghĩa 1.5.6. Một R-môđun M có chiều Goldie hữu hạn là n (số nguyên lớn nhất) nếu có môđun con thực sự V sao cho V ⊆e M và V là tổng trực tiếp của n môđun con đều. Ký hiệu là Gd M = n. Nếu M = 0 thì Gd M = 0. Nếu M là một môđun đều thì Gd M = 1. 14
Mệnh đề 1.5.7. Một R-môđun M có chiều Goldie hữu hạn nếu M không chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác 0 của M. Mệnh đề 1.5.8. Cho M là R-môđun, khi đó ta có nếu M là nửa đơn thì M có chiều Goldie hữu hạn. 15
CHƯƠNG 2: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN MINIMAX 2.1. Dãy điều kiện đối với môđun con U sao cho Soc(M/U)=0. Cho 𝔉 là lớp các R-môđun mở rộng một môđun hữu hạn sinh theo một môđun artin, 𝔄 và 𝔅 lần lượt là lớp các R-môđun thỏa tính chất: M ∈ 𝔄 khi và chỉ khi trong mỗi dãy tăng U1 ⊂ U2 ⊂ U3 ⊂ … các môđun con của M sao cho hầu hết các Ui+1/Ui là môđun artin. M ∈ 𝔅 khi và chỉ khi trong mỗi dãy giảm U1 ⊃ U2 ⊃ U3 ⊃ … các môđun con của M sao cho hầu hết các Ui/Ui+1 là môđun hữu hạn sinh. Rõ ràng, ta có 𝔉 ⊂ 𝔄 và 𝔉 ⊂ 𝔅. Trong trường hợp đầu tiên, để chứng minh đẳng thức tôi nghiên cứu điều kiện max đối với lớp môđun con U sao cho Soc(M/U) = 0, trong trường hợp thứ hai thì nghiên cứu điều kiện min đối với lớp môđun con căn của M. Trong bổ đề sau đây, tôi liệt kê các tính chất một cách tổng quát liên quan tới môđun minimax mà tôi liên tục sử dụng. Bổ đề 2.1.1. M là mở rộng của coatomic theo một môđun nửa artin, khi đó: (a) Nếu mỗi iđêan nguyên tố p ∉ Ω thì Mp là Rp- môđun hữu hạn sinh . (b) Nếu f: M → M là toàn cấu thì Kerf là nửa artin. (c) Nếu Soc(M/U) = 0 thì P(U) = U ∩ P(M). (d) Nếu U là môđun con căn của M thì L(M/U) = (L(M) + U)/U. (e) Nếu p ∈ Ass(P(M)) thì dim(R/p) ≤ 1. Nếu thêm vào M là môđun đế, tiếp tục ta được: (f) Nếu f: M → M là đơn cấu thì Cokerf là coatomic. (g) Nếu với mỗi môđun con U của M và mỗi m ∈ Ω thì U/mU là hữu hạn sinh. Chứng minh: (a). Cho B là coatomic và M/B nửa artin. Từ p ∉ Ω ta chọn được m∈ Ω sao cho p ⊂ m và khi đó (B/L(B))m cũng là Rm-môđun đế và coatomic. Theo (1.4.6) thì (B/L(B))p là hữu hạn sinh. Do đó (B/L(B))p cũng là Rp-môđun hữu hạn sinh, vì vậy L(B)p=0=(M/B)p. (b). Với mọi p ∉ Ω thì đồng cấu cảm sinh Mp → Mp là một đẳng cấu do đó (Kerf)p= 0. Vì vậy ta có p ∉ Ass(Kerf) và Ass(Kerf) ⊂ Ω , có nghĩa là Kerf là nửa artin. (c). Bước 1: Với R là vành địa phương và M ∈ 𝔥 là môđun đế, khi đó M ∈ 𝔉 .Từ giả thiết chứng minh ta có B là coatomic và M/B là nửa artin, ta cần chứng minh M/B là môđun artin. 16
Theo (1.4.6) thì B là hữu hạn sinh, mặt khác từ dãy khớp 0 →Soc(M/B)→ ExtR1(R/m,B) mà Soc(M/B) là hữu hạn sinh, do đó M/B là môđun artin. Bước 2: Với R là vành địa phương, M ∈ 𝔥 là môđun căn và Soc(M/U) = 0 như vậy U cũng là môđun căn. Thật vậy : Vì M/U ∈ 𝔉 nên Ass(M/U) và Coass(M/U) hữu hạn và vì m ⊄ ⋃Ass(M/U) ∪ ⋃Coass(M/U) nên ta chọn x ∈ m sao cho có tác động song ánh lên M/U. Trong dãy khớp Tor1R(M/U, R/m)→ U ⊗ R R/m → M ⊗ R R/m có thành phần đầu tiên và thứ ba là 0 nên U là môđun căn. Bước 3: Với R không là vành địa phương, M ∈ 𝔥 là môđun căn và Soc(M/U) = 0, áp dụng cho mỗi m ∈ Ω thì Mm cũng là Rm-môđun thuộc 𝔥 và là môđun căn. Ta cũng có Soc(Mm/Um) = 0 nên từ bước 2 thì Um là môđun căn, vì vậy U là m-chia được – áp dụng điều này từ U ∩ P(M) ⊂ P(M), khi đó (c) đã được chứng minh. (d). Ta xét (L(M) + U)/L(M) ⊂ M/ L(M), ta giả sử M (cũng tương tự với M/U) là môđun đế. Trong trường hợp là vành địa phương, ta có U ∈ 𝔉, nên với x ∈ m thì phép nhân x: U → U là tác động song ánh, vì vậy trong dãy khớp Soc(M) → Soc(M/U) → ExtR1(R/m, U) cả ba thành phần của dãy đều là 0. Trong trường hợp chung, với mỗi m ∈ Ω thì Mm ∈ 𝔥 là môđun đế và Um là môđun căn nên Soc(Mm/Um) = 0 và do đó Socm(M/U) = 0. (e). Như [15, Bổ đề 1.1] thì mỗi U ⊂ P(M) theo (c) ta được Soc(P(M)/U) = 0, do đó U là môđun căn. (f). Trong trường hợp là vành địa phương thì M ∈ 𝔉, do đó M ∈ 𝔅. Khi đó ta có dãy giảm Imf ⊃ Imf2 ⊃ Imf3 ⊃… với m ≥ 1 thỏa mãn Imfm/ Imfm+1 là hữu hạn sinh và môđun nội xạ của đẳng cấu f → M/Imf, nghĩa là đến Cokerf. Trong trường hợp không là vành địa phương thì (Coker f)m là hữu hạn sinh với mọi m ∈ Ω do đó Cokerf là coatomic. (g). Vì Rm-môđun Um là mở rộng một môđun hữu hạn sinh theo một môđun artin nên Um cũng có môđun thương căn hữu hạn sinh, do đó dim(U/mU) = dim(Um/Ra(Um)). Mệnh đề 2.1.2. Cho một R-môđun M. Các điều sau là tương đương: (i) M thỏa điều kiện max đối với lớp môđun con U sao cho Soc(M/U) = 0. (ii) Trong mỗi dãy tăng U1⊂ U2⊂ U3⊂... của các môđun con của M thì Ui+1/Ui là môđun nửa artin với hầu hết các i. 17
(iii) M là mở rộng một môđun hữu hạn sinh theo một môđun nửa artin. Trong trường hợp này thì M =M/L(M) có số chiều Goldie hữu hạn và ∩Ass ( M ) = Ann R(M ) . Chứng minh: Cho 𝔉’ là lớp các R- môđun là mở rộng một môđun hữu hạn sinh theo một môđun nửa artin. (i ⇒ iii) Giả sử M ∉ 𝔉’, nên ta có M/L (M) ∉ 𝔉’ và tập {X ⊂ M/ Soc(M/X) = 0 và M/X ∉ 𝔉’} có một phần tử cực đại X0. Ta chọn X0 ⊊ A ⊂ M với A/X0 là hữu hạn sinh, từ U/A = L(M/A) thì X0 ⊊ U và Soc(M/U) = 0, vì do tính cực đại nên M/U ∈ 𝔉’. Khi đó kéo theo M/A ∈ 𝔉’, nghĩa là M/X0 ∈ 𝔉’ trái với sự lựa chọn của X0. (iii ⇒ ii) Tính chất (ii) là mở rộng nhóm đóng và tức nhiên với mỗi môđun hữu hạn sinh cho ta một môđun nửa artin, bao gồm cả M. (ii ⇒ i) Hiển nhiên. Ngoài ra, chúng ta có thể giả sử M là môđun đế. Khi đó, mỗi môđun con đóng U của M thì Ass(M/U) ⊂ Ass(M) nên M/U là môđun đế. Điều kiện tối đại cho lớp môđun con đóng tương đương với số chiều Goldie hữu hạn. Với b = ⋂Ass(M) thì M là b-nguyên sơ, do đó ∞ ∑ Ann i =1 M (bi ) = M . Bởi vì M/AnnM(bi) là môđun căn với mọi i nên ta có thể giả sử AnnM(be) = AnnM(be+1) =… với e ≥1 và từ beM = 0 kéo theo b ⊂ AnnR ( M ) . Bao hàm ngược lại là luôn luôn đúng. Hệ quả 2.1.3. 𝔘 = 𝔉. Chứng minh: M ∈ 𝔄 không thể là tổng trực tiếp vô hạn các môđun khác 0: Ta có M = ⊕∝𝑖=1 𝑀𝑖 trong đó Mi ≠ 0 với mọi i. Như trong [1, trang 4] thì M= ⊕∝𝑖=1 𝑁𝑖 trong đó mỗi Ni là tổng trực tiếp vô hạn của các môđun con khác 0, và với Un = ⊕in=1 N i thì trong dãy tăng U1 ⊂ U2 ⊂ U3 ⊂ … các môđun thương Un+1/Un ≅ Nn+1 là artin, điều đó là không thể. Theo (2.1.2) ta chọn một môđun con hữu hạn sinh B của M sao cho M/B là môđun nửa artin, khi đó Soc(M/B) ∈ 𝔄 nên cũng là hữu hạn sinh, M/B là artin và M ∈ 𝔉. 18