Môđun Minimax: Luận văn Thạc sĩ Toán học về một số tính chất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Thanh Phương MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN MINIMAX

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Thanh Phương

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN MINIMAX

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. TRẦN TUẤN NAM

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí

Minh được sự giúp đỡ tận tình của nhà trường, quí Thầy cô, gia đình và bạn bè, tôi đã hoàn

thành chương trình học và luận văn này. Tôi vô cùng biết ơn.

Trước hết, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, Khoa toán tin và Phòng

sau đại học trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho

tôi thực hiện tốt luận văn này.

Tôi xin gửi lời biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến Thầy hướng dẫn PGS. TS Trần

Tuấn Nam, Thầy đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn.

Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên giúp đỡ tôi trong thời gian

qua.

Dù đã cố gắng thực hiện luận văn bằng cả tâm huyết nhưng sự hạn chế về ngoại ngữ của

bản thân cũng sẽ làm luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự

đóng góp chân thành của quí Thầy cô và các bạn.

TP. Hồ Chí Minh, ngày 21 tháng 09 năm 2013

Người thực hiện

Nguyễn Thị Thanh Phương

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1

MỤC LỤC .................................................................................................................... 2

KÍ HIỆU TOÁN HỌC ................................................................................................ 3

LỜI NÓI ĐẦU.............................................................................................................. 5

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................... 7

1.1. Iđêan nguyên tố liên kết và iđêan nguyên tố đối liên kết. ........................................ 7

1.2. Mở rộng cốt yếu. .......................................................................................................... 9

1.3. Môđun căn, đơn - căn và môđun đế. ....................................................................... 10

1.4. Môđun coatomic. ....................................................................................................... 13

1.5. Số chiều. ...................................................................................................................... 14

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN MINIMAX ....................... 16

2.1. Dãy điều kiện đối với môđun con U sao cho Soc(M/U)=0. .................................... 16

2.2. Điều kiện min đối với môđun con căn. .................................................................... 21 2.3. Chuyển đổi đối ngẫu M0 = HomR(M, E).................................................................. 25 2.4. Điều kiện max đối với môđun con căn. ................................................................... 31

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 41

KÍ HIỆU TOÁN HỌC

R Vành noether giao hoán

Vành đầy đủ của vành địa phương R

𝑅� RS Vành các thương của R theo tập con nhân S

MS Môđun các thương của M theo tập con nhân S

Rp Môđun địa phương hóa của M tại iđêan nguyên tố p

Ω Tập tất cả các iđêan tối đại của R

N HomR(M, N) Tập tất cả các R-đồng cấu f: M

→ U M U chứa trong M và U M

⊊ ≠ K << M K nhỏ trong M

Ass(M) Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M

Coass(M) Tập tất cả các iđêan nguyên tố đối liên kết của M

R/ rx = 0} AnnR(x) {x

∈ R/ rM = 0} AnnR(M) {x

∈ M/ mx = 0} AnnM(m) {x

∈ I(M) {x R/ rM M}

≠ ∈ Giao của tất cả các iđêan nguyên tố liên kết với M

∩ Ass(M) Hợp của tất cả các iđêan nguyên tố liên kết với M

∪ Ass(M) Giao của tất cả các iđêan nguyên tố đối liên kết với M

∩ Coass(M) Hợp của tất cả các iđêan nguyên tố đối liên kết với M

∪ Coass(M) Soc(M) Đế của M

Rad(M) Căn của M

L(M) Tổng của tất cả các môđun con artin của M

P(M) Môđun con căn lớn nhất của M

Lm(M) Thành phần m-nguyên sơ của M

Tổng trực tiếp trong

⊕ Tổng trực tiếp ngoài

⨆ dim M Chiều Krull của M

Gd M Chiều Goldie của M

LỜI NÓI ĐẦU

Những tính chất của môđun minimax được Zöschinger nghiên cứu vào năm 1986,

nghiên cứu này dựa trên kết quả của bài báo về “Môđun compắc tuyến tính trên vành

noether” của ông. Từ đây ông tìm ra được mối liên hệ chặt chẽ giữa các khái niệm: dãy điều

kiện với môđun minimax, hữu hạn sinh với coatomic và artin với nửa artin. Các mối liên hệ

này cho ta các tính chất của môđun minimax một cách tổng quát.

Một R-môđun M được gọi là môđun minimax nếu có một môđun con hữu hạn sinh U

sao cho M/U là artin hay nói cách khác M là mở rộng của một môđun hữu hạn sinh theo một

môđun artin. Ở đây R là vành noether giao hoán

. Cụ thể áp dụng cho R-môđun M ta có hai

kết quả đáng ngạc nhiên sau đây: (2.1.2) Nếu M thỏa điều kiện max đối với lớp môđun con U sao cho Soc(M/U) = 0 thì M là

mở rộng một môđun hữu hạn sinh theo một môđun nửa Artin.

(2.2.3) Nếu M thỏa điều kiện min đối với lớp môđun con căn thì P(M) là mở rộng cốt yếu

một môđun hữu hạn sinh theo một môđun nửa Artin.

Đảo ngược lại với (2.1.2) ta có điều kiện tương đương trong (2.1.5), trong trường hợp này

khái niệm “chiều Goldie hữu hạn” được đưa ra. Lấy đối ngẫu trong trường hợp điều kiện

max ta có năm điều kiện tương đương trong (2.3.6), từ đây ta có khái niệm “thặng dư cốt

yếu của môđun artin”. Nếu M là môđun bổ sung tiếp tục chúng ta có các điều kiện tương

đương trong (2.4.5).

Mục đích của luận văn này là hệ thống lại một số kiến thức cần thiết của đại số giao

hoán có liên quan đến vấn đề tìm hiểu và nghiên cứu, sau đó trình bày lại chi tiết các vấn đề

đưa ra dựa trên bài báo [16] của Zöschinger.

Nội dung luận văn được chia thành hai chương cụ thể như sau:

Chương 1- Kiến thức chuẩn bị.

Trong chương này, chúng tôi trình bày lại các khái niệm và một số mệnh đề để chứng minh

các kết quả trong chương 2.

Chương 2- Một số tính chất của môđun minimax.

Chương này gồm có 4 phần:

Phần 1: Dãy điều kiện đối với lớp môđun con U sao cho Soc (M/U) = 0.

Phần 2: Điều kiện min đối với lớp môđun con căn.

Phần 3: Chuyển đổi đối ngẫu M0 = HomR(M, E).

Phần 4: Điều kiện max đối với lớp môđun con căn.

Dù đã hết sức cố gắng nhưng vì còn nhiều hạn chế trong nhận thức cũng như ngôn ngữ

nên luận văn này không tránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận được ý kiến đóng góp, xây dựng

của quí thầy cô và các bạn đồng nghiệp.

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Iđêan nguyên tố liên kết và iđêan nguyên tố đối liên kết.

Định nghĩa 1.1.1. Cho M là một R-môđun và x M, linh hóa tử của x là

∈ R/ rx = 0}. AnnR(x) = { r

∈ R/ rM = 0}. Linh hóa tử của M là: AnnR (M) = { r

∈ Định nghĩa 1.1.2. Cho M là một R-môđun, một iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan

nguyên tố liên kết với M nếu tồn tại 0 x M sao cho p = AnnR(x).

≠ ∈ Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết với M được kí hiệu là Ass(M).

Mệnh đề 1.1.3. Cho p là một iđêan nguyên tố của R, M là một R-môđun và U là môđun con

của M. Khi đó:

Ass (M) nếu và chỉ nếu có môđun con B của M sao cho B R/p. (i) p

Ass(M) Ass(U) Ass(M/U). (ii) Ass(U) ∈ ≅

⊆ ⊆ ∪ Mệnh đề 1.1.4. Cho M là một R-môđun. Khi đó phần tử tối đại của tập

M, x 0}. {AnnR(x)/ x

∈ ≠ là một iđêan nguyên tố.

Hệ quả 1.1.5. Cho M là một R-môđun. Khi đó Ass(M) nếu và chỉ nếu M 0. Hơn nữa,

nếu M hữu hạn sinh thì Ass(M) là tập hữu hạn. ≠ ≠ ∅

Định nghĩa 1.1.6. Cho M là một R-môđun, phần tử x R được gọi là ước của 0 trên M

0. nếu AnnM (x) ∈

≠ Mệnh đề 1.1.7. Cho M là R-môđun, tập tất cả các ước của 0 trên M là .

⋃ 𝐴𝑠𝑠(𝑀) Mệnh đề 1.1.8. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó

⋂ 𝐴𝑠𝑠(𝑀) = �𝐴𝑛𝑛𝑅(𝑀) Định nghĩa 1.1.9. Một R-môđun N được gọi là không phân tích được nếu N 0 và từ

≠ X + Y = N ta luôn có N = X hoặc N = Y.

Trong trường hợp này tập I(N) = { x R/ xN N} là một iđêan nguyên tố của R. Nếu

M là một R-môđun không phân tích được và N là môđun con thực sự của M thì M/N là ∈ ≠

môđun thương không phân tích được và I(M) = I(M/N).

Định nghĩa 1.1.10. Cho M là R-môđun, một iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan

nguyên tố đối liên kết với M nếu có một môđun thương không phân tích được N của M sao

cho p = I(N).

Tập tất cả các iđêan nguyên tố đối liên kết với M được kí hiệu là Coass(M). Hiển nhiên

Coass(M) nếu M 0.

≠ ∅ ≠ Theo [15, mệnh đề 2] ta có tính chất sau:

= { x R/ xM M}.

⋃ 𝐶𝑜𝑎𝑠𝑠(𝑀) ∈ Định nghĩa 1.1.11. Cho M là một R-môđun và m ≠ . Tập

∈ Ω M/ me Lm (M) = { x AnnR(x) với e là số nguyên dương nào đó }.

⊂ ∈ được gọi là thành phần m-nguyên sơ của M.

Một R-môđun được gọi là nửa artin nếu mỗi môđun con thực sự chứa một môđun con

tối tiểu. Với bất kỳ R-môđun M ta ký hiệu L(M) là tổng của tất cả các môđun con artin của

M. Khi đó L(M) là môđun con nửa artin lớn nhất của M.

Theo [6, Định lí 1] thì ta có L (M) = .

⊕𝑚∈𝛺 Lm(𝑀) Định nghĩa 1.1.12. Cho R là vành noether và m là một iđêan của R. Một R-môđun M được

gọi là m-nguyên sơ nếu M = Lm(M).

Mệnh đề 1.1.13. Cho M là một R-môđun khác 0. Khi đó:

(i) Nếu L (M) = M thì M là môđun nửa artin.

𝑖

với m . (ii)

(𝑚 ) Ω

∝ 𝐿𝑚(𝑀) = ∑ 𝐴𝑛𝑛𝑀 𝑖=1 ∈ Định nghĩa 1.1.14. Cho M là R-môđun và m

. Khi đó tập

∈ Ω a a m với bất kỳ a }. Km (M) = {x M/ AnnR(x)

∈ ⇒ ⊆ ∈ Ω ⊆ được gọi là m- địa phương lớn nhất của M.

Ω Km (M).

∈

Theo [14, Mệnh đề 2.3] đối với mỗi R-môđun ta có M =

⊕ Mệnh đề 1.1.15. Cho M là R-môđun và B là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó ta có:

Supp(B). Coass(M R⊗ B) = Coass(M)

⋂ Mệnh đề 1.1.16. Cho A là một R-môđun hữu hạn sinh và M là môđun nội xạ. Khi đó ta có:

0}. Coass(HomR(A, M)) = { p Ass(A)/ AnnM(p)

∈ ≠ Mệnh đề 1.1.17. Cho M là một R-môđun khác 0. Khi đó M là môđun nửa artin nếu và chỉ

nếu Ass(M) .

⊆ Ω

1.2. Mở rộng cốt yếu.

Định nghĩa 1.2.1. Cho M là R-môđun. Một R-môđun E M được gọi là mở rộng cốt yếu

M 0. của M nếu với mỗi môđun con U khác 0 của E thỏa mãn U ⊇

≠ ∩ Mở rộng cốt yếu E M được gọi là tối đại nếu không tồn tại R-môđun K E và đồng

thời K là mở rộng cốt yếu của M. ⊇ ⊋

e E.

Nếu E M là mở rộng cốt yếu của M thì M được gọi là môđun con cốt yếu (hay lớn)

trong E và ký hiệu là M ⊇

⊆ Môđun con N của M được gọi là môđun đối cốt yếu (hay nhỏ) trong M nếu với mỗi

môđun con N’ của M ta luôn có N + N’ = M kéo theo N’ = M và kí hiệu là N << M.

e E.

Đồng cấu f: M E được gọi là mở rộng cốt yếu nếu f là đơn cấu và Imf

→ ⊆ Một toàn cấu f: M N được gọi là đối cốt yếu nếu Kerf << M nghĩa là X + Kerf = M

kéo theo X = M với X là môđun con của M. Khi đó M cũng được gọi là thặng dư cốt yếu →

của N.

Định nghĩa 1.2.2. Một môđun con N của R-môđun M được gọi là đóng nếu N không có mở

e K thì K = N với K là môđun con của M.

rộng cốt yếu trong M, tức là nếu N

⊆ Một R-môđun con U của M được gọi là đối đóng của M nếu U/X << M/X thì U/X = 0

với X là môđun con của M.

Định nghĩa 1.2.3. Một R-môđun M được gọi là môđun bổ sung nếu mỗi môđun con U của

M thì tập {V M / V + U = M} có phần tử tối tiểu V0.

⊂ Một môđun M được gọi là bổ sung yếu nếu với mỗi môđun con U của M có một môđun

con V sao cho V + U = M và V U << M (hay U gọi là bổ sung yếu của V trong M).

∩ Mệnh đề 1.2.4. Cho M là một R-môđun. Khi đó:

Nếu M là R-môđun bổ sung thì M/Rad(M) là môđun nửa artin, M/P(M) là (i)

coatomic và P(M) là môđun bổ sung.

(ii) Nếu mỗi môđun con của M là một môđun bổ sung trong M thì M là môđun nửa

đơn.

Mệnh đề 1.2.5. Cho N là môđun con của M. Các điều sau tương đương:

N là bổ sung trong M. (i)

(ii) N là đối đóng trong M.

Định nghĩa 1.2.5. Cho M là một R-môđun, ta nói phần tử x R tác động song ánh lên M

nếu đồng cấu nhân với x: M M, m xm là một đẳng cấu. ∈

↦ → Mệnh đề 1.2.6. Cho m là iđêan tối đại của R và M là R-môđun sao cho tồn tại phần tử x

M tác động song ánh lên M. Khi đó ta có: ∈

(R/ m, M) = 0. (1)

𝑅 (R/m, M) = 0. 𝑇𝑜𝑟1 1 𝐸𝑥𝑡𝑅

(2)

Mệnh đề 1.2.7. Cho U là môđun con của R-môđun M và S là tập con nhân của R sao cho S

không chứa ước của 0 trên M. Khi đó nếu f: U M là một mở rộng cốt yếu các R-môđun

thì fS: US MS cũng là mở rộng cốt yếu các RS-môđun. →

→ Mệnh đề 1.2.8. Cho m là một iđêan tối đại của R và M là R-môđun. Khi đó

𝑅/𝑚 ⊗𝑅 𝑀 ≅ 𝑀/𝑚𝑀.

1.3. Môđun căn, đơn - căn và môđun đế.

Định nghĩa 1.3.1. Một R-môđun M được gọi là môđun đơn nếu M khác 0 và M không có

môđun con nào khác 0 và M.

Một R-môđun M được gọi là nửa đơn nếu mỗi môđun con của M là hạng tử trực tiếp

trong M.

Định lí 1.3.2. Cho M là một R-môđun . Các điều sau tương đương:

(i) M là nửa đơn.

(ii) M là tổng của các môđun con đơn của nó.

(iii) Mỗi môđun con của M là hạng tử trực tiếp.

Định nghĩa 1.3.3. Đế của R-môđun M là tổng của các môđun con đơn của M, tương đương

với giao của các môđun con cốt yếu của M và được kí hiệu là Soc (M).

Môđun M được gọi là môđun đế nếu nó không có môđun con đơn hay Soc(M) = 0.

Soc(M) là môđun con nửa đơn lớn nhất của M và M là môđun nửa đơn nếu và chỉ nếu M

= Soc(M).

Bổ đề 1.3.4. Cho (R, m) là vành địa phương và M là một R-môđun. Khi đó

Soc(M) HomR( R/m, M).

≅ Chứng minh: Vì AnnM(m) HomR( R/m, M) nên ta có thể chỉ cần chứng minh Soc(M)

R/m nên mU = 0 tức là U = AnnM(m). Cho U là một môđun con đơn của M, ta có U ≅

AnnM(m). Điều này đúng với mọi môđun con đơn của M nên Soc(M)

AnnM(m). Để thấy ⊆ ≅ M sao cho mx = 0, từ đây ta phải có m = Ann(x) và do đó Rx bao hàm thức còn lại lấy x ⊆

R/m là môđun đơn tức là Rx Soc(M). ∈

⊂ ≅ Định nghĩa 1.3.5. Một R-môđun M được gọi là có cấp tối đại nếu với mỗi x M, từ

p với p là một iđêan nguyên tố của R, ta luôn có p . AnnR(x) ∈

⊆ Ω ∈ Mệnh đề 1.3.6. Cho M là R-môđun. Các điều sau tương đương:

(i) M là môđun artin.

(ii) M có cấp tối đại và Soc(M) là hữu hạn sinh.

Mệnh đề 1.3.7. Cho M là một R-môđun. Khi đó Soc(M/L(M)) = 0.

Định nghĩa 1.3.8. Một môđun con U của R-môđun M được gọi là môđun con tối đại của

M nếu M/U là môđun đơn.

Định nghĩa 1.3.9. Căn của R-môđun M là giao của tất cả các môđun con tối đại của M,

tương đương với tổng của các môđun con đối cốt yếu của M.

Kí hiệu là Rad(M).

Khi đó môđun M được gọi là môđun căn nếu M không có môđun con tối đại nào hay

Rad(M) = M.

Bổ đề 1.3.10. Căn của R-môđun M là giao của tất cả các môđun con U của M sao cho M/U

là môđun nửa đơn.

Chứng minh: Kí hiệu r(M) là giao của tất cả các môđun con U của M sao cho M/U là

nửa đơn, rõ ràng ta có r(M) Rad(M). Để chứng minh chiều ngược lại, cho U là một

môđun con của M sao cho M/U nửa đơn, tức là trong đó mỗi Si là môđun

⊆ M/U là phép chiếu tự nhiên, đơn. Gọi p: M Si là phép chiếu lên thành phần Si. : M/U 𝑀 ∕ 𝑈 = ⨁𝑖∈𝐼𝑆𝑖

p là môđun tối đại của M do M/ Ker p Với mỗi i Si là môđun , ta có Ui = Ker → 𝜋𝑖 →

, Rad(U) Ui nên 𝜋𝑖 𝜋𝑖 ≅ đơn.Vì mỗi i ∈ 𝐼

∈ 𝐼 ⊆ Rad(M) = U, điều này có nghĩa là Rad(M) r(M).

𝑖∈𝐼 ⋃ 𝑈𝑖

⊆ ⊆ Mệnh đề 1.3.11. Cho M là R-môđun. Khi đó:

𝑚∈Ω

. Rad(M) =

𝑚𝑀 ⋂ Định nghĩa 1.3.12. Cho M là một R-môđun, tổng của các môđun con căn được ký hiệu là

P(M). Khi đó P(M) là môđun con căn lớn nhất của M. Nếu P(M) = 0 thì M được gọi là

môđun rút gọn.

Một R-môđun M được gọi là môđun nhỏ - rút gọn nếu mọi môđun con căn nhỏ trong

M là môđun 0.

Mệnh đề 1.3.13. Nếu M là R-môđun căn và đồng thời M là môđun hữu hạn sinh thì M = 0.

Mệnh đề 1.3.14. Cho M là R-môđun và U là môđun con của M. Nếu Soc(M) = 0 thì U là

môđun căn. Khi đó với mỗi p Ass(M) ta có dim(R/p) 1.

≤ ∈ Định nghĩa 1.3.15. Một R-môđun M được gọi là đơn - căn nếu M là môđun căn khác 0 và

không chứa bất kỳ môđun con căn nào.

Mệnh đề 1.3.16. Cho M là môđun đế. Các điều sau tương đương:

(i) M là tổng các môdun con đơn – căn.

(ii) M là môđun căn và mỗi môđun con U của M thỏa mãn Soc(U) = 0 thì U là hạng

tử trực tiếp trong M.

Mệnh đề 1.3.17. Cho M là môđun đế và là tổng trực tiếp của các môđun đơn - căn. Các điều

sau tương đương:

Ass(M) = Coass(M). (i)

Ass(M)/ p m} là hữu hạn. (ii) Mỗi iđêan tối đại m của R thì tập {p

∈ ⊂ Mệnh đề 1.3.18. Cho M là một môđun artin. Các điều sau tương đương:

(i) M là tổng của các môđun đơn - căn.

(ii) M = U1+ U2+…+Un trong đó Ui là môđun không chia được và là tổng các môđun

đơn - căn.

Mệnh đề 1.3.19. Cho một môđun artin M là tổng của các môđun con đơn - căn. Các điều

sau tương đương:

(i) Mỗi môđun con căn của M là tổng của các môđun con đơn - căn.

Coass(M) thì dim(R/p) = 1. (ii) Với mọi p

(iii) M thỏa điều kiện max đối với lớp môđun con căn. ∈

1.4. Môđun coatomic.

Định nghĩa 1.4.1. Một R-môđun M được gọi là coatomic nếu mỗi môđun con thật sự của

M chứa trong một môđun con tối đại, tương đương với Rad(M)/U M/U với mỗi môđun

con thực sự U của M. ≠

… Theo một cách khác, môđun M được gọi là coatomic nếu trong dãy 0 = M0 M1

Mn-1 = M các môđun con của M thì Mi/Mi-1 là môđun hữu hạn sinh hoặc nửa đơn với mọi i. ⊂ ⊂ ⊂

Mỗi môđun con và môđun thương của môđun coatomic là môđun coatomic.

Mệnh đề 1.4.2. Mỗi R-môđun hữu hạn sinh hoặc môđun nửa đơn là coatomic.

Định nghĩa 1.4.3. Cho U là một môđun con coatomic của R-môđun M. Khi đó M được gọi

là mở rộng một coatomic nếu M/U là môđun nửa artin.

Bổ đề 1.4.4. Cho là lớp của tất cả các R-môđun là mở rộng một môđun coatomic theo một

môđun nửa artin. Khi đó ta có 𝔥

M nếu U và M/U .

∈ ∈ 𝔥 𝔥 Chứng minh: Vì U ∈ và M/U 𝔥 nên ta có các môđun con B U C M sao cho B

là coatomic, U/B là môđun nửa artin, C/U coatomic và M/C là môđun nửa artin. Đặt = {X ∈ 𝔥 ∈ 𝔥 ⊂ ⊂ ⊂

M/ X U = B} khi đó ta chọn trong tập hợp này một phần tử cực đại X0 để có một đơn 𝔇

M/X0. Điều này kéo theo M/ X0 C là môđun nửa artin, mặt khác X0 cấu cốt yếu f: U/B ⊂ ∩

C cũng là C /B là môđun con của coatomic C/U nên cũng là coatomic, do đó X0 ∩

. → coatomic. Vậy nên M ∩ ∩

∈ 𝔥 Mệnh đề 1.4.5. Nếu Coass(M) Ω =

∩ ∅ thì M là môđun căn. Ω thì M là coatomic.

13 Nếu Coass(M) ⊂

Mệnh đề 1.4.6. (xem [13, mệnh đề 2.4] Cho M là R-môđun. Các điều sau tương đương:

1. (i) M là coatomic. (ii) M/AnnM(me) là hữu hạn sinh với e (iii) MeM là hữu hạn sinh với e ≥

≥

1.5. Số chiều.

Định nghĩa 1.5.1. Một dây chuyền các iđêan nguyến tố của R là một dãy tăng thật sự các

…. iđêan nguyên tố p0 p1 pn của R, trong đó số nguyên dương n được gọi là chiều dài

của dây chuyền. ⊊ ⊊ ⊊

Cận trên đúng của tất cả độ dài của các dây chuyền các iđêan nguyên tố của R được gọi

là chiều Krull của R và được ký hiệu là dim R.

Định nghĩa 1.5.2. Cho M là một môđun hữu hạn sinh, số chiều của M ký hiệu là dim M

được xác định bởi

dimM = dim (R/ AnnR(M)).

Mệnh đề 1.5.3. Cho (R, m) là vành địa phương noether, M 0 là một R-môđun hữu hạn

sinh và x m. Khi đó ≠

∈ dim M dim(M/xM) dim M - 1.

≥ ≥ Mệnh đề 1.5.4. Cho R là vành noether và M là R-môđun hữu hạn sinh, khi đó các điều kiện

sau tương đương:

(i) M có chiều dài hữu hạn.

dim M = 0. (ii)

Định nghĩa 1.5.5. Một R-môđun M được gọi là môđun đều nếu M 0 và mỗi môđun con

khác 0 của M là môđun con cốt yếu của M. ≠

Định nghĩa 1.5.6. Một R-môđun M có chiều Goldie hữu hạn là n (số nguyên lớn nhất) nếu

e M và V là tổng trực tiếp của n môđun con đều.

có môđun con thực sự V sao cho V

⊆ Ký hiệu là Gd M = n.

Nếu M = 0 thì Gd M = 0.

Nếu M là một môđun đều thì Gd M = 1.

Mệnh đề 1.5.7. Một R-môđun M có chiều Goldie hữu hạn nếu M không chứa tổng trực tiếp

vô hạn các môđun con khác 0 của M.

Mệnh đề 1.5.8. Cho M là R-môđun, khi đó ta có nếu M là nửa đơn thì M có chiều Goldie

hữu hạn.

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN MINIMAX

2.1. Dãy điều kiện đối với môđun con U sao cho Soc(M/U)=0.

là lớp các R-môđun mở rộng một môđun hữu hạn sinh theo một môđun artin,

Cho và lần lượt là lớp các R-môđun thỏa tính chất:

𝔄 … các môđun con của M sao 𝔉 khi và chỉ khi trong mỗi dãy tăng U1 U2 U3 M 𝔅 cho hầu hết các Ui+1/Ui là môđun artin.

… các môđun con của M ∈ 𝔄 M ⊂ khi và chỉ khi trong mỗi dãy giảm U1 ⊂ U2 ⊂ U3

sao cho hầu hết các Ui/Ui+1 là môđun hữu hạn sinh. ⊃ ⊃ ∈ 𝔅 Rõ ràng, ta có và

𝔅 ⊂ ⊂ 𝔄 𝔉 𝔉

⊃ . Trong trường hợp đầu tiên, để chứng minh đẳng thức tôi nghiên cứu điều kiện max đối với lớp môđun con U sao cho Soc(M/U) = 0, trong trường hợp thứ hai thì nghiên cứu điều kiện min đối với lớp môđun con căn của M. Trong bổ đề sau đây, tôi liệt kê các tính chất một cách tổng quát liên quan tới môđun minimax mà tôi liên tục sử dụng.

Bổ đề 2.1.1. M là mở rộng của coatomic theo một môđun nửa artin, khi đó:

(a) Nếu mỗi iđêan nguyên tố p Ω thì Mp là Rp- môđun hữu hạn sinh .

(b) Nếu f: M M là toàn cấu thì Kerf là nửa artin. ∉

P(M). (c) Nếu Soc(M/U) = 0 thì P(U) = U →

(d) Nếu U là môđun con căn của M thì L(M/U) = (L(M) + U)/U.

∩ Ass(P(M)) thì dim(R/p) 1. (e) Nếu p

Nếu thêm vào M là môđun đế, tiếp tục ta được: ≤ ∈

M là đơn cấu thì Cokerf là coatomic. (f) Nếu f: M

Ω thì U/mU là hữu hạn sinh. (g) Nếu với mỗi môđun con U của M và mỗi m →

Chứng minh: (a). Cho B là coatomic và M/B nửa artin. Từ p Ω ta chọn được m ∈

Ω sao cho p m và khi đó (B/L(B))m cũng là Rm-môđun đế và coatomic. ∉ ∈

⊂ Theo (1.4.6) thì (B/L(B))p là hữu hạn sinh. Do đó (B/L(B))p cũng là Rp-môđun hữu hạn

sinh, vì vậy L(B)p=0=(M/B)p.

(b). Với mọi p Ω thì đồng cấu cảm sinh Mp Mp là một đẳng cấu do đó (Kerf)p= 0.

Vì vậy ta có p Ass(Kerf) và Ass(Kerf) Ω , có nghĩa là Kerf là nửa artin. → ∉

⊂ ∉ (c). Bước 1: Với R là vành địa phương và M là môđun đế, khi đó M .Từ giả

thiết chứng minh ta có B là coatomic và M/B là nửa artin, ta cần chứng minh M/B là môđun ∈ 𝔉 ∈ 𝔥

artin.

1(R/m,B)

Theo (1.4.6) thì B là hữu hạn sinh, mặt khác từ dãy khớp 0 Soc(M/B) ExtR

mà Soc(M/B) là hữu hạn sinh, do đó M/B là môđun artin. → →

Bước 2: Với R là vành địa phương, M là môđun căn và Soc(M/U) = 0 như vậy U

cũng là môđun căn. Thật vậy : ∈ 𝔥

Vì M/U nên Ass(M/U) và Coass(M/U) hữu hạn và vì

nên ta chọn x m sao cho có tác động song ánh lên M/U. m ⊄ Ass(M/U) ∈ 𝔉

R(M/U, R/m) ∪ ⋃Coass(M/U)

Trong dãy khớp Tor1 U ⊗ R R/m M ⊗ R R/m có thành phần đầu tiên và thứ ⋃ ∈

ba là 0 nên U là môđun căn. →

→ Bước 3: Với R không là vành địa phương, M là môđun căn và Soc(M/U) = 0, áp

và là môđun căn. Ta cũng có dụng cho mỗi m Ω thì Mm cũng là Rm-môđun thuộc ∈ 𝔥

Soc(Mm/Um) = 0 nên từ bước 2 thì Um là môđun căn, vì vậy U là m-chia được – áp dụng 𝔥

điều này từ U P(M), khi đó (c) đã được chứng minh. ∈ P(M)

⊂ ∩ (d). Ta xét (L(M) + U)/L(M) M/ L(M), ta giả sử M (cũng tương tự với M/U) là môđun

đế. Trong trường hợp là vành địa phương, ta có U , nên với x m thì phép nhân x: U ⊂

ExtR U là tác động song ánh, vì vậy trong dãy khớp Soc(M) 𝔉 ∈

1(R/m, U) cả ba → môđun

Soc(M/U) ∈ thành phần của dãy đều là 0. Trong trường hợp chung, với mỗi m →

Ω thì Mm → đế và Um là môđun căn nên Soc(Mm/Um) = 0 và do đó Socm(M/U) = 0. ∈ ∈ 𝔥 là

(e). Như [15, Bổ đề 1.1] thì mỗi U P(M) theo (c) ta được Soc(P(M)/U) = 0, do đó U là

môđun căn. ⊂

(f). Trong trường hợp là vành địa phương thì M , do đó M

Imf3 với m Imf Imf2 ∈ 𝔉

1 thỏa mãn Imfm/ Imfm+1 là hữu hạn sinh và môđun nội ∈ 𝔅. Khi đó ta có dãy M/Imf, nghĩa là đến Cokerf. Trong trường hợp không là vành địa ⊃… ≥ ⊃

Ω do đó Cokerf là coatomic. xạ của đẳng cấu f ⊃ giảm phương thì (Coker f)m là hữu hạn sinh với mọi m →

(g). Vì Rm-môđun Um là mở rộng một môđun hữu hạn sinh theo một môđun artin nên Um ∈

cũng có môđun thương căn hữu hạn sinh, do đó

dim(U/mU) = dim(Um/Ra(Um)).

Mệnh đề 2.1.2. Cho một R-môđun M. Các điều sau là tương đương:

(i) M thỏa điều kiện max đối với lớp môđun con U sao cho Soc(M/U) = 0.

(ii) Trong mỗi dãy tăng U1 U2 U3 .. của các môđun con của M thì Ui+1/Ui là môđun

nửa artin với hầu hết các i. ⊂ ⊂ ⊂.

(iii) M là mở rộng một môđun hữu hạn sinh theo một môđun nửa artin.

∩

As (

s M

)

(

)

Ann

Trong trường hợp này thì M =M/L(M) có số chiều Goldie hữu hạn và

Chứng minh: Cho ’ là lớp các R- môđun là mở rộng một môđun hữu hạn sinh theo một

môđun nửa artin. 𝔉

(i iii) Giả sử M ’, nên ta có M/L (M) ’ và tập

∉ 𝔉 ∉ 𝔉 {X ⇒ M/ Soc(M/X) = 0 và M/X ’} có một phần tử cực đại X0. Ta chọn

⊂ ∉ 𝔉 A U và Soc(M/U) = 0, vì X0 M với A/X0 là hữu hạn sinh, từ U/A = L(M/A) thì X0

’ trái với sự lựa do tính cực đại nên M/U ’. Khi đó kéo theo M/A ⊊ ⊂ ’, nghĩa là M/X0 ⊊

chọn của X0. ∈ 𝔉 ∈ 𝔉 ∈ 𝔉

(iii ii) Tính chất (ii) là mở rộng nhóm đóng và tức nhiên với mỗi môđun hữu hạn sinh

cho ta một môđun nửa artin, bao gồm cả M. ⇒

(ii i) Hiển nhiên.

⇒ Ngoài ra, chúng ta có thể giả sử M là môđun đế. Khi đó, mỗi môđun con đóng U của M

thì Ass(M/U) Ass(M) nên M/U là môđun đế. Điều kiện tối đại cho lớp môđun con đóng

∞

tương đương với số chiều Goldie hữu hạn. Với b = Ass(M) thì M là b-nguyên sơ, do đó ⊂

b (

⋂ . Bởi vì M/AnnM(bi) là môđun căn với mọi i nên ta có thể giả sử

∑

Ann

= 1

⊂

(

)

RAnn M

1 và từ beM = 0 kéo theo b . Bao hàm AnnM(be) = AnnM(be+1) =… với e

ngược lại là luôn luôn đúng. ≥

Hệ quả 2.1.3. = .

𝔘 𝔉 Chứng minh: M không thể là tổng trực tiếp vô hạn các môđun khác 0: Ta có M =

0 với mọi i. Như trong [1, trang 4] thì M = trong đó Mi ∈ 𝔄

trong đó mỗi Ni là tổng trực tiếp vô hạn của các môđun con khác 0, và với Un = ≠

∝ ⊕𝑖=1 ∝ n iN=⊕ ⊕𝑖=1 i

Nn+1 là artin, điều 𝑀𝑖 thì trong dãy tăng U1 ⊂ U2 ⊂ U3 ⊂ … các môđun thương Un+1/Un 𝑁𝑖

đó là không thể. Theo (2.1.2) ta chọn một môđun con hữu hạn sinh B của M sao cho M/B là ≅

môđun nửa artin, khi đó Soc(M/B) nên cũng là hữu hạn sinh, M/B là artin và M .

∈ 𝔄 ∈ 𝔉

Mệnh đề 2.1.4. Giả sử dim(R) 1 và M là một R-môđun có chiều Goldie hữu hạn. Khi đó

nếu M có một môđun con hữu hạn sinh B sao cho M/B là nửa artin thì mỗi thành phần ≤

nguyên sơ của M/B là artin.

Chứng minh : Trong trường hợp dim(R) = 0 thì M là artin, vì vậy hiển nhiên đúng.

i=1

tập con nhân đóng S = R Trong trường hợp dim(R) = 1 thì với các iđêan nguyên tố không tối đại p1,…, pk của R ta có kpi, và khi đó Rs là artin. Vì vậy Ms không chỉ là Rs-môđun có

chiều Goldie hữu hạn mà còn là môđun hữu hạn sinh. Giả sử B là một môđun con hữu hạn ∖⋃

’. sinh của M sao cho (M/B)S = 0. Khi đó M/B là nửa artin, vì vậy M

Với mỗi môđun con U của M và mỗi m ∈ 𝔉 thì U/mU là hữu hạn sinh, bởi vì L(U)

R/m là rõ ràng và theo (2.1.1)(g) áp dụng cho U/L(U) ∈ Ω R/m. Cụ thể Socm(M/B) là hữu ⨂𝑅

hạn sinh, do đó Lm(M/B) là artin. ⨂𝑅

Mệnh đề 2.1.5. Cho M là một R-môđun. Các điều sau tương đương:

(i) M thỏa điều kiện min đối với lớp môđun con U sao cho Soc(M/U) = 0.

(ii) Trong mỗi dãy giảm U1 U2 U3 của các môđun con của M thì Ui/Ui+1 là

nửa artin với hầu hết các i. ⊃ ⊃ ⊃…

Ass(M) thì dim(R/p) (iii) M/L(M) có số chiều Goldie hữu hạn và với mọi p

1. ∈ ≤

Trong trường hợp này áp dụng cho mỗi đơn cấu f: M M thì Coker f là nửa artin.

→ Chứng minh :(i ii) Với mọi n 1, ta có Vn/Un = L(M/Un) nên Soc(M/Vn) = 0. Xét dãy

V1 V2 V3 vì (Vn+1+Un)/Un là ảnh toàn cấu của Vn+1/Un+1 nửa artin nên chứa trong ≥ ⇒

1, vì vậy với mọi i m thì Vn. Theo giả thiết Vm = Vm+1 = … với m Vn/Un nghĩa là Vn+1 ⊃ ⊃…

Vm+1/Ui+1 = L (M/Ui+1), do đó Ui/Ui+1 là nửa artin. ⊃ Ui/Ui+1 ≥ ≥ ⊂

⊂ (ii iii) Từ (ii) ta có môđun thương và với mọi p Ass (L(M)) thì dim(R/p) = 0, ta có

thể giả sử M là môđun đế. Với mỗi môđun con đóng U của M thì Soc(M/U) = 0, ⇒ ∈

khi đó M thỏa điều kiện min đối với môđun con đóng, tức là có chiều Goldie hữu hạn. Từ

(ii) ta cũng có các môđun con, tương tự ta giả sử M R/p như khẳng định thứ hai: Chọn tập

0 với mọi 0 {X M/X 0 và Soc(M/X) = 0} một phần tử tối tiểu X0, khi đó Soc(X0/Y) ≅

U X0, nên X0/U là nửa artin với mọi 0 X0. Vậy R/p có tính chất tương tự như ≠ Y ⊂ ≠

môđun con X0, và do đó dim(R/p) = 1. ≠ ⊊ ≠ ⊂

(iii i) Từ Soc(M/U) = 0 kéo theo L(M) U, ta giả sử M là môđun đế khác 0. Với S =

R Ass(M) từ Bước 1 ta có: nếu Soc(M/U) = 0 thì U là S-bão hòa trong M. Từ Soc(M/U) ⇒

p Ω. Mặt khác = 0 suy ra với mọi p ⊂ Ass(M/U) thì tồn tại p0 Ass(M) sao cho p0 ∖ ⋃

Ass(M) nên x Ass(M), nhưng Ass(M/U) dim(R/p0) = 1 nên p0 = p S không là ước của ⊂ ∉ ∈

∈ 0 trên M/U, do đó U là S-bão hòa trong M. ∈ ∈ ⊂

Trở lại với Soc(M/U) 0, tức là với m Ω thì m Ass(M/U) kéo theo m Ass(M) và

m S là ước của 0 trên M/U. Vì vậy U không là S-bão hòa trong M. Trong bước 2 cần x0 ⊄∪ ≠ ∈

∈ chỉ ra rằng Ms là Rs-môđun artin: với mỗi p Ass(M) thì pRs là một iđêan tối đại trong Rs,

n R/pi → M cảm sinh

i=1

Ass(M) điều này mâu thuẩn với ∈ ∩ giả sử p p1 sao cho p1 ∩ S = Ω và p1 , kéo theo p1 ∈

Soc(M) = 0. Vì có chiều Goldie hữu hạn nên một đơn cấu cốt yếu ∅ ∈ ∈ ⊆

i=1

n (Rs/piRS) → MS, trong đó tập nguồn là vành artin ∐

thành một Rs-đơn cấu cốt yếu

bao gồm cả tập đích. ∐

mỗi m 1 ta Bổ sung được thể hiện trong (2.1.1)(f), từ dãy giảm Imf f2

Cokerf là nửa artin. ⊃…. với ≥ ⊃ Im có Imfm/Imfm+1 Hệ quả 2.1.6. Cho M là môđun căn và M thỏa điều kiện max đối với lớp môđun con U sao ≅

cho Soc(M/U) = 0. Khi đó M thỏa điều kiện min tương đương.

Chứng minh : Theo (2.1.2) thì ta có M/L(M) có chiều Goldie hữu hạn, mặt khác M là

môđun căn nên P(M) = M, vì thế với mọi p Ass(M) ta có dim(R/p) 1 theo (2.1.1)(e).

Cũng theo (2.1.5) ta có M thỏa điều kiện min đối với lớp môđun con U sao cho Soc(M) = 0. ∈ ≤

Vì thế ta nói M thỏa điều kiện min tương đương.

Hệ quả 2.1.7. Cho dim(R) 1 và R-môđun M. Các điều sau tương đương:

≤ (i) M thỏa điều kiện max đối với lớp môđun con U sao cho Soc(M/U) = 0.

(ii) M thỏa điều kiện min tương đương.

(iii) M/L(M) có số chiều Goldie hữu hạn.

Mệnh đề 2.1.8. Cho M là một R-môđun và M = M/L(M). Khi đó các điều kiện sau tương

đương:

)

(i) M thỏa điều kiện min và max đối với lớp môđun con U sao cho Soc(M/U) = 0.

RAnn M . (

(ii) M thỏa điều kiện min tương đương và Ann( M ) =

⋂

(iii) M thỏa điều kiện max tương đương và với mỗi đơn cấu g: M M→ thì Cokerg là

nửa artin.

Chứng minh: (i ii) hoặc (i iii) được bổ sung trong (2.1.2) hoặc (2.1.5).

⇒ ⇒ (ii i) Trong chứng minh của (2.1.5)(iii i) ta có thể giả sử M là môđun đế khác 0 và

Ass(M) thì MS là RS-môđun có chiều dài hữu hạn. Với chỉ ra với S = R ⇒ ⇒

(

)

∖ ⋃ b = Ass(M) = Ass(M) thì bRS chỉ là căn Jacobson của các vành nửa địa phương RS và

RAnn M tức là beM = 0 với mỗi e

1, vì vậy MS được giản ước bởi (bRS)e. Khi đó MS là ⋂ ⋂

RS-môđun artin và có chiều dài hữu hạn. ≥

(iii i) Từ cách chứng minh của (2.1.5)(iii) ta có thể giả sử M là môđun đế, theo (2.1.2)

ta có một môđun con hữu hạn sinh B sao cho M/B là nửa artin. Khi đó B lớn trong M ⇒

và đặc biệt M có chiều Goldie hữu hạn và Ass(M) = Ass(B). Mỗi x R không phải là

ước của 0 trên B và cũng không là ước của 0 trên M, do đó theo giả thiết thì M/xM là nửa

B/xB ∈ M/xM (cũng như B/xB). artin, vì vậy ta có dãy khớp AnnM/B(x)

→ → Với mỗi m Ass(B) nên ta chọn một phần tử x thì dimRm(Bm) = 1. Thật vậy, vì m

m sao cho không là ước của 0 trên B. Khi đó dimRm(Bm/(x/1).Bm) = 0 trong đó x/1 mRm ∈ Ω ⊄ ⋃

Ass(B) thì p p1 m là không ∈

không là ước của 0 trên Bm. Vì vậy với mỗi p ∈ thể, nên dim(R/p) = 1. ∈ ⊊ ⊊

Hệ quả 2.1.9. M là coatomic và M thỏa điều kiện min đối với lớp môđun con U sao cho

Soc(M/U) = 0. Khi đó M cũng thỏa điều kiện max tương đương.

2.2. Điều kiện min đối với môđun con căn.

Bởi vì môđun minimax M thuộc lớp … các nên trong mỗi dãy giảm U1 U2

môđun con căn của M thì dừng. Điều kiện min trong (2.2.3) cung cấp cho ta một định lí cấu ⊃ ⊃ 𝔅

trúc, cụ thể cho ta tính chất (ii) như trong điều kiện (2.1.2)(iii) là điều đáng ngạc nhiên. Từ

đó kéo theo (2.2.7) ta có được đẳng thức .

𝔅 = 𝔉 Bổ đề 2.2.1. Cho M là chia được với bất kỳ iđêan nguyên tố liên kết với nó và cho B là

môđun con của M sao cho M/B là artin. Khi đó M/P(B) cũng là artin.

Chứng minh: Từ giả thiết của M ta có với mỗi môđun con hữu hạn sinh V của M có một

iđêan a sao cho aV = 0 và aM = M. Thật vậy, khi V = 0 thì là hiển nhiên và khi

V 0 thì Ass(V) = {p1,…,pn} và b = p1…pn. Theo giả thiết thì bM = M mà b

1 vì vậy a = be. ⊂ Ass(V) nên beV = 0 với e ≠

R(M/B, R/m)

≥ ⋂ Giả sử M/B là artin. Với mọi m Ass (M/B), ta có B/mB là hữu hạn sinh, vì trong dãy

R⊗ R/m ∈

B khớp Tor1 M R⊗ R/m ta có thành phần đầu tiên là hữu hạn sinh

Ass(M/B) ta có B là m-chia được, vì mỗi x m, x và thứ ba là 0. Với mỗi m → →

thì đồng cấu nhân với x: M/B Ass(M/B) R(M/B, R/m) = 0. Ta chọn M/B là song ánh để Tor1 ∈ ∉ ∉

một môđun con hữu hạn sinh V của B sao cho V + mB = B với mọi m Ass(M/B), từ →

→ ⊗

M B R a ,

)

→ ⊗ B

R a M

R a /

R 1or (

một iđêan a với aV = 0 và aM = M thì aB là môđun căn và vì dãy khớp ∈

nên aB cũng là artin. Vì aB P(B) nên M/P(B) cũng là artin.

⊂ Bổ đề 2.2.2. ’ như trong (2.1.2) là lớp tất cả các R-môđun, là mở rộng của một môđun hữu

hạn sinh theo một môđun nửa artin. Cho M là một R-môđun căn và nếu mỗi môđun con căn

𝔉 M thỏa U U ’ thì khi đó M ’.

∈ 𝔉 ∈ 𝔉 ⊊ Chứng minh : Bước 1: Bổ sung R là một miền nguyên và M là môđun xoắn chia được.

Giả sử M ’, khi đó ta chọn một môđun con B M sao cho M/B là artin và khi đó theo

(2.2.1) thì M/P(B) cũng là artin, vì vậy theo giả thiết P(B) ’ kéo theo M ’, điều này ⊊

∉ 𝔉 trái với giả sử. ∈ 𝔉 ∈ 𝔉

Bước 2: Với R là vành tùy ý. Giả sử M ’ vì thế tập {x R/ xM M} là một iđêan

nguyên tố, ta đặt là p và pM M. Trên miền nguyên R =R/p thì M1= M/pM là môđun căn ∉ 𝔉 ∈ ≠

và không thuộc ’, nhưng mỗi môđun con căn thực sự của M1 ⊊

’. Thay vì R ta ký hiệu là R, khi đó M1 là chia được và theo Bước 1 không là môđun xoắn. Vì vậy M2= 𝔉

thuộc 𝔉 ’, nhưng mỗi môđun con căn thực sự của M2 M1/T(M1) là chia được, xoắn và không thuộc

K, dim(R) >1 sao cho với 0 q là thuộc ’. Khi đó M2 Ω để Rq K và vì Rq là R- 𝔉

môđun căn nên Rq cũng thuộc ≅ ’. Môđun con căn thực sự của môđun xoắn chia được K/Rq ∉ ≠ ⊊

’ và điều này mâu thuẫn với điều chứng 𝔉 đều thuộc ’, theo Bước 1 thì K/Rq ’, M2 𝔉

minh. ∈ 𝔉 ∈ 𝔉 𝔉

Mệnh đề 2.2.3. Cho một R-môđun căn M. Các điều sau tương đương:

(i) M thỏa điều kiện min đối với lớp môđun con căn.

(ii) M là mở rộng cốt yếu một môđun hữu hạn sinh theo một môđun nửa artin.

(iii) M có chiều Goldie hữu hạn và mỗi môđun thương đế của M có hữu hạn các iđêan

nguyên tố liên kết, mỗi môđun con căn của M có hữu hạn các iđêan nguyên tố đối liên

kết.

Nếu môđun căn M thỏa điều kiện tương đương thì:

(a) M là bổ sung yếu.

(b) Với mỗi m Ω thì Mm là một môđun minimax.

. (c) ∈

⋂ 𝐶𝑜𝑎𝑠𝑠(𝑀) = �𝐴𝑛𝑛𝑅(𝑀) Chứng minh: (i ii) Chúng ta cần chứng minh M và M có chiều Goldie hữu hạn.

Giả sử M khi đó tập {X M/ X là một môđun căn và X } có một phần tử tối tiểu ⇒ ∈ 𝔉′

, tức là theo X0, từ tính chất tối tiểu mà mỗi môđun con căn thật sự của X0 đều thuộc ∉ 𝔉′ ⊂

. Điều này là không thể. ∉ 𝔉′, (2.2.2) thì X0 cũng thuộc 𝔉′

𝔉′ Nếu M thì M/L(M) có chiều Goldie hữu hạn.Theo (2.1.1)(c) thì L(M) là môđun

căn, do đó tập { X L(M)/ X là môđun căn và L(M)/X là môđun artin} có một phần tử tối ∈ 𝔉′

tiểu là X0. Ta giả sử X0 khác 0, ta chọn như Bước 1 của chứng minh (2.2.2) một môđun B ⊂

X0 sao cho X0/B là artin và theo (2.2.1) thì L(M)/P(B) là môđun artin, điều này trái với tính ⊊

chất tối tiểu của X0. Vì vậy X0 = 0, do đó L(M) là môđun artin.

(ii iii) Rõ ràng là M có chiều Goldie hữu hạn. Với mỗi môđun thương môđun đế của

M/U ta chỉ ra Coass(M/U) Ass(M/U) Ass(M). Thật vậy, lấy p Ass(M/U) thì có một p0 ⇒

1, vì p Ass(M) với p0 p, và từ (2.1.1)(e) thì dim(R/p0) Ω và nên p0 = p = Ass(M). ⊂ ⊂ ∈

∩

)

Ann M U (

)

⊂ ∈ ∉ = Lấy q ≤ Coass(M/U), vì theo (2.1.2) ta có As ( s M U nên tồn tại p

q và vì q Ω nên dim(R/p)=1 kéo theo p = q Ass(M/U) sao cho p ∈ ∈

Ass(M/U). ⊂ ∉ ∈

Vì giả thiết (ii) nên ta có môđun con căn, chúng ta cần chỉ ra Coass(M) là hữu hạn: Rõ

ràng có L(M) là môđun artin và với M/L(M) ta có điều phải chứng minh.

(iii i) Đầu tiên ta cần chứng minh với mỗi môđun con U của M có tính chất sau: nếu

M/U là môđun đế thì U là môđun căn và L(M) U. Từ Soc(M/U)=0 kéo theo L(M) U và ⇒

theo giả thiết thì Ass(M/U) cũng như Coass(M/U) đều là hữu hạn. Theo (2.1.1)(c) thì ⊂ ⊂

R(M/U,R/m)=0, vì vậy U R⊗ R/m = 0 với mọi m

Ω tức là U là môđun căn. Ngược lại Tor1

∈

1(R/m,U ) = 0. Khi đó Socm(

/M U ) = 0 với mọi m

L(M) U và U là môđun căn thì U = U/L(M) sao cho ExtR

Ω, do đó Soc(M/U) = 0. ⊂

∈ Theo (1.2.13) thì dim(R/p) 1 với mọi p Ass(M) mà theo (2.1.5) M thỏa điều kiện

min đối với môđun con U sao cho Soc(M/U) = 0. Nhưng trong dãy ≤ ∈

M U1 U2 … thì mọi Ui đều là môđun căn, mặt khác L = L(M) là artin, do đó

Um 1. Mặt khác M/(Ui+L) là môđun đế nên Un+L = Un+1+L ⊃ L = Um+1 ⊃

=…với mỗi n ⋂ L =…với mỗi m ⊃ m và từ đó kéo theo Un = Un+1 =…. ≥ ⋂

≥

∞

i a M

Trong các phần bổ sung tính chất (c) được suy ra trực tiếp từ (i): Với a = … là dãy giảm các môđun con căn thì aeM = a3M Coass(M) thì ta có M a2M aM

= 1

tức là aeM = 0 và a = ⊃ ⊃ ae+1M = … với mỗi e ⋂ 1. Nhưng theo [15, trang 129] thì ⊃ ⊃



)

(

RAnn M . Với (b) thì (M/L(M))m là môđun đế và thuộc

≥ , vì vậy theo chứng minh của

m∈Ω⊗ Lm(M/B) là sự

. Với (a) thì ta một (2.1.1)(c) đã thuộc , mà L(M)m là môđun artin nên tóm lại ta có Mm 𝔉′

môđun con hữu hạn sinh B sao cho M/B là nửa artin. Khi đó là M/B = ∈ 𝔉 𝔉

phân tích nguyên sơ của môđun minimax , do đó cũng là môđun artin. Đặc biệt M/B là

môđun bổ sung yếu, vì vậy M cũng là thặng dư cốt yếu các môđun artin M/B.

Khi Ω là hữu hạn với những khái niệm trên thậm chí M/B là môđun artin.

Hệ quả 2.2.4. Cho R là vành nửa địa phương, khi đó một R-môđun M thỏa điều kiện min

đối với lớp môđun con căn nếu P(M) là một môđun minimax.

Hệ quả 2.2.5. Cho M là môđun đế và M thỏa điều kiện min đối với lớp môđun con căn. Khi

đó M thỏa điều kiện max tương đương.

⊃

....

Mệnh đề 2.2.6.Cho một R-môđun M. Các điều sau tương đương:

⊃ của các môđun con của M thì hầu hết các môđun

(i) Trong dãy giảm

Ui/Ui+1 là coatomic.

(ii) M là mở rộng của một coatomic theo một môđun artin.

Trong trường hợp này thì P(M) là một môđun minimax và là thặng dư cốt yếu của một

môđun artin.

Chứng minh : (i ii) M chứa một môđun con coatomic V, vì vậy M/V là môđun căn.

M sao cho M/U1 là môđun căn và từ U2 U1 sao cho U1/U2 là Mặt khác nếu ta có U1 ⇒

24 ⊊ ⊊

⊃

....

⊃ trong đó tất cả Ui/Ui+1 là

môđun căn, do đó bằng cách qui nạp ta có dãy

môđun căn khác 0 và điều này trái với giả thiết. Thật vậy, với môđun V một lần nữa M/V

đáp ứng các điều kiện (i), do đó theo (2.2.3) có một môđun con hữu hạn sinh B/V sao cho

M/B là nửa artin. Mà theo (2.2.3) M/B không chỉ là môđun artin ngoài ra B còn là coatomic,

do vậy M thỏa yêu cầu.

(ii i) Tính chất (i) được xem như mở rộng nhóm đóng và dĩ nhiên nó có một môđun

coatomic và một môđun artin, bao gồm cả M. ⇒

Hơn nữa, chúng ta có thể giả sử M là môđun căn, khi đó theo (2.2.3) B là một môđun

con hữu hạn sinh, do đó M/B là nửa artin. Mà theo (2.2.3) thì M/B phải là artin do vậy M

và dĩ nhiên B << M, vậy nên M là thặng dư cốt yếu các môđun artin M/B. ∈

𝔉 Mệnh đề 2.2.7. = .

𝔙 𝔉 Chứng minh : Tương tự như (2.1.3) cho ta thấy M không là tổng trực tiếp vô hạn

các môđun khác 0. Thật vậy, mỗi môđun thương của M có chiều Goldie hữu hạn. Theo [3] ∈ 𝔙

thì M có một môđun con hữu hạn sinh B sao cho M/B là môđun căn và theo (2.2.6) thì M/B

kéo theo M .

⊃

....

∈ 𝔉 ∈ 𝔉 Chú ý 2.2.8. Cho một R-môđun M. Các điều sau tương đương:

⊃ của các môđun con của M thì hầu hết các môđun

(i) Trong dãy giảm

Ui/Ui+1 có chiều dài hữu hạn.

(ii) M là một môđun minimax và với mọi p Ass(M) thì dim(R/p) 1.

≤

2.3. Chuyển đổi đối ngẫu M0 = HomR(M, E). ∈

Định lí 2.3.1. ( Xem [2], Định lí 3.30). Đối với các R-môđun M E, các điều sau tương

đương: ⊆

(i) E là mở rộng cốt yếu tối đại của M.

(ii) E là môđun nội xạ và là mở rộng cốt yếu của M.

(iii) E là môđun nội xạ tối thiểu chứa M.

Định nghĩa 2.3.2. Nếu các R-môđun M E thỏa các điều kiện tương đương của (2.3.1) thì

E được gọi là bao nội xạ của M và ký hiệu là E = ER(M), trong trường hợp vành được ngầm ⊆

hiểu.

Trong trường hợp R là một vành địa phương thì là vành đầy đủ của R, E là bao nội

xạ của R và M0 = HomR(M, E). 𝑅 �

Bổ đề 2.3.3. Cho một R-môđun M và một iđêan nguyên tố p của R. Các điều sau tương

đương:

(i) p Coass(M).

∈ (ii) p = AnnR(A) với A là môđun thương artin của M.

(iii) p Ass(HomR(M, C)) với mỗi R-môđun artin C.

∈ Với R là vành địa phương, tiếp theo đó tương đương với

(iv) p Ass(M0).

∈ Chứng minh: (i ii) Từ p Coass(M) có một môđun thương artin không phân tích được

U M, khi đó p = M/M0 với p = I(M/M0), và cho mỗi môđun con U sao cho M0 ⇒ ∈

U . Tiếp tục ta chọn trong tập { AnnR(M/U) / M0 M} một phần tử tối đại a0 ⊊ ⊂

⊂ ⊊

= AnnR(M/U0) và khi đó a0 (xem [2, chương IV, Bài 1, Mệnh đề 1]) là một iđêan nguyên tố �𝐴𝑛𝑛𝑅(𝑀/𝑈) và rõ ràng p = a0.

(ii iii) Ta có p = AnnR(M/U) và M/U artin, vì C = M/U nên với mỗi

⇒ ) = p. HomR(M, C) ta được AnnR(

𝛾 ∈ 𝛾 (iii i) Với C là môđun artin và với f HomR(M, C) sao cho p = AnnR(f), khi đó A =

M/Kerf là một môđun thương artin của M sao cho p = AnnR(A). Theo [15, trang 127] ∈ ⇒

thì , tức là p Coass(A), p Coass(M) theo yêu cầu.

∈ ∈ ⋂ 𝐶𝑜𝑎𝑠𝑠(𝐴) = �𝐴𝑛𝑛𝑅(𝐴) Trong trường hợp vành địa phương, để chỉ ra (iii) ta có thể thay thế môđun artin C bởi E:

p En kéo theo Ass(HomR(M, C)) và C

∈ ⊂ p Ass(HomR(M, E)n) = Ass(M0).

∈ Bổ đề 2.3.4. Với mỗi R-môđun M. Các điều sau là tương đương:

(i) Mỗi môđun thương của M thỏa điều kiên max đối với lớp các hạng tử trực tiếp

∞

của M.

i n

= +

) = M với mọi n (ii) X1, X2,…là một họ các môđun con của M sao cho Xn+(

1, khi đó Xi = M với hầu hết các i.

≥ 26

Trong trường hợp này M có một môđun con hữu hạn sinh M0, khi đó M/M0 là môđun

căn.

Chứng minh: (i ii) Với Xi như giả thiết, ta có:

⇒ … với mọi n An = X1 Xn và Bn = Xn+1 Xn+2 1 thì An+ Bn = M. Thật vậy, rõ

ràng là cho n = 1 và cũng với n > 1 ta có bằng cách qui nạp: ≥ ∩ … ∩ ∩ … ∩ ∩

An+ Bn = (Bn-1 + An-1) Xn + Bn = Xn + Bn = M.

∩ Với D = sao cho (An/D) (Bn/D) = M/D với mọi n 1. Theo giả thiết thì Am =

∝ ⋂ 𝑋𝑖 𝑖=1

D với mỗi m 1, Bm = M, Xm+1 = Xm+2 = …= M như yêu cầu. ⨁ ≥

≥ (ii i) Bởi vì (ii) nên kế thừa các môđun thương, chúng ta cần chứng minh điều kiện

… các hạng tử trực tiếp trong M, max trong M. Thật vậy, từ dãy tăng U1 U2 U3 ⇒

chúng ta chọn V1 V2 V3 … sao cho Vi ⊂ Ui = M với mọi i, ta đặt Xi = ⊂ ⊂

Vi+1 Ui và vì Xn + ( 1 nên Un+1 nằm trong phần giao. Theo giả ⊃ ) = M với mọi n ⨁

⊃ ∝ 𝑖=𝑛+1 thiết ta có Xm = Xm+1 = … M với mỗi m 1, từ đó Vm = Vm+1 =… Và cuối cùng Um = Um+1 ⊃ 𝑋𝑖 ⨁ ≥ ⋂

= … như yêu cầu. ≥

Giả sử M0 không là môđun hữu hạn sinh, chúng ta xây dựng một họ các môđun tối đại

(Xi)i>0 của M và một họ các môđun con cyclic (Vi)i>0 của M để

Vi + Xi = M và V1 + …+ Vi Xn+1 với mọi i

≥ 1 ⊂ Thật vậy, ta có X1 ,…, Xn và V1 ,…, Vn như yêu cầu, vì vậy theo giả thiết M/(

V1+…+ Vn ) không là môđun căn, tức là có một môđun con tối đại Xn+1 của M thỏa mãn

V1+…+ Vn Xn+1 và tức nhiên cũng có một môđun con cyclic Vn+1 của M sao cho Vn+1 +

Xn+1 = M. Từ hai họ trên ta có Vn Xn+1 Xn+2 … vì vậy Xn + ⊂

∝ 𝑖=𝑛+1

) = M với mọi n ( 1 và Xi = M với hầu hết các i, điều này là mâu thuẫn. ⊂ ∩ ∩

≥ 𝑋𝑖 ⋂ Định nghĩa 2.3.5. Cho M là một R-môđun. Khi đó một tập các môđun con của M được gọi

là đối độc lập nếu mỗi cặp phần tử khác nhau X1 ,…, Xm từ tập này luôn có

… X1 +(X2 Xm) = M.

∩ ∩ Mệnh đề 2.3.6. Cho mỗi R-môđun M. Các điều sau tương đương:

(i) Mỗi tập đối độc lập các môđun con của M là hữu hạn.

(ii) X1, X2 ,… là một họ của các môđun con của M sao cho (X1 Xn-1) + Xn = M

với mọi n 2, khi đó Xi = M với hầu hết các i. ⋂…⋂

≥ (iii) M là môđun bổ sung yếu và mỗi môđun thương của M thỏa mãn điều kiện max

đối với lớp các hạng tử trực tiếp của M.

(iv) M là thặng dư cốt yếu của tổng trực tiếp hữu hạn các môđun không phân tích

được.

(v) M là thặng dư cốt yếu của một môđun artin.

Nếu R là vành địa phương thì tương đương tiếp theo với:

(vi) M0 là -môđun có chiều Goldie hữu hạn.

𝑅� Chứng minh : (i ) = M với mọi 1 n ii) Với mỗi họ như vậy ta có Xn + (

𝑚 𝑖=1 ⋂ 𝑋𝑖 𝑖≠𝑛

⇒ ≤ < m. Theo giả thiết thì

… ( X1 Xm-1 ) + Xm = M.

∩ ∩ … ( X1 Xm-2 ) + ( Xm-1 Xm ) = M.

∩ ∩ ∩ …

… … ( X1 Xn ) + ( Xn+1 Xm ) = M.

∩ ∩ ∩ …. Với n >1 ta tách X1 ∩ Xn-1 ra và sau đó thêm Xn vào ta có điều phải chứng minh.

∩ ∩ Giả sử rằng trong họ (Xi)i>0 ta có vô hạn Xi M, do đó ta có một họ (Yi)i>1 các môđun

…. 2. con khác M sao cho (Y1 Yn+1) + Yn = M với mọi n ≠

∩ ∩ ≥ Với mọi 1 n < m thì Yn + Ym = M tức là Yn Ym, và theo (2.3.5) thì tập {

Y1, Y2, Y3,…} là đối độc lập. Nhưng điều đó là không thể. ≤ ≠

(ii iii) Giả sử M không phải là môđun bổ sung yếu, chúng ta xây dựng một họ X1,

… 2. X2,… các môđun con khác M sao cho (X1 Xn-1) + Xn = M với mọi n ⇒

∩ Tiếp tục ta lấy X1 ∩ M không là bổ sung yếu trong M. Khi đó X1 ≥ M, X1 cũng không

2) nhỏ trong M, tức là X1 + X2 = M với X2 M. Nếu ta có X1, X2,…, Xn như yêu cầu (n ⊂

… ≠ Xn) = M (xem các biến đổi trong chứng minh của (i ii)). Mặt khác X1 thì X1 + ( X2 ≠ ≥

… + (X2 +Xn+1 = M với mỗi Xn+1 khác M. Xn) không nhỏ trong M nên ∩ ∩ →

𝑛 ⋂ 𝑋𝑖 𝑖=1

∩ ∩

Đối với điều kiện max mong muốn, theo (2.3.4) ta có một họ X1, X2,…các môđun con

) = M với mọi n 1. Khi đó của M sao cho Xn + (

∝ 𝑖=𝑛+1 ⋂ Xn-1) + Xn = M với mọi n

𝑋𝑖 ≥ … (X1 2, do đó theo giả thiết Xi = M với hầu hết các i.

≥ ∩ (iii ∩ i) Giả sử có một tập đối độc lập vô hạn các môđun con. Khi đó ta có thể có được

… 1) ta chọn một dãy tăng một họ {Y1, Y2,….} với các Yi khác biệt. Từ Vn = Y1 Yn (n ⇒

U1 U2 U3 … với Vi là bổ sung yếu của Ui trong M (ta đã có U1,…, Un và W là một bổ ∩ ≥ ∩

sung tương đối của Un+ Vn+1 trong M nếu Un+1 = W + Un). Với Xi = Vi+1 + Ui kéo theo Xn+ ⊂ ⊂ ⊂

∝ 𝑖=𝑛+1

( ) = M với mọi n 1, nghĩa là theo (2.3.4) thì Xm = Xm+1 = ….= M với mỗi m

m thì Vi+1 + Ui = M, Vi+1 + (Ui 𝑋𝑖 ≥ Vi) = Vi là tập đối độc lập nên Vi+1 + Yi+1 ≥

∩ 1. Với mọi i ⋂ = M tức là Ym+1 = Ym+2=…= M, điều này mâu thuẫn với sự lựa chọn Yi. ≥

(ii v) Giả sử M không là thặng dư cốt yếu của một môđun artin, khi đó M khác 0 và

có một X1 M sao cho M/X1 cũng là artin khác 0. Bởi vì X1 không nhỏ trong M nên X1 ⇒

+X2 = M với M/X2 là arin khác 0. Vì vậy bằng cách qui nạp ta có một họ X1, X2,… các ⊂

…. 2. môđun con của M sao cho (X1 Xn-1) + Xn = M và M/Xn là artin khác 0 với mọi n

Mặt khác Xi = M với hầu hết các i và điều này là mâu thuẫn mong muốn. ∩ ∩ ≥

(v vi) M là thặng dư cốt yếu các môđun artin A, nó đủ để cho ta thấy rằng A có tính

chất mong muốn. Nếu A là môđun 0 hoặc không phân tích được thì hoàn tất chứng minh. ⇒

Ngược lại nếu A = U1+ U2+…+Un với Ui không phân tích được và ta có thể giả sử rằng bất

kì Ui là không cốt yếu. Với Di = U1+…+ Ui-1 + Ui+1 +…+ Un thì A/Di là không phân tích

𝑛 𝑖=1

được (1 i m) tức là có f: A là song ánh và Kerf = nhỏ

𝑛 → ∏ (𝐴/𝐷𝑖 𝑖=1

trong A, nghĩa là f là một toàn cấu cốt yếu. ≤ ≤ ) ∑ (𝑈𝑖 ∩ 𝐷𝑖)

(iv ii) Mỗi môđun không phân tích được là thặng dư cốt yếu của một môđun artin, vì

vậy M cũng là sự thặng dư cốt yếu của một môđun artin A và tất nhiên A thỏa điều kiện (iii) ⇒

cũng như (ii) và bởi vì các tính chất (ii) nên M là thặng dư cốt yếu.

Với R là một vành địa phương, cho bất kỳ môđun M như trong [14, trang 59] để chứng 0(U) là lớn trong

. Trong trường hợp (v minh rằng một môđun con U của M, U nhỏ trong M khi và chỉ khi AnnM M0 trên

0(U) như là ⇒

vi) U là một môđun con nhỏ trong M với môđun artin -môđun hữu hạn sinh và lớn trong M0, tức là M0 có thương M/U thì AnnM 𝑅�

chiều Goldie hữu hạn. Đảo ngược trong (vi v) thì H là một môđun hữu hạn sinh, lớn trong 𝑅�

⇒

0(U) với một R-môđun con U của M (tức là U = AnnM(H)),

-môđun M0, tức là H = AnnM

và khi đó U nhỏ trong M, M/U là môđun artin như mong muốn. 𝑅�

Mệnh đề 2.3.7. Cho một R-môđun M. Các điều kiện sau tương đương:

(i) M là môđun bổ sung và mỗi môđun thương của M thỏa điều kiện max đối với lớp

các hạng tử trực tiếp của M.

(ii) M là tổng hữu hạn các môđun con không phân tích được.

Chứng minh : (i Giả sử M không là tổng hữu hạn các môđun con không phân tích

được. Theo (2.3.4) ta có hai họ (Xi)i>0 và (Vi)i>0 các môđun con của M, như vậy M/Xi không ⇒ 𝑖𝑖)

1. phân tích được và Vi là bổ sung của Xi trong M, ngoài ra V1+…+ Vi Xi+1 cho mỗi i

Thật vậy ta đã có X1 ,…, Xn và V1 ,…, Vn theo yêu cầu, khi đó Vi là bất khả qui do đó theo ⊂ ≥

M. giả sử thì V1+….+Vn

≠ Để có được V1+…+ Vn Xn+1 M ta có thể chọn sao cho M/Xn+1 là không phân tích

∝ 𝑖=𝑛+1

) = M với được và Vn+1 là bổ sung của Xn+1 trong M. Điều này kéo theo Xn + ( ⊂ ⊂

mọi n 1, từ điều kiện max bổ sung vào và (2.3.4) mà Xi = M với hầu hết các i, điều này 𝑋𝑖 ⋂

trái với sự lựa chọn Xi. ≥

(ii i) Tổng hữu hạn các môđun con bổ sung của M cũng là môđun bổ sung. Trường

hợp M là không phân tích được hoặc là môđun 0 thì hoàn tất chứng minh. Ngược lại như ⇒

các bước chứng minh của (2.3.6)(v vi) thì

→ M = U1 +…+ Un, Di = U1 +…+ Ui-1 + Ui+1 +… Un

vì vậy mà môđun thương M/Di là môđun không phân tích được và có một toàn cấu cốt yếu

𝑛 → ∏ (𝑀/𝐷𝑖) 𝑖=1

M nên theo (2.3.6) thỏa điều kiện max.

Chú ý 2.3.8. Cho dim(R) 1, với mỗi R-môđun M, các điều sau tương đương:

≤ (i) M là thặng dư cốt yếu của môđun artin.

(ii) M là một môđun minimax và M/Rad(M) là nửa đơn.

Chứng minh : (i ii) Vì M là môđun bổ sung yếu, M/Rad(M) là nửa đơn. Bởi vì (i) nên

có môđun thương và theo (2.1.4) cho thấy rằng M có chiều Goldie hữu hạn và cho M/L(M) ⇒

là bổ sung yếu. Ta cần chỉ ra rằng L(M) là môđun artin. Thật vậy V0 là một phần tử tối đại

trong tập hợp {V M/ V L(M) = 0}, chúng ta có đơn cấu cốt yếu L(M) M/V0 nên

M/V0 là nửa artin, do đó chúng ta có thể giả định rằng V0 = 0, tức là M môđun nửa artin. ⊂ ⊂ →

Theo (2.3.6) thì M = Lm(M) trong đó hầu hết các môđun Lm(M) là môđun 0. Ta giả sử

⨁𝑚∈Ω

rằng M là m-nguyên sơ để R là vành địa phương, đầy đủ với iđêan cực đại duy nhất m. Trở lại với (2.3.6) ta có M0 là có chiều hữu hạn Goldie tức là theo (2.1.4) là một môđun minimax, do đó M00 là một môđun minimax, vì vậy môđun con nửa artin M là môđun artin.

(ii i) Giả sử B là một môđun con hữu hạn sinh của M với môđun thương artin M/B,

Rad(M) nhỏ trong M và B/B1 theo giả thiết là nửa đơn tức là có chiều dài khi đó B1 = B ⇒

hữu hạn. Do đó M là thặng dư cốt yếu của môđun artin M/B1. ∩

Hệ quả 2.3.9. Cho R là một miền nguyên với vô hạn các iđêan cực đại và cho dim(R) = 1.

Khi đó mỗi thặng dư cốt yếu của môđun artin vẫn là môđun artin.

Hệ quả 2.3.10. Cho R là một miền nguyên với trường các thương là K R, khi đó các điều

sau tương đương: ≠

(i) K là thặng dư cốt yếu của một R-môđun artin.

(ii) R là vành nửa địa phương và dim(R) = 1.

2.4. Điều kiện max đối với môđun con căn.

Điều ngạc nhiên trong phần cuối này là một môđun bổ sung thỏa điều kiện max như

tiêu đề thì cũng thỏa điều kiện min tương ứng như trong (2.4.8). Đối với điều kiện max

trong (2.4.4) chúng tôi đưa ra một số điều kiện tương đương, trong trường hợp là vành địa

phương thì là đối ngẫu của (2.1.5). Cuối cùng, dựa trên kết quả nghiên cứu của Matlis trong

[7] chúng tôi xây dựng môđun artin từ tính đơn – căn trên vành noether giao hoán trong

(2.4.10).

Bổ đề 2.4.1. Cho mỗi R-môđun M đơn- căn, khi đó ta có:

(a) AnnR(M) là một iđêan nguyên tố, ta đặt là p, và khi đó Coass(M) = { p}.

(b) Nếu U là môđun con khác 0 của M thì M/U là môđun nửa artin.

(c1) M là môđun đế và bất khả quy, p = AnnR(M) như trong (a) khi đó thì dim(

R/p) = 1 và M là R/p-môđun cũng là trường các thương của R/p.

(c2) M là môđun artin và không phân tích được, chúng ta có thể giả sử R là địa

phương, đầy đủ. Với p = AnnR(M) như trong (a) thì có dim(R/p) = 1 và M là một

môđun thương của AnnE(p).

Chứng minh:

R và từ x (a) Rõ ràng là AnnR(M) AnnR(M) và y AnnR(M) nên có xM và yM là

môđun con căn khác không của M, do đó xM = M = yM, xyM = M, xy AnnR(M). Ngoài ≠ ∉ ∉

ra còn có x q Coass(M) mà xM AnnR(M), bao M do đó xM = 0 tức là q ∉

hàm ngược lại luôn luôn đúng, điều này có nghĩa là Coass(M) = ≠ ⊂ ∈

∈ {AnnR(M)}.

. Với X/U = L(M/U) thì M/X là môđun đế vì vậy theo (b) Theo (2.2.2) thì M

(2.1.1)(c) cũng là môđun căn, X = M như yêu cầu. ∈ 𝔉′

0. Trường hợp Soc(M) 0 thì M là môđun nửa artin, môđun nửa artin, do đó U1 U2 ≠ ∩

≠ theo (2.2.3) là môđun artin và mỗi môđun con U M là môđun rút gọn, cũng là một môđun ∩ ≠

≠ hữu hạn sinh, vì vậy U nhỏ trong M. ≠

(c1) Theo bổ sung của (2.1.2) thì Ass(M) = {p} tức là theo (2.1.1)(e) thì

dim(R/p) = 1. Với mọi x R/p thì tác động x: M M là song ánh tức là M là một môđun

xoắn, chia được và tất nhiên một lần nữa bất khả quy, nghĩa là trường các thương của R/p. ∈ →

R/p được mở rộng thành một toàn cấu

M như mong muốn. (c2) Bây giờ với R là vành địa phương, đầy đủ. Do đó M0 = HomR(M, E) là hữu hạn sinh và bất khả quy, AnnR(M0) = p và theo (2.3.1) thì Ass(M0) = {p}. Theo đó M0 là môđun đế khác 0 nhưng không có môđun thương đế thực sự. Thật vậy, chúng ta có M0 là đơn - đế, do đó theo (2.1.5) kéo theo dim(R/p) = 1. Và bởi vì M0 là R/p-môđun xoắn, nó có thể là trường các thương của R/p, do đó một đơn cấu M0 M00 tức là một toàn cấu AnnE(p) (R/p)0 →

→ → Hệ quả 2.4.2. Từ mỗi iđêan nguyên tố p với dim(R/p) = 1 cho ta một R-môđun đế, đơn -

căn sao cho AnnR(M) = p và một R-môđun artin, đơn - căn N sao cho AnnR(N) = p.

Chứng minh: Trong trường hợp đầu tiên ta chọn M là trường các thương của R/p: Rõ

ràng M là R-môđun đế đơn, căn khác 0 và AnnR(M) = p. Nhưng U là một R-môđun

con căn của M, khi đó U như là R-môđun chia được (vì dim(R/p) = 1) do đó U = 0 hoặc U =

M. Trong trường hợp thứ hai ta chọn m với p m để Q là bao nội xạ của R/m và Q0 =

AnnQ(p). Khi đó Q0 là môđun artin và là môđun căn khác 0 (công thức trong (1.1.14) cho ta ∈ Ω ⊂

Coass(Q0) = {p}), Q0 có chứa một môđun con đơn - căn N. Ta có q = AnnR(N) nên theo

(2.4.1)(a) q là một iđêan nguyên tố và từ p q kéo theo (vì dim(R/p) =1) p = q như

yêu cầu. ⊂ ∉ Ω

Hệ quả 2.4.3. Nếu dim(R) = 1 thì mỗi R-môđun căn khác 0 có một môđun con đơn - căn.

Chứng minh: Từ dim(R) =1 nên với mỗi R-môđun căn M thì M/L(M) chỉ có hữu hạn các R(M/L(M), R/m) = 0 vói iđêan nguyên tố liên kết hoặc đối liên kết với nó, do đó Tor1

mọi m ( xem chứng minh của (2.1.1)(c), vậy nên L(M) là môđun căn.

∈ Ω Trường hợp 1: L(M ) 0. Khi đó chúng ta có thể giả sử M là m-nguyên sơ, R là vành địa

≠

phương với iđêan cực đại duy nhất m. Với a = L(R) thì vành = R/a là vành địa phương Cohen-Macaulay 1-chiều và từ mea = 0, mM = M kéo theo aM = 0, vì vậy ta có M cũng 𝑅�

là -môđun. Theo [7, định lí 5.17] thì M là tổng của môđun con artin căn do đó nó có ít nhất

một môđun con đơn - căn X0. 𝑅�

𝑘 nguyên tố tối đại của R, khi đó kết hợp các môđun con căn của M với S-bão hòa tương ứng ⋃ 𝑝𝑖 𝑖=1

Trường hợp 2: L(M) = 0. Ta có S = R/ trong đó p1,…, pk không phải là iđêan

M/X 0 và ta được RS-môđun con của MS. Bởi vì RS là vành artin nên tập { X

X là S-bão hòa trong M} có một phần tử tối tiểu X0 và X0 là một môđun con đơn - căn của ⊂ ≠

M như mong muốn.

Mệnh đề 2.4.4. Cho một R-môđun bổ sung M. Các điều sau tương đương:

⊂

....

(i) M thỏa điều kiện max đối với lớp môđun con căn.

⊂ của các môđun con của M thì Ui+1/Ui là

⊂ U U 1

(ii) Trong mỗi dãy tăng

coatomic với hầu hết các i.

(iii) P(M) là thặng dư cốt yếu của một tổng trực tiếp hữu hạn các môđun đơn - căn.

Khi R là vành địa phương, tiếp theo tương đương với:

(iv) M0 cũng là như -môđun thỏa điều kiện trong (2.1.5).

𝑅� Chứng minh: (i iii) Vì P(M) là bổ sung nên ta có thể giả sử M là môđun căn. Giả sử M

M/ U là môđun căn} có một phần tử tối đại U1 không có dạng xác định do đó có tập { U ⇒

và với mỗi môđun bổ sung V1 của U1 trong M kéo theo một toàn cấu cốt yếu M (M/U1) ⊊

(M/V1) mà V1 M. Ta có U2 là một phần tử tối đại trong tập hợp { V1 U →

M/ U là × môđun căn} và V2/V1 là một môđun bổ sung của U2/V1 trong M/V1, khi đó ta có toàn cấu ≠ ⊂ ⊊

M. Bằng qui nạp ta có được dãy 0 cốt yếu M/V1 (M/U2) (M/V2) sao cho V2 V1

V2 …của môđun con căn Vi trong M. Điều này trái với giả thiết. → × ≠ ≠ ⊊

′

⊊ (iii ii) Cho là lớp tất cả các R-môđun đáp ứng (ii), chúng ta thấy trong bước 1

không có môđun bổ sung nào. Thật vậy, ta có R là địa phương và M là thặng dư cốt yếu của ⇒ ℭ

′

. Tiếp theo ta có f: M một tổng trực tiếp hữu hạn các môđun đơn - căn, khi đó M

𝑛 Ai là môđun artin hoặc đế. ∏ 𝐴𝑖 𝑖=1

là một toàn cấu cốt yếu trong đó tất cả các Ai là môđun đơn - căn. Theo (2.4.1) thì → ∈ ℭ

Trong trường hợp đầu tiên ta chỉ ra phản đẳng cấu

0 (𝐴𝑖

U Ann(U)

0 như là 0 là một môđun căn minimax trên

) ℒ𝑅(𝐴𝑖) ∋ → mà Ai

, do đó trong cả hai trường hợp Ai mà Ai 𝑅�

trong (2.1.5). Điều này áp dụng cho ∈ ℒ𝑅� -môđun thậm chí còn là môđun căn, trong trường hợp thứ hai theo (2.4.4) 0 thỏa điều kiện thậm chí cho M0, bởi vì theo [14, trang 59] thì

′

là một đơn cấu cốt yếu. Khi đó ta có M …. M ta có . Thật vậy từ U1 U2

0(U1)

0(U2)

𝑅� 𝑛 0 𝑖=1 ∐ 𝐴𝑖 …. AnnM AnnM f0 trên được M0 𝑅� ∈ ℭ ⊂

0(U1)/AnnM

0(Ui+1)

⊃ ⊃ ⊃ Do đó theo (2.1.5) thì với mỗi m 1 thì AnnM ⊂ ⊂ (Ui+1/Ui)0 là môđun

nửa artin với mọi i m. Cuối cùng với i thì ( xem [13, Bổ đề 2.1]) Ui+1/Ui là coatomic. ≥ ≅

≥ Trong Bước 2, M được giả sử là môđun bổ sung và P(M) là thặng dư cốt yếu của một

′

là mở rộng nhóm đóng nên M/P(M) là tổng trực tiếp hữu hạn các môđun đơn - căn. Bởi vì

coatomic và P(M) cũng là môđun bổ sung. Khi đó chúng ta có thể giả sử M là môđun căn ℭ

khác 0 sao cho có một toàn cấu cốt yếu f: M với Ai là môđun đơn - căn. Mỗi Ai

𝑛 𝑖=1 𝑖 → ∏ 𝐴

là môđun bổ sung thậm chí là không phân tích được, do đó M vẫn đáp ứng các điều kiện

tương đương của (2.3.6) và M = Km(M) thì mọi Km(M) là môđun 0.

Nhưng mỗi Km(M) là thặng dư cốt yếu của với Km (Ai) là môđun 0 hoặc bằng

′

. Ai , do đó theo bước một Km(M) ⨂𝑚∈Ω 𝑛 𝑖=1 𝑚 (𝐴𝑖) ∏ 𝐾

∈ ℭ (ii i) Rõ ràng thông qua ba điều kiện đầu tiên của định lí tương đương. Phần cuối của

phần chứng minh cũng cho thấy rằng P(M) là thặng dư cốt yếu của một môđun artin. ⇒

Với R là vành địa phương, bước (iv ii) đã được chỉ ra trong bước chứng minh đầu tiên

ii) và từ cùng một phần chúng ta có (iii iv), mà trong dãy khớp 0 ⇒

(P(M))0 của bước (iii (M/P(M))0 M0 ⇒ 0 thì thành phần thứ ba trong dãy thỏa điều kiện trong (2.1.5) → ⇒

→ → → 34

và thành phần đầu tiên là môđun nửa artin (xem [13, Bổ đề 2.1]) nên do đó M0 cho ta điều

phải chứng minh.

Ghi chú từ (iii). Trong trường hợp lấy đối ngẫu, tất nhiên ta có thể bỏ điều kiện tiên quyết :

“M là bổ sung” và đáp ứng với các điều bổ sung của (2.1.5): Nếu M đáp ứng các điều kiện

min cho môđun con U sao cho Soc(M/U) = 0 thì M/L(M) là mở rộng của tổng trực tiếp hữu

hạn các môđun đơn - căn.

Kết luận đầu tiên của chúng tôi là kết quả tổng quát của Matlis (xem [7, định lí 5.5]) trên

vành địa phương Cohen- Macaulay 1-chiều: mỗi môđun artin thỏa điều kiện max đối với

lớp các môđun con chia được.

Chú ý 2.4.5. Cho P(M) là thặng dư cốt yếu của môđun artin, và cho dim(R/q) 1 với mọi q

Coass(M). Khi đó M thỏa điều kiện max đối với lớp môđun con căn. ≤

∈ Chứng minh: Trong bước 1: ta cần chỉ ra M là thặng dư cốt yếu của một môđun artin A

và A thỏa điều kiện max đối với lớp môđun con căn, kéo theo M . Điều này có thể thực

′ ∈ ℭ

hiện được nếu R là vành địa phương như trong bước chứng minh đầu tiên của (iii ii).

-môđun thỏa điều Ann (U) chỉ ra rằng A0 cũng là ⇒

0 ∈ ℒ𝑅�(𝐴𝑖

′

Trường hợp R không là vành 𝑅� ℒ𝑅(𝐴𝑖) ∋ )

Phản đẳng cấu U kiện của (2.1.5), khi đó là đúng với M0 và kéo theo M → địa phương, khi đó với mọi m thì Mm là thặng dư cốt yếu của Am như trong [13, bổ đề ∈ ℭ .

′

. Với 4.1] và Am một lần nữa thỏa điều kiện max đối với lớp môđun con căn, do đó Mm

′

mọi m ∈ Ω mà Am = 0 như vậy ta cũng có Mm = 0 và Mm ∈ ℭ

∈ ℭ . ∈ Ω Trong bước 2: Cho P(M) là thặng dư cốt yếu của một môđun artin, ta đặt là A và

dim(R/p) 1 với mọi q Coass(M). Khi đó, với mọi q Coass(A) = Coass(P(M)) theo [15,

Bổ đề 2.1] thì dim(R/p) = 1, do đó trong trường hợp A 0 thì có vành = R/AnnR(A) sao ∈ ∈ ≤

cho dim ( ) = 1. Vì vậy mỗi sự phân tích nguyên sơ của A cũng là môđun artin trên vành 𝑅� ≠

địa phương đầy đủ 1-chiều, theo (2.4.4)(iv) thì ta có A cũng điều kiện max, như vậy sau 𝑅�

bước đầu tiên P(M) cũng thỏa điều mong muốn.

⊂

....

Chú ý 2.4.6. Cho M là một môđun minimax và dim(R/q) 1 với mọi q

⊂ U U 1

⊂ các môđun con của M thì Ui+1/Ui ∈

Coass(M). Khi đó trong mỗi dãy tăng ≤

đều có chiều dài hữu hạn với hầu hết các i.

Mệnh đề 2.4.7. Cho dim(R) 1 khi đó với mỗi R-môđun M các điều sau tương đương:

≤ (i) M thỏa điều kiện max đối với lớp môđun con căn.

(ii) P(M) có số chiều Goldie hữu hạn.

Chứng minh: (i Theo giả thiết thì tập hợp { X M/ X là môđun căn và có số chiều

Goldie hữu hạn } có một phần tử tối đại X0. Giả sử X0 P(M), theo (2.4.4) P(M)/X0 có một ⇒ 𝑖𝑖) ⊂

môđun con căn U/X0. Theo (2.4.2)(c) thì có chiều hữu hạn Goldie và cũng áp dụng cho ⊊

môđun con căn U, điều này mâu thuẫn với tính cực đại của X0.

… các môđun con căn của M có (ii Trong mỗi dãy tăng bất kỳ U1 U2 U3

L(Ui) là môđun căn với mọi i (xem các chứng minh của (2.4.4) ) và bởi vì L = ⊂ ⊂ ⊂ ⇒ 𝑖)

L(P(M)) theo giả thiết là môđun artin , do đó theo (2.4.6) thì

L = … với mỗi m . Um L = Um+1

∩ ∩ Và P(M)/L có chiều Goldie hữu hạn tức là theo (iii ≥ 1 và (2.2.5) ta có điều kiện max

cho lớp môđun con căn và từ Un + L = Un+1 + L = … cho mỗi n m suy ra Un = Un+1 = … ⇒ 𝑖)

như điều phải chứng minh. ≥

Mệnh đề 2.4.8. Một R-môđun bổ sung M thỏa điều kiện max đối với lớp môđun con căn,

khi đó M cũng đáp ứng điều kiện min tương đương.

Chứng minh: Ta có thể giả sử M là môđun căn và từ đó mà M = Km(M) trong đó

tất cả là môđun 0 với mọi m, thậm chí R là vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất là ⨂𝑚∈Ω

m. Điều kiện min được chỉ ra theo (2.4.4) khi đó M .

′

∈ 𝔉 Bước 1. M/L(M) có chiều Goldie hữu hạn. Chứng minh như trong (2.4.5)(iii ii) lớp

các R-môđun, mà trong đó mỗi dãy tăng các môđun con thì tất cả các môđun thương là →

ℭ trong coatomic. Giả sử M/L(M) có một môđun con X sao cho có sự phân tích X =

∝ ⨁𝑖=1

0, khi đó như trong (2.1.3) thì X = đó mọi Xi với mỗi Yi là tổng trực tiếp vô hạn 𝑋𝑖

các môđun con khác 0, vậy nên theo [13, p. 225] cũng là môđun đế nhưng không thể là ≠ 𝑌𝑖

∝ ⨁𝑖=1 bao gồm X

′

, khi đó trong các dãy coatomic. Mặt khác theo (2.4.5) M

′ và tất cả Ui+1/ Ui

… với tăng U1 U2 U3 Yi+1 phải là coatomic. Điều này ∈ ℭ

là mâu thuẫn mong muốn. ⊂ ⊂ ⊂ 𝑈𝑛 = ⨁𝑖=1 ≅ ∈ ℭ 𝑛 𝑌𝑖

′

Bước 2. M . Theo (2.1.2) chúng ta cần chỉ ra điều kiện max đối với lớp môđun con

U sao cho Soc(M/U) = 0. Nhưng với U thì Ass(M/U) Coass(M/U) là hữu hạn (hoặc theo ∈ ℭ

bước chứng minh đầu tiên của (2.4.4)) nên , mU =U và theo giả thiết ∪

𝑅 𝑇𝑜𝑟1

thì thỏa điều kiện max. (𝑀/𝑈, 𝑅/𝑚) = 0

′

. Chúng ta đã có một môđun con hữu hạn sinh B với môđun thương nữa Bước 3. M

36 ∈ ℭ

artin A = M/B và phải chỉ ra rằng A là môđun artin. Điều này có được do R là vành đầy đủ

) = 1. Thật vậy, theo [15, t và giả sử rằng A 0. Khi đó vành = R/AnnR(A) sao cho dim(

rang 129, ví dụ 3] thì , cũng theo (2.4.5) thì Coass(A) là hữu hạn 𝑅� ≠ 𝑅�

và dim(R/p)=1 với mọi q Coass(A), như vậy với mọi iđêan nguyên tố p trên AnnR(A) thì ∩ 𝐶𝑜𝑎𝑠𝑠(𝐴) = �𝐴𝑛𝑛𝑅(𝐴)

dim(R/p) 1. Theo (2.4.8) thì A có chiều Goldie hữu hạn, tức A là môđun artin. ∈

Bổ đề 2.4.9. Với mỗi môđun artin và R-môđun rút gọn yếu. Khi đó: ≤

U M và U/X nhỏ trong M/X thì U/X là hữu hạn sinh. (a) Nếu X

⊂ ⊂ (b) Mỗi môđun thương của M cũng là rút gọn yếu.

(d) AnnR(P(M)) là một iđêan căn.

Chứng minh: Ở (a) V là môđun bổ sung của U trong M, khi đó V U nhỏ trong M, do

U) + X = U kéo đó nó là rút gọn theo giả thiết, tức là hữu hạn sinh. Từ V + X = M, (V ∩

theo điều khẳng định. Vì vậy (b) và (c) là rõ ràng và với (d) thì P = P(M) là môđun artin và ∩

và aP là môđun căn và theo rút gọn yếu. Do đó với a = Coass(P) sao cho a=

[15, trang 129] thì aP nhỏ trong P, aP = 0 và a = AnnR (P) ∩ �𝐴𝑛𝑛𝑅(𝑃)

Như trong [7, trang 50] chúng ta nói rằng hai môđun M và N là tương đương nhau ( M

N ), nếu có một toàn cấu từ M N và một toàn cấu từ N

in, khi đó với mỗi môđun con hữu hạn sinh U thỏa M M. Với M là R- môđun căn art ∼ M/ U. Thật vậy, ta có một iđêan của →

→ R với aU = 0 và aM = 0, ( vì Coass(M) là hữu hạn) thì ta được x a sao cho xM = 0, như vậ ∼

y từ xU = 0 ta có điều khẳng định. ∈

Mệnh đề 2.4.10. Cho một môđun artin, R-môđun căn M. Các điều sau tương đương:

(i) M là tổng hữu hạn các môđun con đơn - căn.

(ii) M tương đương với tổng trực tiếp hữu hạn của môđun đơn - căn.

(iii) Với mỗi môđun con căn U của M thì M U (M/U).

∼ × (iv) M là môđun rút gọn yếu.

Khi R là địa phương, tiếp theo tương đương với:

(v) M thỏa điều kiện max đối với môđun con căn và (M) là một iđêan căn.

𝐴𝑛𝑛𝑅�

Chứng minh: Mỗi môđun artin M thỏa điều kiện max đối với lớp môđun con đóng: U1

… là một dãy tăng các môđun con đối đóng của M, khi đó ta chọn một dãy các U2

V1 V2 trong đó Vi là môđun bổ sung của Ui ⊂

môđun con đối đóng của M sao cho M ⊂ trong M với mọi i 1. Từ Vm = Vm+1 = ... = V kéo theo Um, Um+1,.. tất cả điều là môđun bổ ⊃ ⊃

sung của V trong M tức là mỗi môđun artin rút gọn yếu theo (2.4.10)(c) có điều kiện max ≥

đối với lớp môđun con căn.

Cho M là môđun artin và là môđun căn khác 0.

(i iv) Cho M = U1 +... + Un với Ui là môđun đơn - căn, vậy tất nhiên mỗi Ui cũng đều l

, và theo (2.4.9)(b) cũng là môđun thương của M. à môđun rút gọn yếu cũng như

𝑛 ∐ 𝑈𝑖 𝑖=1

ii) Theo giả thiết M có điều kiện max đối với lớp môđun con căn, khi đó theo (2.4. ⇒ (iv

𝑛 → ∏ 𝐴𝑖 𝑖=1

5) ta có một toàn cấu cốt yếu. F: M với môđun đơn - căn Ai. Bởi vì Kerf là hữu hạn ⇒

sinh nên M .

M là một toàn cấu với Mi là môđun artin đơn- căn. Với M =

→

𝑛 𝑖=1

𝑛 i) Cho g: ∼ ∏ 𝐴𝑖 𝑖=1 𝑛 thì mỗi g(Mi) là 0 hoặc theo (2.4.2) một lần nữa là môđun đơn - căn, tức là M th ⇒ ∐ 𝑀𝑖 𝑖=1 oả điều cần chứng minh. ∑ 𝑔(𝑀𝑖) (iv

(ii

iii) Cho U là môđun căn và V là môđun bổ sung của U trong M. Theo giả thiết thì

V M/( V U) (M/V) (M/U) cũng như U U/(V

U là hữu hạn sinh nên kéo theo M ⇒ M/V vì vậy mà M U ( M/U). ∼ ∩ ≅ × ∼

iv) Chúng ta cần chỉ ra trong bước 1 môđun M thoả điều kiện max đối với lớp mô ∼ ×

U) ∩ (iii ≅ ⇒

∩ đun con căn. Bởi vì (iii) nên tất cả các Lm( M) đều thỏa, chúng ta có thể giả sử rằng R là vàn h địa phương và đầy đủ với một iđêan tối đại duy nhất m. Khi đó A = M0 là hữu hạn sin

h và là môđun đế nên do đó mỗi môđun thương đế có thể nhúng vào A. Với mọi p Ass(A)

thì p q m tức là q Ass(A). Nhưng vì Ass(A) là hữu hạn nên theo mệnh đề của Krull t ∈

hì p m là không thể, tức là dim(R/p) = 1. q ⊂ ≠ ∈

Với A = M0 thì chúng ta có (2.1.5)(iii) đã được chứng minh và có nghĩa là theo (2.4.5) ta ⊊ ⊊

có điều kiện max mong muốn. Trong bước 2 N là tổng của tất cả các môđun con đơn - căn c

ủa M. Do điều kiện max nên ta chỉ cần chứng minh N là tổng hữu hạn các môđun thương rút

gọn yếu. Với cách tiếp cận như trong [7, trang 87] chúng ta thấy N = M: theo giả thiết thì M

N (M/N), và với toàn cấu

(M/N) M N (M/N) N ∼ ×

Thì khi đó ta có Ker(gf) theo (2.2.9)(b) là hữu hạn sinh bao gồm cả Kerf. Theo (2.2.9)(a) × ⟶ ⟶ ×

thì cũng có f: N 0 N là song ánh tức là f( N 0 ) = N.

38 × ⟶ ×

Giả sử N M khi đó M/N là một môđun con đơn - căn U/N, từ f( 0 (U/N) ) N kéo th

Ker f + N 0 tức là 0 (U/N) 0 (vì Kerf là hữu hạn sinh) và điều đ eo 0 (U/N) × ⊂

≠ ó là không thể. ⊂ × × × ⊂ 𝑁 ×

Đối với sự tương đương (iv v) thì ta có thể giả sử R là vành địa phương, đầy đủ. Bởi

vì (iv v) nên theo giả thiết điều kiện max là rõ ràng và AnnR(M) là iđêan căn theo (2.4.9)( ⇔

iv) thì vành = R/AnnR(M) một lần nữa là vành địa phương đầy đủ, nhưng the d). Vì (v ⇒

⇒

o giả thiết thì nó có phần tử luỷ linh và điều kiện max theo (2.4.5) thì dim( ) = 1. Theo [13, 𝑅�

Mệnh đề 4.2] thì là một K-vành, tức là một - môđun rút gọn yếu và khi đó cũng áp dụng 𝑅�

cho M như là R- môđun. 𝑅� 𝑅�

KẾT LUẬN

Tóm lại, trong toàn bộ luận văn này tôi đã trình bày và hệ thống lại các nội dung chính

trong bài báo: “Minimax - Moduln, Journal of Algebra 102, 1-32, (1986)” của ông H.

Zöschinger. Kết quả chính của luận văn gồm những phần sau:

1. Hệ thống lại các kiến thức cơ sở về iđêan nguyên tố liên kết, đối liên kết, chiều

Goldie hữu hạn, thặng dư cốt yếu của môđun, môđun minimax và một số môđun liên

quan.

2. Chứng minh lại và trình bày rõ các kết quả của bài báo về một số tính chất của

môđun minimax và dựa vào kết quả của Matlis: xây dựng các môđun artin từ tính

đơn – căn trên vành địa phương Cohen – Macaulay 1-chiều, chúng tôi mở rộng tùy ý

trên vành noether giao hoán.

Vì thời gian và khả năng có hạn nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót và còn

một số vấn đề còn chưa được làm sáng tỏ, tôi rất mong những ý kiến đóng góp, phê bình và

bổ sung của quý Thầy cô và các bạn để luận văn hoàn chỉnh hơn.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Baer R., (1968), Polyminimaxgruppen, Math. Ann. 175, 1-43.

2. Bourbaki N., (1967), “Algèbre commutative” Hermanm, Paris.

3. Camillo V. P., (1977), Modules whose quotients have finite Goldie dimension,

Pacific J. Math. 69, 337 -338.

4. Ferrand D. and Raynaud M., (1970), Fibres formelles d’un anneau local

noethérien, Ann. Sci. E’cole Norm. Sup. 3, 295 -311.

5. Matlis E., (1958), Injective modules over noetherian rings, Pacific J. Math. 8, 511-528.

6. Matlis E., (1960), Modules with descending chain condition, Trans. Amer. Math. Soc.

97, 495-508.

7. Matlis E., (1973), 1-Dimmensional Cohen-Macaulay Rings, in “ Lecture Notes in

Mathematics, Vol. 327,” Springer-Verlag, New York/ Berlin.

8. Sarath B. and Varadarajan K., (1979), Dual Goldie dimension, II, Commun. Algebra 7,

1885-1899.

9. Sharp R. Y., (1975), Some results on the vanishing of local cohomology modules, Proc.

Londom Math. Soc. 30, 177-195.

10. Takeuchi T., (1976) On cofinite-dimensional modules, Hokkaido J. Math. 5, 1-43.

11. Varadarajan K., (1975), Dual Goldie dimension, Commun. Algebre 7, 565-610.

12. Zöschinger H., (1978), Invarianten wesentlicher Ṻberdeckungen, Math. Ann. 237, 193-

202.

13. Zöschinger H., (1980), Koatomare Moduln, Math. Z. 170, 221-232.

14. Zöschinger H., (1982), Gelfandringe und koabgeschlossene Untermoduln, Bayer. Akad.

Wiss. Math.-Natur. Kl., Sitzungsber. 3, 43-70.

15. Zöschinger H., (1983), Linear-kompakte Moduln uber noetherschen Ringen, Arch,

Math. 41 (1983), 121-130.

16. Zöschinger H., (1986), Minimax- Moduln, Journal of Algebra 102, 1-32.

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất của môđun Minimax

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất của môđun Minimax nêu lên kiến thức chuẩn bị; một số tính chất của môđun Minimax (dãy điều kiện đối với môđun con U sao cho Soc(M/U)=0, điều kiện min đối với môđun con căn,...).

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Thanh Phương MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN MINIMAX

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Thanh Phương

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN MINIMAX

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. TRẦN TUẤN NAM

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

LỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1

MỤC LỤC .................................................................................................................... 2

KÍ HIỆU TOÁN HỌC ................................................................................................ 3

LỜI NÓI ĐẦU.............................................................................................................. 5

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................... 7

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN MINIMAX ....................... 16

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 41

KÍ HIỆU TOÁN HỌC

LỜI NÓI ĐẦU

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Iđêan nguyên tố liên kết và iđêan nguyên tố đối liên kết.

∝ 𝐿𝑚(𝑀) = ∑ 𝐴𝑛𝑛𝑀 𝑖=1 ∈ Định nghĩa 1.1.14. Cho M là R-môđun và m

1.2. Mở rộng cốt yếu.

1.3. Môđun căn, đơn - căn và môđun đế.

1.4. Môđun coatomic.

1.5. Số chiều.

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN MINIMAX

2.1. Dãy điều kiện đối với môđun con U sao cho Soc(M/U)=0.

∑

Ann

2.2. Điều kiện min đối với môđun con căn.



2.3. Chuyển đổi đối ngẫu M0 = HomR(M, E). ∈

2.4. Điều kiện max đối với môđun con căn.

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi