Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nghiệm chỉnh hóa rời rạc cho phương trình tích chập

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:39

Thêm vào BST

Báo xấu

51
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nghiệm chỉnh hóa rời rạc cho phương trình tích chập nêu lên tổng quan về biến đổi Fourier trên không gian L1, L2; phương trình tích chập và bài toán không chỉnh cùng một số nội dung khác. Mời các bạn tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nghiệm chỉnh hóa rời rạc cho phương trình tích chập

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH ---------------------------------- Nguyeãn Hoaøng Nguyeân NGHIEÄM CHÆNH HOÙA RÔØI RAÏC CHO PHÖÔNG TRÌNH TÍCH CHAÄP Chuyeân ngaønh: Toaùn giaûi tích Maõ soá: 60 46 01 LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC NGÖÔØI HÖÔÙNG DAÃN KHOA HOÏC : TS. TRAÀN LÖU CÖÔØNG Thaønh phoá Hoà Chí Minh – 2005
LÔØI CAÛM ÔN Taùc giaû xin chaân thaønh baøy toû söï kính troïng vaø loøng bieát ôn cuûa mình ñoái vôùi thaày Tieán Só Traàn Löu Cöôøng, ngöôøi ñaõ taän tình höôùng daãn chæ baûo cho taùc giaû trong suoát quaù trình thöïc hieän. Taùc giaû xin chaân thaønh caùm ôn Quyù Thaày tham gia giaûng daïy lôùp Cao Hoïc khoùa 13, chuyeân ngaønh Giaûi tích cuûa Tröôøng Ñaïi Hoïc Sö Phaïm TPHCM, nhöõng ngöôøi ñaõ taän tình truyeàn ñaït kieán thöùc cho taùc giaû. Taùc giaû voâ cuøng bieát ôn Quyù Thaày Coâ phoøng Sau Ñaïi Hoïc Tröôøng Ñaïi Hoïc Sö Phaïm TPHCM ñaõ taïo moïi ñieàu kieän thuaän lôïi cho taùc giaû hoaøn thaønh luaän vaên naøy. Cuoái cuøng, taùc giaû xin baøy toû loøng bieát ôn vôùi gia ñình, baïn beø vaø ngöôøi thaân ñaõ hoã trôï, ñoäng vieân taùc giaû trong suoát thôøi gian qua.
Chöông 1 MOÄT SOÁ COÂNG CUÏ 1.1 Boå ñeà Fatou Neáu f1, f2 , ... laø daõy haøm khoâng aâm, khaû tích xaùc ñònh treân  ,   vaø thoûa   lim inf fn(x)=f(x) h.k.n, trong ñoù f laø haøm khaû tích treân  ,   , thì  f ( x)dx  lim inf  f n ( x)dx.   1.2 Ñònh lyù hoäi tuï bò chaën Neáu f1 , f2 , ... laø daõy haøm khaû tích treân  ,   vaø toàn taïi haøm khaû tích F sao cho n  N , f n ( x )  F( x ) h.k.n   thì f laø haøm khaû tích vaø lim  f n ( x )dx   f ( x)dx. n    1.3 Ñònh lyù Fubini    Neáu   f ( x, y)dxdy hoäi tuï tuyeät ñoái thì  f ( x, y)dy toàn taïi haàu khaép nôi vaø laø haøm khaû tích   theo bieán x. Hôn nöõa      dx  f ( x, y)dy      f ( x, y)dxdy.    Töông töï      dy  f ( x, y )dx    f ( x, y)dxdy.      1.4 Ñònh lyù Tonelli-Hobson
    Neáu moät trong hai tích phaân  dx  f ( x, y )dy,  dy  f ( x, y)dx hoäi tuï tuyeät ñoái thì         f ( x, y)dxdy hoäi tuï tuyeät ñoái vaø           f ( x, y)dxdy =  dx  f ( x, y)dy =    dy  f ( x, y )dx.   1.5 Ñònh lyù Neáu f laø haøm khaû tích treân  R , R  , R  0 thì h 1 f ( x  t )  f ( x ) dt  0 h.k.n    x    . h 0 h  lim 0 Taäp hôïp caùc x thoûa maõn ñieàu kieän treân ñöôïc goïi laø taäp Lesbegue cuûa f. Roõ raøng taäp Lesbegue cuûa f chöùa caùc ñieåm x maø taïi ñoù f lieân tuïc. 1.6 Ñònh nghóa Cho 1  p   . Haøm f xaùc ñònh treân  ,   ñöôïc goïi laø thuoäc Lp neáu  p  f (x) dx   .  Khi ñoù, ta ñaët 1/ p  p  f p    f ( x ) dx  .    1.7 Ñònh lyù  p Neáu f Lp thì lim  f ( x  t )  f ( x) dx  0. t 0  1.8 Ñònh lyù Neáu f, g  Lp thì f g p  f p  g p,
f p  g p  f g p. 1.9 Ñònh lyù Cho f1 , f2 ,... thuoäc Lp. Neáu lim f n  f m p  0 thì toàn taïi f  Lp sao cho m ,n   lim f n  f p  0. n  1.10 Ñònh lyù Cho f1, f2 ,... thuoäc Lp. Neáu lim f n  f p  0 vaø lim f n ( x )  g( x ) h.k.n    x    thì f(x) = n  n  g(x) h.k.n    x    . 1.11 Baát ñaúng thöùc Hölder 1 1 Cho f  Lp vaø g  Lp ' vôùi 1  p, p '   vaø   1 . Khi ñoù fg L1 vaø p p'   f ( x) g ( x) dx  f p g p' .  1.12 Ñònh lyù Cho f, f1, f2,...thuoäc L2 vaø lim f n  f 2  0 thì vôùi g baát kì thuoäc L2, ta coù n    lim  f n ( x ) g ( x )dx   f ( x ) g ( x )dx. n   
Chöông 2 TOÅNG QUAN VEÀ BIEÁN ÑOÅI FOURIER TREÂN KHOÂNG 1 2 GIAN L , L 2.1 BIEÁN ÑOÅI FOURIER TREÂN KHOÂNG GIAN L1 2.1.1 Ñònh nghóa    Cho f  L . Ta coù 1 e ixt f (t )dt   f (t ) dt  f 1 , x  R. Do ñoù  e ixt f ( t )dt toàn taïi x  R vaø    ta ñònh nghóa bieán ñoåi Fourier fˆ cuûa f  L1 bôûiø  fˆ ( x )  e ixt f ( t )dt .  Khi ñoù fˆ bò chaën treân  ,   vaø sup fˆ ( x)  f 1 . 2.1.2 Tính chaát a) f lieân tuïc treân  ,   . Do ñònh nghóa, ta coù  fˆ (x  h )  fˆ ( x )   e e  1f ( t )dt . ixt iht  neân  fˆ ( x  h )  fˆ ( x )  e iht  1 f ( t ) dt .  Maø e iht  1 f ( t )  2 f ( t ) , vaø lim e iht  1 f ( t )  0 , vôùi moïi t   . Vì vaäy, theo ñònh lyù hoäi tuï bò h 0 chaën, ta coù
 lim e iht  1 f ( t ) dt  0 . h 0  Do ñoù lim fˆ ( x  h )  fˆ ( x )  0 , nghóa laø f lieân tuïc treân  . h 0 b) lim f ( x)  0 . x   Theo ñònh nghóa fˆ (x )   e ixt f ( t )dt , neân vôùi x  0 , ta coù      ix  t      fˆ ( x )  e  x f ( t )dt  e ixt f  t  dt .    x Töø ñoù suy ra      2fˆ ( x )  e ixt f ( t )  f  t  x  dt,         vaø 2 f ( x)   f (t )  f  t   dt . (1)   x Nhöng vì f  L1 neân theo ñònh lyù 1.7,    lim x    f ( t)  f  t  x  dt  0 .  (2) Töø (1) vaø (2) suy ra lim fˆ ( x )  0 . x   2.1.3 Chuù yù Ta biết nếu f  L1 thì fˆ lieân tuïc treân (-, ) vaø lim fˆ ( x)  0 . Nhưng ngược lại x  f ( x) lieân tuïc treân (-, ) vaø lim f ( x)  0 thì chưa thể kết luận f laø bieán ñoåi Fourier của một haøm x  thuộc L1. Thaät vaäy, ta xeùt ví duï sau  1  ln x , ( x  e)  x g ( x)   , (0  x  e) e - g (- x), ( x  0)  
Dễ thấy g(x) lieân tuïc treân R vaø lim g(x) = 0 . Ñoàng thôøi, haøm g coù tính chaát sau ñaây x  N g ( x) N dx lim  dx  lim   lim ln(ln N )   . (1) N  e x N  e x ln x N  Giả sử tồn tại f  L1 sao cho g  f thì  g ( x )   eixt f (t )dt , x  R. - Maø g(x) = -g(-x) neân ta coù  g ( x )  - e-ixt f (t )dt . - Suy ra  2 g ( x)  2i  f (t )sin xtdt . - Nhö vaäy  0 g ( x )  i  f (t ) sin xtdt  i  f (t ) sin xtdt , 0     i  f (t ) sin xtdt - i  f (-t ) sin xtdt , 0 0  =  F (t ) sin xtdt. 0 trong ñoù, F(t) = i[f(t) – f(-t)],  vaø ta ñöôïc  | F (t ) | dt   (vì f  L1 ). 0 Baây giôø, vôùi N=3, 4, 5,...thì N g ( x) N dx   dx   F (t )sin xtdt . e x e x 0  Vì  F (t ) dt   neân theo ñònh lyù1.4, ta ñöôïc 0  Nt N g ( x)  N sin xt sin x  dx   F (t )dt  dx =  F (t )dt  dx . (2) e x 0 e x 0 et x  sinx Nt sin x Maø  dx hội tụ neân tồn tại lim  dx . Töø (2), ta suy ra a x N  et x N g ( x) lim  dx   . N  e x Điều naøy maâu thuaãn với (1). Vậy g khoâng phaûi laø bieán ñoåi Fourier cuûa moät haøm thuoäc L1.
2.2 BIEÁN ÑOÅI FOURIER TREÂN KHOÂNG GIAN L2 2.2.1 Boå ñeà Vôùi moïi soá thöïc   0 vaø    , ta coù  1/ 2 it t 2   2 e e dt    e  / 4 .    Chöùng minh 2 Vôùi    vaø R > 0 baát kì, laáy tích phaân haøm giaûi tích e  z doïc theo ñöôøng  laø bieân cuûa hình chöõ nhaät taïo bôûi boán ñænh : R, -R , R+iβ, -R+iβ, ta coù  z2  e dz  0 . R  R 0 2 2 2 2 x  ( R  iy )  ( x  i ) neân  e dx   e dy  e dx   e (  Riy ) dy  0 , R 0 R  R R   2 2 2  ( x  i )  y 2  2 Riy 2  y 2  2 Riy hay e dx  x  e dx   e R dy   e  R dy . R R 0 0 Töø ñaúng thöùc treân, ta ñöôïc R R  2 2 2 2  ( x i ) e dx   e x dx  e  R [  e y  2i sin 2 Ry  dy ] . (*) R R 0 Vì   2 2  e  y (2i sin 2 Ry) dy   2e  y dy , 0 0 neân  2  y2 lim e  R e (2i sin 2 Ry)dy  0 . R 0   x2 Maët khaùc e dx   1/ 2 ( xem 3.3.4.2 )  Do ñoù, töø ñaúng thöùc (*), khi cho R  , ta coù   ( x  i ) 2 e dx   1 / 2 , 
 2 i x  x 2 2 hay e e dx   1/ 2 e   .   Choïn   . Ta ñöôïc 2 1/ 2   2 i 1 / 2 x  x2 e e dx   1/ 2 e 4 .  Ñoåi bieán t   1 / 2 x thì  1/ 2 i t  t 2   2 e e dt    e  / 4 ,    vaø boå ñeà ñöôïc chöùng minh. 2.2.2 Ñònh lyù  Cho f  L1  L2 . Ta coù f  L2 ,  2   2 vaø  f ( x ) dx  2  f (t ) dt ,    hay f  (2 )1/ 2 f 2 . 2 Chöùng minh Xuaát phaùt töø bieåu thöùc  2     f ( x )  f ( x ). f ( x)  e ixt f (t )dt  e  ixu f (u )du ,   ta suy ra   2     x2 / n  x2 / n ixt ixu e f ( x ) dx  e dx  e f (t )dt e f (u )du .     Vì f  L1 neân theo ñònh lyù 1.4, ta coù   2    2 2 x e /n f ( x ) dx   f (u )du  f (t )dt  e ix ( t u ) e  x / n dx .     Maët khaùc, theo boå ñeà 2.2.1  n(t-u)2  ix ( t  u )  x 2 / n 1/ 2 e e dx = ( n) e 4 
Do ñoù,   2   n ( t u ) 2   x2 / n e f ( x ) dx  ( n) 1/ 2  f (u )du  e 4 f (t )dt ,      nt 2   ( n) 1/ 2  f (u )du  e 4 f (t  u )dt ,    nt 2    ( n) 1/ 2 e 4 dt  f (t  u ) f (u )du ,    nt 2   ( n) 1/ 2 e 4 F (t )dt ,   vôùi F(t)=  f (t  u) f (u)du .  Ñoåi bieán, ta ñöôïc  2   x2 / n  t 2  2t  e f ( x ) dx  2  e F  dt . (1)    n Maët khaùc   F( t )  F(0)    [f ( t  u)  f (u )]f ( u)du   f ( t  u)  f (u) f (u ) du .  Theo baát ñaúng thöùc Hölder, ta ñöôïc   2 2 2 F ( t )  F ( 0)   f (t  u )  f (u ) du  f (u ) du ,   vaø theo ñònh lyù 1.7 thì  2 lim  f (t  u )  f (u ) d u  0 , t 0  neân lim F (t )  F (0) . t 0 Do ñoù F lieân tuïc taïi t = 0. Vôùi t baát kì, theo baát ñaúng thöùc Hölder, ta coù   2 2 2 4 F (t )   f (t  u ) du  f (u ) du  f 2 .   Suy ra
2  2t  4 2 e t F    f 2 e t .  n 2  2t  2 Ta laïi coù lim e t F    e t F (0) ( vì F lieân tuïc taïi 0 ). n   n Do ñoù theo ñònh lyù hoäi tuï bò chaën   2  2t  2 lim  e t F   dt  F (0)  e t dt   F (0) , n    n  nghóa laø,  2  2t  2 lim  e t F  dt   f 2 . (2) n    n Töø (1) vaø (2), ta ñöôïc  x2  2  2 lim e n f ( x) dx  2 f 2 . n   x2  2  Baây giôø, ta xeùt f n ( x )  e n f ( x ) laø daõy haøm khaû tích, khoâng aâm vaø thoûa  2  2 x2 / n lim e f ( x)  f ( x ) . n  Theo boå ñeà Fatou, ta coù 2  2    x2 / n 2  f ( x ) dx  lim  e f ( x ) dx  2 f 2 . n   Do ñoù f  L2 . Hôn nöõa  2  2 2 ex /n f ( x)  f ( x) , vaø f 2  L1 neân theo ñònh lyù hoäi tuï bò chaën, 2   2  x2   2  f ( x ) dx  lim e n f ( x) dx  2 f 2 . n    Chöùng minh ñöôïc hoaøn taát. 2.2.3 Ñònh lyù
Cho f  L2 . Vôùi N=1,2,... Ñaët f N ( t )  f (t ) ( t N) f N (t )  0 ( t > N)   thì f N  L1  L2 vaø f N  L2 . Hôn nöõa khi N   , f N hoäi tuï trong L2 veà moät haøm thuoäc L2. Chöùng minh Theo baát ñaúng thöùc Hölder, ta coù  N 1/ 2 N 2 N   f N (t ) dt   f (t ) dt    f (t ) dt  dt  ,  N  N N  neân  2  f N (t ) dt  f 2 (2 N )1/ 2  .  Vaäy f N  L1 . Maët khaùc, vì f N (t )  f (t ) , t  R , vaø f  L2 neân f N  L2 Nhö vaäy, f N  L1  L2 .  Baây giôø, ta seõ chöùng minh f N hoäi tuï trong L2 veà moät haøm thuoäc L2. Thaät vaäy, aùp duïng ñònh  lyù 2.2.2 thì f N  L2 .   Vôùi M
2 Vì f 2  L1 neân f M  f N 2  0 khi M , N   . Vaäy theo ñònh lyù 1.9 toàn taïi g  L2 sao cho  f N  g. 2.2.4 Ñònh nghóa Cho f  L2 . Ta ñònh nghóa bieán ñoåi Fourier cuûa f laø  N  f ( x)  lim  eixt f (t )dt  lim f N ( x). N  N  N   Löu yù raèng lim ôû ñaây hieåu döôùi daïng hình thöùc nghóa laø f N  f  0 khi N   . 2 2.2.5 Chuù yù  Vôùi f  L2 ta ñònh nghóa f  L2 nhö vöøa neâu ôû treân. Nhöng neáu f  L1 ta coù ñònh nghóa   f ( x)  e ixt f (t )dt ( -  x   )  Vì f N (t )  f (t ) , t  R neân theo ñònh lyù hoäi tuï bò chaën, ta coù   lim  e ixt f N (t )dt   e ixt f (t )dt  fˆ ( x ) . N    Suy ra N fˆ ( x )  lim  e ixt f (t )dt  lim fˆN ( x ) . N   N N  Vì vaäy neáu f  L1  L2 , ta coù hai ñònh nghóa phuø hôïp vôùi nhau. 2.2.6 Ñònh lyù ( Ñaúng thöùc Parseval ) Neáu f  L2 thì fˆ  (2 )1/ 2 f 2 . 2 Chöùng minh Vôùi fN nhö trong 2.2.3 thì lim fˆN  fˆ  0. N  2 Maët khaùc, theo ñònh lyù 1.8 0  fˆN  fˆ  fˆN  fˆ . 2 2 2
neân lim fˆN  fˆ . (1) N  2 2 Nhöng do ñònh nghóa fN , ta coù lim f N 2  f 2 . (2) N  Vì fN  L1  L2 neân theo ñònh lyù 2.2.2, fˆN  (2 )1/ 2 f N 2 . (3) 2 Töø (1), (2), (3) suy ra fˆ  lim fˆN  lim (2 )1/ 2 f N 2  (2 )1/ 2 f 2 . 2 N  2 N  Vaäy ñònh lyù ñöôïc chöùng minh xong. 2.2.7 Định lyù   Nếu f, g L2 thì  fˆ ( x) gˆ ( x)dx  2  f ( x ) g ( x )dx . - - Chứng minh  Ñeå ñôn giaûn, ta viết f thay thế cho  f ( x )dx . Theo đñịnh lyù 2.2.6, ta ñöôïc - 2 2 fˆ  gˆ  2 f  g 2 , 2 neân  ( fˆ  gˆ )  fˆ  gˆ   2  ( f  g )  f  g . Khai trieån, ta coù 2 fˆ   gˆ   fˆ g   g f  2  f  2 2 2    g   fg   fg . Vẫn theo đñịnh lyù 2.2.6 thì 2 2 2 2  fˆ  2  f ,  gˆ  2  g . Suy ra  fˆ g   fˆ g  2   fg   f g  . (1)
Vì (1) ñuùng vôùi bất kì haøm g thuộc L2, neân khi thay g, gˆ bằng ig vaø i gˆ vaøo ñẳng thức (1), ta đñược  f (igˆ )   fˆ (igˆ )  2   f (ig )   f (ig )  , hay i  fˆ gˆ  i  fˆ g  2 i  f g  i  f g .   neân  fˆ gˆ   fgˆˆ  2   f g   f g  (2)   Từ (1) vaø (2) ta coù  fˆ ( x) gˆ ( x)dx  2  f ( x ) g ( x )dx . - - 2.2.8 Định lyù   Nếu f, g  L2 thì  f ( x) gˆ ( x)dx   fˆ ( x) g ( x)dx . - - Chứng minh Với fM, gN như trong 2.2.3 ta coù  fˆM ( x )   eixt f M (t )dt -  gˆ N ( x)   eixt g N (t )dt -    Do ñoù,  fˆM ( x) g N ( x )dx   g N ( x)dx  eixt f M (t )dt . - - - Theo đñịnh lyù 2.2.3, fM, gN đñều thuộc L1 neân aùp duïngđñịnh lyù 1.4,     fˆM ( x) g N ( x )dx   f M (t )dt  eixt g N ( x )dx , - - - hay    fˆM ( x) g N ( x )dx   f M (t ) gˆ N (t )dt . (1) - - Vì lim g N  g 2  lim gˆ N  gˆ 2  0. N  N  neân theo đñịnh lyù 1.12, cho N   thì từ (1) ta đñược    fˆM ( x ) g ( x)dx   f M (t ) gˆ (t )dt. . - -
Töông töï, cho M   thì fˆ ( x) g ( x)dx   f (t ) g (t )dt.   - - Vậy đñịnh lyù đñược chứng minh xong. 2.2.9 Định lyù 1 Nếu f  L2 vaø g  fˆ thì f  gˆ . 2 Chứng minh Ta coù 2 1  1  1  f - gˆ   f - gˆ  f - gˆ  , 2 2  2  2  neân 2 1 1 1 1  f g  2  f g  4 2 2 f - gˆ  f 2  2 gˆ 2 . (1) 2 2 2 Vì g  fˆ neân theo đñịnh lyù 2.2.8 vaø 2.2.6, suy ra 2 2  f gˆ   fgˆ   fˆ fˆ  fˆ 2  2 f 2 . (2) 2 Töø ñoù ta cuõng coù  fgˆ  2 f 2 . (3) 2 2 2 2 Cuoái cuøng, gˆ 2  2 g 2  2 fˆ  4 2 f 2 . (4) 2 1 Từ (1), (2), (3) vaø (4) suy ra f - gˆ  0. 2 2 1 Vậy f  gˆ . 2 2.2.10 Định lyù ( Biến ñổi Fourier ngược treân L2 ) 1 N Nếu f L2 thì f (t )  lim  e-ixt fˆ ( x)dx . Löu yù laø kí hieäu lim ñöôïc hieåu töông töï nhö trong N  2 -N ñònh nghóa 2.2.4. Chứng minh
Kí hieäu lim trong phaàn naøy ñöôïc hieåu theo nghóa giôùi haïn trong L2. Đặt g = fˆ . Theo ñịnh lyù 2.2.9, 1 f  gˆ , 2 neân 1 N f (t )  lim  eixt g ( x)dx . N  2 -N 1 e -ixt f ( x)dx. N Suy ra f (t )  lim  N  2 -N 2.2.11 Ñònh lyù Mọi f  L2 ñều laø biến ñổi Fourier của một phần tử duy nhất thuộc L2. Chứng minh Laáy f bất kỳ thuộc L2. Đặt h  f , vaø g  h . 1  1  1 Theo đñịnh lyù 2.2.9 thì f  h  g , neân f  g , nghĩa laø f laø biến đñổi Fourier của g. 2 2 2π Tính duy nhất đñuợc suy ra từ đñịnh lyù 2.2.6.
Chöông 3 PHÖÔNG TRÌNH TÍCH CHAÄP VAØ BAØI TOAÙN KHOÂNG CHÆNH 3.1 TÍCH CHAÄP 3.1.1 Ñònh nghóa Cho hai haøm soá f vaø g xaùc ñònh treân R. Tích chaäp cuûa f vaø g, kí hieäu laø f*g ñöôïc xaùc ñònh bôûi   f * g ( x )   f ( x  t ) g (t )dt ,  vôùi giaû thieát laø tích phaân treân toàn taïi. 3.1.2 Ñònh lyù Cho f  L1 ( R ) vaø g  Lp (R ) 1  p    . Khi ñoù, vôùi moãi x  R , haøm soá t  f ( x  t ) g (t ) khaû tích treân R vaø ( f * g )  Lp ( R) . Hôn nöõa, f *g p  f 1 g p. Chöùng minh Xeùt p =1. Ta coù    f ( x  t ) g (t ) dx  g (t )  f ( x )  g (t ) f 1  ,       vaø  dt  f ( x  t ) g (t ) dx   g (t ) dt  f ( x ) dx  f 1 g 1  .       AÙp duïng ñònh lyù Tonelli, ta coù  f ( x  t ) g (t ) dtdx toàn taïi, vaø theo ñònh lyù Fubini suy ra     f ( x  t ) g (t )dt toàn taïi vaø     dx  f ( x  t ) g (t ) dt  f 1 g 1.  
Nhö vaäy baát ñaúng thöùc ñuùng vôùi p = 1. p Tieáp theo, xeùt 1 < p <  . Do keát quaû treân, vôùi moãi x  R thì haøm t  f ( x  t ) g (t ) laø khaû g (t ) laø haøm thuoäc Lp(R). 1/ p tích töùc laø t  f ( x  t ) 1/ p ' Maët khaùc, t  f ( x  t )  Lp ' ( R ) ( p’ laø soá lieân hôïp cuûa p ). Theo baát ñaúng thöùc Hölder, ta 1/ p 1/ p' ñöôïc f ( x  t ) g (t )  f ( x  t ) g (t ) f ( x  t ) laø khaû tích vaø  1/ p  p  1 / p'  f ( x  t ) g (t ) dt    f ( x  t ) g (t ) dt  f 1 .     p  Do ñoù ( f * g )( x )  f * g ( x ) f p  p / p' 1 . (*) Vì f  L1 ( R) , g p  L1 ( R) neân aùp duïng keát quaû trong tröôøng hôïp p =1, ta coù p f * g  L1 ( R) . Keát hôïp vôùi keát quaû töø (*), ta coù ( f * g )  Lp ( R) vaø p p p / p' f *g p  f 1 g p f 1 , töùc laø f *g p  f 1 g p. 3.1.3 Ñònh lyù    Neáu f  L1 , g L1 vaø h = f*g thì h  f . g . Chöùng minh Vì f, g  L1 neân theo ñònh lyù Fubini     ixt h ( x)   e ( f ixt * g )( t ) dt     f ( t  u ) g (u ) du  e dt        ixt   g (u)du  e   f (t  u )dt   ix ( t  u )   g (u)du  e   f (t )dt     e ixu g (u )du  e ixt f (t )dt      g ( x) f ( x ) . Nhö vaäy