Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình với ánh xạ đa trị trong không gian có thứ tự

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

76
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình với ánh xạ đa trị trong không gian có thứ tự trình bày về các khái niệm – kết quả được sử dụng; phương trình với ánh xạ đa trị tăng; phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình với ánh xạ đa trị trong không gian có thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Phan Tự Vượng PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh - 2009
LỜI CẢM ƠN Tôi gởi cảm ơn sâu sắc đến PGS. TS. Nguyễn Bích Huy đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn quí thầy cô đã nhiệt tình giảng dạy trong thời gian tôi học tập tại trường Đại học Sư phạm Tp HCM và đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin cảm ơn bạn bè và người thân đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này. Tp. HCM, tháng 10 năm 2009 Học viên Phan Tự Vượng
MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU ................................................................................................................... 1 Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM – KẾT QUẢ ĐƯỢC SỬ DỤNG ......................... 3 1.1 Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón .................................................. 3 1.2 Bậc tôpô của ánh xạ đa trị ............................................................................ 10 1.3 Nguyên lý đệ quy tổng quát ......................................................................... 14 Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ TĂNG ......................... 19 2.1 Điểm bất động của ánh xạ đa trị tăng ........................................................... 19 2.2 Điểm bất động của ánh xạ đa trị lõm............................................................ 27 Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ PHỤ THUỘC THAM SỐ ........................................................................................ 39 3.1 Véctơ riêng của ánh xạ đa trị trong không gian có thứ tự............................. 39 3.2 Nhánh liên tục của tập nghiệm dương của phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số..................................................................................... 43 KẾT LUẬN ............................................................................................................ 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 47
1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết Phương trình với ánh xạ đơn trị trong không gian có thứ tự đã được bắt đầu nghiên cứu từ những năm 1940 trong các công trình mở đầu của M.Krein và A.Rutman và được phát triển rực rỡ vào khoảng 1950-1980 trong các công trình của M.A.Krasnoselskii , H .Schaffer, H.Amann, N.E.Dancer …….Các kết quả trừu tượng của lý thuyến này đã có rất nhiều ứng dụng trong việc nghiên cứu định tính và định lượng nhiều lớp phương trình và bất phương trình vi phân xuất phát từ vật lý, hoá học, y-sinh học… Đặc biệt các định lý về điểm bất động của ánh xạ đơn trị trong không gian có thứ tự được chứng minh và áp dụng rộng rãi trong lý thuyết phương trình vi phân. Sử dụng bổ đề Zorn , nguyên lý Entropy , nguyên lý đệ quy tổng quát, … các nhà toán học đã bỏ được giả thiết liên tục và compact của các ánh xạ. Do đó, một cách rất tự nhiên ngưới ta tìm cách mở rộng các kết quả này sang đa trị và tìm ra các ứng dụng của nó trong lý thuyết phương trình. Một số định nghĩa và định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị được Nishnianidze, W. V. Petryshyn, P. M. Fitzpatrick….. đưa ra đầu tiên trong các công trình của họ vào những năm 1970. Trong những năm gần đây các tác giả S.Carl , S.Heikkila , Nguyễn Bích Huy….. đã chứng minh một số kết quả mới và ứng dụng của nó trong phương trình vi phân , bài toán kinh tế và lý thuyết trò chơi….. Trong luận văn này chúng tôi sử dụng các nguyên lý trên và phương pháp xấp xỉ liên tiếp dạng mở rộng cũng như phương pháp bậc tôpô để nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ đa trị tăng , ánh xạ đa trị lõm và vectơ riêng của ánh xạ đa trị trong không gian có thứ tự cùng áp dụng của nó trong phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số.Các kết quả này gần giống với các kết quả ở trong đơn trị.
2 2. Nội dung luận văn Nội dung của luận văn gồm có 3 chương: Chương 1 nhắc lại các khái niệm, kết quả được sử dụng.Trong đó gồm có các khái niệm về không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón ; Bậc tôpô của ánh xạ đa trị và Nguyên lí đệ quy tổng quát. Các kết quả này được trích dẫn từ các tài liệu tham khảo. Chương 2 gồm các định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị . Phần 2.1 trình bày điểm bất động của ánh xạ đa trị tăng và áp dụng vào phương trình dạng Lu  Nu 1 trong đó L : V  P là ánh xạ đơn trị và N : V  2 P \  là ánh xạ đa trị với V, P là các tập được sắp thứ tự, phần này chúng tôi tham khảo trong [3] , [4]. Phần 2.2 trình bày về điểm bất động của ánh xạ đa trị lõm. Đây là một số mở rộng của một kết qủa cổ điển và một số kết quả trong [10],[11]. Chương 3 gồm các kết quả về phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số. Phần 3.1 sử dụng bậc tôpô của ánh xạ đa trị cô đặc trình bày các kết quả về vectơ riêng của ánh xạ đa trị cô đặc trong không gian có thứ tự . Các kết qủa này chúng tôi tham khảo trong [8]. Phần 3.2 trình bày mở rộng của một kết qủa cổ điển về nhánh liên tục của tập nghiệm dương của phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số. 3. Phương pháp nghiên cứu 1. Sử dụng các nguyên lí tổng quát về tập có thứ tự như bổ đề Zorn, nguyên lí Entropy, nguyên lí đệ qui. 2. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp dạng mở rộng. 3. Phương pháp bậc tôpô.
3 Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM - KẾT QUẢ ĐƯỢC SỬ DỤNG 1.1 Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón Định nghĩa 1.1.1 Cho X là không gian Banach và K là tập con của X. K được gọi là nón nếu: i) K đóng, khác rỗng và K    . ii) a, b  ; a, b  0; x, y  K  ax  by  K . iii) x  K và  x  K  x  0 Ví dụ 1: Cho X  n .Ta xét K  1 ,  2 ,...,  n  :  i  ,  i  0, i  1, 2,..., n n Khi đó K là nón trong . Định nghĩa 1.1.2 Trong không gian Banach X với nón K, ta xét quan hệ  như sau: x, y  X , x  y  y  x  K Khi đó quan hệ  có các tính chất: 1) Phản xạ: x  x  0  K  x  x, x  X 2) Phản xứng: x, y  K , nếu x  y và y  x thì y  x  K và x  y  K . Do iii) ta có y  x  0 nên x  y 3) Bắc cầu: x, y , z  X nếu x  y và y  z thì y  x  K và z  y  K Do ii) ta có z  x   y  x    z  y   K . Do đó x  z . Vậy  là quan hệ thứ tự trên X.
4 Mệnh đề 1.1.1 Cho X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K. Khi đó:  x   y i)   0, x, y, z  X ; x  y   x  z  y  z ii) Nếu xn  yn , n và lim xn  x, lim yn  y thì x  y. n  n  iii) Nếu dãy  xn  tăng (giảm) và hội tụ về x thì xn  x,  xn  x  n. Chứng minh i) Ta có x  y  y  x  K   y   x    y  x   K   x   y. Tương tự x  y  y  x  K  y  x   y  z    x  z   K  x  z  y  z. ii) xn  yn  yn  xn  K . Vì lim  yn  xn   y  x và K đóng nên y  x  K .Do đó x  y . n  iii) Giả sử  xn  tăng. Với mỗi n, ta có xn  xn  m . Cho m   ta có xn  x, n. Định nghĩa 1.1.2 i) Nón K trong X được gọi là nón miniheral mạnh nếu mọi tập M bị chặn trên trong X đều tồn tại supM. ii) Nón K trong không gian Banach X được gọi là nón chuẩn nếu N  0 sao cho x, y  X , x  y thì x  N y Khi đó số N được gọi là hằng số chuẩn của K. iii) Nón K trong X được gọi là nón đều (chính qui) nếu mọi dãy đơn điệu tăng bị chặn trên trong X đều hội tụ. iv) Nón K trong X được gọi là nón tách (nón sinh) nếu x  X , u , v  K : x  u  v
5 Ví dụ 2: 1) K   f  C 1  0,1 : f  0 không là nón chuẩn trong C1  0,1 . 2) K   x  C 1  0,1 : x  t   0, x  t   0, t   0,1 là nón chuẩn trong C1  0,1 . 3) Nón các hàm không âm hầu khắp nơi trong L  0,1 là nón đều trong L  0,1 4) Nón các hàm không âm trong C0,1 không là nón đều. Mệnh đề 1.1.2 Cho K là nón chuẩn trong X . Khi đó: i) u , v  X , u  v thì u,v   x  X : u  x  v là tập đóng và bị chặn. ii) Nếu xn  yn  zn ,  n  1, 2,... và lim xn  lim zn  x thì lim yn  x n  n  n  iii) Nếu dãy đơn điệu  xn n có dãy con xn   k k hội tụ về x thì  xn n hội tụ về x Chứng minh i) u , v đóng: Giả sử xn  u , v , n và lim xn  x . n  Ta có u  xn  v, n  u  x  v  x  u , v u , v bị chặn: x  u , v thì u  x  v  x-u  K, v-u  K và x-u  v-u Vì K là nón chuẩn nên x  u  N v  u  x  u  N v  u Do đó x  N v  u  u  M ii) Giả sử xn  yn  zn , n  0  yn  xn  zn  xn Do K là nón chuẩn nên yn  xn  N zn  xn  * Vì lim xn  lim zn  x nên z n  xn  0. n  n  Từ (*) cho n   thì yn  xn  0 Do đó yn   yn  xn   xn  x  n   
6 iii) Giả sử  xn n là dãy tăng có dãy con xn   k k hội tụ về x  Ta có xn  x   , k0 : x  xn  . k k0 N Ta có xn  x, k và x n  xn nên x n  x, n k k Khi đó n  nk thì 0 xn  xn  x  0  x  xn  x  xn k0 k0  x  xn  N x  xn k0  Vậy lim xn  x . n  Định lí 1.1.1 Trong không gian Banach X với nón chuẩn K tồn tại chuẩn . * tương đương với chuẩn ban đầu . sao cho x, y  X , 0  x  y  x *  y * Chứng minh Đặt A   B  0,1  K    B  0,1  K  * Ta chứng minh: B  0,1  A  B  0, r  , với r  0 đủ lớn. + Do 0  K    K  nên B  0,1  A. + Chứng minh A  B  0, r  , r  0 . Thật vậy, nếu ngược lại ta có thể xây dựng dãy  xn n  A với xn  n và y n , zn  B  0,1 , un , vn  K sao cho xn  yn  un  zn  vn Vì un  vn  zn  yn nên un  vn  2 Do K là nón chuẩn nên un  N un  vn  2 N Do đó n  xn  yn  un  1  2 N , n (vô lý)
7 * Xét phiếm hàm Minkovski của tập A:  x  x *  inf   0 :  A x  A    x x * x  X , x  0, gọi 0  x * thì  B  0,1 và  A. 2 x 0 x x x Theo trên ta có  A và  B  0, r  nên x *  2 x và r 2 x 0 x * 1  x * x  r x * 2 Khi x  0 thì đẳng thức xảy ra. Do đó chuẩn . * tương đương với chuẩn ban đầu .  y  x * Giả sử 0  x  y , ta có   0 :     0 :      y Thật vậy, xét  sao cho A  x x x Vì x  0 nên K  0  B  0,1  K    x y y x Vì x  y nên    K     y y Mà  K nên theo định nghĩa A ta có  u  v với u  B  0,1  K   x Do đó A  Vì vậy x *  y *.
8 Định lí 1.1.2 i) K là nón đều khi và chỉ khi mọi dãy đơn điệu giảm bị chặn dưới đều hội tụ. ii) K là nón đều thì K là nón chuẩn. Chứng minh i)    Giả sử K là nón đều. Xét dãy x1  x2  ...  xn  ...  x Ta có dãy  x1  xn n đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi x1  x nên hội tụ Vậy  xn n hội tụ.   Xét dãy x1  x2  ...  xn  ...  x Ta thấy dãy  x1  xn n đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên hội tụ. Vậy  xn n hội tụ. ii) Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử K không là nón chuẩn. Khi đó N , xN  K , y N  K , 0  xN  yN nhưng xN  N y N Cho N  n 2  n  1, 2,... ta được các dãy  xn n  K ,  yn n  K thỏa 0  xn  yn , xn  n 2 yn xn y Rõ ràng xn  0 . Xét các dãy xn  , yn  n xn yn 1  Ta có 0  xn  yn , xn  1, yn  n2 nên chuỗi  y n 1 n hội tụ.  Đặt y   yn thì y1  y2  ...  yn  y  n  n 1 Ta thấy dãy zn  x1  x2  ...  xn tăng và bị chặn trên bởi y. Vì K là nón đều nên  zn n hội tụ. Dẫn đến xn  zn  zn 1  0 Điều này mâu thuẫn với điều kiện xn  1 . Vậy K là nón chuẩn
9 Mệnh đề 1.1.3 Nếu nón K trong X có điểm trong u0 thì i)   0 sao cho x  X thì  x u0  x   x u0 ii) K là nón tách. Chứng minh i) u0  int K  r  0 : B  u0 , r   K rx rx * Với x  0 ta có u0   B  u0 , r  nên u0  0 2 x 2 x 2 2 Do đó  x u0  x  x u0 r r * Khi x  0 thì bất đẳng thức trên vẫn đúng. ii) Theo i) x  X ,   0 sao cho  x u0  x   x u0  x u0  x  x u0  x Đặt u  và v  thì u  0, v  0 và x  u  v 2 2 Do đó ta được u , v  K và x=u-v . Vậy K là nón tách. Định lí 1.1.3 Nếu K là nón tách thì tồn tại hằng số M  0 sao cho x  X , u , v  K : x  u  v, u  M x , v  x
10 1.2 Bậc tôpô của ánh xạ đa trị Bổ đề 1.2.1 Cho X là không gian mêtric , Y là không gian định chuẩn và F : X  2Y là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên có tập giá trị lồi đóng. Khi đó với mọi   0 tồn tại ánh xạ liên tục f : X  co  FX  sao cho với mọi x  X , tồn tại y  X và z  Fy sao cho d  x , y    và f ( x )  z   . Chứng minh Với x  X và   0 do F nửa liên tục trên nên tồn tại  x  0 sao cho F  B( x,  x )   B  Fx,   . Ta có thể giả sử  x   Gọi Ui iI là họ tập mở hữu hạn làm mịn địa phương của  x   B( x , ) : x  X  và i iI là một phân hoạch phụ thuộc duy nhất vào Ui iI  2  Ta định nghĩa f : X  Y xác định bởi f ( x )   ( x ) y iI i i x  X  x  ở đây Ui  B  xi ,  và yi  Fxi  2 Rõ ràng f : X  co  FX  liên tục. Với x  X cho trước đặt I 0  i  I : i ( x )  0 . Khi đó tồn tại i0  I 0 sao cho  xi  max  xi 0 iI 0    xi  Đặt y  xi0 . Với i  I 0 ta có x  Ui  B  xi ,     nên xi  B xi ,  xi0 2   Do đó ta có f ( x )   ( x ) y  B  Fy,   iI i i Lấy z  Fy sao cho f ( x )  z   ta có điều phải chứng minh.
11 Định nghĩa 1.2.1 Cho X là không gian Banach,   X là tập mở bị chặn và F :   2 X là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên có tập giá trị lồi đóng .Giả sử F là tập compact tương đối và x  Fx với mọi x  . Khi đó ta định nghĩa bậc tôpô của ánh xạ F trên  tại 0 xác định bởi deg  I  F , ,0   lim deg  I  f , ,0   0 Với f định nghĩa ở bổ đề 1.2 .1. Định lý 1.2.1 [7] Bậc tôpô xác định ở định nghĩa 1.2.1 có các tính chất sau: i) deg  I , ,0  = 1 khi và chỉ khi 0 ii) Nếu deg  I  F , ,0   0 thì F có điểm bất động trên  . iii) Đặt Ft :  0;1    2 X là ánh xạ compact nửa liên tục trên có tập giá trị lồi đóng và x  Ft x   t, x    0;1   . Khi đó deg  I  Ft , ,0  không phụ thuộc vào t   0;1 iv) Nếu   1   2 , 1     và x  Fx , x  1   2 thì deg  I  F , ,0   deg  I  F , 1 ,0   deg  I  F , 2 ,0  Cho X là không gian Banach ta định nghĩa độ đo phi compact của một tập hợp bị chặn trong X là hàm số  : 2 X   thỏa các điều kiện sau: i)  ( A)  0 khi và chỉ khi A là tiền copmact ( tức là A hoàn toàn bị chặn) ii)   A  B   max   A  ,   B  iii)    coA    A  Hai ví dụ tiêu biểu của độ đo phi compact là độ đo phi compact Kuratowski:
12   A  = inf{ r>0 : A được phủ bởi một số hữu hạn các tập hợp có đường kính nhỏ hơn r } và độ đo phi compact Hausdorff:   A  =inf{ r>0 : A được phủ bởi một số hữu hạn các hình cầu có bán kính nhỏ hơn r } Định nghĩa 1.2.2 Cho X là không gian Banach và F : X  2 X là xạ đa trị . Khi đó i) F gọi là cô đặc nếu   F       với   X và      0 ii) F gọi là k-set co nếu   F   k     với   X và      0 Với là độ đo phi compact Kuratowski hoặc độ đo phi compact Hausdorff. Nhận xét Mọi ánh xạ cô đặc đều là ánh xạ k-set co với k=1. Mọi ánh xạ compact đều là ánh xạ cô đặc và cũng là ánh xạ k-set co vì vế trái của bất đẳng thức ở định nghĩa trên bằng 0. Cho X là không gian Banach và K  X là tập lồi đóng, U  X là tập mở và U  K   . Ta ký hiệu U  K  U K Giả sử F : U K  2 K là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên , cô đặc và x  Fx x   K (U K ) . Ta xây dựng họ siêu hạn các tập hợp K như sau: K 0  coF (U K ) . Với mỗi số siêu hạn  mà K  được định nghĩa với mọi    ,   khi đó ta đặt K  coF K 1  U K nếu  là số siêu hạn loại 1 và K  K    nếu  là số siêu hạn loại 2. Ta có K giảm và do đó tồn tại  sao cho   K  K ,    . Hơn nữa x x  U K  Fx  K và coF K  U K  K 
13 mà F là cô đặc nên K là tập compact. Khi đó ta định nghĩa chỉ số điểm bất động iK  F,U  của F trên U như sau: Nếu U  K    thì iK  F ,U   0  Nếu U  K    thì iK  F ,U   deg I  F   ,  1 (U ),0  , với  là   phép chiếu liên tục của X lên K và deg I  F   ,  1 (U ),0 là bậc tôpô của ánh xạ đa trị xác định ở định nghĩa 1.2.1. Định lý 1.2.2 [ 9 ] Cho X là không gian Banach và K  X là tập lồi đóng, U  X là tập mở Ánh xạ đa trị F : U K  2K là nửa liên tục trên , cô đặc và x  Fx x   K (U K ) . Khi đó: i) Nếu iK  F ,U   0 thì F có điểm bất động. ii) Nếu x0  U K thì iK  F0 ,U K   1 với F0 x   x0  x  U K iii) Nếu U  U1  U 2 , U1  U   và x  Fx , x   KU1   KU 2 thì iK  F ,U   iK  F ,U1   iK  F ,U2  iv) Nếu H :  0;1  U K  2 K là nửa liên tục trên và   H  0;1          với   U K thỏa      0 và x  H  t, x  t   0;1 x  K UK  thì iK  H 1,  ,U  = iK  H  0,  ,U 
14 Định lý 1.2.3 [ 9 ] Cho X là không gian Banach với nón K và r1 , r2   0;   , đặt r  max r1 , r2  . Ánh xạ đa trị F : B  0; r   K  2 K là nửa liên tục trên và cô đặc . Giả sử ánh xạ F thoả : i) Tồn tại w  K , w   sao cho x  F  x   tw t >0,x   K B  0; r1  ii)  x  F  x   >1,x   K B  0; r2  Khi đó F có điểm bất động x0 thoả min r1 ; r2   x0  max r1 ; r2  1.3 Nguyên lý đệ quy tổng quát Định nghĩa 1.3.1 Cho tập hợp P   , khi đó  P,   được gọi là tập sắp thứ tự một phần nếu trên P có quan hệ thứ tự  thỏa: i) Phản xạ: x  x x  P ii) Đối xứng: Nếu x  y và y  x thì x  y x, y  P iii) Bắc cầu: Nếu x  y và y  z thì x  z x, y, z  P Ta ký hiệu x  y nếu x  y và x  y . Ví dụ:  ,   ,  ,   ,  ,   là các tập được sắp thứ tự. Định nghĩa 1.3.2 Tập hợp có thứ tự P gọi là sắp thứ tự tốt nếu mọi tập con khác rỗng của nó đều có phần tử đầu tiên. Mệnh đề 1.3.1 (Nguyên lí đệ quy) Cho D là tập hợp các tập con của tập sắp thứ tự  P,   ,   D và ánh xạ F : D  P . Khi đó tồn tại duy nhất tập sắp tốt C của P sao cho: 1) x  C  x  F  C x   * (với C x   y  C , y  x ). (1.3.1) 2) Nếu C  D thì F  C  không phải là cận trên chặt của C.
15 Chứng minh Đặt x0  F     P, k  min y   C2 \ C1  Gọi M là tập tất các xích sắp tốt C của P có tính chất: x  C thì x  F  C x  . Ta có M   vì C   x0   M Ta sẽ chứng minh  M  M Bổ đề 1.3.1 Nếu C1 , C2  M và C2  C1 thì C1  C2 x với x  min  C2 \ C1  Chứng minh Vì x  min  C2 \ C1  nên C2 x  C1 . Thật vậy, lấy y  C2 x thì y  C2 và y < x nên y  C2 \ C1 suy ra y  C1 Giả sử C1 \ C2 x   đặt y  min  C1 \ C2 x  . Ta có: C1 y  C2 x   C1  C2  (do C2 x  C1 ) Ta sẽ chứng minh C1 y  C2 x Thật vậy, giả sử C1 y  C2 x khi đó z  min  C2 x \ C1 y  nên C  z 2 x  C1 y suy ra C2 z  C1 y (vì z  x ) (1) Mặt khác z  C2 x   C1  C2  nên z  C1 Mà z  C1 y , do đó y  z Ta có C1 y  C2 x nên C1 y  C2 y  C2 z (2) Từ (1) và (2) suy ra C2 z  C1 y hay z  F  C2 z   F  C1 y   y, Mâu thuẫn vì z  C2 x , y  C2 x Suy ra C2 x  C1 y hay y  F  C1 y   F  C2 x   x mâu thuẩn vì y  C1 , x  C1 Vậy C1 \ C2 x   hay C1  C2 x
16 Bây giờ ta chứng minh mệnh đề 1.3.1: 1) Theo bổ đề trên thì hai xích bất kì thuộc M đều chứa nhau. Đặt C   M . Nếu ta chứng minh được C thỏa điều kiện (*) thì suy ra C chính là xích duy nhất của P thỏa mãn điều kiện của mệnh đề. a) Chứng minh C sắp tốt: Lấy   D  C Chọn C1  M sao cho D  C1   , đặt x  min  D  C1  Lấy bất kì y thuộc D thì C2  M để y  C2 - Nếu y  C1 thì x  y -Nếu y  C1 thì C2  C1 nên theo bổ đề trên ta có C1  C2 k với k  min  C2 \ C1  , mà y  C2 , y  C1 nên y   C2 \ C1  do đó k  y . Suy ra C2 k  C2 y , tức là y  C1  C2 k  C2 y . Do x  C1 nên x  y . Vậy x  y, y  D suy ra x  min D tồn tại hay C là xích xếp tốt. b) Chứng minh C thỏa điều kiện (*): Lấy x  C , chọn C1  M sao cho x  C1 . Lấy y  C x thì C2  M để y  C2 x . - Nếu C2  C1 thì y  C1x . - Nếu ngược lại C2  C1 thì theo bổ đề trên C1  C2 k với k  min  C2 \ C1  . Do x  C1 nên x  C2 k suy ra x
17 Ta sẽ phủ định mệnh đề x  a, x  C Thật vậy, nếu x  a, x  C thì a  F  C   F  C a  Suy ra a  C , mâu thuẫn . Vậy F(C) không phải là một cận trên chặt của C. Mệnh đề 1.3.2 Cho G : P  P và c  P khi đó tồn tại duy nhất tập sắp tốt C=C(G) trong  P ( gọi là tập sắp tốt của phép lặp cG) sao cho x  C  x  sup c, G  C x   (1.3.2) Chứng minh Đặt D  { W  P / W là tập xếp tốt và tồn tại sup(c, G W ) } Định nghĩa f : D  P xác định bởi f (W )  sup{c, G W } thì f thỏa mãn các điều kiện của mệnh đề 1.3.1 Áp dụng mệnh đề 1.3.1 ta có điều phải chứng minh. Mệnh đề 1.3.3 Cho F : P  2 P \  và c  P . Gọi M là tập tất cả các lựa chọn của F , tức là M  G : P  P G ( x)  F ( x) x  P (1.3.3) Với mỗi G : P  P ta gọi CG là đoạn đầu dài nhất của tập sắp tốt C(G) của phép lặp cG sao cho hạn chế G CG của G lên CG là tăng . Định nghĩa quan hệ thứ tự trên M như sau: (o) F  G nếu và chỉ nếu CF  CG và G CF F CF Khi đó ( M ,  ) có phần tử lớn nhất. Chứng minh Lấy G0  M và gọi D là tập chứa tập  và các tập con W sắp tốt, có cận trên chặt của ( M ,  ) mà G0  min W .Đặt f : D  M là ánh xạ thoả f     G0 và f biến mỗi tập con khác rỗng W của D thành một cận trên chặt của nó. Theo mệnh đề 1.3.1 tồn tại duy nhất tập sắp tốt  của thoả G    G  f  G  .