Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tích phân Perron

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:56

Thêm vào BST

Báo xấu

80
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tích phân Perron bao gồm những nội dung về các kiến thức chuẩn bị, định nghĩa và các tính chất của tích phân Perron, xây dựng tích phân bất định Perron, so sánh tích phân Perron và tích phân Lebesgue.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tích phân Perron

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Dương Thị Mộng Thường TÍCH PHÂN PERRON Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2011
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tôi xin trân trọng gởi đến TS. Lê Thị Thiên Hương tấm lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất. Cô đã động viên, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình trong quá trình hướng dẫn để tôi hoàn thành tốt luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Quý thầy - cô trong khoa Toán của trường Đại học sư phạm TP. HCM đã tận tình giảng dạy để tôi có những kiến thức quý báu làm hành trang cho quá trình học tập và nghiên cứu sau này. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô thuộc phòng Quản lý khoa học sau đại học, trường Đại học sư phạm TP. HCM đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Cuối cùng tôi cũng xin gởi lời biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi và lời tri ân đến tất cả bạn bè tôi - những người đã luôn ở bên tôi, động viên và giúp tôi vượt qua mọi khó khăn trong quá trình thực hiện luận văn.
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ................................................................................................................................................... 2 0T T 0 MỤC LỤC ......................................................................................................................................................... 3 0T T 0 MỞ ĐẦU........................................................................................................................................................... 4 0T T 0 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................................................... 6 0T T 0 1.1. Khái niệm “hầu khắp nơi” .................................................................................................................. 6 T 0 0T 1. 2. Đạo hàm của một hàm số đơn điệu .................................................................................................... 6 T 0 0T 1.3. Đạo hàm của tích phân bất định ......................................................................................................... 7 T 0 0T 1.4. Vấn đề tìm lại nguyên hàm ................................................................................................................ 7 T 0 0T 1.5. Các tính chất của tích phân ................................................................................................................ 7 T 0 0T 1.6. Tích phân trừu tượng và sự tổng quát hóa của nó ............................................................................... 9 T 0 T 0 1.7. Tập phạm trù thứ nhất ...................................................................................................................... 16 T 0 0T CHƯƠNG 2. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN PERRON ........................................ 18 0T T 0 2.1. Định nghĩa tích phân Perron............................................................................................................. 18 T 0 0T 2. 2. Các tính chất cơ bản của tích phân Perron ....................................................................................... 20 T 0 T 0 CHƯƠNG 3. XÂY DỰNG TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH PERRON ..................................................................... 26 0T T 0 3.1. Tích phân bất định Perron ................................................................................................................ 26 T 0 0T 3.2. Tích phân hẹp Danjua ...................................................................................................................... 29 T 0 0T 3.3. Định lý G. HACE ............................................................................................................................ 32 T 0 0T 3.4. Định lý P. X. ALECXANDROV – G . LOMAN .............................................................................. 41 T 0 T 0 CHƯƠNG 4. SO SÁNH TÍCH PHÂN PERRON VÀ TÍCH PHÂN LEBESGUE ............................................ 48 0T T 0 KẾT LUẬN ..................................................................................................................................................... 53 0T T 0 TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................................................................ 53 0T 0T PHỤ LỤC ........................................................................................................................................................ 55 0T T 0
MỞ ĐẦU Vào cuối thế kỷ XIX, người ta đưa ra ví dụ hàm số π =f ( x ) x= 2 cos 2 , f ( 0 ) 0 x có đạo hàm hữu hạn f '( x ) khắp nơi trên đoạn [ 0;1] nhưng hàm số f ( x ) lại không khả tích ' theo nghĩa Lebesgue. Như vậy phép tính tích phân theo định nghĩa của Lebesgue không giải quyết được trọn vẹn bài toán tìm nguyên hàm của một hàm số theo đạo hàm của nó. Vào năm 1912, nhà toán học Pháp A. Danjua đã đưa ra quá trình tích phân hóa tổng quát hơn Lebesgue và chứng tỏ rằng quá trình này giải quyết được trọn vẹn bài toán nêu trên. Mặt khác, năm 1914 nhà toán học Đức O. Perron cũng đưa ra một định nghĩa tích phân khác, dựa trên nguyên tắc khác với định nghĩa của Danjua và cũng giải quyết trọn vẹn bài toán tìm nguyên hàm của một hàm số từ đạo hàm hữu hạn của nó. Các công trình tiếp theo của G. Hace (1921), P.S.Alecxandrov (1924) và G. Loman (1925) đã chứng minh sự đồng nhất của tích phân Danjua và Perron. Như vậy Perron đã đưa ra dạng mới của định nghĩa tích phân Danjua, do đó ngày nay tích phân này được gọi là tích phân Danjua - Perron. Vào năm 1916, A.Danjua và nhà toán học Nga A.I.Khintrin đã đưa ra định nghĩa tích phân tổng quát hơn, hoàn toàn độc lập với nhau. Định nghĩa này cho phép tìm nguyên hàm không chỉ từ đạo hàm thông thường mà còn từ đạo hàm xấp xỉ (hay đạo hàm tiệm cận). Số A được gọi là đạo hàm xấp xỉ của hàm số f ( x ) tại điểm x0 nếu tồn tại tập hợp E nhận x0 làm điểm trù mật sao cho với x∈ E và x → x0 ta có f ( x ) − f ( x0 ) lim =A x→ x0 x − x0 Tích phân tổng quát này thường được gọi là tích phân Danjua - Khintrin, hay tích phân Danjua “ rộng”, để phân biệt tích phân Danjua - Perron được gọi là tích phân Danjua “hẹp”.
Chúng ta sẽ nghiên cứu lý thuyết tích phân Danjua – Perron. Còn tích phân Danjua – Khintrin ta chỉ đưa ra định nghĩa. Bạn đọc quan tâm có thể xem tài liệu “Lý thuyết tích phân” của S.Sacs, 1949. Luận văn được chia thành 4 chương và phụ lục. Nội dung chủ yếu của luận văn tìm hiểu định nghĩa và các tính chất của tích phân Perron, xây dựng tích phân bất định Perron thông qua lý thuyết tích phân Danjua, định lý G.Hace, định lý P. X. Alecxandrov- G. Loman và so sánh tích phân Perron với tích phân Lebesgue. Chương 1 trình bày kiến thức chuẩn bị gồm các khái niệm và các định lý sẽ được sử dụng ở các chương sau. Chương 2 nêu định nghĩa và chứng minh các tính chất của tích phân Perron. Đây là một trong các kết quả quan trọng của luận văn. Chương 3 xây dựng khái niệm tích phân bất định Perron và chứng minh các tính chất của nó. Chương 4 dành cho việc so sánh tích phân Perron với tích phân Lebesgue. Trong luận văn còn có phần phụ lục trình bày khái niệm tích phân Danjua “rộng”, nhằm phân biệt với tích phân Danjua “hẹp”.
CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Khái niệm “hầu khắp nơi” Cho không gian độ đo ( X , M , µ ) . a/ Giả sử E là tập hợp thuộc M và P là một tính chất mà mỗi x ∈ E hoặc thỏa mãn hoặc không thỏa mãn. Ta nói P xảy ra hầu khắp nơi trên E nếu tập hợp {x∈ E , x khoâng thoûa maõn P} được chứa trong tập thuộc M, có độ đo không. b/ Ta nói hai hàm số f , g : X → R là tương đương (kí hiệu f : g ) nếu f x = g x ( ) ( ) { } hầu khắp nơi, nghĩa là tập hợp x ∈ X : f ( x ) ≠ g ( x ) chứa trong tập có độ đo không. 1. 2. Đạo hàm của một hàm số đơn điệu ( ) Bổ đề 1.1. Cho A là một tập bất kỳ nằm trong khoảng a , b , J là một lớp khoảng sao cho mỗi điểm x ∈ A đều là mút trái của ít nhất một khoảng = ∆ ( x, x + h ) ∈ J . x Khi ấy tồn tại một số hữu hạn khoảng rời nhau ∆1 , ∆ 2 , ...., ∆ s ∈ J phủ lên một tập con A’ của A, với độ đo ngoài µ * ( A ' ) > µ * ( A ) − ε , và ε là một số dương tùy ý cho trước. Bổ đề 1.2. Giả thiết thêm rằng với mọi số η > 0 nhỏ tùy ý, tại mỗi điểm x ∈ A đều có ít nhất một khoảng ( x , x + hx ) ∈ J với hx < η . Khi ấy, cho trước một tập mở bất kỳ G ⊃ A , ta có thể chọn những khoảng ∆1 , ∆ 2 ,...., ∆ s trong bổ đề 1.1 sao cho chúng đều nằm trọn trong tập G. ( ) Định lý 1.3. Một hàm số F x đơn điệu trên một đoạn  a, b  thì có đạo hàm hầu khắp nơi trên đoạn ấy. Định lý 1.4. Nếu f ( x ) là hàm tăng xác định trên  a, b  thì đạo hàm f ' ( x ) của nó là hàm b đo được và ∫ f ' ( x ) dx ≤ f ( b ) − f ( a ) nên a f ' ( x ) khả tích.
1.3. Đạo hàm của tích phân bất định ( ) Bổ đề 1.5. Nếu F x không giảm (trên  a, b  ) thì F ' ( x ) khả tích và b ∫ F ' ( x ) dx ≤ F ( b ) − F ( a ) . a x ( ) Bổ đề 1.6. Nếu g x khả tích và với mọi x trong đoạn  a, b  ta đều có ∫ g ( t ) dt = 0 thì a g ( x ) = 0 hầu khắp nơi. x Định lý 1.7. Đạo hàm F ' ( x ) của tích phân bất định F ( x ) = ∫ f ( t ) dt , của một hàm số khả a ( ) ( ) tích f x , bằng f x hầu khắp nơi. 1.4. Vấn đề tìm lại nguyên hàm Bổ đề 1.8. Nếu một hàm số F ( x ) liên tục tuyệt đối có đạo hàm F ' ( x ) = 0 hầu khắp nơi thì F ( x ) phải là một hằng số. Định lý 1.9. Nếu F ( x ) là một hàm số liên tục tuyệt đối thì đạo hàm F ' ( x ) của nó khả tích x ( x ) F ( a ) + ∫ F ' ( t ) dt . và ta có F= a 1.5. Các tính chất của tích phân 1.5.1. Tính σ - cộng tính và liên tục tuyệt đối của tích phân Định lý 1.10. Nếu {gn } là một dãy hàm số đo được không âm trên một tập hợp A thì ∞ ∞ ∫ ∑ gn d µ = ∑ ∫ gn d µ . =A n 1=n 1 A ∞ Định lý 1.11. Giả sử A = U An , trong đó các An là những tập hợp đo được đôi một rời n =1 nhau. ∞ a/ Nếu tồn tại ∫A f d µ thì ∫ f dµ = ∑ ∫ f dµ A n =1 A (1.1) n
∞ b/ Nếu f khả tích trên A thì ∑∫ n =1 A f dµ < ∞ (1.2) n Do đó chuỗi ở vế phải của (1.1) hội tụ tuyệt đối. Đảo lại nếu có (1.2) thì f khả tích trên A và có (1.1). Định nghĩa 1.12. Giả sử ( X , M , µ ) là một không gian độ đo và λ : M → R là một hàm số σ - cộng tính. Ta nói hàm λ là liên tục tuyệt đối với độ đo µ nếu λ ( A ) = 0 với mỗi tập hợp A có độ đo µ ( A ) = 0 . Giả sử f là một hàm số khả tích trên không gian X. Từ định lý 1.8 suy ra rằng hàm λ : M → R , xác định bởi: λ ( A) = ∫ f dµ (1.3) A là một hàm σ - cộng tính. Nếu µ ( A ) = 0 thì λ ( A ) = 0 . Vậy λ là liên tục tuyệt đối đối với độ đo µ . {x ∈ X : f ( x ) ≠ 0} có độ đo σ - hữu hạn, tức là Dễ dàng chứng minh được rằng tập hợp X0 = ∞ X0 U Xn , µ ( = X n ) < ∞ , n 1, 2,... n =1 Hiển nhiên nếu A∈ M và A ∩ X0 =∅ thì λ ( A ) = 0 . Định lý 1.13. (Radon – Nikodym) Giả sử ( X , M , µ ) là một không gian độ đo và λ : M → R là một hàm σ - cộng tính , liên tục tuyệt đối đối với độ đo µ và λ ( A ) = 0 với mọi tập hợp A thuộc M nằm ngoài một tập hợp X0 nào đó thuộc M, có độ đo σ - hữu hạn. Khi đó tồn tại một hàm số f đo được trên X sao cho λ ( A ) = ∫ f d µ , với mỗi A∈ M . A Nếu λ ≥ 0 thì f ≥ 0 . Định lý 1.14. Giả sử f là một hàm số khả tích trên một tập hợp A .Khi đó với mỗi số dương ε , tồn tại một số dương δ sao cho với mọi tập hợp đo được E ⊂ A nếu µ ( E ) < δ thì ∫ f dµ < ε . E 1.5.2. Tính bảo toàn thứ tự
Định lý 1.15. Nếu f ≤ g trên A và các tích phân ∫ f dµ , ∫ g dµ tồn tại thì ∫ f dµ ≤ ∫ g dµ . A A A A 1.5.3. Tính tuyến tính Định lý 1.16. Các đẳng thức sau là đúng nếu các vế phải có nghĩa. (= i) ∫ c f dµ c ∫ f dµ (c ∈ R) A A ( ii ) ∫ ( f + g ) d µ = ∫ f d µ + ∫ g dµ A A A 1.5.4. Tính khả tích Định lý 1.17. Các khẳng định sau là đúng (i) Nếu ∫ f dµ có nghĩa thì ∫ f dµ ≤ ∫f dµ , A A A (ii) f khả tích trên A khi và chỉ khi f khả tích trên A, (iii) Nếu f ≤ g h.k.n trên A và g khả tích trên A thì f cũng khả tích trên A, (iv) Nếu f, g khả tích trên A thì f ± g cũng khả tích trên A. Hơn nữa nếu f khả tích còn g bị chặn trên A thì f . g khả tích trên A 1.6. Tích phân trừu tượng và sự tổng quát hóa của nó Trong mục này ta xét một số khái niệm chung sẽ được sử dụng ở các mục sau khi trình bày lý thuyết tích phân Danjua. Ta đã biết một loạt tích phân: R (Riemann), L (Lebesgue), P (Perron). Các tích phân này có một số tính chất chung, ta sẽ đưa những tính chất đó vào một sơ đồ chung. Giả sử mỗi đoạn thẳng  a, b  , trong đó a ≤ b , sẽ tương ứng với một lớp T ([ a , b ]) không rỗng gồm các hàm số nào đó xác định trên đoạn  a, b  . Họ các lớp như vậy được gọi là họ đúng nếu với mỗi c ∈ [ a, b ] đều có ([ a, b]) T ([ a, c]) ∩ T ([c, b]) . (Điều kiện này được hiểu như sau: T= Hàm số f ( x ) xác định trên [ a, b ] sẽ chứa trong lớp T ([ a, b ]) khi và chỉ khi cả hai hàm số thu được từ f ( x ) khi xét trên từng đoạn [ a, c ] , [c, b ] , đều chứa trong các lớp T ([ a, c ]) , T ([ c, b ]) tương ứng ).
Giả sử M = {T ( [ a, b ])} là một họ đúng các lớp và trên mỗi lớp T ([ a, b ]) có một phiếm hàm T ( f ) cho tương ứng mỗi hàm số f ∈ T ([ a, b ]) với một số xác định. Phiếm hàm này sẽ được gọi b a f ∈ T ([ a, b ]) và mọi b c b là tích phân nếu với mọi c∈ [ a, b ] đều có ( f ) T ( f )+ T ( f ) T= a a c (1.4) Và (với x∈ [ a, b ] ) x c lim T ( f ) = T ( f ) (1.5) x →c a a Nói một cách khác, tích phân là một hàm đoạn thẳng cộng tính và liên tục. Đặc biệt, nếu f ∈ T ([ a, a ]) thì T= a a a a ( f ) T ( f ) + T ( f ) nghĩa là T ( f ) = 0 . a a a a Tất cả các hàm số chứa trong lớp T ([ a, b ]) đều được gọi là hàm T – khả tích trên [ a, b ] . Từ điều kiện của họ đúng các lớp T ([ a, b ]) suy ra rằng mọi hàm số T – khả tích trên [ a, b ] đều T – khả tích trên mỗi đoạn [ p, q ] chứa trong  a, b  và đặc biệt, đều T-khả tích tại mỗi điểm c∈ [ a, b ] . Bây giờ ta xét một số tính chất của tích phân vừa được định nghĩa. Giả sử hàm số f ( x ) xác định trên  a, b  và c∈ [ a, b ] . Nếu với mọi δ > 0 hàm số f ( x ) không T – khả tích trên đoạn [ c − δ , c + δ ] ∩ [ a, b ] thì điểm c được gọi là điểm T – bất thường đối với hàm số f ( x ) . Tập hợp tất cả các điểm T – bất thường của f ( x ) được kí hiệu là ST ( f ; [ a, b ]) , hoặc ST ([ a, b ]) , hoặc ST ( f ) , hoặc chỉ đơn giản là ST . Hiển nhiên là nếu f là T – khả tích trên  a, b  thì ST ([ a, b ]) = 0 . Bổ đề sau đây chứng tỏ điều ngược lại cũng đúng. Bổ đề 1.18. Nếu f ( x ) xác định trên  a, b  và không thuộc T ([ a, b ]) thì ST ( f ; [ a, b ]) ≠ 0 . Chứng minh a+b Đặt d = . Khi đó f(x) không T – khả tích trên ít nhất một trong hai đoạn [ a, d ] , [ d , b ] 2 mà ta kí hiệu lại là [ a1 , b1 ] .
a1 + b1 Đặt d1 = và gọi [ a2 , d 2 ] là một trong hai đoạn [ a1 , d1 ] , [ d1 , b ] sao cho f ( x ) không T – 2 khả tích trên [ a1 , d1 ] . Tiếp tục quá trình này ta thu được dãy các đoạn thẳng lồng vào nhau: [ a, b ] ⊃ [ a1 , b1 ] ⊃ [ a2 , b2 ] ⊃ ... sao cho f ( x ) không T – khả tích trên từng đoạn. Giả sử c là điểm chung của tất cả các đoạn [ an , bn ] . Nếu δ > 0 thì với n đủ lớn ta sẽ có [ an , bn ] ⊂ [c − δ , c + δ ] ∩ [ a, b] . Từ đó suy ra f ∉ T ([ c − δ , c + δ ] ∩ [ a, b ]) và điểm c là điểm T – bất thường. Bổ đề 1.19. Tập hợp ST = ST ( f ; [ a, b ]) là tập đóng. Chứng minh Giả sử cn ∈ ST và cn → c . δ Lấy δ > 0 . Nếu n đủ lớn thì cn − c < nên 2  δ δ cn − 2 , cn + 2  ∩ [ a , b ] ⊂ [ c − δ , c + δ ] ∩ [ a, b ] Vì f ( x ) không T – khả tích trên đoạn thẳng là vế trái của bao hàm trên nên f ( x ) cũng không T – khả tích trên đoạn thẳng là vế phải. Do δ tùy ý nên c∈ ST , đây là điều phải chứng minh. Dưới đây ta xét trường hợp ST không lấp đầy đoạn [ a, b ] . Khi đó phần bù [ a, b ] \ ST sẽ gồm hữu hạn hoặc đếm được các khoảng không giao nhau đôi một. Thật vậy, nếu ST = ∅ thì [ a, b ] \ ST = [ a, b ] Nếu ST ≠ ∅ và [ p, q ] là đoạn nhỏ nhất chứa ST thì [ a, p ] {[ p, q ] \ ST } ∪ [ q, b] [ a, b] \ ST =∪ Để ý rằng [ p, q ] \ ST hoặc là tập rỗng, hoặc là hợp của các khoảng không giao nhau đôi một (khi p = a thì [ a, p ) = ∅ ). Trong phần bù của ST có thể có những khoảng không phải là khoảng mở, nếu xét một cách chặt chẽ thì khá phức tạp nên dưới đây ta vẫn kí hiệu các khoảng này là ( an , bn ) , mặc dù trên thực tế chúng có thể là ( an , bn ] hoặc [ an , bn ) hoặc thậm chí là [ an , bn ] (nếu ST = ∅ ).
Giả sử ta có hai tích phân T1 và T2 . Nếu mọi hàm số T1 - khả tích đều là hàm T2 - khả tích và giá trị của hai tích phân đó bằng nhau thì ta nói tích phân T2 tổng quát hơn T1 . Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng: Từ một tích phân T nào đó (mà khi định nghĩa nó ta đã đưa ra họ đúng M gồm các lớp hàm T – khả tích T ([ a, b ]) ) đều có thể xây dựng được một tích phân T* khác tổng quát hơn. Muốn vậy trước hết ta xây dựng họ đúng gồm các lớp hàm khả tích ứng với tích phân mới . Ta quy ước đưa hàm số f(x) xác định trên [ a, b ] vào lớp T* [ a, b ] khi và chỉ khi ba điều kiện sau đây được thỏa mãn: 1) Tập hợp ST = ST ( f ;[ a, b ]) không trù mật khắp nơi trên [ a, b ] và hàm số f ( x ) khả tích theo nghĩa Lebesgue trên tập hợp này. (Điều kiện này luôn thỏa mãn khi m ST = 0 và càng thỏa mãn khi ST = ∅ ). 2) Nếu {[ an , bn ]} là dãy các khoảng là phần bù của ST thì với mỗi n đều tồn tại giới hạn hữu β hạn I n lim T ( f ) = ( an < α < β < bn , α → an , β → bn ) . α β = 3) Nếu Wn sup T ( f ) ( an < α < β < bn ) thì α ∑W n n < +∞ (Điều kiện này đảm bảo các số Wn đều hữu hạn). Ta đi chứng minh họ T* [ a, b ] là họ đúng. Giả sử f ( x ) ∈ T [ a, b ] . Khi đó ST ( f ; [ a, b ]) = ∅ và mọi hợp ∪ [ an , bn ] đều được đưa về một số hạng là [ a, b ] . Do đó điều kiện 1) được thỏa mãn. β b Điều kiện 2) cũng thỏa mãn vì theo(2) ta có lim T ( f ) = T ( f ) α a nếu a < α < β < b, α → a , β → b . Cuối cùng điều kiện 3) cũng thỏa mãn đối với f ( x ) vì chỉ có một số hữu hạn W . Vậy T ([ a, b ]) ⊂ T* ([ a, b ]) và tất cả các lớp T* ([ a, b ]) đều khác rỗng. Tiếp theo ta giả sử f ( x ) ∈ T* ([ a, b ]) và a < c < b . (Trường hợp c = a và c = b là hiển nhiên vì nếu f ( x ) xác định tại x0 thì f ( x ) sẽ chứa trong lớp T* ([ x0 , x0 ]) cho dù f ( x ) có T- khả tích tại x0 hay không).
Xét tập hợp ST ( f ; [ a, c ]) . Dễ thấy rằng tập hợp này là tập con của ST ( f ; [ a, b ]) , do đó nó cũng không trù mật khắp nơi trên [ a, c ] và hàm số f ( x ) khả tích theo nghĩa Lebesgue trên [ a, c ] . Do đó trên [ a, c ] hàm số f ( x ) thỏa mãn điều kiện 1). Giả sử [ a, c ] \ ST ( f , [ a, c ]) = ∪ ( an , bn ) . n Nếu c∈ ST ( f ; [ a, c ]) thì mỗi khoảng ( an , bn ) trên đây sẽ là phần bù của toàn bộ tập hợp ST ( f ; [ a, b ]) đến [ a, b ] . Nếu c∉ ST ( f ; [ a, c ]) thì c cũng không thuộc mọi khoảng ( an , bn ) có thể trừ ra một khoảng có dạng ( an , c  . (Nếu ST ( f ; [ a, c ]) = ∅ thì khoảng ( an , c  chính là [ a, c ] . 0 0 Từ đó suy ra f ( x ) thỏa mãn điều kiện 2), điều kiện 3) trên [ a, c ] . Vậy f ( x ) ∈ T* ([ a, c ]) . Chứng minh tương tự ta có f ∈ T* ([ c, b ]) . Vậy T* ([ a, b ]) ⊂ T* ([ a, c ]) ∩ T* ([ c, b ]) . Bao hàm ngược lại được chứng minh bằng cách lập luận tương tự. Vậy họ các lớp T* ([ a, b ]) là đúng. Bây giờ với mỗi hàm số f ∈ T* ([ a, b ]) ta định nghĩa giá trị của phiếm hàm T * ( f ) bởi công b a b a (f) thức T * = ∑ I + ( L ) ∫ f ( x ) dx n (1.6) n ST ( f ) Định nghĩa này hoàn toàn xác định vì I n ≤ Wn nên chuỗi ∑I n n hội tụ tuyệt đối. Để ý rằng với mọi hàm số T – khả tích f ( x ) (trên đây ta đã chỉ ra rằng f ∈ T* ([ a, b ]) ) ta có b b T * ( f ) = T ( f ) vì trong vế phải của (1.6) thì tích phân Lebesgue bằng 0, còn chuỗi a a ∑I n n chỉ có b một số hạng T ( f ) . a Một trường hợp đơn giản khác là khi chỉ có a và b là điểm T – kì dị trên [ a, b ] thì b β T * ( f ) lim T ( f ) ( a < α < β < b , α → a , β → b ) . = a α b bn T *( f ) Khi đó từ (1.6) suy ra= a ∑ T ( f ) + ( L ) ∫ f ( x ) dx . an * n ST ( f )
b Ta chứng minh phiếm hàm T * ( f ) mà ta vừa định nghĩa là tích phân theo định nghĩa được a đưa ra ở đầu mục này, nghĩa là nó là cộng tính và liên tục như hàm của đoạn thẳng [ a, b ] . Giả sử f ∈ T* ([ a, b ]) và a < c < b . Rõ ràng ta có T ( f ; [ a, b ]) S= ST ( f ; [ a, c ]) + ST ( f ; [ c, b ]) , trong đó các tập hợp ở vế phải hoặc không giao nhau, hoặc chỉ có một điểm chung. Từ đó suy ra ( L= ) ∫ f ( x ) dx ( L ) ∫ f ( x ) dx + ( L ) ∫ f ( x ) dx (1.7) ST ([ a , b ] ) ST ([ a , c ] ) ST ([ c , b ] ) trong đó cả hai tích phân ở vế phải đều tồn tại và hữu hạn. Tiếp theo ta giả sử [ a, b] \ ST ( f , [ a, b]) = ∑ ( an , bn ) n Đối với điểm c có ba khả năng có thể xảy ra: • c thuộc cả hai tập hợp ST ([ a, c ]) , ST ([ c, b ]) • c không thuộc cả hai tập hợp đó • c thuộc một trong hai tập hợp và không thuộc tập còn lại. Trong cả ba trường hợp cách lập luận đều tương tự, do đó ta chỉ xét trường hợp đầu tiên. Trong trường hợp đó tập hợp các khoảng ( an , bn ) được chia thành hai tập con rời nhau, mỗi tập gồm các khoảng nằm bên trái và bên phải điểm c. Khi đó ta có ∑ = In ∑I n + ∑I n [ a , b] [a , c] [c , b] b c b *( f ) Từ đó kết hợp với (1.7) suy ra T= T *( f ) + T * ( f ) (1.8) a a c (Ở đây ta giả sử a < c < b , còn đối với trường hợp a = c và c = b thì (1.8) là hiển nhiên vì a theo cách định nghĩa T *( f ) thì T * ( f ) = 0 ). c Vậy phiếm hàm T* là hàm cộng tính của đoạn thẳng. Bây giờ ta chứng minh rằng với f ∈ T *([ a, b ]) , x∈ [ a, b ] , c ∈ [ a, b ] và x → c thì x c lim T * ( f ) = T * ( f ) (1.9) a a Để xác định ta giả sử x < c . Khi đó ta có thể xem c = b . Đối với điểm b ta có ba khả năng có thể xảy ra:
• b không thuộc tập hợp ST ( f ; [ a, b ]) • b là điểm cô lập của tập hợp này • b là điểm giới hạn của tập hợp đó. Trong hai trường hợp đầu lập luận hầu như hiển nhiên. Thật vậy, nếu b ∉ ST ( f ; [ a, b ]) thì hàm số f ( x ) là T – khả tích trên đoạn thẳng [ p, b ] với p đủ gần b. Đối với p đó ta có b b T *( f ) = T ( f ) p p b x Khi đó T * ( f ) = lim T ( f ) (1.10) p p trong đó f < x < b , x → b . x x b x Vì T ( f ) = T * ( f ) nên thay cho (1.10) ta có thể viết T * ( f ) = lim T * ( f ) p p p p b x b x và để ý rằng T * ( f ) − T * ( f ) = T * ( f ) = T * ( f ) . a a p p Nếu b là điểm cô lập của tập hợp ST ( f ; [ a, b ]) thì với p đủ gần b, ta có b là điểm T – kì dị duy nhất của đoạn [ p, b ] . Theo định nghĩa T* ( f ) ta lại có (1.10) và việc chứng minh được tiếp tục như trường hợp trên. Cuối cùng ta xét trường hợp b là điểm giới hạn của tập hợp ST ( f ; [ a, b ]) . Trong trường hợp này b không thể là đầu mút phải của mọi khoảng ( an , bn ) là phần bù của ST ( f ; [ a, b ]) , mà số lượng các khoảng này là vô hạn. Do đó với ε > 0 ta chọn N sao cho ∑W n> N n 0 sao cho từ bất đẳng thức b − δ < x < b ta có ( L) ∫ f ( t ) dt < ε (1.12) ST ([ x , b ] ) Gọi β là điểm bên phải trong số các điểm b − δ , b1 , b2 , ... , bN và giả sử x > β . Nếu x ∈ ST ( [ x, b ]) thì theo định nghĩa T* ( f ) ta có
b *( f ) T= x ∑I n∈M n + ( L) ∫ f ( t ) dt (1.13) ST ([ x , b ]) trong đó M là tập hợp các số n sao cho ( an , bn ) ⊂ [ x , b ] . Rõ ràng là với mọi n như vậy sẽ có n > N nên ∑ n∈M In ≤ ∑W n∈M n < ε (1.14) Nếu x ∉ ST ( [ x, b ]) thì tồn tại m sao cho am ≤ x < bm . Rõ ràng khi đó ta có m > N . Do đó thay cho (10) ta có b bm T *( f ) = T *( f ) + x x ∑ I + ( L) ∫ n∈M n f ( t ) dt (1.15) ST ([ x , b ] ) bm y bm = Mà T * ( f ) lim T ( f ) ( x < y < bm , y → bm ) nên T * ( f ) ≤ Wm < ε . x x x b x b Từ đó và (1.12), (1.14), với x > β , ta có T * ( f ) − T * ( f ) = T * ( f ) < 3ε . a a x Như vậy trong trường hợp này ta có (1.9), suy ra T* ( f ) là tích phân và là tích phân tổng quát hơn T ( f ) . 1.7. Tập phạm trù thứ nhất Định nghĩa 1.20. Giả sử A và B là hai tập hợp điểm trong đó A ⊂ B . 1/ Nếu mọi khoảng chứa ít nhất một điểm của B đều chứa các điểm thuộc B nhưng không nằm trong bao đóng A của A thì ta nói A không đâu trù mật trong tập hợp B. 2/ Nếu A biểu diễn được thành hợp đếm được của các tập hợp không đâu trù mật trong B thì ta nói A là tập phạm trù thứ nhất trên tập B. Định lý 1.21. Mọi tập đóng khác rỗng F không phải là tập phạm trù thứ nhất trên chính nó. Chứng minh Giả sử ngược lại, F có thể biểu diễn được ở dạng F = A1 + A2 + A3 + ... , trong đó mỗi tập Ak không đâu trù mật trên tập F. Khi đó tồn tại điểm x1 ∈ F không là điểm thuộc bao đóng A1 của A1 . Do đó tồn tại đoạn [ x1 − δ1 , x1 + δ1 ] không chứa bất kỳ điểm nào của A1 , ta có thể coi δ1 < 1 .
Trong khoảng ( x1 − δ1 , x1 + δ1 ) tồn tại điểm x2 ∈ F không chứa trong A2 , tức là lại tồn tại đoạn [ x2 − δ 2 , x2 + δ 2 ] không chứa bất kỳ điểm nào của A2 . Ta coi δ2 < 1 và 2 [ x2 − δ 2 , x2 + δ 2 ] ⊂ [ x1 − δ1, x1 + δ1 ] . Tiếp tục quá trình này ta xây dựng được dãy điểm x1 , x2 , ..., xn ,... chứa trong F và dãy các đoạn thắt dần [ x1 − δ1 , x1 + δ1 ] ⊃ [ x2 − δ 2 , x2 + δ 2 ] ⊃ ... ⊃ [ xn − δ n , xn + δ n ] ⊃ ... sao cho đoạn [ xn − δ n , xn + δ n ] 1 không chứa bất kỳ điểm nào của An và δ n < . n Giả sử x0 là điểm chung của tất cả các đoạn [ xn − δ n , xn + δ n ] . Rõ ràng x0 = lim xn nên x0 ∈ F , mà x0 lại không thuộc bất kỳ tập An nào, vô lý, định lý được chứng minh. Hệ quả. Nếu tập đóng khác rỗng F là hợp đếm được của các tập đóng F = F1 + F2 + ... thì tồn tại khoảng ( λ , µ ) chứa các điểm của F và n sao cho ( λ , µ ) ∩ F ⊂ Fn . Thật vậy, giả sử một trong các tập đó, chẳng hạn Fn , là tập không đâu trù mật trên tập F. Thế thì trong số các khoảng chứa các điểm của F sẽ tồn tại khoảng ( λ , µ ) sao cho tất cả các điểm của F chứa trong nó đều thuộc Fn vì Fn là tập đóng nên trùng với bao đóng của nó.
CHƯƠNG 2. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN PERRON 2.1. Định nghĩa tích phân Perron Định nghĩa 2.1. Giả sử F ( x ) là hàm số hữu hạn xác định trên [ a, b ] và x0 ∈ [ a, b ] . Các số F ( x ) − F ( x0 ) F ( x ) − F ( x0 ) D F ( x0 ) lim = , D F ( x0 ) lim được gọi lần lượt là đạo hàm dưới và đạo x→ x0 x − x0 x→ x0 x − x0 hàm trên của hàm số F ( x ) tại x0 . Dễ thấy các số này (chúng có thể bằng nhau hoặc bằng + ∞ , − ∞ ) là số nhỏ nhất, số lớn nhất trong số các đạo hàm của F ( x ) tại x0 . Bổ đề 2.2. Cho hai hàm số hữu hạn u(x) và v(x) cùng xác định trên đoạn [ a, b ] . Nếu với x0 ∈ [ a, b ] ta có D u ( x0 ) > − ∞ , D v ( x0 ) < + ∞ và R= ( x ) u ( x ) − v ( x ) thì D R ( x0 ) ≥ D u ( x0 ) − D v ( x0 ) . (2.1) Chứng minh R ( x0 + hk ) − R ( x0 ) Xét dãy {hk } sao cho hk ≠ 0, hk → 0 và lim D R ( x0 ) = hk Nếu cần thì chuyển từ dãy {hk } sang dãy con của nó, ta luôn đạt được các giới hạn xác định u(x +h )− u(x ) v ( x0 + hk ) − v ( x0 ) sau đây λ lim = 0 k 0 , µ lim hk hk Theo (1) ta có λ > − ∞ , µ < + ∞ , do đó hiệu λ − µ có nghĩa. Khi đó D R ( x0 = ) λ − µ . Ta nhận thấy λ ≥ D u ( x0 ) , µ ≤ D v ( x0 ) . Hệ quả 2.3. Nếu u1 ( x ) và u2 ( x ) là các hàm hữu hạn và D u1 ( x ) > − ∞, D u2 ( x ) > − ∞ thì D u1 ( x ) + u2 ( x )  ≥ D u1 ( x ) + D u2 ( x ) Chứng minh Thật vậy, đặt u2 ( x ) = − v ( x ) và để ý rằng D u2 ( x ) = − D v ( x ) thì theo bổ đề 1, với D u1 ( x ) > − ∞ , D v ( x ) < + ∞ và R= ( x ) u1 ( x ) − v ( x ) ta có D R ( x ) ≥ D u1 ( x ) − D v ( x )
Suy ra D u1 ( x ) + u2 ( x )  ≥ D u1 ( x ) + D u2 ( x ) điều phải chứng minh. Định nghĩa 2.4. Giả sử f ( x ) là hàm số (không bắt buộc phải hữu hạn) xác định trên [ a, b ] . Hàm số F ( x ) liên tục trên [ a, b ] được gọi là hàm mẹ đối với f ( x ) nếu: 1/ F ( a ) = 0 2/ D F ( x ) > − ∞ với mọi x∈ [ a, b ] 3/ D F ( x ) ≥ f ( x ) với mọi x∈ [ a, b ] Hàm số F ( x ) liên tục trên [ a, b ] được gọi là hàm con đối với f ( x ) nếu: 1/ F ( a ) = 0 2/ D F ( x ) < + ∞ với mọi x∈ [ a, b ] 3/ D F ( x ) ≤ f ( x ) với mọi x∈ [ a, b ] Khái niệm hàm mẹ, hàm con là sự tổng quát hóa của khái niệm nguyên hàm. Ta có bổ đề hiển nhiên sau đây. Bổ đề 2.5. Nếu hàm hữu hạn f ( x ) là đạo hàm của F ( x ) (trong đó F ( a ) = 0 ) thì F ( x ) vừa là hàm mẹ, vừa là hàm con đối với f ( x ) . Bổ đề 2.6. Nếu u(x) là hàm mẹ, v(x) là hàm con đối với cùng một hàm số f ( x ) thì hiệu ( x ) u ( x ) − v ( x ) không giảm. R= Chứng minh Với mọi x∈ [ a, b ] , ta có D R ( x ) ≥ D u ( x ) − D v ( x ) ≥ 0 Áp dụng bổ đề 2.2 ta có điều phải chứng minh. Hệ quả 2.7. Với các điều kiện của bổ đề 2.6 ta có u ( b ) ≥ v ( b ) Hệ quả 2.8. Với điều kiện của bổ đề 2 số F ( b ) là số nhỏ nhất trong các số u(b), đồng thời là số lớn nhất trong các số v(b), trong đó u(x) và v(x) là các hàm mẹ và các hàm con bất kì đối với f(x): F ( b ) min = = {u ( b )} max {v ( b )} Bây giờ ta có thể đưa ra định nghĩa sau.
Định nghĩa 2.9. Hàm số f ( x ) xác định trên [ a, b ] được gọi là khả tích theo nghĩa Perron (hay khả tích (P)) trên [ a, b ] nếu 1/ f(x) có ít nhất một hàm mẹ u(x) và có ít nhất một hàm con v(x) 2/ infimum của tập hợp {u ( b )} các giá trị tại x = b của tất cả các hàm mẹ trùng với supremum của tập hợp {v ( b )} các giá trị cũng tại điểm đó của tất cả các hàm con: inf {u ( b )} = sup {v ( b )} (2.2) Nếu f ( x ) khả tích (P) trên [ a, b ] thì giá trị chung của đẳng thức (2.2) được gọi là tích phân Perron của hàm số f ( x ) trên [ a, b ] và được kí hiệu là b ( P ) ∫ f ( x ) dx a Hệ quả 2.8 có thể phát biểu lại thành định lý như sau Định lý 2.10. Nếu hàm số F ( x ) có đạo hàm hữu hạn f(x) khắp nơi trên [ a, b ] thì f ( x ) khả b tích (P) và F ( b ) − F ( a ) = ( P ) ∫ f ( x ) dx a (Điều kiện hữu hạn của f ( x ) không thể bỏ qua) Từ định lý này suy ra sự tồn tại của các hàm số khả tích (P) nhưng không khả tích (L). π Chẳng hạn, hàm số = f ( x ) x 2 cos 1, f ( 0 ) 0 . , 0 < x ≤= x2 Như vậy tích phân Perron đã giải quyết xong bài toán tìm nguyên hàm khi biết đạo hàm hữu hạn của nó. Tuy nhiên không thể không thấy rằng định nghĩa tích phân của Perron không đưa ra được quá trình xây dựng tích phân đó như thế nào. Quá trình này được nêu ra trong lý thuyết tích phân Danjua sẽ được nêu ở mục sau. 2. 2. Các tính chất cơ bản của tích phân Perron Định lý 2.11. Nếu một hàm số là khả tích (P) thì nó hữu hạn hầu khắp nơi. Chứng minh