BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
La Hồ Tuấn Duy
TÍNH CHẤT PHỔ CỦA MỘT SỐ LỚP
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG TRONG
KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
La Hồ Tuấn Duy
TÍNH CHẤT PHỔ CỦA MỘT SỐ LỚP
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG TRONG
KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ
Chuyên ngành : Giải tích
Mã số
: 8460102
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY
Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu, những trích dẫn nêu
trong luận văn đều chính xác và trung thực.
La Hồ Tuấn Duy
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin dành những lời đầu tiên của luận văn này để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
thầy Nguyễn Bích Huy, người Thầy hướng dẫn khoa học, đã đưa ra định hướng và giúp tôi
hoàn thành văn luận này. Trong suốt quá trình học các học phần cũng như thực hiện luận
văn, Thầy luôn theo dõi, hướng dẫn tận tình để tôi nắm được kiến thức và hoàn thiện luận
văn của mình.
Tôi cũng xin gởi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa
Toán – Tin, tất cả quý Thầy, Cô giảng dạy các học phần mà tôi đã được học trong quá trình
học Cao học, cùng quý Thầy, Cô công tác ở phòng sau đại học đã tạo mọi điều kiện thuận
lợi để tôi học tập và nghiên cứu.
Đồng thời, tôi cũng xin cảm ơn quý Thầy, Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã đọc
và góp ý giúp luận văn được hoàn thiện.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến các bạn, các anh chị cùng lớp Giải tích khoa
Toán khóa 28 về những sẻ chia và giúp đỡ trong thời gian học tập và làm luận văn.
La Hồ Tuấn Duy
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU
Ánh xạ liên hợp của ánh xạ .
Bán kính phổ của ánh xạ .
Không gian liên hợp của .
Phổ của ánh xạ .
Quả cầu đóng tâm bán kính .
Tập dải của ánh xạ .
Tập hợp các điểm trong của tập .
Tập hợp các điểm trong của tập .
MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1
Chương 1. CÁC KẾT QUẢ ĐƯỢC SỬ DỤNG ..................................................... 3
1.1. Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón .................................................... 3
1.2. Phổ của ánh xạ tuyến tính liên tục, ánh xạ compact. ....................................... 7
1.3. Phổ biên ........................................................................................................... 9
1.4. Ánh xạ đa trị, tính liên tục ............................................................................. 10
Chương 2. VECTƠ RIÊNG DƯƠNG ................................................................... 13
2.1. Bán kính phổ của ánh xạ tuyến tính dương ................................................... 13
2.2. Sự tồn tại vectơ riêng dương ......................................................................... 16
2.3. Một số điều kiện đủ để tồn tại vectơ riêng dương ......................................... 17
2.4. Ánh xạ dương với nón minihedral ................................................................. 19
2.5. Vectơ riêng dương của ánh xạ liên hợp ......................................................... 23
Chương 3. MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ DƯƠNG
VÀ GIÁ TRỊ RIÊNG CHÍNH CỦA ÁNH XẠ DƯƠNG ................. 28
3.1. Một số lớp ánh xạ tuyến tính dương đặc biệt ................................................ 28
3.2. Điều kiện để một ánh xạ tuyến tính dương là không phân tích được ............ 28
3.3. Giá trị riêng chính của ánh xạ dương ............................................................ 30
Chương 4. BÀI TOÁN GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ ................... 36
4.1. Sự tồn tại giá trị riêng, vectơ riêng của ánh xạ đa trị .................................... 36
4.2. Các tính chất của cặp riêng dương ................................................................ 38
KẾT LUẬN ............................................................................................................. 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 43
1
MỞ ĐẦU
Các toán tử tuyến tính liên tục là đối tượng nghiên cứu chủ yếu của Giải tích hàm.
Nhiều Quá trình, Hệ thống trong Tự nhiên và Xã hội đưa đến việc nghiên cứu không
phải một ánh xạ tuyến tính đơn lẻ mà thông thường là một họ ánh xạ phụ thuộc các
tham số. Các tham số này đóng vai trò như các yếu tố trong Tự nhiên, Xã hội, ảnh
hưởng đến Quá trình hay Hệ thống đang xét. Ta quan tâm đến tính ổn định hoặc
không ổn định của Quá trình hay Hệ thống này theo sự biến đổi của các yếu tố ảnh
hưởng. Các thời điểm xảy ra đột biến, gãy đổ trong Quá trình hay Hệ thống có liên
quan đến các giá trị của tham số mà ta gọi là giá trị phổ của ánh xạ tuyến tính mô tả
Quá trình hay Hệ thống đó. Do đó, việc nghiên cứu tập phổ của các ánh xạ tuyến tính
được các nhà Toán học quan tâm nghiên cứu từ rất sớm. Lý thuyết phổ là một nhánh
nghiên cứu quan trọng của Giải tích hàm và đã thu được các kết quả lý thuyết quan
trọng cũng như tìm được các ứng dụng có giá trị trong Lý thuyết phương trình vi
phân, Lý thuyết điều khiển và tối ưu, trong các bài toán kinh tế.
Theo sự phát triển nội tại của Toán học cũng như để ứng dụng giải quyết các bài toán
mới phát sinh trong Khoa học, Kỹ thuật và Xã hội mà Lý thuyết phổ có thể được phát
triển theo hai hướng. Hướng thứ nhất là tăng độ tổng quát của ánh xạ (ánh xạ compact
được mở rộng thành ánh xạ Fredholm, ánh xạ hạch, …) và các không gian (thay
không gian định chuẩn bằng các không gian đếm được chuẩn, không gian lồi địa
phương, …). Hướng thứ hai là nghiên cứu các ánh xạ trong các không gian đặc biệt
(có tính chất hình học tốt như không gian lồi đều, không gian có thứ tự).
Lý thuyết về các không gian với thứ tự sinh bởi nón và ánh xạ tác động trong chúng
được hình thành từ những năm 1940 trong các công trình nghiên cứu của M.Krein,
A.Rutman và được hoàn thiện cho đến ngày nay. Việc kết hợp các tính chất tôpô của
ánh xạ với các tính chất về thứ tự của ánh xạ đó đã đưa đến những kết quả quan trọng
về phổ của ánh xạ như định lý nổi tiếng của Krein – Rutman với những ứng dụng có
giá trị trong Phương trình vi phân và Lý thuyết Điều khiển, … .
2
Mục tiêu của luận văn là giới thiệu một cách đầy đủ, chi tiết các tính chất đặc biệt về
phổ của một số lớp ánh xạ tuyến tính trong không gian Banach với thứ tự sinh bởi
nón, như lớp ánh xạ – bị chặn, ánh xạ không phân tích được, ánh xạ liên hợp, ánh
xạ đa trị, … .
Đề tài có ý nghĩa về mặt đào tạo. Việc thực hiện đề tài giúp học viên hiểu sâu hơn và
toàn diện hơn các kiến thức đã học về Tôpô, Giải tích hàm, Giải tích phi tuyến, Giải
tích thực; biết vận dụng chúng trong học tập các vấn đề mới. Qua quá trình làm luận
văn, học viên cũng làm quen với công việc nghiên cứu khoa học.
Luận văn sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho các sinh viên Đại học và học viên Cao
học khi học về Lý thuyết phổ của ánh xạ.
Nội dung của đề tài
Chương 1: Trình bày các kiến thức đã được sử dụng trong luận văn.
Chương 2: Trình bày về vectơ riêng dương của ánh xạ tuyến tính dương.
Chương 3: Trình bày về một số lớp ánh xạ dương và giá trị riêng chính của ánh xạ
dương
Chương 4: Trình bày về giá trị riêng của ánh xạ đa trị.
3
Chương 1. CÁC KẾT QUẢ ĐƯỢC SỬ DỤNG
1.1. Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón
1.1.1. Nón và thứ tự sinh bởi nón
Định nghĩa 1.1.1
Cho là không gian Banach trên trường số thực .
1. Tập được gọi là nón nếu thỏa các điều kiện sau:
i) là tập đóng
ii)
iii) .
Nón được gọi là thể nón nếu .
Tập thỏa điều kiện và gọi là cái nêm.
Ta kí hiệu với là phần tử không trong .
2. Nếu là nón thì thứ tự trong sinh bởi được định bởi:
.
Mỗi gọi là dương.
Mệnh đề 1.1.1
Giả sử là thứ tự sinh bởi nón. Khi đó:
1. Nếu thì với mọi , với mọi .
2. Nếu với mọi và thì .
3. Nếu là dãy tăng, hội tụ về thì với mọi .
Chứng minh
1. Ta có:
nên .
nên .
2. Từ nên . Do đó (do đóng).
Vậy
4
3. Giả sử tăng. Khi đó . Cho ta được
.
1.1.2. Nón chuẩn
Định nghĩa 1.1.2
Nón gọi là nón chuẩn nếu tồn tại sao cho thì .
Mệnh đề 1.1.2
Giả sử là thứ tự sinh bởi nón chuẩn trong .
1. Nếu thì đoạn bị chặn theo chuẩn.
2. Nếu và thì .
3. Nếu đơn điệu và có dãy con hội tụ về thì .
Chứng minh
1. .
Vậy bị chặn theo chuẩn.
2. Ta có: .
Mà nên .
Do đó .
3. Giả sử tăng và và có dãy con hội tụ, .
Vì ( cố định, đủ lớn) nên .
Cho chọn để thì ta có:
.
Vậy .
1.1.3. Nón chính qui
Định nghĩa 1.1.3
Nón gọi là nón chính qui nếu mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
5
Mệnh đề 1.1.3
Nón chính qui là nón chuẩn.
Chứng minh
Giả sử là nón chính qui nhưng không là nón chuẩn.
Khi đó:
Đặt thì
Vì nên tồn tại .
Xét dãy , ta có:
bị chặn trên bởi .
là dãy tăng.
Do là nón chính qui nên dãy hội tụ.
Do đó (mâu thuẫn do ).
1.1.4. Nón sinh
Định nghĩa 1.1.4
là nón sinh nếu hay .
Mệnh đề 1.1.4
Nếu là nón sinh thì tồn tại sao cho:
Chứng minh
i) Đặt , ta chứng minh tồn tại .
Ta có . Thật vậy, do là nón sinh nên . Với
thì .
6
Do định lí Baire, mở : .
Do lồi, đối xứng nên (mở, chứa ).
Do đó, .
ii) Đặt . Ta chứng minh .
Lấy . Ta xây dựng dãy thỏa: và .
Thật vậy, vì nên .
Ta có:
Tiếp tục quá trình trên ta được dãy có tính chất đã nêu.
. nên Do
Đặt
nên hội tụ và tồn tại, tương tự với ). (Do
. Ta có
. Vậy . Từ
iii) ta có nên .
, thì , và . Đặt
7
1.1.5. Nón liên hợp
Định nghĩa 1.1.5
Cho là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón . Ta định nghĩa nón liên hợp
của là:
Mệnh đề 1.1.5
Chứng minh
Hiển nhiên do định nghĩa .
Giả sử trái lại nhưng . Do định lý tách tập lồi nên
.
Cố định ta có .
Cho ta có . Vậy , nhưng (mâu thuẫn).
1.1.6. Nón minihedral
Định nghĩa 1.1.6
Cho là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón . Nón được gọi là nón
minihedral nếu với mỗi cặp thì tồn tại .
Mệnh đề 1.1.6
Cho là nón sinh, chuẩn, minihedral và . Khi đó, ta có:
1.2. Phổ của ánh xạ tuyến tính liên tục, ánh xạ compact.
Cho là không gian Banach trên trường và là ánh xạ tuyến tính liên
tục.
Định nghĩa 1.2.1
Số được gọi là giá trị riêng của nếu tồn tại sao cho
Vectơ được gọi là vectơ riêng ứng với giá trị riêng của .
8
Nói cách khác, là một giá trị riêng của toán tử nếu tồn tại sao
cho .
Nếu là một giá trị riêng của toán tử thì toán tử không phải đơn ánh
vì tồn tại để . Vậy toán tử không khả nghịch.
Ứng với một giá trị riêng, có vô số vectơ riêng.
Với mọi vectơ riêng của , là không gian con bất biến một chiều của
.
Định nghĩa 1.2.2
1. Số là một giá trị phổ của nếu không tồn tại toán tử ngược bị chặn
hay nói cách khác, không đơn ánh hoặc không toàn ánh. Tập
hợp các giá trị phổ của được gọi là phổ của toán tử , kí hiệu là .
Như vậy:
Nếu là một giá trị riêng của toán tử thì . Khi đó, gọi
là không gian riêng của . Mỗi hay gọi là
vectơ riêng ứng với giá trị riêng .
2. Số không thuộc tập phổ thì được gọi là giá trị chính quy của toán tử
, nghĩa là tồn tại toán tử tuyến tính, liên tục . Tập được gọi là
tập giải của , kí hiệu là .
3. Số gọi là bán kính phổ của .
Định lý 1.2.1 (Xem [9])
Cho là không gian Banach và là ánh xạ tuyến tính liên tục.
Bán kính phổ của toán tử được tính bởi hơn nữa thì
Định lý 1.2.2 (Phổ của ánh xạ compact) (Xem [9])
Cho là không gian Banach với và là ánh xạ tuyến tính, hoàn toàn
liên tục. Khi đó ta có:
9
1. .
2. Nếu thì là giá trị riêng của .
3. Nếu là vô hạn thì và .
4. Giả sử . Đặt thì
( tăng), .
Tồn tại sao cho:
gọi là không gian con gốc (không gian con cơ bản) tương ứng với giá trị riêng
và gọi là bội của .
1.3. Phổ biên
Định nghĩa 1.3.1
Cho là không gian Banach và là ánh xạ tuyến tính, liên tục, có bán
kính phổ .
Tập được gọi là phổ biên của .
Định nghĩa 1.3.2
1. Không gian vectơ con đóng của không gian Banach gọi là bù được nếu tồn
tại ánh xạ tuyến tính, liên tục sao cho
2. Không gian vectơ con chiều của gọi là không gian Euclide nếu tồn tại
cơ sở của sao cho ,
.
Định lý 1.3.1 (Xem [9])
Giả sử là không gian Banach, không có không gian con Euclide chiều bù được
và là ánh xạ tuyến tính, hoàn toàn liên tục, với . Khi đó,
mọi giá trị riêng thuộc phổ biên là một căn bậc nguyên của .
Mệnh đề 1.3.1 (Xem [9])
Nếu là thể nón, nón chuẩn, minihedral trong không gian Banach thì tồn tại
song ánh tuyến tính, liên tục sao cho .
10
Trong đó: là không gian các hàm liên tục trên tập compact .
là nón các hàm không âm trong .
Định lý 1.3.2
Cho là thể nón, nón chuẩn, minihedral trong không gian Banach .
là ánh xạ tuyến tính dương, hoàn toàn liên tục, với . Khi đó, mọi
giá trị riêng thuộc phổ biên của là căn bậc nguyên của .
Chứng minh
Áp dụng mệnh đề 1.3.1, coi và , .
Xét , .
Khi đó và . Hơn nữa, không gian không có không gian
con Euclide 2 chiều bù được nên áp dụng định lý 1.3.1 ta có điều phải chứng minh.
1.4. Ánh xạ đa trị, tính liên tục
Định nghĩa 1.4.1
Giả sử là hai tập hợp. Kí hiệu là tập tất cả các tập con của . Một ánh xạ đa
trị từ vào là một ánh xạ từ vào .
Kí hiệu: .
Định nghĩa 1.4.2
Cho là một không gian Banach có thứ tự.
1. Với hai tập con ta định nghĩa
(a) nếu .
(b) nếu .
(c) nếu .
Các kí hiệu “ ”, được sử dụng hoàn toàn tương ứng một cách tự nhiên.
11
2. Ánh xạ được gọi là – tăng, , nếu
, hơn nữa, nó được gọi là – tăng nếu kéo theo
. kéo theo
3. Ánh xạ tuyến tính được gọi là 1-thuần nhất dương nếu thỏa
mãn:
(i) với mọi .
(ii) với mỗi .
Định nghĩa 1.4.3
Cho là các không gian Banach và là ánh xạ đa trị.
1. Ánh xạ được gọi là nửa liên tục trên trên nếu tập hợp là
mở trong , với mọi tập con mở .
2. Ánh xạ được gọi là nửa liên tục dưới trên nếu tập hợp
là mở trong , với mọi tập con mở .
3. Ánh xạ được gọi là compact nếu với bất kỳ tập con bị chặn , tập hợp
là compact tương đối.
4. Đồ thị của ánh xạ được định nghĩa là tập hợp
Mệnh đề 1.4.1 (Xem [8])
1. Giả sử rằng là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên trên nhận giá trị đóng và
và . Khi đó .
2. Nếu ánh xạ đa trị là nửa liên tục dưới trên thì với bất kỳ dãy và với
mọi , tồn tại dãy con và dãy sao cho và .
3. Nếu ánh xạ đa trị là compact và đồ thị của nó là tập đóng trong thì là
nửa liên tục trên trên .
12
Định lý 1.4.1 (Xem [8])
Cho là không gian Banach có thứ tự và là ánh xạ compact
nửa liên tục trên, nhận giá trị lồi, đóng. Giả sử rằng tồn tại ánh xạ – tăng
thỏa mãn:
(i) với mọi .
(ii) Tồn tại các số dương và phần tử sao cho với
mọi .
Khi đó tập nghiệm có dạng là nhánh liên tục từ
, nghĩa là, với bất kỳ tập con mở bị chặn chứa .
13
Chương 2. VECTƠ RIÊNG DƯƠNG
2.1. Bán kính phổ của ánh xạ tuyến tính dương
Định nghĩa 2.1.1
Cho là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón .
Một ánh xạ gọi là dương nếu: hay .
Bổ đề 2.1.1 (Xem [1])
Cho là không gian Banach và là ánh xạ tuyến tính, liên tục thỏa
Khi đó tồn tại và .
Định lý 2.1.1
Cho là nón chuẩn, sinh trong không gian Banach là ánh xạ liên ,
tục, tuyến tính dương và . Khi đó .
Chứng minh
Đặt .
Giả sử , khi đó tồn tại và trong
, là ánh xạ dương.
Lấy và .
Khi đó,
Do nên .
Từ suy ra:
14
Với mọi ta có:
với Do là nón sinh nên
không phụ thuộc vào .
Từ ta có:
Do là nón chuẩn nên
Suy ra:
.
(mâu thuẫn với cách chọn ).
Định lý 2.1.2
Cho là không gian Banach có thứ tự và tuyến tính
. dương, hoàn toàn liên tục và . Khi đó
Chứng minh
Giả sử và .
Giả sử là tổng các bội của các giá trị riêng và là bao tuyến tính của
các không gian con gốc tương ứng với .
Khi đó, là không gian con của thỏa và là thu hẹp của lên
có tập phổ là .
Đặt thì .
15
Nếu thì là nón chuẩn, xét trong không gian
Do đó, theo định lý 2.1.1, có giá trị riêng trùng với một trong các số
nên bằng .
Gọi là không gian con bù với và bất biến đối với :
Gọi là thu hẹp của lên .
nên chứa trong đường Khi đó, phổ của là
tròn bán kính
Mỗi có duy nhất với .
Xét ánh xạ thì là tuyến tính, liên tục.
nên . Do
. Khi đủ lớn: . Chọn
Do đó: .
Suy ra dãy có dãy con hội tụ về giới hạn thuộc và do đó thuộc
Định lý 2.1.3
Cho là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón và chuỗi lũy thừa
có bán kính hội tụ là .
Nếu là ánh xạ tuyến tính, liên tục có thì tồn tại ánh xạ tuyến tính, liên
tục .
Giả sử và là ánh xạ tuyến tính, liên tục, dương. là nón chuẩn, sinh.
Khi đó: .
Chứng minh
Đặt , lấy . Trong có chuẩn sao cho .
16
Từ .
Cho ta có: .
Dấu không thể xảy ra vì theo định lý 2.1.1, . Mặt khác
.
2.2. Sự tồn tại vectơ riêng dương
Định lý 2.2.1
Cho là không gian Banach sinh bởi nón . Giả sử , là
ánh xạ tuyến tính dương, hoàn toàn liên tục và . Khi đó là giá trị riêng
tương ứng với vectơ riêng thuộc .
Chứng minh
Trong chứng minh định lý 2.1.2, ta chỉ ra được có không gian con bất biến, hữu
hạn chiều .
Các giá trị riêng của là thu hẹp của trên nằm trên đường tròn
có điểm trong xét trên không gian .
Trên tập hợp lồi đóng, bị chặn , xét ánh xạ:
với .
Ta có là ánh xạ liên tục, .
Theo định lý Brouwer, có điểm bất động .
Do định nghĩa ánh xạ thì nên
Suy ra là vectơ riêng của , tương ứng với giá trị riêng
Định lý 2.2.2
Cho là không gian Banach sinh bởi nón . Cho là ánh xạ liên tục,
tuyến tính dương, sao cho thỏa các điều kiện của định lý 2.2.1. Khi đó,
là giá trị riêng của tương ứng với vectơ riêng thuộc .
17
Chứng minh
Đặt thì do định lý 2.2.1, tồn tại hay
.
và Đặt
và . nên thì
2.3. Một số điều kiện đủ để tồn tại vectơ riêng dương
Do định lý 2.2.1 nên điều kiện đủ để tồn tại vectơ riêng dương là nên ta tìm
điều kiện để .
Bổ đề 2.3.1
Giả sử là ánh xạ tuyến tính, liên tục, dương và tồn tại , tồn tại sao
cho . Khi đó .
Chứng minh
Giả sử .
nên khi đủ lớn, ta có: . Do
và là ánh xạ tuyến tính dương, ta có: . Từ
, ta có hay (trái giả thiết). Cho
. Vậy
Bổ đề 2.3.2
Giả sử là ánh xạ tuyến tính, liên tục, dương và tồn tại sao
cho . Khi đó .
Chứng minh
Do bổ đề 2.3.1, ta có .
Do đó .
18
Định nghĩa 2.3.1
Cho là các ánh xạ tuyến tính, dương. được gọi là một chặn dưới của nếu:
.
Định lý 2.3.1
Cho tuyến tính, dương. là chặn dưới của , hoàn toàn liên
tục. Giả sử tồn tại sao cho . Khi đó có
trong vectơ riêng với giá trị riêng .
Chứng minh
Kết hợp định lý 2.2.2 và bổ đề 2.3.2.
Định lý 2.3.2
Cho là ánh xạ tuyến tính, liên tục, dương. là nón compact địa phương. Khi đó
có trong vectơ riêng.
là nón compact địa phương nếu compact
gọi là dương đều nếu sao cho .
Chứng minh
compact địa phương nên ( tuyến tính, liên tục trên ) có tính chất
dương đều.
Đặt và xét ánh xạ: .
Với
.
Do đóng nên compact.
Ta có liên tục, là tập lồi compact, nên theo định lý Schauder, có
điểm bất động trong . Đó là vectơ riêng thuộc của .
19
2.4. Ánh xạ dương với nón minihedral
Định nghĩa 2.4.1
Tập trong không gian Banach gọi là lồi tốt nếu mọi dãy bị chặn và
mọi dãy mà và thì .
Nhận xét: Tập lồi, đóng (mở) thì lồi tốt.
Chứng minh: Giả sử là tập lồi, đóng, là dãy bị chặn trong và
. ,
Đặt , với .
và Do (vì và bị chặn) nên .
Do lồi nên và do đóng nên .
Định nghĩa 2.4.2
được gọi là điểm trong của tập nếu: .
Kí hiệu: là tập hợp các điểm trong của .
là tập hợp các điểm trong của .
Định lý 2.4.1
Giả sử là tập lồi tốt, khi đó
Định nghĩa 2.4.3
Cho là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón . Giả sử ,
là toán tử tuyến tính, dương.
được gọi là bị chặn trên nếu .
được gọi là bị chặn dưới nếu .
được gọi là bị chặn nếu nó bị chặn trên và dưới.
20
Bổ đề 2.4.1
Cho là không gian Banach có thứ tự. Giả sử là nón sinh, là bị chặn
trên. Khi đó tồn tại sao cho .
Chứng minh
Áp dụng định lý 2.4.1 cho tập hợp là tập lồi tốt và chú ý
.
Bổ đề 2.4.2
Cho là không gian Banach có thứ tự, là nón chuẩn và sinh, là
toán tử tuyến tính, liên tục và bị chặn trên, thỏa . Khi đó .
Chứng minh:
Coi
Do Bổ đề 2.4.1, ta có:
Suy ra (bị chặn do là nón chuẩn).
Do đó, dãy bị chặn
Từ đó, ta có hay .
Định nghĩa 2.4.4
Ánh xạ tuyến tính gọi là đơn điệu compact nếu dương và từ
suy ra hội tụ.
Ví dụ:
1. Cho là toán tử tuyến tính, dương, compact và là nón chuẩn thì là đơn điệu
compact.
Chứng minh
Nếu thì nên là dãy bị chặn. Do compact nên
có dãy con hội tụ.
21
Do bị chặn, có dãy con hội tụ và là nón chuẩn nên hội tụ. Vậy
là đơn điệu compact.
2. Cho toán tử tuyến tính dương và là nón chính quy thì là đơn điệu compact.
Chứng minh
Ta có là dãy giảm, bị chặn dưới và là nón chính quy nên hội
tụ.
Bổ đề 2.4.3
Cho là nón sinh, chuẩn và minihedral trong không gian Banach . là toán tử
tuyến tính dương, bị chặn, đơn điệu compact.
Khi đó tồn tại sao cho .
Chứng minh
Coi và đặt
Do và đơn điệu compact nên tồn tại .
Mặt khác, ta cũng có nên
Ta có: . Qua giới hạn ta được
Ta cần chứng minh .
Nếu thì .
Do là nón sinh và là bị chặn nên theo bổ đề 2.4.1, ta có:
.
Do đó, tồn tại sao cho .
Ta có:
22
…
Bằng quy nạp ta được:
Lại do bổ đề 2.4.1, khi đủ lớn ta có:
Từ đó suy ra: khi đủ lớn.
Theo bổ đề 2.4.2, ta có
Ta có:
(mâu thuẫn với )
Vậy . Ta có điều phải chứng minh.
Định lý 2.4.2
Cho là nón sinh, chuẩn, minihedral trong không gian Banach . là
toán tử tuyến tính, dương, đơn điệu compact, bị chặn. Khi đó có trong vectơ
riêng tương ứng với giá trị riêng bằng .
Chứng minh
Theo bổ đề 2.4.3, tồn tại . Ta chứng minh
Giả sử .
Do là bị chặn nên tồn tại sao cho:
(do )
Do bổ đề 2.4.1 ta có: nên tồn tại sao cho:
hay
23
Suy ra (vô lý).
Vậy .
2.5. Vectơ riêng dương của ánh xạ liên hợp
Cho là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón , toán tử tuyến
tính, liên tục.
Đặt .
Nhận xét:
1. Nếu thì .
Thật vậy, nếu thì chuỗi hội tụ nên chuỗi hội tụ trong
.
Ta có: nên chuỗi hội tụ.
. Vậy
2. Đặt thì .
Thật vậy, lấy thì (do )
Suy ra . Cho ta được .
Định lý 2.5.1
Cho là không gian Banach có thứ tự và là thể nón ,
là toán tử tuyến tính dương, liên tục. Khi đó có trong vectơ riêng
với giá trị riêng .
Lưu ý: Định lý trên cũng đúng trong trường hợp là cái nêm.
Chứng minh
Trường hợp 1: Giả sử . Đặt . Ta chứng minh
.
Giả sử trái lại: .
24
. Khi đó
Từ
suy ra
(do ).
Do đó, .
Mặt khác, do là điểm trong nên tồn tại .
Suy ra .
Từ đây ta có:
hội tụ khi
(do )
Do nên .
Suy ra , ta có:
.
Vì là toán tử tuyến tính, dương nên
.
Do đó, chuỗi hội tụ .
(Vô lý). Suy ra:
Vậy nên theo định lý tách tập lồi, tồn tại
Do đó,
25
hay .
Trường hợp 2:
Khi đó nên theo chứng minh trên, tồn tại
hay
Từ suy ra nên .
Định nghĩa 2.5.1
Hai ánh xạ gọi là giao hoán với nhau nếu .
Họ các ánh xạ gọi là giao hoán nếu thì giao hoán
với nhau.
Bổ đề 2.5.1
Cho là không gian Banach có thứ tự, là thể nón và các ánh xạ
tuyến tính dương, liên tục, giao hoán với nhau. Khi đó, các ánh xạ liên hợp
có trong vectơ riêng chung.
Chứng minh
Ta chứng minh quy nạp theo . Thật vậy:
Với : Bổ đề đúng do định lý 2.5.1.
Giả sử bổ đề đúng cho xét họ giao hoán .
Theo giả thiết quy nạp, tồn tại sao cho:
Đặt và .
Khi đó, là tập lồi có phần trong khác rỗng và do
do đó là cái nêm, có điểm trong.
Do giao hoán với nên
26
Suy ra và theo định lý 2.5.1, tồn tại sao cho
Do nên .
Vì là không gian con nên
.
Vậy .
Do đó, thì
hay .
Vậy là vectơ riêng chung của .
. Bổ đề đúng với nên đúng với mọi
Định lý 2.5.2
Cho là không gian Banach có thứ tự và là thể nón. Cho là họ giao
hoán các ánh xạ tuyến tính dương, liên tục. Khi đó, các ánh xạ , có vectơ
riêng chung trong .
Chứng minh
Có định đặt .
Do nên hay
, ta có: hay .
Vậy .
Do đó thì nên bị chặn.
Đặt là vectơ riêng của thì .
Ta cũng có
Ta chứng minh đóng yếu.
27
Thật vậy, nếu và thì và
Do liên tục đối với topo yếu nên thì .
Do đó, ta có .
Hơn nữa, .
Vậy hay đóng yếu.
Từ bổ đề 2.5.1, do có vectơ riêng chung nên họ các tập , là họ
có tâm.
Do và compact yếu nên .
Lấy thì là vectơ riêng chung của .
Hệ quả 2.5.1
Cho là không gian Banach có thứ tự và là thể nón. Cho là họ giao
hoán các ánh xạ tuyến tính dương, liên tục. Giả sử tồn tại
Khi đó, tồn tại sao cho
.
Chứng minh
Do định lý 2.5.2 nên tồn tại .
Khi đó: .
Do nên và do đó hay .
28
Chương 3. MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ DƯƠNG
VÀ GIÁ TRỊ RIÊNG CHÍNH CỦA ÁNH XẠ DƯƠNG
3.1. Một số lớp ánh xạ tuyến tính dương đặc biệt
Định nghĩa 3.1.1
Cho là không gian có thứ tự sinh bởi nón . là ánh xạ tuyến tính
dương, liên tục.
1. Giả sử và thì . Khi đó được gọi là ánh xạ
dương mạnh.
2. Với :
gọi là bị chặn dưới nếu với mỗi , tồn tại số
sao cho:
gọi là bị chặn trên nếu với mỗi , tồn tại số
sao cho:
gọi là bị chặn nếu nó bị chặn dưới và trên.
3. được gọi là không phân tích được nếu và thì là điểm
tựa trong của .
gọi là điểm tựa trong của nếu .
3.2. Điều kiện để một ánh xạ tuyến tính dương là không phân tích được
Định lý 3.2.1: Cho là không gian Banach có thứ tự. Ánh xạ tuyến tính dương
là không phân tích được khi và chỉ khi
.
Chứng minh
Giả sử là không phân tích được.
Với , đặt
29
.
Do và nên là điểm tựa trong, do đó
nên .
Giả sử có tính chất và thỏa điều kiện: .
Ta chứng minh là điểm tựa trong.
Với , ta có , .
Do nên .
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 3.2.1
Giả sử có điểm tựa trong và là không gian phản xạ. Khi đó, ánh xạ tuyến tính
dương là không phân tích được nếu và chỉ nếu không phân tích được đối với
.
Nhận xét:
1. là bị chặn và là điểm tựa trong thì không phân tích được.
2. là thể nón và là ánh xạ dương mạnh thì không phân tích được.
Chứng minh
1. Giả sử sao cho .
Ta chứng minh là điểm tựa trong.
Do là bị chặn dưới nên .
Mà ta có nên suy ra và do đó:
.
Mà là điểm tựa trong nên .
Từ đó suy ra hay là điểm tựa trong.
Vậy không phân tích được.
2. Do là thể nón và là ánh xạ dương mạnh nên là bị chặn với .
Do đó, theo nhận xét 1, ta có không phân tích được.
30
3.3. Giá trị riêng chính của ánh xạ dương
Bổ đề 3.3.1
Cho là không gian Banach có thứ tự và là ánh xạ bị chặn
trên. Cho phần tử thỏa: . Gọi là số cực đại
thỏa mãn thì .
Chứng minh
Do nên với . Do nên
Do là ánh xạ bị chặn trên nên
.
Theo giả thiết, . Do là ánh xạ tuyến tính dương nên
.
Từ và suy ra: .
Do là số cực đại thỏa nên .
Bổ đề 3.3.2
Cho là không gian Banach có thứ tự và là bị chặn và có
véctơ riêng dương thì cũng là bị chặn.
Chứng minh
Do là bị chặn trên nên :
(Do là véctơ riêng).
. Suy ra với
. Do là bị chặn dưới nên :
(Do là véctơ riêng).
. Suy ra với
31
(Do ) Với ,
là bị chặn dưới.
(Do ) Với ,
là bị chặn trên.
Vậy là bị chặn.
Định lý 3.3.1 (Định lý Krein – Rutman)
Cho là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón .
Giả sử:
là nón sinh.
là ánh xạ tuyến tính dương, liên tục, bị chặn và có véctơ riêng dương ,
tương ứng với giá trị riêng . Khi đó:
1. là giá trị riêng đơn (bội ) của .
2. là véctơ riêng dương duy nhất của .
Chứng minh
1. Nhắc lại:
Giả sử là giá trị riêng của . Đặt thì ta có:
Bằng quy nạp ta được
Đặt thì số chiều của không gian con là bội của .
Nếu compact thì , và tồn tại sao cho
nên bội của hữu hạn .
Chứng minh .
Có
Giả sử trái lại .
32
Nếu (mâu thuẫn).
Vậy có thể xem và gọi là số cực đại thỏa thì (bổ đề 3.3.1)
Theo giả thiết phản chứng thì nên do tính dương của thì
là dương (bổ đề 3.3.2).
. Do đó
Ta có:
.
. Suy ra: (có thể giả sử )
Do là số cực đại nên (vô lý).
Chứng minh (Do đó )
Hiển nhiên ta có .
. Giả sử tức là
Vì nên theo bước trên, ta có:
Có thể coi (nếu không, ta xét thay cho ).
Ta chứng minh .
Thật vậy, từ ta có:
Quy nạp ta được: .
Nếu thì
(mâu thuẫn với ).
Vậy .
33
Đặt là số cực đại thỏa thì (bổ đề 3.1.1).
Khi đó: .
Do , ta có: (với đủ bé sao cho
Suy ra: .
Do là số cực đại nên (vô lý).
Vậy và do đó .
Từ đó suy ra:
có số chiều là 1 nên là giá trị riêng đơn (bội 1) của .
2. Giả sử trái lại .
Do tính chất ta có . Coi (vai trò của và là như nhau)
Gọi là số cực đại thỏa thì theo bổ đề 3.3.1 ta có .
Ta có: (mâu thuẫn)
Vậy là vectơ riêng dương duy nhất của .
Hệ quả 3.3.1
Cho là không gian Banach có thứ tự và là thể nón. là ánh xạ
tuyến tính dương, liên tục và có véctơ riêng dương , tương ứng với giá trị riêng
. Giả sử là ánh xạ dương mạnh. Khi đó:
là giá trị riêng đơn (bội ) của . 1.
là véctơ riêng dương duy nhất của . 2.
Chứng minh
Do là thể nón nên tồn tại , do đó
Ta có:
34
.
. Đặt ta được
. Khi đó, ta có
Vậy là nón sinh.
Xét , do là ánh xạ dương mạnh nên ta có .
Vì nên do đó:
hay .
Tương tự, do nên , do đó:
hay .
Từ và suy ra là bị chặn.
Do đó, áp dụng định lý 3.3.1 ta có điều phải chứng minh.
Bổ đề 3.3.3
Cho là nón sinh, minihedral trong không gian Banach và Khi đó
không là điểm tựa trong của .
Chứng minh
Giả sử là điểm tựa trong của . Khi đó nên tồn tại
và . sao cho
Phần tử thỏa
nên .
Do đó, trong mỗi phân tích ta có:
.
Do đó .
35
Do là nón sinh nên nên ta có điều mâu thuẫn.
Vậy không là điểm tựa trong của .
Định lý 3.3.2
Cho là nón sinh, minihedral trong không gian Banach . là ánh xạ
tuyến tính dương, liên tục và có véctơ riêng dương , tương ứng với giá trị riêng
. Giả sử là ánh xạ không phân tích được và có trong vectơ riêng với giá
trị riêng . Khi đó, là giá trị riêng đơn của và không có trong vectơ
riêng có chuẩn bằng và khác .
Chứng minh
Giả sử .
Đặt , khi đó: nên .
Do đó, theo bổ đề thì .
Đặt thì nên là điểm tựa trong
của (mâu thuẫn với ).
Vậy tương ứng với thì có duy nhất (chính xác tới một thừa số) vectơ riêng trong
.
Giả sử khi đó:
Suy ra (mâu thuẫn với là điểm tựa trong).
Vậy là giá trị riêng đơn của .
Giả sử với .
Khi đó, là điểm tựa trong nên và
.
Do đó, và theo chứng minh trên thì .
36
Chương 4. BÀI TOÁN GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ
4.1. Sự tồn tại giá trị riêng, vectơ riêng của ánh xạ đa trị
Định nghĩa 4.1.1
Cho là không gian Banach có thứ tự, khi đó cặp được gọi là cặp
riêng dương của ánh xạ nếu và .
Định lý 4.1.1
Cho là ánh xạ compact, nửa liên tục trên, 1 thuần nhất dương,
nhận giá trị lồi, đóng, thỏa mãn
(i) là – tăng,
(ii)
Khi đó thừa nhận được cặp riêng dương với và .
Chứng minh
Áp dụng định lý 1.4.1 cho ánh xạ , ta tìm được hai dãy và sao
cho và .
hoặc tương đương
và với . (4.1)
Do là ánh xạ compact và bị chặn nên dãy có dãy con hội tụ.
Không mất tính chất tổng quát, ta có thể giả sử rằng hội tụ đến .
Ta sẽ chứng minh .
Gọi là số lớn nhất sao cho .
Từ (4.1) ta có , do đó >0 và
.
37
Do đó, nên .
Ta có hội tụ nên bị chặn, trong (4.1) lấy ||.|| 2 vế của , ta suy ra
bị chặn, do đó nó có dãy con hội tụ, không mất tổng quát ta có thể giả sử rằng
.
Khi đó, hội tụ, giả sử hội tụ đến , trong (4.1) cho
ta có và .
Do là nửa liên tục trên nên theo mệnh đề 1.4.1 ta có .
Như vậy là cặp riêng dương của .
Định lý 4.2.2
Cho là ánh xạ compact, nửa liên tục trên, 1 – thuần nhất dương,
nhận giá trị lồi, đóng thỏa mãn
(i) là – tăng,
(ii) Số là dương.
Khi đó có cặp riêng dương với .
Hơn nữa, nếu là tăng thì
Chứng minh
Từ định nghĩa , tồn tại dãy sao cho và dãy
hội tụ tới .
Áp dụng định lý 1.4.1 cho ánh xạ , tồn tại dãy và thỏa mãn
và , do đó với .
Trước hết ta chứng minh rằng .
38
Thật vậy, từ , ta có
và .
Do đó, theo định nghĩa của ta có .
Lý luận tương tự như trong chứng minh của định lý 4.1.1, ta có thể giả sử rằng
và ta cũng suy ra rằng .
Bây giờ, cho là (3) – tăng, ta sẽ chứng minh rằng .
Xét sao cho và .
Gọi t là số lớn nhất sao cho .
Rõ ràng, và do là (3) – tăng nên ta có
Từ đó suy ra .
Do tính cực đại của t ta có , do đó .
Như vậy với và , vì vậy
. Kết thúc chứng minh.
4.2. Các tính chất của cặp riêng dương
Định nghĩa 4.2.1
Cho không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón và ánh xạ
. Ta kí hiệu .
1. được gọi là – dương nếu thì hoặc
tương đương
2. Ánh xạ được gọi là – tăng nếu kéo theo
,
hoặc tương đương, với mọi nếu thì sao cho
.
39
3. Cho là cặp riêng dương của . Khi đó được gọi là đơn hình hình học
. nếu với kéo theo
4. Ta nói rằng cặp riêng dương của ánh xạ là duy nhất nếu với bất kỳ cặp
. riêng dương của thì và
Định lý 4.2.1
Cho là ánh xạ 1 – thuần nhất dương, – dương, – tăng và
là cặp số riêng dương của . Khi đó,
1. là đơn hình hình học.
2. Nếu là (3) – tăng thì là duy nhất.
Chứng minh
1. Giả sử rằng với . Ta cần chứng minh .
Do là – dương nên tồn tại số dương lớn nhất t sao cho .
Thật vậy, ta có và là – dương nên tồn tại
thỏa
Suy ra
Do tính cực đại của nên
Ta sẽ chứng minh .
Thật vậy, giả sử ngược lại nếu thì ta có
Do là – tăng nên tồn tại sao cho
Mặt khác, do và là – dương nên tồn tại thỏa
điều này mâu thuẫn với tính cực đại Do đó
của .
40
2. Giả sử rằng với và .
Ta cần chứng minh . Giả sử ngược lại .
Do và so sánh được nên tồn tại số dương lớn nhất thỏa .
Nếu thì ta có
Suy ra (do tính chất (3) – đơn điệu của ).
Bởi tính cực đại của t suy ra , điều này mâu thuẫn với .
Như vậy .
Lấy với , ta đạt được
Điều này mâu thuẫn với là (3) – tăng. Như vậy và do đó .
Định lý 4.2.2
là ánh xạ – thuần nhất dương và là cặp Cho
số riêng dương của . Khi đó,
1. là đơn hình hình học nếu là nửa mạnh tăng, tức là, sao cho nếu
thì
(4.2)
2. Nếu là nửa mạnh tăng và (3) – tăng thì là duy nhất.
Chứng minh.
1. Trước hết ta sẽ chứng minh .
Thật vậy, giả sử ngược lại . Lấy trong (4.2), ta đạt được
và với .
Do đó, , điều này mâu thuẫn.
Lấy .
Do , tồn tại số dương lớn nhất t sao cho .
41
Nếu , do tính cực đại của t, ta có .
Thật vậy, giả sử , khi đó tồn tại thỏa .
Do nên ta có:
Suy ra:
Do đó , mâu thuẫn với tính cực đại của .
Ta có và do đó theo (4.2) thì và
. Điều này mâu thuẫn.
Vậy hay . Do đó là đơn hình hình học.
2. Ta chứng minh duy nhất. Giả sử ngược lại và .
Do là nửa mạnh tăng nên ta có và .
Chọn là số lớn nhất sao cho , do nên .
Nếu thì .
Do đó, tồn tại thỏa và .
Do là (3) – tăng nên và
điều này mâu thuẫn. Như vậy, .
Bằng lý luận tương tự như trong chứng minh định lý 4.2.1, ta kết thúc chứng minh.
42
KẾT LUẬN
Trong luận văn, chúng tôi đã trình bày một số kiến thức và kết quả liên quan đến tính
chất phổ của một số lớp của ánh xạ tuyến tính dương trong không gian có thứ tự và
bài toán giá trị riêng của ánh xạ đa trị. Các kết quả trình bày trong luận văn có thể mở
rộng theo hướng
1. Nghiên cứu sâu hơn tính chất phổ của các ánh xạ đơn trị.
2. Mở rộng các kết quả của ánh xạ đơn trị cho ánh xạ đa trị.
Sau khi hoàn thành luận văn, tôi đã củng cố được các kiến thức đã học và lĩnh hội
thêm được nhiều kiến thức mới, cũng như học được cách thức làm việc và nghiên
cứu khoa học, đây là nền tảng và động lực để tôi tiếp tục nghiên cứu về sau.
Bài viết được hoàn thành trong khoảng thời gian tương đối ngắn và với vốn kiến thức
còn hạn hẹp của bản thân nên chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót trong quá
trình soạn thảo và một vài kết luận còn hạn chế. Tôi rất mong nhận được sự góp ý
chân thành từ quý Thầy Cô và các bạn.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2019
La Hồ Tuấn Duy
43
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] H. Brezis. (2000). Giải tích hàm, Nxb Đại học quốc gia Tp.Hồ Chí Minh.
[2] K.C. Chang. (2009). A nonlinear Krein-Rutman theorem, Jrl Syst. Sci &
Complexity, 22, 542-554.
[3] K.C. Chang. (2003). Methods in Nonlinear Analysis, Springer Verlag, Berlin.
[4] K. Deimling. (1985). Nonlinear Functional Analysis, Springer Verlag, Berlin.
[5] N. Hoang, L.V. Hạp. (2014). Giáo trình giải tích hàm, Đại học Huế.
[6] N.B. Huy, N.H. Khanh. (2000). Fixed point for multivalued increasing operators,
J. Math. Anal. Appl., 250, 368-371.
[7] N.B. Huy. (2002). Fixed points of increasing multivalued operators and an
application to discontinuous elliptic equations, Nonlinear Analysis, 51, 673-678.
[8] N.B.Huy, V.V.Tri, T.T.Binh. (2018). The monotone minorant method and
eigenvalue problem for multivalued operator in cones, Fixed Point Theory, 19, pp.
275-286.
[9] M.A. Krasnosclskii, E.A.Lipshitz, A.B.Sobolev. (1985). Positive Linear Systems,
Nauka.
[10] M.A. Krasnoselskii. (1964). Positive Solutions of Operator Equations, Nordhoff,
Groningen.
[11] J.R.L. Webb. (2009). Remarks on – positive operators, J. Fixed Point Theory
Appl., 5, 37-45.
![Luận văn Thạc sĩ: Tổng hợp và đánh giá hoạt tính chống ung thư của hợp phần lai chứa phần tetrahydro-beta-carboline và imidazo[1,5-a]pyridine](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250816/vijiraiya/135x160/26811755333398.jpg)
