Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính cộng hưởng và không cộng hưởng của bài toán có giá trị biên kì dị

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:53

Thêm vào BST

Báo xấu

43
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính cộng hưởng và không cộng hưởng của bài toán có giá trị biên kì dị đưa ra một số khái niệm và định lý cơ bản; tính cộng hưởng và không cộng hưởng của bài toán có giá trị biên kì dị. Mời các bạn tham khảo luận văn để nắm bắt nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính cộng hưởng và không cộng hưởng của bài toán có giá trị biên kì dị

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM TP. HOÀ CHÍ MINH NGUYEÃN THÒ MAI LEÂ TÍNH COÄNG HÖÔÛNG VAØ KHOÂNG COÄNG HÖÔÛNG CUÛA BAØI TOAÙN COÙ GIAÙ TRÒ BIEÂN KÌ DÒ LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH - NAÊM 2006
BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM TP. HOÀ CHÍ MINH NGUYEÃN THÒ MAI LEÂ TÍNH COÄNG HÖÔÛNG VAØ KHOÂNG COÄNG HÖÔÛNG CUÛA BAØI TOAÙN COÙ GIAÙ TRÒ BIEÂN KÌ DÒ Chuyeân ngaønh: Toaùn Giaûi Tích Maõ soá: 60.46.01 LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC NGÖÔØI HÖÔÙNG DAÃN KHOA HOÏC: PGS.TS. LEÂ HOAØN HOÙA THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH - NAÊM 2006
LÔØI CAÛM ÔN Lôøi ñaàu tieân taùc giaû xin chaân thaønh caûm ôn saâu saéc ñeán PGS.TS. Leâ Hoaøn Hoùa ñaõ taän tình höôùng daãn taùc giaû hoaøn thaønh ñeà taøi nghieân cöùu. Taùc giaû chaân thaønh caûm ôn caùc thaày, coâ khoa Toaùn vaø phoøng Khoa hoïc coâng ngheä – Sau ñaïi hoïc tröôøng Ñaïi hoïc sö phaïm Thaønh phoá Hoà Chí Minh ñaõ taän tình giaûng daïy vaø truyeàn ñaït nhieàu kieán thöùc môùi, giuùp taùc giaû laøm quen daàn vôùi vieäc nghieân cöùu khoa hoïc. Taùc giaû chaân thaønh caûm ôn caùc thaày, coâ phaûn bieän ñaõ nhaän xeùt vaø söûa chöõa nhöõng thieáu soùt ñeå luaän vaên hoaøn chænh hôn. Taùc giaû chaân thaønh caûm ôn Ban Giaùm Hieäu tröôøng THPT Chuyeân Traàn Höng Ñaïo, thuoäc tænh Bình Thuaän, nôi taùc giaû ñang coâng taùc. Cuoái cuøng taùc giaû xin baøy toû loøng bieát ôn saâu saéc ñoái vôùi gia ñình, baïn beø, ñoàng nghieäp ñaõ ñoäng vieân taùc giaû hoaøn thaønh luaän vaên naøy.
MUÏC LUÏC MÔÛ ÑAÀU ................................................................................................. 1 CHÖÔNG 1: CAÙC KHAÙI NIEÄM VAØ ÑÒNH LYÙ CÔ BAÛN .................. 5 1.1. Caùc khaùi nieäm cô baûn: ................................................................ 5 1.2. Phöông phaùp ñieåm baát ñoäng trong baøi toaùn bieân kyø dò ........... 8 1.2.1. Caùc ñònh lí cô baûn: ................................................................... 8 1.2.2. ÖÙng duïng:................................................................................ 18 CHÖÔNG 2: TÍNH COÄNG HÖÔÛNG VAØ KHOÂNG COÄNG HÖÔÛNG CUÛA BAØI TOAÙN COÙ GIAÙ TRÒ BIEÂN KÌ DÒ ..................................... 27 2.1. Khaûo saùt söï toàn taïi nghieäm cuûa baøi toaùn bieân:....................... 27 2.2. Khaûo saùt baøi toaùn giaù trò bieân Sturm Liouville: ..................... 29 2.3. Khaûo saùt baøi toaùn bieân:............................................................. 30 2.4. Khaûo saùt baøi toaùn coù giaù trò bieân kyø dò “coäng höôûng” baäc hai31 KEÁT LUAÄN ........................................................................................... 48 TAØI LIEÄU THAM KHAÛO .................................................................... 49
1 MÔÛ ÑAÀU Cuõng nhö caùc moân khoa hoïc khaùc, phöông trình vi phaân xuaát hieän treân cô sôû phaùt trieån cuûa khoa hoïc, kó thuaät vaø nhöõng yeâu caàu cuûa ñoøi hoûi thöïc teá. Lí thuyeát phöông trình vi phaân ñoùng vai troø quan troïng trong öùng duïng thöïc tieãn cuûa Toaùn hoïc. Haàu heát caùc quaù trình töï nhieân ñeàu tuaân thuû theo moät qui luaät naøo ñoù maø phöông trình vi phaân coù theå moâ taû ñöôïc. Baèng chöùng laø caùc ngaønh Toaùn hoïc, Cô hoïc, Vaät lí, Hoùa hoïc, Sinh vaät, Kinh teá, Sinh thaùi moâi tröôøng… vaø Xaõ hoäi hoïc ñeàu lieân quan ñeán phöông trình vi phaân. Lí thuyeát phöông trình vi phaân noùi chung vaø lí thuyeát caùc baøi toaùn bieân noùi rieâng ñaõ aûnh höôûng maïnh meõ ñeán vieäc phaùt hieän ra moät soá löôïng lôùn caùc öùng duïng, ñaëc bieät laø trong khoa hoïc. Chaúng haïn nhö: • Baøi toaùn  2 y"+ y ' = f ( t,y ) ,0 < t < 1  t y ' ( 0 ) = 0. ay ' (1) + y (1) = b, a > 0  αy coù theå moâ taû caùc quaù trình sinh lí khaùc nhau. Ví duï, khi f ( t,y ) = moâ taû söï y +κ di truyeàn caáu truùc vöõng chaéc cuûa Oxygen taêng trong teá baøo. ÔÛ ñaây α ,a,κ laø nhöõng haèng soá xaùc ñònh lieân quan ñeán tæ leä phaûn öùng, tính thaám vaø haèng soá Michaelis. Nghieäm y chính laø söùc caêng cuûa Oxygen vaø t = 1 töông öùng vôùi bieân cuûa maøng teá baøo. Khi f ( t,y ) = −κ exp ( − β y ) , κ , β > 0 moâ taû söï daãn nhieät trong naõo ngöôøi. ÔÛ ñaây f laø tæ leä saûn xuaát nhieät treân moät ñôn vò theå tích, y laø nhieät ñoä tuyeät ñoái vaø t laø ñoä daøi baùn kính tính töø taâm.
2 • Naêm 1927, L.H Thomas vaø E.Fermi ñoäc laäp vôùi nhau tìm ra baøi toaùn bieân xaùc ñònh theá naêng tónh ñieän trong nguyeân töû. Söï phaân tích naøy ñöa ñeán phöông trình caáp hai kì dò phi tuyeán: 1 3 − y"− t y = 02 2 Coù ba ñieàu kieän bieân ñöôïc quan taâm ñoù laø: i) Nguyeân töû trung hoøa vôùi baùn kính Bohr, cho bôûi: y ( 0 ) = 1. by ' ( b ) − y ( b ) = 0 ii) Nguyeân töû ion hoùa, cho bôûi: y ( 0 ) = 1. y ( b ) = 0 iii) Nguyeân töû trung hoøa coâ laäp, cho bôûi: y ( 0 ) = 1, lim y ( t ) = 0 t →∞ • Baøi toaùn bieân kì dò sau ñaây thöôøng ñöôïc goïi laø phöông trình Emden-Fowler coù soá muõ aâm: y"+ q ( t ) y −γ = 0, 0 < t < 1  −α y ( 0 ) + β y ' ( 0 ) = 0, α + β > 0 2 2  ay (1) + by (1) = 0, a + b > 0 2 2  α , β , a, b ≥ 0 vôùi α + a > 0 xaûy ra trong khi tìm ví duï veà daïng phi tuyeán trong lí thuyeát chaát loûng phi Niutôn, cuõng nhö vieäc vaän chuyeån buøn than ñaù xuoáng baêng chuyeàn vaø lí thuyeát lôùp bieân. ÔÛ ñaây γ > 0 . Ñaëc bieät laø lôùp phöông trình bieân cho söï chaûy oån ñònh cuûa chaát giaû nhöïa qua moät baûn nöûa voâ haïn, ñöôïc vieát nhö sau:  1n y y"+ nt = 0,0 < t < 1,0 < n < 1  y ' ( 0 ) = y (1) = 0 Khi n=1, phöông trình naøy ñöôïc goïi laø phöông trình Blasius….
3 Chính söï öùng duïng roäng raõi ñoù ñaõ höôùng chuùng toâi ñeán nghieân cöùu söï toàn taïi nghieäm cuûa baøi toaùn “coäng höôûng” vaø “khoâng coäng höôûng” coù giaù trò bieân kyø dò. Ñaëc bieät chuùng toâi nghieân cöùu veà phöông trình vi phaân baäc hai: 1 ( py ') '+ µ qy = f ( t,y,y ') haàu khaép nôi treân [ 0,1] p Vôùi: λm −1 < µ < λm (tröôøng hôïp khoâng coäng höôûng) hoaëc µ = λm (tröôøng hôïp coäng höôûng), m = 1,2,…. ÔÛ ñaây λ0 = −∞ vaø λi , i = 1, 2,... laø nhöõng giaù trò rieâng cuûa moät baøi toaùn tuyeán tính xaáp xæ. Vaø y seõ thoûa maõn moät trong nhöõng ñieàu kieän bieân sau ñaây: i) Sturm Liouville −α y ( 0 ) + β lim+ p ( t ) y ' ( t ) = c0 ,α ≥ 0, β ≥ 0,α 2 + β 2 > 0  t →0   ay (1) + b lim t →1− p ( t ) y ' ( t ) = c1 ,a ≥ 0, b ≥ 0,a2 + b2 > 0 (SL)  max {a,α } > 0 ii) Neumann  lim+ p ( t ) y ' ( t ) = c0  t →0  (N) lim t →1− p ( t ) y ' ( t ) = c1 iii) Tuaàn hoaøn (Periodic) y ( 0 ) = y (1)  (P)  tlim → 0+ p ( t ) y ' ( t ) = lim− p ( t ) y ' ( t ) t →1 Chuù yù: Neáu haøm u ∈ C ( 0,1) I C1 ( 0,1) vôùi pu' ∈ C ( 0,1) thoûa ñieàu kieän bieân i) ta vieát u ∈ ( SL ) . Chuù yù töông töï cho caùc ñieàu kieän bieân khaùc. Neáu u thoûa i) vôùi co = c1 = 0 ta vieát u ∈ ( SL )0 … Vôùi vaán ñeà ñaët ra nhö treân, chuùng toâi ñaõ nghieân cöùu, giaûi quyeát vaø trình baøy trong luaän vaên naøy vôùi caáu truùc goàm hai chöông coù noäi dung cuï theå nhö sau:
4 Chöông 1: Trình baøy caùc khaùi nieäm cô baûn lieân quan ñeán kieán thöùc trình baøy trong luaän vaên, caùc ñònh lí cô baûn veà ñieåm baát ñoäng cuûa aùnh xaï compact trong khoâng gian ñònh chuaån, trong ñoù quan troïng nhaát laø ñònh lí Leray-Schauder duøng ñeå chöùng minh söï toàn taïi nghieäm. AÙp duïng ñònh lí Leray-Schauder vaøo chöùng minh söï toàn taïi nghieäm cuûa caùc phöông trình: 1 ( py ') '+ ry = f ( t,y,py ') , t ∈ [ 0,1] p 1 ( py ') '+ ry + κ ( t ) py ' = f ( t,y,py ') , t ∈ [ 0,1] p thoûa maõn caùc ñieàu kieän bieân (SL) hoaëc (N) hoaëc (P) Chöông 2: Laø phaàn chính cuûa luaän vaên. Khaûo saùt söï toàn taïi nghieäm cuûa caùc baøi toaùn “khoâng coäng höôûng” coù giaù trò bieân kì dò: 1  p ( py ' ) '+ ry = f ( t,y, py ' ) , t ∈ [ 0,1]  y ∈ ( SL ) hoaë c ( N ) hoaë c ( P )  1  p ( py ' ) '+ ry + κ ( t ) py ' = f ( t,y, py ' ) , t ∈ [ 0,1]  y ∈ ( SL ) hoaë c ( N ) hoaë c ( P )  Vaø baøi toaùn “coäng höôûng” coù giaù trò bieân kì dò: 1  p ( py ' ) '+ λ m qy = f ( t,y, py ' ) , t ∈ [ 0,1]  y ∈ ( SL ) hoaëc ( N ) hoaëc ( P )  o o Vôùi λ m laø giaù trò rieâng thöù m cuûa:  1 Lu = λu hkn treâ n [ 0,1] , Lu = − pq ( pu' ) ',m = 1,2,3,...   u ∈ ( SL ) hoaë c ( N ) hoaë c ( P )  o o
5 Chöông 1: CAÙC KHAÙI NIEÄM VAØ ÑÒNH LYÙ CÔ BAÛN 1.1. Caùc khaùi nieäm cô baûn: Ñònh nghóa 1.1 Cho X, Y laø caùc khoâng gian ñònh chuaån. 1) AÙnh xaï lieân tuïc F : X → Y ñöôïc goïi laø compact neáu F(X) chöùa trong moät taäp compact cuûa Y. 2) AÙnh xaï lieân tuïc F : X → Y ñöôïc goïi laø hoaøn toaøn lieân tuïc neáu aûnh cuûa moãi taäp bò chaën chöùa trong moät taäp compact cuûa Y. 3) AÙnh xaï lieân tuïc F : X → Y ñöôïc goïi laø compact höõu haïn chieàu neáu F(X) chöùa trong khoâng gian con tuyeán tính höõu haïn chieàu cuûa Y. Goïi A = {a1 ,a2 ,...,an } laø moät taäp con cuûa khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån E vôùi chuaån . . Vôùi ε > 0 coá ñònh ñaët: n Aε = U B ( ai , ε ), B ( ai , ε ) = {x ∈E : x − ai < ε } i =1 µi : Aε → R sao cho µi = max {0, ε − x − ai } Goïi co(A) laø taäp loài beù nhaát chöùa A. Ta ñònh nghóa pheùp chieáu Schauder laø aùnh xaï: n ∑ µ (x) ai i Pε : Aε → co ( A ) sao cho Pε ( x ) = i =1 n ,x ∈ Aε ∑ µ (x) i =1 i Nhaän xeùt: Caùch ñònh nghóa Pε laø hoaøn toaøn coù nghóa vì, neáu:
6 n x ∈ Aε , ∃i o : x ∈ B aio , ε ⇒ ε − x − ai > 0 ⇒ µ io = ε − x − ai ≠ 0 ⇒ ∑ µ i ( x ) ≠ 0 ( ) i =1 Chuù yù: Pε ( Aε ) ⊂ co ( A ) do moãi Pε ( x ) laø toå hôïp tuyeán tính cuûa a1, a2,…,an Ñònh nghóa 1.2 Cho B laø moät taäp cuûa khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån E, F : B → E . Vôùi moãi ε > 0 , b laø moät ñieåm trong B sao cho b − F ( b ) < ε thì b ñöôïc goïi laø ñieåm ε − coá ñònh cuûa F. Ñònh nghóa 1.3 Cho C laø taäp loài trong E. (X,A) laø moät caëp trong C, nghóa laø X laø taäp con tuøy yù trong C vaø A laø taäp ñoùng trong X. • Hai aùnh xaï lieân tuïc f,g : X → E ñöôïc goïi laø ñoàng luaân neáu coù moät aùnh xaï lieân tuïc H : X × [ 0,1] → E vôùi H ( x,0 ) = f ( x ) vaø H ( x,1) = g ( x ) , ∀x ∈X • AÙnh xaï H ñöôïc goïi laø ñoàng luaân lieân tuïc vaø ta vieát H : f ≅ g . Vôùi moãi t ∈ [ 0,1] aùnh xaï x → H ( x,t ) ñöôïc vieát laø H t : X → E . • Chuùng ta deã daøng kieåm tra ñöôïc quan heä ñoàng luaân laø moät quan heä töông ñöông. • AÙnh xaï ñoàng luaân lieân tuïc H goïi laø compact neáu noù laø compact. • AÙnh xaï ñoàng luaân lieân tuïc H goïi laø “fixed point free” treân A ⊆ X neáu vôùi moãi t ∈ [ 0,1] aùnh xaï lieân tuïc H A × {t} : A → E khoâng coù ñieåm baát ñoäng. • Goïi K A ( X,C ) laø taäp hôïp taát caû caùc aùnh xaï hoaøn toaøn lieân tuïc F : X → C sao cho thu heïp F A : A → C laø “fixed point free” . • Hai aùnh xaï lieân tuïc F,G ∈ K A ( X,C ) ñöôïc goïi laø ñoàng luaân (ta vieát F ≅ G ) trong K A ( X,C ) neáu coù moät ñoàng luaân lieân tuïc H : X × [ 0,1] → C
7 vôùi H t ( u ) = H X × {t} : X → C, t ∈ [ 0,1] “fixed point free” treân X vaø H 0 ( x ) = F ( x ) ,H1 ( x ) = G ( x ) . • AÙnh xaï F ∈ K A ( X,C ) ñöôïc goïi laø coát yeáu (essential) neáu taát caû caùc aùnh xaï G ∈ K A ( X,C ) sao cho F A = G A coù ñieåm coá ñònh. • AÙnh xaï F ∈ K A ( X,C ) ñöôïc goïi laø khoâng coát yeáu (inessential) neáu toàn taïi aùnh xaï G ∈ K A ( X,C ) sao cho F A = G A la ø“fixed point free”. Ñònh nghóa 1.4 Taäp A ⊂ CK ( X ) ñöôïc goïi laø lieân tuïc ñoàng baäc neáu ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀f ∈ A, ∀x,x ' ∈ X maø d ( x,x' ) < δ thì f ( x ) − f ( x ' ) < ε . Ñònh nghóa 1.5 Haøm soá pf : [ 0,1] × R 2 → R ñöôïc goïi laø haøm L1 – Caratheodory neáu: i) t → p ( t ) f ( t,y,q ) laø ño ñöôïc, ∀ ( y,q ) ∈ R 2 ii) ( y,q ) → p ( t ) f ( t,y,q ) lieân tuïc haàu khaép nôi t ∈ [ 0,1] iii) Vôùi baát kyø r>0, toàn taïi h r ∈ L1 [ 0,1] sao cho p ( t ) f ( t,y,q ) ≤ h r ( t ) , haàu khaép nôi t ∈ [ 0,1] vaø vôùi moïi y ≤ r, q ≤ r Ñònh nghóa 1.6 b n Lnp [ a, b] ,n ∈ N* laø khoâng gian caùc haøm u thoûa: ∫ p u ( t ) dt < ∞ a Ñònh nghóa 1.7 Haøm f ñöôïc goïi laø lieân tuïc tuyeät ñoái treân [a,b] ( f ∈ AC [ a, b]) neáu vôùi moãi n n ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∑ bi − ai < δ thì ∑ f(bi ) − f(ai ) < ε , ñuùng cho moïi hoï i=1 i=1 {( a , b ) ;i = 1,n} caùc khoaûng khoâng giao nhau. i i
8 Ñònh nghóa 1.8 Giaû söû heä haøm y1 ( x ) ,y 2 ( x ) ,...,y n ( x ) khaû vi n -1 laàn treân (a,b), khi ñoù ñònh thöùc Wronski ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: y1 ( x ) y2 ( x ) ... yn ( x ) y1' ( x ) y'2 ( x ) ... y'n ( x ) W ( y1 ,y 2 ,...,y n ) ≡ W ( x ) = ... ... ... ... n −1) n −1) n −1) y1( (x) y(2 (x) ... y(n (x) W ( x ) ≠ 0 taïi moät x ∈ ( a,b ) thì heä haøm ñoäc laäp tuyeán tính W ( x ) = 0, ∀ x ∈ ( a, b ) thì heä haøm phuï thuoäc tuyeán tính. Ñònh nghóa 1.9 Cho B, D laø hai taäp ñoùng rôøi nhau trong khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån E. Khi ñoù toàn taïi moät haøm lieân tuïc λ : E → [ 0,1] goïi laø haøm lieân tuïc Urysohn sao cho:   d ( x,B)  0 ,x ∈ B min  ,1 ,x ∉ D λ (x) =  . Hay noùi caùch khaùc λ ( x ) =   d ( x,D )  1 ,x ∈ D  1 ,x ∈ D vôùi d ( x,B) = min { x − y ,y ∈ B} 1.2. Phöông phaùp ñieåm baát ñoäng trong baøi toaùn bieân kyø dò 1.2.1. Caùc ñònh lí cô baûn: Ñònh lí 1.1 (Brouwer) En laø khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån höõu haïn chieàu. C laø taäp ñoùng, bò chaën trong En thì taát caû caùc aùnh xaï f : C → C lieân tuïc ñeàu coù ñieåm baát ñoäng. Ñònh lí 1.2 Cho A ⊆ C ⊆ E vôùi A= {a1 ,a2 ,...,an } ; C laø taäp loài trong khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån E. Neáu Pε ( x ) laø pheùp chieáu Schauder thì:
9 1) Pε laø aùnh xaï hoaøn toaøn lieân tuïc töø Aε vaøo co ( A ) ⊆ C 2) x − Pε < ε , ∀ x ∈Aε Chöùng minh: 1) Söï lieân tuïc cuûa Pε ñöôïc thaáy tröïc tieáp (vì laø pheùp chieáu). Chuùng ta chöùng toû tính compact cuûa Pε ∞ Goïi {Pε ( x m )}1 laø moät daõy trong Pε ( Aε ) vôùi: n n µ i ( x m ) ai µ ( x ) = ∑ µi ( x ) ⇒ Pε ( x m ) = ∑ i =1 i =1 µ (x)  µ (x ) µ (x ) µ (x )  n Chuù yù vôùi moãi m:  1 m , 2 m ,..., n m  ∈ [ 0,1]  µ ( xm ) µ ( xm ) µ ( xm )  n Vì [ 0,1] laø taäp compact vaø co(A) laø moät taäp ñoùng, neân ta suy ra tính compact cuûa aùnh xaï Pε . 2) Chuù yù 1 n 1 n x − Pε ( x ) = µ ( x ) x − ∑ µ i ( x ) ai ≤ ∑ µ ( x ) x − ai µ (x) i =1 µ ( x ) i=1 i 1 n < ∑ µ ( x )ε = ε µ ( x ) i =1 i bôûi vì µi ( x ) ≠ 0 neáu x-ai < ε Ñònh lí 1.3 (xaáp xæ Schauder) C laø taäp loài trong khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån E. AÙnh xaï F : E → C laø hoaøn toaøn lieân tuïc thì vôùi moãi ε > 0 coù moät taäp A= {a1 ,a2 ,...,an } ⊂ F ( E ) ⊆ C vaø moät aùnh xaï lieân tuïc höõu haïn chieàu Fε : E → C sao cho: 1) Fε ( x ) − F ( x ) < ε , ∀ x ∈E 2) Fε ( E ) ⊆ co ( A ) ⊆ C
10 Chöùng minh: Do F hoaøn toaøn lieân tuïc neân F(E) chöùa trong moät taäp compact K cuûa C. Maø K bò chaën hoaøn toaøn neân toàn taïi moät taäp A= {a1 ,a2 ,...,an } ⊆ F ( E ) vôùi F ( E ) ⊆ Aε Goïi Pε : Aε → co ( A ) laø pheùp chieáu Schauder vaø ñònh nghóa aùnh xaï Fε : E → C Fε ( x ) = Pε ( F ( x ) ) ,x ∈E theo ñònh lí 1.2 ta coù keát quaû. Ñònh lí 1.4 Cho B laø taäp con ñoùng cuûa khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån E. F : B → E laø aùnh xaï hoaøn toaøn lieân tuïc. Khi ñoù F coù ñieåm baát ñoäng neáu F coù ñieåm ε − coá ñònh vôùi moãi ε > 0 Chöùng minh: Giaû söû F coù ñieåm ε − coá ñònh vôùi moãi ε > 0 . Vôùi moãi n = 1,2,…ñaët bn laø ñieåm 1 1/n _ coá ñònh cuûa F. Ta coù b n − F ( b n ) < (*) n Do F compact suy ra F(B) chöùa trong moät taäp compact K trong E do ñoù coù moät daõy con caùc soá töï nhieân S vaø x thuoäc K sao cho : F ( x n ) → x∈K khi n → ∞ trong S. Vì vaäy (*) suy ra b n → x khi n → ∞ trong S vaø do B laø taäp ñoùng cho neân x ∈B . Do F lieân tuïc treân B suy ra F ( bn ) → F ( x ) . Vaäy ta coù x − F ( x ) = 0 hay F coù ñieåm baát ñoäng. Ñònh lí 1.5 (Schauder) Cho C laø moät taäp con loài cuûa khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån E thì taát caû caùc aùnh xaï hoaøn toaøn lieân tuïc F : C → C ñeàu coù ít nhaát moät ñieåm baát ñoäng.
11 Chöùng minh: Duøng ñònh lí 1.4 vôùi B = C = E chuùng ta chöùng minh F coù ε − coá ñònh vôùi moãi ε > 0 . Coá ñònh ε > 0 töø ñònh lí 1.3 suy ra toàn taïi moät aùnh xaï lieân tuïc höõu haïn chieàu Fε : E → C vôùi Fε ( x ) − F ( x ) < ε vôùi x thuoäc E vaø Fε ( C ) ⊆ co ( A ) ⊆ C , vôùi A ⊆ C . Do co ( A ) ñoùng bò chaën vaø Fε ( co ( A ) ) ⊆ co ( A ) chuùng ta coù theå aùp duïng ñònh lí 1.1 suy ra xε = Fε ( xε ) ,xε ∈ co ( A ) . Vì vaäy xε − F ( xε ) = Fε ( xε ) − F ( xε ) < ε Ñònh lí 1.6 Cho F,G ∈ K A ( X,C ) , giaû söû vôùi moãi ( a,t ) ∈ X × [ 0,1] chuùng ta coù: tG ( a ) + (1 − t ) F ( a ) ≠ a thì F ≅ G trong K A ( X,C ) . Chöùng minh: Ñaët H ( x,t ) = tG ( x ) + (1 − t ) F ( x ) ; ( x,t ) ∈ X × [ 0,1] . H lieân tuïc do F, G lieân tuïc. Tröôùc heát ta chöùng minh H : X × [ 0,1] → C laø moät aùnh xaï compact. Laáy moät daõy baát kyø ( x n ,t n ) ∈ X × [ 0,1] . Ñeå khoâng maát tính toång quaùt ta coù theå giaû söû t n → t ∈[ 0,1] khi n → ∞ . Do F vaø G compact neân coù moät daõy con S caùc soá töï nhieân vaø F(x), G(x) thuoäc C sao cho: F ( x n ) → F ( x ) ,G ( x n ) → G ( x ) khi n → ∞ trong S, hôn nöõa do C loài neân ta coù H ( x n ,t n ) = t n G ( x n ) + (1 − t n ) F ( x n ) → H ( x,t ) khi n → ∞ trong S. Vaäy H(x,t) laø moät pheùp ñoàng luaân lieân tuïc, compact. Do tG ( a ) + (1 − t ) F ( a ) ≠ a vôùi moãi ( a,t ) ∈ X × [ 0,1] neân Ht laø “fixed point free”. Cuoái cuøng do H 0 = F,H1 = G neân F ≅ G trong K A ( X,C ) Ñònh lí 1.7 ( ) Cho U laø moät taäp con môû cuûa moät taäp loài C ⊆ E , U, ∂U laø moät caëp trong C. ( ) Khi ñoù vôùi baát kyø u 0 ∈ U thì aùnh xaï haèng F U = u 0 laø coát yeáu trong K ∂U U,C ( )
12 Chöùng minh: Goïi G : U → C laø moät aùnh xaï hoaøn toaøn lieân tuïc vôùi G ∂U = F ∂U = u0 . Chuùng ta chöùng minh G coù ñieåm baát ñoäng treân U. Ñònh nghóa: G ( x ) neá u x ∈ U J(x) =   u 0 neá u x ∈ C\U Deã daøng chöùng minh ñöôïc J : C → C laø moät aùnh xaï hoaøn toaøn lieân tuïc. Töø ñònh lí 1.5 suy ra J coù ñieåm baát ñoäng u ∈ C . Keát hôïp vôùi J ( x ) = u 0 ∈ U vôùi x ∈ C\U chuùng ta coù u ∈ U , vì vaäy u = J ( u ) = G ( u ) vaø do G ∂U = u 0 do u ∈ U suy ra G coù ñieåm baát ñoäng u. Vaäy F laø coát yeáu. Ñònh lí 1.8 Giaû söû (X,A) laø moät caëp trong C ⊆ E . C laø moät taäp loài trong khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån E. Ta coù caùc tính chaát cuûa F sau ñaây laø töông ñöông: 1) F laø khoâng coát yeáu 2) Coù moät aùnh xaï “fixed point free” G ∈ K A ( X,C ) sao cho F ≅ G trong K A ( X,C ) Chöùng minh: •1) ⇒ 2) Goïi G ∈ K A ( X,C ) sao cho F A = G A laø “fixed point free” . Ta coù tG ( a ) + (1 − t ) F ( a ) ≠ a, ∀ ( a,t ) ∈ A × [ 0,1] . Thaät vaäy, giaû söû ∃a ∈ A : tG ( a ) + (1 − t ) F ( a ) = a , do F A = G A ⇒ G ( a ) = a (maâu thuaãn). Do ñònh lí 1.6 ta suy ra F ≅ G trong K A ( X,C ) • 2) ⇒ 1)
13 Goïi H : X × [ 0,1] → C laø moät ñoàng luaân hoaøn toaøn lieân tuïc lieân keát giöõa G vaø F sao cho H X × {t} laø moät “fixed point free” vôùi moãi t ∈ [ 0,1] . Ñaët B = {x : x = H ( x,t ) ,t ∈ [ 0,1]} . Neáu B = ∅ thì vôùi moãi t ∈ [ 0,1] , Ht khoâng coù ñieåm baát ñoäng vì theá rieâng F khoâng coù ñieåm baát ñoäng suy ra F khoâng coát yeáu. Neáu B ≠ ∅ ta coù A I B = ∅ . B laø taäp ñoùng. Thaät vaäy, laáy x n ∈ B , töùc laø x n = H ( x n ,t n ) vaø x n → x ∈ X . Khi ñoù toàn taïi t ∈ [ 0,1] vaø moät daõy con caùc soá töï nhieân S sao cho t n → t khi n → ∞ trong S. Do söï lieân tuïc cuûa H ta coù x=H(x,t) suy ra x ∈ B . Vaäy taäp B ñoùng. Ta ñaõ coù A, B laø hai taäp ñoùng rôøi nhau.Goïi λ : X → [ 0,1] laø haøm Urysohn lieân tuïc vôùi λ ( A ) = 1, λ ( B) = 0. Ñònh nghóa haøm J t ( x ) = H ( x, λ ( x ) t ) ; ( x,t ) ∈ X × [ 0,1] , ta coù Jt laø moät aùnh xaï hoaøn toaøn lieân tuïc. Ta chöùng minh Jt laø “fixed point free” vaø J t A = H t A ø . Thaät vaäy ta chuù yù J t ( x ) = x nghóa laø H ( x, λ ( x ) t ) = x , suy ra x thuoäc B, vì vaäy λ ( x ) = 0 vaø H ( x,0 ) = x , suy ra maâu thuaãn vì H 0 = G laø“fixed point free”. Do ñoù Jt laø “fixed point free”. Ta coù neáu x ∈ A thì λ ( x ) = 1 vaø J t ( x ) = H ( x, λ ( x ) t ) = H ( x,t ) = H t ( x ) Vì vaäy J t A = Ht A . Ñaët t = 1 suy ra Jt laø aùnh xaï hoaøn toaøn lieân tuïc vaø laø“fixed point free”, suy ra F = H1 treân A. Vaäy F khoâng coát yeáu.
14 Ñònh lí 1.9 Giaû söû (X,A) laø moät caëp trong C ⊆ E . C laø taäp loài trong khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån E. Giaû söû F vaø G laø hai aùnh xaï trong K A ( X,C ) sao cho: F ≅ G trong K A ( X,C ) thì F coát yeáu neáu G coát yeáu. Chöùng minh: Giaû söû F laø khoâng coát yeáu, theo ñònh lí 1.8 thì toàn taïi moät aùnh xaï “fixed point free” T ∈ K A ( X,C ) sao cho F ≅ T trong K A ( X,C ) . Do ñoù G ≅ T trong K A ( X,C ) . Cuõng theo ñònh lí 1.8 ta suy ra G laø khoâng coát yeáu (maâu thuaãn giaû thieát). Ñònh lí 1.10 (Leray – Schauder) Giaû söû C laø taäp loài trong khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån E. U laø moät taäp con môû cuûa C, p* ∈ U thì taát caû caùc aùnh xaï hoaøn toaøn lieân tuïc F : U → C ñeàu coù ít nhaát moät trong hai tính chaát sau: 1) F coù ñieåm baát ñoäng. 2) ∃ x∈ ∂U sao cho x=λ F ( x ) + (1 − λ ) p* , λ ∈ ( 0,1) Chöùng minh: Chuùng ta coù theå giaû söû F ∂U laø “fixed point free” trong tröôøng hôïp 1) khoâng xaûy ra Ñaët G : U → C laø aùnh xaï haèng u → p* . Xeùt pheùp ñoàng luaân hoaøn toaøn lieân tuïc H t : U → C lieân keát giöõa G vaø F laø H ( x,t ) = tF ( x ) + (1 − t ) p* . Xeùt hai tröôøng hôïp: i) H(x,t) laø “fixed point free” treân ∂U ii) H(x,t) khoâng laø “fixed point free” treân ∂U
15 Neáu tröôøng hôïp i) xaûy ra thì töø ñònh lí 1.7 vaø 1.9 suy ra F phaûi coù ñieåm coá ñònh. Ngöôïc laïi neáu tröôøng hôïp ii) xaûy ra thì: ∃ x ∈ ∂U : x = λ F ( x ) + (1 − λ ) p* , vôùi λ ∈ [ 0,1] Ta coù λ ≠ 0 vì p* ∉ ∂U vaø λ ≠ 1 vì F ∂U laø “fixed point free”ø. Ñònh lyù 1.11 (Ascoli – Arzela) Cho X laø khoâng gian meâtric compact, ta kí hieäu CK ( X ) laø taäp hôïp caùc haøm lieân { tuïc f : X → K ( K = R,C ) vôùi chuaån y = sup f ( x ) ,x ∈ X . } Meänh ñeà Giaû söû {fn } ⊂ CK ( X ) thoûa lim fn ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ X vaø {fn } laø lieân tuïc ñoàng baäc. n →∞ Khi ñoù f ∈ CK ( X ) vaø lim fn − f = 0 . n →∞ Chöùng minh: Cho ε > 0 . Do {fn } laø lieân tuïc ñoàng baäc neân ta choïn δ > 0 thoûa ∀n ∈ N , ε ∀x,x ' ∈ X maø d ( x,x' ) < δ thì fn ( x ) − fn ( x ' ) < . Cho n→∞ ta ñöôïc 3 ε f ( x ) − f ( x ') < . Suy ra f ∈ CK ( X ) . 3 Töø phuû {B ( x,δ ) : x ∈ X} laáy phuû höõu haïn {B ( x k ,δ ) , k = 1,2,...,m} . Do lim fn ( x k ) = f ( x k ) , ∀k = 1,2,...,m neân: n →∞ ε Toàn taïi n1 sao cho vôùi n > n1 thì fn ( x1 ) − f ( x1 ) < 3 ε Toàn taïi n2 sao cho vôùi n > n 2 thì fn ( x 2 ) − f ( x 2 ) < 3 ………………………… ε Toàn taïi nm sao cho vôùi n > n m thì fn ( x m ) − f ( x m ) < 3
16 Ñaët n o = max {n1 ,n 2 ,...,n m } ta coù: ε ∀n ≥ n o suy ra fn ( x k ) − f ( x k ) < , ∀k = 1,2,...,m 3 Ta coù ∀n ≥ n o , ∀x ∈ X suy ra toàn taïi k=1,2,...,m sao cho d ( x,x k ) < δ m    do X=U B ( x k ,δ )  thì :  n=1  ε ε ε fn ( x ) − f ( x ) ≤ fn ( x ) − fn ( x k ) + fn ( x k ) − f ( x k ) + f ( x k ) − f ( x ) < + + =ε . 3 3 3 Ñònh lyù Ascoli – Arzela: Taäp A ⊂ CK ( X ) laø compact töông ñoái khi vaø chæ khi A bò chaën ñeàu vaø A ñaúng lieân tuïc. Chöùng minh: Ñieàu kieän caàn: Cho ε > 0 . Do A laø compact töông ñoái neân ta tìm ñöôïc n  ε ( f1 ,f2 ,...,fn ∈ CK ( X ) sao cho A ⊂ U B  fk ,  do {B ( f, ε )}f∈A ,A compact . k =1  3 )  ε  Ñaët M = max  fk + : k = 1,n  ta coù f ≤ M, ∀f ∈ A  3  ( ) Do fk k = 1,n lieân tuïc treân moät taäp compact neân lieân tuïc ñeàu. Neân coù δ > 0 thoûa ε ∀k = 1,n, ∀x,x ' ∈ X sao cho d ( x,x ' ) < δ thì fk ( x ) − fk ( x ' ) < . 3 Vôùi δ tìm ñöôïc ta coù: vôùi moïi f ∈ A , ∀x,x ' ∈ X sao cho d ( x,x' ) < δ thì toàn taïi k, ε ( k = 1,n ) : f − fk < 3 . Suy ra: f ( x ) − f ( x' ) ≤ f ( x ) − fk ( x ) + fk ( x ) − fk ( x ' ) + fk ( x ' ) − f ( x ' ) < ε . Vaäy A lieân tuïc ñoàng baäc. Ñieàu kieän ñuû: