Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính hyperbolic đầy của miền Hartogs

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:32

Thêm vào BST

Báo xấu

21
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lý thuyết các không gian phức hyperbolic được Kobayashi xây dựng lần đầu tiên vào những năm 70 của thế kỷ XX là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích phức. Trong những năm gần đây, lý thuyết này đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Những công trình nghiên cứu đó đã thúc đẩy hướng nghiên cứu này phát triển mạnh mẽ và đã hình thành nên một chuyên ngành mới của giải tích toán học, đó là giải tích phức hyperbolic.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính hyperbolic đầy của miền Hartogs

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM Khambay PHAVISAY T½nh hyperbolic ¦y cõa mi·n Hartogs LUN VN THC S TON HÅC THI NGUYN - 2015
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM Khambay PHAVISAY T½nh hyperbolic ¦y cõa mi·n Hartogs Chuy¶n ng nh: To¡n gi£i t½ch M¢ sè: 60.46.01.02 LUN VN THC S TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: TS. Tr¦n Hu» Minh THI NGUYN - 2015
Líi cam oan B£n luªn v«n n y sü nghi¶n cùu ëc lªp cõa tæi d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS. Tr¦n Hu» Minh, c¡c t i li»u tham kh£o trong luªn v«n l trung thüc. Luªn v«n ch÷a tøng ÷ñc cæng bè trong b§t cù cæng tr¼nh n o. Håc vi¶n Kham bay PHAVISAY X¡c nhªn X¡c nhªn cõa tr÷ðng khoa To¡n cõa ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc TS.Tr¦n Hu» Minh i
Möc löc LÍI NÂI U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc chu©n bà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. nh x¤ ch¿nh h¼nh [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. a t¤p phùc [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Khæng gian phùc [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4. Gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi tr¶n khæng gian phùc [1] . . . . . . . . 5 1.5. Khæng gian phùc hyperbolic v khæng gian phùc hyperbolic ¦y [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.6. Khæng gian phùc taut [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.7. H m i·u háa d÷îi [7]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.8. H m a i·u háa d÷îi [7]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Ch÷ìng 2. T½nh hyperbolic ¦y cõa mi·n Hartogs. . . . . . . 11 K¸t luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ii
LÍI NÂI U Nghi¶n cùu t½nh hyperbolic cõa c¡c khæng gian phùc l mët trong nhúng b i to¡n cì b£n nh§t cõa gi£i t½ch phùc hyperbolic. Vi»c nghi¶n cùu â ÷ñc ti¸n h nh d÷îi nhi·u gâc ë kh¡c nhau, ch¯ng h¤n nh÷ t¼m ki¸m nhúng °c tr÷ng cho t½nh hyperbolic cõa mët khæng gian phùc tòy þ; kh£o s¡t t½nh hyperbolic cõa nhúng lîp khæng gian phùc cö thº; ùng döng t½nh hyperbolic cõa khæng gian phùc v o nhúng l¾nh vüc kh¡c nhau cõa h¼nh håc phùc v gi£i t½ch phùc ... Trong nhúng n«m g¦n ¥y, vi»c nghi¶n cùu t½nh hyperbolic cõa nhúng lîp khæng gian phùc cö thº công nh÷ vi»c t¼m hiºu nhúng lîp khæng gian phùc hyperbolic ð d¤ng t÷íng minh ¢ thu hót ÷ñc sü quan t¥m cõa nhi·u nh to¡n håc. Mi·n Hartogs thuëc v o sè nhúng lîp khæng gian phùc nh÷ vªy. Cho X l mët khæng gian phùc, ϕ : X → [−∞, ∞) l h m nûa li¶n töc tr¶n tr¶n X . Mi·n Hartogs Ωϕ(X) ÷ñc ành ngh¾a bði −ϕ(z) Ωϕ (X) = (z, w) ∈ X × C : |w| < e . R§t nhi·u t½nh ch§t cõa mi·n Hartogs ¢ ÷ñc t¼m ra d÷îi quan iºm cõa gi£i t½ch phùc hyperbolic. Luªn v«n " T½nh hyperbolic ¦y cõa mi·n Hartogs " nh¬m tr¼nh b y mët sè i·u ki»n c¦n v õ º mi·n Hartogs Ωϕ(X) l hyperbolic ¦y. V ch¿ ra mët sè lîp h m a i·u háa d÷îi ϕ tr¶n X º Ωϕ(X) l hyperbolic ¦y. Nëi dung ch½nh cõa luªn v«n düa tr¶n k¸t qu£ cõa b i b¡o" Complete hyperbolicity of Hartogs domains " cõa t¡c gi£ D.D. Thai v N.Q. Di»u. Luªn v«n gçm 28 trang, trong â câ ph¦n mð ¦u, hai ch÷ìng nëi dung, ph¦n k¸t luªn v danh möc t i li»u tham kh£o. Ch÷ìng 1: Tr¼nh b y têng quan v h» thèng l¤i c¡c kh¡i ni»m v c¡c t½nh ch§t c¦n thi¸t cho ch÷ìng sau. 1
Ch÷ìng 2: L nëi dung ch½nh cõa luªn v«n, tr¼nh b y mët sè i·u ki»n c¦n v õ cho t½nh hyperbolic ¦y cõa mi·n Hartogs Ωϕ(X) v ch¿ ra mët sè lîp h m a i·u háa d÷îi ϕ tr¶n X sao cho mi·n Hartogs Ωϕ (X) l hyperbolic ¦y. Cuèi còng l ph¦n k¸t luªn tr¼nh b y tâm tt c¡c k¸t qu£ ÷ñc nghi¶n cùu trong luªn v«n. B£n luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh cõa TS Tr¦n Hu» Minh. Em xin b y tä láng bi¸t ìn Cæ v sü h÷îng d¨n tªn t¼nh, hi»u qu£ trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu v ho n th nh luªn v«n. Em xin c£m ìn pháng o t¤o, Ban chõ nhi»m khoa To¡n, c¡c th¦y cæ gi¡o Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, Vi»n To¡n håc v Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H Nëi ¢ gi£ng d¤y v t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi cho em trong qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu khoa håc v ho n th nh luªn v«n. Xin c£m ìn ¸n c¡c b¤n håc vi¶n lîp cao håc to¡n K21 ¢ luæn ëng vi¶n, chia s´ khâ kh«n v gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp t¤i tr÷íng. Cuèi còng, tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc tîi nhúng ng÷íi th¥n trong gia ¼nh cõa m¼nh, nhúng ng÷íi luæn ëng vi¶n, quan t¥m gióp ï tæi v luæn mong mäi tæi th nh cæng. B£n luªn v«n chc chn s³ khæng tr¡nh khäi nhúng khi¸m khuy¸t, v¼ vªy em r§t mong nhªn ÷ñc nhúng âng gâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y cæ gi¡o v c¡c b¤n håc vi¶n º luªn v«n n y ÷ñc ho n ch¿nh hìn. Th¡i Nguy¶n, ng y ......th¡ng 4 n«m 2015 T¡c gi£ luªn v«n Kham bay PHAVISAY 2
Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà 1.1. nh x¤ ch¿nh h¼nh [1] Gi£ sû X l mët tªp mð trong Cn v f : X → C l mët h m sè. H m f ÷ñc gåi l kh£ vi phùc t¤i x0 ∈ X n¸u tçn t¤i ¡nh x¤ tuy¸n t½nh λ : Cn → C sao cho |f (x0 + h) − f (x0 ) − λ(h)| lim|h|→0 = 0, |h| trong â h = (h1 , ..., hn ) ∈ Cn v |h| = ( ni=1 |hi |2 ) 2 . P 1 H m f ÷ñc gåi l ch¿nh h¼nh t¤i x0 ∈ X n¸u f kh£ vi phùc trong mët l¥n cªn n o â cõa x0 v ÷ñc gåi l ch¿nh h¼nh tr¶n X n¸u f ch¿nh h¼nh t¤i måi iºm thuëc X . Mët ¡nh x¤ f : X → Cm câ thº vi¸t d÷îi d¤ng f = (f1, ..., fm), trong â fi = πi ◦ f : X → C, i = 1, ..., m l c¡c h m tåa ë. Khi â f ÷ñc gåi l ch¿nh h¼nh tr¶n X n¸u fi ch¿nh h¼nh tr¶n X vîi måi i = 1, ..., m. nh x¤ f : X → f (X) ⊂ Cn ÷ñc gåi l song ch¿nh h¼nh n¸u f l song ¡nh, ch¿nh h¼nh v f −1 công l ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh. 3
1.2. a t¤p phùc [1] a) ành ngh¾a Gi£ sû X l mët khæng gian tæpæ Hausdorff. + C°p (U, ϕ) ÷ñc gåi l mët b£n ç àa ph÷ìng cõa X , trong â U l tªp mð trong X v ϕ : U → Cn l ¡nh x¤, n¸u c¡c i·u ki»n sau ÷ñc thäa m¢n: i) ϕ(U ) l tªp mð trong Cn. ii) ϕ : U → ϕ(U ) l mët çng phæi. + Hå A = {(Ui, ϕi)}i∈I c¡c b£n ç àa ph÷ìng cõa X ÷ñc gåi l mët tªp b£n ç gi£i t½ch (atlas) cõa X n¸u c¡c i·u ki»n sau ÷ñc thäa m¢n i) {Ui}i∈I l mët phõ mð cõa X. ii) Vîi måi Ui, Uj m Ui ∩ Uj 6= ∅, ¡nh x¤ l ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh. ϕj ◦ ϕi −1 : ϕi (Ui ∩ Uj ) → ϕj (Ui ∩ Uj ) X²t hå c¡c atlas tr¶n X. Hai atlas A1, A2 ÷ñc gåi l t÷ìng ÷ìng n¸u hñp A1 ∪ A2 l mët atlas. ¥y l mët quan h» t÷ìng ÷ìng tr¶n tªp c¡c atlas. Méi lîp t÷ìng ÷ìng x¡c ành mët c§u tróc kh£ vi phùc tr¶n X , v X còng vîi c§u tróc kh£ vi phùc tr¶n nâ ÷ñc gåi l mët a t¤p phùc n chi·u. b) nh x¤ ch¿nh h¼nh giúa c¡c a t¤p phùc Gi£ sû M, N l c¡c a t¤p phùc. nh x¤ li¶n töc f : M → N ÷ñc gåi l ch¿nh h¼nh tr¶n M n¸u vîi måi b£n ç àa ph÷ìng (U, ϕ) cõa M v mët b£n ç àa ph÷ìng (V, ψ) cõa N sao cho f (U ) ⊂ V th¼ ¡nh x¤ ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ(U ) → ψ(V ) l ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh. 4
Hay t÷ìng ÷ìng, vâi måi x ∈ M, y ∈ N, tçn t¤i hai b£n ç àa ph÷ìng (U, ϕ) v (V, ψ) t¤i x v y t÷ìng ùng sao cho ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ(U ) → ψ(V ) l ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh. Gi£ sû f : M → N l song ¡nh giúa c¡c a t¤p phùc. N¸u f v f −1 l c¡c ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh th¼ f ÷ñc gåi l ¡nh x¤ song ch¿nh h¼nh giúa M v N . 1.3. Khæng gian phùc [1] ành ngh¾a 1.3.1. Gi£ sû Z l a t¤p phùc. Mët khæng gian phùc âng X l mët tªp con âng cõa Z m v· m°t àa ph÷ìng ÷ñc x¡c ành bði húu h¤n c¡c ph÷ìng tr¼nh gi£i t½ch. Tùc l , vîi x0 ∈ X tçn t¤i l¥n cªn mð V cõa x trong Z v húu h¤n c¡c h m ch¿nh h¼nh ϕ1, ..., ϕm tr¶n V sao cho X ∩ V = {x ∈ V |ϕi (x) = 0, i = 1, ..., m}. Gi£ sû X l mët khæng gian con phùc trong a t¤p phùc Z . H m f : X → C ÷ñc gåi ch¿nh h¼nh n¸u vîi méi iºm x ∈ X tçn t¤i mët l¥n cªn U (x) ⊂ Z v mët h m ch¿nh h¼nh fˆ tr¶n U sao cho fˆ|U ∩X ⇒ f |U ∩X . Gi£ sû f : X → Y l ¡nh x¤ giúa c¡c khæng gian phùc X v Y . f ÷ñc gåi l ch¿nh h¼nh n¸u vîi méi h m ch¿nh h¼nh g tr¶n mët tªp con mð V cõa Y , h m hñp g ◦ f l h m ch¿nh h¼nh tr¶n f −1(V ). 1.4. Gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi tr¶n khæng gian phùc [1] °t Hol(X, Y ) l khæng gian c¡c ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh tø mët khæng gian phùc X tîi mët khæng gian phùc Y ÷ñc trang bà tæpæ compact 5
mð. Vîi 0 < r < ∞, ta °t Dr = {z ∈ C : |z| < r}; D1 = D. Tr¶n ¾a ìn và mð D, ta x²t kho£ng c¡ch Bergman - Poincar² cho bði 1 + |a| ρD (0, a) = `n ; ∀a ∈ D 1 − |a| z1 − z2 1+| | 1 − z 1 z2 ρD (z1 , z2 ) = `n , ∀ z1 , z2 ∈ D. |z1 − z2 | 1−| | 1 − z 1 z2 Gi£ sû X l mët khæng gian phùc, p, q l hai iºm tòy þ cõa X . X²t d¢y iºm p0 = p, p1, ..., pk = q cõa X , d¢y iºm a1, a2, ..., ak cõa D v d¢y c¡c ¡nh x¤ f1, ..., fk trong Hol(D, X) thäa m¢n fi (0) = pi−1 , fi (ai ) = pi , ∀i = 1, ..., k. Ta gåi tªp hñp α = {p0, ..., pk , a1, ..., ak , f1, ..., fk } l mët d¥y chuy·n ch¿nh h¼nh nèi p v q trong X . Vîi méi d¥y chuy·n nh÷ vªy, ta lªp têng Pki=1 pD (0, ai). °t dX (p, q) = infα i=1 pD (0, ai ), α ∈ Ωp,q , trong â Ωp,q l Pk tªp hñp t§t c£ c¡c d¥y chuy·n ch¿nh h¼nh nèi p v q trong X . D¹ th§y dX : X × X −→ R l mët gi£ kho£ng c¡ch v gåi l gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi tr¶n khæng gian phùc X . Ta câ thº d¹ d ng chùng minh ÷ñc c¡c t½nh ch§t sau ¥y cõa dX : i) dX l h m li¶n töc. ii) N¸u f : X → Y l ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh giúa hai khæng gian phùc th¼ f l m gi£m kho£ng c¡ch èi vîi gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi, ngh¾a l dX (p, q) > dY (f (p), f (q)), ∀ p, q ∈ X. 6
iii) dD = ρD . 1.5. Khæng gian phùc hyperbolic v khæng gian phùc hyperbolic ¦y [1] 1.5.1. Khæng gian phùc hyperbolic Khæng gian phùc X ÷ñc gåi l khæng gian phùc hyperbolic n¸u gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi dX l kho£ng c¡ch tr¶n X , tùc l dX (p, q) = 0 ⇔ p = q, ∀ p, q ∈ X. N«m 1972, T. Barth [3] ¢ chùng tä r¬ng n¸u khæng gian phùc X l khæng gian phùc hyperbolic th¼ tæpæ sinh bði dX tròng vîi tæpæ ban ¦u cõa X . Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian phùc hyperbolic. i) Khæng gian con cõa mët khæng gian phùc hyperbolic l khæng gian phùc hyperbolic. ii) (ành lþ Eastwood) Gi£ sû π : X → Y l ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh giúa c¡c khæng gian phùc. Gi£ sû Y l hyperbolic v vîi méi iºm y ∈ Y câ l¥n cªn U cõa y sao cho π−1(U ) l hyperbolic. Khi â X l hyperbolic. 1.5.2. Khæng gian phùc hyperbolic ¦y Gi£ sû X l khæng gian phùc vîi kho£ng c¡ch d. D¢y {xn} ⊂ X ÷ñc gåi l d¢y cì b£n (hay d¢y Cæsi) èi vîi kho£ng c¡ch d n¸u vîi méi ε > 0, tçn t¤i n0 ∈ N sao cho vîi måi m, n > n0 , ta câ d(xn , xm ) < ε. Khæng gian phùc X ÷ñc gåi l khæng gian phùc hyperbolic ¦y n¸u gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi dX l kho£ng c¡ch ¦y tr¶n X theo ngh¾a méi d¢y cì b£n èi vîi dX ·u hëi tö trong X. Ta câ mët sè t½nh ch§t sau cõa khæng gian phùc hyperbolic ¦y 7
i) Khæng gian phùc hyperbolic X l ¦y khi v ch¿ khi måi h¼nh c¦u âng trong X ·u compact. ii) N¸u X l hyperbolic v compact, th¼ X l hyperbolic ¦y. iii) Mët khæng gian con phùc âng cõa khæng gian phùc hyper- bolic ¦y l khæng gian phùc hyperbolic ¦y. iv) Gi£ sû π : X → Y l ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh giúa c¡c khæng gian phùc. Gi£ sû Y l hyperbolic ¦y v vîi méi y ∈ Y, tçn t¤i l¥n cªn U sao cho π−1(U ) l hyperbolic ¦y. Khi â X l hyperbolic ¦y. 1.6. Khæng gian phùc taut [1] Gi£ sû X, Y l c¡c khæng gian phùc a) D¢y {fi }∞ i=1 ⊂ Hol(Y, X) ÷ñc gåi l ph¥n ký compact n¸u vîi méi tªp compact K cõa Y , méi tªp con compact K 0 cõa X , tçn t¤i j0 ∈ N sao cho fj (K) ∩ K 0 = φ vîi måi j > j0 . b) Hå Hol(Y, X) ÷ñc gåi l chu©n tc n¸u méi d¢y {fi }∞i=1 trong Hol(Y, X) chùa mët d¢y con ho°c l hëi tö ·u tr¶n méi tªp con compact cõa Y ho°c l ph¥n ký compact. c) Khæng gian phùc X ÷ñc gåi l taut n¸u hå Hol(Y, X) l chu©n tc vîi méi khæng gian phùc Y. T. Barth [3] ¢ chùng minh ÷ñc : Khæng gian phùc X l taut khi v ch¿ khi hå Hol(D, X) l chu©n tc. º ch¿ ra mèi li¶n h» giúa t½nh taut v t½nh hyperbolic cõa mët khæng gian phùc, P. Kiernam [6] ¢ chùng tä r¬ng n¸u khæng gian phùc X l taut th¼ X l hyperbolic v n¸u X l hyperbolic ¦y th¼ X l taut. C¡c kh¯ng ành ng÷ñc l¤i ·u khæng óng. 8
1.7. H m i·u háa d÷îi [7] a) Cho G l tªp con mð trong Cm, u : G → R l mët h m lîp ∂ 2u C . H m u ÷ñc gåi l i·u háa trong G n¸u ∆u := j,k=1 2 Pm =0 ∂zj ∂ z¯k tr¶n G. b) H m u : G → [−∞, ∞) ÷ñc gåi l i·u háa d÷îi trong mi·n G n¸u u thäa m¢n hai i·u ki»n sau: i) u l nûa li¶n töc tr¶n trong G, tùc l tªp {z ∈ G | u(z) < s} l tªp mð vîi méi sè thüc s. ii) Vîi méi tªp con mð compact t÷ìng èi Ω cõa G v måi h m h : Ω → R l i·u háa trong Ω v li¶n töc trong Ω ¯ , ta câ n¸u u ≤ h tr¶n ∂G th¼ u ≤ h tr¶n Ω. Ta câ ti¶u chu©n i·u háa d÷îi sau: º h m u nûa li¶n töc tr¶n trong mi·n G l i·u háa d÷îi trong G, c¦n v õ l vîi måi iºm z ∈ D, ∃r0 (z) > 0 sao cho 1 R2π u(z) ≤ u(z + reit )dt, vîi måi r < r0 . 2π 0 1.8. H m a i·u háa d÷îi [7] H m ϕ : G → [−∞, ∞) ÷ñc gåi l a i·u háa d÷îi trong mi·n G ⊂ Cn n¸u i) ϕ l h m nûa li¶n töc tr¶n tr¶n G sao cho ϕ 6= −∞ tr¶n méi th nh ph¦n li¶n thæng cõa G. ii) Vîi méi iºm a ∈ G, vîi måi b ∈ C, h m λ 7→ ϕ(a + λb) l i·u háa d÷îi ho°c çng nh§t b¬ng −∞ tr¶n méi th nh ph¦n li¶n thæng cõa tªp {λ ∈ C : a + λb ∈ G}. èi vîi khæng gian phùc , ta câ ành ngh¾a sau: 9
Gi£ sû X l mët khæng gian phùc. Mët h m a i·u háa d÷îi tr¶n X l h m ϕ : X → [−∞, ∞) thäa m¢n vîi måi x ∈ X , tçn t¤i l¥n cªn U cõa x sao cho câ ¡nh x¤ song ch¿nh h¼nh h : U → V, vîi V l mët khæng gian con phùc âng cõa mët mi·n G n o â trong Cn, v tçn t¤i mët h m i·u háa d÷îi ϕ˜ : G → [−∞, ∞) sao cho ϕ|U = ϕ˜0 h (xem [9]). Chó þ: i) ành ngh¾a tr¶n khæng phö thuëc v o vi»c chån b£n ç àa ph÷ìng . ii) Fornaess v Narasimhan ¢ chùng minh ÷ñc k¸t qu£ sau (Xem [5]): H m nûa li¶n töc tr¶n ϕ : X → [−∞, ∞) tr¶n khæng gian phùc X l a i·u háa d÷îi tr¶n X n¸u v ch¿ n¸u ϕ◦ f l i·u háa d÷îi ho°c çng nh§t b¬ng −∞ tr¶n D vîi måi f ∈ Hol(D, X). 10
Ch÷ìng 2 T½nh hyperbolic ¦y cõa mi·n Hartogs. Möc ½ch cõa ch÷ìng n y l nghi¶n cùu t½nh hyperbolic ¦y cõa mi·n Hartogs Ωϕ(X) = (z, w) ∈ X × C : |w| < e−ϕ(z) , cö thº l ch¿ ra mët lîp c¡c h m a i·u háa d÷îi ϕ m nhí â câ thº ÷a ra c¡c i·u ki»n c¦n v õ èi vîi t½nh hyperbolic ¦y cõa mi·n Ωϕ(X). Tr÷îc ti¶n, ta ch¿ ra mët i·u ki»n c¦n v õ cho t½nh hyperbolic cõa mi·n Hartogs Ωϕ(X). Ta câ m»nh · sau: M»nh · 2.1.[11]. Gi£ sû X l mët khæng gian phùc, ϕ : X → [−∞, ∞) l h m nûa li¶n töc tr¶n tr¶n X . Khi â Ωϕ (X) l hyperbolic n¸u v ch¿ n¸u X l hyperbolic v ϕ l bà ch°n àa ph÷ìng tr¶n X . Chùng minh. i·u ki»n c¦n: Gi£ sû Ωϕ(X) l hyperbolic. V¼ X ¯ng c§u vîi khæng gian con phùc âng {(x, 0); x ∈ X} cõa Ωϕ(X) n¶n X l hyper- bolic. Ta s³ chùng minh ϕ l bà ch°n àa ph÷ìng tr¶n X . Gi£ sû ng÷ñc l¤i, ϕ khæng bà ch°n àa ph÷ìng tr¶n X , th¸ th¼ tçn t¤i z0 ∈ X v mët d¢y {zk } hëi tö tîi z0 sao cho ϕ(zk ) → −∞. Cè ành mët iºm (z0 , w0 ) ∈ Ωϕ (X), w0 6= 0. Khæng m§t têng qu¡t, ta câ thº gi£ thi¸t r¬ng |w0 | < e−ϕ(z ) , ∀k > 1. k 11
Khi â ta câ: dΩϕ (X) ((z0 , 0)(z0 , w0 )) ≤ dΩϕ (X) ((z0 , 0)(zk , 0))+ dΩϕ (X) ((zk , 0)(zk , w0 )) + dΩϕ (X) ((zk , w0 )(zo , w0 )) ≤ dX (z0 , zk ) + dDk (0, w0 ) + dΩϕ (X) ((zk , wo ), (z0 , w0 )), ∀ k > 1, trong â Dk = {z ∈ C : |z| < e−ϕ(z )}. k Cho k d¦n tîi ∞, ta câ dΩ (X)((z0, 0)(z0, w0)) = 0. i·u n y m¥u thu¨n ϕ vîi t½nh hyperbolic cõa Ωϕ(X). Vªy ϕ l bà ch°n àa ph÷ìng tr¶n X . i·u ki»n õ: Ta x²t ph²p chi¸u π : Ωϕ(X) → X x¡c ành bði π(z, w) = z . L§y U l mët l¥n cªn hyperbolic cõa z0 trong X sao cho R = inf z∈U ϕ(z) > −∞. Ta d¹ th§y r¬ng π−1(U ) = Ωϕ(U ) ⊂ U × {w : |w| < e−R}, công l hyperbolic. Theo ành lþ Eastwood ([7], p.46), ta câ i·u ph£i chùng minh. Gi£ sû X l khæng gian phùc, ϕ : X → [−∞, ∞) l h m a i·u háa d÷îi tr¶n X . Ta câ m»nh · sau: M»nh · 2.2.[10]. N¸u Ωϕ(X) l hyperbolic ¦y th¼ X l hyperbolic ¦y, ϕ li¶n töc v ϕ(x) 6= −∞ vîi måi x. Chùng minh Gi£ sû Ωϕ(X) l hyperbolic ¦y . V¼ X ¯ng c§u vîi khæng gian con phùc âng {(x; 0); x ∈ X} cõa Ωϕ(X) n¶n X l hyperbolic ¦y . Gi£ sû tçn t¤i x0 ∈ X sao cho ϕ(x0) = −∞. D¹ th§y {x0 } × C ⊂ Ωϕ (X), tùc l Ωϕ (X) chùa ÷íng th¯ng phùc. Do vªy m¥u thu¨n vîi t½nh hyperbolic cõa Ωϕ(X). Vªy ϕ(X) 6= −∞ vîi måi x. Gi£ sû ϕ khæng li¶n töc t¤i iºm x0 ∈ X . Do ϕ l h m nûa li¶n töc tr¶n n¶n ta t¼m ÷ñc d¢y {zj } ⊂ X v sè thüc r sao cho {zj } → z0 v e−ϕ(z0 ) < r < e−ϕ(zJ ) , ∀j ≥ 1 (1) 12
Vîi méi j ≥ 1, ta ành ngh¾a ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh fj : D → Ωϕ(X) x¡c ành bði fj = (zj , rw), vîi méi w ∈ ∆. V¼ Ωϕ(X) l hyperbolic ¦y n¶n Ωϕ(X) l taut. Tø {fj (0)} → (z0, 0) ∈ Ωϕ(X) v tø t½nh taut cõa Ωϕ(X), khæng m§t têng qu¡t ta câ thº gi£ thi¸t d¢y {fj } hëi tö ·u tîi ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh f trong Hol(D; Ωϕ(X)), trong â f ∈ Hol(D; Ωϕ(X)) ÷ñc x¡c ành bði f (w) = (z0 , rw), ∀w ∈ D Tø â ta câ r.|w| < e−ϕ(z ), ∀w ∈ D. 0 Do vªy r ≤ e−ϕ(z ). i·u n y m¥u thu¨n vîi (1). 0 Vªy ϕ l h m li¶n töc tr¶n X . M»nh · ÷ñc chùng minh. Trong tr÷íng hñp ϕ : X → [−∞, ∞) l mët h m nûa li¶n töc tr¶n tr¶n X , ta câ i·u ki»n c¦n cho t½nh hyperbolic ¦y cõa mi·n Hartogs Ωϕ (X) nh÷ sau: ành lþ 2.3.[11]. Gi£ sû X l mët khæng gian phùc, ϕ : X → [−∞, ∞) l h m nûa li¶n töc tr¶n x¡c ành tr¶n X . N¸u Ωϕ(X) l hyperbolic ¦y, th¼ X l hyperbolic ¦y v ϕ l mët h m gi¡ trà thüc, a i·u háa d÷îi li¶n töc tr¶n X . Chùng minh. V¼ X l ¯ng c§u vîi mët khæng gian con phùc âng cõa Ωϕ(X) n¶n X l hyperbolic ¦y . Theo M»nh · 2.1 ta câ ϕ l h m gi¡ trà thüc. Ti¸p theo ta chùng minh ϕ l li¶n töc tr¶n X . Gi£ sû ϕ khæng li¶n töc tr¶n X th¼ tçn t¤i z0 ∈ X , mët d¢y {zj }j>1 ⊂ X v mët h¬ng sè r > 0 thäa m¢n: {zj } → z0 , e−ϕ(z ) < e−ϕ(z ) , ∀ j ≥ 1. 0 j (2) Vîi méi j ≥ 1, ta x¡c ành ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh fj : D → Ωϕ(X) x¡c ành bði fj (w) = (zj , rw). Rã r ng {fj (0)} → (z0, 0) ∈ Ωϕ(X). V¼ X l 13
hyperbolic ¦y n¶n X l taut, b¬ng c¡ch l§y d¢y con ta câ thº gi£ thi¸t r¬ng d¢y {fj } hëi tö ·u àa ph÷ìng tr¶n D tîi mët ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh f ∈ Hol(D, Ωϕ (X)). D¹ th§y f (w) = (z0, rw). i·u n y cho ta r|w| < e−ϕ(z ), ∀ w ∈ D, 0 v do â r ≤ e−ϕ(z ). 0 i·u n y m¥u thu¨n vîi (2). Vªy ϕ l li¶n töc tr¶n X . Cuèi còng ta chùng minh ϕ l h m a i·u háa d÷îi tr¶n X . Theo ành lþ cõa Fornaess v Narasimhan ÷ñc nâi ð tr¶n ta ch¿ c¦n chùng minh r¬ng ϕ ◦ g l i·u háa d÷îi vîi måi g ∈ Hol(D, X) ∩ (D, ¯ X). Ta x²t mi·n Hartogs nh÷ sau: Ωϕ◦g (D) = (z, w) : z ∈ D, |w| < e−(ϕ◦g) . Ta s³ chùng minh r¬ng Ωϕ◦g (D) l gi£ lçi. Gi£ sû ng÷ñc l¤i, s³ tçn t¤i mët d¢y {ϕj } trong Hol(D, Ωϕ◦g (D)) ∩ C(D, ¯ Ωϕ◦g (D)) thäa m¢n : ¯ ⊂ Ωϕ◦g (D), ∀n ≥ 1. i) ϕn (D) ii) {ϕn } hëi tö ·u tr¶n D¯ ¸n ϕ∗ sao cho ϕ∗ (∂D) ⊂ Ωϕ◦g (D). iii) ϕ∗ (D) 6⊂ Ωϕ◦g (D). °t ψ(λ, w) = (g(λ), w), ∀(λ, w) ∈ D × C. X²t d¢y c¡c ¡nh x¤ {ϕ˜n} x¡c ành bði ϕ˜n = ψ ◦ ϕn. Tø (i) v (ii) ta câ ∪ (ψ ◦ ϕ∗ )(∂D) ⊂⊂ Ωϕ (X). S n≥1 ϕ ˜n (∂D) V¼ vªy, ta câ thº t¼m ÷ñc mët tªp con mð compact t÷ìng èi U cõa Ωϕ (X) chùa n≥1 ϕ˜n (∂D) ∪ (ψ ◦ ϕ∗ )(∂D). Do â tçn t¤i n0 õ lîn S v z0 ∈ D õ g¦n ∂D sao cho ϕ˜n(z0) ∈ U vîi måi n ≥ n0. Ta °t: F = {f ∈ Hol(D, Ωϕ (X)) : f (z0 ) ∈ U }. 14
V¼ Ωϕ(X) l hyperbolic ¦y n¶n Ωϕ(X) l taut. Do vªy F l chu©n tc. V¼ khæng câ d¢y con trong F câ thº l ph¥n ký compact v ϕ˜n ∈ F, vîi måi n ≥ n0 n¶n ta câ ¡nh x¤ giîi h¤n ψ ◦ ϕ∗ thuëc F . °c bi»t ψ ◦ ϕ∗ ¡nh x¤ D v o Ωϕ(X), i·u n y m¥u thu¨n vîi (iii). V¼ vªy Ωϕ◦g (D) l gi£ lçi. Suy ra ϕ ◦ g l a i·u háa d÷îi. ành lþ ÷ñc chùng minh. º chùng minh k¸t qu£ ti¸p theo, ta nhc l¤i M»nh · sau: M»nh · 2.4.([7], p55). Cho X l mët khæng gian phùc, a ∈ X v c¡c sè d÷ìng ρ, ε . Khi â tçn t¤i h¬ng sè c > 1 sao cho vîi méi δ > 0, måi c°p iºm (p, q) thuëc h¼nh c¦u mð U (a, ρ) = {b ∈ X : dX (a, b) < ρ} câ thº ÷ñc nèi bði mët d¥y chuy·n β c¡c ¾a ch¿nh h¼nh câ ë d i l(β) < C(dX (p, q) + δ) n¬m trong U (a; 3ρ + ε). °t bi»t dU (a;3ρ+ε)(p, q) ≤ C.dX (p, q), ∀ p, q ∈ U (a; ρ). Chùng minh. L§y 0 < r < 1 l sè d÷ìng x¡c ành bði dD (0, r) = ε, v¼ vªy ¾a Dr = {z ∈ C, |z| < r} bªc k½nh r câ b¡n k½nh ε ùng vîi kho£ng c¡ch Poincar² dD . Ta chån C thäa m¢n dDr (0, x) ≤ C.dD (0, x) vîi x ∈ D . r 2 º chùng minh C thäa m¢n y¶u c¦u , ta nèi p, q ∈ U (a, ρ) bði mët d¥y chuy·n α c¡c ¾a ch¿nh h¼nh trong X câ ë d i l(α) < dX (p, q) + δ < 2ρ vîi δ õ nhä. V¼ ë d i cõa li¶n k¸t |α| b² hìn 2ρ n¶n |α| bà ch°n trong U (a, 3ρ). L§y fi : D → X l ¾a ch¿nh h¼nh thù i cõa d¥y chuy·n α bi¸n ai, bi ∈ D th nh pi−1, pi ∈ X . Khæng m§t têng qu¡t , ta câ thº gi£ thi¸t ai = 0 v |bi| < 2r . V¼ pi−1 ∈ U (a, 3ρ) n¶n fi(Dr ) ⊂ U (a, 3ρ + ε), v¼ vªy n¸u z ∈ Dr , th¼ dD (0, z) < ε v dX (pi−1 , fi (z)) = dX (fi (0), fi (z)) < ε. B¬ng c¡ch thu hµp ¾a ch¿nh h¼nh fi : D → X tr¶n Dr , ta câ d¥y chuy·n β l d¥y chuy·n nèi p v q n¬m trong U (a, 3ρ + ε) v l(β) ≤ C.l(α) < C.(dX (p, q) + δ). 15
V¼ δ tòy þ n¶n ta câ i·u ph£i chùng minh. H» qu£ 2.5.[2]. Gi£ sû X l mët khæng gian phùc , a ∈ X, ρ > 0. Khi â tçn t¤i h¬ng sè C > 0 sao cho vîi p, q ∈ U (a, ρ) = {b ∈ X : dX (a, b) < ρ} ta câ dU (a,4ρ)(p, q) ≤ C.dX (p, q). ành lþ 2.6.[11]. Gi£ sû X l mët khæng gian phùc hyperbolic, ϕ l mët h m a i·u háa d÷îi li¶n töc, gi¡ trà thüc tr¶n X thäa m¢n t½nh ch§t sau: Vîi méi iºm bi¶n (z0, w0) cõa Ωϕ(X) vîi z0 ∈ X , tçn t¤i mët l¥n cªn V cõa z0 trong X v mët ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh f tø Ωϕ(X) v o khæng gian hyperbolic ¦y Y sao cho d¢y f (zn, wn) khæng l compact t÷ìng èi trong Y vîi b§t ký d¢y {(zn, wn)} hëi tö tîi (z, w). Khi â Ωϕ(X) l hyperbolic ¦y. Chùng minh : Theo M»nh · 2.1, Ωϕ(X) l hyperbolic. Chóng ta ph£i chùng minh r¬ng Ωϕ(X) l hyperbolic ¦y. Ta gi£ thi¸t r¬ng tçn t¤i mët d¢y Cauchy {pk }k≥1 = {(zk , wk )}k≥1 trong Ωϕ(X) sao cho {pk } khæng hëi tö tîi b§t ký iºm n o trong Ωϕ(X). Theo t½nh ch§t gi£m kho£ng c¡ch, {zk } l mët d¢y Cauchy trong X . V¼ X l hyperbolic ¦y n¶n d¢y n y hëi tö tîi z0 ∈ X . Gi£ sû U l mët l¥n cªn compact t÷ìng èi cõa z0 ∈ X . B¬ng c¡ch l§y mët d¢y con n¸u c¦n thi¸t , ta câ thº gi£ thi¸t r¬ng {zk }k≥1 ⊂ U . Tø â suy ra {(zk , wk )}k≥1 ⊂ U × ∆ ⊂ U × C, trong â ∆ l ¾a {w : |w| < e− inf ϕ(z) }. B¬ng c¡ch l§y mët d¢y con n¸u c¦n thi¸t, ta câ z∈U thº gi£ sû r¬ng d¢y {pk }k≥1 hëi tö tîi iºm trong ∂(Ωϕ(X)). Tø gi£ thi¸t, ta câ thº l§y mët l¥n cªn V cõa z0 trong X , mët h m ch¿nh h¼nh f trong π−1(V ) v mët khæng gian hyperbolic ¦y Y thäa m¢n c¡c i·u ki»n ¢ cho. L§y 0 < ρ < 51 inf{dX (z0, x) :∈ X\V }, v N 16