Luận văn Thạc sĩ Toán học: Xây dựng trực tiếp hàm Tor

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:58

Thêm vào BST

Báo xấu

8
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài được thực hiện nhằm mục đích nghiên cứu cách xây dựng hàm tử Tor trực tiếp. Sau quá trình xây dựng, tác giả sẽ chứng minh hàm tử Tor được xây dựng trực tiếp và hàm tử Tor được xây dựng gián tiếp thông qua phép giải xạ ảnh là tương đương đồng luân với nhau.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Xây dựng trực tiếp hàm Tor

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phan Lê Thanh Quang XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM TOR LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phan Lê Thanh Quang XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM TOR Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng chúng tôi, nội dung được nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kì một công trình nào khác HỌC VIÊN PHAN LÊ THANH QUANG 1
MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ...................................................................................................................... 1 LỜI NÓI ĐẦU............................................................................................................................ 3 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ...................................................................................... 5 §1. PHỨC VÀ ĐỒNG ĐIỀU ................................................................................................. 5 §2. HÀM TỬ TENXO .......................................................................................................... 14 §3. PHÉP GIẢI XẠ ẢNH VÀ HÀM TỬ TOR .................................................................. 19 Chương 2: XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM TỬ TOR ........................................................ 24 §1. MODUN ĐỐI NGẪU..................................................................................................... 24 §2. XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM TỬ TOR ................................................................. 31 §3. SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA XÂY DỰNG TRỰC TIẾP TOR VÀ XÂY DỰNG NHỜ PHÉP GIẢI XẠ ẢNH .......................................................................................................... 46 KẾT LUẬN .............................................................................................................................. 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................................................... 56 2
LỜI NÓI ĐẦU Đồng điều là công cụ dùng để đo mức độ không khớp của một dãy nửa khớp Các hàm tử Hom và Tenxo là các hàm tử nửa khớp. Để đo mức độ không khớp của các hàm tử này so với một hàm tử khớp, người ta xây dựng các hàm tử dẫn xuất tương ứng là Tor (hàm tử xoắn ) và Ext (hàm tử mở rộng ). Các hàm tử này ngày nay đã trở thành những công cụ trụ cột của nhiều lĩnh vực nghiên cứu trong Hình học, Topo, Đại số, Lý thuyết số… Qua quá trình nghiên cứu tại trường Đại học Sư Phạm TPHCM, tôi tiếp cận với phương pháp xây dựng hàm tử Tor thông qua phép giải xạ ảnh. Câu hỏi đặt ra ở đây: Ngoài cách xây dựng hàm tử Tor như đã nói trên, thì hàm tử Tor còn có thể xây dựng bằng phương pháp nào khác không? Điều đó dẫn đến lý do khiến chúng tôi thực hiện đề tài này. Đề tài được thực hiện nhằm mục đích nghiên cứu cách xây dựng hàm tử Tor trực tiếp. Sau quá trình xây dựng, chúng tôi sẽ chứng minh hàm tử Tor được xây dựng trực tiếp và hàm tử Tor được xây dựng gián tiếp thông qua phép giải xạ ảnh là tương đương đồng luân với nhau. Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được trình bày trong 2 chương: Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ bản về phức, đồng điều, hàm tử tenxo và phép giải xạ ảnh. Qua đó, xây dựng hàm tử Tor thông qua phép giải xạ ảnh. Chương 2: Xây dựng trực tiếp hàm tử Tor bằng các phân hoạch bộ ba, trình bày một số tính chất và định lý liên quan. Cuối cùng, trong chương này, ta sẽ trình bày định lý về sự tương đương giữa hai cách xây dựng. 3
Luận văn này được trình bày dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Trần Huyên, người thầy đã hướng dẫn tận tình, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Trần Huyên. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy cô là giảng viên đã giảng dạy, chỉ bảo tôi trong suốt quá trình nghiên cứu, đã đặt những nền móng kiến thức vô cùng quý báu với tôi. Tôi xin cảm ơn với Ban giám hiệu, các thầy cô công tác tại phòng sau đại học trường đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. 4
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1. PHỨC VÀ ĐỒNG ĐIỀU 1.1 Phức Cho R là một vành giao hoán có đơn vị. Định nghĩa 1.1.1: Phức dưới (phức lùi) là một dãy các modun và đồng cấu modun được đánh số lùi theo tập chỉ số các số nguyên có dạng: K :  n1  K n 1  n K n   n1  K n 1  n (1) thỏa  n  n1  0 n , tức là Im  n1  Ker n n . Để ngắn gọn ta có thể bỏ chỉ số của các đồng cấu modun trong dãy (1) và viết đơn giản: K :   K n 1    K n    K n 1   n và   0 n , tức là Im   Ker n . Định nghĩa 1.1.2: Phức trên (phức tiến ) là một dãy các modun và đồng cấu modun được đánh số tiến theo tập chỉ số các số nguyên có dạng: K :  n1  K n 1  n K n   n1  K n 1  n (2) thỏa  n1 n  0 n , tức là Im  n  Ker n1 n . Để ngắn gọn ta có thể bỏ chỉ số của các đồng cấu modun trong dãy (2) và viết đơn giản K :   K n 1    K n    K n 1   n và   0 n , tức là Im   Ker n . 5
Như vậy một phức các đồng cấu là một dãy nửa khớp được đánh số theo tập số nguyên. Nếu phức có chiều tăng các chỉ số cùng chiều với chiều đồng cấu thì ta gọi đó là phức tiến. Ngược lại, nếu phức có chiều tăng các chỉ số ngược chiều với chiều các đồng cấu thì ta gọi đó là phức lùi. Ta có thể chuyển phức tiến thành phức lùi và ngược lại bằng cách đặt lại chỉ số n '  n . Thật vậy, ta xét dãy phức tiến sau: K :  n1  K n 1  n K n   n1  K n 1  n Bằng cách đặt Kn  L n và  n   ' n , khi đó ta được dãy phức lùi:  L :   n1  n   n1 ' ' '  L n1   L n  L n1   n Trong luận văn này, chúng ta chỉ tập trung vào phức lùi. Vì thế, khi nói phức K hay phức K   K n ,  n  ta ngầm hiểu đây là phức lùi. 1.2 Biến đổi dây chuyền Cho hai phức K   K n ,  n  và K '  K n' ,  'n  . Khi đó, ta có định nghĩa Định nghĩa 1.2.1: Một biến đổi dây chuyền f : K  K ' là một họ các đồng cấu f n : K n  K n'  thỏa mãn đẳng thức  'n f n  f n 1 n với mọi số nguyên n . Điều kiện đó đồng nghĩa với biểu đồ sau đây giao hoán:  K  : ... K n 1  n1  Kn n    n1 K n 1  ... f n 1  fn  f n 1   K ' :... K n' 1  n1  ' K n' n  '   n1 ' K n' 1  ... Để đơn giản, chúng ta thường lược bỏ phần chỉ số. Tuy vậy, khi gặp mỗi hệ thức đồng cấu, ta phải ngầm hiểu rằng đó là đồng cấu với chỉ số nào. 6
Mệnh đề 1.2.2: Ta có một số tính chất sau:  Tích đồng cấu của 2 biến đổi dây chuyền cũng là một biến đổi dây chuyền.  Đồng cấu đồng nhất 1K  1K : Kn  Kn  cũng là một biến đổi dây chuyền. n 1.3 Phạm trù các phức Với các phức và các biến đổi dây chuyền được định nghĩa như trên, ta định nghĩa được phạm trù các phức như sau. Định nghĩa : Phạm trù các phức là phạm trù mà trong đó:  Vật là các phức.  Cấu xạ là các biến đổi dây chuyền.  Phép hợp thành: là phép hợp 2 đồng cấu. 1.4. Đồng điều Cho phức K , ta định nghĩa Z n  K   ker  n  K n và Bn  K   Im  n 1  Z n ( K ) Định nghĩa: Zn  K  Ker  n Ta đặt H n  K    Bn  K  Im  n 1 Khi đó, ta gọi H n  K  là modun đồng điều chiều n của phức K . Mỗi phần tử trong H n  K  là một lớp tương đương có dạng x  x  Im  n 1 trong đó x  Ker n Cho 2 phức K  K n ,  n  , K '  K n' ,  'n  và f : K  K ' là một biến đổi dây chuyền Xét sơ đồ sau : 7
Theo định nghĩa của biến đổi dây chuyền thì biểu đồ trên giao hoán. Do đó, f n  Ker  n   Ker  'n và f n  Im  n 1   Im  'n 1 . Vì thế, f n cảm sinh đồng cấu với mỗi n  : f*  H n  f  : H n  K   H n  K '  Với mỗi phần tử x  Im   H n  K  , ảnh của chúng qua đồng cấu trên được xác định như sau f*  x  Im    H n  x  Im    f  x   Im  ' Ta dễ dàng chứng minh được đồng cấu được cảm sinh bởi f n có các tính chất sau:  H n 1K   1Hn  K   H n  gf   H n  g  .H n  f  Như vậy, H n là một hàm tử hiệp biến từ phạm trù các phức và các biến đổi dây chuyền đến phạm trù các modun. Mỗi phức K ứng với modun đồng điều H n  K  và mỗi biến đổi dây chuyền f thì ứng với đồng cấu modun H n  f  . Hàm tử này ta gọi là hàm tử đồng điều. 1.5 Đồng luân dây chuyền Bây giờ, ta xét 2 biến đổi dây chuyền f , g : K  K ' . 8
Định nghĩa 1.5.1: Họ các đồng cấu s  sn : Kn  K n' 1 được gọi là đồng luân dây chuyền của s f,g (ký hiệu: f g hay s: f g) nếu nó thỏa điều kiện sau:  'n 1sn  sn 1 n  f n  g n Thông thường, để đơn giản, người ta thường bỏ các chỉ số như sau: s  s  f  g Tuy nhiên, khi đọc vào hệ thức ta phải hiểu được nó ứng với đồng cấu nào trong sơ đồ. Mệnh đề 1.5.2: Một số tính chất của đồng luân dây chuyền: - Quan hệ đồng luân là một quan hệ tương đương (nghĩa là quan hệ đồng luân có tính phản xạ, đối xứng và bắc cầu). - Quan hệ đồng luân bảo toàn qua phép nhân ánh xạ (nghĩa là nếu f , g : K  K' và f ', g ' : K '  K '' , đồng thời f g, f ' g' thì khi đó f'f g 'g : K  K'' ) . - Quan hệ đồng luân bảo toàn hàm tử đồng điều (nghĩa là nếu f g thì H n  f   H n  g  : H n  K   H n  K '  ). 9
Định nghĩa 1.5.3: Cho f : K  K ' là ánh xạ dây chuyền. Khi đó, ta nói f là tương đương  gf 1K đồng luân nếu tồn tại ánh xạ dây chuyền g : K '  K sao cho   fg 1K ' Mệnh đề 1.5.4: Nếu f : K  K ' là tương đương đồng luân thì f* : H n  K   H n  K ' là đẳng cấu. 1.6 Dãy đồng điều khớp Định nghĩa 1.6.1: Dãy các modun và các đồng cấu modun A  f  B  g  C được gọi là khớp tại B nếu ảnh của đồng cấu vào bằng với hạt nhân của đồng cấu ra (tức là Imf  Kerg ). Một dãy các modun được gọi là khớp nếu nó khớp tại mọi modun trong dãy. Bổ đề 1.6.2: Cho dãy khớp ngắn các phức 0   A  f  B  g  C  0 Khi đó: H n  A   f*  H n  B   g*  H n C  (3) khớp tại H n  B  , n . Chứng minh: Ta cần chứng minh Im f*  Kerg* Ta có: g* f*   gf *  0*  0 . Suy ra Im f*  Kerg* 10
Như vậy chỉ cần chứng minh Im f*  Kerg* . Thật vậy, ta lấy b  Kerg* suy ra g  b   0  g  b   Im   c  C : g  b     c  . Do c  C và g toàn cấu nên b '  B : c  g  b ' . Từ đó suy ra g  b     g  b '   g    b '   g  b    b '   0  b    b '  Kerg  Im f . Do đó a  A : b    b '   f  a  . Ta chứng minh a  H n  A . Ta có f   a   f  a     b    b '     b     b '  0 . Vì f đơn cấu nên   a   0 . Nên a  H n  A  Ta có: f* a  f  a   b    b '  b  b  Im f*  Kerg*  Im f* Vây Kerg*  Im f* nên (3) khớp tại H n  B  , n Bổ đề 1.6.3: Cho dãy khớp ngắn các phức 0   A  f  B  g  C  0 Ta định nghĩa  n : H n  C    H n 1  A  c   n c  f 1g 1  c  Khi đó, ta có dãy sau : ...H n1  C    n 1   H n  A  f*  H n  B   g*  H n C   n  H n1  A   H n1  B  ...(4) khớp tại H n  C  , n Chứng minh: Ta cần chứng minh các điều sau:   n là đồng cấu  Dãy (4) khớp tại H n  C  11
i/Ta lấy c  Ker , b  g 1  c  ta có : g   b   g  b     c   0    b   Kerg  Im f Nên f 1  b  tồn tại. Do đó f 1g 1  c  tồn tại. ii/Ta chứng minh f 1g 1  c  lấy lớp được, tức là chứng minh f 1g 1  c   ker  Ta có: f f 1g 1  c   ff 1g 1  c   g 1  c   0 . Vì f đơn cấu nên f 1g 1  c   0  f 1g 1  c   Ker . Nên f 1g 1  c  lấy lớp được. iii/Ta chứng minh tồn tại duy nhất f 1g 1  c  Nếu có b1 , b2 : g  b1   g  b2   c , ta chứng minh f 1  b1   f 1  b2  Ta có : g  b1   g  b2   g  b1  b2   0  b1  b2  Kerg  Im f  a : b1  b2  f  a  Vì f 1  b1  b2   f 1f  a   f 1 f   a     a  nên : f 1  b1   f 1  b2   0  f 1  b1   f 1  b2  iv/ Hiễn nhiên  n là đồng cấu. v/ Chứng minh dãy (3) khớp tại H n  C  với mọi n  Lấy b  H n  B  . Ta có:  n g* b   n g  b   f 1g 1 g  b   f 1  b  =0 Do đó Im g*  Ker n . Ta cần chứng minh chiều ngược lại Im g*  Ker n  Lấy c  Ker n   n c  0  f 1g 1  c   0  f 1g 1  c   Im  . Nên a  A : f 1g 1  c     a   g 1  c   f   a   f  a     g 1  c   f  a    0 12
Đặt b  g 1  c   f  a  . Khi đó : g*  b   g*  g 1  c   f  a    gg 1  c   gf  a   c Từ đó suy ra Im g*  Ker n nên Im g*  Ker n Vậy dãy (4) khớp tại H n  C  với mọi n. Định lý 1.6.4: Dãy (4) trong bổ đề 1.6.3 là 1 dãy khớp dài. Chứng minh: Theo bổ đề 1.6.2, ta có dãy (4) đã khớp tại H n  B  , n . Theo bổ đề 1.6.3, ta có dãy (4) đã khớp tại H n  C  , n . Như vậy, ta chỉ cần chứng minh dãy (4) khớp tại H n  A  với mọi n. Thật vậy, ta chỉ cần chứng minh Im  n1  Kerf*    Lấy c  H n1  C  , ta có: f* n1 c  f* f 1g 1  c   ff 1g 1  c   g 1  c   0 Do đó Im  n1  Kerf* Lấy a  Kerf*  H n  A , suy ra: f  a   0  f  a   Im    b  B : f  a     b  Đặt c  g  b  . Khi đó, g  b  lấy lớp được, tức là c  H n1  C  (Vì   c     g  b    g  b   gf  a   0 )  Ta có  n1 c  f 1g 1 g  b   f 1  b   f 1 f  a   a . Suy ra a  Im  n1  Kerf*  Im  n1 . Vậy Im  n1  Kerf* nên (4) khớp tại H n  A  với mọi n. Từ đó dẫn đến (4) là dãy khớp dài. Ta gọi dãy (4) là dãy đồng điều khớp. 13
§2. HÀM TỬ TENXO 2.1 Hàm tử Định nghĩa 2.1.1: Hàm tử F là một quy luật,tương ứng với mỗi vật A trong phạm trù với một vật F  A  trong phạm trù , và tương ứng mỗi cấu xạ  : A  B trong phạm trù với một cấu xạ F   : F  A   F  B  trong phạm trù . Đồng thời, thỏa mãn hai điều kiện sau: HT1: Với mỗi vật A trong phạm trù , ta có: F 1A   1F  A HT2: Với hai cấu xạ  : A  B và  : B  C , ta có F     F    F   Hàm tử F được định nghĩa như trên, ta gọi là hàm tử hiệp biến để phân biệt với hàm tử phản biến ( hay còn gọi là phản hàm tử ) được định nghĩa như dưới đây: Định nghĩa 2.1.2: Phản hàm tử F là một quy luật,tương ứng với mỗi vật A trong phạm trù với một vật F  A  trong phạm trù , và tương ứng mỗi cấu xạ  : A  B trong phạm trù với một cấu xạ F   : F  B   F  A  trong phạm trù . Đồng thời, thỏa mãn hai điều kiện sau: HT1: Với mỗi vật A trong phạm trù , ta có: F 1A   1F  A HT2: Với hai cấu xạ  : A  B và  : B  C , ta có F     F   F    2.2 Tích tenxo của 2 modun: Cho X là R  modun phải và Y là R  modun trái Định nghĩa 2.2.1: 14
Tích tenxo của 2 modun X và Y là nhóm abel K sao cho tồn tại 1 ánh xạ song tuyến tính  : X  Y  K thỏa mãn điều kiện sau: với mỗi ánh xạ song tuyến tính  : X  Y  G thì luôn tồn tại duy nhất một đồng cấu f : K  G và f    . Ta ký hiệu tích tenxo của X và Y là X  Y . Ánh xạ  : X  Y  K trong định nghĩa trên còn được gọi là ánh xạ tenxo Như vậy theo định nghĩa, ta có biểu đồ sau đây giao hoán Định lý 2.2.2: Tích tenxo của 2 modun X và Y là X  Y luôn tồn tại và duy nhất (sai khác 1 đẳng cấu ) . Định lý 2.2.3: Cho họ  X i iI là họ các R  modun phải và họ Yi iI là họ các R  modun trái. Khi đó ta có đẳng cấu sau:  X   Y     X  Y  iI i iI i iI i i 2.3 Tích tenxo của 2 đồng cấu: Cho f : K R  X R là một R  modun phải và g : R L  RY là một R  modun trái. Theo định lý 2.2.2, tích tenxo K  L, X  Y luôn tồn tại. Vì thế tồn tại ánh xạ tenxo 1 : K  L  K  L và ánh xạ tenxo  2 : X  Y  X  Y Ta có sơ đồ sau: 15
 KL   X Y 1   2 K L  h  X Y Trong đó  là ánh xạ song tuyến tính được xác định theo công thức sau:   k , l    f  k  , g  l   ,   k ,l   K  L Dễ thấy  2 : K  L  X  Y là ánh xạ song tuyến tính, vì thế theo tính chất phổ dụng của ánh xạ tenxo 1 thì tồn tại duy nhất 1 ánh xạ h : K L  X Y sao cho h1   2 . Ánh xạ h được xây dựng như trên được gọi là tích tenxo của 2 đồng cấu f và g . Ta ký hiệu h  f  g Định lý: Một số tính chất của tích tenxo 2 đồng cấu. i. Tích tenxo của 2 đồng cấu đồng nhất là 1 đồng cấu đồng nhất ii. Nếu A  f  B  f' C là các đồng cấu R- modun phải và D  g  E  g'  F là các đồng cấu R- modun trái thì:  f ' f    g ' g    f ' g ' f  g iii. Tích tenxo của 2 toàn cấu cũng là một toàn cấu 2.4 Hàm tử tenxo: Cho G là R-modun phải, ta xây dựng hàm tử  G1  G   : R Mod  Ab như sau:  Đặt tương ứng mỗi mỗi R-modun trái X với nhóm abel G  X . 16
 Đặt tương ứng mỗi đồng cấu f : X  Y với đồng cấu nhóm 1G  f : G  X  G  Y . Với cách xây như vậy, và theo các tính chất của tích tenxo, ta có:  Với mỗi R-modun trái X,  G1 1X   1G 1X  1G X .  Với mỗi đồng cấu modun f , g sao cho tích gf tồn tại thì  G1  gf   1G  gf  1G  g 1G  f    G1  g  G1  f  Như vậy, theo định nghĩa hàm tử,  G1  G   là hàm tử hiệp biến. Tương tự cách xây dựng trên ta hoàn toàn có thể xây dựng được một hàm tử  C2 :   C : Mod R  Ab với C là một R- modun trái xác định trước. Định lý 2.4.1: Các hàm tử  G    và    C  là các hàm tử khớp về bên phải. Nghĩa là, nếu 0  M  N  P  0 là dãy khớp thì 2 dãy GM GN GP 0 M C  N C  P C  0 cũng khớp. Định lý 2.4.2: Các hàm tử  G    và    C  bảo toàn tính khớp – chẻ đối với các dãy khớp ngắn và chẻ. 17
Định nghĩa 2.4.3: Modun dẹt phải G là một R-modun phải sao cho hàm tử  G    là hàm tử khớp. Nghĩa là, nếu dãy 0M  N P 0 khớp thì dãy 0  G  M  G  N  G  P  0 cũng khớp. Định nghĩa 2.4.4: Modun dẹt trái C là một R-modun trái sao cho hàm tử    C  là hàm tử khớp. Nghĩa là, nếu dãy 0M  N P 0 khớp thì dãy 0  M  C  N  C  P  C  0 cũng khớp. Định lý 2.4.5: Vành hệ tử R cũng có thể xem như là một modun trên chính nó. Hơn nữa, modun R còn là một modun dẹt, nghĩa là R vừa là modun dẹt trái, vừa là modun dẹt phải. 18