Luận văn tốt nghiệp Vật lý: Hệ thống hóa các bài tập phương pháp gần đúng trong Cơ học lượng tử

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:103

Thêm vào BST

Báo xấu

167
lượt xem 49
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn tốt nghiệp Vật lý: Hệ thống hóa các bài tập phương pháp gần đúng trong Cơ học lượng tử đưa ra cơ sở lý thuyết, hệ thống bài tập và hướng phát triển cho việc hệ thống hóa các bài tập phương pháp gần đúng trong Cơ học lượng tử. Mời các bạn tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn tốt nghiệp Vật lý: Hệ thống hóa các bài tập phương pháp gần đúng trong Cơ học lượng tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ  ĐỀ TÀI: GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Võ Mạnh Hùng Thaønh Phoá Hoà Chí Minh 2008
LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện luận văn, em đã nhận được nhiều sự quan tâm, động viên, giúp đở của quý thầy cô, gia đình và bạn bè. Xin cho phép em được bày tỏ lòng biết ơn đến: TS. Nguyễn Văn Hoa, người thầy đã định hướng, tận tình chỉ bảo và tạo cho em lòng tự tin trong thời gian thực hiện luận văn. Người thầy đã truyền cho em sự say mê trong nghiên cứu khoa học, trực tiếp hướng dẫn, dìu dắt em thực hiện những bước đi đúng đắn trong tiến trình làm luận văn. Quý thầy, cô trong khoa Vật Lý trường đại học sư phạm Tp. HCM đã truyền đạt cho em những kiến thức, kỹ năng và phương pháp sư phạm tạo nền tảng cho tương lai nghề nghiệp. Đặc biệt TS. Thái Khắc Định trưởng khoa Vật Lý, đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt luận văn. Các bạn lớp lý K30, đặc biệt là bạn Đỗ Thùy Linh đã luôn sát cánh, động viên và giúp đỡ mình trong những giai đoạn khó khăn nhất của việc thực hiện luận văn. Xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến ba mẹ và gia đình đã luôn ủng hộ, tạo mọi điều kiện tốt nhất cho con hoàn thành luận văn. Tp. HCM: Ngày 10 tháng 05 năm 2008. Võ Mạnh Hùng
PHẦN MỞ ĐẦU: 1. Lý do chọn đề tài: Một hệ lượng được đặc trưng bởi Halmitonien H . Đòi hỏi xác định hàm riêng và trị riêng của toán tử Hamilton H đó. Thực ra bài toán tìm trị riêng và hàm riêng của một toán tử là vô cùng phức tạp và có thể giải chính xác với một số trường hợp rất đơn giản như “Hố thế”, “dao động tử điều hòa”, “nguyên tử Hidro” hoặc các “ion tượng tự hidro”… Nhưng bên cạnh đó, cơ học lượng tử còn có rất nhiều những hệ lượng tử phức tạp mà ta không thể giải chính xác một cách hoàn toàn. Chính vì vậy, phương pháp gần đúng được đưa vào sử dụng nhằm giải quyết vấn đề trên. Trong lý thuyết có nhiều phương pháp gần đúng nhưng trên thực tế và giới hạn chương trình hai phương pháp gần đúng được sử dụng phổ biến và áp dụng nhiều cho nhiều dạng bài toán là: Phương pháp sử dụng lý thuyết nhiễu loạn và phương pháp biến phân. 2. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu: Luận văn nghiên cứu hai phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử: Phương pháp sử dụng lý thuyết nhiễu loạn và phương pháp biến phân. Mỗi phương pháp bao gồm một hệ thống bài tập được phân loại, sắp xếp theo mức độ và giải một cách chi tiết. Phương pháp nghiên cứu: Phân tích nội dung chương trình (lý thuyết nhiễu loạn và phương pháp biến phân); Thực hành giải bài tập và phân loại bài tập. 3. Cấu trúc luận văn: Phần mở đầu: Chương I: Cơ sở lý thuyết. Chương II: Hệ thống bài tập. Kết luận_Hướng phát triển.
Chương I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT [2],[8] I.1. LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN I.1.1. Công thức tổng quát của lý thuyết nhiễu loạn dừng. Hamiltonien: H  H0  V Với: H 0 : Toán tử Hamilton khi không có nhiễu loạn. V : Toán tử nhiễu loạn. Phương trình Schrodinger: H   E  : Khi nhiễu loạn. (1) H 0  n(0)  En(0)  n(0) : Khi không nhiễu loạn. (2) Khai triển:  ( x) theo  n(0) ( x)  ( x)   Cn n(0) ( x) (3) n Thay (3) vào (1): H  Cn n(0) ( x)  E  Cn n(0) ( x) (4) n n (0)* Nhân vào bên trái của (4) với  n ( x) và lấy tích phân theo x: H  H mn Cn  ECm (5) n Trong đó Hmn là phần tử ma trận trận của toán tử H trong “ E0 ”_biểu diễn.   H mn   m0 H  m0 dx   m0 H 0  V  m0 dx * *   m0 H 0  m0 dx   m0 V  m0 dx  En0 mn  Vmn * *  H mn  En0 mn  Vmn (6) Trong đó Vmn là phần tử ma trận của năng lượng nhiễu loạn trong “ E ” biểu diễn. 0 Vmn   m0 V  m0 dx * (7) Thay (6) vào (5) ta được: H   En0 mn  Vmn  Cn  ECm n   Em0  Vmn  E  Cm   Vmn Cn  0 (8) m n Để biểu thị độ nhỏ của V ta đặt: V  w (9)  là một tham số đặc trưng cho độ nhỏ của năng lượng nhiễu loạn. [2],[8]: Tài liệu tham khảo số 2, số 8
Thay (9) vào (8):  Em0   wmn  E  Cm    Vmn Cn  0 (10) mn Phương trình (10) chính là phương trình tổng quát của lý thuyết nhiễu loạn dừng. I.1.2. Nhiễu loạn khi không có suy biến. Từ công thức (10) ta khai triển Cm và E dưới dạng chuổi: Cm  Cm(0)   Cm(1)   2Cm(2)  ... (11) E  E (0)   E (1)   2 E (2)  ... Các số hạng Cm(0) , Cm(1) ...; E (0) , E (1) ... tương ứng với các bổ chính của hàm sóng và và năng lượng trong gần đúng bậc 1, bậc 2… Thay (11) vào (10) và tập hợp các số hạng cùng bậc của lũy thừa  , ta có:    Em0  E 0  Cm(0)     w mn  E (1)  Cm(0)   Em0  E 0  Cm(1)   w mnCn(0)   m n     (12)  2   w mn  E (1)  Cm(1)  E (2)Cm(0)   Em0  E 0  Cm(2)   w mnCn(1)   m n      3   w mn  E (1)  Cm(2)  E (3)Cm(0)  E (2)Cm(1)   Em0  E 0  Cm(3)   w mn Cn(1)  ...  0  mn   Phép gần đúng bậc không: Với   0 , phương trình (12):  Em0  E 0  Cm(0)  0, m = 1,2,3,..k,...  E 0  Em0 , C(0) m   mk (13) Ta quan tâm đến mức năng lượng E và hàm sóng  0 k 0 k E 0  Ek0 , C(0) k 1 (14) Nghiệm (14) được gọi là nghiệm gần đúng bậc không. (không nhiễu loạn)  Phép gần đúng bậc nhất: Thay (13) vào (12) và bỏ qua các số hạng có chứa bậc cao hơn  2 :  w mn  Ek(1)   mk   Em0  E 0  Cm(1)   w mn nk  0 (15) m n Lấy phương trình thứ m = k trong các phương trình (15), ta tìm được bổ chính bậc nhất cho năng lượng: w kk  Ek(1)  0  Ek(1)  w kk  k V k : (16) Lấy phương trình thứ m  k trong các phương trình (15) ta sẽ tìm được số hạng bổ chính bậc nhất đối với hàm sóng.
 Em  E  Cm  w mk  0 0 0 (1) Từ đây ta tìm được bổ chính bậc nhất cho hàm sóng: w mk Cm(1)  (17) Ek 0  Em0  Phép gần đúng bậc 2: Thay (16) và (17) vào phương trình (12) và bỏ qua các số hạng chứa bậc  3 trở lên:    w nk w nk    w mn  w kk  (0) 2  E  nk   Em  E  Cm   w mn (0) (2)  0 0  (2) (0)  0 (18)  Ek  Em (0) m n Ek  Em   n k  Lấy phương trình thứ m = k trong (18): w nk  Ek(2)   w kn 0 nk E  En(0) (0) k Ta tìm được bổ chính bậc 2 cho năng lượng: w kn w nk Ek(2)   0 (19) nk Ek(0)  En(0) Lấy phương trình m  k trong (18) và thế giá trị của Ek(2) vào: w nk w  w mn  w kk   E (2) nk   Em0  E 0  Cm(2)   w mn (0) nk (0)  0 (20) E  Em (0) k (0) m n Ek  En nk w mm w mk Bây giờ ta gộp số hạng vào trong tổng, khi đó: Ek(0)  Em(0) w nk w w w w n mn E  Em (0) (0)  (0)mm mk(0)   w mn (0) nk (0)  0 Ek  Em m n Ek  En (21) k nk nk Phương trình (20) trở thành: w nk w  w kk   Em0  E 0  Cm(2)   w mn (0) nk (0)  0 (22) E  Em (0) k (0) n Ek  Em nk Từ đây suy ra C : (2) m w w  Em0  E 0  Cm(2)  w kk (0) nk (0)   w mn (0) nk (0) Ek  Em n Ek  Em nk   1  w nk w nk  C (2)  0 w kk (0)   w mn (0) m  Em  Ek   0  Ek  Em (0) n nk Ek  Em (0)   1 w kk w nk w w 1  Cm(2)    (0)mn nk(0) 0  E  Ek  Ek  Em n Ek  Em  Em  E 0  0 m 0 (0) (0) nk Từ đây ta tìm được số hạng bổ chính bậc hai cho hàm sóng:
w kk w nk w mn w nk 1 Cm(2)    ; m  k, n  k (23) E 0 m E 0 2 k  n nk  Ek  En   Ek  Em0  0 0 0 Một cách hoàn toàn tương tự, ta có thể tính được bổ chính bậc ba và các bậc cao hơn. I.1.3. Nhiễu loạn khi có suy biến. Đa số các bài toán của lý thuyết nhiễu loạn là trường hợp suy biến, tức ứng với một mức năng lượng có nhiều trạng thái. Phương trình (3) được đặt lại:  ( x)   Cn n(0)  ( x) n , Phương trình (8) được viết lại:  Em0  Vm ,n  E  Cm   Vm ,n Cn  0 (24) mn Trong đó: Vm ,n   m0  V n0 dx * (25) Là phần tử ma trận của năng lượng nhiễu loạn. Từ (24) ta có: Nghiệm bậc không ứng với hàm sóng mức k. Ck  C k0 ( 0),   1, 2,..., f  (26) Cn  0 (n  k ) Thay (22) vào (20) và lấy phương trình thứ m = k.  Ek0  Vk  ,k   E  C(0)   V Ck0  0   fk   Ek0  V  E  C(0)   V C0  0 (27)   Phương trình (23) tương đương với một hệ phương trình bâc nhất đối với C(0) :  Ek0  V11  E  C10  V12C2(0)  ...  V1 f  0  k V21C1   Ek  V22  E  C2  ...  V2 f  0 0 0 (0)  k . (28) .   k k  V f 1C10  V f 2C2(0)  ...  Ek0  V f f  E C (0) k k fk  0 Hệ phương trình này có nghiệm không tầm thường khi:
E 0 k  V11  E  V12 ........ V1 fk V21 E 0 k  V11  E  ..... V2 fk . . . 0 (29) . . . V fk 1 ....... E 0 k  V11  E  Đây là một phương trình đại số bậc k đối với E. Người ta thường gọi là phương trình thế kỉ. giải phương trình này ta tìm ra các nghiệm: E  Ek1 , Ek 2 , Ek 3 ,...E ,...Ekfk . Với các giá trị của E vừa tìm được, thay vào phương trình (28) ta tìm được các nghiệm Ck Nhận xét. Khi có nhiễu loạn thì mức năng lượng suy biến Ek0 được tách thành fk mức sát nhau. Suy biến bị khử hoàn toàn. Nếu có các nghiệm trong (29) trùng nhau thì suy biến bị khử mất một phần. Nhiễu loạn có suy biến là một bài toán khá phức tạp, chính vì vậy ta chỉ giới hạn xét đến nghiệm gần đúng bậc nhất của năng lượng và bậc không đối với hàm sóng. I.1.4. Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian. Toán tử Halmiton: H  H 0  W ( x, t ) Với: H 0 : Toán tử Hamilton khi không nhiễu loạn. W ( x, t ) : Toán tử nhiễu loạn phụ thuộc thời gian. Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian:  ( x, t )  i  H 0  W ( x, t )  ( x.t ) (30) t   Khi không nhiễu loạn:  ( x, t ) 0 i  H  0 ( x.t ) (31) t Nghiệm riêng của (31) có dạng: E10t i  (0) 1 ( x, t )   (0) 1 ( x )e  E20t i  (0) 2 ( x, t )   (0) 2 ( x )e  ................................. En0t i  (0) n ( x, t )   (0) n ( x )e 
Nghiệm của (31) là sự tổ hợp của các nghiệm riêng: E1( 0) t i  (0) ( x, t )   C  (0) n (0) n ( x, t )   C  (0) n (0) n ( x )e  (32) n n Ta tìm nghiệm của (31) dưới dạng:  ( x, t )   Cn (t ) n(0) ( x, t ) (33) n Tìm Cn (t ) : Thay (33) vào (30):  i  t n Cn (t ) n(0) ( x, t )   H 0  W ( x, t )   Cn (t ) n(0) ( x, t )   n    i n(0) ( x, t ) Cn (t )   Cn (t )i  n(0) ( x, t ) n t n t   Cn (t ) H 0 n(0) ( x, t )   Cn (t )W ( x, t ) n(0) ( x, t ) (34) n n Từ (34) và (31) ta thu được phương trình sau:  i n(0) ( x, t ) Cn (t )   Cn (t )W ( x, t ) n(0) ( x, t ) (35) n t n * Nhân vào 2 vế của (35) với  m(0) và lấy tích phân theo x, ta được: dCm i   Wmn eimnt Cn (t )   m W ( x, t ) n eimnt Cn (t ) (36) dt n n Trong đó: Wmn  x, t    m(0) W ( x, t ) m(0) ( x) dx   mn eimnt Cn (t )  m W ( x, t ) n * (37) n Là phần tử ma trận của toán tử nhiễu loạn trong “E0” biễu diễn và: Em(0)  En(0) mn  (38)  Gọi là sự chuyển dời lượng tử. Phép gần đúng bậc không: Giả sử khi t = 0, W ( x, t ) =0: khi đó phương trình (37) trở thành: dCm0 (t ) i  0  Cm0 (t )  const dt i  En( 0 ) .t Chọn hàm sóng ở trạng thái dừng thứ k  k(0) ( x).e  là hàm sóng của bài toán không nhiễu loạn. Do đó:  (0)   k(0)   Cn (0) n(0) ( x, t )   Cm (t ) n(0) ( x, t ) n n 1, m  k  Cm (t )  Cn (0)   mk   (39) 0, m  k
Phép gần đúng bậc nhất: Đặt nghiệm (39) vào phương trình (36): dCm(1) (t ) dC (1) (t ) i   Wmn eimnt nk  i m  w mk eimk t dt n dt   C ( )   m W ( x, t ) n eimk t dt  Cm(1) (0) (1) m (40) 0 Vì các hệ số Cm(0) không phụ thuộc thời gian và luôn bằng  mk nên Cm(1)  0 Nghiệm gần đúng bậc nhất:  C ( )   m W ( x, t ) n eimk t dt (1) m 0  Phép gần đúng bậc 2: Nghiệm gần đúng chính xác đến bậc 1: Cn (t )   nk  Cn(1) (t ) Thay giá trị của Cn(t) vào phương trình (36): dCm(1) (t ) i  m W ( x, t ) n eimnt   m W ( x, t ) n eimnt Cn(1) (t ) dt n t dCm(2) (t ) 1  i  m W ( x, t ) n eimk t   m W ( x, t ) n eimnt  n W k Cn(1) (t ) (41) dt i n 0 Giải phương trình (41) ta được: 1  1  imn t  t imk t   C (t )   m W ( x, t ) n eimk t dt  (2) n  m W ( x , t ) n e   n W k e  dt   i  m 2 i 0  0   Và cứ theo quy trình này, ta có thể tìm được nghiệm gần đúng bậc ba, bậc bốn..vv. Nhưng trong nhiễu loạn phụ thuộc thời gian chúng ta chỉ cần quan tâm đến nghiệm gần đúng bậc nhất. I.1.5: Xác suất chuyển dời lượng tử. Thực tế trong bài toán nhiễu loạn phụ thuộc thời gian ta không cần quan tâm đến năng lượng và trạng thái ở mức m = k mà ta chỉ quan tâm đến xác suất dời chuyển dời giữa 2 trạng thái. Kí hiệu xác suất dời chuyển từ trạng thái k  m là Pmk:  2 1 2 Pmk ( )  C ( )  2  (42) (1) m m W ( x, t ) k dt  0
I.2. PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN. Trong trường hợp lý thuyết nhiễu loạn không thuận lợi khi áp dụng giải bài toán cơ học lượng tử, người ta còn sử dụng phương pháp gần đúng khác gọi là phương pháp biến phân. Phương pháp biến phân xuất phát từ nhận xét đơn giản rằng năng lượng trung bình của một hệ luôn lớn hơn hoặc bằng năng lượng trạng thái cơ bản của hệ lượng tử. Việc tính năng lượng trạng thái cơ bản dẫn đến việc chọn các “hàm thử” chứa một số thông số chưa biết nào đó. Sau đó tìm cực tiểu của năng lượng trung bình cho phép ta xác định được các thông số. Nghĩa là xác định được năng lượng trạng thái cơ bản của hệ. Khai triển vector trạng thái của hệ lượng tử  theo các vector riêng  n của toán tử Halmitonian H :    Cn n (43) n Trị trung bình của năng lượng của hệ ở trạng thái đã cho có dạng:  n n 2 C E  H H   n (44)   Cn 2 n Gọi E0 là năng lượng ở trạng thái cơ bản của hệ lượng tử, từ (2) ta có: E0  Cn 2 H  n  E0 (45)  Cn 2 n Nếu chọn vector trạng thái  là một hàm của các thông số chưa biết nào đó 1 , 2 ,…, sao cho trùng với vector trạng thái cơ bản của hệ.    (1 , 2 ,...) Và thực hiện cực tiểu hóa năng lượng trung bình:  H 0 i Cho phép xác định được các thông số i . Bằng cách đó ta sẽ tính được giá trị của năng lượng:  (01 , 02 ,..) H  (01 , 02 ,..) E  (01 , 02 ,..)  (01 , 02 ,..) Gần với giá trị năng lượng trạng thái cơ bản E0 của hệ.
Chương II. LỜI GIẢI VÀ PHÂN TÍCH CÁC BÀI TẬP II.1. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỄ NHIỄU LOẠN ĐỐI VỚI HẠT TRONG HỐ THẾ Bài 1. Hạt ở trong giếng thế sâu vô hạn có bề rộng a. Hãy tính các bổ chính bậc 1 và bậc 2 cho năng lượng theo lý thuyết nhiễu loạn. V0 a. V ( x)  a  a  2x  a  V , b < x < a - b b. V ( x)   0 0 , 0 < x < b, a - b < x < a x c. V ( x)  V0 cos 2 a Lời giải. Áp dụng kết quả của bài toán hạt trong hố thế sâu vô hạn có bề rộng a: 2 n x Hàm sóng:  n  sin (1.1) a a n  2 2 2 Năng lượng: En  , n = 1, 2, 3, ….. 2ma 2 V Câu a. V ( x)  0  a  2 x  a  U ( x) 2 U ( x)   U ( x)   V0 0 a/2 a x Hình 1. Hàm thế năng * Bổ chính bậc 1: 2 n x  1 1  (1)n  a 2V0 E (1)  n | V |n  a2 0 sin a  a  2 x  a  dx =V0  2 2   n  (1.2) 2 * Bổ chính bậc 2: 2 (2) kV n E  (0) (0) n k n E E n k  k n k n  2kn1 (1)   2 k  n  sin 2 sin 2  2kncos 2 cos 2  n 2 2 k | V |n  4V0   (1.3)   2 (k2  n2 )2   
2 2   nk   2 2  k n k n  128ma V   kn 1  (1)    k  n  sin sin  2kncos cos  E (2)  0      2 2 2 2  (1.4) 2 2 3 n     k  n  3 2      U ( x) U ( x)   U ( x)   V0 V , b < x < a - b Câu b. V ( x)   0 0 , 0 < x < b, a - b < x < a 0 b a-b a x Hình 2. Hàm thế năng * Bổ chính bậc 1: a b 2V n x V  a 2 nb  E  n | V |n  0  sin dx  0 a  2b   n sin a  (1) 2 (1.5) a b a a * Bổ chính bậc 2: 2 (2) kV n E  (0) (0) n k n E E n k ab 2V0 k x n x k | V |n  a2  sin( b a )sin( a )dx  kb nb  nb kb n 1 (1)nk  sin cos   k(1)nk sin cos 2V = 0 a a  a a (1.6) a  (n  k ) 2 2 2   nk  kb nb  nk nb kb    n  1  (  1)  sin cos   k (  1) sin cos  (2)     a a  a a  (1.7) E  8 mV 2 n 0   2 2      n  k    U ( x) U ( x)   U ( x)   2 x Câu c. V ( x)  V0 cos a V0 0 a/2 a x * Bổ chính bậc 1: Hình 3. Hàm thế năng n x 2  x a 2V0 V E (1)  n | V |n  a 0 sin 2 a cos a dx  0 2 (1.8) * Bổ chính bậc 2:
2 (2) kV n E  (0) (0) n k n E E n k V0 4 ; n  k 2 2V0 a k x 2 k x n x  a 0 k | V |n  sin .cos .sin dx =  (n  k ) (1.9) a a a 0 ; n  k 2    k V n 2  k V n 2 (2)     E   (0) (0)    (0) (0)  n E  n  E   E n  E k  k 2 2 nk 2 2 2 nk 2 2 2 (1.10) ma V ma V ma V  0  0  0 ; k  1 16  1  k    2 2 2 2 2 2 2 8  4 k  4    8  4k  4      Phân tích. 1. Nhận xét. Bài toán nhằm mục đích tính toán, kiểm tra lại các công thức đã học về bổ chính năng lượng bậc 1, bậc 2. 2. Kiến thức. Để làm được bài toàn này cần nắm vững một số kiến thức sau: Lý thuyết về hạt trong hố thế sâu vô hạn, các công thức về năng lượng và hàm sóng (1). Cách tính các tích phân từng phần, công thức hạ bậc, hàm sin, hàm cosin. Công thức bổ chính bậc 1, bổ chính bậc 2 trong lý thuyết nhiễu loạn. 3. Phương pháp_kỹ năng giải toán. Áp dụng các công thức bổ chính bậc 1, bổ chính bậc 2. Thực tế các tích phân (1.3), (1.6), (1.9) là những tích phân khó, cần tính một cách tỉ mỉ hoặc có thể dùng một số phần mềm tính toán như mathemmatical, maple…ở đây tôi dùng maple. (phần phụ lục) 4. Kết luận. Bài toán này tương đối dễ về mặt kiến thức nhưng hơi dài dòng về mặt tính toán, thường được giảng dạy ở đại học như một ví dụ để cho sinh viên biết áp dụng các công thức bổ chính năng lượng.
Bài 2. Xét hạt chuyển động trong trường thế 2 chiều: 0 x   0, L  , y   0, L  V0 ( x, y )    x   0, L  , y   0, L  Giả sử nhiễu loạn:  x x   0, L  , y   0, L  V ( x)   0 x   0, L  , y   0, L  a. Hãy xác định hàm sóng bậc không và năng lượng cho trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích thứ nhất tính đến bậc một theo lý thuyết nhiễu loạn. b. Vẽ sơ đồ năng lượng khi không có và khi có nhiễu loạn. Nhận xét sơ đồ. Lời giải. Câu a. Hàm Halmiton: H  H 0  V  H 0 x  V ( x)  H 0 y  H x  H y (2.1) Phương trình Schrodinger: H  E (2.2) Phương pháp tách biến: H x   Ex  : Nhiễu loạn một chiều không suy biến. (2.3) H y   E y  : Không nhiễu loạn. 2 n1 x ny Hàm sóng:  ( x, y )  sin sin 2 (2.4) L L L (n  n2 )  2 2 2 2 Năng lượng: E  1 n1 , n2  1, 2,3... (2.5) 2mL2  Trạng thái cơ bản: n1  n2  1 : Không suy biến. f = 1. Năng lượng:  22 Năng lượng khi chưa có nhiễu loạn: E110  . (2.6) L2 m Bổ chính bậc 1: 2 2 L x y L L E  11| V |11      x sin 2 (1) 11 dx  sin 2 dy  (2.7)  L 0 L 0 L 2 Năng lượng ở trạng thái cơ bản:  2 2 L E11(1)  E11(0)  E11(1)  2  (2.8) mL 2 Hàm sóng: 2 x y  ( x, y )  sin sin L L L
 Trạng thái kích thích thứ nhất:  n1  1, n2  2 2 x 2 y  1(0)  ( x, y )   12 ( x, y )   1 ( x) 2 ( y )  sin( ) sin( ) (2.9) L L L  n1  2, n2  1 . 2 2 x y  2(0) ( x, y )   21 ( x, y )   2 ( x) 1 ( y )  sin( ) sin( ) (2.10) L L L Năng lượng của hạt ở trạng thái kích thích thứ nhất: 5 2  2 E12( 0 )  E 21 (0)  (2.11) 2 mL2 Mức năng lượng này có bậc suy biến bằng 2. *Xét nhiễu loạn suy biến: Phương trình thế kỉ: V11  E12(1) V12 0 (2.12) V21 V22  E12(1) Với: 4 L x L 2 y L V11  12 | V |12  2   x sin 2 dx  sin 2 dy =  V22 L 0 L 0 L 2 4 L x 2 x y L 2 y V12  12 | V | 21  2   x sin sin dx  sin sin dy = 0 L 0 L L 0 L L Thay các phần tử ma trận vừa tính được vào phương trình (2.12) ta sẽ tìm được bổ chính năng lượng nhiễu loạn bậc 1: 2  (1)  L  L  E12    0  E12  (1) (2.13)  2  2 Năng lượng ở trạng thái kích thích thứ nhất: 5 2  2  L E12(1)  E21(1)  E12(0)  E12(1)   (2.14) 2mL2 2 * Hàm sóng bậc không:  (0)  C1 1(0)  C2 2(0) (2.15) C1, C2 thỏa: V11  E12(1)  C1  V12C2  0   (2.16) V21C1  V11  E12  C2  0 (1) Điều kiện chuẩn hóa: C12  C22  1 (2.17)
Từ (2.13), (2.16) và (2.17):  C1  0 2 2 x y    (0)  sin sin  C2  1 L L L  (2.20)   C1  1 2 x 2 y  C  0    L sin L sin L (0)  2 Câu b. Vẽ giản đồ năng lượng: Trạng thái cơ bản: V 0 V 0 L 2 f=1 Hình 4. Dịch mức năng lượng trạng thái cơ bản Trạng thái kích thích thứ nhất: V 0 V 0 L 2 f=2 Hình 5. Dịch mức năng lượng trạng thái kích thích thứ nhất Nhận xét: hình 4, hình 5 cho thấy rằng mức năng lượng ở cả hai trạng thái, trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích thứ nhất bị dịch lên một khoảng L khi có nhiễu loạn nhưng không làm tách mức năng lượng. Chính vì vậy 2 trong trường hợp này không khử suy biến. Bài 3. Xét hạt chuyển động trong trường thế 2 chiều: 0 x   0, L  , y   0, L  V0 ( x, y )    x   0, L  , y   0, L  Giả sử nhiễu loạn:
 xy x   0, L  , y   0, L  V ( x, y )   0 x   0, L  , y   0, L  a. Hãy xác định hàm sóng trạng thái dừng ở gần đúng bậc không và năng lượng đến bậc 1 theo lý thuyết nhiễu loạn cho trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích thứ nhất. b. Vẽ sơ đồ năng lượng khi không có và khi có nhiễu loạn. Hãy chỉ rõ trạng thái không nhiễu loạn và trạng thái nhiễu loạn liên hệ với nhau như thế nào. Lời giải. Câu a. Phương trình Schrodinger ở trạng thái dừng:  2 2 H 0  ( x, y )  E  ( x, y )   ( 2  2 )  ( x, y )  E  ( x, y ) (3.1) 2m x y Dùng phương pháp tách biến:  ( x, y )  X ( x).Y ( y ) (3.2) Ta thu được:  2 n1 x n12 2  2  X ( x)  sin( ) ; E1   L L 2mL2  (3.3) Y ( y )  2 sin( n2 y ) ; E  n2   2 2 2  L L 2 2mL2 2 n1 x ny Hàm sóng:  ( x, y )  sin( ) sin( 2 ) (3.4) L L L (n  n2 )  2 2 2 2 Năng lượng: E  1 n1 , n2  1, 2,3... (3.5) 2 L2 m *Trạng thái cơ bản: n1  n2  1 : không suy biến. f = 1. Năng lượng:  22 Năng lượng khi không nhiễu loạn: E11(0)  . (3.6) L2 m Bổ chính bậc 1: 2 2 x L y L L 2 E  11| V |11      x sin 2 ( ) y sin 2 ( )dxdy  (1) 11 (3.7)  L 0 L 0 L 4 Năng lượng tính đến bổ chính bậc 1:  2 2  L2 E  E  E  (1) 11 (0) 11 (1) 11  (3.8) mL2 4
*Trạng thái kích thích thứ nhất:  n1  1, n2  2 2 x 2 y  1(0) ( x, y )   12 ( x, y )   1 ( x) 2 ( y )  sin( ) sin( ) L L L  n1  2, n2  1 . 2 2 x y  2(0)   21 ( x, y )   2 ( x) 1 ( y )  sin( ) sin( ) L L L Năng lượng của hạt ở trạng thái kích thích thứ nhất khi chưa tính đến nhiễu loạn: 5 2  2 E12(1)  E 21 (1)  (3.9) 2 mL2 suy biến có bậc bằng 2. *Xét nhiễu loạn suy biến: Phương trình thế kỉ: V11  E12(1) V12 0 (3.10) V21 V22  E12(1) Với: 4 xL 2 y L  L2 V11  12 | V |12  2   x sin 2 dx  y sin 2 dy =  V22 L 0 L 0 L 4 4 L x 2 x y L 2 y 256  L2 L2 0 0 V12  12 | V | 21   x sin sin dx y sin sin dy =  V21 L L L L 81  4 Thay các phần tử ma trận vừa tính được vào phương trình (3.10): 1 256 E12(1)   L2   L2 (3.11) 4 81 4 Năng lượng của hạt ở trạng thái kích thích thứ nhất:  5 2  2 1 2 256  2mL2  4  L  81 4  L 2  E12(1)  E21 (1)  E12(0)  E12(1)  (3.12)  2 2  5   1  L2  256  L2  2mL2 4 81 4 * Hàm sóng bậc không:  (0)  C1 1(0)  C2 2(0) (3.13) C1, C2 thỏa: V11  E12(1)  C1  V12C2  0  V12   C1  C2 (3.14)  21 1  11 12  2   (1) V C  V  E (1) C  0 E V11
Điều kiện chuẩn hóa: C12  C22  1 (3.15) Từ (3.12), (3.14) và (3.15) ta thu được các giá trị của C1 và C2. 1 1 512 * E (1)   L2 (  ) 2 2 81 4 1 1 C1  C2  2   (0)  2   1(0)  2(0)  (3.16) 1 1 512 * E (1)   L2 (  ) 2 2 81 4 1 1 C1  C2  2   (0)  2   1(0)  2(0)  (3.17) Câu b. Vẽ giản đồ năng lượng: Trạng thái cơ bản: E (1)  E (0)  E (1) E11(0) E (1) V 0 V 0 Hình 6. Dịch mức năng lượng ở trạng thái cơ bản Trạng thái kích thích thứ nhất: E (1)  E (0)  E (1)  1 256  2 E (1)    4  L E (0)  4 81   1 256  2 E (1)    4  L  4 81  E (1)  E (0)  E (1) V 0 V  0 Hình 7. Tách mức năng lượng ở trạng thái kích thích thứ nhất Nhận xét. Hình 6, hình 7 cho thấy rằng khi có nhiễu loạn, ở trạng thái cơ  L2 bản mức năng lượng được dịch lên một lượng E11(1)  , ở trạng thái kích thích 4 thứ nhất mức năng lượng bị tách thành 2 mức, ứng với 2 hàm sóng, tính suy biến bị khử hoàn toàn.