Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95

03. PHƯƠNG TRÌNH PHỨC – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]

LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP CÓ TẠI WEBSITE MOON.VN [Tab Toán học – Khóa Chuyên đề LTĐH – Chuyên đề Số phức]

ω

0

a

> ⇒ = – < ⇒ =

I. CĂN BẬC HAI SỐ PHỨC Cho số phức z = a + bi, số phức w = x + yi được gọi là căn bậc hai của số phức z nếu w2 = z hay (x + yi)2 = a + bi. (cid:1) Chú ý : (cid:2) Khi b = 0 thì z = a, ta có 2 trường hợp đơn giản sau : +) TH1 : a ⇒ = – ω

2 i a

i a

0

z

a 0, để tìm căn bậc 2 của z ta giải hệ phương trình từ đồng nhất thức: (x + yi)2 = a + bi

+) TH2 : (cid:2) Khi b „

2

= 2

a

2

+ 2

= +

hay

y

x

2

xyi

a bi

y =

x 2

xy

b

= -

- - (cid:219)

z

i 1 2 6

-

c.

   Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm các căn bậc hai của các số phức sau a. z = 5

b. z = –7

Hướng dẫn giải:

ω

a.

2

5 ⇒ = – ω

b.

z = ⇒ = – 5 = - = z 7

7

i

i

7

= -

z

i 1 2 6

-

, ta có

c. Gọi w = x + yi là căn bậc hai của số phức

6

2

=

x

2

2

= - 2

-

x

x

y

1

2

2

+

= -

- - (cid:219) - - (cid:219) (cid:219) (cid:219)

(

)

x

yi

+ 2 x

y

xyi

i 1 2 6

= - 2

i 1 2 6

6

= -

=

6

xy

2

2 6

y

2

    

2 = -

x

1

    

x

x

   

   

 = y     

- - -

2;

- -

) ( 3 ;

Hệ phương trình trên có 2 nghiệm (

2; 3

là 2

và

3i

3i

= +

= - +

i 4 6 5

i 1 4 3

- - - -

b.

z

z

= -

c. z = –18i =

i 5 12

z

+ 11 4 3 i

z

-

) + Vậy có 2 căn bậc hai của 1 2 6i 2 Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính căn bậc hai của các số phức sau : a. d. z = 4i

e.

f.

= -

+

z

i 40 42

z

i

g.

h.

i. z = - 8 + 6i

1 = + 4

2 2

Ví dụ 3: [ĐVH]. Viết các số phức sau dưới dạng chính phương ? a) z = - 21 + 20i = .....................................

= +

z

i 1 4 3

b)

= .......................................

c) z = - 15 + 8i = .....................................

= -

-

= .......................................

i 1 2 2

12i = .....................................

z d) e) z = 5 -

=

z

+ 13 8 3 i

f)

= .......................................

Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95

=

-

g)

= .......................................

z

i 22 10 2

D =

D D D

-

II. PHƯƠNG TRÌNH PHỨC BẬC 2 Xét phương trình phức bậc 2 : Az2 + Bz + C = 0 có D (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2) TH1: Các hệ số A, B, C là các số thực. Tính B

=

+ Nếu D

> 0 thì phương trình có nghiệm thực

z

- – D

= B2 – 4AC. 2 4 AC B 2

A

B i

2

⇒ D = –

+ Nếu

D < ⇒ D = - 0

i

i

⇒ = z

2

A

2

2

D =

- – D D D

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2) TH2: Các hệ số A, B, C là các số phức. = = + AC a bi Tính

+ ( x

yi

B

4

)

-

- –

B

Khi đó phương trình có nghiệm

yi ) = z + ( x A 2

2z

2z

+ + - 4z 20 0

Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức + = a. 2z 5 0 c. (z2 + i)(z2 – 2iz – 1) = 0

= b. d. z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0

2

Hướng dẫn giải: + =

⇒ D = – 2

–

z+ a. 2 z D = - = ' Ta có D = - ' b. Ta có

5 0. 2 4 4 i = i 16 16

1 2 i ⇒ = – i 2 4 z

= -

z

2

2

+

-

c.

(

z

i z )(

- = (cid:219) iz 2

1) 0

2

z

⇒ = - z i 4 i - = iz 2

1 0

2 i ⇒ D = –  2  

-

i

2

2

2

+

=

-

(cid:219) - -

( =

)

⇒

z

i

0

= - = 2 z

i

i 2

= (1

i

)

(cid:2) TH1 :

1 2

1 2

- 1  

  

i 2

= -

z

i

1 2 1 + 2

1 2 1 2

2

2

2

+ 2

z

- = (cid:219) iz 2

1 0

z

= (cid:219) 2 iz

i

0

)

0

z

(cid:2) TH2 :

- - -

=

i z ;

i .

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là 1 z

= 2

= i z ; 3

= (cid:219) = i z ( 1 2

1 2

 = z     i . 1 + 2

1 2

2

2

2

2

- -

(

2 = (cid:219) 4 i

+ + = + - – ⇒ = - z 4 0 i (2 ) 1) 0 2 z z z ( z + = (cid:219) 5 0

Nhận xét : Ngoài các cách giải chuẩn mực ở trên, chúng ta có thể giải tắt mà không cần tính toán D ) a. i 1 2 1

hay D ’ như sau

2

2

2

( + z (

+ - - - 16 0 = ( z = 2 2) i 16 i (4 ) ⇒ = – z i 2 4 + z 4 2 z z

) 2 + = (cid:219) 1 )2 = (cid:219) = (cid:219) b. 20 0 d. z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0. Ta có D

= (1 – 3i)2 + 8(1 + i) = 2i = (1 + i)2

3 i i = i 2

2

 = z  1   

Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là - - - i 3 i = z = - i 1 - + + 1 1 2 1 1 2

Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức

4

+ + - = 2 - 3. 4 0 z - = 3 8 0 4 z 3 z 1 0

a)

b)

c)

  

23  -   i 2

- - iz z iz z 3 - = i 2

Hướng dẫn giải:

+ + 3. 4 0

a)

  

23  -   2 i

Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!

- - iz z iz z 3 - = 2 i

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95

+

1

= ⇒ - 2

Đặt

t

t

- = (cid:219) 3 t

4 0

4

iz z

3 i 2

= -  t  = t 

-

- -

)

i

4

= -

=

=

(cid:2) Với

t

= (cid:219) 4

4

+ = iz

3 4(

z

i 2 )

z i (

4)

i 3 8

⇒ = z

2

i 3 8 i 4

- - - - - (cid:219) - - - - - -

( + i ( 3 8 ) 16

i

i 4 35 17

iz z

+ 3 = (cid:219) 2 i

⇒ = z i 4 35 + 17 17 - -

(

- - i 2 i

) 1

= = = - (cid:219) (cid:219) - (cid:219) - + = 1 iz + 3 2 i = z

( z i

) 1

(cid:2) Với

i 2 ⇒ = z 3 t 1 3 2 - - - i 2 + i 3 1

)( 1

i i 1 5 2 iz z + 3 = - i 2

z i 1 ⇒ = - + 2 5 2

2

2

2

+

+ = (cid:219) 4 0

= - = 2 1)

i 3 3

+ ( z

2

z

1

i

⇒ = - z =

3 = -

= i z ; 4 35 + 17 17 1 = - + 2 5 2 (z – 2)(z2 + 2z + 4 ) = 0 z = 2 –

2; z

1 i 3; z

1 i 3

z 1

2

= - + 3

4

- = 2

- Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phức là 1 z b) z3 – 8 = 0(cid:219) (cid:2) TH1 : z – 2 = 0 (cid:219) (cid:2) TH2 : z Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phức là

4

z

3

z

1 0

-

c)

.

2

Đặt z2 = t. Phương trình đã cho tương đương với

1 - t 4 - = (cid:219) t 3 1 0

(cid:2) Với t = 1 ta được z2

(cid:2) Với

= t   = - t  1 4 - = Giải phương trình tìm được t = 1 hoặc t . 1 4 1

= 1 ⇒ z = – i 2

2 i = (cid:219) = – 0 4

t z 1 = - = 4

2

2

2

2

= – Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phức là z 1; = – z . i 2

+ = + - B 4 z z z ;

Ví dụ 3: [ĐVH]. Gọi z1, z2 là các nghiệm của các phương trình z2 + 2z + 5 = 0. Tính giá trị các biểu thức sau = A z 1

2

2

2

i 1 2

2

2

+

z 1 z 1

z

2

z

+ = (cid:219) 5 0

+ ( z

= - = 2 1)

i 4 (2 )

= -

i 1 2

z 1 z

Ta có - Hướng dẫn giải: = - +  ⇒  

=

+ =

1 4

5

z 1

và

=

+ =

z

1 4

5

2

   

2

2     

2

2

+

= + =

(cid:2)

z

5 5 10

= A z 1

2

2

2

= 5 - z 1 1 2 i ⇒ Khi ta có = - + = 1 2 i 5 z  = - z  1    z 1

(cid:2)

2

= + - z 4 B = - 5 5 4. 5. 5 10 z z 1 = + - 2

+

+

=

z 1 Vậy A = 10 và B = –10 Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

2z

2z

4z 20 0

-

a)

+ = 2z 5 0

b)

+ - =

23z

z 5 0

24z

-

c)

d)

+ = 9 0

- + =

23z

z 2 0

2z

+ = 3z 1 0

-

f)

e)

Ví dụ 5: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95

+

=

- +

=

2z

+ - 2(i 2)z 3 2i 0

2z

(i 3)z 2 2i 0

- - -

a)

b)

- + + =

=

2iz

z 3 i 0

2z

+ + + (3 i)z 4 3i 0

-

c)

d)

+

+ -

=

2iz

- = 2iz 4 0

2z

(3 i)z 4 3i 0

- -

e)

f)

- + =

=

+

23iz

2z 4 i 0

2z

8(1 i)z 63 16i 0

- - - -

h)

g)

Ví dụ 6: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

2

a)

z

i z )

2

+ + = 6 3 i +

- + (1 + + (1

0

-

b)

z

i z )

2

+

0 = i 10 11 - =

- - -

c)

2(1

4(2

0

i z )

i z )

z

2 4

+ = z

5 0

. Tính giá trị của các biểu

i 5 3 2,z z là các nghiệm phức của phương trình:

1

2013

2013 +

=

-

- -

Ví dụ 7: [ĐVH]. Gọi ( (

) 1

P

z

) 1

thức

z 1

2

2

+

- =

.

2(1

i z )

4(2

i z )

i 5 3

0

- - -

Ví dụ 8: [ĐVH]. Gọi 1

2,z z là 2 nghiệm phức của phương trình:

2

2

+

Tính giá trị của các biểu thức

z

= A z 1

2

z

2 2

+ = z

4 0

. Tính giá trị của các biểu

-

Ví dụ 9: [ĐVH]. Gọ 1

2,z z là các nghiệm phức của phương trình:

2

+

+

z 1

=

P

thức:

z z 1 2 2

z 2 2 2 +

z 1

z 2

Ví dụ 10: [ĐVH]. Trong mặt phẳng toạ độ, giả sử điểm A biểu diễn nghiệm z1 của phương trình:

z

2 2

+ = z

5 0

và điểm B biểu diễn số phức

2

+ 1 i = - . Tính diện tích của tam giác OAB, với O là gốc toạ z z 1 2

độ.

Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!