Chuyên đề Số phức – Bùi Trần Duy Tuấn

Chia sẻ: | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:129

Thêm vào BST

Báo xấu

46
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu cung cấp lý thuyết số phức, các dạng bài tập và phương pháp giải, sử dụng Casio 570 để giải các bài toán số phức, một số bài tập và chuyên đề thi đại học về số phức. Mời các em học sinh và các bạn cùng tham khảo tài liệu để có thêm tư liệu củng cố kiến thức về số phức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Số phức – Bùi Trần Duy Tuấn

Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna MỤC LỤC A. CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN TRÊN TẬP SỐ PHỨC ............................................ 3 I. LÝ THUYẾT..................................................................................................................................... 3 II. CÁC DẠNG TOÁN VỚI PHÉP TOÁN CƠ BẢN ..................................................................... 5 III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN-PLUS ĐỂ GIẢI ..................................................... 14 IV. BÀI TẬP RÈN LUYỆN .............................................................................................................. 22 1. ĐỀ BÀI .................................................................................................................................... 22 2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ................................................................... 25 B. CĂN BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC ................. 28 I. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC ................................................................................................. 28 II. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI........................................................................................... 30 1. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC.............................................. 30 2. ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO VỀ NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. .................................................................................................. 31 III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI ...................................................... 38 IV. BÀI TẬP RÈN LUYỆN .............................................................................................................. 44 1. ĐỀ BÀI .................................................................................................................................... 44 2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ................................................................... 48 C. TẬP HỢP ĐIỂM CỦA SỐ PHỨC ......................................................................... 53 I. LÝ THUYẾT................................................................................................................................... 53 II. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH ........................................................................................... 54 III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN- PLUS ..................................................................... 61 IV. BÀI TẬP RÈN LUYỆN .............................................................................................................. 64 1. ĐỀ BÀI .................................................................................................................................... 64 2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ................................................................... 69 D. BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC................................................................. 75 I. PHƯƠNG PHÁP QUY VỀ TÌM MIN-MAX CỦA HÀM MỘT BIẾN KẾT HỢP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC. ....................................................................................................... 75 II. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TOÁN MIN-MAX................................................ 84 III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN-PLUS ĐỂ GIẢI ..................................................... 92 V. BÀI TẬP RÈN LUYỆN ................................................................................................................ 93 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 1
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 1. ĐỀ BÀI . ........................................................................................................................................ 93 2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI . ........................................................................................ 96 E. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC . ............................................................. 101 I. LÝ THUYẾT...................................................................................................................................... 101 II. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH . ........................................................................................... 102 III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI ...................................................... 105 IV. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ỨNG DỤNG CỦA DẠNG LƯỢNG GIÁC .............................. 107 V. BÀI TẬP RÈN LUYỆN . ................................................................................................................. 109 F. TUYỂN TẬP CÁC CÂU SỐ PHỨC VẬN DỤNG CAO . .................................. 111 I. ĐỀ BÀI . ............................................................................................................................................. 111 II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT . ........................................................................ 118 Tài liệu được tôi sưu tầm và biên soạn để làm tư liệu cho các em lớp 12 ôn thi kỳ thi THPT Quốc gia tham khảo, giúp các em ôn lại kiến thức nhanh chóng và hiệu quả hơn. Trong quá tình tổng hợp và biên soạn không tránh khỏi những sai sót đáng tiếc do số lượng kiến thức và bài tập khá nhiều. Mong các đọc giả thông cảm và đóng góp ý kiến để những tài liệu sau của tôi được chỉnh chu hơn! Mọi đóng góp xin gửi về: Facebook: https://web.facebook.com/duytuan.qna. Hoặc qua Gmail: btdt94@gmail.com. Các em có thể xem thêm các chuyên đề luyện thi môn Toán tại Website: https://sachhoc.com/ Xin chân thành cảm ơn!!! Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 2
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Chuyên đề: SỐ PHỨC A. CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN TRÊN TẬP SỐ PHỨC I. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa o Một số phức là một biểu thức dạng z  a  bi với a, b   và i 2  1 . o i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức z  a  bi . Tập hợp các số phức được kí hiệu là  .     a  bi / a, b  ; i 2  1 . o Chú ý: - Khi phần ảo b  0  z  a là số thực. - Khi phần thực a  0  z  bi  z là số thuần ảo. - Số 0  0  0i vừa là số thực, vừa là số ảo.  a  c o Hai số phức bằng nhau: a  bi  c  di    với a, b, c, d   .  b d  o Hai số phức z1  a  bi; z 2  a  bi được gọi là hai số phức đối nhau. 2. Số phức liên hợp Số phức liên hợp của z  a  bi với a, b   là a  bi và được kí hiệu bởi z . Một số tính chất của số phức liên hợp: a) z  z b) z  z '  z  z ' c) z  z '  z  z ' z  z c) z .z '  z .z ' d)     z '  z ' z là số thực  z  z ; z là số thuần ảo  z  z Ví dụ: Số phức liên hợp của số phức z  1  2i là số phức z  1  2i . Số phức liên hợp của số phức z  5  3i là số phức z  5  3i . 3. Biểu diễn hình học của số phức Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox là trục thực, Oy là trục ảo ), số phức z  a  bi với a, b   được biểu diễn bằng điểm M a; b  . Ví dụ:  A 1; 2 biểu diễn số phức z1  1  2i .  B 0; 3 biểu diễn số phức z2  3i .  C 3;1 biểu diễn số phức z 3  3  i .  D 1;2 biểu diễn số phức z 4  1  2i . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 3
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 4. Môđun của số phức o Môđun của số phức z  a  bi a, b    là z  a 2  b 2 . o Như vậy, môđun của số phức z là z chính là khoảng cách từ điểm M biểu diễn số phức  z  a  bi a, b    đến gốc tọa độ O của mặt phẳng phức là: OM  a 2  b 2  zz . o Một số tính chất của môđun:  z  0; z  0  z  0; 2  z 2  z , z  z , z  z  z 1  z 2  z1 + z 2  z  z '  z  z '  z  z '  z 1.z 2  z1 . z 2 z1 z1   z2 z2 5. Các phép toán trên tập số phức Cho hai số phức z  a  bi ; z '  a ' b ' i với a, b, a ', b '   và số k   . o Tổng hai số phức: z  z '  a  a ' (b  b ')i . o Hiệu hai số phức: z  z '  a  a ' (b  b ')i . o Số đối của số phức z  a  bi là z  a  bi .   o Nếu u, u ' theo thứ tự biểu diễn các số phức z , z ' thì   u  u ' biểu diễn số phức z  z ' .   u  u ' biểu diễn số phức z  z ' . o Nhân hai số phức: z .z '  a  bi a ' b ' i   a.a ' b.b '  a.b ' a '.b i . 1 o Số phức nghịch đảo: z 1  2 z. z o Chia hai số phức: z ' z '.z Nếu z  0 thì  2 , nghĩa là nếu muốn chia số phức z ' cho số phức z  0 thì ta nhân z z z' cả tử và mẫu của thương cho z . z  Chú ý: i 4k  1; i 4k 1  i; i 4k 2  1; i 4k 3  i (k  ) . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 4
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna II. CÁC DẠNG TOÁN VỚI PHÉP TOÁN CƠ BẢN 1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỔNG QUÁT Phương pháp o Bước 1: Gọi số phức z cần tìm là z  a  bi a, b    . o Bước 2: Biến đổi theo điều kiện cho trước của đề bài (thường liên quan đến môđun, biểu thức có chứa z, z, z ,... ) để đưa về phương trình hoặc hệ phương trình 2 ẩn theo a và b nhờ tính chất 2 số phức bằng nhau ( phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau ), rồi từ đó suy ra a và b và suy ra được số phức z cần tìm. 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH Bài toán 1 Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp và tính môđun của số phức z : 4  5i a ) z  2  4i   2i 1  3i . b) z  2  4i 5  2i   . 2i Giải: a) z  2  4i   2i 1  3i   2  4i  2i  6i 2  2  6i  6  8  6i .  Phần thực: 8 ; Phần ảo: 6 ; Số phức liên hợp: z  8  6i . Môđun z  82  62  10 . 4  5i 4  5i 2  i  b) z  2  4i 5  2i    10  4 i 20 i 8 i2  2i 22  12 8  14i  5 93 94  18  16i    i. 5 5 5 93 94 93 94  Phần thực: ; Phần ảo: ; Số phức liên hợp: z   i. 5 5 5 5 2 2  93   94  17485 Môđun z        .  5   5  5 Bài toán 2 Cho số phức z  3  2i . Tìm môđun số phức w  zi  z 1  2i  . Giải: w  zi  z 1  2i   (3  2i )i  (3  2i )(1  2i ) .  3i  2  3  6i  2i  4  5  7i Vậy w  52  72  74 . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 5
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 3 Gọi M, N lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức z1, z2 trên mặt phẳng phức. Mệnh đề nào sau đây là đúng?    A. z1  z 2  OM  ON B. z1  z 2  MN     C. z1  z 2  OM  MN D. z 1  z 2  OM  MN Giải: M, N lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức z1, z2 trên mặt phẳng phức   nên OM biểu diễn số phức z 1 ,ON biểu diễn số phức z 2     OM ON  NM biểu diễn số phức z1  z2    z1  z 2  NM  MN . Chọn B. Bài toán 4 1 1 1 Cho ba số phức z 1, z 2 , z 3 phân biệt thỏa mãn z 1  z 2  z 3  3 và   . Biết z1 z2 z3 z 1, z 2 , z 3 lần lượt được biểu diễn bởi các điểm A, B, C trên mặt phẳng phức. Tính góc ? ACB A. 60. B. 90. C. 120. D. 150. Giải: Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z , N là điểm biểu diễn của số phức z (z là số phức liên hợp của z ). Khi đó M và N đối xứng nhau qua Ox . Gọi A ', B ', C ' lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z 1, z 2 , z 3 . 1 1 1 z z z Từ giả thiết    1 2  2 2  3 2  z 1  z 2  z 3 (do z 1  z 2  z 3  3 ). z1 z 2 z3 z1 z2 z3    Suy ra OA  OB '  OC '  OA 'C ' B ' là hình bình hành.    Mà OA  OB '  OC '  OA 'C ' B ' là hình thoi với A 'C ' B '  1200 .   120 0 (do ACB Vậy ACB  và A  'C ' B ' đối xứng qua Ox ). Chọn C. Bài toán 5 Tìm phần thực, phần ảo của số phức sau: 1  1  i   1  i   1  i   ...  1  i  2 3 20 Giải: Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 6
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 1  i  21 1 P  1  1  i   1  i   ...  1  i   2 20 i 20  2 1  i   1  i   1  i   2i  1  i   210 1  i  21 10   210 1  i   1 P  i  210  210  1 i   Vậy phần thực là 210 và phần ảo là 210  1 . Bài toán 6 Tính S  1009  i  2i 2  3i 3  ...  2017i 2017 . Giải: Cách 1: S  1009  i  2i 2  3i 3  4i 4  ...  2017i 2017     1009  4i 4  8i 8  ...  2016i 2016  i  5i 5  9i 9  ...  2017i 2017  .....   2i 2 6 10  6i  10i  ...  2014i 2014   3i 3  7i  11i  ...  2015i 2015 7 11  504 505 504 504  1009   4n   i  4n  3   4n  2  i  4n  1 n 1 n 1 n 1 n 1  1009  509040  509545i  508032  508536i  2017  1009i. Cách 2: Đặt f x   1  x  x 2  x 3  ....  x 2017  f  x   1  2x  3x 2  ...  2017x 2016  xf  x   x  2x 2  3x 3  ...  2017x 2017 1 Mặt khác: f x   1  x  x  x  ....  x 2 3 2017  x 2018  1  f  x   2018x 2017 x  1  x 2018  1   x 1 x  1 2  xf  x   x .  2018x 2017 x  1  x 2018  1  2 x  1 2 Thay x  i vào 1 và 2 ta được: (1)  S  1009; (1)=(2) , nên: S  1009  i. 2018i 2017 i  1  i 2018  1    1009  i 2018  2018i  2  2017  1009i. i  1 2 2i Bài toán 7 Cho số phức z   1 2    1  i 3 . Tính w  1  z  1  z 2 1  z 3 ... 1  z 2017 .     Giải :  z 2  z  1  0 Ta có z   1 2  1  i 3    3  z 1 .   Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 7
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna  z 3k  1  1  z 3k  2   Do đó với mọi k   , ta có z 3k 1  z  1  z 3k 1  1  z  z 2 .    z 3k 2  z 2  1  z 3k 2  1  z 2  z  Vì từ 1 đến 2017 có: 673 số chia 3 dư 1 , 672 số chia 3 dư 2 , 672 số chia hết cho 3 nên        673 w  1  z  1  z 2 1  z 3 ... 1  z 2017  2672. z  672 . z 2  2672.z 2018  2672.z 3.6722 1 3    2672.z 2  2672 1  z   2672    2  i   2671 1  3i . 2   Bài toán 8 Tìm số z sao cho: z  (2  i)z  3  5i (A,A1  2014) . Giải: Gọi số phức z cần tìm là z  a  bi a, b    . Ta có: z  (2  i )z  3  5i  a  bi  (2  i )(a  bi )  3  5i  a  bi  2a  2bi  ai  bi 2  3  5i  3a  b  (a  b )i  3  5i 3a  b  3  a 2        z  2  3i.   a  b  5  b   3   Bài toán 9 Tìm số phức z khi nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: z  (2  i )  10 và z .z  25 . Giải: Gọi số phức cần tìm là z  a  bi a, b    . 2 Ta có: z .z  z  a 2  b 2  25 (1) . Lại có: z  (2  i )  10  a  2  b  1  10  a 2  b 2  4a  2b  5  0 2 2 2 Thay (1) vào (2) ta được: 25  4a  2b  5  10  b  2a  10 . a  5 b  0 Nên a 2  b 2  25  a 2  (2a  10)2  25  5a 2  40a  75  0     b  4 a3   Vậy z  5 hoặc z  3  4i . Bài toán 10 Tìm các số thực a, b, c sao cho hai phương trình az 2  bz  c  0, cz 2  bz  a  16  16i  0 có nghiệm chung là z  1  2i Giải Theo giả thiết phương trình az 2  bz  c  0 có nghiệm z  1  2i khi đó: Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 8
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 3a  b  c  0 a 1  2i   b 1  2i   c  0  3a  b  c  4a  2b i  0   1 2 4a  2b  0 Tương tự phương trình cz 2  bz  a  16  16i  0 có nghiệm z  1  2i khi đó: c 1  2i   b 1  2i   a  16  16i  0  c 3  4i   b  2bi  a  16  16i  0 2  a  b  3c  16  0  a  b  3c  16  2 b  2c  8 i  0    2   b  2c  8  0  Từ 1, 2 suy ra a, b, c   1; 2;5. Bài toán 11 _ z Cho z và z là số phức liên hợp của z . Biết   và z  z  2 3 .Tìm z  2 z Giải : _  Gọi z  a  bi a,b     z  a  bi . Ta có : z  z  a  bi   a  bi   2bi  2 3  b2  3 . _ 2 z z z z2 z3   z . z    z .z   . Ta có: 2  2 .1  2 . z2  2    z3   . z  z  z    z .z 2 3 Mà z 3  a 3  3a 2bi  3a bi    bi    a 3  3ab 2  3a 2b  b 3 i  2 3 2 2 2 3a b  b  0 3a  b  0 a  1  2  2  2  z  2. b  3 b  3 b  3 Bài toán 12 z  2i Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: z  1  2i  z  3  4i và là một số thuần ảo. z i Giải : Đặt z  x  yi (x , y ) . Theo bài ra ta có : x  1  y  2i  x  3  4  y i  x  1  y  2  x  3  y  4  y  x  5 2 2 2 2 z  2i x  y  2 i x 2  y  2y  1  x 2y  3 i Số phức w    z i x  1  y i x 2  y  1 2   x 2  y  2y  1  0   12   x    7 . Vậy z   12  23 i . w là một số ảo khi và chỉ khi  x  y  1  0 2 2      23 7 7 y x 5 y       7 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 9
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 13 1 1 2 Cho hai số phức z1, z 2 thỏa mãn z1  0, z 2  0, z1  z 2  0 và   . Tính giá z1  z 2 z1 z 2 z1 trị biểu thức P  . z2 Giải: 1 1 2 1 z  2z1 Từ giả thiết     2 z1  z 2 z1 z 2 z1  z 2 z 1z 2 z1 z   z   z 1z 2  z1  z 2 . z 2  2z 1     1  11  2 1  . z 2  z 2   z 2  z1 Đặt t  , ta được phương trình t  t  11  2t  z2  t  1  1 i 2   2t  2t  1  0   2 2  t  2 P  2 t  1  1 i 2 2   2 2 Bài toán 14 1 Nếu số phức z thỏa mãn z  1 và z  1 thì phần thực của bằng? 1z Giải: Cách 1:   Đặt z  a  bi a,b   . Từ z  1  a 2  b 2  1 . 1 1 1  a  bi 1  a  bi Ta có:    2 1  z 1  a  bi  1  a  bi 1  a  bi  1  a  b2    1 1a Suy ra phần thực của là: 2 . 1z  1  a  b2  1a 1a 1a 1 Ta có: 2  2 2   . a  2a  1  b 2  2a 2 1  a   b2 Cách 2: 1 Gọi A là phần thực của . 1z 1 1 1 1 1z 1z 2z z 2z z 1 2A        2 1 a  . 1  z 1  z 1  z 1  z 1  z  z  z .z 1  z  z  z 2 2 2z  z Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 10
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 15 Cho hai số phức z1, z 2 thỏa mãn điều kiện z 1  z 2  z 1  z 2  1. Tính giá trị của biểu 2 2  z   z  thức P   1    2  .  z 2   z 1  Giải: Cách 1: 2 2 2  z   z  z z  Ta có P   1    2    1  2   2. 1  z 2   z1   z 2 z1  z1 z2 z1 z 2 z2 z1 Mà z2  z1  2  2  z1 z 2  z 2 z1. 2 z2 z1    Theo giả thiết: 1  z 1  z 2  z1  z 2 . z1  z 2  z1  z 2 . z 1  z 2  2   2 2  z1  z 2  z1 z 2  z 2 z1  z 1 z 2  z 2 z1  1. 3  Từ 1 , 2 và 3 suy ra P  1. Cách 2: Chuẩn hóa Chọn z1  1 , còn z 2 chọn sao cho thỏa mãn z 2  1 và z 1  z 2  1 . Ta chọn như sau: Đặt z 2  a  bi . ● z2  1  a 2  b2  1 .  z 2  1  1  a  1  bi  1  a  1  b 2  1. 2 ● z1  z 2  1    1  a   2 1 3 Từ đó giải hệ    z2   i.   3 2 2 b    2 1 3 Thay z1  1 và z 2   i vào P và bấm máy. 2 2 1 3 1 3 Hoặc ta cũng có thể chọn z1    i và z 2   i. 2 2 2 2 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 11
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 16 1 1 1 Cho số phức z có môđun bằng 2018 và w là số phức thỏa mãn biểu thức   . z w z w Môđun của số phức w bằng? Giải: z  w   zw 2 1 1 1 z w 1 Từ giả thiết     0 0 z w z w zw z w zw z  w  2 1 2 3 2  1  2 3 2  1  2  i 3w       z  w  zw  0  z  zw  w  w  0  z  w    w  z  w    2 2 2 4 4  2  4  2   2  2  1  2  i 3w      Từ z  w      z   1  i 3  w .   2   2   2 2  1 i 3 Lấy môđun hai vế, ta được z    . w  1. w  w  w  2018. 2 2 Bài toán 17 z Cho số phức z, w khác 0 sao cho z  w  2 z  w . Phần thực của số phức u  là ? w Giải :  Cách 1 : Gọi u  a  bi a, b   .    z   1  u    2  1  w 2  a  b2    Ta có : z  w  2 z  w    4 .  z w    2  z w  a  1  b 2  1     u 1  1     w w   3 1  a  1  a 2  2a  1   a  2 4 8  Cách 2: Gọi w  a  bi a, b   .  a 2  b 2  4 *  Chọn z  1  z  1  1  w  2  w   1 a  .  2  2  a  1  b  4 2 1 15 1 1 15 Thay a  2  vào *  b  2 u    8 8 i . 1 15  i 2 2 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 12
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 18 1 Tính môđun của số phức z biết z  z và có phần thực bằng 4. z z Giải: Cách 1: Giả sử z  a  bi a, b    . 1 1 Ta có  z z 2 2 a  b  a  bi a 2  b 2  a  bi a 2  b2  a b    i. a  b  a  b  a  b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b a b a b a 1 a 2  b2  a Theo giả thiết: có phần thực bằng 4 nên 4 a  b 2 z z 2 2 2 b a a 2  b2  a a 2  b2  a  4 4   2 a 2  b 2  2a a 2  b 2 2 a 2  b2  a 2  b2  a  1 1 1   4  a 2  b2   z  . 2 a 2  b2 8 8 Cách 2: Nếu z  a  bi thì z  z  2a . 1 1 1 Áp dụng: có phần thực bằng 4   8 z z z z z z 1 1 2 z z z 2 z z z   8 2 8 2 8 z  z z  z   z .z z  z z  z   z 2 z z z z 2 z z z 2 z z z 1 1  8 8 8 z  . 2 z  z z  z  2  z 2 z z z  z 8 Nhận xét: Trong bài toán tìm thuộc tính của số phức z thỏa mãn điều kiện K cho trước, nếu K là thuần z (tất cả đều z ) hoặc thuần z thì đó là bài toán giải phương trình bậc nhất (phép cộng, trừ, nhân, chia số phức) với ẩn z hoặc z . Còn nếu chứa hai loại trở lên ( z , z , z ) thì ta sẽ gọi z  a  bi a, b    . Từ đó sử dụng các phép toán trên số phức để đưa về hai số phức bằng nhau để giải. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 13
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN-PLUS ĐỂ GIẢI PP CASIO Để thực hiện các phép toán trên tập số phức, ta chuyển qua chế độ CMPLX bằng cách bấm w2. o Bấm đơn vị ảo i bằng cách bấm phím b. o Tính môđun của số phức bấm qc. o Để bấm số phức liên hợp của z bấm q22để hiện Conjg (liên hợp). Sau đây là các bài toán điển hình cho các dạng tính toán cơ bản của số phức. 1. PHÉP CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA Bài toán 1 Tính z  1  i  (3  2i ). Hướng dẫn: Ta lần lượt bấm các phím như sau: 1+bp(3+2b) Và ta được kết quả là: Bài toán 2 Tính z  (1  3i )(3  4i ). Hướng dẫn: Ta lần lượt bấm các phím tương tự như trên và ta thu được kết quả như sau: Bài toán 3 1  3i Tính z  (2  i) . 2  7i Hướng dẫn: 1  3i Ta lần lượt nhập biểu thức z  (2  i) vào máy ta thu 2  7i được kết quả: Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 14
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 4 Cho số phức z  a  bi . Số phức z 2 có phần ảo là : A. a 2b 2 B. 2a 2b 2 C. 2ab D. ab Hướng dẫn:  Vì đề bài cho ở dạng tổng quát nên ta tiến hành “cá biệt hóa” bài toán bằng cách chọn giá trị cho a,b (lưu ý nên chọn các giá trị lẻ để tránh xảy ra trường hợp đặc biệt). Chọn a  1.25 và b  2.1 ta có z  1.25  2.1i  Sử dụng máy tính Casio tính z 2 1.25+2.1b)d= 21 Vậy phần ảo là 4 21  Xem đáp số nào có giá trị là thì đáp án đó chính xác. Ta có : 4 21 Vậy 2ab   Đáp án C là chính xác. 4 Bài toán 5 [Thi thử THPT Phan Chu Trinh – Phú Yên lần 1 năm 2017] Cho số phức z  a  bi . Số phức z 1 có phần thực là : a b A. a  b B. 2 2 C. 2 D. a  b a b a  b2 Hướng dẫn:  Vì đề bài mang tính chất tổng quát nên ta phải cá biệt hóa, ta chọn a  1;b  1.25 . 1  Với z 1  Sử dụng máy tính Casio z a1R1+1.25b= 16 Ta thấy phần thực số phức z 1 là : đây là 1 giá trị dương. Vì ta chọn b  a  0 nên ta 41 thấy ngay đáp số C và D sai. 9 16 Thử đáp số A có a  b  1  1.25   vậy đáp số A cũng sai  Đáp án chính xác là B 4 41 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 15
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 6 [Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 3 năm 2017] Cho số phức z  1  i   1  i   ...  1  i  . Phần thực của số phức z là : 2 3 22 A. 211 B. 211  2 C. 211  2 D. 211 Hướng dẫn: Dãy số trên là một cấp số nhân với U 1  1  i  , số số hạng là 21 và công bội là 1  i . Thu 2 2 1  1  i  21 1  qn gọn z ta được : z  U 1.  1  i  . 1q 1  1  i   Sử dụng máy tính Casio tính z (1+b)dOa1p(1+b)^21R1 p(1+b)= Vậy z  2050  2048i  Phần ảo số phức z là 2050  211  2  Đáp số chính xác là C Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 16
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 2. TÍNH MÔĐUN Bài toán 1 Tìm môđun của số phức (1  2i )z  2i  6 . Hướng dẫn: 6  2i (1  2i)z  2i  6  z  z  .Nên ta thực hiện bấm như sau: 1  2i qcap6p2bR1p2b= Ta thu được kết quả: Bài toán 2 2  4i  2(1  i )3 Tìm số phức   2.z1.z2 . Biết z1  4  3i  (1  i )3, z2   1i Hướng dẫn: - Tính z1  4  3i  (1  i )3 và lưu vào biến A: 4p3b+(1pb)^3qJz 2  4i  2(1  i )3 - Tính z2  và lưu vào biến B 1i a2+4bp2(1pb)^3R1+bqJ x - Tính   2.z1.z2 : 2q22q22Qz)OQx)= Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 17
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Bài toán 1 Tìm môđun của số phức z thỏa mãn: 1  3i  z  3i  7i  2 . 5 A. z  1 B. z  4 C . z  2 D. z  3 Hướng dẫn: 7i  2  3i Ta chuyển z về dạng: z  và tìm môđun. 1  3i Quy trình bấm máy: Qca7bp2p3bR1p3b= Màn hình hiển thị: >>> Chọn C. Bài toán 2 Cho số phức z thỏa mãn (3  i )(z  1)  (2  i )(z  3i )  1  i. i z Tìm môđun của số phức w  . 1z 82 82 2 82 3 82 A. B. C . D. 4 8 9 5 Hướng dẫn: Ở đây là sẽ cho phím X sẽ là đại diện cho số phức z . Đây là phương trình bậc nhất của số phức. Bước 1: Các em nhập lại phương trình này với máy tính lần lượt như sau: (3  i )(X 1)  (2  i )(C onjg(X )  3i )  (1  i ) (3pb)(Q)+1)+(2pb)(q2 2Q))+3b)p(1pb) Màn hình hiển thị: Bước 2: Tìm số phức z  a  bi nghĩa là đi tìm a và b. Ta sẽ cho trước a=10000 và b=100 rồi từ đó suy ngược lại mối quan hệ của a và b bằng 1 hệ phương trình 2 ẩn theo a và b, lúc đó tìm được a và b. Cho z  10000  100i bằng cách nhập r10000+100b= Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 18
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Màn hình sẽ cho kết quả: Nghĩa là: (3  i )(z  1)  (2  i )(z  3i )  (1  i )  50005  19894i  5a  5  (2a  b  6)i . Cho nên: (3  i )(z  1)  (2  i )(z  3i )  (1  i )  0  5a  5  0  5a  5  0       a  1,b  8  z  1  8i  2a  b  6  0   2a  b  6   Từ đó tính môđun của w : >>> Chọn B. Bài toán 3 2 Cho số phức z  a  bi thỏa mãn điều kiện  2  3i  z   4  i  z   1  3i  .Tìm P  2a  b A. 3 B. 1 C. 1 D. Đáp án khác Giải: Phương trình  2  3i  z  4  i  z  1  3i   0 2   Nhập vế trái vào máy tính Casio và CALC với X  1000  100i (2p3b)Q)+(4+b)q22Q)) +(1+3b)dr1000+100b= Vậy vế trái  6392  2194i với   6392  6.1000  4.100  8  6a  4b  8   2194  2.1000  2.100  6  2a  2b  6   6a  4b  8  0  Để vế trái  0 thì    a  2;b  5  2a  2b  6  0  Vậy z  2  5i  P  2a  b  1  Đáp số chính xác là C. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 19