Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang

SỐ PHỨC

I. Mở đầu:

Do nhu cầu phát triển của Toán học, các nhà Toán học đã lần lượt đưa ra các

loại số mới. Từ tập các số tự nhiên, đến tập các số nguyên, tập số hữu tỷ rồi rộng hơn

là tập số thực. Tuy nhiên nếu chỉ dừng lại ở tập số thực thì một phương trình đơn giản

như không có nghiệm, vậy cần xây dựng tập số mới để phương trình trên có

nghiệm, hay rộng hơn là các phương trình bậc hai có biệt thức vẫn có nghiệm. Tập số mới cần được xây dựng sao cho phải phong phú hơn các số thực và có thể coi

số thực là trường hợp riêng của tập đó. Người ta đã đưa ra khái niệm số phức.

II. Số phức và các phép toán trên số phức:

1. Khái niệm số phức:

Một biểu thức dạng : , (1) được gọi là một số phức.

Trong đó: i là số thỏa mãn , gọi là đơn vị ảo

a gọi là phần thực của z, ký hiệu :

b gọi là phần ảo của z, ký hiệu : .

Dạng (1) gọi là dạng chính tắc (hay dạng đại số) của số phức.

Tập hợp tất cả các số phức ký hiệu là .

Đặc biệt :

* Khi ta có số phức chính là số thực.

* Khi ta có số phức dạng gọi là số thuần ảo.

* Hai số phức và gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần

ảo của chúng tương ứng bằng nhau, nghĩa là: .

Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 1

Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang

2. Các phép toán trên số phức :

Cho hai số phức và . Ta có các phép toán sau :

 Phép cộng :  Phép trừ:  Phép nhân:

 Phép chia:

Xét phép toán cộng và phép nhân hai số phức, ta dễ dàng thấy chúng có đầy đủ tính

chất như phép cộng và phép nhân hai số thực là tính giao hoán, kết hợp, phân phối của

phép nhân với phép cộng.

Với phép toán cộng :

* Tính chất giao hoán :

* Tính chất kết hợp :

* Cộng với 0 :

* Với mỗi số phức , nếu kí hiệu số phức , ,

, thì ta có .

Số –z được gọi là số đối của số phức z.

Với phép toán nhân :

* Tính chất giao hoán :

* Tính chất kết hợp : * Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng :

* Nhân với đơn vị :

Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 2

Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang

* Với mỗi số phức , nếu kí hiệu ,

thì ta có: .

gọi là nghịch dảo của số phức z.

Số Với những tính chất trên, có thể coi tập các số thực là trường hợp riêng của tập

các số phức.

3. Biểu diễn hình học của số phức:

Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trong

mặt phẳng tọa độ Oxy, ngược lại mọi điểm M(a;b) trong mặt phẳng Oxy đều có thể

xem là ảnh của số phức a + bi. Do đó mặt phẳng Oxy còn được gọi là mặt phẳng phức.

Các số phức dạng (ta đồng nhất với số thực a) được biểu diễn bởi các

điểm M(a,0) trên trục Ox, do đó trục Ox còn được gọi là trục thực.

Trục Oy được gọi là trục ảo, các điểm nằm trên trục ảo tương ứng với các số

y

M(a;b)

b

phức dạng .

.

x

O

a

4. Số phức liên hợp:

Cho số phức . Số phức được gọi là số phức liên hợp của z.

Về mặt hình học hai số phức z và được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng nhau

qua trục thực Ox.

Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 3

y

M(a;b)

x

O

M’(a;-b)

Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang

Một số tính chất của số phức liên hợp :

1. là số thực.

2. là số thuần ảo

3.

4.

5. .

5. Dạng lượng giác của số phức :

Cho số phức có ảnh là điểm M trên mặt phẳng Oxy.

y

b

M

r

x

O

a

Giả sử , khi đó điểm M gốc O.

Đặt: .

Khi đó là một số thực dương, gọi là modun của z, kí hiệu .

Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 4

Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang

gọi là argument của z, kí hiệu . không duy nhất mà sai khác

nhau .

Chiếu vuông góc véc tơ lên hai trục Ox và Oy ta được:

Khi đó: .

Vậy có:

(2)

Trong đó .

Số phức z viết dưới dạng (2) được gọi là dạng lượng giác.

Một số phép toán thực hiện trên dạng lượng giác của số phức :

Cho hai số phức : . Ta dễ dàng

chứng minh các công thức sau:

 Phép nhân:

.  Phép chia:

 Phép nâng lên lũy thừa :

Với thì (3).

Công thức (3) còn được gọi là công thức Moivre.

Chú ý rằng công thức (3) vẫn đúng trong trường hợp n nguyên bằng không hoặc

âm, nghĩa là nó đúng với mọi .

 Căn bậc n của số phức :

Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 5

Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang

Xét phương trình .

Giả sử

Vì nên .

Suy ra

. Hay ,

là: Vậy có n căn bậc n khác nhau của số phức

.

Các ảnh của là các đỉnh của một đa giác đều n cạnh nội tiếp trong đường

tròn tâm O, bán kính .

6. Modun của số phức:

Xét số phức . Theo định nghĩa trên, mô đun của số phức z được kí

hiệu và xác định: .

Ta dễ dàng chứng minh được các tính chất sau:

1.

2.

3.

Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 6

Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang

4.

. 5.

III. Một số dạng bài tập số phức trong các kỳ thi TN THPT và TSĐH:

Dạng 1 - Tìm các thành phần của số phức (phần thực , phần ảo, mođun):

Ví dụ1. Tìm phần thực, phần ảo và môđun của các số phức sau:

b. a.

d. c.

f. e. .

Giải

Theo định nghĩa số phức, ta có:

phần ảo: . phần thực: , môđun a.

b. .

c. Do , ta có:

.

.

. d.

e. .

Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 7

Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang

. f.

Ví dụ 2 (CĐ Khối A, B, D – 2009 CB). Cho số phức z thỏa mãn:

.

Tìm phần thực và phần ảo của z.

Giải

Ta có:

phần ảo: . Vậy phần thực của z:

Ví dụ 3 (ĐH Khối A – 2010 CB). Tìm phần ảo của số phức z:

.

Giải

Ta có:

.

Vậy phần ảo của z là - .

Ví dụ 4 (ĐH Khối A, A1 2014). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện :

Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 8

Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang

.

Tìm phần thực và phần ảo của z.

Giải

. Giả sử

Ta có:

Vậy phần thực của z là 2, phần ảo của z là -3.

Ví dụ 5(ĐH Khối B 2014). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện :

Tính modun của z.

Giải

. Giả sử

Ta có:

Vậy .

Ví dụ 6 (ĐH Khối A – 2010 NC). Cho số phức z thỏa mãn . Tìm môđun

của số phức .

Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 9

Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang

Giải

. Ta có :

Suy ra .

Do đó .

Vậy .

Ví dụ 7 (TSĐH Khối A, A1 – 2012). Cho số phức z thỏa mãn . Tính

modun của số phức .

Giải

Đặt . Ta có:

.

Do đó .

Vậy .

Bài tập

1. Tìm phần thực, phần ảo và modun của số phức trong các trường hợp sau:

Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 10

Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang

a. b. c.

e. f. d.

2. (TN THPT – 2010 CB). Cho hai số phức . Xác định phần thực

và phần ảo của số phức .

Đáp số : Phần thực -3, phần ảo 8.

3. (TN THPT – 2010 NC). Cho 2 số phức . Xác định phần thực

và phần ảo của số phức .

Đáp số: Phần thực 26, phần ảo 7.

4. (CĐ Khối A, B, D – 2010 CB). Cho số phức z thỏa mãn :

Xác định phần thực và phần ảo của z.

Đáp số : Phần thực -2, phần ảo 5.

5. (ĐH Khối B - 20 NC). Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết

.

6. (ĐH Khối D - 2012). Cho số phức z thỏa mãn: .

. Tìm modun của số phức

Đáp số : .

7. (ĐH Khối D - 20 3 CB). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện:

Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 11

Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang

.

. Tìm modun của số phức

Đáp số : .

8. (ĐH Khối D - 2014). Cho số phức z thỏa mãn: .

Tìm modun của z.

Đáp số: .

Dạng 2. Tìm tập hợp số phức thỏa mãn điều kiện cho trước :

Ví dụ 1. Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các số phức thỏa mãn điều kiện:

a. Phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó.

b. Phần thực của z thuộc đoạn [-1, 2].

c. Phần thực của z thuộc đoạn [-1, 2] và phần ảo của z thuộc đoạn [1, 3].

d. .

. e.

Giải

Giả sử .

a. Theo đề bài ta có: hay .

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z có phần thực bằng hai lần phần

ảo là đường thẳng trong mặt phẳng Oxy.

b. Do phần thực của z thuộc đoạn [-1, 2] nên ta có .

Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 12

Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là phần mặt phẳng giới hạn bởi

hai đường thẳng và trong mặt phẳng Oxy.

c. Phần thực của z thuộc đoạn [-1, 2] và phần ảo của z thuộc đoạn [1, 3] nên ta có

và .

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hình chữ nhật giới hạn bởi các

đường thẳng , và trong mặt phẳng Oxy.

d. Ta có : . Do đó hay .

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm O(0 ;0), bán

kính 2 trong mặt phẳng Oxy.

e. Ta có .

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hình vành khăn giới hạn bởi

hai đường tròn tâm O(0;0), bán kính 2 và đường tròn tâm O(0;0), bán kính 3.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn

điều kiện là số thực.

Giải

Giả sử . Ta có:

là số thực .

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng

trong mặt phẳng Oxy.

Ví dụ 3 (TSĐH Khối B – 2010). Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn

số phức thỏa mãn : .

Giải

Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 13

Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang

Giả sử . Ta có :

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0;1), bán

kính trong mặt phẳng Oxy.

Ví dụ 4. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện :

.

Giải

Giả sử . Ta có :

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng Oxy là Ellip có

phương trình .

Bài tập

Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 14

Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang

1. (TSĐH Khối D – 2009). Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều

kiện : .

Đáp số : Đường tròn tâm I(3 ; - 4), bán kính 2.

2. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn :

a. là số ảo tùy ý.

b. .

c. .

Đáp số: a. Đường tròn tâm I(1; ), bán kính .

b. Các đường thẳng y = 4 và y = 2.

c. Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn tâm O(0 ;0), bán kính 1 và đường tròn

tâm O(0 ;0), bán kính .

Dạng 3 – Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước:

Ví dụ 1 (TSĐH Khối D – 2011CB). Tìm số phức z biết .

Giải

Giả sử . Ta có:

Vậy .

Ví dụ 2 (TSĐH Khối B – 2011CB). Tìm số phức z biết .

Giải

Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 15

Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang

Giả sử . Ta có:

Vậy hoặc .

Ví dụ 3 (TSĐH Khối B – 2009 (CB). Tìm số phức z thỏa mãn và

.

Giải

Giả sử . Ta có:

Vậy có hai số phức thỏa mãn điều kiện bài toán là và .

Ví dụ 4 (TSĐH Khối D -2010). Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện và là

số thuần ảo.

Giải

Giả sử . Ta có:

. *

*

Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 16

Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang

là số thuần ảo .

(1), (2)

Vậy có hai số phức thỏa mãn điều kiện bài toán là và .

Ví dụ 5. Tìm số phức z thỏa mãn

Giải

Giả sử . Từ (1) ta có:

Từ (2):

Vậy số phức z cần tìm là .

Bài tập

1. Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau:

a. b.

Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 17

Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang

c.

Đáp số: a. b. c.

2. Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau:

b. và là số thuần ảo a.

là số thực và . c.

Đáp số : a. hoặc b.

.

hoặc c.

Dạng 4 – Dạng lượng giác của số phức:

Ví dụ 1 . Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:

b. c. a.

. d.

Giải

a. Môđun của z: .

Argument của z : .

Dạng lượng giác của z : .

Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 18

Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang

b. Môđun của z: .

Argument của z : .

Dạng lượng giác của z : .

c.

Ta có : ,

.

Vậy

, d. Ta có :

.

Vậy

Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 19

Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang

Ví dụ 2 (TSĐH Khối B - 2012 NC). Gọi là hai nghiệm phức của phương trình

. Viết dạng lượng giác của và .

Giải

Ta có: Phương trình có hai nghiệm phức :

Môđun của và : .

Argument của : .

Vậy dạng lượng giác của : .

Argument của : .

Vậy dạng lượng giác của : .

Ví dụ 3 (TSĐH Khối A, A1 – 2013 NC). Cho số phức . Viết dạng lượng

giác của z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức .

Giải

Ta có :

Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 20

Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang

Môđun của z: .

Argument của z :

Dạng lượng giác của z:

.

Vậy .

Ví dụ 4. Sử dụng công thức Moivre hãy tính :

a. b.

Giải

a. Ta có: .

Áp dụng công thức Moivre ta có:

.

b. Ta có :

Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 21

Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang

Áp dụng công thức Moivre ta có:

.

Ví dụ 5. Hãy tính các căn bậc ba của số phức: .

Giải

Ta có: .

Gọi số phức là căn bậc ba của z. Khi đó .

Theo công thức tính căn bậc n của số phức, ta có :

.

Với k = 0 ta có: .

Với k = ta có : .

Với k = 2 ta có :

Vậy số phức z có ba căn bậc ba là như trên.

Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 22

Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang

Ví dụ 6. Hãy tính các căn bậc bốn của số phức: .

Giải

Theo kết quả ví dụ 4 ta có: .

Gọi số phức là căn bậc bốn của z. Khi đó .

Theo công thức tính căn bậc n của số phức, ta có :

.

. Với k = 0 ta có:

. Với k = ta có :

. Với k = 2 ta có :

Với k = 3 ta có:

Vậy số phức z có bốn căn bậc bốn là như trên.

Bài tập

1. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác :

Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 23

Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang

b. c. d. . a.

Đáp số : a. b.

d. . c.

2. Sử dụng công thức Moivre hãy tính:

a. b. c.

Đáp số: a. 64 b. 1 c. – 64

3. Tìm các căn bậc 6 của: a. b. .

Đáp số: a. .

b. .

4. Tìm các căn bậc 8 của .

Đáp số: .

5. Tính , biết . Đáp số: -1.

Dạng 5 - Giải phương trình phức bậc hai:

Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 24

Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang

Ví dụ 1 (ĐH Khối A – 2009 CB). Gọi là hai nghiệm phức của phương trình

. Tính giá trị của biểu thức .

Giải

Ta có: Phương trình có hai nghiệm phức

Ví dụ 2 (CĐ Khối A, B, D – 2010 NC). Giải phương trình

trên tập hợp các số phức.

Giải

Ta có: .

Giả sử là căn bậc hai của .

Ta có :

Vậy phương trình có các nghiệm phức là .

Ví dụ 3 (TSĐH Khối D – 2012 NC). Giải phương trình trên tập

hợp các số phức.

Giải

Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 25

Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang

. Ta có:

là căn bậc hai của . Giả sử

Ta có :

Vậy phương trình có các nghiệm phức là .

Ví dụ 4. Giải phương trình .

Giải

Nhận xét rằng z =0 không phải là nghiệm của phương trình.

Chia 2 vế của phương trình cho ta có:

Đặt ta có phương trình:

Với ta có:

Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 26

Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang

Với ta có:

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm : , , , .

Ví dụ 5. Giải phương trình biết phương trình có một nghiệm

thuần ảo.

Giải

Giả sử phương trình có nghiệm thuần ảo là . Ta có :

.

phương trình có một nghiệm thuần ảo là z = i. Ta có :

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là , , .

Ví dụ 6. Giải phương trình biết phương trình có một

nghiệm thực.

Giải

Giả sử là nghiệm thực của phương trình. Khi đó:

Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 27

Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang

.

phương trình có một nghiệm z = .

. Ta có:

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm: , , .

Bài tập

1 . (CĐ Khối A, B, D – 2009 NC) Giải phương trình .

Đáp số: .

2. (CĐ Khối , B, D – 2010 NC) Giải phương trình trên tập số

phức.

Đáp số: .

3. (TSĐH Khối D – 2012 NC). Giải phương trình trên tập hợp

các số phức.

Đáp số: , .

4. Giải các phương trình sau:

a. b.

Đáp số: a.

b. .

Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 28

Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang

5. Giải các phương trình sau:

, biết phương trình có một nghiệm . a.

, biết phương trình có một nghiệm thuần ảo. b.

, biết phương trình có một nghiệm thực. c.

Đáp số: a. .

. b.

. c.

Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 29