Chuyên đề: Số phức – Nông Thu Trang

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:29

Thêm vào BST

Báo xấu

85
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu Chuyên đề: Số phức sau đây với kiến thức lý thuyết được ôn tập, bài tập và bài giảng các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao, sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho những ai yêu thích chuyên đề này nói riêng, bộ môn Toán nói chung. Tham khảo nội dung tài liệu để nắm bắt nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề: Số phức – Nông Thu Trang

Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang SỐ PHỨC I. Mở đầu: Do nhu cầu phát triển của Toán học, các nhà Toán học đã lần lượt đưa ra các loại số mới. Từ tập các số tự nhiên, đến tập các số nguyên, tập số hữu tỷ rồi rộng hơn là tập số thực. Tuy nhiên nếu chỉ dừng lại ở tập số thực thì một phương trình đơn giản như x2  1  0 không có nghiệm, vậy cần xây dựng tập số mới để phương trình trên có nghiệm, hay rộng hơn là các phương trình bậc hai có biệt thức   0 vẫn có nghiệm. Tập số mới cần được xây dựng sao cho phải phong phú hơn các số thực và có thể coi số thực là trường hợp riêng của tập đó. Người ta đã đưa ra khái niệm số phức. II. Số phức và các phép toán trên số phức: 1. Khái niệm số phức: Một biểu thức dạng : z  a  bi , a, b  R (1) được gọi là một số phức. Trong đó: i là số thỏa mãn i 2  1 , gọi là đơn vị ảo a gọi là phần thực của z, ký hiệu : a  Re( z ) b gọi là phần ảo của z, ký hiệu : b  Im( z ) . Dạng (1) gọi là dạng chính tắc (hay dạng đại số) của số phức. Tập hợp tất cả các số phức ký hiệu là C . Đặc biệt : * Khi b  0 ta có số phức z  a chính là số thực. * Khi a  0 ta có số phức dạng z  bi gọi là số thuần ảo. * Hai số phức z  a  bi và w  c  di gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần a  c ảo của chúng tương ứng bằng nhau, nghĩa là: z  w   . b  d Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 1
Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang 2. Các phép toán trên số phức : Cho hai số phức z  a  bi và w  c  di . Ta có các phép toán sau :  Phép cộng : z  w  (a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d )i  Phép trừ: z  w  (a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d )i  Phép nhân: z.w  (a  bi)(c  di)  (ac  bd )  (ad  bc)i z a  bi ac  bd bc  ad  Phép chia:    i (c  di  0) w c  di c 2  d 2 c 2  d 2 Xét phép toán cộng và phép nhân hai số phức, ta dễ dàng thấy chúng có đầy đủ tính chất như phép cộng và phép nhân hai số thực là tính giao hoán, kết hợp, phân phối của phép nhân với phép cộng. Với phép toán cộng : * Tính chất giao hoán : z1  z 2  z 2  z1 , z1 , z 2 C * Tính chất kết hợp : ( z1  z 2 )  z3  z1  ( z 2  z3 ), z1 , z 2 , z3 C * Cộng với 0 : z  0  0  z, z C * Với mỗi số phức z  a  bi , a, b  R , nếu kí hiệu số phức  z  a  bi , a, b  R , thì ta có z  ( z)  ( z )  z  0 . Số –z được gọi là số đối của số phức z. Với phép toán nhân : * Tính chất giao hoán : z1 .z 2  z 2 .z1 , z1 , z 2 C * Tính chất kết hợp : ( z1 z 2 ) z3  z1 ( z 2 z3 ), z1 , z 2 , z3 C * Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng : z1 ( z 2  z3 )  z1 z 2  z1 z3 , ( z1  z 2 ) z3  z1 z3  z 2 z3 , z1 , z 2 , z3 C * Nhân với đơn vị : z.1  1.z, z  C Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 2
Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang * Với mỗi số phức z  a  bi , a, b  R, a, b  0 , nếu kí hiệu a b z 1   2 i 2 thì ta có: zz 1  z 1 z  1 . a b a b 2 2 1 Số z gọi là nghịch dảo của số phức z. Với những tính chất trên, có thể coi tập các số thực là trường hợp riêng của tập các số phức. 3. Biểu diễn hình học của số phức: Mỗi số phức z  a  bi  a, b  R  được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ngược lại mọi điểm M(a;b) trong mặt phẳng Oxy đều có thể xem là ảnh của số phức a + bi. Do đó mặt phẳng Oxy còn được gọi là mặt phẳng phức. Các số phức dạng z  a  0i (ta đồng nhất với số thực a) được biểu diễn bởi các điểm M(a,0) trên trục Ox, do đó trục Ox còn được gọi là trục thực. Trục Oy được gọi là trục ảo, các điểm nằm trên trục ảo tương ứng với các số phức dạng z  bi, b  R . y b . M(a;b) x O a 4. Số phức liên hợp: Cho số phức z  a  bi . Số phức z  a  bi được gọi là số phức liên hợp của z. Về mặt hình học hai số phức z và z được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng nhau qua trục thực Ox. Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 3
Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang y M(a;b) x O M’(a;-b) Một số tính chất của số phức liên hợp : 1. z  z  z là số thực. 2. z   z  z là số thuần ảo 3. z  w  z  w, z, w  C 4. z.w  z.w, z, w  C z z 5.  w   , z, w  C .   w 5. Dạng lượng giác của số phức : Cho số phức z  a  bi có ảnh là điểm M trên mặt phẳng Oxy. Giả sử z  0 , khi đó điểm M  gốc O. y b M r  x O a   Đặt: r  OM ,  (Ox, OM ) . Khi đó r là một số thực dương, gọi là modun của z, kí hiệu z . Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 4
Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang  gọi là argument của z, kí hiệu Arg ( z ) . Arg ( z ) không duy nhất mà sai khác nhau 2k , k Z .  Chiếu vuông góc véc tơ OM lên hai trục Ox và Oy ta được: a  r cos   b  r sin  Khi đó: z  a  bi  r cos  ir sin   r (cos  i sin  ) . Vậy có: z  r (cos  i sin  ) (2) a b Trong đó r  a  b , cos   , sin   . 2 2 r r Số phức z viết dưới dạng (2) được gọi là dạng lượng giác. Một số phép toán thực hiện trên dạng lượng giác của số phức : Cho hai số phức : z1  r1 (cos  i sin  ), z2  r2 (cos  i sin  ) . Ta dễ dàng chứng minh các công thức sau:  Phép nhân: z1 z2  r1r2 cos(   )  i sin(   ) z1 r1  Phép chia:  cos(   )  i sin(   ) ( z2  0) . z2 r2  Phép nâng lên lũy thừa : Với z  r (cos  i sin  ) thì z  r (cos n  i sin n ), n N n n (3). Công thức (3) còn được gọi là công thức Moivre. Chú ý rằng công thức (3) vẫn đúng trong trường hợp n nguyên bằng không hoặc âm, nghĩa là nó đúng với mọi n  Z .  Căn bậc n của số phức : Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 5
Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang Xét phương trình a n  z . Giả sử z  r (cos  i sin  ) a   (cos  i sin  ) Vì a  z nên  (cos n  i sin n )  r (cos  i sin  ) . n n Suy ra   r n n    2k , k Z  k 2 Hay   r ,    , k  0,1, 2,..., n  1. n n n Vậy có n căn bậc n khác nhau của số phức z  0 là:    k 2    k 2  zk  n r cos     i sin     , k  0,1, 2,..., n  1 .  n n  n n  Các ảnh của zk là các đỉnh của một đa giác đều n cạnh nội tiếp trong đường n tròn tâm O, bán kính r. 6. Modun của số phức: Xét số phức z  a  bi . Theo định nghĩa trên, mô đun của số phức z được kí hiệu và xác định: z  a  b . 2 2 Ta dễ dàng chứng minh được các tính chất sau: 1. | z || z |, z  C 2. z.z | z | , z  C 2 3. | z1 .z 2 || z1 || z 2 |, z1 , z 2  C Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 6
Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang z |z | 4. | z | | z | , z1 , z 2  C , z 2  0 1 1 2 2 5. | z1  z 2 || z1 |  | z 2 |, z1 , z 2  C . III. Một số dạng bài tập số phức trong các kỳ thi TN THPT và TSĐH: Dạng 1 - Tìm các thành phần của số phức (phần thực , phần ảo, mođun): Ví dụ1. Tìm phần thực, phần ảo và môđun của các số phức sau: a. z  2  3i b. z  (2  4i)  (3  5i) c. z  (2  4i)  (3  5i) d. z  (2  4i)(3  5i) 2 2 2  4i e. z  3  4i  5i  i  7i f. z  2 3 4 . 3  5i Giải Theo định nghĩa số phức, ta có: a. z  2  3i  phần thực: a  2, phần ảo: b  3 , môđun z  (2)  3  13 . 2 2 b. z  (2  4i)  (3  5i)  1  i  a  1, b  1, z  2 . c. Do i  1 , ta có: z  (2  4i)  (3  5i)  (4  16i  16i )  (9  30i  25i ) 2 2 2 2 2  (4  16i  16)  (9  30i  25)  4  14i  a  4, b  14, z  2 53 . d. z  (2  4i)(3  5i)  6  10i  12i  20i  6  2i  20  26  2i . 2  a  26, b  2, z  2 170 . e. z  3  4i  5i 2  i3  7i 4  3  4i  5  i  7  1  5i  a  1, b  5, z  26 . Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 7
Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang 2  4i (2  4i)(1  3i) 7 1 7 1 f. z    + i  a  ,b  , z  2 . 1  3i 10 5 5 5 5 Ví dụ 2 (CĐ Khối A, B, D – 2009 CB). Cho số phức z thỏa mãn: (1  i)2 (2  i) z  8  i  (1  2i) z . Tìm phần thực và phần ảo của z. Giải Ta có: (1  i)2 (2  i) z  8  i  (1  2i) z  (1  2i  i 2 )(2  i) z  8  i  (1  2i) z   2i (2  i)  (1  2i)  z  8  i  (1  2i) z  8  i 8  i  8  i  (1  2i) 10  15i z    2  3i. 1  2i 5 5 Vậy phần thực của z: a  2, phần ảo: b  3 . Ví dụ 3 (ĐH Khối A – 2010 CB). Tìm phần ảo của số phức z: z  ( 2  i)2 (1  2i) . Giải Ta có: z  ( 2  i)2 (1  2i)  (2  2 2i  i 2 )(1  2i)  (1  2 2i)(1  2i)  5  2i  z  5  2i . Vậy phần ảo của z là - 2 . Ví dụ 4 (ĐH Khối A, A1 2014). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện : Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 8
Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang z   2  i  z  3  5i . Tìm phần thực và phần ảo của z. Giải Giả sử z  x  yi  z  x  yi . Ta có: z   2  i  z  3  5i  x  yi  (2  i )( x  yi )  3  5i  3x  y  ( x  y )i  3  5i 3x  y  3  x  2   x  y  5  y  3 Vậy phần thực của z là 2, phần ảo của z là -3. Ví dụ 5(ĐH Khối B 2014). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện : 2 z  31  i  z  1  9i Tính modun của z. Giải Giả sử z  x  yi  z  x  yi . Ta có: 2 z  3 1  i  z  1  9i  2( x  yi )  3 1  i  ( x  yi )  1  9i   5 x  3 y    3x  y  i  1  9i 5 x  3 y  1 x  2    z  2  3i  3 x  y   9  y  3 Vậy z  2  3i  13 . (1  3i)3 Ví dụ 6 (ĐH Khối A – 2010 NC). Cho số phức z thỏa mãn z  . Tìm môđun 1 i của số phức z  iz . Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 9
Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang Giải (1  3i)3 1  3 3i  9i 2  3 3i 3 8 Ta có : z     4  4i . 1 i 1 i 1 i Suy ra z  4  4i . Do đó z  iz  (4  4i)  i(4  4i)  8  8i . Vậy z  iz  8 2 . 5( z  i) Ví dụ 7 (TSĐH Khối A, A1 – 2012). Cho số phức z thỏa mãn  2  i . Tính z 1 modun của số phức w  1  z  z 2 . Giải Đặt z  x  yi  z  x  yi . Ta có: 5( z  i )  2i z 1 5( x  yi  i )   2i x  yi  1  5 x  5(1  y )i  (2  i )( x  yi  1)  5 x  5(1  y )i  (2 x  2  y )  (2 y  x  1)i 5 x  2 x  2  y x  1   5(1  y )  2 y  x  1  y  1 Do đó z  1  i .  w  1  z  z 2  1  (1  i)  (1  i)2  2  3i . Vậy w = 2  3i  13 . Bài tập 1. Tìm phần thực, phần ảo và modun của số phức trong các trường hợp sau: Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 10
Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang 2i (1  i)(2  i)(3  i ) a. z  (2  5i)(3  4i) b. z  c. z  3i i(3  i )(5  i ) (2  3i)  2  3i  (2  i) 2  (3  4i)3 3 2006 d. z  e. z    f. z  4  5i  3  2i  3  i   (1  i) 2 3 2. (TN THPT – 2010 CB). Cho hai số phức z1  1  2i, z2  2  3i . Xác định phần thực và phần ảo của số phức z1  2 z2 . Đáp số : Phần thực -3, phần ảo 8. 3. (TN THPT – 2010 NC). Cho 2 số phức z1  2  5i, z2  3  4i . Xác định phần thực và phần ảo của số phức z1 z2 . Đáp số: Phần thực 26, phần ảo 7. 4. (CĐ Khối A, B, D – 2010 CB). Cho số phức z thỏa mãn : (2  3i) z  (4  i) z  (1  3i)2 Xác định phần thực và phần ảo của z. Đáp số : Phần thực -2, phần ảo 5. 5. (ĐH Khối B - 20 11 NC). Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết 3  1  3i  z   .  1  i  2(1  2i) 6. (ĐH Khối D - 2012). Cho số phức z thỏa mãn: (2  i) z   7  8i . (1  i) Tìm modun của số phức w  1  i  z . Đáp số : w  5 . 7. (ĐH Khối D - 20 1 3 CB). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 11
Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang (1  i)( z  i)  2 z  2i . z - 2z  1 Tìm modun của số phức w  . z2 Đáp số : w  10 . 8. (ĐH Khối D - 2014). Cho số phức z thỏa mãn: (3z  z )(1  i)  5z  8i  1. Tìm modun của z. Đáp số: w  13 . Dạng 2. Tìm tập hợp số phức thỏa mãn điều kiện cho trước : Ví dụ 1. Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các số phức thỏa mãn điều kiện: a. Phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó. b. Phần thực của z thuộc đoạn [-1, 2]. c. Phần thực của z thuộc đoạn [-1, 2] và phần ảo của z thuộc đoạn [1, 3]. d. z  2 . e. 2  z  3 . Giải Giả sử z  x  yi . x a. Theo đề bài ta có: x  2 y hay y  . 2 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z có phần thực bằng hai lần phần x ảo là đường thẳng y  trong mặt phẳng Oxy. 2 b. Do phần thực của z thuộc đoạn [-1, 2] nên ta có 1  x  2 . Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 12
Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x  1 và x  2 trong mặt phẳng Oxy. c. Phần thực của z thuộc đoạn [-1, 2] và phần ảo của z thuộc đoạn [1, 3] nên ta có 1  x  2 và 1  x  3 . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hình chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng x  1, x  2 và y  1, y  3 trong mặt phẳng Oxy. d. Ta có : z  x 2  y 2 . Do đó z  2  x 2  y 2  2 hay x 2  y 2  4 . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm O(0 ;0), bán kính 2 trong mặt phẳng Oxy. e. Ta có 2  z  3  2  x 2  y 2  3  4  x 2  y 2  9 . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn tâm O(0;0), bán kính 2 và đường tròn tâm O(0;0), bán kính 3. Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện ( z  2)( z  i) là số thực. Giải Giả sử z  x  yi  z  x  yi . Ta có: ( z  2)( z  i)  ( x  yi  2)( x  yi  i)  x2  2 x  y 2  y  ( x  2  2 y)i ( z  2)( z  i) là số thực  x  2 y  2  0 . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng x  2 y  2  0 trong mặt phẳng Oxy. Ví dụ 3 (TSĐH Khối B – 2010). Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn : z  i  (1  i) z . Giải Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 13
Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang Giả sử z  x  yi . Ta có : z  i  (1  i ) z  x  yi  i  (1  i )( x  yi )  x  yi  i  x  y  ( x  y )i  x 2  ( y  1)2  ( x  y ) 2  ( x  y ) 2  x2  y 2  2 y  1  0  x 2  ( y  1)2  2 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0;1), bán kính 2 trong mặt phẳng Oxy. Ví dụ 4. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện : z  4i  z  4i  10 . Giải Giả sử z  x  yi . Ta có : z  4i  z  4i  10  x  yi  4i  x  yi  4i  10  x 2  ( y  4)2  x 2  ( y  4) 2  10  x 2  ( y  4)2  x 2  ( y  4)2  2  x 2  ( y  4) 2   x 2  ( y  4) 2   100  ( x 2  y 2  16) 2  16 x 2  34  ( x 2  y 2 )  32( x 2  y 2 )  16  16 x 2  342  68( x 2  y 2 )  25 x 2  9 y 2  225 x2 y 2   1 9 25 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng Oxy là Ellip có x2 y 2 phương trình   1. 9 25 Bài tập Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 14
Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang 1. (TSĐH Khối D – 2009). Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện : z  (3  4i)  2 . Đáp số : Đường tròn tâm I(3 ; - 4), bán kính 2. 2. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn : a. (2  z )(i  z ) là số ảo tùy ý. b. 2 z  3i  z  z  2i . c. 1  z  3 . 1 5 Đáp số: a. Đường tròn tâm I(1; ), bán kính . 2 2 b. Các đường thẳng y = 4 và y = 2. c. Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn tâm O(0 ;0), bán kính 1 và đường tròn tâm O(0 ;0), bán kính 3. Dạng 3 – Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước: Ví dụ 1 (TSĐH Khối D – 2011CB). Tìm số phức z biết z  (2  3i) z  1  9i . Giải Giả sử z  x  yi  z  x  yi . Ta có: z  (2  3i ) z  1  9i  ( x  yi )  (2  3i )( x  yi )  1  9i   x  3 y  (3 y  3x)i  1  9i  x  3 y  1 x  2   3x  3 y  9  y  1 Vậy z  2  i . 5i 3 Ví dụ 2 (TSĐH Khối B – 2011CB). Tìm số phức z biết z  1 0 . z Giải Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 15
Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang Giả sử z  x  yi  z  x  yi . Ta có: 5i 3 z  1  0  zz  z  5  i 3  0  x 2  y 2  ( x  yi )  5  i 3  0 z   x  y 2  x  5   ( y  3)i  0 2   x  1   x  y  x  5  0  x  x  2  0   y   3 2 2 2     y  3  0  y   3   x  2   y   3  Vậy z  1  3i hoặc z  2  3i . Ví dụ 3 (TSĐH Khối B – 2009 (CB). Tìm số phức z thỏa mãn | z  (2  i) |  10 và z.z  25 . Giải Giả sử z  x  yi . Ta có: | z  (2  i) |  10  x  yi  2  i  10 ( x  2)  ( y  1)  10 2 2    2  z.z  25      x  y  25 2 ( x yi )( x yi ) 25  x  3, y  4   x  5, y  0 Vậy có hai số phức thỏa mãn điều kiện bài toán là z  3  4i và z  5 . Ví dụ 4 (TSĐH Khối D -2010). Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện | z |  2 và z 2 là số thuần ảo. Giải Giả sử z  x  yi . Ta có: * | z |  2  x  yi  2  x 2  y 2  2 1 . * z 2  ( x  yi)2  x 2  2 xyi  y 2 Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 16
Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang z 2 là số thuần ảo  x 2  y 2  0  2 .  x2  y 2  2   x  1, y  1 (1), (2)   2   x  1, y  1 x  y  0   2 Vậy có hai số phức thỏa mãn điều kiện bài toán là z  1  i và z  1  i .  z 1   1 (1)  z i Ví dụ 5. Tìm số phức z thỏa mãn   z  3i  1 (2)  z i Giải Giả sử z  x  yi . Từ (1) ta có: z 1  1  z  1  z  i  x  yi  1  x  yi  i z i  ( x  1) 2  y 2  x 2  ( y  1)2 x y Từ (2): z  3i  1  z  3i  z  i  x  yi  3i  x  yi  i z i  x 2  ( y  3) 2  x 2  ( y  1) 2  y 1  x  y 1 Vậy số phức z cần tìm là z  1  i . Bài tập 1. Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau: a. z  z  1  2i b. 2iz   2  3i   1  i  z  1  3i  Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 17
Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang z  z i( z  z ) c.   4  6i 1 i 2  2i 3 3 3 Đáp số: a. z   2i b. z   i c. z  1  10i 2 2 2 2. Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau: z  2  9 a.  b. z  3i  1  iz và z  là số thuần ảo  z  2iz  2 z c. (1  3i) z là số thực và z  2  5i  1 . Đáp số : a. z  1  i hoặc z  1  i b. 2i; 5  2i;  5  2i 7 21 c. z   i hoặc z  2  6i . 5 5 Dạng 4 – Dạng lượng giác của số phức: Ví dụ 1 . Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: a. z  1  i b. z  2  2 3i c. z  1  i   3 i  1  3i d. z  . 3i Giải a. Môđun của z: r  12  12  2 . 1 1  Argument của z : cos  ,sin     . 2 2 4   Dạng lượng giác của z : z  2(cos  i sin ) . 4 4 Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 18
Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang   2 b. Môđun của z: r  22  2 3  4. 2 1 2 3 3  Argument của z : cos   ,sin      . 4 2 4 2 3   Dạng lượng giác của z : z  4(cos  i sin ) . 3 3 c. z  1  i   3 i    Ta có : 1  i  2(cos  i sin ) , 4 4     3  i  2 (cos( )  i sin( )  .  6 6  Vậy        z  2 2 cos  i sin  cos( )  i sin( )   4 4 6 6               2 2  cos .cos(  )  sin .sin(  )   i  sin(  ).cos  cos(  ).sin    4 6 4 6   6 4 6 4     2 2(cos  isin ). 12 12 2 2 d. Ta có : 1  3i  2(cos  i sin ) , 3 3   3  i  2(cos  i sin ) . 6 6 Vậy Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 19
Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang 2 2  2 2    2(cos  i sin )  cos  i sin  cos  i sin  z 3 3  3 3  6 6     2(cos  i sin ) cos 2  sin 2 6 6 6 6  2  2    2  2    cos .cos  sin .sin    sin .cos  cos .sin  i  3 6 3 6  3 6 3 6    cos  i sin . 2 2 Ví dụ 2 (TSĐH Khối B - 2012 NC). Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  2 3iz  4  0 . Viết dạng lượng giác của z1 và z2 . Giải Ta có:  '  3i 2  4  3  4  1  Phương trình có hai nghiệm phức : z1  1  3i, z2  1  3i  Môđun của z1 và z2 : r1  r2  2 . 1 3 2 Argument của z1 : cos   ,sin     . 2 2 3 2 2 Vậy dạng lượng giác của z1 : z1  2(cos  i sin ) . 3 3 1 3  Argument của z2 : cos  ,sin     . 2 2 3   Vậy dạng lượng giác của z2 : z2  2(cos  i sin ) . 3 3 Ví dụ 3 (TSĐH Khối A, A1 – 2013 NC). Cho số phức z  1  3i . Viết dạng lượng giác của z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức w  (1  i) z 5 . Giải Ta có : Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 20