Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
04. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP CÓ TẠI WEBSITE MOON.VN [Tab Toán học – Khóa Chuyên đề LTĐH – Chuyên đề Số phức]
1. Khái niệm về dạng lượng giác của số phức
+ isinj ) được gọi là dạng lượng giác của số phức
Cho số phức z = a + bi, số phức trên được gọi là dạng đại số của số phức Số phức z = r(cosj Trong đó: r: là module của số phức
: là argument của số phức
+ isinj ) ta phải tìm được module và
j
2. Cách chuyển đổi một số phức từ dạng đại số sang lượng giác Để chuyển số phức z = a + bi sang dạng lượng giác z = r(cosj argument của số phức.
2
2
=
+
r
a
b
2
2
+
a
b
Bằng việc đồng nhất biểu thức hai số phức ta có:
, (1)
2
2
a +
a r
a
b
j (cid:219)
a b
r cos r sin
= r = =
j =
, (2)
2
2
b +
b = r
j = = cos sin
a
b
=
j
b) z
Hệ phương trình trên cho phép chúng ta thực hiện việc chuyển đổi dễ dàng từ đại số sang lượng giác. (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)Chú ý: ¤ Từ các hệ thức (1) và (2), kết hợp với kiến thức lượng giác về cung và góc lượng giác ta sẽ xác định được j . ¤ Nhiều số phức cho dạng “na ná”lượng giác rất dễ làm chúng ta “lầm tưởng” đó chính là dạng lượng giác. Nhưng không, bằng việc chuyển đổi linh hoạt các công thức từ cos sang sin và ngược lại ta sẽ thu được dạng lượng giác “chính gốc” ¤ Trong các biểu thức cho phép xác định j thì thường có hai giá trị j chấp nhận được, tùy thuộc vào chiều quay mà ta chọn để lấy j theo chiều dương hay chiều âm (ví dụ cặp giá trị j = –5p /6 hoặc j = 7p /6 đều chấp nhận được) Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính modun và argument của các số phức sau a) z = 1 + i =
-
c) z
3 i
+ 3 i = + d) z 1 i 3 Hướng dẫn giải:
2
2
=
+
r
a
b
, ta có
Áp dụng các công thức
cos
2
2
a +
a j = = r
a
b
j =
2
2
b +
b = r
sin
b
a
2
2
+
=
+ =
= + ⇒ =
a)
2
z 1 i
r
a
b
1 1
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Đồng thời
+ =
=
cos p ⇒ j = 4 j = a j = = r b = r sin 1 2 1 2
=
j =
+ ⇒
⇒
3 1 2 r 2
p z 3 i cos
b)
j =
= r
3 = r 3 2 6
+ =
=
1 j = = r 1 2
j =
=
⇒
- ⇒
3 1 2 r 2
p cos z 3 i
c)
j = -
= r
6
+ =
3 = r 1 j = - = - r 3 2 1 2
⇒
= + ⇒
1 3 2 2
p z 1 i 3 cos
d)
j =
= r
j =
sin sin = r sin
1 j = = r 1 2 3
3 2
= - = -
- 6 i 2 2 2 3i
- - 1 i 3 5 5 3i 3 = r Ví dụ 2: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng lượng giác = - + a) z = - c) z
b) z d) z Hướng dẫn giải:
=
+ =
=
= -
j =
=
⇒
⇒
r 6 2 2 2 2 2 r 2 2 - - - - 3 6 6 = - (cid:219) z 6 i 2 cos
a)
j =
= r
j =
j =
j = cos sin
sin
= -
= 6 i 2
2 2 cos
=
+ 4 12
p r r 6 2 2 7 6 - - - - 2 = 2 = r 2 1 2 r 2 2 2 p p - Từ đó z i sin 7 + 6 7 6
= - +
j =
+
⇒
⇒
⇒ = z
4 4 - - p p p z 2 2 3i cos i sin
b)
j =
4 cos
= r
j =
= r sin
1 2 2 3 2 3 2 3
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
2 = r 2 3 = r 3 2
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
+ =
1 3
2
= -
+
j =
⇒
⇒
- - p p - p
c)
z
1 i 3
⇒ = z
i sin
cos
j =
2 cos
4 3
4 3
1 = r
1 2
= r
2 4 3
3
3 =
j =
= r sin
r
2
+
=
25 75 10
- -
j =
= -
+
⇒
⇒
⇒ =
cos
- - p p - p
d)
z
5 5 3i
i sin
j =
z 10 cos
1 2
4 3
4 3
= r 10
4 3
3
j =
= r sin
5 = r 5 3 = r
2
- -
2
=
j +
z
sin
2i sin
j
Ví dụ 3: [ĐVH]. Viết số phức sau dạng lượng giác:
2
Hướng dẫn giải:
2
2
Biến đổi số phức đã cho ta được
= = + = + z + sin φ 2i sin 2sin cos 2i sin 2 sin cos i sin φ 2 φ 2 φ 2 φ 2 φ 2 φ 2 φ 2
+ > ⇒ =
TH1:
sin 2sin i sin cos 0 z φ 2 φ 2
< ⇒ = - π π 2sin i sin cos sin 0 z
TH2:
Do module của số phức luôn là số dương nên ta xét các trường hợp sau φ 2 φ 2 + φ + 2 φ + 2 φ 2 φ 2
= - = - + - 3 i 1 i 3
Ví dụ 4. Viết các số phức sau dạng lượng giác 1. z
2. z
= - 3. z 1 i 3 = - 5. z 2 2i 7. z = 8i = - 4. z 5 5 3i 6. z = i 8. z = –4i
3. Nhân và chia hai số phức dạng lượng giác
=
=
]
z
)
[ r .r cos( 1 2
z .z 1
2
1
1
2
=
=
)
)
j j
a) Nhân hai số phức dạng lượng giác Cho hai số phức dạng lượng giác: z1 = r1(cosj 1 + isinj 1) và z2 = r2(cosj 2 + isinj 2) j + j j + j + Khi đó số phức z = z1.z2 được cho bởi công thức ) i sin( 2 Từ đó ta có số phức z = z1.z2 có module và argument thỏa mãn r = r1.r2 và j = j 1 + j 2 Chứng minh: Thật vậy ta có:
i sin
z
1
z .z 1
2
j + 1
2
( j + . r cos 2
j + j
(
( r cos 1 )
]
cos
.cos
sin
( j + i cos
.sin
= sin
.cos
)
i sin(
)
.sin
r r 1 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
j + 1
2
= i sin 2 [ ) j + j + r r cos( 2 1 2
0
0
0
=
+
+
0 i sin18
i sin 72
z
j j - j j j j
Ví dụ 1: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng đại số a)
0
0
0
0
+
+
=
)( cos 72 )(
cos15
i sin120
i sin15
( 2 cos18 ( z 3 cos120
b)
=
j + j i sin(
z
1
2
[ r .r cos( 1 2
j + j + 2
1
z .z 1
2
0
0
0
0
0
0
0
=
+
+
+
+
+
) ) Hướng dẫn giải: ] ) ) )
= )(
ta có )
)
( 2 cos 18
cos 72
i sin 72
Áp dụng công thức ( 2 cos18
z
72
( 0 i sin 18
72
a)
0
0
+
=
i sin18 )
i sin 90
z
i 2
0
0
0
0
0
0
0
+
+
=
+
+
+
= ⇒ = i 2 )(
)
)
)
= ( 2 cos90 ( = z 3 cos120
i sin120
cos15
i sin15
( 3 cos 120
0 15
( i sin 120
15
b)
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
0
=
+
=
)
i
i
3
i sin135
⇒ = - z
( 0 3 cos135
3 2
1 2
1 + 2
=
+
-
)(
- -
)
(
z
( = + 1 i
3 i
b)
z
¤
3 + 2 Ví dụ 2: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng lượng giác ) )( 2 i 6 1 i 3 a) Hướng dẫn giải: Với bài này chúng ta hoàn toàn có thể thực hiện phép nhân ngay rồi chuyển kết quả thành lượng giác, nhưng thường thì do argument của số phức khó tìm được kết quả đẹp nên chúng ta sẽ chuyển từng biểu thức sang lượng giác rồi thực hiện phép nhân sau.
Với những dạng bài toán như thế này thì khi chuyển sang lượng giác chúng ta có thể thực hiện nhanh mà
¤
p p - p - p + = + +
a) Ta có: 1 i
- = ; 3 i i sin i sin 2 cos 6
)(
( = + 1 i
không phải trình bày rườm rà thao tác chuyển như thế nào (tức là phải pro về cách chuyển rồi đó). 2 cos 6 . 2 cos
p p - p - p p p + 4 ) - = Khi đó 3 i i sin i sin i sin z 4 2 cos 2 2 cos + 12 + 4 12 4 6 6 = p p - p - p + = + + -
b) Ta có: 2 i 6
i sin = ; 1 i 3 i sin 2 2 cos 3 3
(
)
p p - p - p = + -
(
) =
+ 2 2 cos 0 i sin 0 Khi đó z
)( 2 i 6 1 i 3
i sin i sin 3 2 2 cos + 3 3 + 3 3 2 cos 3 . 2 cos =
b) Chia hai số phức dạng lượng giác Cho hai số phức dạng lượng giác: z1 = r1(cosj 1 + isinj 1) và z2 = r2(cosj 2 + isinj 2)
[
]
2
1
2
2
2
= = = j - j - j Khi đó số phức z được cho bởi công thức z cos( ) i sin( ) j + 1 z 1 z z 1 z r 1 r 2
2
= = Từ đó ta có số phức z có module và argument thỏa mãn r và j = j 1 – j 2 z 1 z r 1 r 2
Chứng minh:
)
)
( r cos 1
( r cos 2
2
2
1
1
) )
2
( r cos 1 ( r cos 2
2
j +
j j - j j i sin i sin i sin j + 1 = = = z Thật vậy ta có j z 1 z i sin j + 1 j + 2 2 r 2
)
(
)
cos
.cos
sin
( i sin
.cos
cos
.sin
2
r r 1 2
1
2
j + .sin 1
1
2
1
=
=
[
]
cos(
)
i sin(
)
j + 1
2
1
2
2 2 r 2
r 1 r 2
j j j j - j j j - j - j
Ví dụ 1: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng đại số
0
p p + i sin 2 3 = = z z
a)
b)
0
0
0 i sin 85 i sin 40
p p + + cos85 cos 40 + i sin 2 cos 2 cos 2 3 2 2
Hướng dẫn giải:
]
[
2
1
2
2
0
=
=
= = j - j - j ) i sin( ) , ta được: Áp dụng công thức z cos( j + 1 z 1 z r 1 r 2
) +
)
- -
a)
z
( 0 cos 85
40
( 0 i sin 85
= 0 40
+ 0 cos45
= 0 i sin 45
i
0
+ +
1 + 2
1 2
0 i sin 85 i sin 40 2 3
p p + i sin p p p p p p = = - - z cos i sin i sin i
b)
0 cos85 0 cos 40 2 cos 2 cos
p p + 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 + cos 6 = 6 6 + 4 2 4 = + i sin 2 3 2 2
Ví dụ 2: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng lượng giác
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
- + 1
=
=
z
-
a)
b)
z
1 i + 2 2i
3i + 3 i
- p - p p p + + = = + i sin + ; 2 2i 2(1 i) i sin - = a) Ta có: 1 i 2 cos
Hướng dẫn giải: 2 2 cos
4 4 4 4
2 cos
2 2 cos
Khi đó: - p - p + i sin - p p p p - p - p 4 4 = = = - - - - z cos i sin + cos i sin i p p 1 i + 2 2i 1 2 4 + 4 = 4 4 1 2 2 = - 2 1 2 + i sin 4 p p p p + = +
b) Ta có:
2 cos
2 cos
⇒ = z
+
= 6
2 3
- + 1 = 3i i sin ; 3 i i sin 4 2 cos 2 + 3 2 3 6 6 p p + i sin p p p p p p - + 1 2 3 = = = - - Khi đó z cos i sin i sin i p p 2 3 6 2 3 + cos 2 2 3i + 3 i + i sin 6 6
2 cos Ví dụ 3: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng đại số
0
p p p p + + = a) z 5 cos i sin i sin 4 6 4 6
= z
b)
.3 cos 0 i sin 45 ) 0 i sin15 )
+ + 2(cos 45 0 3(cos15
4. Công thức Moiver và ứng dụng dạng lượng giác của số phức
+ isinj )]n = rn[cos(nj ) + isin(nj )] j j j j + isinj ), khi đó zn = [r(cosj j ) + isin(nj j )] được gọi là công thức Moiver.
a) Công thức Moiver Cho số phức z = r(cosj Công thức zn = rn[cos(nj Ví dụ:
4
4
4
=
+
=
+
=
p +
)
) p = -
p p p p
(
)
( = + 1 i
z
2cos
i sin
2
( 4 cos
i sin
4
cos 4.
i sin 4.
4
4
4
4
Bằng các phép tính toán đại số ta cũng dễ dàng thu được kết quả như trên!!! b) Ứng dụng dạng lượng giác ¤ Ứng dụng 1: Tính toán các biểu thức số phức với lũy thừa lớn
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính module và viết các số phức liên hợp của mỗi số phức sau
( = - +
)6
z 1 i 3 z
b)
a)
6
6 =
- +
p p p p
)
( ⇒ = - +
a) Ta có:
1 i 3
z
i sin
i sin
= 1 i 3
2 cos
2 cos
2 + 3
2 3
2 + 3
2 3
100 - 1 i = + 1 i Hướng dẫn giải:
6
6
6
) p =
( 2 cos4
p p = p + = + i sin 4 2 ⇒ = z 64 2 cos i sin 12 3
12 3 = = Từ đó ta có z 64; z 64
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
- p - p + - = b) Ta có: 1 i i sin 2 cos 4 4
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
+
i sin
- p - p
2 cos
4
+ =
+
=
=
+
= -
⇒
1 i
i sin
cos
i sin
i
p p - - p - p
2 cos
4
4
1 i + 1 i
2
2
+
i sin
2 cos
4
4
4
p p
100
100
- - p - p - p - p + = + = = cos i sin cos i sin 1 ⇒ = z 100 2 2 100 2
8
4
6
= 1 i + 1 i Từ đó ta được z
+ - -
) (
)
2 = 1; z 1 Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính module của mỗi số phức sau ) 6 ( + 1 i 3 i 3 3i = = z z
b)
a)
5
5
)
-
( 1 i 3 ( 1 i
-
)
) ( ( 1
3i
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
8
8
p p p p p p ¤ + = + = + = +
)8
1 i 3 i sin
( ⇒ + 1 i 3
6
6
6 =
( p +
)
(
)
i sin i sin 2 cos 2 cos 3 3 8 3 8 3 2 3 2 3 - p - p - p - p ¤ + + - - p
( ⇒ -
)
5 =
)
- = 3 i i sin 3 i 2 cos i sin i sin 2 cos = 6 6 - p - p - p - p - p - p ¤ + + +
(
( ⇒ - 1 i
)5 - = 1 i i sin 2 cos i sin i sin 2 cos 2 cos 2 cos = 4 2 cos 4 4 6 6 5 4 6 6 5 4 5 4 5 4
6
8
6
(
)
(
)
8 2
p p - p - p + p + - - p + cos i sin .2 cos i sin + - cos i sin
)
5
)
14 2 4 2
3 i 2 3 2 3 = = = z - p - p - p - p - Từ đó ta có: ) ( ( 1 i 3 ( 1 i + + cos i sin i sin 3 5 4 3 5 4 5 4
14 2 4 2
- p p - p p p p = + = + + + cos i sin ⇒ = z cos i sin 5 4 11 12 11 12 5 4 3 3 4 2 cos 5 4 14 2 4 2
14 2 4 2 b) Ta có:
6
)
p p p p p p ¤ + = + = + = +
(
)6
( ⇒ + 1 i
4
4 =
1 i i sin 2 cos i sin i sin 2 cos 4 6 4 6 4 3 2 3 2 - p - p - p - p ¤ + -
)
( 8 cos ) 4 ) ( - = 3 1 i 3 = 3i i sin
( ⇒ - 3
5
3i 6 cos i sin 6 cos = + 4 4 6 4 6 4 - p - p = + i sin 36 cos 3 2 3 2 - p - p - p - p ¤ + + -
)5 =
( ⇒ - 1
3i 2 cos i sin 1 = 3i i sin 2 cos 3 5 3 5 3 3
4
6
p p - p - p + + i sin i sin -
)
( + 1 i
5
5
3i 3 + cos0 i sin 0 8 cos .36 cos 3 2 3 2 3 2 = = = 9. z - p - p - p - p - + +
)
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Từ đó ta có: ) ( ( 1 3i cos i sin 2 cos i sin 5 3 5 3 5 3 3 2 5 3 p p = + ⇒ = z i sin 9 9 cos 5 3 5 3 ¤ Ứng dụng 2: Tìm căn bậc n của số phức - Khái niệm căn bậc n:
+ isinj ), và số phức w là w = r’(cosj ’ + isinj ’)
n
)
(
)
)
) ( j + = i sin n '
( cos n '
( r cos
( j + r cos
i sin '
i sin
i sin
r '
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Cho số phức z, một số phức w được gọi là căn bậc n của số phức z nếu wn = z. - Cách tìm căn bậc n của số phức z Giải sử số phức z đã cho là z = r(cosj Khi đó điều kiện wn = z tương đương với: j + r ' cos '
j + n
) =
n
n
=
r '
⇒
Từ đó ta suy ra
, với k = 0, 1, 2…n –1.
r j +
j j (cid:219) j j
r j = j +
n '
k2
j = '
= r '
p p
n
Vậy các căn bậc n của số phức z là
k2 n r cos
j + p p = + = - w j + i sin , k 0, n 1 k2 n k2 n
= -
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm các căn bậc n theo yêu cầu a) Căn bậc 3 của z 3 i b) Căn bậc 4 của z = i
Hướng dẫn giải:
- p - p = +
a) Ta có z
- = 3 i i sin 6 6
+
+
k2
k2
3
6
6
=
+
=
Gọi số phức w = r(cosj 2 cos + isinj ) là căn bậc 3 của z, khi đó w3 = z. - p - p p p
w
i sin
, k
0, 2
3
3
2 cos
Theo công thức tính căn bậc n của số phức ta có
3
3
=
+
=
+
w
i sin
i sin
1
2 cos
6 3
18
18
6 3
- p - p - p - p Với k = 0 ta được
+ p
2
+ p 2
3
3
6
6
=
+
=
+
w
i sin
i sin
2
2 cos
3
3
11 18
11 18
- p - p p p Với k = 1 ta được
+ p
+ p 4
4
3
3
6
6
=
+
=
+
w
i sin
i sin
3
2 cos
3
3
23 18
23 18
2 cos 2 cos 2 cos
- p - p p p Với k = 2 ta được
+
= = i
cos
i sin
Vậy số phức đã cho có ba căn bậc ba là w1, w2, w3 như trên. p p
b) Ta có z
2
+ isinj ) là căn bậc 4 của z, khi đó w4 = z.
2 Gọi số phức w = r(cosj Theo công thức tính căn bậc n của số phức ta có:
+
k2
k2
k2
k2
4
2
+ 2
+ 2
2
=
+
=
+
=
w
i sin
cos
+ i sin
, k
0,3
4
4
4
4
1 cos
p p p p p p p p
+
=
+
Với k = 0 ta được
= w cos
i sin
cos
i sin
1
2 4
8
8
2 4
p p p p
+ p 2
2
2
+ p 2
=
+
=
+
w
cos
i sin
cos
i sin
Với k = 1 ta được
2
4
4
5 8
5 8
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
p p p p
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
+ p 4
4
2
+ p 2
+
=
+
Với k = 2 ta được
= w cos
i sin
cos
i sin
3
4
4
9 8
9 8
p p p p
+ p 6
6
+ p 2
2
=
+
=
+
Với k = 3 ta được
w
cos
i sin
cos
i sin
4
4
4
13 8
13 8
Vậy số phức đã cho có bốn căn bậc bốn là w1, w2, w3, w4 như trên.
p p p p
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
8
=
- -
Bài 1: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng đại số )6
) (
( = + 1 i
1 i 3
a)
z
b)
z
2 2 3i
4
)
- -
)15 )
( (
7
= = - z
c)
d)
6
( . 1 i )
z cos i sin + 5 i .(1 3i) π 3 π 3 3 3 3i ( + 3 i
Bài 2: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng lượng giác
7
8
10
) 10
= = - - - -
(
(
) (
)
z 1 i z 6 i 2 3 i
a)
b)
7
) ( 3 i )
( + 1 i
9
) (
=
)8
( = - 1 i
z + 1 i 3 z
b)
d)
8
-
)
(
3 i
Bài 3: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng lượng giác
5
7
10
4
)
+ 3 i = = -
(
) (
)
( + 1 i
z + 3 i 1 i 3 z
a)
b)
11
6
20
7
-
- + = z z
c)
d)
- 1 i 3 1 i .(3i) ) 10
) ( ) ( 1 i 3 ) ( 3 i ( + 1 i
=
= + 3i
b) z = 1 + i d) z 1
2 2i
= - 3 i
b) z
= - i= -
Bài 4: [ĐVH]. Tìm các căn bậc 3 của: a) z = 1 c) z = 1 – i Bài 5: [ĐVH]. Tìm các căn bậc 4 của: a) z = + c) z 1 i 3
d) z
2010
+
z
biết
z
Bài 6: [ĐVH]. Tính:
+ = 1
1 2010
z
1 z
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
