Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
01. MỞ ĐẦU VỀ SỐ PHỨC – P2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP CÓ TẠI WEBSITE MOON.VN [Tab Toán học – Khóa Chuyên đề LTĐH – Chuyên đề Số phức]
5. CÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ PHỨC
5.1 Phép cộng, trừ hai số phức
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i
Khi đó số phức w = z + z’ được tính bởi : w = (a + a’) + (b + b’)i
¤
Tương tự, số phức u = z – z’ được tính bởi : u = (a – a’) + (b – b’)i
'
'
"
"
"
+
+
+
¤
(
)
z
z
z
z
z
ℂ
= + z
' z,z , z
'
'
" ˛
z
) ℂ
˛ ℝ , nếu kí hiệu số phức a bi
z z, z ℂ )
là –z thì ta có
( z)
( z)
0
= + " ' z z z a bi (a, b
˛ ˛ - -
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)Chú ý: Phép cộng hai số phức có đầy đủ tính chất như phép cộng hai số thực là tính giao hoán, kết hợp. ♦ Tính chất kết hợp :( + ♦ Tính chất giao hoán : z + = + = " ♦ Cộng với 0 : z 0 0 z = + ♦ Với mỗi số phức z + - = - + = z z Số –z được gọi là số đối của số phức z Ví dụ. Thực hiện phép cộng, trừ các số phức sau 1. z = 2+ 3i ; z’ = 5 – 2i 2. z = –5 + 2i ; z’ = 3i 3. z = 2 – 3i ; z’ = 2 – i
'
'
+
;
, ta có
Áp dụng công thức +
+ (a = +
+ ' a ) = - +
- -
- -
1.
;
z
+ = ' z
' a ) 7 i
Hướng dẫn giải: - = ' (a z z + + (3 2)i (2 5)
(b b )i 3 5i
'
+ = ' z z (3 2)i = - +
- -
2.
;
5 5i
z
= -
- -
3.
;
z z
+ (2 5) + + = - + z 5 (3 2)i + + + = ' (3 1)i (2 2) z
4 4i
= - 5 (2 3)i + - + (2 2)
5 i = - ( 3 1)i
+ (b b )i - = ' z z - = - + ' z - = ' z
z
2i
5.2 Phép nhân hai số phức
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i
˛ ℝ , ta có k(a + bi) = (k + 0i)(a + bi) = ka + kbi
)
'
=
¤
" ˛
Khi đó số phức w = z.z’ được tính bằng công thức : w = aa’ – bb’ + (ab’ + a’b)i (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) Nhận xét : Với mọi số thực k và mọi số phức a + bi (a, b 0z = 0 với mọi số phức z (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) Chú ý: Phép nhân các số phức có đầy đủ tính chất như phép nhân các số thực ' ♦ Tính chất giao hoán :
z, z
"
"
"
=
ℂ
ℂ ' z, z , z
" ˛
' z .z, ' z(z z ), ℂ z
"
"
'
'
=
+
+
" ˛
)
ℂ
' z, z , z
" zz ,
zz
z
" ˛
z.z ' (zz )z ♦ Tính chất kết hợp : = = ♦ Nhân với 1 : 1.z z.1 z, ♦ Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng ( z z Ví dụ 1: [ĐVH]. Phân tích ra thừa số số phức các biểu thức sau 1. a2 + 1 3. 4a2 + 9b2
2. 2a2 + 3 4. 3a2 + 5b2
Hướng dẫn giải:
2
+ =
-
Sử dụng i2 = –1 ta được 2 (a 1.
- = 2 i
a
i)
2
2
1 a + 2
=
+
- -
2.
9b
4a
4a
+ i)(a = 2 2 9b i
(2a 3bi)(2a 3bi)
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
2
2
+ =
= 2
- -
(
)
3.
2a
3 2a
3i
3i
2
2
2
+
=
a 2 (
- -
)( + 3i a 2 )(
)
4.
3a
5b
3a
= 2 2 5b i
5bi
+ 3a
3a
5bi
5.3 Phép chia cho số phức khác 0
- = 1
♦ Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số
z
z
1 2
z
♦ Thương
của phép chia số phức z’ cho số phức z khác 0 là tích của z’ với số phức nghịch đảo của z, tức là
'z z
'
1
=
' z z
z z
'
-
(
)
' b i
=
=
Vậy
với z
0„
' z z 2
2
2
)( + ' a bi a ( +
)
z z
b
a
z
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) Nhận xét :
-
1
1
=
=
• Với z „
0, ta có
1.z
z
1 z
• Thương
là số phức w sao cho zw = z’. Có thể nói phép chia cho số phức khác 0 là phép toán ngược của phép
'z z
- -
nhân • Thực chất của phép chia hai số phức là nhân cả tử số và mẫu số với biểu thức phức liên hợp của mẫu số. Ví dụ 2: [ĐVH]. Thực hiện phép chia các số phức sau
=
=
z
z
1.
2.
+
)
1 ( )( 1 i 4 3i
- + 5 6i + 4 3i
-
=
z
z
- -
3.
4.
7 2i 8 6i
3 4i 4 i
=
- -
=
=
=
=
=
z
i
- - -
1.
2
+
)
i
i
7 i
i
i i
1 + 7
i )(7
7 2 7
)
Hướng dẫn giải: 1 50
7 50
- - -
=
=
=
+
- -
2.
z
i
+
39 25
-
¢ =
=
=
=
+
- -
3. Tính
z
i
1 ( )( + 1 4 3 (7 i - + - + - + 5 6 i i ( 5 6 )(4 3 ) i = + i 4 3 i (4 3 )(4 3 ) i i 7 2 i 8 6
+ (7 2 )(8 6 ) i i + (8 6 )(8 6 ) i i
i 2 39 2 + 2 2 25 3 4 + 68 26 i + 2 2 8 6
17 25
13 50
- -
=
=
+
=
z
¢= z
i
i
Vậy
7 2 i i 8 6
17 25
13 50
17 25
13 50
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) Nhận xét : Ta cũng có thể giải câu này theo cách khác như sau (sử dụng tính chất của số phức):
- - -
=
=
=
=
z
i
2
+ (7 2 )(8 6 ) i i + 2
i 7 2 i 8 6
+ 7 2 i = + 8 6 i
8
6
17 25
13 50
i 7 2 i 8 6
- - - - - -
=
=
=
=
- - - -
4.
z
i
3 4 i i 4
+ (3 4 )(4 i + )(4 i (4
i ) i )
i 16 13 + 2 1 4
16 13 17 17
- -
6. CÁC TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC
♦ Cho số phức z = x + yi , ba tính chất sau của số phức được xếp vào 1 nhóm:
(cid:219) = z
z
⇒ = . Vậy z là số thực.
Tính chất 1: Số phức z là số thực Chứng minh: = (cid:219) z
Ta có : z
(cid:219) = x yi
= - yi
+ x
y
0
x
z
Tính chất 2: Số phức z là số ảo
(cid:219) = - z
z
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Chứng minh:
= -
+
Ta có :
. Vậy z là số ảo.
z
z
x
= - + yi
(cid:219) = x yi
x
0
⇒ = z
yi
2
(cid:219)
Tính chất 3: Cho số phức z có số phức liên hợp z và module là |z|. Khi đó:
zz
z=
2
2
=
+
z z
(
x
yi x )(
yi
= )
x
= 2 2 y i
+ 2 x
y
2
=
2
z z
z
- - (cid:190) (cid:190) fi
Chứng minh:
2
2
2
2
2
=
+
=
+
z
x
y
x
y
(
)
♦ Cho 2 số phức z1 = x1 + y1i ; z2 = x2 + y2i, ba tính chất tiếp theo được xếp vào nhóm liên hợp:
+
=
+
z
z
2
z 1
2
=
+
+
=
+
z
(
)
(
(
(
x 1
2
y 1
y i ) 2
x 1
+ y 1
) y i fi + 2
+ z
z
= z 1
2
z 1
2
+
=
z
)
x ) 2 + (
- (cid:190) (cid:190) - - -
Tính chất 4: 1 z Chứng minh: + + z 1
x 1
z 1
2
x 2 + y i 1
= y i 2
+ x ( 1
x 2
y 1
y i ) 2
x 2 =
z .z 1
2
+
+
=
(
+ )
(
)
(
z z 1 2
x 1
y i x )( 1 2
x x 1 2
y y 1 2
= ) x y i 2 1
x x 1 2
y y 1 2
+ x y 1 2
x y i ) 2 1
=
z z 1 2
z z . 1
2
( =
(
(
)
- - - (cid:190) (cid:190) fi - - - -
z z Tính chất 5: 1 2 Chứng minh: =
z z . 1
x 1
2
y i x )( 1 2
y i ) 2 = y i ) 2
x x 1 2
y y 1 2
+ ( x y 1 2 + x y ( 1 2
x y i ) 2 1
=
Tính chất 6:
z 1 z
z 1 z
2
2
2
2
2
2
+ - - - ( x x 1 2 x y i ) 2 1 = = = + i + + + + + z 1 z x 1 x 2 y i 1 y i 2 y y ) 1 2 2 x 2 + x x 1 2 2 x 2 x y 2 1 2 y 2 y y 1 2 2 y 2 x y 1 2 2 x 2 = (cid:190) (cid:190) fi z 1 z z 1 z - - - + = = = i - - z 1 z x y ( 1 2 2 y 2 + x x 1 2 + 2 x 2 + y i x )( 2 1 + y i x )( 2 2 x y 2 1 2 y 2 y y 1 2 2 y 2 y i ) 2 y i ) 2 x y 1 2 + 2 x 2 ( x 1 x ( 2
Chứng minh: x y i 1 1 x y i 2 2 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) Nhận xét : Ngoài cách chứng minh cổ điển trên thì ta có thể sử dụng ngay một “thành quả” đã chứng minh được là tính chất số 5.
= ⇒ =
z
z z .
z 1
2
z 1 z
2
Thật vậy, đặt
Theo tính chất 5 ta có:
2
z 1 z
z 1 z
2
2
2
= = z z . z z . z , hay . z 1 = ⇒ = 2 z 1 z
♦ Cho 2 số phức z1 = x1 + y1i ; z2 = x2 + y2i, ba tính chất tiếp theo được xếp vào nhóm module:
=
Tính chất 7:
z z 1 2
z z 1
2
+ + = - ) ( + ) (
Chứng minh: = ( z z 1 2
x 1
y i 2
x x 1 2
y y 1 2
)( y i x 1 2 + x y 1 2 ) x y i 2 1
2 ) , (1)
z z 1 2
x x 1 2
y y 1 2
x y 2 1
x x 1 2
x y 1 2
x y 2 1
y y 1 2
2
2
2
= + 2 = 2 + 2 + 2 + 2 - ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + x y 1 2
z
2 ) , (2)
x x 1 2
x y 1 2
x y 2 1
y y 1 2
2 y 1
2 x 2
2 x 1
2
2 z y 1 2 Từ (1) và (2) ta có (đpcm)
z 1
= + + + = + + ( ) ( ) ( ) ( .
=
Tính chất 8:
z 1 z
z
2
2
Chứng minh:
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
(
+ x x 1 2
x y i ) 1 2
=
=
=
+ +
+ +
- -
z 1 z
2
x 1 x 2
y i 1 y i 2
( x 1 x ( 2
y i x )( 1 2 y i x )( 2 2
y i ) 2 y i ) 2
+ ) y y 1 2 + 2 x 2
2
2
(
)
y
-
2 x 1
2 y 1
2 x 2
2 2
+
=
=
(1)
2
+ +
+
+
( x y 2 1 2 y 2 )( +
z ⇒ = 1 z 2
x x 1 2 2 x 2
y y 1 2 2 y 2
+ 2 x 1 2 x 2
2 y 1 2 y 2
+ (
+ )
x y 2 1 ( 2 x 2
x y 1 2 ) 2 y 2
y
2 x 2
2 2
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) Nhận xét :
= ⇒ =
Tương tự như nhận xét đã nêu ở tính chất 6, ta đặt
z
z z .
z 1
2
z 1 z
2
-
Theo tính chất 7 ta có:
2
2
2
2
2
+
z 1 z 1 = = = z z . z z . ⇒ = z , hay . z 1 z z 1 z z
z
z
£
Tính chất 9:
z 1
2
+ z 1
2
Chứng minh:
2
2
+
+
+
+
y
y
z
z
+ (
+ (
x 1
+ x 2
y 1
2
2 x 1
2 y 1
2 x 2
2 2
z 1
2
+ z 1
2
2
£ (cid:219) £ ) )
y
+ y
y
+ 2 )
x 2
2
+ 2 x 1
+ 2 x 2
+ 2 x 2
2 2
+ 2 2 ( x 1
2 y 1
+ 2 )( x 2
2 2
2
2
2
2
2
(cid:219) £ ) )
+ ( y 1 )
+ ( x 1 (
y y 2 1
+ x x 1 2
+ x y 2 1
+ x y 1 2
y y 1 2
+ x x 1 2
2
(cid:219) £ ( ) ( ) ( ) ( )
x y 2 1
x y 1 2
(cid:219) - ‡ ) 0 (
Ví dụ 1: [ĐVH]. Thực hiện các phép tính sau :
=
+
=
z
z
i
z
i
+ (2 3 ) i
+ - (1
- - (1 )(3 2 ) i )
a.
b.
c.
=
=
+
z
- 7 2 i 8 6 i + -
d.
e.
z
(5
i
i )(2 3 )
i i
Hướng dẫn giải:
- = 1 1
=
=
=
=
- - - -
a.
z
i
2
+ i i (7 2 )(8 6 ) + 2
8
6
17 25
13 50
i 7 2 i 8 6
+ i 7 2 = + i 8 6
i 7 2 i 8 6
=
+
- -
(1
= + 1
+ 2 1
+ 2 2 1 . 3
= 2 2
26
- -
b.
z
i
i )(3 2 )
i
= i 3 2
=
1
c.
z
+ - = + i
i
i 2 3
+ + = - i
i 3 2
(1 +
+ i (2 3 ) +
1
i
=
=
=
=
1
z
d.
1 1
1
i i
i
+ - = - i 1 ) 2 3 + 1 1 + 1 1
+
=
=
- -
(5
(5
i
z
= + i )(2 3 ) 5
= i i .2 3
+ + i i )(2 3 ) 13 13
i
- - -
e. Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính module của các số phức sau
+
= - +
= +
1 3i
3 2i
a. z(1 2i)
b.
=
) = -
( - + 1 2i
5 6i
z
c.
d.
z + 2 3i
z - + 1 3i + 2 i 1 i
- + 1 3i + 2 i
Hướng dẫn giải:
Áp dụng các lớp tính chất liên quan đến module ta có:
= - +
=
=
-
= - + ⇒ +
+ z(1 2i)
1 3i
z(1 2i)
1 3i
+ z . 1 2i
10
2
(cid:219) ⇒ = z
a.
10 5
z
= +
=
= + ⇒ 3 2i
3 2i
13
13. 10
130
(cid:219) ⇒ = z
b.
- +
- +
z 1 3i
= 1 3i
z - + 1 3i
= -
) = -
( - + 1 2i
5 6i
6 4i
6 4i
= 52
2 13
26
(cid:219) (cid:219) ⇒ ⇒ = z
c.
z + 2 3i
z = - + 2 3i
z + 2 3i
z = + 2 3i
- +
1 3i
=
z
z
= . z
. z
(cid:219) (cid:219) ⇒ ⇒ = z
d.
+
+ 2 i 1 i
- + 1 3i + 2 i
+ 2 i 1 i
- + 1 3i = + 2 i
+ 2 i 1 i
2 i
2 5 5
10 5
5 = 2
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
- - -
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
3
+
=
(
)
z
2
z
2
) ( 1
i
i
(1)
- -
Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm số phức z biết
Hướng dẫn giải:
= +
a bi
⇒ = - z
a bi
Giả sử z
3
2
2
3
(cid:219) +
(1)
+ a bi
2(
= a bi
)
+ (2
+ 3.2
i
+ 3.2 i
i
)(1
i
)
(cid:219) +
+
- -
+ a bi
2
a
= 2 bi
i (8 12
- = 6 i
)(1
+ ) i
i (11
2)(1
i
)
- - - -
2
= a bi 3
i 11
+ - 11 i
+ = 2 2 i
i 13 9
= a (cid:219) - - (cid:219) (cid:219) - ⇒ = z i 9 13 9 13 3 = 3 a - = b 13 3 9 = - b
2
2 3 ,
1
;
;
+ z z 1 = + i z = + . Tính i z 1 z+ 23
Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho 1 z
2
3 z 1
2
2
2
z+ 23 z
⇒
61
5
6
+ = + + + = + = Hướng dẫn giải: = + i 2 3 i 3 3 i 5 6 z 1 z+ 23 z +) 1 z 23
(
)
+
+
+
+ 3 4 i
i
z
z
7
i
2
z 1
2
=
+
=
=
=
=
z ⇒ 1
+)
-
z
+ 3 4 i + i 1
)( 1 2 i
1
2
z
2
2
2
3
+
= +
+
+
=
- 49 4 1 4 5 2 2
i
= - 3 3 i
+ 49 6 i
3 z 1
23 z
z+ 23
2
+
=
- - 8 36 i 54 i 27 2437 +) ⇒ 3 z 1
(
) (
)
z
z
i
+ 2
- 3 3 2 i (1)
Ví dụ 5: [ĐVH]. Tìm số phức z biết:
Hướng dẫn giải:
Giả sử z = a + bi, ta có:
)
(
)
(
+ a bi
i
i
+ 3 a
= 3 bi
+ 9 12 i
)( + = 2 4 2 i
) ( + 5 12 . 2 i
(cid:219) - - - (1)
2
+
=
+ 4 a
= 2 bi
= 12 i
(cid:219) = a
= ; b
. Vậy
z
i
11 12
19 2
11 19 2 2
3
+
=
+
- (cid:219) - - - - 10 24 i 5 i 22 19 i
(
) (
)
z
3
z
2
i
2
i
(1)
-
Ví dụ 6: [ĐVH]. Tìm phần ảo của z biết:
Hướng dẫn giải:
Giả sử z = a + bi
2
3
(cid:219) +
+
=
+ 2
) +
(
)
(
(1)
+ a bi
a 3
= 3 bi
+ 8 12 i
+ 6 i
)( - = 2
i
i
) ( i 2 11 . 2
i
4
a
= - 2 bi
+ 4 2 i
i 22
i 11
i 20
15
(cid:219) = a
= - ; b
10
. Vậy phần ảo của z bằng -10
15 4
- - (cid:219) - -
)2
(1
i
( + 2) 1
i
+
=
z
z
2
(1)
-
Ví dụ 7: [ĐVH]. Tìm môđun của z biết
2
i
Hướng dẫn giải:
2
-
)2
(1
i
i
i 2
(cid:219) +
=
(1)
+ a bi
2
a
= 2 bi
( + + 2) 1 2 i 2
+
)
- - - - -
+
i (2
( 2 2) 2
i
i
+ =
(cid:219) = a
= ; b
= 3 a bi
2
4 2 2 15
4 2 2 5
4
i
2 2 i i 2 i + (4 2 2) 4 2 2 5
+ -
+
+
+
+
=
- - - - (cid:219) - -
32 4 16 2 144 72 144 2 225
225 128 2 15
)
= - 2
i
(1)
⇒ = z
Ví dụ 8: [ĐVH]. (Đề ĐH khối A, A1 năm 2012) Cho số phức z thỏa mãn
+ z 5( + z
i 1
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
2
= + +
ω 1 z
z
.
Tính môđun của số phức
Hướng dẫn giải
= +
z
( a bi a b ,
,
) ˛ ℝ
Giả sử
5(
2
2
i
(1)
5
a
- = 5 ( i b
+ 1) 2
a
+ - bi 2
2
ai bi
i
- (cid:219) (cid:219) - - -
+ a bi ) i = - + + 1 a bi b i b a (5 2 3
+ + = 5 2
b a
1) 0
(cid:219) - - - - -
0
1
+ =
⇒ = + + + +
⇒
ω
ω 1 1
i 1 2
i
- = + ⇒ = i 1 2 3
4 9
13
⇒ = + z
1
i
- = 2 b + - =
4 0
1
3 a 3 b a
= a = b
+
+
= +
(2
i z )
i 7 8
(1)
- (cid:219)
Ví dụ 9: [ĐVH]. (Đề ĐH khối D năm 2012) Cho số phức z thỏa mãn:
+ i 2(1 2 ) +
1
i
Tìm môđun của số phức
w = + + 1z i
Hướng dẫn giải:
= +
Giả sử
z
( a bi a b ,
,
) ˛ ℝ
(1)
+ (2
+ + ) )( i a bi
i 7 8
+ i 2(1 2 ) = + +
1
i
(cid:219)
) i = +
+ 2 a
+ + + 2 bi ai bi 2
i 7 8
i +
+ 2(1 2 )(1 2 1
i
- + =
a b
3 7
2
= a
3
2
- (cid:219)
+ 2 a
+ 2 bi ai bi
+ - + 1
i
= + 2 i 2 i
i 7 8
+ + =
=
b a 2
1 8
2
b
w = +
w⇒ =
Do đó
i 3 2
+ + = + i
i 4 3
1
16 9
+ = .
5
2
2
=
+
z
z
z
(1)
(cid:219) - - (cid:219) (cid:219)
Ví dụ 10: [ĐVH]. (Đề ĐH khối A năm 2012) Tìm tất cả các số phức z, biết
2
+
+
=
)2 =
(1)
( + a bi
+ 2 a
+ - 2 b
a bi
a
2 2 b i
2
+ - 2 a
(cid:219) (cid:219)
2
Hướng dẫn giải: + 2 abi a bi b = - a
; = b 1 2 0 = (cid:219) - (cid:219) + - 2 b 2 a bi = (cid:219) 2 abi 0 0 b b 2 + + = a = = ab 2 0 b - - = = a b ; 1 2 a 0; 1 2 1 2
- - = = = - z 0; z i z ; i Vậy 1 1 + 2 2 1 1 2 2
- z 1)(1 + + ) i + z ( 1)(1 - = - i ) 2 2 (1) i
Ví dụ 11: [ĐVH]. (Đề ĐH khối A năm 2011) Tính môđun của số phức z biết (2
(cid:219) - - + (2 a bi 2 + + 1))(1 i ) + a bi ( - = - 1)(1 Hướng dẫn giải: i ) 2 2 i (1)
+ - = - 2 + (cid:219) - - + 2 a + 2 ai + 2 bi bi 2 - + - 2 1 i a ai bi bi 1 i
2
+
=
z =
.
. Suy ra
2
1 9
1 9
2 3
= 3 3 b a + - = - a b 2
- + (cid:219) - - (cid:219) (cid:219) a 3 + 3 ba ai bi = - i 2 i 2 2 -
1 3
2 2 i = 1 a 3 = b
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
=
+
)
- -
2. (
Bài 1: [ĐVH]. Tính module và số phức liên hợp của mỗi số phức z sau : + 1. z
(2 5i)(3 i)
+ = 1 i z 3 2i 4z
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
=
=
-
3.
4.
z
z
+
= - +
+
( 1 3i)(2 i)
-
=
+
- -
1 (3i 4)(2 i) = + + 4 5i ) ( = -
8.
z
+ 4 3i
5. z(2 3i) ) 7. ( + 1 3i z
7 5i
5 8i 2 3i
= +
=
- - -
10.
9. z
(1 2i)(2 4i)
z
-
3i 7 + 10 i + 6. (1 2i)z + 3 7i + 2 3i 3 4i 2 i
=
- +
=
- -
11.
12. z
(2 i)( 3 2i)(5 4i)
z
+
=
+ -
=
+
- -
14.
13.
z
5 4i
z
(3 2i)(4 3i) 1 2i
+ 7 i 2 i + 5 5i 3 4i
=
- -
15.
z
+
(
)
20 + 4 3i + 2 3i )( 4 i 2 2i
-
Bài 2: [ĐVH]. Tìm số phức z biết
3
=
+
- = - 1 1
z
i 2
z
- -
a)
b)
c)
z z .
3(
z
= - ) 1 4 i
z
( 2 + 1
i ) i 2
Bài 3: [ĐVH]. Tính mô-đun của số phức z biết
1
i
i z (2 3 )
=
+ - 2
i
- -
a)
2
z
z
3
i
)
= -
=
+ - i 4 3 (1
3 ) ;
i
.
Tính mô-đun của số phức
- -
b) Cho số phức
z
z z 2. 1
z 1
= z 2
+ 1 2 i 1
(1 + i
-
)3
( 1
z
iz+ .
i 3 = z . Tín mô-đun của số phức
c) Cho số phức
2012
2012
- 1 i
Bài 4: [ĐVH]. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
2013
2012
= - + ( 1 z i 3 ) + + (1 i 3 )
'z
= + z
iz
+ z + = 1 i i . Tìm 'z biết
Bài 5: [ĐVH]. Cho số phức
Bài 6: [ĐVH]. Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau:
2
2
2 + =
z
z= 2
z
1 0
z
-
a)
b)
2
+
i
2
=
i
z
z+
= 0
d)
c)
+
( ) z z
1
Bài 7: [ĐVH]. Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau:
) = +
+
+
i 4 6
- - -
a)
b) (
z
z
)(1
+ + ) i
(
z
= - )(2 3 ) 4 i
z
i
2
z 1 2 z
+ z + i z+ 2
z
i z+
z i z ( 2 2 i = 0
-
c)
d)
= 0
Bài 8: [ĐVH]. Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau:
2
z
8
2
z
= - 1 i 3
i z
z
+ = z
z
- - -
a)
b)
và
là số thuần ảo.
z
9 z
2
2
2
=
+
z
(
z
1)(1
+ + ) i
- = + z
1
z
3
z
z+
-
d)
và
= 2
c)
z 1
1 i
-
Bài 9: [ĐVH]. Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau:
2
- =
z
z z+
2 0
2
a)
b)
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
= iz 2 2 = z + z
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
2
+
+ +
=
2
z
4
z
= z
5
-
d)
c) 4
z
i z (1 3 )
+ 25 21 i
35 8
Bài 10: [ĐVH]. Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau:
z
z
3
10
4
2
=
iz
z+
z
22 ( z
z
5)
-
a)
c)
+ = 1 0
b)
+
=
i 3
2
z
109
+ + - = 3
- +
là số thực và
.
= i 2 5
z
1
-
Bài 11: [ĐVH]. Tìm số phức z thỏa mãn (1 3 )i z
37(1
i z )
(
z
=
.
- - - -
Bài 12: [ĐVH]. Tìm số phức z biết:
+
i 2 )( 1 6 ) i
z 1
10
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
