Ề Ố Ứ ươ 0969.14.14.04 ng Văn Huy
Ứ Ắ Ế CHUYÊN Đ S PH C – Gv : L CHUYEÂN ÑEÀÂ. SOÁ PHÖÙC A. TÓM T T KI N TH C
a bi
1. Khaùi nieäm soá phöùc ﾣ
= + (a, b(cid:0)
ụ ả Tr c o y
(cid:0) Taäp hôïp soá phöùc: (cid:0) Soá phöùc (daïng ñaïi soá) : z ﾣ , a laø phaàn thöïc, b laø phaàn aûo, i laø ñôn vò aûo, i2 = –1) (cid:0) phaàn aûo cuûa z baèng 0 (b = 0) (cid:0) phaàn thöïc cuûa
ụ
ự Tr c th c
O
)
(
)
(
)
(
(
(
(cid:0) z laø soá thöïc z baèng 0 (a = 0) z laø thuaàn aûo Soá 0 vöøa laø soá thöïc vöøa laø soá aûo. (cid:0) Hai soá phöùc baèng nhau: (cid:0) M(a;b) = b ﾣ ' ) ', + a bi ( , , a b a b = = (cid:0) ' ' a b (cid:0) ﾣ ) ñöôïc bieåu dieãn a + ��(cid:0) ﾒ ﾒ b i a b : Soá phöùc z = a + bi (a, b a x trong mp(Oxy) (mp phöùc)
) =
) ﾒ
) + ﾒ b b i
) + ﾒ a a
) ﾒ b b i
'
'
u u+r r
u u-r r
+ = + - - - + a bi + a bi + ﾒ ﾒ b i a
bieåu dieãn z, bieåu dieãn z + z’ vaø bieåu dieãn z – 2. Bie å u die ã n hìn h hoïc =r bôûi ñieåm M(a; b) hay bôûi ( ; ) u a b : 3. Coän g va ø trö ø s o á ph ö ù c (cid:0) ( (cid:0) ( ( + + ﾒ ﾒ a a b i a (cid:0) Soá ñoái cuûa z = a + bi laø –z = –a – bi r r (cid:0) u 'u bieåu dieãn z' thì z’.
(
)
) ﾒ ba i
a bi
2
2
2
= + (cid:0) = + + + ) ( ) + ( k a bi ka kbi k ﾣ (cid:0) ( + ' ﾒ ' b i ab bb (cid:0) = - 4. Nhaân hai soá phöùc : ( ) ) ( ﾒ ﾒﾒ ﾒ aa a bi a 5. Soá phöùc lieân hôïp cuûa soá phöùc z = a + bi laø z
= = (cid:0) = = + ; ' '; z z z z = (cid:0) z z . ' z z . '; z z ; (cid:0) .z z z a b
2
z= - z z= ; z � � z z =� � 1 1 z z � � 2 2 z laø soá aûo (cid:0)
=
+
=
a
b
z
=
" (cid:0) (cid:0) z laø soá thöïc (cid:0) 6. Moâñun cuûa soá phöùc : z = a + bi (cid:0) 2 ﾣ � � 0, , 0 � 0 z z = z = z
'
'
'
z
z
z
z
+ z
z
uuuur = zz OM z ' z
z ' z
= - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ' . ' z z . z z
1
- = 1
=
=
=
=
z
z
' z z
=� '
w
z wz
'. z z 2
' z z
'. z z . z z
' z z
z
z
- (cid:0) (cid:0) (cid:0) (z (cid:0) 0) 7. Chia hai s o á ph ö ù c : 1 2
:
a
(cid:0) 8. Caê n ba ä c hai cu û a so á ph ö ù c (cid:0) Hai caên baäc hai cuûa a > 0 laø (cid:0) Hai caên baäc hai cuûa a < 0
.a i
(cid:0) - laø
D =
). 9. Phöông trình baäc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C laø caùc soá thực cho tröôùc, A 0(cid:0)
2 4
B
AC
-
=
z 1,2
B i 2 A
- (cid:0) D (cid:0) D < 0: (*) coù hai nghieäm phaân bieät ,
B
=
z 1,2
2
A
D =
- (cid:0) D (cid:0) D > 0: (*) coù hai nghieäm phaân bieät ,
0
= = - . (cid:0) : (*) coù 1 nghieäm keùp: 1 z z 2 B 2 A
1
Chuù yù: Neáu z0 (cid:0) ﾣ laø moät nghieäm cuûa (*) thì 0z cuõng laø moät nghieäm cuûa (*).
Ề Ố Ứ ươ CHUYÊN Đ S PH C – Gv : L ng Văn Huy
ộ ố 0969.14.14.04 ấ ủ ầ , nó cũng có đ y đ tính ch t giao hoán, phân ừ ớ V i các phép tính c ng, tr , nhân chia s ph c nói trên ừ ế ợ ứ ố ự ư ố ộ ườ ph i, k t h p nh các phép c ng, tr , nhân, chia s th c thông th ng.
Ạ Ạ Ố Ủ Ố Ứ ) B. BÀI T P (Ậ D NG Đ I S C A S PH C
Ố Ứ Ề CÁC PHÉP TOÁN TRÊN S PH C ả Ấ V N Đ 1: ươ Ph i: ỹ ừ ố ứ ứ ư ng pháp gi ừ ử ụ S d ng các công th c c ng, tr , nhân, chia và lu th a s ph c. ẳ ố ự Khi tính toán v s ph c ta cũng có th s d ng các h ng đ ng th c đáng nh nh trong s th c. ặ ứ ộ ứ ủ ổ ể ử ụ ươ ậ ằ ủ ổ ố ứ ươ ệ ệ ẳ ớ ng c a t ng ho c hi u 2 s ph c… ề ố ặ ng c a t ng ho c hi u, l p ph ạ Ch ng h n bình ph
2
ầ ả ủ ự ầ D ng 1ạ
+ = - ầ ả ủ ố ứ ằ ộ ố ứ . Tìm ph n th c, ph n o c a m t s ph c ( (
)
)
ầ ả ủ ố ứ z, bi t ế ĐS: Ph n o c a s ph c z b ng: z i Bài 1: Tìm ph n o c a s ph c 2 1 i 2
(
( = - +
) 2
) + i z
) i z
- 2. - ề ỏ ầ ả ủ ự ầ ệ ( ố ứ z th a mãn đi u ki n . Tìm ph n th c và ph n o c a z. 2 3 + 4 i 1 3
2
ự
(
)
(
(
) i z
) i z
- ỏ ầ ả ủ ự ầ . Tìm ph n th c và ph n o c a z. i = + + + i 2 8 1 2
–2, ph n o là 5 ầ ả . + 1 –3.
30
15
ầ ả ự ầ Bài 2: Cho s ph c ĐS: Ph n th c là ầ ố ứ Bài 3: Cho s ph c z th a mãn ĐS: Ph n th c là 2, ph n o là + i = z ầ ả ủ ố ứ ự ầ ự ầ ĐS: Ph n th c là ầ ả 0, ph n o là Bài 4: Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c (1 + i (1 ) 3)
.
ự ứ i) + (1+i)2 + (1+i)3 + … + (1+i)20.
ầ ả 1 30 2 ầ Bài 5: Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c sau: 1+(1+ ầ ĐS: Ph n th c ầ ả ủ ố 10+1. ự (cid:0) 210, ph n o: 2
ạ ủ ố ứ
- D ng 2. Tìm môđun c a s ph c (
) 3
1 i 3 = iz+ z 8 2. ỏ ố ứ z th a mãn Bài 1: Cho s ph c = ủ ố ứ z . Tìm môđun c a s ph c iz+ ĐS: z - 1 + - i (1 ) = ủ ố ứ z z = 2. . ĐS: Bài 2: Tìm môđun c a s ph c
i i )(2 + i 1 2 + 2 2 + x i xy 2 = z = 1. ủ ố ứ ĐS: z Bài 3: Tìm môđun c a s ph c - x i xy ( y + y ) 2
i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = –1; i4n+3 = – i; (cid:0) n(cid:0)
ﾣ *. V y ậ in (cid:0) {–1; 1; – i; i}, (cid:0) n(cid:0)
ﾣ .
ị ể ạ ứ D ng 3. Tính giá tr bi u th c
n
( = -
)
(
ni
n ) 1 - �� n 1 �� i �� +
- - - = N u ế n nguyên âm: i i
7
5
2
6
4
2009
= + - ị ể ứ . Bài 1: Tính giá tr bi u th c: ĐS: A 1 6 2009 i 3 2008 i i ... = = = - ị ể ứ ; b) P Q Bài 2: Tính giá tr bi u th c: a) i ( 1) i 2010 i 1 3 + + + 2 4 i i + + + + 2 3 i i i i ... i i i A = + + + + 9 i i ... + + + 5 i ...
0P = ;
ĐS: a)
Q i . b) 1 = + 2 1 2
0 2010
4 2010
2008 2010
2010 2010
+
+
n
n
n
n
2
+ 1
- - ị ủ ứ ể = A C C C C C - + ... . ĐS: A = 0. Bài 3: Tính giá tr c a bi u th c: + 2 2010
2
2010
= + + + (cid:0) ﾣ i s n i ) Bài 4: Tính
3( . i ầ ả ủ ố ứ Tìm ph n th c, ph n o c a s ph c
s = ; z 0
i ự ầ i= HD: z i i = + + + + i ...
2
1 Bài 5: Tính: S = i105 + i23 + i20 – i34. ĐS: S = 2.
Ề Ố Ứ ươ CHUYÊN Đ S PH C – Gv : L ng Văn Huy 0969.14.14.04
2
2
ố ứ ỏ ệ ề ạ ướ D ng 4. Tìm s ph c z th a mãn đi u ki n cho tr c
2
i i i 2 = + (1 ) - = - i 2 (1 ) ;
= (cid:0) - ỏ ố ứ z th a mãn ĐS: Bài 1: Tìm s ph c z i= - z 2 i (1 ). 2 2
2z là s thu n o.
ỏ ầ ả ố z = 2 và
) =
(
= +
z = . 5
2
i 3 4 =
- z 10 và ố ứ Bài 2: Tìm s ph c z th a mãn: ĐS: z = 1 + i; z = 1 – i; z = –1 + i; z = –1 – i. ỏ ố ứ Bài 3: Tìm s ph c z th a mãn: z z = .
z =
ho c ặ = - z z z i i z ; 0; 0 ỏ i . ĐS: 25 = ĐS: .
16
+ 2 z+ i)15. ĐS: z = 128 – 128i. ố ứ Bài 4: Tìm s ph c z th a mãn: ố ứ Bài 5: Tính s ph c sau: z = (1+
+ - ố ứ ĐS: z = 2. Bài 6: Tính s ph c sau: z = - i i
8 i 1 1 � � � � + . � � � � + i 1 1 � � � � -� = z 1 z i
1 (cid:0) - (cid:0) (cid:0)
ố ứ
ệ
ả
Bài 7: Tìm s ph c z tho mãn h :
ĐS: z =1+ i.
- (cid:0) = 1 (cid:0) (cid:0) z z i 3 + i
Ề ƯƠ Ệ ƯƠ – H PH NG TRÌNH ệ ấ NG TRÌNH có m y nghi m?
(*) ậ Az2 +Bz +C = 0 (1) (A, B, C (cid:0) ﾣ , A (cid:0) 0)
ươ ng trình b c hai: = B2 – 4AC ng trình Cho ph ng pháp: Ph Ả Ấ V N Đ 2: GI I PH x - = 3 1 0 ươ Ph ươ Tính (cid:0)
=
z 1,2
B i 2 A
- (cid:0) D ươ (*) coù hai nghieäm phức phaân bieät , (cid:0) D < 0: Ph ng trình
B
=
z 1,2
2
A
- (cid:0) D ươ (*) coù hai nghieäm thực phaân bieät , (cid:0) D > 0: Ph ng trình
= = - ươ ệ (cid:0) (cid:0) = 0 : Ph ng trình (*) có nghi m kép: . z 1 z 2 B 2 A
2
ươ ậ D ng ạ 1: Ph ng trình b c hai
) i z
( - + 1
= -
z
+ + z = i 6 3 0 ươ ố ứ ậ ợ ng trình trên t p h p các s ph c.
2
2z là hai nghi m ph c c a ph ệ 2
2
2
2
và ả i ph i= 3 . + ứ ủ ươ ng trình z z+ 2 10 0
2
2
= - + 1
.i
+ + = ứ ể Bài 1: (CĐ2010) Gi ĐS: z i 1 2 Bài 2: (A2009) G i ọ 1z và ị ủ Tính giá tr c a bi u th c . ĐS: . z z 20 = A z 1 = . = A z 1 - - z i 4 ả ươ ố ứ ậ ợ = - z i 2 i ph ng trình sau trên t p h p các s ph c: Bài 3: (CĐA09) Gi - 3 7 i z i . và ươ ; z2 = + i 1 2 ả i ph = + z 3 ng trình : z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0. ĐS: z1 2i= z ĐS: Bài 4: Gi
ươ ề ậ D ng ạ 2: Ph ng trình quy v b c hai
ườ ươ ặ ươ ậ ạ ặ ệ ặ ng g p ph ậ ng trình b c 3 ho c ph ng trình b c 4 d ng đ c bi ể t có th quy đ ế ặ ắ ng trình b c 3 (ho c cao h n), v nguyên t c ta c g ng phân tích v trái thành nhân t ử ( ậ ừ ẫ ả ấ ng trình tích) t ế đó d n đ n vi c gi ề i ph ng trình b c nh t và b c hai. ộ ố ươ ươ ụ ể ế ậ ậ ố ắ ơ ậ ệ ề ươ ể ặ ẩ ng trình khác, ta có th đ t n ph đ quy v ph ng trình b c hai mà ta đã bi t cách ố ớ ạ Đ i v i d ng này ta th ượ ề ậ c v b c hai. ươ ố ớ Đ i v i ph ể ư ề ươ đ đ a v ph ố ớ Đ i v i m t s ph i.ả gi
3
ươ ử 2.1. Ph ng pháp phân tích thành nhân t .
ươ ng Văn Huy 0969.14.14.04
ươ
CHUYÊN Đ S PH C – Gv : L Bài 1: Cho ph ứ Ề Ố Ứ ng trình sau: ằ z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = 0 (1) ệ ầ ả ộ ả ươ ậ 1) Ch ng minh r ng (1) nh n m t nghi m thu n o. 2) Gi i ph ng trình
= - - z 1 2 ; i 1 2 . ầ ả i ; 2)
ả i ph = = - + i z i z 2 ; z3 = 18 + 26i, trong đó z = x + yi ; x, y (cid:0) ﾣ ĐS: z = 3 + i. (1). ệ ĐS: 1) (1) có nghi m thu n o z = 2 ươ ng trình: Bài 2: Gi
3 + 3z2 + 3z – 63 = (z – 3)(z2 +az + b)
ể ố ự a, b đ có phân tích: z
3 + 3z2 + 3z – 63 =0
2) Gi
ươ ả Bài 3: 1) Tìm các s th c ng trình: z i ph
= = = - + - 21 = - z i z z i 3 2 3 . 3 2 3 ; = = = = - z z z z 1; 3; i 2 ; i 2 . ươ b= 6; ả i ph ; 2) ng trình: z
ả ươ i ph ng trình: a ĐS: 1) Bài 4: Gi Bài 5: Gi
= - (cid:0) i z i . 1, = - z ,
= - ầ ả ệ ộ ng trình có m t nghi m thu n o. 1 = (cid:0) z 2 i ph + - 2 (1
ươ 1. - - - ự ệ t r ng ph y =� ế ằ ươ ộ ng trình có m t nghi m th c. t r ng ph z ầ ả 3 z z ế ằ , bi 0 ươ ng trình = + , bi i 12 12 0 i i z ) 2 . Thay vào ph i 4( 1) = - - 3; 4 – 4z3 +7z2 – 16z + 12 = 0 (1) ĐS: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0. ĐS: 3 1 2 2 + - 3 i z (1 2 ) yi= z + 2 i z ) . z 3 2 ả ươ ng trình ệ ả ử s nghi m thu n o là + ươ ả ng trình i ph (5 + + - 2 (1 i 2
ườ ạ ng cách gi ế i gi
ả ọ ố ứ = a + bi (a, b th c) và coi ự i i g i s ph c z ứ ạ ả bài toán ả ơ đ n gi n ta l i ọ ư ươ ượ ạ ấ ng pháp v n năng nh t cho m i bài. c coi nh ph Bài 6: Gi HD: Gi Bài 7: Gi HD: z i z ) 6)( ( 2) 0 ụ ặ ẩ ươ ng pháp đ t n ph . 2.2 Ph ề ố ứ ố ớ Đ i v i các bài toán v s ph c, thông th nh ư m tộ tham số trong bài toán th cự . Sau khi bi n ph c t p thành ph c. ứ Đây đ
ươ i ph ng trình: (z2 + z)2 + 4(z2 + z) –12 = 0 Bài 1: Gi - - ả - + 1 i 23 1 i 23 = = = = - ĐS: z z z z ; ; 1; 2.
= 0
ả ươ 2 i ph Bài 2: Gi
- - = - + z = - z z 2 (z2 + 3z + 6)2 + 2z(z2 + 3z + 6) – 3z2 ng trình: = - 3; i 5 ; 3. 3
i 5 ; ươ = - + 1 i ả ph 1 ng trình 3 : z4 – 2z3 – z2 – 2z + 1 = 0 ĐS: z Bài 3: Gi
2
- (cid:0) (cid:0) 1 3 3 5 ĐS: z = ; z = . i 2 2
ả ươ i ph ng trình: z4 – z3 + + z + 1 = 0 Bài 4: Gi z 2
3
- - ĐS: z1 = 1+ i ; z2 = + i ; z3 = 1– i ; z4 = – i. 1 2 1 2 1 2
=
= (cid:0)
ả ươ i ph ng trình : Bài 5: Gi 1 1 2 +� �= z i � �-� � i z
z
z 0;
3.
ĐS:
ươ D ng ạ 3: H pệ h ng trình
2
(cid:0) = (cid:0) z z 1 2 (cid:0) 1 2 ả ệ ươ i h ph ng trình sau: Bài 1: Gi (cid:0) + = (cid:0) z 2 3 z 1
4
+ - - i i i i ĐS: ( ) và ( ) ; ; 3 4 + 3 2 3 4 3 2
2
2
Ề Ố Ứ ươ ng Văn Huy 0969.14.14.04 - (cid:0) + = x 3 (cid:0) CHUYÊN Đ S PH C – Gv : L y 2 x 3 2 + (cid:0) x y (cid:0) (cid:0) ﾣ ( , ) x y ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 2: Gi + (cid:0) - y 0 (cid:0) x 2 y = 2 3 + (cid:0) y x - x y = ) ( , ( , );( , 2 1 1 1 ĐS: ) . - - (cid:0) z (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 3: Gi = z w w 8 = - + (cid:0) z w 1
- (cid:0) - (cid:0) 29 = = z ( ; w) ; 29 3 ; ĐS: i 5 3 3 2 m i 5 3 3 2 m 2 2 � z ; ( ; w) � � � � 3 � � �
ớ ậ ợ � � � � ươ ủ ng c a nó. = (cid:0) = z z � � � � ỗ ố ấ ả t c các s ph c sao cho m i s liên h p v i l p ph i . ố ứ = (cid:0) z 0; 1; ố ứ Bài 4: Tìm t ĐS: có 5 s ph c :
Ấ Ề Ứ Ự Ị
V N Đ 3: CÁC BÀI TOÁN CH NG MINH – C C TR ấ ứ ề ố ứ ộ ẳ ứ ạ ặ ặ ộ Trong d ng này ta g p các bài toán ch ng minh m t tính ch t, ho c m t đ ng th c v s ph c.
ể ả ấ ủ ụ ừ ứ ạ ộ ố Đ gi i các bài toán d ng trên, ta áp d ng các tính ch t c a các phép toán c ng, tr , nhân, chia, s ph c liên
ủ ố ứ ứ ợ h p, môđun c a s ph c đã đ c ch ng minh.
z laø soá thöïc (cid:0)
z= - z z ượ z= ; z laø soá aûo (cid:0)
+ (cid:0) ﾣ HD: z (cid:0) ﾣ (cid:0) Bài 1: Cho z1, z2 (cid:0) ﾣ . CMR: E = 1 2 z z z z 2. 1 z = z
1| = |z2 | = 1, z1.z2 (cid:0)
3
+ (cid:0) ﾣ ứ ế ằ 1 thì A = Bài 2: Ch ng minh r ng: N u |z z 1 + 1 z 2 z z 1 2
z (cid:0)
0
2
2
+ + + + (cid:0) (cid:0) (cid:0) z z z z 2 2 ố ứ ứ ằ ả tho mãn . Ch ng minh r ng: . HD: Bài 3: Cho s ph c z 1 z 1 1 3 z 1 z
ấ ẳ ứ ứ ấ ả ộ ớ ỗ ố ứ z, có ít nh t m t trong hai b t đ ng th c sau x y ra: ằ Bài 4: Ch ng minh r ng v i m i s ph c
1 z + (cid:0) 1 z + (cid:0) 2 1 1 ứ ứ ả ho c ặ HD: Ch ng minh ph n ch ng. 2
- + - z = i 2 2 1 ỏ z = 2 2 1. ấ ủ z n u ế ĐS: min ị Bài 5: Tìm giá tr nh nh t c a
Ễ Ố Ứ Ậ Ợ Ấ Ề Ể Ể V N Đ 4: T P H P ĐI M BI U DI N S PH C
ứ ể ễ ậ ặ ạ ọ ợ Trong d ng này, ta g p các bài toán bi u di n hình h c c a s p ể ọ ủ ố h c hay còn g i là tìm t p h p đi m
ộ ệ ứ ộ ố ứ ứ ể ễ ả ố ườ ệ ứ bi u di n m t s ph c z trong đó s ph c z tho mãn m t h th c nào đó (th ế ng là h th c liên quan đ n
ả ư , ta gi i bài toán này nh sau:
2
2
ả ử ứ ở ể ễ ể ẳ ủ ố ứ môđun c a s ph c). Khi đó x + yi (x,y(cid:0) s z = Gi ﾣ ). Khi đó s ph c ặ ố ứ z bi u di n trên m t ph ng ph c b i đi m M( x;y).
Ta có: OM = = z x y+
ữ ệ ủ ề ệ ữ ử ụ ố ừ ể ậ ợ ể S d ng d ki n c a đ bài đ tìm m i liên h gi a x và y t đó suy ra t p h p đi m M.
5
ế ơ ả ầ C b n c n bi t:
Ề Ố Ứ ươ CHUYÊN Đ S PH C – Gv : L ng Văn Huy 0969.14.14.04
V i s th c d
ớ ố ự ươ ứ ễ ể ẳ ặ ậ ố ợ ườ ng R, t p h p các s ph c v i ứ ớ z = R bi u di n trên m t ph ng ph c là đ ng tròn
tâm O, bán kính R.
Các s ph c z,
ố ứ ằ ườ z < R là các đi m n m trong đ ể ng tròn (O;R)
Các s ph c z,
ố ứ ằ ườ z >R là các đi m n m ngoài đ ể ng tròn (O;R)
ố ứ ể ề ể ả ậ ợ ặ ẳ ệ ạ ộ Oxy, tìm t p h p đi m bi u di n các s ph c z tho mãn đi u ki n ễ Bài 1: (D2009) Trong m t ph ng to đ
(
) = i 3 4
- - z 2 ố ứ ể ể ễ ậ ợ ườ . ĐS: T p h p các đi m bi u di n các s ph c z là đ ng tròn tâm I(3, –4), bán kính R=
(
2.
) i z
- = i z + 1 ể ễ ậ ợ ỏ ể ọ ộ Oxy, tìm t p h p đi m bi u di n các s ph c ố ứ z th a mãn: . Bài 2: (B2010) Trong mp t a đ
ố ứ ể ễ ể ậ ợ ườ ĐS: T p h p các đi m bi u di n các s ph c z là đ ng tròn tâm I(0, –1), bán kính R= 2 .
ả ử ộ ể ứ ể ể ả ẳ ặ ậ ọ ợ ễ ố s M là đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n s ph c z. Tìm t p h p các đi m M tho mãn Bài 3: Gi
ệ ộ ề m t trong các đi u ki n sau đây:
- (cid:0) i z i + > - z z z z i - + 1z + = - 1 2 + + i z 4 = i 4 10 + - 1 2 1) =2 2) 2 3) 2 4) 5) 1≤
2
2
ườ ạ ườ ĐS: 1) đ ng tròn có tâm t i I(1; –1) và bán kính R = 2. 2) đ ẳ ng th ng 4 x + 2y + 3 = 0.
ử ặ ẳ ả ụ 3) n a m t ph ng bên ph i tr c tung. 4) Elip (E) là: = . 1 x 9 y+ 16
ỏ ầ ượ . t là 2 và 1 ứ ố ớ ứ ể ể ễ ằ ả ẳ ặ ộ
ệ
5) hình vành khăn tâm A(–1;1) và các bán kính l n và nh l n l ề ị Bài 4: Xác đ nh các đi m n m trong m t ph ng ph c bi u di n các s ph c z tho mãn m t trong các đi u ki n sau đây: 1) |z + z +3| = 4 ; 2) |z + z + 1 – i| = 2; 3) 2|z – i| = |z – z +2i| ;
2
= = - ườ ớ ụ ẳ x x ; . ĐS: 1) hai đ ng th ng song song v i tr c tung: 7 2 (cid:0) 1 2 1 3 ườ ớ ụ ẳ 2) hai đ ng th ng song song v i tr c hoành y = . 3) parabol y = . x 4 2
ố ứ ề ệ ả ố ứ ấ ỏ i| = . Tìm s ph c z có môđun nh nh t. Bài 5: Trong các s ph c z tho mãn đi u ki n: |z – 2+3
2 +
2 =
(
)
(
- + - (cid:0) (cid:0) 3 2 ) ẽ z x + y = i 2 3 2 3 HD: * G i ọ z = x+yi. … (cid:0) . * V hình |z|min (cid:0) z. 3 2 9 4 - - = + ĐS: . z i 26 3 13 13 78 9 13 26 ể ề ạ ﾣ sao cho các đi m bi u di n c a z ể ễ ủ 1, z2, z3 t o thành tam giác đ u.
ứ ế Bài 6: Cho z1 =1+ i; z2 = –1– i. Tìm z3(cid:0) HD: Áp d ng ụ ki n th c sau:
ể Gi ể s Mả ử 1(x1; y1) bi u di n s ph c ễ ố ứ z1 = x1 + y1i; M2(x2;y2) bi u di n s ph c ễ ố ứ z2 = x2 + y2i
1M2 b ng môđun c a s ph c z
2
2 +
ữ ể ả ằ Khi đó kho ng cách gi a hai đi m M ủ ố ứ 1 – z2 .
(
)
(
)
1M2 = |z1 – z2| =
2
- - V y: Mậ y x 1 x 2 y 1
3 = 3 (1+ i) ho cặ z3 = – 3 (1– i).
ố ứ ả ĐS: có hai s ph c tho mãn là: z
+ + - - i i i i i + ; 2 3 ; 3 i ; 3 ; 3 2 ; 3 2 ố ứ 1 ễ ể ể . Ch ng ứ Bài 7: Cho các đi m A, B, C, A’, B’, C’ bi u di n các s ph c:
6
ố ứ ể ễ ằ ọ minh r ng ∆ ABC và ∆ A’B’C’ có cùng tr ng tâm G. Tìm s ph c bi u di n G.
Ề Ố Ứ ươ ng Văn Huy 0969.14.14.04
ố ứ
ọ ộ
ể
ể
ễ
ọ
i; M’ là đi m ể
Bài 8: Trong m t ặ ph ngẳ t a đ Oxy, g i M là đi m bi u di n cho s ph c z = 3 – 4
→ z = 2 + i. CHUYÊN Đ S PH C – Gv : L ĐS: G(2; 1)
/
ố ứ
ễ
ể
ệ
bi u di n cho s ph c
. Tính di n tích tam giác OMM’.
ĐS:
.
OMM
'
+ i 1 = = z SD z 25 4 2
C. BÀI T P Ậ ÔN
ế ổ ố ứ
ế
ạ
D ng 1:Bài toán liên quan đ n bi n đ i s ph c.
(
) 3
- 1 3.i iz+ . Tìm z .A10. Cho z th a ỏ Bai 1̀ = z
2z
2 = + z
ấ ả .A11. Tìm t z Bai 2̀
+
+ = -
2i
1
.z
4i
z
20
ố ứ . Tính z . Bai 3̀ - 1 i ố ứ ỏ t c các s ph c z th a ) 2
( - + 2
2
2
4
4
= - z 1 9i ỏ ( .CĐ11.Cho s ph c z th a ) 3i .z . D11.Tìm z th a ỏ Bai 4̀
2 + 2z +10 = 0. Tính
+
+
z
z
; z
z
1
2
1
2
ứ ủ ệ . G i zọ 1 và z2 là hai nghi m ph c c a pt z .ĐS: 20, 200. Bai 5̀
2
z- 3 .Cho hai s ph c z ố ứ 1 và z2 th a ỏ . Tính . ĐS: 1. z 1 Bai 6̀ z 1 = = z 2 1; z 1 + = z 2
2
1
2
2
= = - = ố ứ 3; z 4; z z 37 . Cho hai s ph c z ố ứ 1 và z2 th a ỏ .Tìm s ph c . Bai 7̀ z 1 z 1 z
21
5 ố ứ ế .B11. Tìm s ph c z bi t - Bai 8̀ z - = . 0 1 + i 3 z
z
= + +
ầ ả ầ ế ự .B11.Tìm ph n th c và ph n o z bi t . Bai 9̀
(
w z
i
1
) i Z
� �+ i 3 1 ﾣ ﾣ ﾣ = ﾣ ﾣ ﾣ ﾣﾣ ﾣ +� 1 i � ) ( + i 2 1 2 +
2
+ = + ́ ́ ̀ ́ ư ̉ ̉ ́ ư .Tim mô đun cua sô ph c Bai 10̀ 2 i 7 8 i 1 + + ) i 5 = + + ́ ́ ́ư ̉ ̉ ́ .A12. Cho sô ph c z thoa ́ ư .Tinh mô đun cua sô ph c . Bai 11̀ z z 1w i = - 2
ế ạ ứ ệ ̃ .D12. Cho sô ph c z thoa man ( z + z 1 ươ D ng 2:Bài toán liên quan đ n ph ng trình nghi m ph c.
( + 2 1 i .z
2
2
2
2
(
2z (
) )
2
- 2i 0 ố ứ ỏ ầ ả ủ ự .CĐ11. Cho s ph c z th a + = . Tìm ph n th c và ph n o c a . Bai 1̀ 1 z + + + + + ̀ ầ ) xy i x y x y i xy 11 2 3 = + 4 . . Tim x, y thoa ̉ R(cid:0) Bai 2̀
(
) y i
+ + + = + + - ̀ x xy x x 3 . Tim x, y thoa ̉ R(cid:0) Bai 3̀ 5 x
+ - -
(
)
� � i 1 . � � � � (
)
̀ x + + y x = i xy + y i 1 2 + + 3 2 1 Tim x, y thoa ̉ . R(cid:0) ̀ Bai 4.
-
2 3i .z
1 3i
)
( + + 4
) i .z
( = - +
) 2
ố ứ ầ ả ủ ự ầ . Tìm ph n th c và ph n o c a z. ỏ ( Baì 5.CĐ10. Cho s ph c z th a
= + ĐS: x= 172/61, y = 3/61
14i
9
( x 3
) + + 5i
( - y 1 2i
) 3
ố ự ỏ . Tìm 2 s th c x, y th a mãn Bai 6̀
2z
= + 4
6 5i
(cid:0) ố ứ ố ỏ . a/ Tìm các s nguyên x, y sao cho s ph c z = x + iy th a . ĐS: x = (cid:0) 3 ; y = . Bai 7̀ 5
2z
= + 33
56i
7
ố ứ ố ỏ b/ Tìm các s nguyên x, y sao cho s ph c z = x + iy th a . ĐS: x = (cid:0) 7 ; y = 4m
Ề Ố Ứ ươ ng Văn Huy 0969.14.14.04
3z
= + 18
26i
CHUYÊN Đ S PH C – Gv : L ố ố ứ ỏ a/ Tìm các s nguyên x, y sao cho s ph c z = x + iy th a . ĐS: x = 3 ; y = 1 ̀ Bai 8
= -
3z
- 11 2i
ố ứ ố ỏ b/ Tìm các s nguyên x, y sao cho s ph c z = x + iy th a . ĐS: x = 1 ; y = 2
3
2
-
+
ả ươ .Gi i các ph ng trình sau trên t p s ph c. ậ ố ứ a) 8z2 4z + 1 = 0 b) 2z2 – iz + 1 = 0 c) z2 – 4z + 7 = 0 Bai 9̀
z
8i
0
- = bi
( + 2 1 i z
)
( + 4 1 i .z
)
̀ ả ế ươ ầ ả .Gi i pt t ph ệ ng trinh có 1 nghi m thu n o. ĐS: 2i, Bai 10̀
2
ﾣ 1 i 3
2
- ́ ́ ́ ̀ ượ ươ ̣ ̣ ̉ . D2012. Viêt dang l ng giac cac nghiêm cua ph ng trinh Bai 11̀ z - = iz 2 3 4 0
2
2
- ̀ ́ ̀ z+ ươ ̣ ̉ : CDD2012. Goi ̣ la cac nghiêm cua ph ng trinh ́ . Tinh . Bai 12̀ z z, 1 z 1 z + + z = i 1 2 2 0
2z
2
ả ươ ứ ệ .Gi i ph ng trình nghi m ph c - ﾣ Bai 13̀ i z= . ĐS: 0, 1, 1 2 3 2
) i z
( 3 1
+ + + ̀ z i 5 ươ ̉ . D2012. Giai ph ng trinh = . 0 Bai 14̀
3
(cid:0) - (cid:0) z (cid:0) ́ ̀ ̉ ̃ ́ ư . Tim sô ph c z thoa man . Bai 15̀ (cid:0) = z i 2 - = - z i z 1 (cid:0)
+ = + ́ ̀ ́ z z i 3 4 ́ ư .Tim sô ph c z biêt: a) b) Bai 16̀ z= z
2
22 z
+ ́ ̀ ̀ ươ ̣ Biêt ́ la cac nghiêm ph ng trinh + = . Tinh́ ̀ Bai 17. z z, 1 z 3 3 0
2 z 1
2 2
3 z 1
3 2
4 z 1
4 2
2
+ z+ z+ z+ a) b) c) d) z 1 z z 2 z 1
ễ ố ứ ậ ợ ỏ ề ệ ể ể ạ D ng 3: T p h p các đi m bi u di n s ph c th a đi u ki n cho tr ướ . c
́ ́ ́ ́ ̃ ợ ư ̣ ̣ ̉ ̣ ̉ ̉ ̉ ̉ . Xac đinh tâp h p cac điêm trong măt phăng biêu diên cua sô ph c z thoa: Bai 1̀
- = - z z = - + z = i 2 1 i 3 4 1 a) b) c) + z z i i
z - + - = i z z - = - + z z i z 3 1 2 i 2 d) z+ + = e) 5 f) 2
z = ́ ́ ́ ̃ ́ 2 ợ ư ̣ ̣ ̉ ̣ ̉ ̉ ̉ ̉ : Xac đinh tâp h p cac điêm trong măt phăng biêu diên cua sô ph c z thoa . Bai 2̀ - z i
(
(
) i z
) i z
(
)
,x y R(cid:0)
- - - - ́ ̃ ̀ ́ư ̉ ̣ ̣ ̉ ̉ ̉ 1 2 3 .Cho sô ph c z thoa . Tim toa đô điêm biêu diên cua z trong Oxy. Bai 3̀ i = + i 2 1
2
=
ố ứ ứ ể ễ ể ậ ặ ợ ị ẳ Xác đ nh t p h p các đi m M trong m t ph ng ph c bi u di n các s ph c z = x + yi th a ỏ ̀ Bai 4.
) 2
z
ệ
( z+
0
ề mãn đi u ki n
2
́ ̃ ́ ̀ ư ợ ̣ ̉ ̉ ̉ ̣ ̉ ̣ ̣ ̉ ̃ . Tim tâp h p điêm biêu diên cua sô ph c z trên măt phăng toa đô thoa man: Bai 5̀
- + (cid:0) + + = z z z + = - z i + < - 2 < i 1 2 3 1z a) 2 b) 2 c) d) z z z 3 3 0
- + + + = i
z
i
z
2
9
ễ ố ứ ể ậ ỏ ị ể Bài 6: Xác đ nh t p đi m bi u di n s ph c z th a mãn :
8
ố ự ụ ự ừ ố a) z2 là s th c âm b) . ĐS: a)Tr c th c Ox t g c O. b) Elip
2
) 2
Ề Ố Ứ ươ CHUYÊN Đ S PH C – Gv : L ng Văn Huy 0969.14.14.04
z
( z+
= ĐS: t p h p c n tìm là hai đ ậ
0
ợ ầ ườ ẳ c) ng th ng : y = (cid:0) x
Ợ Ổ
ố ứ
ề
ệ
ồ
ỏ
ờ
1)Tìm s ph c z th a mãn đ ng th i hai đi u ki n:
= 1,
= 2.
D. BÀI T PẬ T NG H P (cid:0)
+ = +
1z
z
ỏ
2) Tìm s ph c
ố ứ z th a mãn
ố ự là s th c
4
3
(cid:0) (cid:0) z z (cid:0) 2 z i i z 1 3
ươ
ố
ệ
ủ
ậ ố ứ
ổ
i và + 1 z z ng trình
trên t p s ph c tính t ng:
3)G i ọ 1
- - , z 3 z z + 22 z - = z 6 4 0
.
12
+ + + = S z z , 2 1 2 z 2 1 2 z 1 z là b n nghi m c a ph , 4 1 2 z 3 1 2 z 4
(
)
ấ ả
ố ự
ố ứ
ủ
ươ
4) Tìm t
t c các s th c
ệ là nghi m c a ph
ng trình
6
6
(
+ - 1 i 3 2 + ,b c sao cho s ph c = z bz + 2 8 c 64 0. - i )
( (
) )
ấ ả
5) Tìm t
ố ứ t c các s ph c z, b t z
2 + z .
ế 2 = ế
ủ ố ứ
6) Tính môđun c a s ph c z, bi
t (2z 1)(1+i) +(
z + 1)(1i) = 22i.
i 1 i 3 + 1
ả
ươ
ứ
ệ
7) Gi
i ph
ng trình nghi m ph c :
4
+ = - z i 8 6 25 z
ả
ươ
ậ ố ứ
8) Gi
i ph
ng trình sau trên t p s ph c C:
2 z + + = z 2
ả
ươ
9) Gi
i ph
ậ ng trình sau trên t p h p s ph c: z
4 – z3 +6z2 – 8z – 16 = 0 .
+
+ 3 - z z 1 0
ố ứ
ế
ầ ả
ầ
ầ
z
2 1 i
ợ ố ứ = - + 2 3 5 i z
10)Tìm s ph c z bi
t:
ự ằ 0 và z có ph n th c b ng 2 l n ph n o
- -
̀
̀
ố ứ
ả
11)Cho s ph c z tho mãn
và phân ao cua z băng 4. Tìm z
z
= i 1 2
2 2
2
ễ ố ứ
ọ ộ
ể
ặ
ẳ
ậ
ợ
ế ằ
+ -
- - ̉ ̉
12) Trong m t ph ng t a đ Oxy, tìm t p h p các đi m bi n s ph c
bi
t r ng
z
i 2 3
+ z 2 i 3 = + z z . 3
ầ
ự ủ ố ứ
ế ằ
ỏ
ươ
n , bi
t r ng n
N th a mãn ph
ng trình
13)Tìm ph n th c c a s ph c z = (1 + i) log4(n – 3) + log4(n + 9) = 3
(cid:0)
(
ọ ộ
ể
ể
ặ
ẳ
ậ
ợ
ỏ
) < 5 3 i
14) Trong m t ph ng t a đ Oxy, tìm t p h p các đi m bi u di n s ph c
ễ ố ứ z th a mãn
.
11
2010
2011
2016
2021
- - 3 z
ủ ố ứ
ố ứ
15) Cho s ph c
. Tính mô đun c a s ph c
.
= + + + z = w z z z z
16) Tìm s ph c
.
và 17(
+ - z - = 1 5 -� � i 1 � �+� � i 1 ố ứ z th a mãn ỏ z z ) 5
ố ứ
ỏ
.
17) Tìm s ph c z th a mãn
ố ự là s th c và
= z z - + - z 0 = i 2 5 1 (1 3 )i z
18) Tìm s ph c
ố ứ z sao cho
2
- z = i 2 4
ỏ
ầ ả - + z z
ố - = i
2z là s thu n o và i 2 2
19) Tìm s ph c
ố ứ z th a mãn:
và
.
2
2
2
= 2 - z z 4
ứ ủ
ươ
) i z
) i z
( 4 2
ng trình
. Tính
.
20) ) G i ọ 1z và
2z là hai nghi m ph c c a ph ệ
2
ố ứ
ả
ầ ả
ỏ ơ
ự
ầ
ơ
ế
21) Tìm s ph c z tho mãn :
ị t ph n o nh h n ph n th c 3 đ n v .
. Bi
ả
ươ
+ - - - - = i 5 3 0 z ( ) ( 2 1 z+ z 1
22) Gi
i ph
+
(
i
)
=
Z
23) Tìm môđun c a s ph c
t ế
.
ủ ố ứ Z +1, bi
- + = z 2 i ứ ậ
i
i
1
4
- 2 2+3(1+i)z613i=0 ng trình sau trên t p ph c: z ) + i 1 3 (3 ) 2 (
ố ứ
ỏ
24) Tìm s ph c z th a mãn :
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) z z i i
ỏ
25) Tìm s ph c
ố ứ z th a mãn
ố ự là s th c và
.
9
- + - z (1 3 )i z = i 2 5 1
Ề Ố Ứ ươ CHUYÊN Đ S PH C – Gv : L 0969.14.14.04
ỏ
ố ứ z th a mãn
và
.
26) Tìm s ph c
10
= - + 1 z = i 2 2 2 2 + + ng Văn Huy 1 i z z
