Lý thuyết và bài tập Phương pháp lượng giác

Chia sẻ: Nguyễn Văn Ngoan | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:100

Thêm vào BST

Báo xấu

98
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Lý thuyết và bài tập Phương pháp lượng giác có lời giải chi tiết sẽ giúp các em tự rèn kỹ năng giải bài tập và nắm được một số phương pháp giải bài tập cơ bản về phương trình lượng giác. Mời các em cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết và bài tập Phương pháp lượng giác

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A. TÓM TẮT LÍ THUYẾt Dạng toán 1: Phương trình lượng giác cơ bản 1. Phương trình: sin x = m (1) * Nếu: m > 1 Phương trình vô nghiệm �π π� * Nếu: m �1 � ∃α �� − ; �sin α = m �2 2� x = α + k 2π � (1) � sin x = sin α � ( k ﾢ ). x = π − α + k 2π �π π − α Chú ý : * Nếu α thỏa mãn 2 2 thì ta viết α = arcsin m . sin α = m *Các trường hợp đặc biệt: π 1. sin x = 1 � x = + k 2 π 2 π 2 sin x = −1 � x = − + k 2π 2 3. sin x = 0 � x = kπ 2. Phương trình: cos x = m (2) * Nếu: m > 1 phương trình vô nghiệm * Nếu: m �1 � ∃α �[0; π] : cos α = m x = α + k 2π � (2) � cos x = cos α � ( k Z ). x = −α + k 2 π 0−α�π � Chú ý : * Nếu α thỏa mãn thì ta viết α = arccos m . cos α = m * Các trường hợp đặc biệt: 1. cos x = 1 � x = k 2 π 2. cos x = −1 � x = π + k 2π http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
π 3. cos x = 0 � x = + kπ 2 3. Phương trình : tan x = m (3) �π π� Với ∀m � ∃α ��− ; �: tan α = m �2 2� � (3) � tan x = tan α � x = α + kπ . �π π −
u = v + k 2π � * sin u = sin v ( k ﾢ ) * cos u = cos v � u = �v + k 2 π ( k ﾢ ) u = π − v + k 2π u = v + kπ � * tan u = tan v π ( k , n ﾢ ) u, v + nπ 2 u = v + kπ � * cot u = cot v ( k , n ﾢ ) u , v nπ Dạng 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx Là phương trình có dạng: a sin x + b cos x = c (1) ; với a, b, c ﾢ và a2 + b2 0. Cách giải: Chia hai vế cho a2 + b2 và đặt a b c cos α = ;sin α = . � (1) � sin x .cos α + cos x.sin α = a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 c � sin( x + α) = (2). a + b2 2 Chú ý: (1) có nghiệm (2) có nghiệm � a2 + b2 �c2 . �1 3 � π sin x 3 cos x = 2 � sin x − cos x �= 2 sin( x − ) 2 � 2 � 3 �3 1 � π 3 sin x cos x = 2 � sin x cos x �= 2 sin( x ) �2 2 � 6 �1 1 � π sin x cos x = 2 � sin x cos x �= 2 sin( x ). �2 2 � 4 Dạng 3. Phương trình bậc hai chứa một hàm số lượng giác 2 � sin u( x ) � � sin u( x ) � � � � � cos u( x ) � � � cos u( x ) � Là phương trình có dạng : a +b +c=0 � tan u( x ) � � tan u( x ) � � � � � cot u( x ) � � � cot u( x ) � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
� sin u( x ) � � � cos u( x ) � � Cách giải: Đặt t = ta có phương trình : at 2 + bt + c = 0 � tan u( x ) � � � cot u( x ) � � Giải phương trình này ta tìm được t , từ đó tìm được x � sin u( x ) � Khi đặt t = � −1;1� �, ta co điều kiện: t �� cos u( x ) � � Dạng 4. Phương trình đẳng cấp Là phương trình có dạng f (sin x ,cos x ) = 0 trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Cách giải: Chia hai vế phương trình cho cos k x 0 (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình ẩn là tan x . Dạng 5. Phương trình đối xứng (phản đối xứng) đối với sinx và cosx Là phương trình có dạng: a(sin x + cos x ) + b sin x cos x + c = 0 (3) Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ t2 −1 � π� = sin x cos x t = sin x + cos x = 2 sin �x + � 2 � 4� t ��− 2; 2 � � � Thay và (5) ta được phương trình bậc hai theo t. Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng a(sin x − cos x ) + b sin x cos x + c = 0 (3’) t �� − 2; 2 � � π� � � Để giải phương trình này ta cũng đặt t = sin x − cos x = 2 sin �x − � � 4� 1− t2 sin x cos x = 2 Thay vào (3’) ta có được phương trình bậc hai theo t. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. Vấn đề 1. Giải các phương trình lượng giác cơ bản Các ví dụ Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: 1. sin x − cos 2 x = 0 2. cos 2 x − sin 2 x = 0 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
3. 2 sin(2 x − 350 ) = 3 4. sin(2 x + 1) + cos(3 x − 1) = 0 Lời giải: π 1. Phương trình � cos 2 x = sin x = cos( − x ) 2 � π � π 2π 2 x = − x + k 2π x = +k � 2 � 6 3 , k ﾢ . π π 2 x = − + x + k 2π x = − + k 2π 2 2 2. Phương trình cos 2 x − 2 sin x cos x = 0 cos x = 0 � cos x = 0 � � cos x (cos x − 2 sin x ) = 0 � � 1 2 sin x = cos x tan x = 2 � π x = + kπ � 2 , k �ﾢ . 1 x = arctan + kπ 2 3. Phương trình � sin(2 x − 350 ) = 3 = sin 60 0 2 950 2 x − 35 = 60 + k 360 0 0 0 x= + k.180 0 2 . 2 x − 350 = 180 0 − 60 0 + k 360 0 1550 x= + k.180 0 2 �π � 4. Phương trình � cos(3 x − 1) = sin( −2 x − 1) = cos � + 2 x + 1 � �2 � � π � π 3x − 1 = + 2 x + 1 + k 2π x = + 2 + k 2π � 2 � 2 . π π 2π 3x − 1 = − − 2 x − 1 + k 2π x =− +k 2 10 5 Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: 5 1. cos x − 2 sin 2 x = 0 2. sin 3 x sin 3 x − cos 3 x cos 3 x = − 2 3. sin 2 2 x = cos 2 2 x + cos 3 x 4. sin 2 x .cos 3 x = sin 5 x.cos 6 x 5. sin x + sin 2 x + sin 3 x = cos x + cos 2 x + cos 3 x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
6. sin 2 3 x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x 7. cos 2 3 x cos 2 x − cos 2 x = 0 Lời giải: 1. Phương trình � cos x − 4 sin x cos x = 0 � cos x(1 − 4 sin x ) = 0 � π cos x = 0 � x = + kπ � � 2 1 sin x = 1 1 4 x = arcsin + k 2 π, x = π − arcsin + k 2 π 4 4 3 sin x − sin 3 x cos 3 x + 3 cos x 2. Ta có sin 3 x = ;cos 3 x = 4 4 Nên phương trình đã cho tương đương với 5 sin 3x ( 3 sin x − sin 3 x ) − cos 3 x ( cos 3 x + 3 cos x ) = − 2 5 � 3 ( sin 3 x sin x − cos 3x cos x ) − 1 = − 2 3 1 π π � −3 cos 4 x = − � cos 4 x = � x = � + k , k �ﾢ . 2 2 12 2 3. Phương trình � sin 2 2 x − cos 2 2 x = cos 3 x � cos 4 x = − cos 3 x = cos ( π − 3 x ) � π 2π 4 x = π − 3x + k 2π � x = +k � � 7 7 4 x = −π + 3 x + k 2π x = −π + k 2π 1 1 4. Phương trình � sin 5 x − sin x � � � �= �sin 11x − sin x � 2 2� � π π π � sin 5 x = sin 11x � x = k hoặc x = +k 6 16 8 5. Phương trình � (sin x + sin 3 x ) + sin 2 x = (cos x + cos 3 x ) + cos 2 x � 2 sin 2 x cos x + sin 2 x = 2 cos 2 x cos x + cos 2 x � 2π 1 x= + k 2π cos x = − 3 . � (2 cos x + 1)(sin 2 x − cos 2 x ) = 0 � 2 � π π sin 2 x = cos 2 x x = +k 8 2 6. Áp dụng công thức hạ bậc, ta có: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
1 − cos 6 x 1 + cos 8 x 1 − cos 10 x 1 + cos 12 x Phương trình � − = − 2 2 2 2 � cos 6 x + cos 8 x = cos 10 x + cos 12 x � π cos x = 0 � x = + kπ � 2 cos 7 x cos x = 2 cos 11x cos x � 2 . cos 11x = cos 7 x π π x = k ; x = k 2 9 7. Phương trình � (1 + cos 6 x ) cos 2 x − 1 − cos 2 x = 0 � cos 6 x .cos 2 x − 1 = 0 � cos 8 x + cos 4 x − 2 = 0 π � 2 cos 2 4 x + cos 4 x − 3 = 0 � cos 4 x = 1 � x = k . 2 Nhận xét: * Ở cos 6 x .cos 2 x − 1 = 0 ta có thể sử dụng công thức nhân ba, thay cos 6 x = 4 cos 3 2 x − 3 cos 2 x và chuyển về phương trình trùng phương đối với hàm số lượng giác cos 2x . * Ta cũng có thể sử dụng các công thức nhân ngay từ đầu, chuyển phương trình đã cho về phương trình chỉ chứa cosx và đặt t = cos 2 x Tuy nhiên cách được trình bày ở trên là đẹp hơn cả vì chúng ta chỉ sử dụng công thức hạ bậc và công thức biến đổi tích thành tổng . Ví dụ 3 Giải các phương trình sau: 1. 3 sin x + 4 cos x = 0 2. sin 2 x + 3 cos 2 x = 1 3. 2 sin 3 x + 5 cos 3 x = 5 4. 3 cos x + 3 sin x = 1 5. sin 7 x − cos 2 x = 3(sin 2 x − cos 7 x ) 6. sin 3 x − 3 cos 3 x = 2 sin 2 x 7. sin x + cos x sin 2 x + 3 cos 3 x = 2(cos 4 x + sin 3 x ) Lời giải: 4 � 4� 1. Phương trình � 3sin x = −4 cos x � tan x = − � x = arctan �− �+ kπ . 3 � 3� π π 1 π 2. Phương trình � 2 sin(2 x + ) = 1 � sin(2 x + ) = = sin 3 3 2 6 � π π � π 2x + = + k 2π x = − + kπ � 3 6 � 12 , k �ﾢ . π 5π π 2x + = + k 2π x = + kπ 3 6 4 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
( ) 2 3. Ta có 2 2 + 5 = 9 < 52 phương trình vô nghiệm. 1 π 1 4. Phương trình � 3 cos x + sin x = � cos( x − ) = 3 6 2 3 π 1 �x= �arccos + k 2π , k ﾢ . 6 2 3 5. Phương trình � sin 7 x + 3 cos 7 x = 3 sin 2 x + cos 2 x � π π � π π 7 x − = x − + k 2π x =− +k π π 6 3 36 3 , k �ﾢ � cos(7 x − ) = cos( x − ) � � . 6 3 π π π π 7 x − = − x + + k 2π x= +k 6 3 16 4 � π 3x − = 2 x + k 2π π 3 6. Phương trình � sin(3 x − ) = sin 2 x � 3 π 3x − = π − 2 x + k 2π 3 � π x = + k 2π 3 , k ﾢ . 4π 2π x= +k 15 5 3 1 3 1 7. Phương trình � sin x + sin 3 x + 3 cos 3 x = 2 cos 4 x + sin x − sin 3 x 2 2 2 2 � π x = − + k 2π π 6 � sin 3 x + 3 cos 3 x = 2 cos 4 x � cos(3 x − ) = cos 4 x � . 3 π 2π x= +k 42 7 Ví dụ 4. Giải các phương trình sau: �π � 1. cos( π sin x ) = cos(3π sin x ) 2. tan � ( sin x + 1) �= 1 �4 � Lời giải: sin x = k � 3π sin x = π sin x + k 2 π � 1. Phương trình n 3π sin x = −π sin x + n 2 π sin x = 2 Xét phương trình sin x = k . Do k ﾢ và −1 sin x 1 nên ta có các giá trị của k : −1,0,1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
π Từ đó ta có các nghiệm: x = m π, x = + m π , m ﾢ 2 n Xét phương trình sin x = . Ta có các giá trị của n là: n = 2, n = 1, n = 0 2 π π Từ đó ta tìm được các nghiệm là: x = + lπ , x = lπ , x = + lπ , l ﾢ 2 6 π π Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = m π, x = + mπ, x = + m π m ﾢ . 2 6 π π 2. Phương trình � 4 ( sin x + 1) = + kπ 4 � sin x + 1 = 1 + 4 k � sin x = 4 k � sin x = 0 � x = m π , m ﾢ . Ví dụ 5. Giải các phương trình sau: 1. ( ) 3 − 1 sin x + ( ) 3 + 1 cos x = 2 2 sin 2 x 2. 3 sin 2 x + 5 cos 2 x − 2 cos 2 x = 4 sin 2 x 2�x π� 2 x 3. 5 sin x − 2 = 3 ( 1 − sin x ) tan x 4. sin � − � tan x − cos 2 = 0 2 �2 4 � 2 Lời giải: 1. Phương trình � 3 sin x + cos x + 3 cos x − sin x = 2 2 sin 2 x π π 7π � sin( x + ) + cos( x + ) = 2 sin 2 x � sin( x + ) = sin 2 x 6 6 12 � 7π � 7π 2x = x + + k 2π x= + k 2π 12 12 . 7π 5π 2π 2x = π − x − + k 2π x= +k 12 36 3 2. Phương trình đã cho tương đương với 3 sin 2 x + 5 cos 2 x − 2(cos 2 x − sin 2 x ) = 8 sin x cos x � 5 sin 2 x − 8 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0 3 � 5 tan 2 x − 8 tan x + 3 = 0 � tan x = 1 hoặc tan x = 5 π 3 �x= + kπ hoặc x = arctan + k π 4 5 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
π 0 + πx 3. Điều kiện : cos x �۹ k 2 sin 2 x Phương trình � 5 sin x − 2 = 3(1 − sin x ) cos 2 x sin 2 x � 5 sin x − 2 = 3(1 − sin x ) 1 − sin 2 x sin 2 x � 5 sin x − 2 = 3 � (5 sin x − 2)(1 + sin x ) = 3 sin 2 x 1 + sin x � π x = + k 2π 1 π 6 . � 2 sin 2 x + 3 sin x − 2 = 0 � sin x = = sin � 2 6 5π x= + k 2π 6 π 0 + πx 4. Điều kiện : cos x �۹ k . 2 � π �sin 2 x 1 − cos( x − )� 2 − (1 + cos x ) = 0 Phương trình � � � 2 �cos x sin 2 x � (1 − sin x ) − (1 + cos x ) = 0 1 − sin 2 x sin 2 x � − (1 + cos x ) = 0 1 + sin x � (1 − cos 2 x ) − (1 + cos x )(1 + sin x ) = 0 x = k 2π � cos x = 1 � � (1 − cos x )(cos x − sin x ) = 0 � � π . tan x = 1 x = + kπ 4 Ví dụ 6. Giải các phương trình sau: 1. sin 3 x + cos 3 x = sin x − cos x 2. 2 cos 3 x = sin 3 x 3. sin x + 3 tan x = cos x ( 4 sin x − cos x ) 2 Lời giải: 1. Phương trình � sin 3 x + cos 3 x = (sin x − cos x )(sin 2 x + cos 2 x ) � 2 cos 3 x − sin x cos 2 x + cos x.sin 2 x = 0 ( � cos x sin 2 x − sin x cos x + 2 cos 2 x = 0 ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
π � cos x = 0 � x = + kπ (Do sin 2 x − sin x cos x + 2 cos 2 x > 0 ∀x ﾢ ) 2 2. Phương trình � 2 cos 3 x = 3 sin x − 4 sin 3 x � 4 sin 3 x + 2 cos 3 x − 3 sin x(sin 2 x + cos 2 x ) = 0 � sin 3 x − 3 sin x cos 2 x + 2 cos 3 x = 0 � tan 3 x − 3 tan x + 2 = 0 (do cos x = 0 không là nghiệm của hệ) � (tan x − 1)(tan 2 x + tan x − 2) = 0 � π tan x = 1 � x = + kπ � � 4 tan x = −2 x = arctan( −2) + kπ 3. Điều kiện: cos x 0 Phương trình � tan 2 x + 3 tan x (1 + tan 2 x ) = 4 tan x − 1 � 3 tan 3 x + tan 2 x − tan x + 1 = 0 � (tan x + 1)(3 tan 2 x − 2 tan x + 1) = 0 π � tan x = −1 � x = − + kπ . 4 Ví dụ 7. Giải các phương trình sau: 1. sin 2 x − 5 sin x cos x − 6 cos 2 x = 0 2. sin 2 x − 3 sin x .cos x = −1 3. 3 sin 2 x + 5 cos 2 x − 2 cos 2 x = 4 sin 2 x 4. sin 3 x + cos 3 x = sin x − cos x Lời giải: 1. Nhận thấy cos x = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho cos 2 x ta được: � π tan x = −1 �t = tan x x = − + kπ tan x − 5 tan x − 6 = 0 �� 2 4 . tan x = 6 x = arctan 6 + kπ 2. Phương trình � sin 2 x − 3 sin x .cos x = −(sin 2 x + cos 2 x ) � 2 sin 2 x − 3 cos x sin x + cos 2 x = 0 Do cos x = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho cos 2 x ta được: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
� π tan x = 1 � t = tan x x = + kπ 2 tan x − 3 tan x + 1 = 0 �� 2 4 1 . tan x = 1 2 x = arctan + kπ 2 3. Phương trình đã cho tương đương với 3 sin 2 x + 5 cos 2 x − 2(cos 2 x − sin 2 x ) = 8 sin x cos x � 5 sin 2 x − 8 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0 � π tan x = 1 � t = tan x x = + kπ � 5 tan x − 8 tan x + 3 = 0 � 2 4 . 3 tan x = 3 5 x = arctan + kπ 5 4. Phương trình � sin 3 x + cos 3 x = (sin x − cos x )(sin 2 x + cos 2 x ) � 2 cos 3 x − sin x cos 2 x + cos x.sin 2 x = 0 ( � cos x sin 2 x − sin x cos x + 2 cos 2 x = 0 ) π � cos x = 0 � x = + kπ 2 2 � 1 � 7 (Do sin x − sin x cos x + 2 cos x = � 2 sin x − cos x �+ cos 2 x > 0 ). 2 � 2 � 4 Ví dụ 8. Giải các phương trình sau: 1. cos 3x + cos 2 x − cos x − 1 = 0 2. 3 cos 4 x − 8 cos 6 x + 2 cos 2 x + 3 = 0 1 1 7π + = 4 sin( − x) 3. sin x 3π 4 4. 2 sin x (1 + cos 2 x ) + sin 2 x = 1 + 2 cos x sin( x − ) 2 Lời giải: 1. Ta thấy trong phương trình chứa ba cung x , 2 x , 3 x nên ta tìm cách đưa về cùng một cung x . Phương trình � 4 cos 3 x − 3 cos x + (2 cos 2 x − 1) − cos x − 1 = 0 � 2 cos 3 x + cos 2 x − 2 cos x − 1 = 0 . Đặt t = cos x , t 1 . 1 Ta có: 2t 3 + t 2 − 2t − 1 = 0 � (t 2 − 1)(2t + 1) = 0 � t = �1, t = − . 2 * t = �� 1 cos x = �� 1 sin x = 0 � x = k π http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
1 1 2π 2π * t = − � cos x = − = cos � x = � + k 2π . 2 2 3 3 Chú ý: Ta có thể giải bài toán trên theo cách sau phương trình � cos 3 x − cos x − (1 − cos 2 x ) = 0 � −2 sin 2 x sin x − 2 sin 2 x = 0 � sin 2 x(2 cos x + 1) = 0 sin x = 0 � x = kπ � � 1 � 2π . cos x = − x= + k 2π 2 3 2. Vì trong phương trình chứa các cung x , 4 x hơn nữa còn chứa hàm số côsin lũy thừa chẵn nên ta nghĩ tới cách chuyển về cung 2x . Phương trình � 3(2 cos 2 2 x − 1) − (1 + cos 2 x ) 3 + 1 + cos 2 x + 3 � π π cos 2 x = 0 � x = +k . � cos 2 x (cos 2 x − 3 cos 2 x + 2) = 0 � 2 � 4 2 cos 2 x = 1 x = kπ 3π 7 π 3. Trong phương trình có ba cung x ; x − ; − x nên ta tìm cách chuyển ba cung này về cùng 2 4 một cung x 3π � π � π Ta có: sin( x − ) = sin � ( x + ) − 2 π �= sin( x + ) = cos x 2 � 2 � 2 7π � π � π 1 sin( 4 − x ) = sin � 2 π − ( x + ) �= − sin( x + ) = − 4 � 4 ( sin x + cos x ) � 2 1 1 Phương trình � + = −2 2(sin x + cos x ) sin x cos x � (sin x + cos x )( 2 sin 2 x + 1) = 0 . sin x + cos x = 0 � � π x = − + kπ � � 4 1 . sin 2 x = − π 5π 2 x = − + kπ; x = − + kπ 8 8 4. Ta chuyển cung 2x về cung x. Phương trình � 4 sin x cos 2 x + 2 sin x cos x = 1 + 2 cos x � 2 sin x cos x (2 cos x + 1) = 2 cos x + 1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
� π x = + kπ � (2 cos x + 1)(sin 2 x − 1) = 0 � 4 . 2π x= + k 2π 3 Ví dụ 8. Giải các phương trình sau: ( ) 1. 4 cos 3 x cos x + sin 3 x sin x + 3 sin 6 x = 1 + 3 cos x − sin x 3 3 4 4 ( ) ( 2. 4 sin x + cos x + sin 4 x 4 4 ) ( 3 − 1 − tan 2 x tan x = 3 ) Lời giải: ( ) 1. Ta có: 4 cos 3 x cos x + sin 3 x sin x = 3 cos 2 x + cos 6 x và cos 4 x − sin 4 x = cos 2 x nên 3 3 Phương trình � 3 cos 2 x + cos 6 x + 3 sin 6 x = 1 + 3 cos 2 x � 3 sin 6 x = 1 − cos 6 x � 2 3 sin 3 x cos 3 x = 2 sin 2 3 x � 2 sin 3 x ( 3 cos 3 x − sin 3 x = 0 . ) π π π Suy ra nghiệm cần tìm là x = k ; x = + k . 3 9 3 � π π � cos 2 x 0 x +k 2. Điều kiện � 4 2. � cos x 0 π x + kπ 2 4 ( 4 2 ) Ta có : 4 sin x + cos x = 4 − 2 sin 2 x = 3 + cos 4 x sin 2 x sin x cos 2 x cos x + sin 2 x sin x 1 + tan 2 x tan x = 1 + . = cos 2 x cos x cos 2 x cos x cos ( 2 x − x ) 1 . = = cos 2 x cos x cos 2 x sin 4 x Phương trình đã cho � 3 + cos 4 x + 3 sin 4 x − = 3 cos 2 x π � cos 4 x + 3 sin 4 x = 2 sin 2 x � sin(4 x + ) = sin 2 x . 6 Từ đó ta tìm được nghiệm thỏa mãn phương trình là: π 5π k π x=− + k π; x = + . 12 36 3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ví dụ 10. Chứng minh rằng hàm số sau chỉ nhận giá trị dương : y = sin 2 x − 14 sin x .cos x − 5 cos 2 x + 3. 3 33 Lời giải: Nếu cos x = 0 � y = 1 + 3. 3 33 > 0 (1 + 3 3 33) tan 2 x − 14 tan x + 3 3 33 − 5 Với cos x 0 ta có: y = cos 2 x Vì ∆ = 7 2 − (1 + 3. 3 33)(3. 3 33 − 5) < 0 Suy ra (1 + 3 3 33) tan 2 x − 14 tan x + 3 3 33 − 5 > 0 ∀x ﾢ . Suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 11. 1. Cho tan α , tan β là hai nghiệm của phương trình x 2 − 6 x − 2 = 0 . Tính giá trị của biểu thức sau P = sin 2 (α + β) − 5 sin(2α + 2β) − 2.cos 2 ( α + β) 2. Cho tan α , tan β là hai nghiệm của phương trình x 2 + bx + c = 0 ( c 1 ). Tính giá trị của biểu thức P = a.sin 2 (α + β) + b sin(2α + 2β) + c.cos 2 ( α + β) theo a, b, c Lời giải: 1. Theo định lí Viét ta có: tan α + tan β = 6, tan α.tan β = −2 tan α + tan β Suy ra tan(α + β) = =2. 1 − tan α.tan β P Ta có: P(1 + tan (α + β)) = 2 = tan 2 (α + β) − 10 tan(α + β) − 2 cos (α + β) 2 tan 2 (α + β) − 10 tan(α + β) − 2 4 − 20 − 2 18 �P= = =− 1 + tan ( α + β) 2 1+ 4 5 2. Theo định lí Viét ta có: tan α + tan β = −b, tan α.tan β = c tan α + tan β −b Suy ra tan(α + β) = = . 1 − tan α.tan β 1 − c P Ta có: P(1 + tan (α + β)) = 2 cos (α + β) 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
= a tan 2 (α + β) + 2b tan(α + β) + c b2 2b2 a. − +c a tan 2 (α + β) + 2b tan( α + β) + c (1 − c)2 1 − c �P= = 1 + tan 2 ( α + β) b2 1+ (1 − c)2 ab2 − 2b2 (1 − c) + c(1 − c)2 = . (1 − c)2 + b2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP (có đáp án chi tiết) � π� 1 Bài 1. Giải phương trình sin �2 x + �= − � 3� 2 � π � π � π x = − + kπ x = + kπ x = + kπ A. 4 ,k ﾢ B. 4 , k ﾢ C. 4 ,k ﾢ 5π 5π π x= + kπ x= + kπ x= + kπ 12 12 12 � π π x =− +k D. 4 2, k ﾢ π π x= +k 12 2 Lời giải: � π� � π� Phương trình � sin �2 x + �= sin �− � � 3� �6� � π π � π 2 x + = − + k 2π x = − + kπ � 3 6 � 4 , k ﾢ π π 5π 2 x + = π + + k 2π x= + kπ 3 6 12 Bài 2. Giải phương trình cos 3 x + 150 = 3 ( ) 2 x = 250 + k.120 0 x = 50 + k.120 0 A. ,k ﾢ B. ,k ﾢ x = −150 + k.1200 x = 150 + k.120 0 x = 250 + k.120 0 x = 50 + k.1200 C. .k ﾢ D. ,k ﾢ x = 150 + k.1200 x = −150 + k.1200 Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Phương trình � cos(3 x + 150 ) = cos 30 0 � 3 x + 150 = 30 0 + k.360 0 � x = 50 + k.120 0 �� , k ﾢ 3 x + 150 = −300 + k.360 0 � x = −150 + k.1200 � 1 1 Bài 3. Giải phương trình sin(4 x + ) = 2 3 � 1 π x =− +k A. 8 2 , B. k ﾢ π π x = +k 4 2 � 1 1 1 π x = − − arcsin + k 8 4 3 2 , k ﾢ π 1 1 1 π x = − − arcsin + k 4 8 4 3 2 � 1 1 1 π � 1 1 1 π x = − arcsin + k x = − − arcsin + k 8 4 3 2 8 4 3 2 , C. , k ﾢ D. k ﾢ π 1 1 1 π π 1 1 π x = − − arcsin + k x = − arcsin + k 4 8 4 3 2 4 4 3 2 Lời giải: 1 1 4x + = arcsin + k 2 π 2 3 Phương trình 1 1 4 x + = π − arcsin + k 2 π 2 3 � 1 1 1 π x = − − arcsin + k 8 4 3 2 , k ﾢ π 1 1 1 π x = − − arcsin + k 4 8 4 3 2 Bài 4. Giải phương trình sin(2 x + 1) = cos(2 − x ) � π � π x = − 2 + k 2π x = − 3 + k 2π A. 2 ,k ﾢ B. 2 ,k ﾢ π 1 k 2π π 1 k 2π x= + + x= + + 6 3 3 6 3 3 � π � π x = − 3 + k 2π x = + k 2π C. 2 ,k ﾢ D. 2 ,k ﾢ π 1 k 2π π 1 k 2π x= − + x= + + 6 3 3 6 3 3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Lời giải: π Phương trình � sin(2 x + 1) = sin( − 2 + x ) 2 � π � π 2 x + 1 = − 2 + x + k 2π x= − 3 + k 2π � 2 � 2 , k ﾢ . π π 1 k 2π 2 x + 1 = + 2 − x + k 2π x= + + 2 6 3 3 Bài 5. Giải phương trình 2 cos x − 2 = 0 π π A. x = + k 2π, ( k ﾢ ) B. x = + k 2π, ( k ﾢ ) 6 5 π π C. x = + k 2π, ( k ﾢ ) D. x = + k 2π, ( k ﾢ ) 3 4 Lời giải: Phương trình � cos x = 2 = cos π � x = �π + k 2π , ( k �ﾢ ) 2 4 4 2x Bài 6. Giải phương trình 2 cot = 3 3 5 3 3 3 5 3 A. x = arc cot + k π ( k ﾢ ) B. x = arc cot + k π ( k ﾢ ) 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 C. x = arc cot + k π ( k ﾢ ) D. x = arc cot + k π ( k ﾢ ) 2 7 2 2 2 2 Lời giải: 2x 3 2x 3 Phương trình � cot = � = arc cot + kπ 3 2 3 2 3 3 3 �x= arc cot + kπ ( k �ﾢ ) . 2 2 2 π 1 Bài 7. Giải phương trình sin(4 x − ) = 3 2 π π A. x = + kπ , k ﾢ B. x = + kπ , k ﾢ 2 3 π C. x = + kπ , k ﾢ D. x = kπ, k ﾢ 5 Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
� π� � π� Phương trình � tan �3 x − �= tan �− � � 3� � 3� π π � 3x − = − + kπ � x = kπ , k �ﾢ 3 3 1 Bài 8. Giải phương trình cot(4 x − 20 ) = 0 3 A. x = 30 0 + k.450 , k ﾢ B. x = 20 0 + k.90 0 , k ﾢ C. x = 350 + k.90 0 , k ﾢ D. x = 20 0 + k.450 , k ﾢ Lời giải: Phương trình � cot(4 x − 20 0 ) = cot 60 0 � 4 x − 20 0 = 600 + k.1800 � x = 20 0 + k.450 , k �ﾢ Bài 9. Giải phương trình sin 2 x − 2 cos 2 x = 0 1 kπ 1 kπ A. x = arctan 2 + , k ﾢ B. x = arctan 2 + , k ﾢ 3 2 3 3 1 kπ 1 kπ C. x = arctan 2 + , k ﾢ D. x = arctan 2 + , k ﾢ 2 3 2 2 Lời giải: Phương trình sin 2 x = 2 cos 2 x � tan 2 x = 2 1 kπ � 2 x = arctan 2 + kπ � x = arctan 2 + , k �ﾢ 2 2 Bài 10. Giải phương trình tan 2 x = tan x 1 π π A. x = + kπ, k ﾢ B. x = k , k ﾢ C. x = + kπ , k ﾢ D. x = kπ, k ﾢ 2 2 3 Lời giải: � � �2 x = x + kπ �x = kπ � π � π � � Phương trình ۹ �x + kπ ۹ �x + kπ � x = k π, k �ﾢ . � 2 � 2 � π π � π π �x +k �x +k � 4 2 � 4 2 Bài 11. Giải phương trình 3 tan 2 x − 3 = 0 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
π π A. x = + 2 kπ ( k ﾢ ) B. x = + 2 kπ ( k ﾢ ) 6 3 π π C. x = + kπ ( k ﾢ ) D. x = + kπ ( k ﾢ ) 6 2 Lời giải: π π π Phương trình � tan 2 x = 3 = tan � 2 x = + k 2 π � x = + kπ ( k �ﾢ ) . 3 3 6 Bài 12. Giải phương trình cos 2 x − sin 2 x = 0 � π � π x = + kπ x = + kπ A. 2 1 (k ﾢ ) B. 2 1 (k ﾢ ) x = arctan + kπ x = arctan + kπ 3 4 � π � π x = + kπ x = + kπ C. 2 1 (k ﾢ ) D. 2 1 (k ﾢ ) x = arctan + kπ x = arctan + kπ 5 2 Lời giải: Phương trình cos 2 x − 2 sin x cos x = 0 � π cos x = 0 � x = + kπ cos x = 0 � 2 . � cos x (cos x − 2 sin x ) = 0 � � 1 2 sin x = cos x tan x = 1 2 x = arctan + kπ 2 Bài 13. Giải phương trình sin(2 x + 1) + cos(3 x − 1) = 0 � π � π x = + 2 + k 2π x = + 2 + k 2π A. 2 π 2π (k ﾢ ) B. 2 π 2π (k ﾢ ) x= +k x =− +k 10 5 10 5 � π � π x = + 3 + k 2π x = + 6 + k 2π C. 2 π 2π (k ﾢ ) D. 2 π 2π (k ﾢ ) x =− +k x= +k 10 5 10 5 Lời giải: �π � Phương trình � cos(3 x − 1) = sin( −2 x − 1) = cos � + 2 x + 1 � �2 � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất