Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:39

Thêm vào BST

Báo xấu

9
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến kinh nghiệm THPT "Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa" được thực hiện với mục đích xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập để rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa cho học sinh THPT. Mời các bạn cùng tham khảo sáng kiến.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HÀ NỘI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA Lĩnh vực: Toán Giáo viên: Nghiêm Ngọc Phương Trường THPT chuyên Nguyễn Huệ Năm học 2014 - 2015
NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG BÁO CÁO Viết tắt Viết đầy đủ GV Giáo viên HS Học sinh THPT Trung học phổ thông
MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 2 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 3 3. Giả thuyết khoa học 3 4. Phương pháp nghiên cứu 3 5. Cấu trúc báo cáo 3 CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4 1.1. Một số vấn đề về dạy học giải toán và rèn luyện kỹ năng 4 1.1.1.Về dạy học giải bài tập toán 4 1.1.2.Về rèn luyện kỹ năng 7 1.2.Tình hình dạy học giải toán và việc rèn luyện kỹ năng giải toán 9 bằng phương pháp lượng giác hóa ở phổ thông 1.3 Một số kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa 12 1.3.1. Kỹ năng nhận dạng các dấu hiệu để sử dụng phương pháp 13 lượng giác hóa và chuyển bài toán về 1.3.2. Kỹ năng vận dụng các tri thức lượng giác để giải toán trung 14 gian 1.4. Kết luận chương 1 17 CHƯƠNG 2. XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP RÈN LUYỆN 18 KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 2.1. Xây dựng và hệ thống bài tập rèn luyện kỹ năng giải toán bằng 22 phương pháp lượng giác hóa 2.1.1. Căn cứ và định hướng lựa chọn, sắp xếp hệ thống bài tập 22 2.1.2. Rèn luyện một số kỹ năng trong giải toán bằng phương pháp 23 lượng giác hóa 2.1.2.1. Kỹ năng 1: Kỹ năng nhận dạng các dấu hiệu để sử 23 dụng phương pháp lượng giác hóa 2.1.2.2. Kỹ năng 2: Kỹ năng vận dụng các tri thức lượng giác 37 để giải bài toán trung gian 2.2.Bài tập rèn luyện 44 2.3.Kết luận chương 2 58 KẾT LUẬN 59
MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Xuất phát từ yêu cầu của xã hội: Trong giai đoạn hiện nay, khi khoa học công nghệ có những bước tiến nhảy vọt, việc đào tạo con người không chỉ là nắm vững kiến thức mà còn có năng lực sáng tạo, có ý nghĩa quan trọng đối với tiềm lực khoa học kỹ thuật của đất nước. Do đó ngành giáo dục giữ vai trò quan trọng để đào tạo ra con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó mà góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh. Xuất phát từ yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học: Đổi mới phương pháp giáo dục dạy học sẽ khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho HS. Như vậy, đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT là làm cho HS học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động. Trong việc đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT, việc dạy giải bài tập toán có vai trò quan trọng vì: Dạy toán ở trường phổ thông là dạy hoạt động toán học. Việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học, giúp HS phát triển tư duy, tính sáng tạo. Thực tiễn dạy học cho thấy: Khi giải một số lớp bài toán quan trọng ở phổ thông: Giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tích phân,… HS thường đi vào bế tắc khi không có định hướng khác để giải bài toán. Định hướng cho HS nhìn bài toán theo con mắt ‘‘lượng giác’’ là một hướng rất hay mà có thể giúp HS tư duy đa dạng hơn. Từ những bài toán không chứa những yếu tố của lượng giác, bằng phép đổi biến ta chuyển bài toán về lượng giác, cách giải như vậy gọi là phương pháp lượng giác hóa. Phương pháp lượng giác hóa trong giải các bài toán ở phổ thông là một phương pháp rất hay nhưng rất ít được GV đề cập để giúp các em có cái nhìn theo nhiều khía cạnh khác nhau khi giải một bài toán. HS có thêm những công cụ mới để diễn đạt, suy luận. Thế nhưng việc nhận dạng và sử dụng không thành thạo phương pháp trên đã làm cho HS bế tắc, không hứng thú khi giải toán. Với những lý do trên, tôi chọn báo cáo sáng kiến kinh nghiệm là “Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác cho học sinh THPT’’. 2. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU a) Mục đích Xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập để rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa cho HS THPT. b) Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận về kỹ năng và rèn luyện kỹ năng trong dạy học toán. - Tìm hiểu thực tiễn ở trường THPT về vấn đề dạy học phương pháp lượng giác hóa.
- Làm rõ những kỹ năng chính để giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa cho HS THPT. - Đề xuất biện pháp rèn luyện kỹ năng cho HS thông qua việc lựa chọn và sử dụng hệ thống bài toán giải bằng phương pháp lượng giác hóa. 3. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nếu lựa chọn xây dựng và sử dụng hợp lý hệ thống bài tập trong dạy học thì có thể rèn luyện được cho HS những kỹ năng vận dụng phương pháp lượng giác hóa trong giải một số dạng toán, góp phần nâng cao hiệu quả của việc dạy học ở phổ thông. 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu lý luận. - Quan sát, điều tra thực tiễn. 5. CẤU TRÚC BÁO CÁO Ngoài phần mở đầu, kết luận, báo cáo gồm có 2 chương: Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn. Chương 2: Xây dựng và hệ thống bài tập rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa.
CHƯƠNG 1- CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ DẠY HỌC GIẢI TOÁN VÀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG 1.1.1. Về dạy học giải bài tập toán: a) Mục đích, vai trò, ý nghĩa của bài tập toán trong trường THPT * Mục đích Một trong những mục đích dạy toán ở trường phổ thông là phát triển ở HS những năng lực và phẩm chất trí tuệ, giúp HS biến tri thức khoa học của nhân loại được tiếp thu thành kiến thức của bản thân. Hệ thống những kiến thức và kỹ năng toán học phổ thông cơ bản, hiện đại và có năng lực vận dụng những tri thức đó vào những tình huống cụ thể trong đời sống, trong lao động sản xuất. * Vai trò Trong mọi lĩnh vực, toán học là công cụ để HS học tốt các môn học khác, giúp HS hoạt động hiệu quả và rèn luyện những phẩm chất, đức tính của người lao động: Tính cẩn thận, chính xác, kỉ luật, khoa học sáng tạo. * Ý nghĩa Giải bài tập toán là hình thức hiệu quả nhất để có thể kiểm tra năng lực về mức độ tiếp thu và khả năng vận dụng kiến thức đã học của HS. Việc giải bài tập toán có tác dụng lớn trong việc hứng thú học tập nhằm phát triển trí tuệ và góp phần giáo dục, rèn luyện con người HS về nhiều mặt. b) Vị trí và chức năng của bài tập toán * Vị trí Giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Đối với HS có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở phổ thông. * Các chức năng của bài tập toán 1. Chức năng dạy học. 2. Chức năng giáo dục. 3. Chức năng phát triển. 4. Chức năng kiểm tra. Các chức năng đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học: - Chức năng dạy học: Bài tập toán nhằm hình thành củng cố cho HS những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học. - Chức năng giáo dục: Bài tập toán hình thành cho HS thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo. - Chức năng phát triển: Phát triển năng lực tư duy cho HS và rèn luyện những thao tác trí tuệ hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học. - Chức năng kiểm tra: Bài tập toán đánh giá kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến thức và trình độ phát triển của HS. Hiệu quả của việc dạy học toán ở trường phổ thông phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của tác giả viết sách giáo khoa đã có dụng ý đưa vào chương trình. Người GV phải có nhiệm vụ khám phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằng năng lực sư phạm của mình.
c) Dạy học phương pháp giải bài toán Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là GV cung cấp cho HS lời giải bài toán. Biết lời giải bài toán không quan trọng bằng làm thế nào để giải được bài toán đó. Để làm tăng hứng thú học tập của HS, phát triển tư duy, GV phải hình thành cho HS phương pháp tìm lời giải cho một bài toán. Theo Polya, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán thường được tiến hành theo 4 bước sau: - Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán. Để giải được một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán đó và có hứng thú với bài toán đó. Vì thế người GV phải chú ý gợi động cơ, kích thích trí tò mò, hứng thú cho HS và giúp các em tìm hiểu bài toán một cách tổng quá. Tiếp theo GV phải giúp HS phân tích bài toán đã cho qua các việc như: Xác định đâu là ẩn, đâu là dữ kiện? Vẽ hình, sử dụng các kí hiệu thích hợp (nếu cần) như thế nào? Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện, có thể diễn đạt các điều kiện đó dưới dạng công thức toán học được không? - Bước 2: Xây dựng chương trình lời giải. “Phải phân tích bài toán thành nhiều bài toán đơn giản hơn. Phải huy động kiến thức đã học (định nghĩa, định lí, quy tắc…) có liên quan đến điều kiện, những quan hệ trong bài toán rồi lựa chọn trong số đó những kiến thức gần gũi hơn cả với dữ kiện của bài toán rồi mò mẫm, dự đoán kết quả. - Bước 3: Thực hiện chương trình giải. - Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải. Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải. Nhìn lại toàn bộ các bước giải, rút ra tri thức phương pháp để giải một dạng toán nào đó. Tìm thêm các cách giải khác (nếu có thể). Khai thác kết quả nếu có thể có của bài toán. Đề xuất bài toán tương tự, bài toán đặc biệt hoặc khái quát hóa bài toán. Công việc kiểm tra lời giải của một bài toán có ý nghĩa vô cùng quan trọng. Cần phải luyện tập cho HS có một thói quen kiểm tra lại bài toán, xét xem có sai lầm hay thiếu sót gì không, nhất là những bài toán có đặt điều kiện hoặc bài toán phải biện luận. 1.1.2. Về rèn luyện kỹ năng a) Kỹ năng Kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn. Trong đó, khả năng được hiểu là: Sức đã có (về một mặt nào đó) để thực hiện một việc gì. Theo tâm lý học, kỹ năng là khả năng thực hiện có hiệu quả một hành động nào đó theo một mục đích trong những điều kiện xác định. Nếu tạm thời tách tri thức và kỹ năng để xem xét riêng tri thức thuộc phạm vi nhận thức, thuộc về khả năng “biết”, còn kỹ năng thuộc phạm vi hành động, thuộc về khả năng “biết làm”. Các nhà giáo dục học cho rằng: “Mọi kiến thức bao gồm một phần là thông tin kiến thức thuần túy và một phần là kỹ năng”.
Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết ở mỗi người để đạt được mục đích. Kỹ năng còn có thể được đặc trưng như một thói quen nhất định và cuối cùng kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp. “Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh đã nhận được. Kỹ năng trong toán học quan trọng hơn nhiều so với kiến thức thuần túy, so với thông tin trơn”. Trong thực tế dạy học cho thấy, HS thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài tập cụ thể là do: HS không nắm vững kiến thức các khái niệm, định lí, qui tắc, không trở thành cơ sở của kỹ năng. Muốn hình thành được kỹ năng, đặc biệt là kỹ năng giải toán cho HS, người thầy giáo cần phải tổ chức cho HS học toán trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo để HS có thể nắm vững tri thức, có kỹ năng và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn. Góp phần thực hiện nguyên lý của nhà trường phổ thông là: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với xã hội”. b) Đặc điểm của kỹ năng - Bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết đó là kiến thức. Bởi vì, cấu trúc của kỹ năng là: Hiểu mục đích - biết cách thức đi đến kết quả - hiểu những điều kiện để triển khai cách thức đó. - Kiến thức là cơ sở của kỹ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư cách là công cụ của hành động. Cùng với vai trò cơ sở của tri thức, cần thấy rõ tầm quan trọng của kỹ năng. Bởi vì: “Môn toán là môn học công cụ có đặc diểm và vị trí đặc biệt trong việc thực hiện nhiệm vụ phát triển nhân cách trong trường phổ thông”. Vì vậy, cần hướng mạnh vào việc vận dụng những tri thức và rèn luyện kỹ năng, vì kỹ năng chỉ có thể được hình thành và phát triển trong hoạt động. - Kỹ năng giải toán phải dựa trên cơ sở tri thức toán học, bao gồm: Kiến thức, kỹ năng, phương pháp. c) Sự hình thành kỹ năng Sự hình thành kỹ năng là làm cho HS nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm biến đổi và làm sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong các bài tập. Vì vậy, muốn hình thành kỹ năng cho HS, chủ yếu là kỹ năng học tập và kỹ năng giải toán, người thầy giáo cần phải: - Giúp HS hình thành một đường lối chung (khái quát) để giải quyết các đối tượng, các bài tập cùng loại. - Xác lập được mối liên hệ giữa những bài tập khái quát và các kiến thức tương ứng. d) Kỹ năng giải toán Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải các bài tập toán (bằng suy luận, chứng minh). Để thực hiện tốt môn toán ở trong trường THPT, một trong những yêu cầu được đặt ra là: “Về tri thức và kỹ năng, cần chú ý những tri thức, phương pháp đặc biệt là tri thức có tính chất thuật toán và những kỹ năng tương ứng. Chẳng hạn: Tri thức và kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, tri thức và kỹ năng chứng minh toán học, kỹ năng hoạt
động và tư duy hàm. Cần chú ý là tùy theo nội dung kiến thức toán học mà có những yêu cầu rèn luyện kỹ năng khác nhau. 1.2. TÌNH HÌNH DẠY HỌC GIẢI TOÁN VÀ VIỆC RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA Ở PHỔ THÔNG Dạy học giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa ở phổ thông còn gặp nhiều khó khăn, kết quả chưa tốt. Việc dạy phương pháp này vẫn chưa được chú trọng… a)Về phía giáo viên GV chưa khái quát cho HS mỗi dạng toán cần phải làm như thế nào mà chỉ quan tâm đưa ra bài tập và trình bày lời giải hoặc hướng dẫn một cách qua loa cho HS. Do khi giảng dạy trên lớp, GV cần truyền tải một số lượng lớn kiến thức nên không có đủ thời gian để chú trọng, khắc sâu kiến thức cho HS. Trong đó, tri thức về phương pháp lượng giác hóa là một trong những tri thức rất hữu dụng để giải một số lớp bài tập phổ thông mà GV không thể giới thiệu cho HS trong một ít tiết học được. Do các kiến thức về lượng giác của HS còn yếu, do mất gốc từ đầu nên gây khó khăn cho GV khi dạy học áp dụng phương pháp lượng giác hóa vào giải toán. Hiện nay, GV vẫn dạy theo hướng đọc giải nhiều, đôi khi HS không hiểu mà làm theo thói quen. Vì vậy, việc rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa cho HS ở phổ thông còn chưa được quan tâm, chú trọng. b) Về phía học sinh. Phương pháp lượng giác hóa có nhiều thuận lợi trong việc giải các bài toán về giải phương trình, hệ phương trình, tích phân, hình học… Tuy vậy, khi HS sử dụng phương pháp này không tránh khỏi những khó khăn và sai lầm. Thứ nhất, HS chưa biết nhận ra dấu hiệu nào để chuyển bài toán ban đầu sang bài toán lượng giác hóa. Thứ hai, HS gặp khó khăn trong việc giải các bài toán liên quan đến lượng giác. Hơn nữa phân phối chương trình hàm số lượng giác và phương trình lượng giác chiếm rất ít thời gian nên việc nắm vững lý thuyết và vận dụng vào giải bài tập của HS còn chưa được tốt. HS còn lúng túng, gặp nhiều khó khăn khi làm bài tập. Thứ ba, do các em chưa có cái nhìn tổng quan nên để phát hiện ra bài toán sử dụng phương pháp lượng giác hóa cũng không phải là dễ. Thứ tư, thực tế hiện nay trình độ của HS còn hạn chế, không đồng đều, khối lượng kiến thức nhiều trong khi số tiết dạy dành cho toán chưa nhiều. Đây là lí do gây cản trở cho việc HS tiếp thu tri thức toán nói chung, tri thức về phương pháp lượng giác trong giải toán nói riêng. Nếu các giờ dạy vẫn tiến hành đồng loạt, áp dụng như nhau đối với mọi đối tượng HS, bài tập đưa ra cho HS có chung một mức độ khó, dễ thì không
phát huy khả năng tư duy sáng tạo cho HS khá giỏi. Còn HS yếu kém thì không nắm vững được nội dung trên. 1.3. MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA Kỹ năng giải bài tập toán, đặc biệt là giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa bao gồm một hệ thống các thao tác trí tuệ và thực hành để vận dụng tri thức (kiến thức, phương pháp) vào việc giải các bài tập khác nhau. Kỹ năng giải toán được hình thành qua quá trình giải bài toán bằng phương pháp lượng giác hóa. Ta có 4 bước giải bài toán bằng phương pháp lượng giác hóa như sau: Bước 1: Nhận dạng các dấu hiệu chuyển bài toán sang bài toán lượng giác. Bước 2: Chuyển đổi bài toán từ ngôn ngữ không có yếu tố lượng giác sang bài toán với ngôn ngữ lượng giác (bài toán trung gian). Bước 3: Giải bài toán trung gian. Bước 4: Đối chiếu, kết luận và kiểm tra đánh giá. Trong quá trình giải một bài toán bằng phương pháp lượng giác hóa, HS cần có những kỹ năng cơ bản sau: - Kỹ năng nhận dạng các dấu hiệu để sử dụng phương pháp lượng giác hóa. - Kỹ năng chuyển bài toán đã cho về ngôn ngữ lượng giác. - Kỹ năng vận dụng các tri thức lượng giác để giải bài toán trung gian. - Kỹ năng chuyển kết quả của bài toán trung gian về yêu cầu của bài toán ban đầu . Báo cáo này chỉ tập trung vào rèn luyện 2 kỹ năng: - Kỹ năng nhận dạng các dấu hiệu để sử dụng phương pháp lượng giác hóa và chuyển bài toán về dạng toán lượng giác. - Kỹ năng vận dụng các tri thức lượng giác để giải các bài toán trung gian. 1.3.1. Kỹ năng nhận dạng các dấu hiệu để sử dụng phương pháp lượng giác hóa Phương pháp lượng giác hóa là phương pháp rất hữu dụng để giải các bài toán như chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Nhưng không một phương pháp giải toán nào là toàn năng. Chính vì vậy, vấn đề đặt ra là những bài toán nào sẽ thích hợp cho việc sử dụng phương pháp lượng giác hóa. Từ đó, GV cần truyền đạt cho HS các tri thức về dấu hiệu nhận dạng để HS có thể sử dụng thành thạo phương pháp này vào giải toán. Ví dụ 1: Cho a, b thay đổi thỏa mãn điều kiện: a 2  b2  4 . Chứng minh rằng: 2a 2  8ab  3b2  20 . Phân tích: Đây là một bài toán chứng minh bất đẳng thức có điều kiện. Trong đó a, b bị ràng buộc bởi mối liên hệ: a 2  b2  4 .
Nhận xét: Với điều kiện của a, b là a 2  b2  4 , GV gợi ý cho HS liên tưởng tới hệ thức cơ bản sin 2 t  cos2 t  1. Từ đó, GV gợi ý cho HS có thể đặt ẩn phụ để chuyển bài toán ban đầu về ngôn ngữ lượng giác hay không? ( a  2cos t , b  2sin t , t   0,2  ). Như vậy, với cách đặt ẩn phụ như trên GVđã chuyển bài toán ban đầu về bài toán chứng minh bất đẳng thức lương giác tương đương dưới đây: 12cos 2 t  32sin t.cos t  9sin 2 t  20 Đây là bất phương trình lượng giác cơ bản mà HS dễ dàng chứng minh được. 1.3.2. Kỹ năng vận dụng các tri thức lượng giác để giải bài toán trung gian. Đây cũng là một kỹ năng mấu chốt trong phương pháp lượng giác hóa. Trong kỹ năng này, cần rèn luyện cho HS các kỹ năng sau: Kỹ năng giải phương trình lượng giác (kỹ năng viết đúng các công thức nghiệm của các phương trình cơ bản, kỹ năng sử dụng đúng các công thức biến đổi lượng giác, kỹ năng đặt điều kiện xác định của phương trình và biết đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện xác định), kỹ năng biến đổi tương đương, kỹ năng tìm miền giá trị của hàm số lượng giác. Ví dụ 2: Giải phương trình: 4 x3  3x  1  x 2 . Phân tích: Khi nhìn thấy phương trình này, HS thường nghĩ đến phương pháp khử căn, nhưng như vậy ta sẽ đưa về giải phương trình bậc 6, không có phương pháp giải, cũng có em nghĩ đến phương pháp hàm số (thường cm có nghiệm duy nhất) nhưng bài toán này cũng không nhẩm ra ngay nghiệm được nên phương pháp này không khả quan. Tuy nhiên, từ điều kiện bài toán 1  x  1 , GV đặt ra câu hỏi: các em liên tưởng đến biểu thức nào mà tập giá trị của nó cũng thuộc [-1,1]. Đến đây, các em nghĩ đến hàm cos, sin đã học ( kỹ năng nhận dạng các dấu hiệu sử dụng phương pháp lượng giác hóa)… Vậy ta có thể chuyển bài toán trên về bài toán lượng giác tương đương không? Từ đó, GV định hướng cho HS có thể chọn một trong 2 cách đặt ẩn phụ:     x  sin t , t   ,  hoặc x  cos t , t   0,   . GV chú ý cho HS về miền giá trị  2 2 của t với cách đặt ẩn phụ tương ứng. Giả sử HS chọn x  cos t , t  0,   . Khi đó, bài toán giải phương trình vô tỉ sẽ tương đương với bài giải phương trình lượng giác sau: 4cos3 t  3cos t  1  cos2 t . GV định hướng cho HS cách giải phương trình lượng giác này bằng những gợi ý như sau. GV đưa ra câu hỏi yêu cầu HS rút gọn 2 vế của phương trình. GV gợi ý cho HS quan sát 2 vế của phương trình và nhận xét. GV có thể gợi ý sâu hơn bằng cách đặt câu hỏi: ‘‘Vế trái của phương trình giống công thức
biến đổi lượng giác nào đã biết?’’. Đến đây, các em sẽ nghĩ ngay đến công thức nhân ba: cos3t = 4cos3 t  3cos t . GV đặt ra câu hỏi: ‘‘Để rút gọn vế phải của phương trình, thì các em có nhớ hệ thức lượng giác nào liên quan đến cos 2 x ’’. HS sẽ liên tưởng ngay đến hệ thức lượng giác cơ bản: sin 2 x +cos2 x  1. Từ đó, HS có thể rút gọn phương trình lượng giác về phương trình sau: cos 3t  sin t . Khi giải phương trình lượng giác, GV gợi ý cho HS quan sát phương trình và đặt câu hỏi: ‘‘Phương trình lượng giác trên gần giống phương trình lượng giác cơ bản nào’’. HS sẽ nhận ra gần giống phương trình lượng giác cơ bản cos x  cos  , sin x  sin  . Đến đây, HS sẽ tìm cách chuyển đổi phương trình trên về cùng là hàm sin hoặc cùng là hàm cos . Giả sử chọn chuyển 2 vế về cùng hàm cos . Lúc này, GV hỏi HS cách chuyển như thế nào? HS sẽ nhớ ra công thức biến đổi giá trị lượng giác của các  hàm đặc biệt sint  cos(  t ) . Khi đó, HS sẽ chuyển phương trình về phương 2   trình sau: cos3t  cos   t  . 2  GV gọi một em nhắc lại cách giải về phương trình lượng giác cơ bản: cos x  cos   x    k 2 (k  Z ) . Từ đó, HS áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản để giải bài toán trên.    3t   t  k 2    2 cos3t  cos   t   3t  (  t )  k 2   (k  Z ) . 2  2 3t  (   t )  k 2  2 Sau khi giải phương trình tìm được nghiệm t như sau:   k t  8  2  (k  Z ) . t    k  4 GV cần chú ý cho HS về điều kiện t [0, ] . GV đặt câu hỏi: ‘‘Với điều kiện này thì ta được giá trị t nào thỏa mãn?’’. GV định hướng HS tìm t bằng cách yêu cầu các em thay từng giá trị t vào điều kiện 0  t   , để tìm điều kiện   5 3  của k ( k  Z ). Từ đó, HS dễ dàng tìm được t   , ,  . 8 8 4  Sau khi tìm t , GV yêu cầu HS thay vào phương trình x  cos t , t   0,     5 3  ta thu được: x  cos ,cos ,cos  .  8 8 4  Qua quá trình giải bài tập HS được rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác một cách kỹ càng hơn.
1.4. KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 Để thực hiện nhiệm vụ của báo cáo, ở chương 1 đã tiến hành: Nghiên cứu lý luận về dạy học giải bài toán, rèn luyện kỹ năng giải toán, bốn bước giải toán của Polya. Đồng thời tìm hiểu thực trạng hiện nay ở THPT về kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa của HS. Từ đó xác định một số kỹ năng cần thiết để HS giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa.Những việc này sẽ làm cơ sở để xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập ở chương 2 nhằm góp phần rèn luyện kỹ năng cho HS
CHƯƠNG 2. XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA Chương này sẽ làm rõ việc rèn luyện hai kỹ năng: Kỹ năng nhận dạng dấu hiệu lượng giác, kỹ năng vận dụng tri thức lượng giác vào giải bài toán trung gian thông qua phân tích cụ thể các ví dụ minh họa cho từng kỹ năng. Cuối cùng, đưa ra một số bài tập giúp các em HS rèn luyện kỹ năng giải bài toán bằng phương pháp lượng giác hóa. 2.1. XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 2.1.1. Căn cứ và định hướng lựa chọn sắp xếp hệ thống bài tập Khi giải toán cần chú ý tìm kiếm những bài toán có liên quan và đề xuất ra những bài toán mới. Trong quá trình tiến hành giải một bài toán, HS có thể sử dụng các phương pháp khác nhau, các suy luận khác nhau và tìm ra các lời giải khác nhau. Vì vậy, để tìm được lời giải hay cho một bài toán, HS cần phải kiểm tra và nghiên cứu kỹ lời giải. Đặc biệt đối với những bài toán không có thuật giải, đòi hỏi HS phải tích cực suy nghĩ tìm tòi lời giải và có phương pháp suy luận hợp lý đồng thời cần có kinh nghiệm trong việc sử dụng các công cụ để giải toán. Để phù hợp với khả năng tiếp thu của HS, hệ thống bài tập sử dụng phương pháp lượng giác hóa được đưa ra từ dễ đến khó. Có những bài tập cơ bản có thể dùng các công thức, định lý đã học để chứng minh và kết quả của những bài tập này có thể vận dụng vào chứng minh các bài toán khác. Có những bài tập phải sử dụng kiến thức tổng hợp nhằm rèn luyện kỹ năng, khả năng vận dụng kiến thức, khả năng phát triển tư duy cho HS. GV có thể sử dụng hệ thống bài tập đã phân dạng này trong các tình huống dạy học khác nhau như: Làm bài tập về nhà, bài tập phân hóa, dùng để bồi dưỡng HS khá giỏi, dùng để làm đề kiểm tra, kiểm tra trắc nghiệm… góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho HS. Đưa ra hệ thống bài tập đã phân dạng nhằm giúp HS có định hướng khi giải toán và thành thạo các kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa. 2.1.2. Rèn luyện một số kỹ năng trong giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa Trong khuôn khổ báo cáo chỉ tập trung vào 2 kỹ năng là kỹ năng nhận dạng các dấu hiệu để sử dụng phương pháp lượng giác hóa và chuyển bài toán về dạng toán lượng giác và kỹ năng vận dụng các tri thức lượng giác để giải bài toán trung gian. 2.1.2.1. Kỹ năng 1: Kỹ năng nhận dạng các dấu hiệu để sử dụng phương pháp lượng giác hóa và chuyển bài toán về dạng toán lượng giác. Như đã nói ở mục 1.3, HS cần phải rèn luyện bốn kỹ năng chính khi sử dụng phương pháp lượng giác hóa vào giải toán, trong đó kỹ năng đầu tiên là kỹ năng nhận dạng dấu hiệu lượng giác. Để rèn luyện kỹ năng này, GV cần trang bị cho HS nhận dạng một số dấu hiệu sau:
 Dấu hiệu 1: Nếu (ax)2  (by)2  r 2 . Đặt ax  r cos , y  r sin  .  Dấu hiệu 2: Nếu x  r thì đặt x  r cos ,    0,   hoặc y  r sin      với    ,  .  2 2 k  Dấu hiệu 3: Nếu A  k  0 thì đặt A  . cos  1 Khi đó, A2  k 2  k 2 (  1)  k 2 tan 2  . cos  2  Dấu hiệu 4: A bất kì, đặt A  tan  . Sau đây, tôi xin trình bày một số ví dụ minh họa thể hiện kỹ năng nhận dạng dấu hiệu lượng giác hóa: * Dấu hiệu 1: Nếu (ax)2  (by)2  r 2 . Đặt ax  r cos , y  r sin  . Ví dụ 3: Cho x 2  y 2  2 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A  2( x3  y 3 )  3( x  y) . Phân tích: Đây là bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức. Trong đó x, y lại bị ràng buộc bởi điều kiện x 2  y 2  2 . GV gợi ý đối với bài toán này nếu ta nghĩ đến việc sử dụng phương pháp đạo hàm hay phương pháp miền giá trị liệu có khả quan không? Khi đó HS sẽ thấy lí do không vận dụng phương pháp đạo hàm được vì A là biểu thức chứa hai biến, hai biến lại bị ràng buộc bởi một phương trình bậc hai vì thế không dễ dàng để thiết lập được hàm số để khảo sát. Cũng không thuận lợi khi ta nghĩ đến việc sử dụng phương pháp miền giá trị vì khi đó bài toán chuyển về dạng toán biện luận sự có nghiệm của một hệ phương trình bậc hai hai ẩn. Điều này là không hề dễ dàng! Đến đây, GV gợi ý HS nhìn vào điều kiện ràng buộc giữa x và y làm ta “liên tưởng” đến hệ thức lượng giác quen thuộc nào? Từ đó ta có thể nghĩ đến việc đặt ẩn phụ ra sao để chuyển biểu thức đã cho về dạng lượng giác? HS: Từ điều kiện x 2  y 2  1 cho ta “liên tưởng” đến hệ thức lượng giác: sin 2   cos 2   1 . GV gợi ý cho HS chuyển giả thiết x 2  y 2  2 sang đẳng thức có vế phải bằng 1 hay không? Từ đó, HS có thể dễ dàng nhận ra cần phải tiến hành chia cả 2 vế cho 2. Tiếp đó, GV yêu cầu HS chuyển vế trái của đẳng x y thức đó về tổng bình phương của 2 biểu thức là , . Như vậy, HS đã 2 2 2 2  x   y  chuyển: x  y  2 thành  2 2    1.  2  2 GV yêu cầu HS quan sát hệ thức lượng giác cơ bản: sin 2   cos 2   1
2 2  x   y  và      1 và cho biết liệu ta có thể chuyển bài toán ban đầu sang  2  2 bài toán lượng giác không? Từ đó, HS sẽ nghĩ đến kỹ năng đặt ẩn phụ x y  x  2 cos   cos ,  sin  . hay đặt  với    0,2  . 2 2  y  2 sin  Thay x, y bởi lần lượt bởi 2 cos  , 2 sin  biến đổi và rút gọn để thu được dạng lượng giác của biểu thức A . Như vậy, GV đã giúp HS chuyển việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số A thành tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A viết dưới dạng lượng giác. A = 4 2(cos3   sin 3  )  3(cos  sin ) . GV gợi ý HS sử dụng các kỹ năng biến đổi công thức lượng giác cùng với kỹ năng tìm miền giá trị của hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Từ đó, HS dễ dàng tìm được kết quả. VT= 2(4cos 3   3cos  )  (3sin   4sin 3  )   2(cos3  sin 3 )  2cos(3  ) 4 HS áp dụng miền giá trị của hàm số, ta được 2  A  2 . Kết luận: vậy giá trị lớn nhất của A là 2, giá trị nhỏ nhất của A là -2 Ví dụ 4: Cho 4 số x , y , u , v thỏa : u 2  v 2  x 2  y 2  1. Chứng minh rằng : u ( x  y )  v( x  y )  2 Phân tích: Khi nhìn bài toán chứng minh bất đẳng thức 4 ẩn: u ( x  y )  v( x  y )  2 kèm theo điều kiện u 2  v 2  x 2  y 2  1. Đa số HS chúng ta tỏ ra lúng túng, và không có hứng thú tìm lời giải bài toán. Phương pháp chứng minh bài toán này, những HS có học lực tốt sẽ nghĩ ngay đến phương pháp sử dụng bất đẳng thức cơ bản: bất đẳng thức Bunyakovsky. Nhưng mục đích tôi đưa bài toán này, để hầu hết HS có thể nhận thấy dấu hiệu lượng giác hóa ở ngay giả thiết (nếu HS được trang bị tri thức lượng giác hóa này). Khi đó, HS có thêm sự hứng thú khi chứng minh bài toán này . GV gợi ý cho HS quan sát 2 đẳng thức u 2  v 2  1, x 2  y 2  1. GV đặt ra câu hỏi rằng hai hệ thức trên giống với hệ thức lượng giác nào mà ta đã học? Từ đó, HS đưa ra được hệ thức sin 2   cos 2  1 . Như vậy, liệu ta có thể chuyển bốn đại lượng u, v, x, y sang bốn đại lượng lượng giác được hay không? HS sẽ nghĩ ngay đến việc đặt ẩn phụ u, v, x, y theo hàm sin, cos. GV nhắc nhở HS việc chọn các cặp (u,v);(x,y) theo từng góc riêng biệt, chẳng hạn theo góc  , góc  .
Từ đó, HS có thể chọn u  cos , v  sin  , x  cos , y  sin . GV yêu cầu HS chuyển bài toán đã cho sang bài toán chứng minh bất đẳng thức lượng giác. HS: Như vậy, bài toán ta cần chứng minh là: cos (cos  sin  )  sin  (cos  sin  )  2 . Đây là bài toán chứng minh bất đẳng thức đơn giản, HS có thể chứng minh được nhờ công thức biến đổi lượng giác và miền giá trị hàm số lượng giác của một số hàm đặc biệt.  cos  (cos   sin  )  sin  (cos   sin  )  2  (cos .cos   sin .sin  )  (sin .cos   cos .sin  )  2  cos(   )  sin(   )  2   2 cos(    )  2 4   cos(    )  1 ( luôn đúng ) 4 * Dấu hiệu 2:     Nếu x  r thì đặt x  r cos ,    0,   hoặc y  r sin  ,    ,   2 2  Ví dụ 5: Chứng minh rằng: Nếu 1  x  1, với mọi n  2 thì (1  x)n  (1  x)n  2n . Phân tích: Khi nhìn bài toán này, đa số HS sẽ làm theo phương pháp hàm số để chứng minh bất đẳng thức. Tức là, HS sẽ chuyển bài toán chứng minh bất đẳng thức trên (1  x)n  (1  x)n  2n về bài toán tìm giá trị lớn nhất của hàm số y= (1  x) n  (1  x) n với miền giá trị của x là 1  x  1 . Lúc này, GV gợi ý cho HS khảo sát hàm số y trên tập giá trị 1  x  1 . HS nhận thấy rằng phương pháp này làm cho HS lúng túng khi tìm các giá trị của x để y’=0. Do đó, HS không muốn giải tiếp. Tuy nhiên, từ điều kiện bài toán 1  x  1, GV đặt ra câu hỏi: Các em liên tưởng đến biểu thức nào mà tập giá trị của nó cũng thuộc [-1,1]. Đến đây, các em nghĩ đến hàm cos, sin đã học. Lúc này, ta có thể đặt ẩn phụ như thế nào? HS có thể đặt x = cos  hoặc x = sin  . Vậy từ đó, ta có thể chuyển bài toán trên về bài toán lượng giác như thế nào? Khi đó, HS có thể nghĩ đến việc thay x bởi cos  (giả sử chọn x = cos  ) . Khi đó, ta chuyển bài toán chứng minh sang chứng minh bất đẳng thức lượng giác (1  cos )n  (1  cos )n  2n . Đứng trước bài toán chứng minh bất đẳng thức này, HS tỏ ra lúng túng. Nhưng trước hêt, GV cần định hướng cho HS là rút gọn bất đẳng thức chứng minh về đơn giản.
GV đưa ra câu hỏi gợi ý cho HS rút gọn vế trái. HS sẽ sử dụng công thức hạ bậc để rút gọn bài toán: 1 sin 2   (1  cos2 ) 2 1 cos 2  (1  cos2 ) 2 Khi đó ta được:  1  cos  2sin 2 2  1  cos  2cos 2 2 Như vậy, HS thay vào bất phương trình ta được:    (2sin 2 ) n  (2cos 2 ) n  2n 2 2 Từ đây, HS dễ dàng rút gọn ta được:   (sin 2 )n  (cos 2 )n  1 . 2 2 GV gợi ý cho HS: Các em thấy bất đẳng thức cần chứng minh tương tự miền giá trị của hàm số của hàm số đã biết chưa? HS đã được trang bị một số tri thức về miền giá trị của một số hàm đặc biệt. Khi đó, HS nhớ tới ngay miền giá trị của hàm số y= sin n   cos n . HS: hàm số 1  sin n   cosn  1 Từ đó, suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 6: Chứng minh rằng : 3 9  a 2  4a  15 Phân tích: Khi nhìn bài toán chứng minh bất đẳng thức GV đặt các câu hỏi để HS tự phát huy được tính tự học của HS. Bài toán cần chứng minh: 3 9  a 2  4a  15 . Đây là bất đẳng thức chứa một ẩn. Các em có định hướng chứng minh như thế nào? Đa số HS nghĩ đến cách sử dụng phương pháp biến đổi tương đương: 3 9  a 2  4a  15  15  3 9  a 2  4a  15 Chứng minh: 3 9  a  4a  15 2 3 9  a 2  4a  15  3 9  a 2  4a  15  0  3 9  a 2  15  4a
a  3 Với điều kiện  15  3  a   4  81  9a  225  120a  16a 2 2  25a 2  120a  144  0  (5a  12) 2  0 (luôn đúng) Tương tự: chứng minh với 15  3 9  a 2  4a Như vậy, với cách giải như vậy, mất nhiều thời gian. GV gợi ý cho HS thông qua việc HS chú ý tới điều kiện xác định: a  3 . a GV đưa ra quan điểm a  3   1 . GV đặt câu hỏi: Với miền giá trị của 3 a 1   1 thì giống với miền giá trị của hàm số lượng giác nào? Khi đó, HS 3 a nghĩ ngay tới hàm cos và hàm sin. GV yêu cầu HS thay bởi sin  (giả sử lấy 3 theo hàm sin) tức là thay a bởi 3sin  . Khi đó, ta chuyển bài toán sang chứng minh bất đẳng thức lượng giác 3 9  9sin 2   4.3.sin   15 . GV gợi ý cho HS sử dụng hệ thức lượng giác đơn giản: sin   cos2  1 và sử dụng miền giá trị của hàm số thì ta thu được bất 2 phương trình đơn giản: 9cos   12sin   15 Nhìn vào biểu thức cần chứng minh, HS sẽ chứng minh được một cách dễ dàng: 9cos   12sin   9 2  12 2  15 .(đpcm) Ví dụ 7: Giải phương trình: x 2 x 1 1  x2 2 Phân tích: Khi nhìn thấy pt này, HS thường nghĩ đến phương pháp khử căn, nhưng như vậy ta sẽ đưa về pt bậc 4, hệ số lẻ không khả quan. Ngoài ra các em cũng có thể nghĩ đến phương pháp hàm số. Mà sử dụng tính duy nhất nghiệm của phương trình. Tuy nhiên, phương pháp này đối với bài toán x 2 x 1 là không hiệu quả. 1  x2 2
Tuy nhiên, từ điều kiện bài toán, GV đặt ra câu hỏi: Các em liên tưởng đến biểu thức nào mà tập giá trị của nó cũng thuộc [-1,1]. Đến đây, các em nghĩ đến hàm cos, sin. Từ đó, ta thay x bởi cost, t   0,   . Khi đó, phương trình trở thành: cos t 2 cos t  1 sin t 2 Đây là bài toán lượng giác cơ bản, các em có thể giải được tìm ra t k *Dấu hiệu 3: Nếu A  k  0 thì đặt A = cos  Ví dụ 8: a2  1  3 Cho a  1 . Chứng minh rằng : 2 a Phân tích: a2  1  3 Bài toán đặt ra vấn đề: Chứng minh  2 , với điều a kiện a  1 . Trước hết, GV nêu nhận xét: Đây là bất đẳng thức 1 ẩn. Phương pháp mà chúng ta hay sử dụng để chứng minh bài toán này là gì? Đa số HS thường nghĩ tới phương pháp biến đổi tương đương. Phương pháp này tỏ ra không hiệu quả, và mất nhiều thời gian và HS dễ biến đổi sai. Từ đó, GV gợi ý HS nghĩ theo hướng khác. 1 Với điều kiện a  1 , hay viết cách khác 1   1 . GV gợi ý cho HS a 1 thông qua việc so sánh miền giá trị của gần giống với miền giá trị nào của a hàm nào mà ta đã biết? HS lập tức nghĩ ngay tới miền giá trị của hàm sin và hàm cos. 1 1 Như vậy, HS có thể chọn một trong 2 cách đặt = cost hoặc =sint. a a 1      Giả sử GV chọn a  , t  0;    ;  . Từ đó, HS có thể chuyển bài cos t  2 2  toán chứng minh bất đẳng thức đại số sang chứng minh bất đẳng thức lượng giác: 1 1  3 cos 2 t 2 1 cos t