Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2022. ISBN: 978-604-82-7001-8
73
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM S-TUẦN HOÀN TIỆM CẬN
CHO MỘT LỚP HỆ VI PHÂN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG
Lê Thị Minh Hải
Trường Đại học Thuỷ lợi email: lethiminhhai@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU
Trong bài báo này, ta xét hệ


0
0
0(1)
0(2)
dk*(u u ) Au f t,u(t) ,t
dt
u( ) u

ẩn hàm u nhận giá trị trong không gian
Hilbert khả li H, nhân

1
loc
kL
,
A
là
toán tử tuyến tính không bị chặn,
:0,
f
HH là một hàm cho trước và
* là kí hiệu tích chập Laplace

0
t
k*v (t) k(t s)v(s)ds
Hệ trên là mô hình tổng quát của một số
lớp hệ vi phân đang thu hút sự quan tâm của
một số nhà toán học (xem [3]). Trong [3], các
tác giả đã nghiên cứu về công thức nghiệm,
tính chính qui và tính ổn định của nghiệm
nhẹ. Sự tồn tại nghiệm có tính S- tuần hoàn
tiệm cận đã thu hút được sự quan tâm của
nhiều tác giả (xem [1], [2] và các tài liệu liên
quan). Trong bài báo này, chúng tôi tìm các
điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm nhẹ với
tính chất S-tuần hoàn tiệm cận cho lớp
phương trình vi phân không địa phương với
ngoại lực phụ thuộc vào ẩn hàm. Kết quả
nghiên cứu là một sự tiếp nối của một kết quả
chúng tôi đã công bố [1]. Chúng tôi dùng
Nguyên lí điểm bất động để thu được kết quả,
cách tiếp cận này hoàn toàn khác so với [1] vì
đặc điểm của số hạng phi tuyến.
2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Chúng tôi dùng các ước lượng nghiệm, sử
dụng các tính chất nghiệm của phương trình
Volterra loại 2 với nhân hoàn toàn dương và
nguyên lí ánh xạ co.
3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Phần đầu trình bày một số kiến thức cơ cở,
tiếp theo chúng tôi chứng minh tính chất của
toán tử nghiệm (Bổ đề B). Dựa vào đó, chúng
tôi tìm được điều kiện đủ cho sự tồn tại
nghiệm S-tuần hoàn tiệm cận cho hệ (1)-(2).
Cuối cùng là một ví dụ minh họa cho kết quả
lí thuyết. Ta ký hiệu :[0, )J.
Định nghĩa 1. ([2]) Một hàm
f
BC J ,H
được gọi là S – tiệm cận tuần hoàn chu kỳ
nếu tồn tại
> 0 sao cho

0
t
lim f t f ( t )
 
Số
gọi là một tiệm cận chu kỳ của f.
Từ đây, ta kí hiệu

f(t): ft
.
Tập SAP ( H )
gồm các hàm S – tiệm cận
tuần hoàn chu kỳ
là một không gian Banach
con của
,BC J H (xem [2]).
Để đưa ra công thức nghiệm, chúng ta cần
giả thiết (K): Hàm
1
loc
kL
không âm
và không tăng, và tồn tại một hàm
1
loc
lL
sao cho 1k*l trên
0,.
Gọi s và r là các nghiệm của phương trình
Volterra loại 2


10
0
s
( t ) . l* s ( t ) , t
r(t) . l*r (t) l(t), t


Mệnh đề 1. (xem [4]) Giả sử (K) được
thỏa mãn. Khi đó

s
,,


1
loc
r, L

với mỗi 0
. Thêm nữa, ta có các tính
chất:
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2022. ISBN: 978-604-82-7001-8
74
(a) Hàm

s
,
không âm và không tăng và

0
110
t
st, l d , t






, vì thế nếu
1
lL
, thì lim ( , ) 0
tst

.
(b) Hàm
,r
là không âm và

0
10
t
st, r , d k*r , t, t .


Nên

1
0
,,0
t
rd t


.
Nếu1
lL( )
, thì

1
0
0r, d ,


.
(c) Với mỗi 0t, các hàm số

s
t,
và

rt,
không tăng.
Sau đây là giả thiết về toán tử A.
(A): Toán tử
A
là toán tử tuyến tính xác
định dương, tự liên hợp, xác định trù mật với
giải thức compact.
Khi đó, ta có thể xét cơ sở của Hgồm các
hàm riêng trực chuẩn 1
{}
nn
e
của
A
và
1
nnn
n
A
vve
, trong đó ,0
nnnn
Ae e
với 12
0n


khi n.
Định nghĩa các toán tử (t)S và (t)Rnhư sau:

1
(t) (t, ) , , 0,
nnn
n
Sv s vee t vH


1
(t) (t, ) , , 0,
nnn
n
Rv r vee t vH

dễ thấy(t)S và (t)Rlà các toán tử tuyến tính.
Mệnh đề 2 (xem [3]).
i) Có (.) ([0, ]; )SvC TH, với vH,0T.
Hơn nữa

1
() (, ) , 0,Stv st v t T
.
ii)

0,T ;gC H thì

() 0,T ;RvC H và

0R* g C ,T ;H. Ta có 1
R(t)v r( t, ) v ,
0,tT và
1
0
(*)(t) ( ,) () , 0, .
t
Rg rt g dt T

Định nghĩa 2.([3]) Hàm

0, ;uC TH
được gọi là nghiệm nhẹ của bài toán (1)-(2)
trên

0,T nếu: với

0,tT,

0
0
() () ( ) , ( ) d
t
ut Stu Rt f u

Từ công thức nghiệm, ta xét toán tử sau:
:;SAP H BC J H
xác định bởi:

0
0
t
(u) (t) S(t)u R(t )f ,u( ) d ,


với tJ.
Giả thiết sau về hàm phi tuyến:
(F) Hàm
f
liên tục theo biến thứ nhất và
(F1) tồn tại 0L sao cho: 12
,vv H
1212
,, ,,
f
tv f tv Lv v t J
.
(F2) Tồn tại hai hàm
0;hCJJthỏa mãn
,,()1,,
f
tv f tv ht v t J v H
Ta sẽ chứng minh
() ()SAP H SAP H

.
Bổ đề B. Giả sử (K), (A), (F) thỏa mãn và
1
lL
, thì
() ()SAP H SAP H

.
Chứng minh
Lấy ()uSAPH
, với mọi 0
đều tồn tại
số 00t sao cho:
0
sup ( ) ( )
tt
ut ut

. (3)
Với 0
tt, ta có
0
() () () ()ut ut StStu
 
00
(),() (),().
tt
Rt f u d Rt f u d


 
Vì
 
0
(),() () ,().
tt
R
tfud Rtfud



 
Nên
 
4
1
( ) () ()
n
n
ut ut It

, với
10
() () ()It S t St u
;

0
2() ( ) , ( )It Rt f u d


;

3
0
() ( ) , ( ) , ( ) ;
t
It Rt f u f u d





4
0
() ( ) , ( ) , ( ) ,
t
It Rt fu fu d



ta sẽ chứng minh lim ( ) 0, 1,4
n
tIt n
 
.
Thật vậy, 1
lim ( ) 0
tIt
 vì có Mệnh đề 1 (a) và
1110
I
(t) s (t, ) s(t, ) u


Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2022. ISBN: 978-604-82-7001-8
75
Với 2()It, ta có:
0
21
1
() ( , )
(, )
u
t
u
t
It M rt d
Mr d




,0 ;
:sup (,)
u
vu
BC
Mfv



. Mặt khác:
2
lim ( ) 0
tIt
 , vì
11
1
1
(,)(,)
(, ) 0,
t
t
st st
rd t




.
Xét 3()It, dựa vào (F2) thì ta được:
31
0
() (|| || 1) ( , ) ( ) 0
t
BC
It u rt h d

khi t vì
0;hCJJ.
Sử dụng (F1) và (3), khi t thì
41
0
() ( , ) ( ) ( ) 0
t
It Lrt u u d

.
Tóm lại, ta có
lim ( ) ( ) 0
tut ut
 
.
Tức là ()uSAPH
. □
Định lí sau đây là nội dung chính.
Định lí Giả sử các giả thiết trong Bổ đề B
được thỏa mãn, và 1
L
, thì hệ (1)-(2) có
nghiệm S – tiệm cận tuần hoàn chu kỳ
.
Chứng minh
Từ kết quả của Bổ đề B, ta xét ánh xạ
:() ()SAP H SAP H

và chứng minh nó là ánh xạ co.
Thật vậy, với mọi ,()uv SAP H
ta có:
() ()ut vt
1
0
( , )|| ( ) ( )||
t
Lrt u v d

1
0
|| || ( , )
t
BC
L
uv rt d

1
|| ||BC
Luv
, tJ .
Suy ra: BC BC
uv uv
với
1
1
L

. Phép chứng minh kết thúc. □
Ví dụ minh họa. Xét hệ sau:


12
1
32
2
0
(, ) (, ) (, )
sin ( , ) cos2 , , 0,
(,0) (, ) 0,
(0, ) ( ), 0,
cc
tt
Duty Duty uty
y
ut y t t J y
ut ut t J
uyuy y





với
. Đặt

20,HL
. Định nghĩa
toán tử :()
A
DA H H bởi
2
2
du
Au d
y
 ,
2
2
() , ,(0) u() 0
du d u
DA u H Hu
dy dy




Khi đó, theo [5], thì
A
là toán tử sinh của 0
C
nửa nhóm
0
(t) t
Scompact trong H và
A
xác định bởi2
1
,enn
n
A
unue
, giả thiết
(A)được thỏa mãn với 2
nn
và
2
() sin
n
e
y
n
y
. Hàm 21
32
() () ().kt gt gt
Trong [3] đã chỉ ra rằng k thỏa mãn điều
kiện tồn tại nhân l sao cho 1kl trên
(0, ) và 4
3
(1 )( ) g ( )lt t khi t. Do vậy

1
(, ) 0
11 ()
st lt


khi t, với mọi
0
. Cuối cùng (, ) sin cos2
f
tu u t
thì ta có: 1
, L
và () 0ht . Theo
kết quả lí thuyết thì bài toán có nghiệm S-
tiệm cận tuần hoàn với 1
nếu 1
.
4. KẾT LUẬN
Áp dụng nguyên lí ánh xạ co, chúng tôi chỉ
ra rằng hệ (1)-(2) với một số điều kiện đủ áp
đặt nên toán tử
A
, hàm phi tuyến
f
thì có
nghiệm S-tiệm cận tuần hoàn.
5. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] N.V. Dac, L.T.M. Hải (2020), Nghiệm S -
tiệm cận tuần hoàn cho hệ vi phân không địa
phương tuyến tính, Tuyển tập hội nghị khoa
học thường niên Đại học Thủy lợi, 51 - 53.