Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2022. ISBN: 978-604-82-7001-8
85
NHỊ PHÂN MŨ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH
TRONG KHÔNG GIAN HÀM CHẤP NHẬN ĐƯỢC
Nguyễn Ngọc Huy
Trường Đại học Thủy lợi, email: huynn@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG
Cho
X
(X, )‖‖ là một không gian
Banach và
B
(X) là tập các toán tử tuyến
tính bị chặn trên X. Cho
A
:B(X) là
một hàm liên tục mạnh hay tA(t)x là liên
tục với
x
X.
Xét phương trình vi phân tuyến tính
dx
A
(t)x, t ,x X
dt  (1.1)
và phương trình có nhiễu:
dx A( t )x f ( t ), t , x X
dt  (1.2)
trong đó
f
:X.
Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu tính
đặc trưng nhị phân mũ của phương trình (1.1)
thông qua nghiệm của phương trình phi tuyến
(1.2) trong không gian hàm chấp nhận được.
Kết quả chính đạt được là họ tiến hóa
(, )Tt
của phương trình (1.1) có nhị phân
mũ nếu và chỉ nếu họ tiến hóa bị chặn mũ và
tồn tại duy nhất nghiệm bị chặn của phương
trình (1.2) với nhiễu bị chặn trong không gian
. Các kết quả này được nêu trong định lý
2.1 và định lý 2.2.
2. NỘI DUNG CHÍNH
Trước khi đưa ra kết quả chính, chúng tôi
nhắc lại một số khái niệm và tính chất (trong
tài liệu tham khảo [1] và [2]).
Định nghĩa 1. Họ toán tử tuyến tính bị chặn
t
T(T(t,))
trong không gian Banach Xlà
một họ tiến hóa liên tục mạnh nếu:
1) (,)Ttt Id và (, ) ( , ) (, )TtrTr Tt
với
t,r,
.
2) Ánh xạ (, ) (, )tTtx
là liên tục với
mọi
x
X.
Trong bài toán Cauchy:
du( t ) A(t)u(t),t ,
dt
u( ) x X ,


vớiA( t ) (trong trường hợp tổng quát) là
một toán tử tuyến tính không bị chặn trên X,
thì u( t ) : T( t, )u( )
là nghiệm của bài toán
trên (xem Pazy [3]).
Định nghĩa 2. Không gian vectơ E gồm
các hàm đo được Borel trên gọi là không
gian hàm Banach nếu
1)
E
có tính chất dàn Banach với chuẩn
véctơ trong E thì (, )
E
E‖‖ là một không gian
Banach. Trong đó tính chất dàn Banach thỏa
mãn có nghĩa là nếu E
,
là một hàm đo
được Borel thỏa mãn | ( )| | ( )|,

 h.k.n,
thì E
và EE
‖‖‖‖.
2) Hàm đặc trưng A
thuộc
E
với A là
tập đo được hữu hạn và [, 1]
sup tt E
t

‖‖,
[, 1]
inf 0
tt E
t
‖‖.
3) 1,loc
E
L(), với mỗi nửa chuẩn n
p
thuộc 1, ()
loc
L tồn tại một số 0
pn
thỏa
mãn () ,
n
npE
pf f f E
‖‖ .
Định nghĩa 3. Cho
E
là không gian hàm
Banach và X là không gian Banach. Đặt
:(,):{: , () }
X
fXfE ‖‖
trang bị bởi chuẩn :()
E
ff
‖‖‖‖ ‖‖, trong
đó
f
là đo được mạnh. Thì là một không
gian Banach và được gọi là không gian
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2022. ISBN: 978-604-82-7001-8
86
Banach tương ứng với không gian hàm
Banach E.
Gọi (,)
b
CX
là không gian các hàm liên
tục bị chặn nhận giá trị trong X (trang bị bởi
chuẩn sup:
‖‖). Đặt ,):(
b
CX


trang bị bởi chuẩn :max{ },fff


‖‖ ‖‖‖‖.
Định nghĩa 4. Không gian hàm Banach
E
gọi là chấp nhận được nếu thỏa mãn:
1) Tồn tại hằng số 1
M
sao cho với mọi
khoảng compact [,]ab ta có:
b
E
a[a,b] E
M(b a)
|(t)| E,,dt


‖‖
‖‖
2) Cho
E
, hàm 1
xác định bởi
1
1(): ( )
t
t
td


thuộc không gian E.
3)
E
là T
-bất biến and T
-bất biến, T
và T
xác định bởi:
T(t): (t ), t
T(t): (t ), t




và tồn tại các hằng số 1
N
, 2
N
thỏa mãn
12
TN,TN


‖‖ ‖‖ với mọi
.
Ví dụ. Các không gian 1
p
L( ), p;
1
1
t
,loc t
t
(): f L ():sup |f()|d





M

trang bị bởi chuẩn 1t
t
t
f
:sup |f()|d
M
‖‖
là các không gian hàm chấp nhận được.
Định nghĩa 5. Họ tiến hóa t,
(T(t, ))
trong không gian Banach Xđược gọi là có
nhị phân mũ nếu tồn tại phép chiếu tuyến tính
bị chặn
P
(t),t trên X và các hằng số
dương ,,N
thỏa mãn
1)T(t, )P( ) P(t )T(t, ), t, ,

 (2.1)
2)
(t )
T(t, )x Ne x
xP()
,
X,t ,




‖‖ ‖‖
(t )
T( ,t )x Ne x
xKerP(t), ,
,
t



‖‖ ‖‖
(2.2)
3)
(t )
T(t, )x Ne x
xP()
,
X,t ,




‖‖ ‖‖
(t )
T( ,t )x Ne x
xKerP(t),t
,



‖‖ ‖‖
(2.3)
Mệnh đề 1. Cho E là không gian hàm
Banach chấp nhận được thì các điều kiện sau
thỏa mãn:
Cho 1,loc
L()
thỏa mãn 0
và
1E
, trong đó 1
được xác định trong
Định nghĩa 4. Với 0
, các hàm
và

xác định bởi:
t(t s)
(t) e (s)ds,



(s t)
t
(t) e (s)ds.



Thì
và

cũng thuộc không gian E.
Nếu 1t
t
t
sup | ( )| d


thì
và

là bị chặn và ta có 11
1
N
e


‖‖ ‖‖
,
21
1
N
e



‖‖ ‖‖, trong đó
‖‖
là chuẩn ess sup.
2) E gồm các hàm giảm cấp mũ
|t|
(t) e
, với t và hằng số cố định
0
.
3) E không bao gồm các hàm tăng cấp mũ
b|t|
f
(t) e với t và hằng số 0b.
Định lý 2.1. Giả thiết họ tiến hóa T(t, )
xác định bởi phương trình (1.1) có nhị phân
mũ trên . Khi đó :
1) Với mỗi y tồn tại duy nhất x

thỏa mãn
x
(t) A(t)x(t) y(t)
 h.k.n t ; (2.4)
2) Tồn tại ,0K
sao cho
|t |
T(t, ) Ke t, .,


‖‖ (2.5)
Chứng minh. Với y, t ta đặt:
t
t
x
(t) T(t, )P( )y( )d
T(t, )Q( )y( )d ,




trong đó: () ()QIdP
 .
Từ (2.2) và Mệnh đề 1 ta có:
1
x
(t) NU (t) N( U ) (t)

 

‖‖ ,
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2022. ISBN: 978-604-82-7001-8
87
trong đó:
(): ()tyt
‖‖ và :sup () .
t
UPt

‖‖
Do đó x
 . Hơn nữa với 0
t, ta có
t
t
x
(t) T(t, )P( )y( )d
T(t, )Q( )y( )d




00
0
t
tT(t, )y( )d T(t,t )x(t )


.
Do ánh xạ
x
y xác định bởi (2.4) là
tuyến tính và với mỗi x
 thỏa mãn
() () ()
x
tAtxt
với t thì 0
x
. Do đó
x
là nghiệm duy nhất trong
thỏa mãn (2.4)
h.k.n trên .
Để chứng minh kết quả thứ 2 của định lý,
từ (2.2) và (2.3) ta có
T(t, )x T(t, )P( )x
T(t, )Q( )x


‖‖‖ ‖
‖‖
21 (t )
N( U )e x t

 ,‖‖ .
Tương tự:
21 (t)
T(t, )x N( C )e x .,t

 ‖‖ ‖‖
Do đó (2.5) thỏa mãn với

21
K
NC và
max{ , }

.
Định lý 2.2. Giả thiết rằng với mỗi y,
tồn tại duy nhất x
 thỏa mãn phương
trình (2.4) h.k.n trên và (, )Tt
là họ tiến
hóa của phương trình (1.1) thỏa mãn điều
kiện (2.5) thì (, )Tt
có nhị phân mũ trên .
Chứng minh. Gọi H là toán tử tuyến tính xác
định bởi (Hx)(t) x(t) A(t)x(t),t

trong miền D( H ) : { x : Hx }
 . Khi
đó H là toán tử đóng.
Do H là toán tử đóng và theo định lý đồ thị
đóng thì toán tử H có khả nghịch bị chặn
:G.
Với
, đặt:

s
,
F
xX: (t)T(t,)x ,



u
,
F
xX: (t)T(t,)x ,



trong đó u( t ) T( t, )x
là nghiệm của
phương trình (1.1) với u( ) x
.
Khi đó
s
F
và u
F
là các không gian con
của X và
s
u
X
FF.

Với
s
P
():X F
và u
Q( ) : X F
là
các phép chiếu trong phân tích trên với
P
()Q() Id
. Thì T(t, )P( )
P
(t)T(t, ) .,t,
Ta có:
P
()x M x
‖‖‖‖ (2.6)
với 0
M
,
x
X, .
Do đó tồn tại các hằng số ,0
N
thỏa mãn:
(t )
T(t, )x Ne x


‖‖ ‖‖ (2.7)
với:
x
P( )X
, t
.
Và:
(t)
T(t, )x Ne x


‖‖ ‖‖ (2.8)
với:
x
KerP( )X
, t
.
Từ (2.7) và (2.8) ta được (2.2) thỏa mãn
với t
.
Với t
, từ (2.5) và (2.6) ta có:
|t |
(t )
T(t,)P()x Ke P()x
K
Me x ,



‖‖‖‖
‖‖
trong đó 0.
Lập luận tương tự với
T(t, )Q(t )x
‖‖ ta được (2.3) thỏa mãn với
t.
3. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Barreira, Luis and Valls, Claudia, Strong
and weak admissibility of
L
spaces,
Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ. 78
(2017), 1-22.
[2] Nguyen Thieu Huy, Exponential dichotomy
of evolution equations and admissibility of
function spaces on a half-line, J. Funct.
Anal. 235 (2006), 330-354.
[3] A. Pazy, Semigroup of Linear Operators
and Application to Partial Differential
Equations, Springer-Verlag, Berlin, 1983.