3
Phần I :
DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
A. NỘI DUNG VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI
1. DAO ĐỘNG
Là chuyển động qua lại quanh một vị trí cân bằng trên một đoạn thẳng. Vậy quĩ
đạo của dao động điều hòa là đương thẳng.
Dao động có thể tuần hoàn hoặc không tuần hoàn.
a. Dao động tuần hoàn: Vật chuyển động từ P đến O rồi đến Q rồi dừng lại đổi
chiều tiếp tục đi từ Q về O rồi về đến P. Chu trình thực hiện của vật trong một giai
đoạn như thế gọi là dao động.
Nếu dao động của vật từ P đến Q và về lại P trong một khoảng thời gian nhất
định và lặp lại như cũ thì dao động là dao động tuần hoàn.
Chu kì T: Thời gian thực hiện một dao động tuần hoàn gọi là chu kì và kí hiệu
T. Đơn vị của chu kì là giây (s).
Tần số f: Trong 1 s vật thực hiện được f =
1
T
; f được gọi là tần số của dao
động tuần hoàn. Đơn vị của tần số là hec (Hz).
Biên độ của dao động kí hiệu là A. Đó là khoảng cách từ vị trí cân bằng đến vị
trí biên P hoặc Q.
P và Q là hai vị trí biên của dao động.
Li độ vật là khoảng cách từ vật đến vị trí cân bằng.
* Lưu ý: Trong dao động, ta thấy khi vật chuyển động quanh vị trí cân bằng
thì để xác định li độ, tốc độ, gia tốc vật ta cần chọn một chiều dương: Gốc tại vị trí
cân bằng (thường chọn như vậy).
Chiều dương được chọn tùy ý (hoặc theo đề chọn trước).
Khi vật qua 2 biên thì li độ bằng A, khi vật qua vị trí cân bằng thì li độ có giá
trị nhỏ nhất bằng 0.
Khi vật chuyển động theo chiều dương thì vận tốc dương và ngược lại vận tốc
âm khi vật chuyển động ngược chiều dương.
+ Vật trong khoảng OQ li độ x có giá trị dương.
+ Vật trong khoảng OP li độ x có giá trị âm.
+ Vật qua P li độ x = A.
+ Vật qua Q li độ x = +A.
+ Vật qua vị trí cân bằng x = 0
b. Phƣơng trình động lực học:
Lực hồi phục: Trong con lắc lò xo nằm ngang lực đàn hồi luôn hướng về vị trí cân
bằng nên cũng gọi là lực hồi phục (cũng là lực kéo về). Đây cũng chính là lực gây ra
dao động của con lắc.
Xét chuyển động của vật nặng trong con lắc lò xo nằm ngang ta có lực đàn hồi
của lò xo là F. Vị trí vật so với vị trí cân bằng là li độ x. Ta luôn có:
Biên
P
A
O
VTCB
Biên
A
P
O
VTCB
Q
+
4
F kx
Trong đó k là độ cứng của lò xo.
Nên ta có: ma = kx
Gia tốc của vật nặng bằng đạo
hàm bậc hai của li độ:
mx” = kx x” +
k
m
x = 0.
Với 2 =
k
m
nên ta có: x” + 2x = 0.
Đây là phương trình động lực học của dao động.
Khi vật qua vị trí cân bằng (li độ bằng 0) thì Fmin = 0.
Khi vật ở hai biên (li độ bằng A) thì Fmax = kA. Lúc này vật đổi chiều chuyển
động.
Khi x > 0 thì F < 0 và khi x < 0 thì F > 0.
2. DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
a. Nghiệm của phƣơng trình động lực học: Có dạng
x = Acos(t + )
Đây cũng chính là phương trình dao động điều hòa.
Vậy dao động điều hòa là dao động mà phương trình có dạng hàm sin hoặc cosin
của thời gian nhân với một hằng số.
b) Các đại lƣợng đặc trƣng của dao động điều hòa
x là độ dời của vật so với vị trí cân bằng ở thời điểm t tính bằng đơn vị mt.
A là biên độ, đó là giá trị lớn nhất của li độ. Biên độ luôn luôn dương
(
t +
) là pha dao động tại thời điểm t. (Cũng gọi là pha tức thời)
là pha ban đầu ứng với thời điểm ban đầu (t = 0)
Lưu ý : Các pha ở đây đều là góc.
là tần số góc của dao động. Đơn vị tính của
là (rad/s)
Quan hệ giữa tần số góc và tần số dao động là:
= 2f
f2

(Hz)
c) Chu kì và tần số trong dao dộng điều hòa
Chu kì: T =
2
s. Đây là khoảng thời gian để vật thực hiện một chu trình, cũng
là khoảng thời gian để vật trở lại trạng thái ban đầu.
(Trạng thái ban đầu là trạng thái vật có li độ và vận tốc có độ lớn, chiều như lúc
đầu)
Tần số: Là số dao động vật thực hiện được trong 1 giây.
f =
1
T2
= 2f
Ba đại lượng chu kì, tần số và tần số góc đều đặc trưng cho sự biến đổi nhanh
chậm của pha dao động. Chỉ cần biết một trong ba đại lượng này thì có thể xác định
được hai đại lượng còn lại.
d) Vận tốc trong dao dộng điều hòa
VTCB
m
k
k
A
O
x
m
5
Bằng đạo hàm bậc nhất của li độ:
v = x‟ = –Asin(t + ) = Acos(t + +
2
) ( đơn vị).
Vận tốc luôn sớm pha hơn li độ một góc
2
.
Tại 2 vị trí biên xmax = A thì v = 0.
Tại vị trí cân bằng x = 0 thì vmax = A.
Tốc độ trung bình trong một chu kì dao động là:
tb
4A
vT
.
Lúc vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0 và ngược lại.
e) Gia tốc trong dao động điều hòa
Bằng đạo hàm bậc nhất của vận tốc và bằng đạo hàm bậc hai của li độ:
a = v‟ = x” = 2Acos (t + ) = 2x.
Gia tốc luôn ngược pha với li độ.
Qua vị trí cân bằng gia tốc có giá trị min (a = 0).
Vectơ gia tốc luôn có chiều hướng về vị trí cân bằng.
Khi x > 0 thì a < 0 và ngược lại.
Gia tốc đạt giá trị cực đại bằng 2A.
Gia tốc và li độ luôn có tỉ số cố định là 2.
Từ công thức F = ma nên ta luôn có F và a luôn cùng chiều.
Một số lưu ý:
Khi vận tốc cực đại thì gia tốc cực tiểu, lúc đó li độ bằng 0.
Khi vật chuyển động từ biên về vị trí cân bằng thì chuyển động là nhanh dần.
Gia tốc và vận tốc cùng chiều.
Khi vật chuyển động từ vị trí cân bằng về biên thì chuyển động là chậm dần.
Gia tốc và vận tốc ngược chiều.
Khi gia tốc vật cực đại thì vân tốc vật cực tiểu, lúc đó li độ cực đại.
Trong dao động điều hòa luôn có một biểu thức quan hệ giữa biên độ, li độ và
vận tốc tại mọi thời điểm ( không phụ thuộc vào thời gian).
A2 = x2 +
2
2
v
.
Khi dùng công thức này thì cần nhớ : các đại lượng A, x và v luôn đổi về cùng
một đơn vị.
f) Biểu diễn dao động điều hòa bằng vectơ quay
Để biểu diễn một dao động điều hòa người ta dùng một vectơ
OM
Có độ dài A (biên độ) quay đều quanh gốc O (trong mặt phẳng chứa trục Ox)
với tốc đô góc .
Ở thời điểm ban đầu t = 0 góc giữa trục Ox là .
Ở thời điểm t góc giữa trục
OM
là (t + )
Độ dài đại số của hình chiếu vectơ
OM
xuống trục Ox là giá trị của li độ x
trong dao động điều hòa.
6
Li độ x > 0 khi vật ở miền dương và ngược lại.
B. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1. Đề Cao đẳng 2008.
Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox có phương trình :
x = 8cos(
t)
4
(x tính bằng cm và t tính bằng giây) thì
A. chu kì dao động là 4 s.
B. lúc t = 0 chất điểm chuyển động theo chiều âm của trục Ox.
C. chất điểm chuyển động trên đoạn thẳng dài 8 cm.
D. vận tốc chất điểm tại vị trí cân bằng là 8 cm/s.
Đáp án : B
Hướng dẫn: Chu kì T =
2
2 s.
Chất điểm chuyển động trên quỹ đạo dài 2A = 16 cm.
Vận tốc qua vị trí cân bằng có độ lớn đạt cực đại. vmax= A = 8 cm/s. Do phương
trình có pha ban đầu > 0 nên vận tốc âm.
Bài 2. Một vật dao động điều hòa trên trục nằm ngang với phương trình: x = Acost.
Biết độ lớn vận tốc khi li độ vật bằng 0 và độ lớn gia tốc khi vật đổi chiều chuyển động
thì bằng nhau và bằng
A. 4A. B. 16 A. C. 9 A. D. A.
Đáp án D
Hướng dẫn:
Ta cóv= A vàa= 2A 2 = = 1(rad/s)
Khi li độ vật bằng 0 thì vận tốc vật đạt cực đại vmax = A.
Bài 3. Trong dao động điều hòa của con lắc lò xo đặt nằm ngang, khi vật qua vị trí cân
bằng thì độ lớn vận tốc là M, khi vật qua 2 biên thì độ lớn gia tốc vật là N, biết tỉ số N
và M là 20. Trong 1 s vật dao động được quãng đường bằng bao nhiêu lần biên độ ?
A. 10 A. B. 20 A. C. 30 A. D. 40 A.
Đáp án D
Hướng dẫn: Ta có: Khi vật qua vị trí cân bằng thì vmax = A = M.
Khi vật qua 2 biên thì amax = 2A = N.
Tỉ số:
2
NA
MA

= 20 rad/s.
M
x
O
M
x
O
x
P
t
7
Ta có: T =
21
(s)
10
. Trong 1 s vật thực hiện được 10 chu kì.
Vậy quãng đường vật đi được trong 1 giây là 10.4A =40 A.
Bài 4.Đề thi Đại Học 2009
Một vật dao động điều hòa có phương trình x = Acos(t + ). Gọi v và a lần lượt là
vận tốc và gia tốc của vật.
Hệ thức đúng là:
A.
22 2
42
vaA


B.
22 2
22
vaA


C.
22 2
24
vaA


D.
22 2
24
vaA
v

Đáp án C.
Hướng dẫn: Ta có biểu thức độc lập với thời gian t : A2 = x2 +
2
2
v
(*)
Mà x =
2
a
x2 =
2
4
a
. Thay vào biểu thức (*) ta có :
22 2
24
vaA


.
Bài 5. Đề Cao Đẳng 2011. Hình chiếu của một chất điểm chuyển động tròn đều lên
một đường kính của quỹ đạo coù chuyển động là dao động điều hòa. Phát biểu nào sau
đây sai ?
A. Tần số góc của dao động điều hòa bằng tốc độ góc của chuyển động tròn đều.
B. Lực kéo về trong dao động điều hòa có độ lớn bằng độ lớn lực hướng tâm trong
chuyển động tròn đều.
C. Tốc độ cực đại của dao động điều hòa bằng tốc độ dài của chuyển động tròn đều.
D. Biên độ của dao động điều hòa bằng bán kính của chuyển động tròn đều
Đáp án B
Hướng dẫn:
Câu A đúng vì tần số góc của dao động điều hòa chính là tốc độ góc của chuyển
động tròn đều.
Câu B sai vì lực kéo về biến thiên theo thời gian còn lực hướng tâm trong chuyển động
tròn đều có độ lớn không đổi.
Lực kéo về F = ma = m2x còn lực hướng tâm F = maN = m2r = m2A.
Câu C đúng vì tốc độ cực đại của dao động điều hòa vmax = A bằng tốc độ dài của
chuyển động tròn đều v = r = A.
Câu D đúng vì biên độ của dao động điều hòa A bằng bán kính r của chuyển động tròn
đều.
Bài 6. (Đề CĐ 2013): Một vật nhỏ dao động điều hòa với biên độ 5 cm và vận tốc
có độ lớn cực đại là 10 cm/s. Chu kì dao động của vật nhỏ là
A. 4 s. B. 2 s. C. 1 s. D. 3 s.
Giải 1:
max
max
2 2 2 .5 1
10
AA
v A T s
Tv

. Đáp án C.
Giải 2: vmax = A =
max
v
A
= 2π rad/s T =
2
= 1 s. Đáp án C.