Phần 4. U.C .T và kỹ thuật phân tách các trường hợp

Chia sẻ: Thanh Tran | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

65
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ở các phần trên ta đã làm quen với một s ố bài toán khi đưa về dạng f( ) ai m X h(at) Q. g(at ')21kp(ai) 0 Thì có ngay điều phải chứng minh. Tuy nhiên không phải bao giờ nó cũng xuất hiện p(a ) 0.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phần 4. U.C .T và kỹ thuật phân tách các trường hợp

Phần 4. U.C .T và kỹ thuật phân tách các trường hợp Ở các phần trên ta đã làm quen với một s ố bài toán khi đưa về dạng f( ) ai > m X h(at) Q. g(at ')21kp(ai) > 0 Thì có ngay điều phải chứng minh. Tuy nhiên không phải bao giờ nó cũng xuất hiện p(a ) > 0. Trong trường hợp p(a ) > 0 chỉ đúng với một miền nghiệm nào đó thì việc chứng minh sẽ phải đi qua một chiều hướng khác, đó là xét thêm trường hợp biến a ngoài miền xác định để p(a ) > 0. Thường thì bước này phức tạp và đ òi hỏi người làm phải có nh ng đánh giá mang sự tinh tế nhiều h n. Ch ng ta sẽ đến với một s bài toán tiêu biểu cho kỹ thuật này. Bài toán 12. Cho a, b, c là các s ố thực dương. Chứng minh rằng 2 7 2 2 o a b c 3 1 1 >— a +(b + c) b2+(a + c) c2+(b + a) 2 2 2 5 Chứng minh. Không mất tính t ổng quát chuẩn hóa a + b + c = 3. Qui bất đẳng thức về n dạng a2 b2 c2 3 ^ a2 3 .v 1 1 ^ —^ > a2 +(3 - a)2 b2+(3 - b)2 c2+(3 - c)2 5 cc 2a2 - 6a + 9 5 h Ta sử dụng bất đẳng thức phụ sau 2 a I2 a - 7 —-— > —a ^ (8a - 21)(a -1)2 > 0 4 2a - 6a + 9 25 Không mất tính tổng quát giả sử a > b > c ^ a > 1 > c. 2 Xét hai trường hợp sau _ 21 + Trường hợp 1. c > — ^ 8a - 21 > 8b - 21 > 8c - 21 > 0 . c 21 + Trường hợp 2. max{a, b, c} < — o 8 Khi đó ta có: ih (a +1)2 , (b +1)2 | (c +1)2 2 2 2a + (1 - a) 2b + (1 - b) 2c2 + (1 - c)2 2 2 Bài toán 11: [USAMO 2003] u Cho a, b, c là các s ố thực dương. Chứng minh rằng a2 V 1 49 1 f (a ) = —T— = > — >- 2a2 - 6a + 9 (3 Y 50 5 1+(3—1J Do f (a) đồng biến trên (0,3] nên điều này hiển nhiên đúng. Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ba biến bằng nhau. Bài toán 13. [Vasile Cirtoaje - Algebraic Inequalities - Old and New Method] Cho a, b, c, d là các s ố thực dương thỏa mãn a + b + c + d = 2, Chứng minh rằng 11 1 1 16 + —T + —r + T >■ 3a2 +1 3b2 +1 3c2 +1 3d2 +1 7 Chứng minh. Ta can xác định hệ s ố để bất đẳng thức sau là đúng 1 4 — — + m(2a -1) 3a +1 7 Dễ dàng tìm ra bất đẳng thức phụ sau 1 52 - 48a 3(2a -1)2(12a -1) www.vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 1
3a2 +1 49 49(3a2 +1) Tương tự với các biến c òn lại. Xét hai trường hợp sau đây + Trường hợp 1. min{a, b, c, d} > -1 ^ 12a -1 > 12b -1 > 12c -1 > 12d -1 > 0 12 + Trường hợp 2. 1 , o j2 49 1 48 d < —- ^ 1 + 3d < — 7 — - > — - 1 2 4 8 1 + 3d2 49 Xét tương tự với các biến còn lại ta tìm ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1. Bài toán 14. [Vasile Cirtoaje, Algebraic Inequalities - Old and New Method] Cho a, b, c là các s ố thực dương thỏa mãn a2 + b 2 + c2 > 3. Chứng minh rằng a5 - a 2 b 5 - b 2 c5 - c2 +^ = r—\ — > 0 a5 + b2 + c2 b 5 + a2 + c2 c5 + b2 + a2 Chứng minh. Bất đẳng thức trên tương đương với 1 1 1 3 a + b + c b + a + c c + b + a a + b2 + c2 Từ đây suy ra ta chỉ can chứng minh trường hợp 5 2 2 5 2 2 5 2 2 2 n a2 + b2 + c2 = 3 là đủ. 2a6 .v _ 2 - 'ĩ < Đặt a2 = X, b2 = y, c2 = z lúc đó ta có X + y + z = 3 và do đó ta phải chứng minh Áp dụng bất đẳng thứ c AM-GM ta có h 2 a6 . 2 a . 4 111 2 1— 3 + 3 + 3 2 X3 2 y ,2 z3 c —— X + 3 — y+3 — z+3 X +1 y +1 z +1 o X +1 y +1 z +1 o1— — -+- — —+— — - 2X—X+2X+3 2 y — y + 2y + 3 2 z—z+2z+3 ih oV ^; v . —>0 £ ^ 6(2X - X2 + 2X + 3) ) Không mất tính tổng quát giả sử X > y > z ^ X > 1 > z . Xét hai trường hợp + Trường hợp 1. y + z u > 1 ^ X < 2 khi đó ta có —2x + 3x + 3 > 0, —2y + 3y + 3 > 0, —2z + 3z + 3 > 0 Dẫn đến bài toán hiển nhiên đúng. V + Trường hợp 2. y + z < 1 ^ X > 2 khi đó ta có (2 X3 - X2 + 2 X + 3) - 5( X + 1 = 2 X3 - X2 - 3X - 2 = X3 f2 - 1 -A-ị (X -1)2 (-2 X2 + 3X + 3 XXX 3 — X31 2---^--^- | = —> 0 V 2 22 23) 2 X +1 rr^ X + 1 1 , „ A ,, . , Từ đó suy ra — — < — như vậy ta cân chứng minh 2x — X + 2 X + 3 5 z +1 y +1 4 + —
f c yc V 6 2 X — X + 2 X + 3 cyc V k+1 .2 .,3 /2 j< 0 : o , Z. 2 , ^2 _ 1 1 1 ,; 4. X + Trường hợp 2. a > >/2 , a2 + b2 + c2 = 3 ^ b2 + c2 < 1 khi đó ta có 1 1 1 1 1 1 + — T + - a s + 3 - a2 b 5 + 3 - b2 c 5 + 2 s 2 2 3 - c a + 3 - a 3 - b 3 - c1 L ạ i c ó ■ 1_111 www.vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 3
a5 + 3-a2 2>/2a2 + 3 - a2 = (2*3-1)a2 + 3 (2>/2-1)2 + 3 6 - + - < ■ Như vậy bài toán sẽ được giải quyết nếu 1 1 5 < 3 - b 3 - c2 Thật vậy 1 2 5 _9(b2 + c2 -1) - 5b2c2 ■+■ 3 - b 3 - c2 6 6(3 - b )(3 - c2) Như vậy bài toán được giải quyết. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a + b + c = 1. n Lời giải của tác giả Vasile Cirtoaje ngay từ đ ầu cũng đã sử dụng U.C.T nhưng nó lại đưa ta đến cách x ét trường hợp khá lẻ vì phải so sánh biến với yỊĨ. Đây là một bài toán đẹp với nhiều mở rộng thú vị. .v Bài toán 15. [Võ Qu ốc Bá Cẩn] Tìm hằng s ố k tốt nhất để bất đẳng thức sau đúng với mọi a, b, c > 0 a b h ka2 + (b + c)2 ỵ kb2 + (c + a)2 +*\ 3 4 3(a + b + c) c < 2 V c kc + (a + b) ỵk+4 Chứng minh. Cho a = b = 1, c = 0 ta được k — 5. Ta sẽ chứng minh rằng 5 chính là giá trị can o tìm, tức là qui về chứng minh 3 (a + b + c) ih c < 1 u 5a2 + (b + c)2 y 5b 2 + (c + a)2 \ ẳng thức Cfliichy-Schwarz ta có V 5c + (a + b) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có 2 í a — (a + b + c) ' 5a2 + (b + c)2 v c yc 5a + (b + c) 1 a I: cyc 5a + (b + c) 3 www.vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 4
Không mất tính tổng quát ta chuẩn hóa a - b - c = 1 và a > b > c > 0 suy ra a >1 > c > 0. Bất đẳng thức c n chứng minh tư ng đư ng với ac c ^ y Ta c n chứng minh 1 ta có í n 2 A (3a - 1)2(8a -1) 6a2 - 2a + 1 .v 27a 27a 9-I 12a -1 -- h >0 6a -2a - + Trường hợp 2. c
6b2 - 2b +1 Nếu b >1, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta chỉ cần chứng minh 4 > 6(a2 + b2) - 2(a + b) + 2 Điêu này tương đương với [2(a + b) + c] (a + b + c) > 3(a2 + b 2) 1 Từ giả thiết b > — ^ 3b > a do đó [2(a + b) + c] (a + b + c) — 2(a + b) = 3(a + b ) + 4ab — a + b — 3(a2 + b2) + a(3b - a) — 3(a2 + b 2) Như vậy bài toán đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc a = b, c = 0 và các hoán vị. Hằng s ố k tốt nhất cân tìm là 5 . n .v h 4 2 c o ih u V www.vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 6
n .v h 4 2 c o ih u V www.vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 7