Phân tích mạch điện (Tập 1): Phần 2

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:150

Thêm vào BST

Báo xấu

25
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nối tiếp phần 1, phần 2 của tài liệu "Phân tích mạch điện (Tập 1)" tiếp tục trình bày các nội dung chính sau: Phân tích mạch tuyến tính, có thông số tập trung, bất biến, tích cục bằng máy tính; Phân tích mạch điện không tuyến tính theo phương pháp điện áp nút bằng máy tính; Thuật toán thành lập hệ phương trình hỗn hợp cho mạch n của tuyến tính thuần trở;... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phân tích mạch điện (Tập 1): Phần 2

Chương 5 PHÂN TÍCH MẠCH TUYẾN tính, có thông số TẬP TRUNG, BẤT BIẾN TÍCH cực BANG MÁY TÍNH Trong chương 2 đã trình bày các định luật và các phương pháp cơ bản phân tích mạch điện. Với các mạch điện đơn giản với vài nút và vài nhánh, việc giải các hệ phương tình theo các định luật Kirchhoff, theo các phương pháp điện áp nút, hoặc dòng điện vòng không gặp nhiều khó khăn lắm. Nhưng nếu phải giải các hệ phương trình đo' với các mạch điện phức tạp hơn, với số nút lớn (hàng chục nút) vối số phần tử nhiều hơn, thì chắc chắn chúng ta gặp rất nhiều khó khăn nếu chúng ta không tìm ra phương pháp giải có sự giúp đỡ cùa máy tính. Vì vậy cũng trong chương 2 đã giới thiệu các định luật Kirochhoff viết dưới dạng ma trận, phương pháp điện áp nút, dòng điện vòng viết dưới ma trận. Dó là các phương pháp cho phép chúng ta với sự giúp đỡ của các ma trận tôpô của mạch, co' thể xây dựng được các ma trận dẫn nạp nút, trở kháng vòng một cách hoàn toàn tự động. Vỉ vậy no' chính là các phương pháp cho phép chúng ta thực hiện phân tích mạch điện trên máy tính, ỏ đây chúng ta tóm tát lại các khái niệm tôpô cơ bản quan hệ giữa các ma trận tô pô: ma trận nút, ma trận vết cắt, ma trận mạch. Sau đo' chúng tôi sẽ nêu phương pháp xây dựng mặt trận dẫn nạp nút đối với các mạch điện tích cực. 5-1. Các khái niệm và các định lý tôpô cơ bân Mạch điện - nếu xét về mặt cấu trúc - là graph gồm có các nút và các nhánh. Để có thể xử lý các yếu tố hình học này về mặt toán, người ta phải đưa ra các ma trận tôpô. Vối các ma trận tôpô chúng ta có thể biểu diễn được bằng toán các qui luật hình học trong cấu trúc đó. Với quan điểm phân tích tự động bằng máy tính chúng tôi sẽ nêu định nghía một số yếu tố cơ bản(*). Nút là điểm nối phần tử này với phần tử kia. Nhánh là phần mạch chỉ chứa một thông số nối giữa hai nút. Cây là phần mạch chứa tất cả các nút, và một số nhánh thuộc các nút đo' nhưng không tạo thành một vòng kín nào. Các nhánh thuộc cây đang xét gọi là các nhánh cây của cây đo'. Các nhánh cây không thuộc cây đang xét gọi là các bù cây của cây đó. Từ một cấu trúc mạch điện có thể chọn nhiều cây khác nhau. Vòng là phần của mạch bao gồm một số nhánh và nút hợp thành một đường đi kín, qua đo' mỗi nhánh và nút chỉ gặp nhau một lần. Vòng cơ bản (ứng với một cây) là vòng kín hợp thành bởi các nhánh cây và một bù cây. Vậy số vòng cơ bản trong một mạch điện chính bàng số bù cây của mạch đó. Định lý Trong một mạch điện co' Nn nút, Nnh nhánh, co' số vòng cơ bản là Nv thì giữa chúng sẽ co' quan hệ. *nh=*v+^n-l- (5-1) (*) Các định nghĩa này hơi khác chút ít so với định nghĩa các yốu tố hình học cùa mạch trong chương 1 vì chúng ta cần định nghĩa trỡn quan điềm phân tích bằng máy tính. 134
Có thể giải thích định lý trên như sau: (Nn - 1) chính là số nhánh cây ứng với 2Vnn út, Nv chính là số bù cây. Tổng số bù cây và nhánh cây chính bằng số nhánh trong mạch điện. Định lý ứng với một cây của mạch điện, vòng cơ bản bằng số bù cây. f) Hình 5-1. Các khái niệm trên được minh họa trong hình 5-1, trong đo': a) Mạch điện bất kỳ; b) Graph của mạch điện a; c) Một câý cùng với các nhánh cây 1, 2, 5, 7; đ) Các bù cây 4, 3, 6 ứng với cây c; e) Một vòng; 0 Một vòng cơ bản. Graph liên, thông là graph mà trong đó từ một nút bất kỳ này bao giờ cũng có ít nhất một đường đi đến một nút bất kỳ khác. Graph không liên thông gồm nhiều graph liên thông, các graph đó gọi là các graph thành phần (hình 5 - 2a) Graph có thể tách rời là graph có một nút mà nếu bỏ nút đó đi thì graph ấy sẽ trở thành graph không liên thông. Hình 5 - 2a là graph không liên thông (gồm hai thành phần graph) A, B và có thể tách rời. Bỏ nút 6 đi thì graph thành phần bên trái của A trở thành graph không liên thông (hình 5- 2b). Vết càt là tập các nhánh chia số nút của graph thành hai nho'm nũt riêng biệt nhau. Bỏ các nhánh trên vết cắt graph sẽ trở thành graph không liên thông, co' hai graph thành phàn ứng với các nho'm nút trên. Hệ thống vết cắt gọi là độc lập (hoặc cơ bản) khi mỗi vết cắt đi qua một nhánh cây, còn các nhánh khác là các bù cây (hình 5- 2c). 135
Vậy số vết cắt cơ bản của hệ thống (ứng với từng cây) bàng số nhánh cây. Thường chọn hướng của vết cắt theo hướng cùa nhánh cây. V, ì6 Hình 5-2. Theo hỉnh 5- 2c mạch điện cố 5 nút nên có 4 vết cát cơ bản: = [2, 4] ; v2 [1, 3, 4] V* = [4, 3, 5, 6] V4 = (6 7] 5-2. Các ma trận tôpô Các ma trận tôpô cho biết cấu trúc hình học của mạch điện bằng các con số. Các ma trận tôpô quan trọng nhất là ma trận nút A, ma trận mạch B, và ma trận vết cắt Q. Định nghĩa Có thể chọn một nút bất kỳ trong số Nn nút của mạch điện làm gốc. Ma trận nút của mạch điện có (2Vn - 1) hàng và 2Vnh cột với các phần tử ma trận: Oịj = 1 nếu nhậnh j có chiều chỉ ra khỏi nút i. Ojj = — 1 nếu nhánh trên có chiều chỉ vào nút i. Oịj = 0 nếu nhánh j không nối với nút i. Thứ tự ký hiệu các nút và nhánh không quan trọng. Hàng của'nút bất kỳ được chợn làm gốc có thể suy luận được từ (Nn - 1) hàng ứng với các nút còn lại. Bởi vì mỗi nhánh đều nối hai nút vì nếu nối dòng trên nhánh đi vào nút này, tức là đi khỏi nút kia, vì vậy tổng giá trị các phần tử của một cột bao giờ cũng bằng 0 (nếu tính cả hàng ứng vối nút gổc), từ đo' dễ dàng suy luận hàng ứng với nút gốc. Định nghĩa Ma trận mạch của mạch điện có 2Vv hàng 2Vnh cột (trong đố ATV là số vòng cơ bản) với các phần tử ma trận ởịj = 1 nếu chiều nhánh j thuộc vòng i cùng chiều với qui ước của vòng. 6jj = — 1 nếu chiều nhánh trên ngược với chiều qui ước của vòng. = 0 nếu nhánh j không thuộc vòng i. 136
ví dụ: Trên hình 5-3 chọn D làm nút gốc. Ma trận nút A được viết Nhánh 1 2 3 4 5 6 nút A 0 1 0 -1 1 0 A B 0 0 -1 1 0 1 c -1 -1 1 0 0 0 D 1 0 0 0 -1 -1 Chọn cây 3, 2, 1 (hình 5 - 3c) 1 2 3 4 5 6 Hình 5-3. Định nghĩa Ma trận vết cát của mạch điện có (Nn - 1) hàng và Nnh cột (trong đo' (Nn - 1) là số vết cát cơ bản) với các phàn tử của ma trận. Ợịj = 1 nếu hướng của nhánh j thuộc vết cắt i có cùng chiều với chiều vết cắt i. cjjj = - 1 nếu chiều của nhánh trên ngược với chiều của vết cắt i. Qjj = 0 nếu nhánh j không thuộc vết cắt i. Theo ví dụ hình 5-3: Chọn cây (3, 2, 1) Chú ý: Bao giờ cũng co' thể chọn một cây trong các kiểu cây của một graph sao cho 137
Ac =1 , Bb =1, Qc =1 . Dó là kiểu chọn cây gồm các nhánh nối từng nút với nút gốc. Dê’ Ac = 1 thì chiều của các nhánh cây phải hoặc cùng đi vào nút gốe, hoặc cùng ra khỏi nút gốc và chiều của nhánh phải được qui định là chiều dương. Cũng như vậy Bb = 1, với cách chọn các vòng cơ bản với chiều của bù cây cùng chiều với chiều qui ước của V òng, ma trận vết cắt được viết Vj r 0 0 1 - 1 0 - 1’ Q= v2 0 1 0 -1 1 0 (5-3) vj 1 0 0 0 -1 -1 Hình 5-4. 1 2 3 4 5 6 Vì mỗi vết cắt cơ bản chứa một nhãn 1 cây nên số cắt cơ bản trong mỗi graph sẽ bằng số nhánh cây [(Nn- 1) nhánh] của graph. 5- 3.Các định luật Kirchhoff với ma trận tôpô Định luật Kirchhoff 1: "Tổng đạí số các dòng điện đi vào một nút bằng 0", ta có thể biểu diễn hệ phương trình dòng điện ở các nút của mạch điện với sự giúp đỡ của ma trận A dưới dạng ma trận như sau: Ainh = o (5-4) Định luật Kirchhoff 1 được phát biểu "Tổng đại số các dòng điện trên một vết cất bằng 0" ta có thể biểu diễn hệ phương trình dòng điện ở các vết cắt dưới dạng ma trận: Qinh=o Dịnh luật Kirchhoff 2: "Tổng đại sổ các sụt áp trong một vòng kín bằng 0" được viết dưới dạng ma trận. Bunh.= 0 inh la ma trận cột dòng điện trên các nhánh ; Unh là ma trận cột điện áp trên các nhánh. Các công thức (5- 4), (5- 5), (5- 6) là các công thức áp dụng trên máy tính của các định luật Kirchhoff (DLK ). Định lý Nếu các cột của B và Q được xếp theo cùng thứ tự các nhánh trong mạch thì [hàngi của B][ hàngý của Q ] 1 = 0 (5-7) Biểu thức (5- 7) có thể được viết: Nnh , s = s>ịk.
mặt trong vết cắt j thì tích của hai phần tử sẽ khác không. Nếu vòng ivà vết cát j có chung nhánh nào đo', thì số nhánh chung chắc chắn phải là 2ni nhánh (tức là số chẵn nhánh ). Và nếu một nhánh có cùng chiều với vết cát, và cùng chiều với vòng, thì nhánh còn lại nếu cùng chiều với vết cát thì phải ngược chiều với vòng, hoặc ngược lại, như vậy tích của hai cặp phàn tử đo' bao giờ cũng khác 0 và đối dấu nhau, tức là nếu tích hai phần tử này là (+1), thì tích hai phần tử kia phải là (- 1). Do đó: s = 0 + 0 + .. ± 1 ± 1.,.± 1 ± 1 ± 1 ... = 0- nì nhánh 771 nhánh (5’- 9) Từ định lý (5 - 7) ta rút ra được kết luận: BQT = 0 (5- 10a) hoặc Q Bt = 0 (5- 106) Định lý Nếu các cột của A và B được sap xếp theo cùng thứ tự các nhánh trong mạch thỉ [hàng i của B]. [hàngj của A] 1 = 0 (5-11) (5 - 11) có thể viết s=g"&ik -akj (5 - 12) Biểu thức trên có thê’ giải thích như sau: nếu nút j không thuộc vòng i, tức là vòng i không chứa nhánh nào thuộc nút j, như vậy tích của hàng i của B và hàng j của A sẽ bàng 0'. Nếu-hai nhánh đều cùng chiều (hoặc cùng ngược chiều) với vòng ỉ thì đối với nút j một nhánh chỉ vào nút còn nhánh kia chỉ ra khỏi núl, cố nghĩa là tích của hai phần. tử này sẽ khác không nhưng đối dấu nhau, nếu cặp này cố gia trF■(+!), thì cặp kia co' giá trị’ (- D.Còn nếu một nhánh co' cùng chiều với vòng i, nhánh kia ngược chiều với vòng i thì hai nhánh đó sẽ cùng chỉ vào nút j, như vậy tích của hai cặp phan tử đo’luôn luôn ngược dấu nhau, vì vậy: s = 0 + 0 + ...± 1 ±1 ± 1±. 1 ± 1... (5 - 13) m nhánh - m nhánh, Nnh nhánh Từ định lý trên ta rút ra tính chất' sau: B.AT= 0 (5'14O) hoặc A.B1 = 0 (5 - 146) Quan hệ cơ bản giữa các đại lượng trên Cắc nhánh thông qua các ma trận tôpô. Theo các định nghĩa ma trận A, B, c, nếu chúng tstehọn một kiểu cây nào đo' và phân hoạch ma trận theo các nhánh cây và bù cây, tá eo' các ma trận A, B, Q dưới dạng sau: A = [ACA^ (5 - lõa) B = [BcBb] = [Bc lbJ (5-15b) Q = [QeQb] = [lcQh] (5-15C) 139
^nh (5 - 16) Ký hiệu c chỉ ma trận có các cột thuộc các nhánh cây, ký hiệu b chỉ ma trận có các cột thuộc các bù cây. Trong ví dụ hình 5-3, nếu chọn cây (1, 2, 3) thì các ma trận (5 - 1), (5 - 2), (5 - 3) minh họa cụ thể cho các biểu thức (5 - 15 a, b,c). Theo biểu thức (5 - 6), (5 - 156) và (5 - 16a) ta có thể viết: B I7nh = [Bc lb] [ “c ] = Bc uc + ub = 0 ub Từ đó: ub = -Bc uc (5 - 17) có nghĩa là điện áp trên các bù cây có thể được biểu thị bằng tổ hỌj• tuyến tính của điện áp trên các nhánh cây. Cũng tương tự như vậy, dòng điện trên các nhánh cây được biểu thị bằng tổ hợp tuyến tính của các dòng điện trên các bù cây. Bởi vì theo (5 - 5), (5 - 15c) và (5 - 166) ta viết được: QInh = [lcQb][ ]= ic + Qb ib = 0 ib tìí đo' ic = - Qb ib (5 - 18) Ta co' thể tìm được quan hệ giữa hai ma trận Q và B Theo (5 - 10) ta co': BĨ Q BT = [lc Qb] [Bc lblT = [lc Qb] [ c ] = bị + Qb = 0 Tb Do đo' Qố=-bỊ hoặc Bc = -QỊ (5-19) Với biểu thức (5 - 18), (5 - 19) ta co' thể biểu diễn đòng trên các nhánh của mạch theo dòng của các bù cây vì I »c _ -Qb>b _ Bc ib _ Bc nh = BT ib (5 - 20) Cũng như vậy điện áp trên các nhánh có thể được biểu diễn theo điện áp nhánh cây và ma trận vét cắt. vì theo (5 - 17) và (5 - 19) uc uc lc lc unh = Vc = Bc uc Bc QĨ u nh. = q1t U c (5-21) 140
Theo (5 - 14a) ta viết được quan hệ giữa B và A như sau: ■ Af = 0, từ đo' ta co' . 4. Bc = -AĨ(Acy mà theo (5 - 17) Ưb = - Bc Uc, ta có thể viết Theo tính chất ma trận tôpô A, ta nhận thấy ràng uc = Ac UN do đó viết gọn lại: unh= ATUN . (5-22) Với sự đồng dạng của các biểu thức (5 - 21), (5 - 22) ta nhận thấy rằng hệ thống nút chính là trường hợp đặc biệt của hệ thống vết cắt, lúc đo' uc = UN. Biểu thức (5 - 20) chính là công thức biến đổi vòng trong phương pháp phân tích mạch điện bằng dòng điện vòng. Biểu thức (5 - 21) là công thức biến dổi vết cắt trong phương pháp mạch điện bằng điện áp vết cắt, và biểu thức (5 - 22) là công thức biển dổi nút trong phương pháp điện áp nút. Trong các phương pháp phân tích mạch điện kể trên, trên quan điểm tiện lợi, đơn giản cho việc phân tích bằng máy tính số, người ta nhận thấy phương pháp điện áp nút là phương pháp co' nhiều ưu điểm nhất. Dưới đây chúng tôi sẽ trình bày cách thành lập công thức ma trận của phương pháp điện áp nút hoàn toàn trên quan điểm dùng máy tính số. 5 - 4. Phân tích mạch điện tuyến tính một chiều, xoay chiều theo phuơng pháp điện áp nút bằng máy tính Chúng tôi trình bày chủ yếu việc phân tích mạch xoay chiều, vì mạch một chiều sẽ là trường hợp đơn giản của trường hợp trên (khi chỉ có điện trở, không co' các thông số điện cảm, điện dung, hỗ cảm) và các giá trị dẫn nạp, của nguồn áp, dòng đều là giá trị thực. Một nút tổng quát của mạch tuyến tính được vẽ ở hình 5-5. Theo hình 5- 5 các phần tử được nối vào nút co' thể là các phần tử thụ động: điện trở, điện cảm, tụ điện, các cuộn dây ghép, các nguồn tác động độc lập: nguồn điện áp, nguồn dòng; các nguồn phụ thuộc dòng hoặc áp điều khiển bằng điện áp, nguồn dòng hoặc áp điều khiển bằng dòng. Dặc biệt cần chú ý, với phương pháp điện áp nút, khi chọn nút để vẽ graph của mạch 141
điện ta không được đặt nguồn điện áp giữa hai nút (đù đó là nguồn độc lập, hay nguồn phụ thuộc). Có nghĩa là, nhánh chứa nguồn điện áp, phải chứa thêm một thông số thụ động. Trong trường hợp nhánh chứa nguồn điện áp thực sự nằm giữa hai nút, hay nói cách khác trường hợp nguồn điện áp lý tưởng thì chúng ta phải thực hiện sự biến đổi như sau (hình 5 - 6). Chập nút i và j lại thành một nút và chuyển nguồn đo' sang các nhánh khác nối với nút i (nhánh k, l, ni...). Chứng minh sự tương đương của phép biến đổi này rất đơn giản. Theo hình vẽ trên, vỉ Ư.^Uị+Ei Điện áp trên các nhánh k, l, với nút ỉ cũng tương đương với điện áp trên các nhánh đó nối với nút jvà cộng thêm một Hình 5-6 lượng Eị. Sau đóị nếu trong mạch co' các nguồn điều khiển bàng đòng điện chúng đều phải Hình 5-7. được thay thế bằng các nguồn dòng được điều khiển bằng điện áp. Dựa theo sự biến đổi tương đương các nguồn dòng và áp độc lập chúng ta thực hiện sự biến đổi tương đương 142
nguồn áp được điều khiển bàng dòng điện trở thành nguồn dòng điểu khiển bằng điện áp (hình 5 - 7). Nguồn dòng điều khiển bằng đòng được thay thế bằng nguồn dòng điều khiển bằng rj áp theo sơ đồ hình 5-8, trong đo' gị =-£- ri: Hình 5-8. 5-4.1. Thành lập ma trận YN,lngk tù ma trận nút A Bây giờ ta hãy xét một nhánh phức tạp điển hình cùa mạch (hình 5-9) gồm phần tử zk là một thông số thụ động, nguồn áp độc lập với sức điện động Ek, nguồn dòng độc lập với dòng điện nguồn ingk. Chọn các nút trong mạch điện theo định nghỉa nút đã được nêu ở mục 5-1, chú ý đến nhánh chứa nguồn áp độc lập được nêu ở đầu mục này. Giả sử mạch điện co' (N + 1) nút và b nhánh. Vì chọn một nút làm gốc như đã trình bày ở mục 5-2 khi định nghĩa ma trận A, ta đí.nh số các nút từ 0 đến N. Gọi điện áp LO với các nút gốc là các điện áp nút. Nếu chúng ta định nghĩa các véc tơ điện áp: ur u2 và véc tơ dòng điện *1 ngl *2 Tng Aìg2 (5 - 24) *b Aigb thì theo hình vẽ 5 - 9, ta có thể viết được các quan hệ của các véc tơ điện áp và quan hệ 143
của các véc tơ dòng điện U=u-E (5 - 25ữ) ì = i - ing (5 - 256) Theo định luật Kirchhoff I về dòng điện ở các nút, ta co' AĨ=O (5-26) trong đo' A là ma trận nút [N X 6]. Thay (5 - 26) vào (5 - 25) ta viết được Ai = Aing (5 - 27) Mỗi phần tử thụ động zk trong nhánh k được đặc trưng bởi phương trình: 1 *k - = “k (5 - 28) zk Nếu nhánh chứa nguồn dòng iị. điều khiển bằng điện áp íZj với hệ sô' điều khiển gkj thì phương trình đặc trưng sẽ là *k = ểkj uị (5 - 29) Từ đó quan hệ giữa dòng ik và áp uk trên các nhánh được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau: b (5 - 30) trong đo' 0 với a * k A = l,2...Nnh = yk với a = k a = 1, 2 ... b (5-31) Đối với các phần tử thụ động Zk thì Zk =R k đối với điện trở, Zk =j (ưLị. đối với điện cảm, Z.,k = j— X- đối với tụ điện, và “Ck ( 0 với a * j Yka = A ,. . (5- 32) ( gkj với a = j Dối với các nguồn dòng nhánh k điều khiển bàng điện áp của nhánh j. Phương trình (5- 30) được viết dưới dạng khác f1 = lk ) i = Ybu (5-33) \ u = uk/ 144
trong đó Yb là ma trận dẫn nập nhánh. Thay (5 - 33) vào (5 - 27) ta nhận được AYbu = Aing (5-34) thay u từ phương trình (5 - 25a) vào (5 - 34) ta có AYb(u + E) = AIng (5 - 35) Vi u = Y1UN (5 - 35) được viết dưới dạng (A YbAT) UN = A (Ing - Yb E) (5 - 37) Nếu đặt A YbAT = Yn (5 - 38) trong đo' Yn gọi là ma trận dẫn nạp nút và ■ A(Ing-YbE) = IngN (5-39) trong đó IngN là véc nguồn nút, phương trình (5 - 37) được viết Yn uN = IngN (5 - 40> Phương trình (5 - 40) là phương trình điện áp nút viết dưối dạng ma trận. Từ phương trình này ta co' thê’ giải ra véc tơ điện áp nút UN UN = YN'lngN (5-41) Sau đó áp dụng biểu thức U = AT UN (5 - 42) ta tìm được điện áp trên các nhánh (u) và theo (5 - 25a)ta tìm được điện áp trên các phần tử thụ động (u). Công thức (5- 42)được gọi là công thức biến đổi nút. Cồn chú ý đến dấu khi thành lập ma trận cột và E. Các phần tử ma trận cột I „ sẽ mang dấu dương nếu chiều dòng điện của nguồn chỉ ngược chiều với chiều của nhánh và mang dấu âm nếu chiều dòng điện nguồn cùng chiều với chiều của nhánh. Còn các phần tử trong ma trận cột E sẽ mang dấu (dương) nếu chiều dòng điện trong nguồn điện áp có cùng chiều với chiều dòng điện qui ước trên nhánh chứa nó, và sẽ mang dấu (âm) nếu hai chiều dòng điện trên ngược nhau, vì vậy đây là mạch điện xoay chiều nếu các phần tử trong các ma trận trong phương trình (5 - 40) mang giá trị phức. Hay no'i cách khác để tìm UN ta phải giải hệ phương trình tuyến tính co' hệ số phức. Việc giải hệ phương trình (5 - 40, (5 - 42), (5- 25a) hoàn toàn được thực hiện trên máy tính bằng các chương trình co' sẵn. Trên quan điểm dùng máy tính, việc giải UN trực tiếp từ hệ phương trình tuyến tính (5- 40) tiện lợi hơn rất nhiên so với việc giải trên máy biểu thức (5- 41). Việc giải theo (5- 41) đòi hỏi phải lấy nghịch đảo của ma trận (N X N). Như chúng ta đã biết, thuật toán này đòi hỏi thời gian nhiều hơn so với thuật toán giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử Gauss. Thuật toán khử Gauss cũng được dùng tốt trong việc giải hệ phương trình 145
tuyến tính có hệ số phức. Chi có một điều càn biết là phép uuàu hai số phức đòi hỏi số phép nhân gấp bốn làn phép nhân hai số thực trong mạch điện một chiều, bởi vì = (x ! + jjjXx 2 + jy2 ) = (*!* 2 - yjy2) + j (x jy2 + Ji X 2 ) Bây giờ chúng ta hây xét trường hợp mạch điện xoay chiều chứa thông số hỗ cảm. Giả sử trong mạch điện có hai nhánh k và l chứa hai cuộn dây Lk và Lị ghép hỗ cảm với nhau (hình 5- 10a), ta có thể viết phương trình đặc trưng cho các nhánh k và l như sau UL uk = j aìLịỊị. + j u)Muiị (5- 43a) U/ = j a>M[ki^ + j (ưLịiị (5- 43Ò) công thức (5- 43) có thể viết dưới dạng ma trận “k] _.. =jw Lk ■ Mkl *k (5- 44) Hình 5-10. U1 Mlk L1 _ h hoặc “k L là ma trận điện cảm, với các phần tử trên đường chéo là các thông số điện cảm, các phần tử nằm ở hai bên đường chéo là các thông số hỗ cảm Mkl giữa nhánh k và nhánh l. vì Mkt = Mlk nên ma trận L đối xứng (5 - 45) co' thể viết »k 1 1 —— L'1 “k (5 - 46) »/ jw [ Uj l’k “k (5 - 47) h U1 (5 - 27) chính là hệ phương trình đặc trưng của các nhánh được ghép hỗ cảm, với trong đó r = L' \ mà L là ma trận đối xứng (m X m) Ln L12 ^lm Lj2 L22 ■^2m (5- 49) ■£'m2 • ■ • 146
Các phần tử Lkk là các thông số điện cảm trên nhánh Ã, các phần tử Ljk là các thông số hỗ cảm giữa nhánh i và nhánh k. Với cách biểu diễn quan hệ dòng và áp trên các nhánh có ghép hỗ cảm theo phương trinh (5 - 48) chúng ta có thê’ dễ dàng đưa các dẫn nạp nhánh có ghép hỗ cảm này vào ma trận dẫn nạp nhánh Yb. Ví dụ 5- 1 Cho một mạch điện hình 5- 1 la, hãy xác định ma trận dẫn nạp nút Yb và ma trận cột nguồn nút IngN (cơ = 0,5 rad/s) Giải Trước hết cần xác định graph của mạch điện với qui ước bất kỳ cho các dòng trên các nhánh M= 6 Chọn nút 0 làm gốc, ma trận A được viết 1 2 3 4 5 6 (nhánh) 1 r 1 0 0 0 1 0" A - 2 0 1 0 0 -1 1 3 0 0 1 1 0 -1 (nút) Ma trận điện cảm L 5 6 5 [4 6 L= _ „ ~ 6 Le 1Ọ. từ đó ■ 2,5 - 1,5' r = L'1 = - 1,5 Theo (5 - 48) ma trận dẫn nạp nhánh của các nhánh ghép hỗ cảm là 147
(5) (6) 1 ' 5 -3' (5) Y = — r = - j2 r = - j jw -3 2 (6) f». Dưa ma trận đẫn nạp nhánh hỗ cảm vào ma trận dẫn nạp nhánh Yb, ta có 1 2 3 4 5 6 1 ■ 1 0 0 0 0 0 ■ 2 0 j3 0 0 0 0 Yb = 3 0 (ẽỊ 0 0 0 0 4 0 0 0 2 0 0 5 0 0 0 0 -j5 j3 6 0 0 0 0 j3 ■j2. Phần tử 8 nằm ở hàng 3 cột 2 là hệ số điều khiển của nguồn phụ thuộc nằm ở nhánh 3 chịu sự điều khiển của điện áp trên nhánh 2. •ng và E„„ Ma trận cột ng được • viết ■- 1 ■ 0 0 E„. ng 0 0 0 Thay các ma trận trên vào các biểu thức (5 - 38) (5 - 39) ta nhận được 'l-j5 j8 -j3 • j8 -J10 j5 -j3 8+j5 2-j2 ^ngN 0 0 Nếu cần xác định điện áp nút UN thì chương trình mẫu trong máy tính sẽ tự động giải từ biểu thức (5 - 40) YHUN = IngN Nếu mạch điện là mạch một chiều, thông số thụ động trên nhánh k chí có thể là điện trở, nghĩa là Zk = J?k, lúc ấy Ykh, hoặc YN, chỉ gồm các phần tử co' giá trị thực. Cũng như vậy I và E cũng chi chứa các phần tử co' giá trị thực. Và máy tính sẽ giải UN từ biểu thức (5 - 40) một cách nhánh chóng hơn so với trường hợp mạch điện xoay chiều vì lúc đo' các 148
hệ số của hệ phương trình tuyến tính có giá trị phức. Ví dụ 5 -2. Cho mạch điện một chiều hỉnh 5 - 12a. Hãy thành lập các ma trận YN và IngN Theo graph của mạch điện được vẽ ở hình 5 - 12b với các chiều dòng điện qui ước bất kỳ được biểu diễn trên các nhánh, ma trận A được viết (coi nút 0 là nút gốc). 1 2 3 4 5 6 7 Ma trận nhánh Yb được viết 1 2 3 4 5 6 7 - 2 0 0 0 0 0 0 1 0 5 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 K 0 3 Yb= 0 0 0 0 0 ắ 0 4 0 0 0 0 1 0 0 5 0 0 0 0 0 3 0 6 1 0 0 0 0 0 0 7 2 Các ma trận cột nguồn dòng và áp được viết 2 5 7 0 - 1 0 0 E= 0 0 0 0 0 0 -6 _ 0 . 0 149
Tìí biểu thức Yn = A Yb AT, ta có 12,5 -2 -8,5 - 10 10 5 - 0,5 1 -0,5 r 40" IngN = A (Ing - YbE) = - 23 5 Th có thê’ tìm UN từ biểu thức: YN uN - IpgN Ma trận dẫn nạp nút có thể hoàn toàn được xây dựng bàng máy tính vì A hoàn toàn được xây dựng bằng máy (sẽ nói ỏ mục sau). Nếu giải UN từ phường trình trên thì ta cần phải tìm nghịch đảo của ma trận [(Nn - 1) X Wn - 1). Thuật toán này đòi hỏi bộ nhớ lớn và thời gian tính lớn hơn so với việc nếu chúng ta thực hiện giải UN trực tiếp tìí hệ phương trình tuyến tính bằng cách khử Gauss. Thuật toán khử Gauss chúng tôi không trình bày ở đây vì giới hạn của giáo trình. Nhưng kèm theo chương trình mẫu NODAL ở cuối mục, chúng tôi giới thiệu kèm theo subroutine giải hệ phương trình tuyến tính bằng cách khử Gauss đo đo' sinh viên sẽ không gặp kho' khăn gì trong việc phân tích mạch tự động bằng máy tính theo phương pháp điện áp nút. 5-4.2 Cách thành lập trục tiếp ma trận dẫn nạp nút và ma trận nguồn dòng Ỏ phần trên chúng ta đã nối đến việc thành lập bằng máy tính ma trận dẫn nạp nút và ma trận nguồn dòng theo các biểu thức YN-AYb At và I ngN n„ - Yhb E) „N = A(Zng Như vậy bằng máy tính chúng ta cần phải xây dựng ma trận A, ma trận Yb. vĩ A và Yb là các ma trận rất trống (sparse) do đo' chúng ta bị lãng phí bộ nhớ và thời gian chạy máy tính. Chúng ta có thể khắc phục các nhược điểm trên bàng cách xây dựng trực tiếp YN, IngN tù các sô' liệu đầu vào mô tả cách nối và tính chất của các nhánh các mạch điện. Các nhánh mạch điện có thể chia làm hai loại: nhánh dẫn nạp (không chứa nguồn điều khiển, có thể chứa nguồn điện áp độc lập) và nhánh có chứa nguồn điều khiển. a) Loại thứ nhát: nhánh dẫn nạp Thi nút i, dòng điện của nhánh được vẽ trong hình 5- 13 được viết: !■ = Y^Uị-Uị + E,) - Zngl ( 5- 50) 150
Tại nút j dòng điện cùa nhánh trên hình vẽ được viết ij ■ ui • £/) + Ingl (5- 51) có nghĩa là 7j = - lị . Hệ phương trình điện áp nút tính theo biểu thức (5- 40) có các ẩn số là các điện áp nút và các phương trình ứng với tổng các dòng điện trên từng nút. Vậy có thể nói ràng, nếu ta xây dựng được ma trận dẫn nạp nút thành phần lần lượt cho từng dòng điện nhánh ở các nút dựa vào phương trình đặc tính nhánh như biểu thức (5- 50), (5- 51), thì ta có thể xây dựng trực tiếp ma trận dẫn nạp nút (không theo biểu thức (5- 38) của toàn mạch bằng cách lấy tổng các phần tử tương ứng với các hàng và các cột tương ứng của ma trận dẫn nạp nút (không theo biểu thức 5 - 38) của toàn mạch, bằng cách lấy tổng các phần tử tương ứng với các hàng và các cột tương ứng của ma trận dẫn nạp nút. Để làm ví dụ ta hây xét ma trận dẫn nạp nút thành phần của nhánh hỉnh 5-13 dựa vào biểu thức (5 - 50), (5 - 51). / 7 ti-i Yl Y" = -ỳ. Y (5'52) lị J L 1 ij (Y^ ký hiệu ma trận dẫn nạp nút thành phàn của nhánh 1). Chúng ta hãy xem vị trí của các phần tở ma trận dẫn nạp nút thành phần trên trong ma trận dẫn nạp nút toàn mạch 1 2 3 i . . . Vj n N-1 ■ 7r 2 ............................................. i Y{ - Vi (5-53) J _ - Y1 "n-l Cũng với cách lý luận như trên ta thấy ràng, IngN là ma trận cột có các hàng ứng với tổng các dòng điện nguồn (co' thể là các nguồn dòng, hoặc các nguồn điện áp được biến đổi tương đương thành nguồn dòng) với các chiều qui ước: dòng điện đi vào nút thì lấy giá trị dương, đi ra khỏi nút thì lấy giá trị âm. Vậy nếu ở từng nút ta viết dòng điện nguồn cho từng nhánh và lấy tổng các phần tử của ma trận IngN thành phàn ở các hàng tương ứng, ta sẽ xây dựng được ma trận IngN của toàn mạch. Như một ví dụ, ta hãy xem vị trí của các phần tử dòng điện nguồn của nhánh trên hình vẽ 5- 13 trong ma trận cột IngN 'J T = i "8n ; (5-54) J -(Ing-YiE) Trong (5- 53) ta thấy rằng đẫn nạp Yy xuất hiện ở bốn vị trí trong YN của toàn mạch. 151
Nhưng nếu một nút i hoặc dược chọn làm gốc thì trong ma trận dẫn nạp nút sẽ không còn hàng và cột ứng vói nút dó. Nói rõ hơn Yị chi xuất hiện trong YNtại một vị trí Yịị (hoặc Vjj) ứng với nút không chọn làm gốc. b) Loại nhánh thứ hai: Nhánh co' chứa nguồn điều khiển dòng theo áp. Như đã nói ở phàn đầu của mục 5- 4 nếu trong mạch co' các nguồn điều khiển thì trước khi áp dụng phương pháp điện áp nút để phân tích mạch điện, ta cần biến đổi tương đương chúng về dạng các nguồn điều khiển dòng theo áp. Do đó ở đây chúng ta chi xét cụ thể trường hợp nhánh có nguồn điều khiển dòng theo áp (hình 5- 14). Còn trường hợp các nguồn điều khiển khác chúng ta sẽ thành lập ma trận dẫn nạp nút thành phần của chúng dựa theo các phương trình đặc tính của các nhánh trên từng nút. Phương trình đặc tính của nhánh có chứa nguồn điều khiển: ỉ,I = ° m K - u„m + E„)c - ngl (5 - 55a) I,J = 1 = -°mgm' (u,.k - um + E„)c' + I. I, ngl ' - 55Ờ)z (5 Tìí (5 - 55) ta có ma trận dẫn nạp nút của nhánh 1 nối giữa hai nút i vàj. k m VỈ. ỵN =- i ểm ~ ễm (5 - 56a) j iL.. = i Aigl ~ ẽm (5 - 56Ô) r‘gN j ngl - gm E„c I. VỊ trí củaYj,vàýngN trong Yn của toàn mạch IngN được thể hiện như sau: ..k.. .. m. .. i S m ~ Sm (5 - 57) “ ễm Sm 1 ^ngl ■ Sm (5 - 58) IngN J _ ■ (-^ngl ■ sm -®c) Trong bảng 5-1 sau đây chúng ta sẽ tìm thấy các ma trận dẫn nạp nút thành phàn 152
Bàng 5-1 Sơ đồ nguồn điều khiển Phương trình dòng trên các nhánh Ma trận dẫn nạp nút của các nguồn pl) DỊ! /p = Xjờj = Yị(up - us) 's = - Wp - us) /q = gUị = g(Up - ơs) p p ■ Yị í - Yị Ị/u< /t =- Í7(ờp - ơs) q g -g 0 0 Nếu chập s và t ta có t -g g 0 0 $0- ũ/ r °t 's,t = 'p + 'q = (yi + - ^s) Poí p s q t 7 /p = YịUị = rị(ưp - ơs) ~ Yj 0 - 4 /q=-Xj pUị + YìUi = p -Yị 0 ý" y'l ]< = -*j H(UP -(/,) +yj «/q - íp- s Yị -y\ 0 0 >1^- 4' zs =_/p q t -Yip +4 a yi -Yi zt “■ zq +Y\ p -Yip - Yi Yi 5°— ------- 0 AA t p ° --Ị /p = YịUị = rj(ưp . u3) p i q ’ "'1J p ■ Yị -Yị 0 0 “_,p 1 -—1 _C=(A p » í Uị = YịrYt(Up- us) s - Yj Yị 0 0 Uj + :Óq - Ưt) q rYịYi -rYịYi Yị Yị zt =_,q t rK-Xi TYịYị Yị Yị 153 s “t