Chương IV
- 67 -
Chương 4
PHÂN TÍCH TÍN HIỆU & HỆ THỐNG RỜI RẠC
LTI TRONG MIỀN TẦN SỐ
Trong chương III ta đã thấy phép biến đổi Z là một công cụ toán học hiệu quả trong việc
phân tích hệ thống rời rạc LTI. Trong chương này, ta sẽ tìm hiểu một công cụ toán học quan
trọng khác là phép biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc, gọi tắt là DTFT (DT-Fourier
Transform).
Phép biến đổi này áp dụng để phân tích cho cả tín hiệu và hệ thống. Nó được dùng trong
trường hợp dãy rời rạc dài vô hạn và không tuần hoàn.
Nội dung chính chương này bao gồm:
- Biến đổi Fourier
- Biến đổi Fourier ngược
- Các tính chất của biến đổi Fourier
- Phân tích tần số cho tín hiệu rời rạc (cách gọi thông dụng là phân tích phổ)
- Phân tích tần số cho hệ thống rời rạc
4.1 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER
4.1.1 Biểu thức tính biến đổi Fourier
Ta đã biết rằng có thể biểu diễn tín hiệu rời rạc tạo ra bằng cách lấy mẫu tín hiệu tương tự
dưới dạng sau đây:
() ( ) ( )
s
k
x
txkTtkT
δ
∞
=−∞
=−
∑
Bây giờ ta sẽ tính biến đổi Fourier cho tín hiệu này. Các bước như sau:
1. Tính biến đổi Fourier của ()tkT
δ
−
.
2. Sử dụng nguyên lý xếp chồng, tìm biến đổi Fourier của ( )
s
x
t.
() ( )
Fjn T
s
n
xt xnTe
ω
∞−
=−∞
↔∑
Đặt () []
x
nT x n= và thay biến T
ω
Ω
= (xem lại chương I, lưu ý đơn vị củaΩ[rad] và
ω
[rad/s]), ta được:
DTFT ( ) [ ] jn
n
Xxne
∞
Ω
=−∞
:Ω=
∑
Ta nhận xét thấy tuy tín hiệu rời rạc trong miền thời gian nhưng DTFT lại liên tục và tuần
hoàn trong miền tần số.
Chương IV
- 68 -
DTFT chính là hàm phức theo biến tần số thực. Ta gọi DTFT là phổ phức (complex
spectrum) hay ngắn gọn là phổ của tín hiệu rời rạc [ ]
x
n
4.1.2 Sự hội tụ của phép biến đổi Fourier
Không phải là tất cả DTFT đều tồn tại (hội tụ) vì DTFT chỉ hội tụ khi:
∞<
∑
∞
−∞=
Ω−
n
nj
e]n[x
Ta luôn luôn có:
∑∑
∑∑
∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
Ω−
∞
−∞=
Ω−
∞
−∞=
Ω−
∞
−∞=
Ω−
∞
−∞=
Ω−
≤
≤
≤
nn
nj
n
nj
n
nj
n
nj
n
nj
]n[xe]n[x
e]n[xe]n[x
e]n[xe]n[x
Như vậy, nếu x[n] thỏa điều kiện:
∞<
∑
∞
−∞=n
]n[x
thì biến đổi Fourier hội tụ.
Ví dụ:
Tìm ( )XΩ với [] []
n
x
naun=, 1a||<. Nếu 1a
|
|> ?
Ví dụ:
Tìm ( )YΩvới [ ] [ ]
n
yn au n=−, 1a||>. Nếu 1a
|
|< ?
Chương IV
- 69 -
Ví dụ:
Cho [ ] [ ] [ ]
p
nununN=−−. Tìm ( )P
Ω
.
Hãy chứng tỏ rằng biến đổi Fourier này có pha tuyến tính (linear phase)
Ví dụ:
Tìm ( )HΩ của hệ LTI có đáp ứng xung sau
[] [] 2[ 1] 2[ 2] [ 3]hn n n n n
δ
δδδ
=+ −+ −+−
Và chứng tỏ rằng hệ có pha tuyến tính
4.1.4 Quan hệ giữa biến đổi Z và biến đổi Fourier
Biểu thức tính ZT là:
∑
∞
−∞=
−
=
n
n
z]n[x)z(X
Giả sử ROC có chứa đường tròn đơn vị. Tính X(z) trên đường tròn đơn vị, ta được:
)(Xe]n[x)z(X
n
nj
ez j
Ω== ∑
∞
−∞=
Ω−
=Ω
Như vậy, biến đổi Fourier chính là biến đổi Z tính trên đường tròn đơn vị. Dựa vào đây, ta có
thể phát biểu lại điều kiện tồn tại của DTFT như sau:
Chương IV
- 70 -
Biến đổi Fourier của một tín hiệu chỉ tồn tại khi ROC của biến đổi Z của tín hiệu đó có chứa
đường tròn đơn vị.
Ví dụ:
Làm lại các ví dụ trên- Tìm biến đổi Fourier của:
(a) [ ] [ ]
n
x
naun=, 1a||<. Nếu 1a||>?
(b) [ ] [ ]
n
yn au n=−, 1a||>. Nếu 1a
|
|< ?
(c) [ ] [ ] [ ]
p
nununN=−−
(d) [ ] [ ] 2 [ 1] 2 [ 2] [ 3]hn n n n n
δ
δδδ
=+ −+ −+−
4.2 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER NGƯỢC
4.2.1 Biểu thức tính biến đổi Fourier ngược
Ta thấy )(X Ω là một hàm tuần hoàn với chu kỳ
π
2, do j
e
Ω
tuần hoàn với chu kỳ2
π
:
(2) 2jj jj j
ee ee e
ππ
Ω
Ω+ Ω Ω
=
==.
Do đó dải tần số của tín hiệu rời rạc là một dải tần bất kỳ rộng π2, thường chọn
là: )2,0(hay),( πππ− .
Vậy ta có thể khai triển)(X Ω thành chỗi Fourier trong khoảng )2,0(hay),( π
π
π
−
nếu điều
kiện tồn tại )(X Ω thỏa mãn. Các hệ số Fourier là x[n], ta có thể tính được x[n] từ )(X
Ω
theo
cách sau:
Nhân 2 vế của biểu thức tính DTFT với lj
e
2
1Ω
π rồi lấy tích phân trong khoảng ),(
π
π− ta có:
]l[xde
2
1
]n[xdee]n[x
2
1
de)(X
2
1)nl(j
n
lj
n
njlj =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡Ω
π
=Ω
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
π
=ΩΩ
π∫
∑
∫∑
∫π
π−
−Ω
∞
−∞=
π
π−
Ω
∞
−∞=
Ω−
π
π−
Ω
Thay l = n và thay cận tích phân, không nhất thiết phải là ),(
π
π
−
mà chỉ cần khoảng cách
giữa cận trên và dưới là π2, ta được biểu thức tính biến đổi Fourier ngược (IDTFT) như sau:
Chương IV
- 71 -
2
1
[] ( )
2
jn
x
nXed
π
π
Ω
=
ΩΩ
∫
Ta có thể tính IDTFT bằng hai cách: một là tính trực tiếp tích phân trên, hai là chuyển về
biến đổi Z rồi tính như tính biến đổi Z ngược. Tùy vào từng trường hợp cụ thể mà ta chọn
phương pháp nào cho thuận tiện.
4.2.2 Một số ví dụ tính biến đổi Fourier ngược
Ví dụ:
Tìm x[n] nếu biết:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
π<Ω<Ω
Ω≤Ω
=Ω
c
c
,0
,1
)(X
Ví dụ:
Tìm x[n] nếu biết:
Ω=Ω 2
cos)(X