BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
HUỲNH VINH
PHÂN TÍCH TĨNH TẤM CHỊU UỐN LÀM BẰNG VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN
Chuyên ngành: Xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp Mã số: 60.58.20
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT
Đà Nẵng – Năm 2013
Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. TRẦN MINH TÚ
Phản biện 1: TS. Trần Quang Hưng
Phản biện 2: TS. Nguyễn Xuân Toản
Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn
tốt nghiệp thạc sĩ Kỹ thuật họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày
28 tháng 9 năm 2013
Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin-Học liệu - Đại học Đà Nẵng - Trung tâm Học liệu, Đại học Đà Nẵng
1
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết và ý nghĩa thực tiễn của đề tài
FGM là loại vật liệu mới ứng dụng tại Việt Nam. Các nghiên
cứu về vật liệu FGM cũng như ứng xử cơ học của kết cấu chế tạo
bằng vật liệu FGM có ý nghĩa khoa học và thực tiễn.
(a): Vật liệu FGM (b): Vật liệu composite nhiều lớp
Hình Cấu trúc vật liệu composite
2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng lời giải giải tích tính toán độ võng và trường ứng suất
trong tấm chữ nhật FGM bốn biên tựa khớp chịu tác dụng của tải
trọng phân bố vuông góc với mặt trung bình dựa trên lý thuyết tấm
của Reissner - Mindlin.
Khảo sát ảnh hưởng của các tham số hình học, tham số vật liệu
đến độ võng, ứng suất, biến dạng của tấm. Từ đó, tác giả đưa ra những
nhận xét, kết luận bổ ích đối với công việc thiết kế tính toán các kết
cấu bằng vật liệu có cơ tính biến thiên.
3. Đối tượng, phạm vi và phương pháp nghiên cứu
- Đối tượng: Tấm chữ nhật, bốn biên tựa khớp, vật liệu có cơ
tính biến thiên
- Phạm vi nghiên cứu: Khảo sát trường ứng suất, biến dạng và
chuyển vị dưới tác dụng của tải trọng uốn
- Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp giải tích
4. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 3 chương:
2
Chương 1- Vật liệu có cơ tính biến thiên – các hệ thức cơ bản
theo lý thuyết tấm cổ điển Kirchhoff - Love
Chương 2 - Phân tích tĩnh tấm chịu uốn làm bằng vật liệu có cơ
tính biến thiên
Chương 3 - Kết quả số và bình luận
CHƯƠNG 1
VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN - CÁC HỆ THỨC
CƠ BẢN THEO LÝ THUYẾT TẤM CỔ ĐIỂN
KIRCHHOFF-LOVE
1.1. VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN - TÍNH CHẤT VẬT LIỆU
1.1.1. Vật liệu có cơ tính biến thiên
Luận văn nghiên cứu vật liệu có cơ tính biến thiên hai thành phần
(ceramic và kim loại)
Bảng 1.1 Tính chất của một số vật liệu thành phần sử dụng làm tấm
1
3
m
a
E
Pa [G ]
o C
/kg m
r [
]
vật liệu có cơ tính biến thiên FGM Các tính chất Vật liệu - Ø ø º ß
Kim loại: Al 70 2702 0,3
380 23.10-6 7,2.10-6 3800 0,3 Ceramic: Al2O3
1.1.2. Tấm bằng vật liệu P-FGM
p
Mô đun đàn hồi kéo - nén được định nghĩa dưới dạng:
=
+
+
E z ( )
(
E
E
)
E
c
m
m
z h
1 2
(cid:230) (cid:246) - (cid:231) (cid:247) Ł ł (1.3)
cE : mô đun đàn hồi kéo (nén) của vật liệu mặt dưới
mE : mô đun đàn hồi kéo (nén) của vật liệu mặt trên
Trong đó:
3
p: tham số vật liệu (chỉ số tỷ lệ thể tích)
h: chiều dày tấm
Hình 1.1. Mô hình tấm làm từ vật liệu có cơ tính biến thiên FGM.
1.2. LÝ THUYẾT TẤM CỔ ĐIỂN KIRCHHOFF - LOVE
1.2.1. Các giả thiết
Đoạn thẳng pháp tuyến trước biến dạng là thẳng và vuông góc
với mặt trung bình. Sau biến dạng vẫn thẳng, vuông góc với mặt trung
bình và có chiều dài là không đổi.
1.2.2. Chuyển vị và quan hệ biến dạng – độ cong
= -
(1.4a)
u x y z ( , , )
z
a. Trường chuyển vị ¶
= -
(1.4b)
v x y z ( , , )
z
¶ ¶
=
(1.4c)
w x y z ( , , )
w 0 x w 0 y w x y ( ,
)
¶
xx
x
=
z
yy
y
(cid:236) (cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:253) (cid:237) (cid:253) (1.6) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239)
0 b. Quan hệ giữa biến dạng – độ cong c c c
e e g
2
xy
xy
(cid:238) (cid:238) (cid:254) (cid:254)
2
2
2
4
c
= -
= -
= -
c
c
;
;
xy
y
x
w 0 2 x
w 0 2 y
¶ ¶ ¶ Trong đó: ¶ ¶ ¶ ¶
w 0 x y 1.2.3. Trường ứng suất – các thành phần ứng lực a. Trường ứng suất
2
2
+
m
s
= -
xx
2
zE m
1
w 0 2 x
w 0 2 y
2
2
(cid:230) (cid:246) ¶ ¶ (1.8a) (cid:231) (cid:247) - ¶ ¶ Ł ł
+
m
s
= -
yy
2
zE m
1
w 0 2 y
w 0 2 x
2
(cid:230) (cid:246) ¶ ¶ (1.8b) (cid:231) (cid:247) - ¶ ¶ Ł ł
xy
xx
xx
h
/ 2
=
zdz
yy
yy
h
/ 2
s s s
M M M
xy
xy
¶ s = - (1.8c) zE + m ¶ ¶ w 0 x y 1 b. Các thành phần ứng lực (cid:236) (cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (1.9a) (cid:237) (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:242) - (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:238) (cid:238) (cid:254) (cid:254)
xx
xx
h
/ 2
=
=
dz
yy
yy
h
/ 2
s s s
N N N
0 0 0
xy
xy
h
/ 2
s
(cid:236) (cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (1.9b) (cid:237) (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:242) - (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:238) (cid:254) (cid:238) (cid:238) (cid:254) (cid:254)
Q
x
xz
=
dz
s
Q
y
yz
h
/ 2
2
2
(cid:236) (cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:237) (cid:253) (cid:237) (cid:253) (1.9c) (cid:242) (cid:239) (cid:239) (cid:238) (cid:238) - (cid:254) (cid:254)
m c
= -
+
+
=
c
m
(cid:230) (cid:246) ¶ ¶ c. Quan hệ giữa các thành phần ứng lực với độ võng )
(
M
D
D
xx
x
y
w 0 2 x
w 0 2 y
2
2
(cid:231) (cid:247) ¶ ¶ Ł ł
=
c
+
m c
= -
+
m
(cid:230) (cid:246) ¶ ¶
)
(
M
D
D
y
x
yy
w 0 2 y
w 0 2 x
2
(1.10) (cid:231) (cid:247) ¶ ¶ Ł ł
=
=
c
m
= -
m
)
)
M
M
( 1
D
( 1
D
xy
yx
xy
w 0 x y
¶ - - ¶ ¶
2
2
5
2
+
= -
= -
)
(
D
D
w 0
Q x
w 0 2 y
w 0 2 x
x
x
2
2
2
+
= -
= -
)
(
D
Q
D
w 0
y
w 0 2 y
w 0 2 x
y
y
(cid:230) (cid:246) ¶ ¶ ¶ ¶ (cid:209) (cid:231) (cid:247) ¶ ¶ ¶ ¶ Ł ł (1.11) (cid:230) (cid:246) ¶ ¶ ¶ ¶ (cid:209) (cid:231) (cid:247) ¶ ¶ ¶ ¶ Ł ł
2
2
3
2
=
+
=
D
w 0
2
m
w 0 2 x
w 0 2 y
)
Eh ( 12 1
Trong đó: (cid:230) (cid:246) ¶ ¶ (cid:209) ; : độ cứng trụ. (cid:231) (cid:247) ¶ ¶ Ł ł -
1.2.4. Các phương trình cân bằng - phương trình vi phân
4
4
4
2
2
mặt đàn hồi Khi tấm chịu tải trọng phân bố đều q vuông góc với mặt trung ¶ ¶ ¶ + + = 2 bình, ta có: (1.17) ¶ ¶ ¶ ¶ w 0 4 x w 0 y x w 0 4 y q D
0w . Từ đó
Giải phương trình (1.17) với các điều kiện biên, nhận được
tính được các trường chuyển vị, ứng suất, ứng lực.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Trong chương 1, tác giả luận văn đã hệ thống hóa các hệ
thức, phương trình cơ bản, hệ phương trình cân bằng cho tấm chịu
uốn theo lý thuyết cổ điển Kirchhoff – Love (CPT). Các hệ thức cơ
bản này xây dựng trong trường hợp vật liệu đồng nhất và đẳng hướng.
Trong chương 2, các hệ thức cơ bản này được áp dụng để xây dựng lý
thuyết tấm bậc nhất của Reissner – Mindlin đối với tấm làm từ vật liệu
có cơ tính biến thiên.
6
CHƯƠNG 2
PHÂN TÍCH TĨNH TẤM CHỊU UỐN LÀM BẰNG VẬT LIỆU
CƠ TÍNH BIẾN THIÊN
2.1. LÝ THUYẾT TẤM BẬC NHẤT THEO REISSNER - MINDLIN
2.1.1. Giả thiết tấm theo Reissner - Mindlin
Pháp tuyến sau biến dạng vẫn thẳng có chiều dài không đổi, có
thể không còn vuông góc mặt trung bình.
2.1.2. Các thành phần chuyển vị
x
= =
+ +
Reissner - Mindlin giả thiết trường chuyển vị bậc nhất dưới
x y ( , ) x y ( , )
q z q z =
=
(2.1) (2.2) dạng sau [1]: u x y z ( , , ) v x y z ( , , )
y w x y ( ,
w x y z ( , , )
)
0
(2.3)
u x y ( , ) 0 v x y ( , ) 0 w x y ( , ) 2.1.3. Các thành phần biến dạng
xx
x
yy
y
=
+
=
+
k k k
e e g
z
xy
xz
e e g g g
e e g g g
e e g g g
xy 0 0
u xx u yy u xy 0 0
yz
0 xx 0 yy 0 xy 0 xz 0 yz
(cid:236) (cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:237) (cid:253) (2.12) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:238) (cid:254) (cid:238) (cid:238) (cid:254) (cid:254) (cid:238) (cid:238) (cid:254) (cid:254)
0 xx 0 yy 0 xy 0 xz 0 yz 2.1.4. Các thành phần ứng suất - ứng lực trong tấm FGM
s
C
C
0
0
xx
11
xx
xx
s
e e
e e
C
12 C
0
0
0
yy
yy
yy
g
g
=
=
[
]
12 0
11 0
C
0
0
C
xy
xy
xy
g
g
0
0
66 0
C
0
xz
xz
xz
s s s
g
g
0
0
0
66 0
C
yz
66
yz
yz
m
=
=
=
C
(cid:236) (cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:236) (cid:252) Ø ø a. Các thành phần ứng suất 0 (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) Œ œ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) Œ œ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) Œ œ (cid:237) (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:237) (cid:253) (2.18) Œ œ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) Œ œ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) Œ œ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) º ß (cid:238) (cid:254) (cid:238) (cid:238) (cid:254) (cid:254)
C
C
;
;
66
11
12
( ) E z + m
E z ( ) m 2
]
z ( )
[ 2 1
z ( )
1
1
( ) ( ) z E z m 2 z ( )
Trong đó: - -
yQ
yyM
yyN
xyN
h
xQ
x
q x y ( ,
)
xyN
xyM
xxM
7 b. Các thành phần ứng lực
+
z
M
dx
xx
M xx x
xxN
xyM
+
N
dx
xx
+
M
N xx x dx
Q x
N
+
M
dy
yy
+
N
dy
xy
yy y
M
xy y
+
dx
M
xy
Q x x xy x
M
N
+
N
+
M
dy
N
dx
xy
xy
+
N
yy
xy y
y
xy x
Q
yy y
+
dy Q
dy
y
y y
¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶
Hình 2.8. Nội lực và ngoại lực trên phân tố tấm FGM
0
0
0
0
xx
B 11
yy
N N N
xy
0 xx 0 yy 0 xy
e e g k
xx
x
=
0 A 66 0 0
0 B 66 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
yy
y
xy
M M M Q
x
k k g g
Q
A 11 A 12 0 B 11 B 12 0 0 0
A 12 A 11 0 B 12 B 11 0 0 0
B 66 0 0
B 12 0 D 11 D 12 0 0 0
B 12 B 11 0 D 12 D 11 0 0 0
D 66 0 0
0 A 44 0
y
0 0 A 55
xy 0 xz 0 yz (2.26)
(cid:236) (cid:252) (cid:236) (cid:252) Ø ø (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) Œ œ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) Œ œ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) Œ œ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) Œ œ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) Œ œ (cid:237) (cid:253) (cid:237) (cid:253) Œ œ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) Œ œ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) Œ œ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) Œ œ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) Œ œ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) Œ œ º ß (cid:238) (cid:254) (cid:238) (cid:254)
h 2
h 2
h 2
m
=
=
=
dz
;
Trong đó:
A 11
dz A ; 12
A 66
E z ( ) m 2
E z ( ) + m
dz ]
1
z ( )
1
( ) ( ) z E z m 2 z ( )
z ( )
[ 2 1
h 2
h 2
h 2
(cid:242) (cid:242) (cid:242) - - - - -
h 2
h 2
h 2
m
=
=
=
dz
;
8
B 12
dz B ; 66
B 11
dz ]
zE z ( ) m 2 z ( )
1
( ) ( ) z zE z m 2 z ( ) 1
zE z ( ) + m z ( )
[ 2 1
h 2
h 2
h 2 h 2
h 2
h 2
m
=
=
=
dz
dz
;
;
(cid:242) (cid:242) (cid:242) - - - - -
D 11
D 12
D 66
dz ]
2 z E z ( ) m 2 z ( ) 1
2 ( ) ( ) z z E z m 2 z ( ) 1
2 z E z ( ) [ + zm ( ) 2 1
h 2
h 2
h 2
h 2
h 2
=
=
=
A
k C dz
k
E z dz ( )
(cid:242) (cid:242) (cid:242) - - - - -
44
A 55
66
1 + m
]
[ 2 1
z ( )
h 2
h 2
(cid:242) (cid:242) - -
=
k: hệ số hiệu chỉnh cắt Với vật liệu đẳng hướng thường lấy k = 5/6
k
+ m 5 5 + m 6 5
q
Với vật liệu FGM lấy (theo [17])
u v w q , ,
,
0
0
,x
y
. 2.1.5. Hệ phương trình cân bằng theo 0
q x y . )
Xét sự cân bằng của phân tố tấm FGM chịu tải phân bố vuông
2
2
2
2
2
2
góc với mặt tấm có quy luật bất kỳ ( , Phương trình cân bằng là:
q
q
q
+
+
+
+
+
+
+
=
)
(
(
)
A
A
A
B
B
B
B
0
A
66
12
66
11
66
12
66
11
x 2
x 2
v 0 x y
u 0 2 x
u 0 2 y
y x y
2
2
2
2
2
y q 2
x q
q
+
+
+
+
+
+
+
=
)
(
(
)
A
A
A
B
B
B
B
0
A
66
12
66
11
66
12
66
11
y 2
y 2
v 0 2 y
v 0 2 x
x
x x y
y
2
2
u 0 x y q
q
0
+
+
+
+
=
A
A
q x y ( ,
)
0
44
55
y y
w 2 x
x x
w 0 2 y
2
2
2
2
q
+
+
+
+
+
)
(
B
B
B
B
D
11
66
12
66
11
x 2
v 0 x y
u 0 2 x
x
u 0 2 y
2
2
q
q
+
q
+
+
=
(
)
D
A
D
D
A
0
66
44
x
12
66
44
x 2
w 0 x
y
2
2
2
y x y q 2
+
+
+
+
+
(
)
B
B
B
B
D
11
66
12
66
11
y 2
v 0 2 y
u 0 x y
y
v 0 2 x 2
2
q
q
+
+
+
=
(
)
D
A
D
D
A
0
66
q 55
y
12
6
6
55
y 2
w 0 y
x
x x y
(cid:236) ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ (cid:239) ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ (cid:239) (cid:239) ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ (cid:239) ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ (cid:239) (cid:239) ¶ (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) ¶ ¶ ¶ (cid:239) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:239) ¶ ¶ ¶ ¶ Ł ł Ł ł (cid:239) ¶ ¶ ¶ ¶ (cid:239) (cid:237) ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ (cid:239) (cid:239) ¶ ¶ ¶ (cid:239) - - ¶ ¶ ¶ ¶ (cid:239) (cid:239) ¶ ¶ ¶ ¶ (cid:239) (cid:239) ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ (cid:239) ¶ (cid:239) ¶ ¶ - - (cid:239) ¶ ¶ ¶ ¶ (cid:238) (2.37)
9
2.2. LỜI GIẢI NAVIER CHO TẤM CHỮ NHẬT FGM
CHỊU UỐN, TỰA KHỚP TRÊN CHU VI, CHỊU TẢI TRỌNG
q x y PHÂN BỐ ( , )
a
b
)
u
cos
x
sin
y
= (cid:229)
u x y ( , 0
0
mn
m
= 1
= 1
n
2.2.1. Giả thiết các hàm chuyển vị, góc xoay và tải trọng theo Navier ¥ ¥ (2.38a) (cid:229)
a
b
)
sin
x
cos
y
= (cid:229)
v x y ( , 0
v 0
mn
m
= 1
= 1
n
¥ ¥ (cid:229)
a
b
w x y ( ,
)
sin
x
sin
y
= (cid:229)
0
w 0
mn
m
= 1
= 1
n
(2.38b) ¥ ¥ (2.38c) (cid:229)
q
q
a
b
x y ( , )
cos
x
sin
y
= (cid:229)
x
0
xmn
= 1 m n
= 1
¥ ¥ (2.38d) (cid:229)
q
q
a
b
x y ( ,
)
sin
x
cos
y
= (cid:229)
y
0
ymn
= 1 m n
= 1
¥ ¥ (2.38e) (cid:229)
a
b
q x y ( ,
)
q
sin
x
sin
y
= (cid:229)
mn
= 1
p n
m a
= n 1 =
b
=
¥ ¥ (2.38f) (cid:229)
p ;m a
b
a b
=
a
b
q x y ( ,
)sin
x
sin
ydxdy
Với và
mnq
4 ab
0 0
q
q
(cid:242) (cid:242)
u
,
,
,
,
0
mn
0
mn
0
xmn
0
ymn
w 0
mn
các hệ số của hàm chuyển vị: 2.2.2. Hệ phương trình cân bằng tĩnh học theo các ẩn số là v
0
mn
0
S 11
S 12
S 14
mn
24
25
=
mn
33
34
35
xmn
0
41
42
43
44
45
u v 0 w 0 q q
S 21 0 S S
S 22 0 S S
0 S S S
S S S S
S 15 S S S S
0 0 q mn 0 0
0
ymn
51
52
53
54
55
,
,
,
,
(cid:236) (cid:252) Ø ø (cid:236) (cid:252) (cid:239) (cid:239) Œ œ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) Œ œ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) Œ œ (cid:237) (cid:253) (cid:237) (cid:253) Œ œ (2.40) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) Œ œ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) Œ œ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:238) º ß (cid:254) (cid:238) (cid:254)
L L L L Lq q u w
v
x
y
Gọi thỏa mãn hệ phương trình:
10
0
S 11 S
S 12 S
0 0
S 14 S
S 15 S
0
24
25
=
L u L v L w
21 0
22 0
S
S
S
33
34
35
L q
1 0
x
41
42
43
44
45
S S
S S
S S
S S
S S
L q
0
51
52
53
54
55
y
(cid:236) (cid:252) Ø ø (cid:236) (cid:252) (cid:239) (cid:239) Œ œ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) Œ œ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) Œ œ (cid:237) (cid:253) (cid:237) (cid:253) Œ œ (2.41) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) Œ œ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) Œ œ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:238) º ß (cid:254) (cid:238) (cid:254)
u
0
mn
mn
=
L u L v L w
mn
q mn
v 0 w 0 q
L q
x
0
xmn
q
L q
0
ymn
y
(cid:236) (cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:253) (cid:237) (cid:253) Thế thì: (2.42) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:238) (cid:254) (cid:238) (cid:254)
+
=
a
b
(
u x y z ( , , )
cos
x
sin
y
L u
mn
x
= 1 m n
= 1
¥ ¥ (cid:229) (cid:229) (2.44a) 2.2.3. Trường chuyển vị ) zL q q
b
=
+
a
¥ ¥
(
)
v x y z ( , , )
sin
x
cos
y
zL q
L v
q mn
y
m
= 1
= 1
n
(cid:229) (cid:229)
a
b
= (cid:229)
w x y z ( , , )
L q
sin
x
sin
y
w mn
n
= 1
(2.44b) ¥ ¥ (cid:229) (2.44c)
a
+
a
b
¥ ¥ (cid:236) (cid:252) -
= 1 m 2.2.4. Trường biến dạng (
)
q
sin
x
sin
y
zL q
L u
mn
x
=
=
m
1
1
n
e
b
+
a
b
(
)
q
sin
x
sin
y
zL q
xx
L v
mn
y
=
=
m
1
1
n
e
yy
g
=
b
+
+
a
+
a
b
(
)
(
)
q
cos
x
cos
y
zL q
zL q
xy
L u
L v
mn
x
y
=
=
m
1
1
n
xz
g g
+
a
b
( a
)
L
q
cos
x
sin
y
L q
yz
w
mn
x
=
=
m
1
1
n
b
+
a
b
(
)
L
q
sin
x
cos
y
L q
w
mn
y
=
=
m
1
1
n
(cid:229) (cid:229) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) ¥ ¥ (cid:239) (cid:239) (cid:236) (cid:252) - (cid:239) (cid:239) (cid:229) (cid:229) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) ¥ ¥ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) Ø ø (cid:237) (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:229) (cid:229) º ß (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) ¥ ¥ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:229) (cid:229) (cid:238) (cid:254) (cid:239) (cid:239) ¥ ¥ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:229) (cid:229) (cid:239) (cid:239) (cid:238) (cid:254)
(2.48)
11
+
a
+
+
a
b
b
)
(
C
L
z L
C
L
zL
q
sin
x
s in
y
)
(
q
q
1 1
u
1 2
v
m n
x
y
=
=
m
1
n
1
s
+
a
+
+
a
b
b
)
(
)
(
C
L
z L
C
L
zL
q
sin
x
s in
y
q
q
x x
1 2
u
1 1
v
m n
x
y
=
=
m
1
n
1
s
yy
s
=
b
+
+
a
+
a
b
(
)
C
L
zL
L
zL
q
co s
x
co s
y
)
(
q
q
xy
6 6
u
v
m n
x
y
=
=
m
1
n
1
s
xz
s
+
a
b
( a
)
C
L
L
q
c o s
x
s in
y
q
yz
6 6
w
m n
x
=
=
m
1
n
1
b
+
a
b
C
L
L
q
s in
x
c o s
y
(
)
q
6 6
w
m n
y
=
=
m
1
n
1
2.2.5. Trường ứng suất ¥ ¥ (cid:236) (cid:252) Ø ø - (cid:229) (cid:229) (cid:239) (cid:239) º ß (cid:239) (cid:239) ¥ ¥ (cid:239) (cid:239) Ø ø (cid:236) (cid:252) - (cid:229) (cid:229) (cid:239) (cid:239) º ß (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) ¥ ¥ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) Ø ø (cid:237) (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:229) (cid:229) º ß (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) ¥ ¥ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:229) (cid:229) (cid:238) (cid:254) (cid:239) (cid:239) ¥ ¥ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:229) (cid:229) (cid:239) (cid:239) (cid:238) (cid:254)
q x y ( , )
q=
0
(2.50) 2.3. LỜI GIẢI NAVIER CHO TẤM CHỮ NHẬT FGM CHỊU UỐN, TỰA KHỚP TRÊN CHU VI, CHỊU TẢI TRỌNG PHÂN BỐ :
=
(
m n ,
1,3,5,...)
khi
= (cid:237)
q x y ( , )
q=
q 0 mn
q mn
0
=
16 p 2 0
(
m n ,
2, 4, 6,...)
khi
(cid:236) (cid:239) Khi thì: (cid:239) (cid:238)
2.3.1. Trường chuyển vị: (theo 2.44a-c) 2.3.2. Trường biến dạng: (theo 2.45, 2.47, 2.50 ) 2.3.3. Trường ứng suất: (theo 2.50) 2.3.4. Trường ứng lực: (theo 2.51)
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2
Trong chương 2, tác giả luận văn đã dựa vào lý thuyết tấm bậc nhất (FSDT) theo Reissner – Mindlin để xây dựng hệ năm phương trình cân bằng tĩnh học của tấm FGM. Với tấm chữ nhật, tựa khớp trên chu vi, chịu tải trọng phân bố vuông góc với mặt trung bình, dạng nghiệm Navier được áp dụng để tìm trường chuyển vị, ứng suất, biến dạng…Với trợ giúp của phần mềm Mathematica, tác giả luận văn đã viết đoạn chương trình để tính toán số các lớp bài toán. Chương tiếp theo, luận văn sẽ tiến hành khảo sát ảnh hưởng của các thông số về vật liệu, kích thước tấm và giá trị tải trọng đến trường chuyển vị và ứng suất của tấm FGM.
12 CHƯƠNG 3 KẾT QUẢ SỐ VÀ BÌNH LUẬN
Trên cơ sở nghiệm giải tích chuyển vị, ứng suất, biến dạng đã xây dựng trong chương 2, tác giả luận văn đã lập code chương trình bằng Mathematica để khảo sát số các lớp bài toán nhằm đánh giá ảnh hưởng của các thông số vật liệu, kích thước tấm,…đến ứng xử cơ học của tấm FGM.
. Tải trọng Xét tấm chữ nhật bốn biên tựa khớp, làm bằng vật liệu P - FGM 0q chịu uốn, có chiều dày h, kích thước các cạnh a b· phân bố đều, vuông góc với mặt trung bình của tấm.
=
=
- Vật liệu P- FGM với tính chất các vật liệu thành phần:
380 (
0,3
),
cE
Mặt trên: nhôm ô xit – ceramic (Al2O3): GPa m
=
=
70 (
GPa m
),
0,3
mE
Mặt dưới: nhôm – kim loại (Al):
( )E z THEO CHIỀU DÀY TẤM
p
3.1. VÍ DỤ 3.1: ẢNH HƯỞNG CỦA TỶ LỆ THỂ TÍCH p ĐẾN PHÂN BỐ CỦA MÔ ĐUN ĐÀN HỒI
=
+
+
E z ( )
(
E
E
)
E
c
m
m
z h
1 2
(cid:230) (cid:246) - (3.1) (cid:231) (cid:247) Ł ł
Hình 3.2. Biến thiên của mô đun đàn hồi kéo – nén trong tấm P-FGM
13
Mô đun đàn hồi tăng nhanh tại vị trí gần bề mặt ceramic của tấm khi p >1 và gần bề mặt kim loại khi p < 1. Khi p = 0: vật liệu đồng nhất đẳng hướng làm từ vật liệu ceramic. Khi p = 1: thành phần ceramic và kim loại phân bố tuyến tính qua chiều dày thành kết cấu. Khi p tăng thì tỷ lệ thể tích của thành phần kim loại trong kết cấu tăng. Khi p = +¥ : vật liệu đồng nhất đẳng hướng làm từ vật liệu kim loại.
=
=
a
b a h /
,
10
3.2. VÍ DỤ 3.2: KIỂM CHỨNG KẾT QUẢ - SO SÁNH VỚI CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA MỘT SỐ TÁC GIẢ
k =
5 6
Xét tấm vuông . Hệ số hiệu chỉnh cắt .
10
=
s
=
s
=
s
s
xx
yy
w
w (
);
z ( )
z , );
z ( )
(
(
z , );
xx
yy
a b , 2 2
a b , 2 2
a b , 2 2
3 h E c 4 q a 0
h q a 0
h q a 0
s
=
s
=
s
=
s
s
s
xy
xz
yz
z ( )
(0,0, );
z
z ( )
(0,
z , );
z ( )
(
z ,0, )
xy
xz
yz
b 2
a 2
h q a 0
h q a 0
h q a 0
Giá trị độ võng lớn nhất và ứng suất không thứ nguyên tính theo:
Bảng 3.1. Độ võng lớn nhất, ứng suất không thứ nguyên của tấm vuông FGM chịu uốn bởi tải trọng phân bố đều phân bố vuông góc với mặt tấm
14
Nhận xét: Từ bảng kết quả bảng 3.1 có thể thấy rằng kết quả tính theo
mô hình bậc nhất của luận văn so với kết quả theo mô hình bậc nhất
(FSDT) của Thái Hữu Tài [11] là trùng khớp với sai số rất nhỏ. Như
vậy có thể nói rằng nghiệm giải tích mà luận văn đã xây dựng cũng
như chương trình tính là tin cậy (sai số giữa mô hình bậc nhất và mô
hình bậc cao (SSDT) là do tỷ số a/h = 10 – tấm có chiều dày trung
bình).
3.3. VÍ DỤ 3.3: KHẢO SÁT ẢNH HƯỞNG CỦA CHỈ SỐ TỶ LỆ
=
=
a b
2;
a h /
10
THỂ TÍCH p ĐẾN ĐỘ VÕNG VÀ ỨNG SUẤT
p =
0; 1; 2; 6; 10
Kích thước tấm / . Chỉ số tỷ lệ thể tích
3.3.1. Độ võng
Hình 3.4. Độ võng không thứ nguyên tại mặt cắt y = b/2 biến thiên
theo p
Nhận xét: Từ hình 3.4 có thể thấy rằng khi tỷ số tỷ lệ thể tích
tăng thì độ cứng của tấm giảm làm cho độ võng tăng lên.
15
s
xx
3.3.2. Các thành phần ứng suất
Hình 3.5. Ứng suất biến thiên theo chiều dày của tấm theo p
s
Nhận xét: Từ hình 3.5, ta nhận thấy:
xx
+ Khi p = 0 (vật liệuceramic): trên mặt trung bình của tấm
bằng không. Mặt trung bình chính là mặt trung hòa. Ứng suất kéo và
ứng suất nén phân bố tuyến tính theo chiều dày tấm, ứng suất đạt cực
s
trị tại mặt trên và mặt dưới.
xx
+ Khi p ≠ 0: Các điểm có bằng 0 không nằm trên mặt trung
bình nữa, mặt trung bình không phải là mặt trung hòa. Luật phân bố
ứng suất theo bề dày của tấm không còn tuyến tính. Ứng suất pháp
s
cực trị không còn ở mặt trên và dưới, mà có thể ở vị trí bất kỳ.
xy
Hình 3.7. Ứng suất biến thiên theo chiều dày của tấm theo p
16
s
Nhận xét: Từ hình 3.7, ta nhận thấy:
xy
+ Khi p = 0: phân bố bậc nhất, giá trị ứng suất tại điểm
thuộc mặt trung bình bằng 0. Giá trị ứng suất tại mặt trên là lớn nhất
so với các trường hợp khác của p, giá ứng suất tại mặt dưới là bé nhất
so với các trường hợp khác của p.
s
xz
+ Khi p tăng, ứng suất tại mặt dưới lớn dần.
Hình 3.8. Ứng suất biến thiên theo chiều dày của tấm theo p
Nhận xét: Từ hình 3.8, nhận thấy:
s
s
=
Khi p = 0, +∞ – vật liệu đẳng hướng, thành phần ứng suất
xz
xz
0, 2121
là hằng số. Với p = 0, các giá trị ứng suất là: . Tại
mặt trên và mặt dưới ứng suất cắt ngang là cực trị so với các trường
hợp p ≠ 0. Khi p ≠ (0; 1) các thành phần ứng suất này biến thiên phi
s
tuyến, bậc phi tuyến phụ thuộc vào p.
xz
là bậc nhất, các giá trị ứng
xz
0, 2121
s
=
xz
(
)
0, 0660
= h 2
Khi p = 1, luật phân bố của s suất tại vị trí thuộc mặt trung bình là . - + Tại vị trí thuộc mặt trên, là giá trị bé nhất
so với các trường hợp khác của p. Tại vị trí thuộc mặt dưới, giá trị ứng
s
=
17
xz
(
)
0,3583
h 2
suất là
Khi p tăng, các giá trị ứng suất lớn nhất tăng dần. Các thành
phần ứng suất cắt ngang này là nhỏ so với các thành phần ứng suất
pháp.
=
=
2,
a h /
(5; 10; 20; 50; 100)
3.4. VÍ DỤ 3.4: ẢNH HƯỞNG CỦA TỶ SỐ a/ h ĐẾN ĐỘ
. Chỉ số tỷ
VÕNG VÀ ỨNG SUẤT Kích thước tấm: a b / p = . 2 lệ thể tích
3.4.1. Độ võng
Hình 3.10. Độ võng lớn nhất không thứ nguyên w biến thiên theo tỷ
số a/h
Nhận xét: So sánh kết quả tính theo mô hình tấm bậc nhất của luận văn với mô hình tấm bậc nhất của Thái Hữu Tài và bậc cao của Zenkour: Từ hình vẽ 3.10: Khi tấm mỏng (a/h lớn), kết quả tính độ võng có sai lệch rất bé. Sai lệch tăng khi chiều dày tấm tăng lên (a/h giảm). Vì vậy, khi tính toán tấm dày nên tính theo mô hình bậc cao.
s
xx
18 3.4.2. Các thành phần ứng suất
s
xx
Hình 3.14. Ứng suất biến thiên theo chiều dày của tấm với các
s
xx
tỷ số a/h Nhận xét: Từ hình 3.14, ta có nhận xét: Khi tỷ số a/h tăng,
tăng theo. Mối quan hệ giữa với tỷ số a/h là bậc nhất. Khảo sát chỉ
ra vị trí mặt trung hòa không phụ thuộc vào quan hệ kích thước hình
học của tấm, chỉ phụ thuộc vào tính chất của vật liệu. Trường hợp vật
liệu hai bề mặt của tấm như đã xét, với chỉ số tỷ lệ thể tích p = 2, mặt
s
xy
trung hòa xác định ở độ dày tấm là z = + 0,149h.
Hình 3.15. Ứng suất biến thiên theo chiều dày của tấm với các
tỷ số a/h
19
s
s
Nhận xét: Từ hình 3.15, ta có nhận xét: Khi tỷ số a/h tăng, ứng
xy
xy
suất màng cực trị tăng. Thành phần ứng suất tăng theo quy
s
xz
luật bậc nhất của tỷ số a/h.
s
xz
Hình 3.16. Ứng suất biến thiên theo chiều dày của tấm với các tỷ số a/h
Nhận xét: Từ hình 3.16, ta có nhận xét: Thành phần ứng suất không phụ thuộc vào tỷ số a/h. Theo chiều dày tấm từ trên xuống
dưới, độ lớn các thành phần ứng suất này lớn dần.
3.5. VÍ DỤ 3.5: ẢNH HƯỞNG CỦA TỶ SỐ KÍCH THƯỚC CÁC CẠNH a/b Kích thước tấm a/h = 10, a/b = 1; 2; 3; 4. Các chỉ số tỷ lệ thể tích
p =0; 1; 2; 6; 10; +∞. 3.5.1. Độ võng
Hình 3.18. Độ võng không thứ nguyên tại mặt cắt y = b/2 biến thiên theo a/b
20
Nhận xét: Từ hình 3.18, ta có nhận xét: Khi tỷ số a/b càng lớn,
độ võng không thứ nguyên càng nhỏ. Tỷ số a/b càng nhỏ, tốc độ tăng
độ võng không thứ nguyên càng lớn.
s
xx
3.5.2. Các thành phần ứng suất
s
xy
Hình 3.22. Ứng suất biến thiên theo chiều dày của tấm với các tỷ số a/b khi p =2
Hình 3.23. Ứng suất
biến thiên theo chiều dày của tấm với các tỷ số a/b, khi p=2
s
xz
21
s
xx
Hình 3.24. Ứng suất biến thiên theo chiều dày tấm với các tỷ số a/b, khi p=2 Nhận xét: Từ các hình vẽ 3.22, 3.23, 3.24, ta có nhận xét:
Thành phần : Cùng một tỷ số a/b, ứng suất cực trị nằm ở
mặt trên và mặt dưới của tấm. Khi tỷ số a/b giảm, các ứng suất cực trị
có độ lớn lớn dần. Vị trí mặt trung hòa không phụ thuộc vào tỷ số a/b,
s
xy
xác định ở độ dày tấm là z = + 0,149h.
Thành phần : Cùng một tỷ số a/b, mặt dưới có ứng suất
s
xz
là lớn nhất. Khi tỷ số a/b càng nhỏ, ứng suất mặt dưới càng lớn dần.
Thành phần : Cùng một tỷ số a/b, mặt dưới có giá trị ứng
/E E ĐẾN ĐỘ
1
2
suất là lớn nhất. Khi tỷ số a/b càng nhỏ, ứng suất càng lớn dần.
3.6. VÍ DỤ 3.6: ẢNH HƯỞNG CỦA TỶ SỐ VÕNG VÀ ỨNG SUẤT.
2E lần lượt là mô đun đàn hồi khi kéo – nén ở mặt
m =
10
0,3 (1; 2; 3; 4)
Trong đó: 1E , trên và mặt dưới của tấm
Kích thước tấm: ,
a h = / p =
Hệ số Poisson của vật liêu hai mặt: a b = / 1; 2; 6; 10 Chỉ số tỷ lệ thể tích:
22
3.6.1. Độ võng
Hình 3.27. Độ võng không thứ nguyên tại tại mặt cắt y =b/2 theo các tỷ số E1/E2 khi a/b=2, p=2 Nhận xét: Từ hình vẽ 3.27, nhận thấy: Khi tỷ số E1/E2 càng bé thì độ võng không thứ nguyên càng lớn do độ cứng bé.
s
3.6.2. Các thành phần ứng suất
Hình 3.28. Ứng suất
xx tỷ số
1
2
biến thiên theo chiều dày của tấm với các /E E khi a/b=2, p=2
Nhận xét: Từ hình vẽ 3.28, nhận thấy: + Khi E1/E2 = 1: Ứng suất phân bố bậc nhất theo chiều dày tấm. + Khi tỷ số E1/E2 ≠ 1: Biến thiên của ứng suất là phi tuyến. Ứng suất mặt dưới là lớn nhất, ứng suất tăng dần khi E1/E2 giảm dần.
+ Khảo sát tìm được 2 vị trí trên chiều dày tấm mà tại đó ứng suất không thứ nguyên không phụ thuộc vào tỷ số E1/E2 cũng như quan hệ kích thước của tấm, chỉ phụ thuộc vào p. Trường hợp p = 2, các vị trí được xác định như sau:
= -
=
= +
= -
xy
xy
z
0, 2445 ,
h s
0,3268
z
0,3164 ,
h s
0, 499
23
s
* Tại . *Tại
xy
Hình 3.29. Ứng suất biến thiên theo chiều dày của tấm với các
/E E khi a/b=2, p=2
1
2
tỷ số
s
=
xz
0, 2121
Nhận xét: Từ hình vẽ 3.29, nhận thấy: Khi E1/E2 = 1: Ứng suất
phân bố đều, giá trị là .
+ Khi E1/E2 ≠ 1: Ứng suất phân bố phi tuyến, đạt lớn nhất tại
mặt dưới. Giá trị ứng suất lớn nhất này càng lớn khi E1/E2 càng nhỏ.
=
xz
0, 2121
s
xz
+ Khảo sát tìm được 1 vị trí trên chiều dày tấm mà tại đó ứng suất không thứ nguyên không phụ thuộc vào tỷ số E1/E2 và quan hệ kích thước hình học của tấm, chỉ phụ thuộc vào chỉ số tỷ lệ thể tích p. Trường hợp p = 2, vị trí đó được xác định tại z = + 0,0773h; s .
Hình 3.30. Ứng suất biến thiên theo chiều dày của tấm với các
tỷ số E1/E2 khi a/b =2, p=2
24
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3
- Với sự hỗ trợ của phần mềm Mathematica, tác giả luận văn đã khảo sát số các lớp bài toán. Kết quả tính theo nghiệm giải tích mà luận văn xây dựng được so sánh kiểm chứng với kết quả của một số tác giả đã công bố trong các tài liệu tham khảo cho thấy độ tin cậy của lời giải.
- Tác giả luận văn đã khảo sát ảnh hưởng các thông số đầu vào như chỉ số thể tích p, tỷ số kích thước hình học của tấm (a/h,a/b), tính dị hướng của vật liệu (E1/E2) đến độ võng và trường ứng suất trong tấm FGM.
KẾT LUẬN
Từ các nội dung đã thực hiện, có thể tóm tắt những kết quả mà luận văn đã đạt dược như sau:
- Đã tìm hiểu về một loại vật liệu mới có tiềm năng ứng dụng – vật liệu có cơ tính biến thiên (Functionally Graded Materials): tổng quan nghiên cứu và ứng dụng, tính chất cơ học của vật liệu.
- Dựa vào lý thuyết tấm bậc nhất của Reissner – Mindlin, áp dụng lời giải Navier, luận văn đã xây dựng nghiệm giải tích về chuyển vị, biến dạng, ứng suất cho tấm chữ nhật làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên chịu uốn, bốn biên tựa khớp.
- Đã viết chương trình tính toán số bằng phần mềm Mathematica nhằm khảo sát số các bài toán để đánh giá ảnh hưởng của chỉ số tỷ lệ thể tích p, tỷ số kích thước hình học của tấm (a/h, a/b), tính dị hướng của vật liệu (E1/E2) đến độ võng và trường ứng suất trong tấm FGM.
- Kết quả số cũng như các nhận xét, bình luận mà luận văn đưa ra là nguồn tham khảo đáng tin cậy cho những ai quan tấm đến lĩnh vực nghiên cứu phân tích ứng xử cơ học của kết cấu làm bằng vật liệu FGM.
