PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
“tailieumontoan.com”
Date
1.Bất đẳng thức Bunhiakôpxki:
Cho hai bộ số : ( a , b), (x , y) thì ta có: (ax + by)2
2 22 2
( )( )
a bx y
≤+ +
. Dấu ‘‘=’’ xảy ra
ab
xy
⇔=
2.Bất đẳng thức côsi:
a) Với hai số a, b
≥
0 thì ta có:
Dấu ‘‘=’’ xảy ra
ab
⇔=
b) Với ba số a, b, c
≥
0 thì ta có:
3
3
abc abc
++ ≥
Dấu ‘‘=’’ xảy ra
ab
⇔=
= c
3.GTLN,GTNN của biểu thức:
a/ A = m + f
2
(x)
≥
m
A m MinA m
⇒≥⇒ =
Dấu ''='' xảy ra
⇔
f(x) = 0
b/ A = M - g
2
(x)
≤
M
ax
A M MA M
⇒≤ ⇒ =
Dấu ''='' xảy ra
⇔
g(x) = 0
4. Dùng hằng đẳng thức :
Từ những đánh giá bình phương :
22
0
AB
+≥
, ta xây
dựng phương trình dạng
22
0
AB
+=
Từ phương trình
( ) ( )
22
5 12 95 2 1 0
xx x x
−− + − − + −=
ta khai triển ra có phương trình :
( )
2
4 12 1 4 5 1 9 5
x x xx x
+ + −= −+ −
5. Dùng bất đẳng thức
Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất
đẳng thức:
(1)
(2)
Am
Bm
≥
≤
nếu dấu bằng ở (1) và (2) cùng đạt được tại
0
x
thì
0
x
là
nghiệm của phương trình
AB
=
Nếu ta đoán trước được nghiệm thì việc dùng bất
đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng có nhiều bài nghiệm là vô tỉ
việc đoán nghiệm không được, ta vẫn dùng bất đẳng thức để
đánh giá được.
I. Lý thuyêt
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
Bài 1.
Giải phương trình :
41
2
41
xx
x
x
−
+=
−
Lợi giải
Điều kiện
1
4
x
>
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:
41 41
22
41 41
x x xx
xx
xx
−−
+≥ ⋅=
−−
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
2
2
41 4 10
41
( 2) 3 2 3
xx
xx
x
x
xx
−
= ⇔ − +=
−
⇔ − =⇔=±
Thử lại
23
x
= ±
thỏa mãn phương trình.
Vậy nghiệm của phương trình là:
23
x
= ±
Bài 2,
Giải PT:
2
32 1
7 11 25 12 3
22
x
xx x x
− + −= +−
Lời giải
Nếu
4
7
x
<
thì (1) Pt vô nghiệm.
Với
4
7
x
≥
, sử dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
( )
( )
( )
( )
32 2
22
7 11 25 12 7 4 3
74 3 1
3
2 22
x x x x xx
x xx xx
− + − = − −+
− + −+
≤ = +−
Dấu “=” xảy ra khi
2
37 4 1 7
xx x x x
−+= −⇔ =∨ =
Bài 3,
Giải phương trình:
1
2 2009 2010 ( )
2
x y z xyz
−+ + + − = ++
Lời giải
II. Bài tâp
Điều kiện:
2, 2009, 2010
xy z
≥ ≥− ≥
( ) ( ) ( )
222
1
2 2009 2010 ( )
2
2 2 2 2019 2 2010 0
2 1 2019 1 2010 1 0
210 3
2019 1 0 2018
2011
2010 1 0
x y z xyz
xyz x y z
xy z
xx
yy
z
z
−+ + + − = ++
⇔++− −− + − − =
⇔ −−+ + −+ − −=
− −= =

⇔ + −= ⇔ =−


=
− −=
Vậy phương trình có nghiệm (x, y, z) = (3 ; -2018; 2011)
Bài 4,
Giải phương trình :
( )
( )
2
3
)4 3 3 4 3 2 2 1
)13 1 9 1 0
)5 2 2 2 11 0
a x x xx x
bx x
cx x x
+ += ++ −
−+ +=
+ − +− =
Lời giải
a) Điều kiện:
1
2
x
≥
. Khi đó phương trình tương đương:
( )
( ) ( )
2
22
4 4 3 32122110
2 3 2 11 0
2 30
2 110
1
x xx x x x
xx x
xx
x
x
− ++ + + −− −+=
⇔ − + + −− =
− +=
⇔−−=
⇔=
b) Điều kiện:
1
x
≥
. Khi đó phương trình tương đương:
22
19
131191310
44
13
13 1 9 1 0
22
1
10 5
2
34
10
2
xx x x
xx
x
x
x

−− −+ + +− ++ =



⇔ −− + +− =


−− =
⇔ ⇔=
+− =
c) Điều kiện:
1
2
x
≥−
. Khi đó phương trình tương đương:
( )
( )
4
2
4
5 2122110
5 2 11 0
00
2 110
xx x
xx
xx
x
+ +− ++ =
⇔ + +− =
=
⇔ ⇔=
+−=
Vậy phương trình có nghiệm x = 0.
Bài 5, Giải phương trình :
22 2
3 6 7 5 10 14 4 2
x x x x xx
+ ++ + + =− −
(1)
Lời giải
(1) ⇔
22
49
3 21 5 21
35
xx xx

+ ++ + + ++


2
22 2
( 2 1) 5
3( 1) 4 5( 1) 9 5 ( 1)
xx
xx x
=− + ++
⇔ +++ ++=−+
Ta có: Vế trái ≥
4 9 235+ =+=
.
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = –1
Vế phải ≤ 5. Dấu “=” xảy ra ⇔ x = –1
Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = -1
Bài 6,
Giải phương trình
2
4 6 10 27
x xx x
−+ − = − +
Lời giải
Điều kiện
4 6.
x
≤≤
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
( )( )
4 6 11 46 2
x x xx
−+ − ≤ + −+− =
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi
5.
x
=
Ta sẽ chứng minh:
210 27 2,
xx
− +≥
thật vậy:
210 27 2
xx
− +≥
( )
2
50
x
−≥
, đúng với mọi
4;6
x
∈

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi
5.
x
=
Hay nói cách khác phương trình có nghiệm duy nhất
5.
x
=
Bài 7,
[Đại học Ngọi Thương, TP – HCM 1996]
Giải phương trình
2
2
11
2 24
xx
x
x

−+− =−+


Lời giải
2
2
2
2
11
2 24
11
2 24
xx
x
x
xx
xx

−+− =−+


⇔+−++−=
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
( )
2 22 2 2
22
2 22
2 11 2 2
11 11
2 11 2 2
xx x x
xx xx


+ − ≤ + +− =





+ − ≤ + +− =




Suy ra:
2
2
11
2 24
xx
xx
+−++−≤
Dấu “=” xảy ra khi x = 1.
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
Bài 8.
Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007):
22 9
1
xx
x
+=+
+
Lời giải
Điều kiện:
0
x
≥
. Theo BĐT Bunhiacopxki, ta được
( )
22
2
22 1
22 1 1
11
9
x
xx
x
xx
x




+ ≤ ++ +




+

++


= +
Dấu bằng
22 1 1
7
11
x
xx
⇔ = ⇔=
++
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là
1
7
x
=
.
Bài 9.
Giải pt :
24 24
13 9 16
xx xx
−+ +=
Lời giải
Điều kiện:
11
x
−≤ ≤
Biến đổi pt ta có :
()
2
22 2
13 1 9 1 256
xxx
−+ + =
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
()
( )
( ) ( )
2
22
22 2
13. 13. 1 3. 3. 3 1
13 27 13 13 3 3 40 16 10
xx
xx x
−+ +
≤ + − ++ = −
Theo bất đẳng thức Côsi:
( )
2
22
16
10 16 10 64
2
xx

−≤ =


Dấu bằng
2
2
22
2
1
15
32
10 16 10 5
x
x
x
x
xx
=
+
−=
⇔⇔
= −
= −
Bài 10.
Giải phương trình :
68
6
32
xx
+=
−−
Lời giải
Điều kiện:
2
x
<
.
Bằng cách thử, ta thấy
3
2
x
=
là nghiệm của phương
trình.
Ta cần chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Thật vậy:Với
3
2
x
<
:
62
3
x
<
−
và
84
2
x
<
−
⇒
68
6
32
xx
+<
−−
.
Tương tự với
32
2
x
<<
:
68
6
32
xx
+>
−−
Bài 11.
Giải phương trình :
( )
()()
( )
22
2124 44329 301
x xx x x
+++++++=
Lời giải
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
1 212 21 3 32 3 3
x x xx

⇔ + + + + =− +− +


Nhận thấy nếu
1
213 5
x xx
+=− ⇔ =−
thì các biểu
thức trong căn hai vế bằng nhau.
Vậy
1
5
x
= −
là nghiệm của phương trình (1).
Và điều kiện để Pt có nghiệm
1
5
x
≠−
là:
( )
2 10
30 10
2
2 10
30
x
xx
xloai
x
+>
−>
⇔− < <
+<
−<
Do đó nghiệm của nghiệm của (1) nằm trong khoảng
1;0
2

−


. Ta chứng minh
1
5
x
= −
là nghiệm duy nhất
của (1). Với
11
25
x
− < <−
ta có
3 2 10
xx
− > +>
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
()()
22
22
22
22
3 21
2 3 32 2 1 3
32 3 3 212 21 3
2124 44329 30
xx
xx
xx x x
x xx x x
⇒− > +
⇒+ − +>+ + +

⇒− + − + > + + + +


⇒+++++++<
nên (1) không có nghiệm trong
11
;
25

−−


. Chứng minh
tưng tự ta cũng đi đến (1) không có nghiệm trong
1;0
5

−


. Vậy
1
5
x
= −
là nghiệm duy nhất
Bài 12,
Giải phương trình :
3
43
16 5 6 4
x xx
+= +
Lời giải
a) Ta có:
( )
43 2
16 5 0 4 0 4 1 0 0
x x x xx x
+>⇒ +>⇔ + >⇔ >
Ta thấy
1
2
x
=
là nghiệm của phương trình.
Khi
1
2
x
=
thì
3
311
4 4. 1
22
xx

+= +=


. Từ những cơ sở
trên ta có lời giải như sau:
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
Áp dụng bất đẳng thức Cô -si:
( )
( )
333
3
33
6 4 2.3. 4 .1.1
2. 4 1 1 8 2 4
xx xx
xx x x
+= +
≤ + ++ = + +
Mặt khác ta có:
( )
( )
( )
2
43 2
16 58 24 214 210
x xx x xx
+− ++= − ++≥
Suy ra
VT VP
≥
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
( )
( )
22
3
2 14 2 10 1
2
41
x xx x
xx
− + +=
⇔=
+=
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
1
2
x
=
Bài 13,
Tìm nghiệm dương của phương trình :
()()
2005 2005
2 2 2006
1 1 1 12
xx xx
+− − + ++ − =
Lời giải
Điều kiện
2
1
10 1
x
xx
≥
−≥ ⇔
≤−
Gọi a là nghiệm dương của phương trình đó
1
a
≥
Ta có:
22
1 10,1 10
aa aa
+− −> ++ −>
()()
()()
( )
( )
( )
2005 2005
22
2005
22
2005
2005
2006
1 11 1
2 1 1.1 1
22 2
2 2.1 2
21
aa aa
aa aa
a
do a
⇒ +− − + ++ −

≥ +− − ++ −


= +
≥+
≥≥
Do đó:
()()
2005 2005
2 2 2006
1 1 1 12
xx xx
+− − + ++ − =
22
1 11 1 1
1
aa aa a
a
++ −=+− −
⇔ ⇔=
=
Vậy phương trình có nghiệm dương x = 1.
Bài 14,
Giải phương trình:
16 4 256
6 2 1750
6 2 1750 44
xyz
xyz
++
−−−
+ −+ −+ − =
Lời giải
ĐKXĐ:
6; 2; 1750.
xyz
>>>
16 4 256
6 2 1750
6 2 1750 44
xyz
xyz
++
−−−
+ −+ −+ − =
2
16 6 4
84
6 62 2
256 1750
32 0
1750 1750
y
x
x xy y
z
zz

−

−
⇔ −+ + −+


− −− −



−
+ −+ =

−−

44 2 2
16 8 6 6
62
256 2.16 1750 1750 0
1750
yy
xx
xy
zz
z


− −+−
− −+− 
⇔+



−−



− − +−
+=


−

( ) ( ) ( )
22 2
4 6 2 2 16 1750
0
6 2 1750
xy z
xy z
−− −− −−
⇔+ + =
−− −
Do
6; 2; 1750.
xyz
>>>
nên
4 60
2 20
16 1750 0
x
y
z
− −=
− −=
−− =
⇔
22
6
2006
x
y
z
=
=
=
Vậy phương trình có nghiệm x=22; y=6; z=2006
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
Bài 1.
Giải các phương trình:
22
2 2 6 81 3
xx xx
− + +− − −=+
. Đáp số: vô nghiệm
Bài 2.
Giải phương trình
22
3 12 13 2 8 12 3
x x xx
− ++ −+=
. Đáp số
2
x
=
.
Bài 3.
Giải phương trình:
( )
1
12
2
x y z xyz
+ −+ − = + +
. Đáp số (x, y, z) = (1, 2, 3)
Bài 4.
Giải phương trình: . Đáp số
1
x
= −
Bài 5.
Giải phương trình:
2
10 27 6 4
x x xx
− + = −+ −
. Đáp số:
5
x
=
Bài 6.
Tìm
;xy
thỏa mãn:
( )
24 4
x y y x xy
−+ − =
. Đáp số:
8
xy
= =
Bài 7.
Giải phương trình
22
22
55
30 6 6
xx
xx
−+ −=
. Đáp số
1
x
= ±
Bài 8.
Giải phương trình
2 22
1 12
xx xx xx
+−+− ++= −+
. Đáp số
1
x
=
Bài 9.
Giải phương trình
44 4
1 1 28
x xx x
+ −+ − −= +
Đáp số
1
2
x
=
Bài 10.
Giải phương trình
3
42 3
4 3 4 3 16 12
xx x x x
+ + += +
. Đáp số:
1
2
x
=
245223xx x+ += +
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗