intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chuyên đề Bất đẳng thức Toán lớp 10

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:53

Thêm vào BST
Báo xấu
13
lượt xem 4
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu thông tin đến các bạn và các em học sinh với 10 về Chuyên đề Bất đẳng thức; giúp các em học sinh củng cố, rèn luyện kiến thức hỗ trợ cho học tập môn Toán lớp 10. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Bất đẳng thức Toán lớp 10

  1. Chuyên đề: Bất đẳng thức A.Tóm tắt lý thuyết I. Định Nghĩa. a 0 ac a >c 3. Tính chất đơn điệu của phép cộng (liên hệ giữa thứ tự và phép cộng). a >b a+c >b+c a >b a −c > b −c 4. Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều, ta được bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. a >b  a + c >b + d c >d 5. Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều ta được bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ. a >b  a − c >b − d . cb a.m > b.m (m > 0) a >b a.m < b.m (m < 0) Chú ý: Phép chia tương tự phép nhân . 1
  2. Chuyên đề: Bất đẳng thức a b a >b > (m > 0) m m a b a >b < (m < 0) m m 7.Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều, mà các vế đều không âm a >b 0  a.c >b.d c >d 0 8. Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dương. (n N *) a > b > 0 a n > bn a >b a 2n+1 >b 2n+1 a>b a 2 n > b2n 9. So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số. Với m > n >0 thì a >1 : am > an 0 < a b, a
  3. Chuyên đề: Bất đẳng thức 1. a2 0 ; − a2 0 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 0. 2. a 0 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 0. 3. − a a a Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 0. 4. a +b a + b Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b 0 . a.b 0 5. a −b a − b Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a>b Chú ý: Các tính chất trên áp dụng cho cả biểu thức. a b 6. + 2 b a IV. Một số bất đẳng thức quen thuộc. 3
  4. Chuyên đề: Bất đẳng thức 1.Bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm. a +b a,b 0 ta có a.b a +b 2 a.b . 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a =b 2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai cặp số. ( ax+by ) ( a +b ) ( x + y ) 2 2 2 2 2 a b Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi = x y a 2 + b2 2ab. ( a +b ) 4ab. 2 3. a 2 +b 2 + c 2 ab +bc + ca. 2 a 2 +b 2 a +b 4. Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a =b 2 2 4 a 4 +b 4 a +b Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a =b 2 2 3 a 3 +b 3 a +b Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a =b 2 2 2 a +b + c 2 2 2 a +b + c Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a =b = c . 3 3 6. a4 + b4 + c4 abc ( a +b + c ) 7. a8 + b8 + c8 a 2b2c2 ( ab +bc + ca ) 1 1 8. Với a,b 0 : Nếu a >b thì < a b 4
  5. Chuyên đề: Bất đẳng thức 9. Với a,b cùng dấu ta có: a + b 2 Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a =b . b a 1 1 4 10. + Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a = b > 0 a b a +b 1 1 Hay: ( a+b ) . + 4. a b 1 4 11. Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a =b >0. ab ( a +b ) 2 a 1 12. Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a = 1. a2 + 1 2 13. Với x > y > 0 .Ta Có y y 2y 2y < = < . x + y x 2x x + y 1 1 1 14. ( a + b + c) . + + 9 . ( a , b, c > 0 ) . a b c Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a =b =c . a a c 3 15. + b+c c+a a+b 2 + ( a , b, c > 0 ) . B. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức I.Ph¬ng ph¸p dïng §Þnh nghÜa 5
  6. Chuyên đề: Bất đẳng thức Để chứng minh A > B Ta chứng minh A − B > 0 hoặc B − A < 0 Ví dụ1: 1 1 Cho a, b > 0 và a > b Chứng minh: < a b Lời giải: 1 1 b−a Ta có: − = Vì a, b > 0 ab > 0 , Mặy khác a > b b−a 0 a b ab a b 1 1 Tương tự như trên ta có thể xét − . b a Ví dụ2: Chứng minh: 2 ( a2 + b2 ) ( a + b ) 4ab . 2 a. 3( a2 + b2 + c2 ) ( a + b + c ) . 2 b. Lời giải: a. Ta chứng minh 2 a + b ( 2 ) ( a + b) 2 2 2( a + b ) − ( a + b) = ( a − b) 2 2 2 2 0 ( Vậy 2 a + b 2 2 ) ( a + b) 2 . Đẳng thức xảy ra a=b . Ta chứng minh ( a + b ) 2 4ab Ta có ( a + b ) − 4ab = ( a − b ) 2 2 0 Vậy ( a + b ) 2 4ab . Đẳng thức xảy ra a=b ( Vậy 2 a + b 2 2 ) ( a + b) 2 4ab . Đẳng thức xảy ra a=b b. Ta có 3( a + b + c ) − ( a + b + c) = ( a − b) + ( b − c) + ( c − a ) 2 2 2 2 2 2 2 0 Vậy 3 ( a + b + c ) ( a + b + c ) Đẳng thức xảy ra 2 2 2 2 a=b=c Ví dụ3: Chứng minh: ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3) ( x − 4 ) −1 . Lời giải: 6
  7. Chuyên đề: Bất đẳng thức Ta xét A = ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3) ( x − 4 ) + 1 = ( x − 1) ( x − 4 ) ( x − 2 ) ( x − 3) + 1 = ( x2 − 5x + 4 ) ( x2 − 5x + 6) + 1 Đặt X = x2 − 5x + 4 x2 − 5x + 6 = X + 2 Ta có A = X ( X + 2 ) + 1 = X 2 + 2X +1 = ( X + 1) 2 0 Đẳng thức xảy ra X = −1 hay x − 5 x + 4 = −1 2 5+ 5 5− 5 x1 = , x2 = 2 2 Vậy ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3) ( x − 4 ) −1 5+ 5 x1 = 2 Đẳng thức xảy ra 5− 5 x2 = 2 Ví dụ4: 3 a 3 + b3 a+b Cho a, b > 0 Chứng minh . 2 2 3 a 3 + b3 a+b Lời giải: Xét hiệu − 2 2 a + b a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 3 3 = − 2 8 3a 3 − 3a 2b + 3b3 − 3ab 2 = 8 7
  8. Chuyên đề: Bất đẳng thức 3 2 = a ( a − b ) − b2 ( a − b ) 8 3 = ( a + b) ( a − b) 2 8 3 ( a + b) ( a − b) 2 Vì a, b > 0 a + b > 0 0 8 Đẳng thức xảy ra a −b = 0 a=b 3 Vậy với a, b > 0 thì ( a + b ) ( a − b ) 2 0 8 Đẳng thức xảy ra a=b Ví dụ5: Chứng minh : a 4 + b 4 a 3b + ab3 Lời giải: Xét hiệu a 4 + b 4 − ( a 3b + ab3 ) = a 4 − a 3b + b 4 − ab3 = a 3 ( a − b ) − b3 ( a − b ) = ( a − b ) ( a 3 − b3 ) = ( a − b) 2 (a 2 + ab + b 2 ) 2 b 3b 2 = ( a − b) 2 a+ + 0 2 4 Vậy a 4 + b 4 a 3b + ab3 Đẳng thức xảy ra a=b II.Ph¬ng ph¸p BiÕn §æi t¬ng ®¬ng Để chứng minh A > B ta biến đổi A > B A1 > B1 A2 > B2 ... An > Bn bất đẳng thức cuối cùng đúng, các pháp biến đổi là tương đương suy ra bất đẳng thức ban đầu đúng. Ví dụ6: chứng minh các bất đẳng thức sau; 8
  9. Chuyên đề: Bất đẳng thức a. a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca 2 a +b +c 2 2 2 a+b+c b. 3 3 Lời giải: a. a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 ( ab + bc + ca ) ( a − b) + ( b − c) + ( c − a) 2 2 2 0 Luôn đúng suy ra a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca . a=b Đẳng thức xảy ra b=c a=b=c c=a 2 a 2 + b2 + c 2 a+b+c b. 3 3 a 2 + b 2 + c 2 a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca ۳ 3 9 ... ( a − b) + ( b − c) + ( c − a) 2 2 2 0 2 a 2 + b2 + c2 a+b+c Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng 3 3 Đẳng thức xảy ra a=b=c Ví dụ7: Cho a, b > 0 sao cho a + b = 1 Chứng minh 1 1 1+ 1+ 9 a b 1 1 Lời giải: Ta có 1+ 1+ 9 a b 9
  10. Chuyên đề: Bất đẳng thức 1 1 1 1+ + + 9 b a ab 1 1 1 + + 8 b a ab a + b +1 ۳ 8 ab ۳ 1 4ab ( a + b) 2 4ab ( a + b) = 1 ( a − b) 2 0 Bất đẳng thức cuối luôn đúng Bất đẳng thức đã cho đúng. Vậy a, b > 0 1 1 và a + b = 1 Thì 1 + 1+ 9. a b 1 Đẳng thức xảy ra a=b= 2 a2 + 2 Ví dụ8: Chứng minh bất đẳng thức . 2 a +1 2 Lời giải: Vì a 2 + 1 > 0 Nên a2 + 2 2 a2 + 2 2 a2 + 1 a2 + 1 a2 + 1 − 2 a2 + 1 + 1 0 (2 ) 2 a +1 −1 2 0 Bất đẳng thức cuối đúng Bất đẳng thức đã cho đúng. Đẳng thức xảy ra a2 + 2 a +1 =1 2 a = 0 . Vậy 2 . Đẳng thức xảy ra a = 0. a +1 2 Chú ý: (Có thể áp dụng bất đẳng thức Cosi) a2 b2 Ví dụ9: Cho a, b > 0 . Chứng minh. + a+ b b a Lời giải: Ta có 10
  11. Chuyên đề: Bất đẳng thức a2 b2 + a+ b b a a b + a+ b b a a a +b b a b +b a a ( a − b −b ) ( a− b ) 0 ( a − b) ( a− b ) 0 ( )( ) 2 a+ b a− b 0 Bất đẳng thức đúng mà các phép biến đổi là tương đương nên bất đẳng thức đã cho đúng. Dấu “=” xảy ra a = b. a2 b2 Vậy với a, b > 0 thì + a+ b Dấu “=” xảy ra a = b. b a a+ b a+b Ví dụ10: cho a, b > 0 , a b Chưng minh . < 2 2 Lời giải: Ta có a+ b a+b < 2 2 a + b + 2 ab a + b < 4 2 ( ) 2 a + b − 2ab > 0 a− b >0 ( *) (*) Đúng vì a b , các phép biến đổi trên là tương đương nên bất đẳng thức đã cho đúng . a+ b a+b Vậy với a, b > 0 , a < b Ta có . 2 2 ( a − b) 2 Ví dụ11: Cho a > b > 0 Chứng minh: a + b − ab < . 2 8b Lời giải: Ta có 11
  12. Chuyên đề: Bất đẳng thức ( a − b) 2 a+b − ab < 2 8b ( ) 4b a + 2 ab + b > 4b a + 2 ab > 3b Vì a > b > 0 a + 2 ab > b + 2 b.b = 3b Vậy a + 2 ab > 3b Các phép biến đổi trên là tương đương , bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bất đẳng thức đã cho đúng. ( a − b) 2 Vậy a > b > 0 Thì a+b − ab < 2 8b ( a − b) 2 Chú ý: Nếu a b > 0 Thì a + b − ab . 2 8b x6 y 6 Ví dụ12: Cho x, y 0 chứng minh x + y + 4 4 y 2 x2 Hướng dẫn: Làm như ví dụ 9. III.Sö dông tÝnh chÊt cña bÊt ®¼ng thøc. 1 Ví dụ13: Cho a + b > 1 Chứng minh a + b > 4 4 8 a 2 + 2ab + b 2 > 1  1 Lời giải: Ta có 2 ( a 2 + b2 ) > 1 a 2 + b2 > a 2 − 2ab + b 2 0 2 Mặt khác: 1 a 4 + 2a 2b 2 + b 4 > 1 4 a4 + b4 > 8 a 4 − 2a 2 b 2 + b 4 0 12
  13. Chuyên đề: Bất đẳng thức 1 Vậy a + b > 0 Thì a + b > 4 4 8 Ví dụ14: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh : a + b + c < 2 ( ab + bc + ca ) . 2 2 2 Lời giải: Theo bất đẳng thức trong tam giác ta có: a+b >c c ( a + b) > c2 ac + bc > c 2 (1) a+c>b ab + bc > b 2 (2) Tương tự như trên ta có b+c>a ab + ac > a 2 (3) Cộng từng vế của ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được. a 2 + b 2 + c 2 < 2 ( ab + bc + ca ) . Ví dụ15: chưng minh: 2 + 2 + 2 + ... 2 + 2 < 2 (n dấu ) Lời giải: Ta có 2 + 2 + ... + 2 + 2 < 2 + 2 + ... + 2 + 4 (n dấu ) 2 + 2 + ... 2 + 2 < 2 Ví dụ16: Cho a, b > 0 a 3 + b3 = a − b Chưng minh: a 2 + b 2 + ab < 1 . Lời giải: Vì a, b > 0 a 3 + b3 > 0 a−b > 0 Ta có a3 + b3 > a 3 − b3 a 3 + b3 > ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) a − b > a − b ( a 2 + ab + b 2 ) a 2 + ab + b 2 < 1 Vậy với a, b > 0 & a 3 + b3 = a − b Thì a 2 + b 2 + ab < 1 . Ví dụ17: Cho a, b, c > 0 chứng minh: ( a + b ) c + ( b + c ) a + ( c + a ) b 6abc 2 2 2 2 2 2 13
  14. Chuyên đề: Bất đẳng thức Lời giải: Ta có a + b 2 2 2ab (a 2 + b2 ) c 2abc (1) Tương tự ta có (b 2 + c2 ) a 2abc (2) (c 2 + a2 ) b 2abc (3) Cộng từng vế của các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được: (a 2 + b 2 ) c + ( b 2 + c 2 ) a + ( c 2 + a 2 ) b 6abc IV.ph¬ng ph¸p ph¶n chøng Ta cần chứng minh A > B ta giả sử ngược lại là A B rồi biến đổi dẫn đến điều vô lý, hoặc trái với giả thiết, như vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ18: Cho a 2 + b 2 2 chứng minh a + b 2 Lời giải: Ta giả sử a + b > 2 a 2 + 2ab + b 2 > 4 (1) Ta lại có a 2 − 2ab + b 2 > 0 (2) Từ (1), (2) ta có a + b( 2 2 ) >4 a 2 + b 2 > 2 Trái với giả thiết là a2 + b2 2. a 2 + b2 = 2 Vậy a + b 2 dấu “=” xảy ra a = b = 1. a+b = 2 Ví dụ19: Cho a 3 + b3 = 2 Chứng minh: a + b 2 Lời giải: Giả sử 14
  15. Chuyên đề: Bất đẳng thức a+b > 2 a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 > 8 3ab ( a + b ) > 6 ab ( a + b ) > 2 ab ( a + b ) > ( a + b ) ( a 2 − 2ab + b 2 ) ( a + b) ( a − b) < 0 2 ( a − b) < 0 2 Vì a + b > 2 Điều này vô lí. Vậy điều ta giả sử là sai. Vậy với a 3 + b3 = 2 thì a + b 2 dấu “=” xảy ra a = b = 1. Ví dụ20: Chứng minh rằng không có ba số dương a, b, c nào thoả mãn đồng thời cả ba bất đẳng thức sau: a. 4a (1 − b) > 1 b. 4b(1 − c) > 1 c. 4c(1 − a ) > 1 Lời giải: Giả sử các số dương a, b, c đều thoa mãn đồng thời cả ba bất đẳng thức 4a (1 − b)4b(1 − c)4c(1 − a ) > 1 trên thì ta có: 4a (1 − a )4b(1 − b)4c(1 − c) > 1 (1) Mặt khác ta có: 4a (1 − a ) = −4a 2 + 4a = −4a 2 + 4a − 1 + 1 = 1 − (2a − 1) 2 1 Tương tự như vậy ta có: 4b(1 − b) 1 4c(1 − c) 1 do đó ta có 4a (1 − a )4b(1 − b)4c(1 − c) 1 (2) Vì (1) mô thuẫn với (2) nên điều giả sử là sai. Vậy không có ba số dương a, b, c nào thoả mãn đồng thời ba bất đẳng thức. 15
  16. Chuyên đề: Bất đẳng thức a. 4a (1 − b) > 1 b. 4b(1 − c) > 1 c. 4c(1 − a) > 1 IV.ph¬ng ph¸p sö dông bÊt ®¼ng thøc ®· biÕt. Các bất đẳng thức quan trọng là: 1. Bất đẳng thức Cosi 2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki 3. Các bất đẳng thức khác. a+b a=b. 1 1 4 + (a + b) > 0. a b a+b a b c 3 + + (a, b, c) > 0 b+c c+a a+b 2 Ví dụ21: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1 1 a. (a + b)( + ) 4. a b 1 1 1 b. (a + b + c)( + + ) 9. a b c Lời giải: a.Ta có 1 1 a b (a + b)( + ) = 1 + + + 1. a b b a a b =2+ + b a a b Vì a, b, c > 0 nên ta áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số + Ta được: b a 16
  17. Chuyên đề: Bất đẳng thức 1 1 a b a a (a + b) + = 2+ + 2+2 . b a b a b b = 2+2= 4 1 1 Vậy (a + b)( + ) 4. Dấu “=” xảy ra a = b. a b b. Ta có 1 1 1 (a + b + c)( + + ) a b c a a b b c c = 1+ + + +1+ + + +1 b c a c a b a b b c a c = 3+ + + + + + b a c b c a Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta được 1 1 1 a b b c a c ( a + b + c) + + 3 + 2. . + 2. . + 2. . a b c b a c b c a 1 1 1 ( a + b + c) + + 9 a b c a b = b a a b Dấu “=” xảy ra = a = b = c. b a b c = c b 1 1 1 Vậy với a, b, c > 0 thì (a + b + c )( + + ) 9. a b c Dấu “=” xảy ra a =b = c. Chú ý: Các bất đẳng thức trên còn viết dướ dạng với a, b, c > 0 thì 1 1 4 . + a b a+b 1 1 1 9 . + + a b c a +b+c 17
  18. Chuyên đề: Bất đẳng thức a 2 + b2 Ví dụ22: Cho a, b > 0; a > b; a.b = 1 Chứng minh =2 2. a −b Lời giải: Ta có a 2 + b 2 ( a − b ) + 2ab 2 = a −b a −b ( a − b) 2 +2 = a −b 2 = a −b+ a−b VÌ a > b a − b > 0 áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có a 2 + b2 2 2. ( a − b) =2 2. a −b a −b Dấu “=” xảy ra a − b = 2 .Vậy a > b > 0 & a.b = 1 thì a 2 + b2 2 2 Dấu bằng xảy ra a −b = 2. a −b Ví dụ23: a.Chứng minh bất đẳng thức ( ax+by ) 2 (a 2 + b2 ) ( x 2 + y2 ) 4 b.Cho x + y + z = 2 Chứng minh x + y + z 2 2 2 3 Lời giải: a. Ta có ( ax+by ) 2 (a 2 +b 2 ) ( x 2 +y 2 ) ۣ a 2 x 2 +2axby+b 2 y 2 a 2 x 2 + a 2 y2 + b2 x 2 + b2 y2 a 2 y 2 − 2axby+b 2 x 2 0 ( ay-bx ) 2 ۳ 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng, các phép biến đổi là tương đương nên ( ax+by ) 2 (a 2 + b2 ) ( x 2 + y2 ) a b Dấu “=” xảy ra bx = ay = . x y b.Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 18
  19. Chuyên đề: Bất đẳng thức ( x + y + z) 2 (1 +1 +1 ) ( x 2 2 2 2 + y2 + z2 ) 3( x2 + y 2 + z ) ( x + y + z) 2 2 4 x2 + y 2 + z 2 3 2 Dấu bằng xảy ra x= y=z= Vậy với x + y + z = 2 thì 3 4 x2 + y2 + z 2 . 3 Ví dụ24: Chứng minh ; a. a + b a+b b. x + 2005 + x + 2006 1 Lời giải: a. Ta có a+b a+b a 2 + 2 a b + b2 a 2 + 2ab + b 2 ۳ a.b a.b Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng a+b a+b Dấu “=” xảy ra ۳ a.b 0 b. Áp dụng bất đẳng thức a + b a + b Ta được : x + 2005 + x + 2006 = −2005 − x + x + 2006 −2005 − x + x + 2006 = 1 Dấu “=” xảy ra 19
  20. Chuyên đề: Bất đẳng thức ( − x − 2005) ( x + 2006 ) 0 ( x + 2005) ( x + 2006 ) 0 x + 2006 0 x + 2005 0 −2006 x −2005 Vậy x + 2005 + x + 2006 1 Dấu “=” xảy ra −2006 x −2005 . x2 y 2 y x Ví dụ25: Cho x, y 0 Chứng minh bất đẳng thưc sau: + + (1) y 2 x2 x y Lời giải: Nếu x, y trái dấu bất đẳng thực(1) luôn đúng. Nếu x, y cùng dấu theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : 2 x y x2 y2 + ( 1 + 1) + y x y 2 x2 2 x y + x2 y2 y x + y 2 x2 2 Ta chứng minh 2 x y + y x x y + 2 y x Vì x, y cùng dấu nên x y x y + 2 . y x y x x y + y x 2 x y x y + + y x y x x y ۳ 1۳ + 2 2 y x Dấu “=” xảy ra x= y 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2