Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Hướng dẫn học sinh lớp 10 sử dụng phương pháp Hình học để giải một số bài toán chứng minh bất đẳng thức Đại số
lượt xem 3
download
Mục đích nghiên cứu của đề tài nhằm góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy, học tập ở trường THPT. Giúp học sinh mở mang được kiến thức và khắc phục được thói quen, phương thức tư duy một vấn đề. Tạo cho học sinh khả năng nhìn nhận, chuyển đổi bài toán Đại số sang Hình học. Từ đó phát triển được tư duy linh hoạt và khả năng sáng tạo Toán học cho học sinh.
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Hướng dẫn học sinh lớp 10 sử dụng phương pháp Hình học để giải một số bài toán chứng minh bất đẳng thức Đại số
- SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT BÌNH XUYÊN ===***=== BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên sáng kiến: ‘HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 10 SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ’ Tác giả sáng kiến: Trương Thị Việt Hồng Mã sáng kiến: 31.52.04 Vĩnh Phúc, năm 2018
- MỤC LỤC Mục lục…………………………………………………..…………...……….3 Danh mục các chữ viết tắt…………………………………..………………....5 1. Lời giới thiệu .................................................................................................... 6 2. Tên sáng kiến: .................................................................................................. 8 3. Tác giả sáng kiến: ............................................................................................ 8 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: . ........................................................................ 9 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: . ........................................................................ 9 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: .......................... 9 7. Mô tả bản chất của sáng kiến: ....................................................................... 9 I. Nội dung, biện pháp thực hiện:…………………………...…….……...9 CHƯƠNG I: Cơ sở khoa học của sáng kiến…………….........…….…..9 §1. Cơ sở Toán học………………………………………........……......9 §2. Cơ sở thực tiễn…………………………………………....……….12 CHƯƠNG II: Dùng các phương pháp Hình học để chứng minh một số bất đẳng thức Đại số………………………………………………............... …14 I. Phương pháp tọa độ………………………………………....………...14 II. Phương pháp véctơ................................................................................21 III. Phương pháp diện tích.........................................................................26 IV. Phương pháp đồ thị..............................................................................29 V. Phương pháp sử dụng định lí cosin trong tam giác...............................31 CHƯƠNG III. Thực nghiệm sư phạm……………………………………34 II. Kết luận.................................................................................................35 III. Tài liệu tham khảo..............................................................................36 8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có):. ................................. ...........37 9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến. ........................................... 37 10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau: 10.1 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả: .......................................................................... 37 3
- 10.2 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân: ..................................................... …37 11. Danh sách những tổ chức/ cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): ............................................................................... 38 4
- DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT BĐT Bất đẳng thức CMR Chứng minh rằng CĐ Cao đẳng đpcm Điều phải chứng minh ĐH Đại học GTLN Giá trị lớn nhất GTNN Giá trị nhỏ nhất SGK Sách giáo khoa THPT Trung học phổ thông THPTQG Trung học phổ thông quốc gia VP Vế phải VT Vế trái 5
- BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 1. Lời giới thiệu Hình học là môn học có vị trí quan trọng trong chương trình Toán THPT, nó đóng vai trò rất lớn trong việc phát triển, rèn luyện tư duy và khả năng quan sát cho học sinh. Tuy nhiên đa phần học sinh thường chỉ giải các bài toán Hình học thuần túy hoặc chỉ quan tâm đến vấn đề sử dụng các phương pháp trong phạm vi Hình học mà ít nghĩ đến việc vận dụng các phương pháp Hình học để giải các bài toán Đại số. Việc nhìn nhận một vấn đề Toán học dưới nhiều khía cạnh, phương diện khác nhau là điều rất cần thiết cho người học Toán. Học sinh ở trường THPT thường có thói quen tách bạch kiểu “Đại số” và “Hình học” chứ chưa nhìn thấy mối quan hệ giữa chúng. Rất nhiều học sinh đã bị ảnh hưởng của phương pháp cũ khá sâu nên khó bứt ra khỏi sự ràng buộc của thói quen tư duy cũ để mở ra hướng suy nghĩ mới. Thói quen tâm lí là một trở ngại thường gặp trong việc học tập của học sinh. Nguyên nhân hình thành do nhiều mặt, trong đó nguyên nhân chủ yếu là tư duy của học sinh có tính phương hướng. Một loạt kiến thức hoặc phương hướng nào đó dùng nhiều lần, ấn tượng lâu rồi sẽ thành thói quen tâm lí. Do vậy dùng phương pháp Hình học để giải một số bài toán đại số sẽ góp phần giúp học sinh xóa bỏ được thói quen đó. Trong Toán học, bất đẳng thức là một nội dung rất khó. Các vấn đề liên quan đến bất đẳng thức là một phần quan trọng của Đại số và Giải tích. Nhiều bài toán của Hình học, Lượng giác và nhiều môn học khác cũng đòi hỏi giải quyết các vấn đề về ước lượng, cực trị, tối ưu…Giáo viên và học sinh ở trường THPT cũng 6
- thường phải đối mặt với nhiều dạng toán khó liên quan đến bất đẳng thức và cực trị. Trong hầu hết các đề thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi tỉnh, thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic Toán khu vực và quốc tế, các bài toán bất đẳng thức cũng hay được đề cập và thường là những bài thuộc loại khó hoặc rất khó. Lí thuyết bất đẳng thức và đặc biệt các bài tập về bất đẳng thức rất phong phú và rất đa dạng. Hàng trăm tài liệu, chuyên khảo về bất đẳng thức được khai thác dưới nhiều chủ đề và các quan điểm phân loại khác nhau. Tuy nhiên thực trạng dạy học bất đẳng thức ở trường THPT còn gặp rất nhiều khó khăn, kết quả chưa được tốt. Việc dạy chuyên đề này cho học sinh ở THPT chưa được đầu tư đúng mức. Học sinh chưa nắm được các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, các bất đẳng thức quen thuộc (Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, bất đẳng thức Cauchy – Schwarz). Cho nên việc áp dụng vào các bài tập là rất khó khăn. Học sinh chưa biết vận dụng lí thuyết vào giải các bài tập toán. Giáo viên cũng chưa khái quát được cho học sinh mỗi dạng toán cần phải làm như thế nào mà vẫn chỉ quan tâm việc đưa ra nhiều bài tập có thể và trình bày lời giải hoặc chỉ hướng dẫn một cách qua loa vì đây là một chuyên đề tương đối khó và thời lượng theo phân phối chương trình rất hạn chế dù được học thêm trong chủ đề tự chọn. Trong việc dạy học chứng minh bất đẳng thức, thường thì giáo viên chỉ cung cấp một số tính chất cơ bản, bất đẳng thức giữa giữa trung bình cộng và trung bình nhân, bất đẳng thức Cauchy – Schwarz…mà không dạy được thấu đáo cho học sinh cách vận dụng những nội dung lí thuyết đó vào các bài toán. Qua tìm hiểu một số giáo viên ở nhiều trường THPT trong tỉnh, chúng tôi được biết về tình hình giảng dạy chuyên đề bất đẳng thức gặp rất nhiều khó khăn, chẳng hạn như: 7
- +) Bản thân nhiều giáo viên cũng chưa có kiến thức vững vàng và thành thạo về bất đẳng thức nên có tâm lí e ngại khi dạy nội dung này vì trong các kì thi, câu bất đẳng thức thường là rất khó. +) Thời lượng chương trình dành cho nội dung này rất ít (chỉ 2 tiết gồm cả luyện tập) nên không có điều kiện để đi sâu thêm về chủ đề này. +) Các tài liệu tham khảo rất lớn nhưng khả năng chắt lọc được số lượng tối thiểu các bài toán mà lại bao quát được nhiều hiện tượng thường gặp trong các kì thi là điều rất khó. Chứng minh bất đẳng thức đại số là một phần khó học, khó làm với hầu hết học sinh phổ thông bởi nó có đặc thù là nó đòi hỏi sự suy luận, khả năng phân tích, đánh giá, tổng hợp cao.Vì thế, học sinh rất ngại học phần này. Nhưng nếu biết sử dụng những kiến thức Hình học đơn giản hơn mà các em đã được học để nhằm giải quyết một số dạng toán chứng minh bất đẳng thức Đại số thì sẽ tạo hứng thú và niềm đam mê của các em học sinh. Chính vì vậy, tôi quyết định chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 10 sử dụng phương pháp Hình học để giải một số bài toán chứng minh bất đẳng thức Đại số” Việc chọn đề tài này nhằm mục đích: - Góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy, học tập ở trường THPT. - Giúp học sinh mở mang được kiến thức và khắc phục được thói quen, phương thức tư duy một vấn đề. - Tạo cho học sinh khả năng nhìn nhận, chuyển đổi bài toán Đại số sang Hình học. Từ đó phát triển được tư duy linh hoạt và khả năng sáng tạo Toán học cho học sinh. 2. Tên sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh lớp 10 sử dụng phương pháp Hình học để giải một số bài toán chứng minh bất đẳng thức Đại số” 3. Tác giả sáng kiến: Trương Thị Việt Hồng 8
- 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Trương Thị Việt Hồng 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học 10 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 28/03/2018. 7. Mô tả bản chất của sáng kiến: I. NỘI DUNG SÁNG KIẾN Chương I. CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA SÁNG KIẾN Khi các kí hiệu Đại số được đưa vào sử dụng rộng rãi thì không chỉ bộ môn Đại số phát triển nhanh chóng mà những ngành Toán học liên quan cũng phát triển không kém. Chúng được Đại số hóa ở mức độ cao, đặc biệt là bộ môn Hình học. Sự kiện Descartes phát minh ra phương pháp tọa độ đã tạo ra bước đột phá mới cho Toán học: Hình học giải tích được hình thành và phát triển rực rỡ. Từ đây, có thể nói Hình học và Đại số đã có một bước tiến mới trong việc phát triển tương hỗ lẫn nhau. Người ta có thể nghiên cứu Hình học bằng công cụ Đại số và những bài toán có bản chất Hình học được ngụy trang dưới lớp vỏ Đại số cũng được khéo léo đưa về giải quyết bằng phương pháp Hình học. Ở mức độ Toán học phổ thông chúng ta có thể thấy được điều đó mà nội dung trong đề tài này là một ví dụ. §1. CƠ SỞ TOÁN HỌC Nhà toán học nổi tiếng người Mỹ Peter Hilton đã từng nói: “Toán học là một suy nghĩ có hệ thống, nương nhờ một ngôn ngữ và kí hiệu một cách đẹp đẽ. Nó được đặc trưng bởi sự phát triển và sáng tạo những mô hình và sự thiết lập những mối quan hệ tinh tế giữa các bộ phận bề ngoài rất khác nhau của nó. Nó không phải là tập hợp những bộ môn khác nhau mà là một thể thống nhất có chứa chấp một kho tàng khái niệm và kĩ thuật khác nhau nhưng liên quan với nhau…”. Trong chương 9
- trình Toán THPT chúng ta cũng có thể nhìn nhận được mối quan hệ giữa Hình học và Đại số tuy bề ngoài chúng rất khác nhau. Trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy, ta có thể thiết lập ánh xạ f gán mỗi điểm M trong mặt phẳng tọa độ đó với một bộ số (x; y) hoặc ánh xạ g gán mỗi vectơ u với một bộ số (x’; y’). Khi đã có sự thiết lập trên thì độ dài đoạn thẳng AB có thể biểu diễn dưới dạng biểu thức Đại số như sau: Với hai điểm A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) ta có AB ( x2 - x1 )2 ( y2 - y1 )2 . Từ các bất đẳng thức Hình học và vectơ: a) AB BC AC ( A, B, C là ba điểm bất kì) b) u v u v thì bằng việc gắn các điểm A(a1; a2 ), B(b1; b2 ), C (c1; c2 ) hoặc u(a1 b1; a2 b2 ), v(b1 c1; b2 c2 ) ta có bất đẳng thức Đại số tương ứng: (a1 b1 )2 (a2 b2 )2 (b1 c1 )2 (b2 c2 ) 2 (a1 c1 ) 2 (a2 c2 ) 2 Hoặc là, với bất đẳng thức Cauchy – Schwartz phát biểu cho hai bộ số (a1; a2 ),(b1; b2 ) : (a12 a22 )(b12 b22 ) (a1b1 a2b2 )2 sẽ có một kết quả tương ứng trong Hình học. Thật vậy, từ định nghĩa tích vô huớng của hai vectơ và để ý rằng cos(u, v) 1 , ta có bất đẳng thức: u.v u v (*) Khi đó, nếu xét u(a1; a2 ), v(b1; b2 ) thì (*) chính là bất đẳng thức Cauchy – Schwartz. Ta xét một số thí dụ minh họa: Thí dụ 1. Chứng minh rằng với mọi số thực x, y ta luôn có: x 2 4 y 2 6 x 9 x 2 4 y 2 2 x 12 y 10 5 Lời giải: 10
- Nhận xét: Bất đẳng thức đã cho tương đương với ( x 3)2 (2 y)2 (1 x)2 (3 2 y) 2 5 Xét các vectơ u ( x 3;2 y), v (1 x;3 2 y) u v (4;3) u v 5 Khi đó bất đẳng thức đã cho trở thành: u v u v (luôn đúng) điều phải chứng minh. Thí dụ 2. Chứng minh rằng với mọi số thực x ta luôn có: x2 x 1 x2 x 1 1 Lời giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương với 2 2 1 3 1 3 2 2 x x 1 2 2 2 2 1 1 3 Xét các điểm: A ;0 , B ;0 , M x; thì bất đẳng thức đã cho 2 2 2 chính là: AM BM AB (luôn đúng) điều phải chứng minh. Thí dụ 3. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, x, y ta luôn có: ax by a 2 b 2 . x 2 y 2 Lời giải: Xét các vectơ u (a; b), v ( x; y) thì bất đẳng thức đã cho chính là: u v u.v (luôn đúng) điều phải chứng minh. 11
- §2. CƠ SỞ THỰC TIỄN Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao đã đưa ra định nghĩa bất đẳng thức, những tính chất cơ bản và các hệ quả của chúng. Cụ thể: Định nghĩa: Giả sử a, b là hai số thực. Các mệnh đề " a b"," a b"," a b"," a b" được gọi là những bất đẳng thức. Tính chất: a b và b c a c a bacbc Nếu c 0 thì a b ac bc Nếu c 0 thì a b ac bc Từ đó ta có các hệ quả sau: a b và c d a c b c ac b a bc a b 0 và c d 0 ac bd a b 0 và n N * a n b n ab0 a b a b 3 a 3 b. Một số bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối: a a a với mọi a R x a a x a (với a 0) x a x a hoặc x a (với a 0) a b a b a b (với mọi a, b R ) Ngoài ra SGK nâng cao còn giới thiệu bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho hai và ba số thực không âm (SGK chương trình chuẩn chỉ giới thiệu bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho hai số thực không âm): 12
- Với mọi a 0, b 0 ta có ab ab . Đẳng thức xảy ra khi a b. 2 Với mọi a 0, b 0, c 0 ta có abc 3 abc . Đẳng thức xảy ra khi a b c. 3 Và bất đẳng thức Cauchy – Schwartz cho hai bộ hai số, hai bộ ba số cũng được giới thiệu trong bài đọc thêm. Mặc dù kiến thức cơ bản chỉ có vậy nhưng để giải quyết một bài toán bất đẳng thức Đại số không phải là điều dễ dàng. Câu bất đẳng thức, cực trị cũng thường là câu phân loại khó để lấy điểm tối đa trong các kì thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng các năm trước và một vài năm nay là kì thi THPT Quốc gia. Hàng trăm cuốn sách tham khảo, đề cập đến nhiều phương pháp thường dùng trong chứng minh bất đẳng thức, hẳng hạn: 1) Dùng định nghĩa và biến đổi tương đương. 2) Sử dụng các bất đẳng thức kinh điển. 3) Dùng đạo hàm. 4) Phương pháp tam thức bậc hai. 5) Phương pháp lượng giác hóa. 6) Phương pháp hàm lồi ... Tuy nhiên, các phương pháp trên sẽ giúp ích rất ít cho các bạn học sinh khi gặp những bài toán bất đẳng thức Đại số mang “hồn Hình học” trong nó. Chúng đòi hỏi phải có một cách nhìn sáng tạo hơn nhằm làm rõ được bản chất và ẩn ý của bài toán. Việc dùng các phương pháp Hình học để giải quyết các bất đẳng thức như thế là một biện pháp hữu hiệu. Và nhiệm vụ rất quan trọng cần giải quyết là phải chuyển dịch được bài toán đã cho về một bài toán mang nội dung Hình học. 13
- Chương 2 DÙNG CÁC PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ I. Phương pháp tọa độ. Người ta xem việc phát minh ra phương pháp tọa là một cuộc cách mạng trong Toán học vì nó giúp cho Toán học thoát ra khỏi cách tư duy của không gian vật lý thông thường, nhằm đạt tới những đỉnh cao khác của sự khái quát và trừu tượng trong Toán học. Phương pháp tọa độ đã mang lại cho Toán học có thêm sức mạnh mới và đặt nền móng cho một phương pháp tư duy sáng tạo mới dùng để nghiên cứu Toán học và vận dụng Toán học vào cuộc sống. Các bước giải một bài toán bằng phương pháp tọa độ: - Trước hết cần xét tính chất của bài toán đã cho và chọn hệ tọa độ thích hợp, đây là bước rất quan trọng vì nó giúp cho việc thực hiện giải bài toán đó được nhanh chóng, tránh được sai sót do tính toán. - Bằng phương pháp tọa độ và bằng các phép tính đại số, chúng ta cần thực hiện các yêu cầu do nội dung của các bài toán đặt ra. Chuyển các kết quả tính toán được bằng công cụ Đại số sang các tính chất Hình học cần chứng minh hay tính toán. Bài toán 1. Chứng minh rằng với mọi số thực a ta đều có bất đẳng thức: a 2 2a 5 a 2 2a 5 2 5 Lời giải: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chọn 3 điểm: A= (1; 2), B = (-1; -2), M = (a; 0) Ox Ta thấy: y A . y B 4 0 nên A, B nằm về hai phía của trục Ox MA (a 1) 2 2 2 a 2 2a 5 14
- MB (a 1) 2 2 2 a 2 2a 5 AB (1 1) 2 (2 2) 2 2 5 Ta luôn có: MA + MB AB. Do đó: a 2 2a 5 a 2 2a 5 2 5 . Vậy ta có điều phải chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi M AB . Mà đường thẳng AB có phương trình: y = 2x. Do đó, 0 = 2a a = 0. Bài toán 2. Cho 2 số thực a, b thỏa mãn: 3a – b +7 = 0. Chứng minh rằng: a 2 b 2 2a 12b 37 a 2 b 2 6a 6b 18 5 Lời giải: Bất đằng thức đã cho có thể viết dưới dạng: (a 1) 2 (b 6) 2 (a 3) 2 (b 3) 2 5 Do đó, ta chọn A = (1; 6), B = (-3; 3) và M = (a; b) : y 3x 7 . Dễ thấy A, B nằm về hai phía của ∆. Theo bất đẳng thức 3 điểm ta có: MA + MB AB hay: (a 1) 2 (b 6) 2 (a 3) 2 (b 3) 2 (1 3) 2 (6 3) 2 5 Vậy ta có điều phải chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi M là giao điểm của AB: 3x – 4y +21 = 0 với ∆. Suy ra M = ; , hay a , b . 7 42 7 42 9 9 9 9 Bài toán 3. Chứng minh rằng với mọi số thực x ta đều có bất đẳng thức: x 2 2 x 5 x 2 12 x 136 89 Lời giải: Bất đằng thức đã cho có thể viết dưới dạng: 15
- ( x 1) 2 2 2 ( x 6) 2 10 2 89 Xét hệ trục tọa độ đề các vuông góc Oxy. Ta chọn: A= (1; 2), B = (6; 10), M = (x; 0) Ox Ta luôn có MA MB AB nên ( x 1) 2 2 2 ( x 6) 2 10 2 5 2 8 2 89 Vậy ta có điều phải chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi M AB . Mà đường thẳng AB có phương trình: 1 8x - 5y + 2 = 0. Do đó, 8x + 2 = 0 x 4 Bài toán 4. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: a 2 b 2 ab b 2 c 2 bc c 2 a 2 ca Lời giải: Bất đằng thức đã cho có thể viết dưới dạng: 2 2 2 b b 3 c c 3 c a c 3 a 3 2 2 2 a b (1) 2 2 2 2 2 2 2 2 Xét hệ trục tọa độ đề các vuông góc Oxy. Ta chọn: a a 3 c c 3 A ; , B b;0 , C ; 2 2 2 2 Theo bất đẳng thức 3 điểm ta có: AB + BC AC hay (1) hiển nhiên đúng. Dấu “=” xảy ra A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A, C AB, BC cùng hướng a c b b 2 2 a 2b c 2b b 0 2b(a c) 0 a 3 c 3 a c a c 2 2 Do a, b, c là các số thực dương nên a = c. Thế điều kiện a = c vào đẳng thức a 2 b 2 ab b 2 c 2 bc c 2 a 2 ca 16
- a c ta có: 2 a 2 b 2 ab 3a 2 a 2 4ab 4b 2 0 a 2b 0 b . 2 2 Vậy ta có điều phải chứng minh. Bài toán 5: Cho a, b, c, d thỏa mãn: a2 b2 c2 d 2 5. 15 3 Chứng minh rằng: (5 a 2b)(5 c 2d )(5 ac bd ) ( ) 2 (2) 2 Lời giải: Xét hệ tọa độ đề các vuông góc (Từ nay y P về sau nếu không có gì đặc biệt thì luôn xét như vậy). Từ giả thiết ta dễ thấy các M O điểm M(a, b), N(c, d), P(1, 2) nằm trên x Q đường tròn O(0, 0), bán kính 5. R Ta có: N 3 (a 1)2 (b 2)2 (c 1)2 (d 2)2 (a c)2 (b d )2 15 2 (2) . . 2 2 2 2 3 MP.NP.MN 15 2 MP.NP.MN 153 (2’) 2 2 2 Bất đẳng thức hình học (2’) có thể diễn đạt là: với tam giác nội tiếp đường tròn (O, 5 ) bất kỳ (có thể cố định một đỉnh) thì giá trị lớn nhất của tích ba cạnh tam giác đạt được là 153 a.b.c Từ công thức S rõ ràng việc tìm GTLN của a.b.c tương đương tìm 4R GTLN của SABC ( vì R không đổi). Vì vậy: (MN.MP.MP) lớn nhất SMNP lớn nhất MNP đều Để xác định cạnh của tam giác MNP đều ta xét 17
- a.b.c 1 S= bc sin A a = 2RsinA = 15 4R 2 Vì thế (2’) đúng (2) đúng Muốn tìm điều kiện dấu “=” xẩy ra, ta gọi Q (x0, y0) thuộc O(0, 15 ) và PQR đều. Khi đó: PQ2 = 15 hay (x0 – 1)2 + (y0 – 2)2 = 15 2x0 + 4y0 = -5. x 2 0 y0 2 5 Từ đó ta giải hệ: xác định Q xác định R. 0 2 x 4 y 0 5 Bài toán 6: Cho 4 số a, b, c, d thỏa mãn: a2 b2 c2 d 2 5. 3 30 Chứng minh rằng: 5 a 2b 5 c 2d 5 ac bd (3) 2 Lời giải: Từ giả thiết ta có M(a, b), N(c, d), P(1, 2) đều nằm trên đường tròn tâm O(0, 0), bán kính 5 . Ta có: (a 1)2 (b 2)2 (c 1)2 (d 2)2 (a c)2 (b d )2 3 30 (5) 2 2 2 2 MP + NP + MN 3 15 CMNP 3 15 (3’) Mặt khác ta cũng biết rằng trong các tam giác cùng nội tiếp một đường tròn thì tam giác đều là tam giác có chu vi lớn nhất. Vì vậy, hoàn toàn tương tự bài toán 5 ta sẽ có điều phải chứng minh. Bài toán 7: Cho a, b thỏa mãn: a2 b2 16 8a 6b. Chứng minh rằng: 10 3b 4a 40 (4) Lời giải: Từ giả thiết ta viết lại: ( a – 4)2 + (b – 3)2 = 9. Do vậy với a, b thỏa mãn nó thì điểm M(a, b) nằm trên đường tròn tâm O1(4, 3) và bán kính 3. 18
- Kết hợp với giả thiết thì (4) tương đương với a 2 b2 16 10 40 2 a 2 b2 8 2 Tương đương với bất đẳng thức hình học : 2 OM 8 (4’) Bài toán trở thành : chứng minh rằng với M bất kỳ thuộc đường tròn (O1) thì (4’) luôn đúng. Nối OO1 cắt vòng tròn tại M1, M2 , vì M1, M2 tương ứng là các điểm trên đường tròn gần và xa O nhất nên hiển nhiên ta có : OM1 OM OM2 Vì OO1 = 5 nên OM1 = OO1 – O1M1 = 5 – 3 = 2 OM2 = OO1 + O1M2 = 5 + 3 = 8 (4’) đúng đpcm Dấu “=” bên trái xẩy ra khi M M1 . Theo định lý Talet ta có: M1M '1 OM1 6 ' M1M1' O1O1 OO1 5 8 8 6 Tương tự : OM1' a ; b 5 5 5 32 24 Dấu “=” bên phải xảy ra khi M M2 a ;b 5 5 Bài toán 8: Cho x, y là các số thực bất kì. Chứng minh rằng: 9 ( x y)2 ( x 2 y 1) 2 (7) 32 Lời giải: 19
- Nhìn vào vế trái của bất đẳng 6 thức cần chứng minh, ta nhận 4 M thấy nó có dạng A2 + B2, vì thế ta 2 có thể quan niệm nó là bình N A -5 5 10 phương của một đoạn MN nào B -2 đó. -4 VT(7) = (x – y)2 + [x2 – (y – 1)]2 Đặt M(x, x2), N(y, y – 1) VT (7) = MN2 Dễ thấy M thuộc parabol y = x2 và N thuộc đường thẳng x – y – 1 = 0. Do vậy bài toán có thể chuyển dịch thành : Chứng minh rằng: với mọi vị trí của M và N thì khoảng cách gần nhất MN có thể 9 đạt được là 32 Từ đồ thị ta có thể khẳng định: min MN = AB, trong đó A là tiếp điểm của parabol y = x2 với đường thẳng d song song với đường y = x – 1. Hoành độ của A là nghiệm kép của phương trình: 1 1 1 x2 = x + b b xA yA 4 2 2 1 1 1 2 4 3 9 Và AB = d(A, d) min MN2 = AB2 = . 2 4 2 32 9 Vậy MN2 . Dấu “=” xảy ra M A , N B. 32 Bài tập: 1. Cho a, b, c là các số thực tùy ý. 20
- ac a b bc Chứng minh rằng: 1 a2 . 1 c2 1 a 2 . 1 b2 1 b2 . 1 c 2 2. Cho a, b, c thỏa mãn: c d 6; a 2 b2 1 Chứng minh rằng: c2 d 2 2ac 2bd 18 6 2. 3. Cho a, b là các số thực thỏa mãn: a2 b2 16 8a 6b. Chứng minh rằng: 7b 24a 4. Cho a, b là các số thực tùy ý. Chứng minh rằng: a 2 4 a 2 2ab b 2 1 b 2 6b 10 5 II. Phương pháp véctơ. Chứng minh các bất đẳng thức, giải các phương trình, tính giá trị cực đại, cực tiểu của một hàm số, người ta thường gán tọa độ cho các vectơ u, v một cách thích hợp rồi dùng các tính chất sau đây để xét và chứng minh: 1, u v u v . Tương tự: u v w u v w 2, (u v)2 0 2 2 3, u.v u v . Hoặc (u.v)2 u .v Điều cần chú ý rất quan trọng khi dùng phương pháp vectơ để giải toán là: cần phải phân tích kỹ bài toán sau đó chọn các vec tơ sao cho phù hợp với yêu cầu bài toán. Bài toán 9: Cho các số thực a, b, c, x, y, z thỏa mãn: a b c 2; ax by cz 6 . Chứng minh rằng: 16a 2 a 2 x 2 16b2 b2 y 2 16c 2 c 2 z 2 10 (6) Lời giải: 21
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Nâng cao hiệu quả dạy học môn Sinh thông qua tổ chức các hoạt động nhóm tích cực tại trường THPT Lê Lợi
19 p | 57 | 10
-
Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Soạn dạy bài Clo hóa học 10 ban cơ bản theo hướng phát triển năng lực học sinh
23 p | 56 | 10
-
Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT Yên Định 3 giải nhanh bài toán trắc nghiệm cực trị của hàm số
29 p | 34 | 9
-
Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số định hướng giải phương trình lượng giác - Phan Trọng Vĩ
29 p | 31 | 7
-
Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Hướng dẫn học sinh giải các bài tập gắn với chủ đề thực tiễn trong chương trình toán lớp 10 THPT
73 p | 21 | 7
-
Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một vài kinh nghiệm hướng dẫn ôn thi học sinh giỏi Địa lí lớp 12
20 p | 23 | 7
-
Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Ứng dụng phương pháp và kĩ thuật dạy học tích cực theo định hướng phát triển năng lực học sinh vào dạy học truyện ngắn Chữ người tử tù của Nguyễn Tuân
33 p | 74 | 7
-
Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số giải pháp nâng cao chất lượng tổ chức hoạt động trải nghiệm sáng tạo môn Ngữ văn trong nhà trường THPT
100 p | 29 | 7
-
Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Hướng dẫn học sinh lớp 12 một số kĩ năng học và làm bài thi trắc nghiệm khách quan môn Vật lí trong kì thi Trung học phổ thông quốc gia
14 p | 30 | 6
-
Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Các biện pháp nâng cao hiệu quả làm bài phần Đọc - hiểu trong đề thi tốt nghiệp môn Ngữ văn THPT
36 p | 26 | 6
-
Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Hướng dẫn học sinh lớp 12 cơ bản phân dạng và nắm được phương pháp giải bài tập phần giao thoa ánh sáng
23 p | 36 | 6
-
Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Hướng dẫn học sinh khai thác có hiệu quả kênh hình trong sách giáo khoa Địa lí 11
28 p | 69 | 6
-
Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập môn Lịch Sử theo định hướng 5 bước 1 vấn đề, đáp ứng yêu cầu mới của kỳ thi THPT Quốc gia
29 p | 36 | 5
-
Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Giải pháp thực hiện một số công cụ đánh giá theo hướng phát triển phẩm chất, năng lực của học sinh trong dạy học môn Địa lí ở trườngTHPT Lạng Giang số 2
57 p | 20 | 5
-
Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Hướng dẫn sử dung phần mềm Zipgrade chấm trắc nghiệm bằng điện thoại smartphone và ứng dụng máy tính cầm tay vào làm nhanh bài tập toán trắc nghiệm thi THPT quốc gia
108 p | 50 | 4
-
Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Hướng dẫn học sinh học môn Sinh học 12 Trung Học Phổ Thông theo định hướng phát triển năng lực tự học của học sinh
36 p | 50 | 3
-
Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Hướng dẫn học và làm bài trắc nghiệm phần kỹ năng sử dụng Atlat địa lí Việt Nam, biểu đồ, bảng số liệu nhằm nâng cao kết quả trong kì thi THPT quốc gia
30 p | 44 | 3
-
Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Hướng dẫn học sinh cách vẽ hình chiếu trục đo (HCTĐ) của vật thể bằng cách dựng mặt phẳng cơ sở
26 p | 8 | 2
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn