Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT Yên Định 3 giải nhanh bài toán trắc nghiệm cực trị của hàm số

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:29

Thêm vào BST

Báo xấu

35
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến kinh nghiệm THPT "Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT Yên Định 3 giải nhanh bài toán trắc nghiệm cực trị của hàm số" nhằm giúp học sinh lớp 12 trường THPT Yên Định 3 có thêm được các kiến thức và kĩ năng cơ bản trong việc giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số. Đề xuất một số cách giải nhanh bài toán trắc nghiệm cực trị của hàm số để giúp học sinh hình thành được tư duy giải các bài toán trắc nghiệm, từ đó giải bài toán trắc nghiệm cũng dễ dàng hơn. Giúp nâng cao chất lượng dạy học phần cực trị của hàm số và giúp học sinh trường THPT Yên Định 3 yêu thích môn Toán hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT Yên Định 3 giải nhanh bài toán trắc nghiệm cực trị của hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 3 GIẢI NHANH BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Người thực hiện : Phạm Thị Trang Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn : Toán
THANH HÓA NĂM 2017 2
MỤC LỤC Nội dung Trang 1. Mở đầu 1 1.1. Lí do chọn đề tài 1 1.2. Mục đích nghiên cứu 1 1.3. Đối tượng nghiên cứu 1 1.4. Phương pháp nghiên cứu 1 2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 3 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3 2.1.1. Khái niệm cực đại, cực tiểu 3 2.1.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị 3 2.1.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị 3 2.1.4. Quy tắc tìm cực trị 4 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh 4 nghiệm 2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4 2.3.1. Dạng 1: Xác định điểm cực trị của hàm số, điểm cực trị của 4 đồ thị hàm số và cực trị của hàm số 2.3.2. Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có điểm cực trị và điểm 7 cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước 2.3.3. Hệ thống bài tập vận dụng 16 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động 18 giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 2.4.1. Đối với hoạt động giáo dục 18 2.4.2. Đối với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 19 3. Kết luận, kiến nghị 19 3.1. Kết luận 19 3.2. Kiến nghị 19
1. MỞ ĐẦU 1.1. Lí do chọn đề tài: Kì thi THPT quốc gia 2017 có một số điểm mới so với những năm học trước đó là thí sinh phải làm 4 bài thi tối thiểu, trong đó có 3 bài thi bắt buộc là Toán, Ngữ văn, Ngoại ngữ và bài thi tự chọn là KHTN (gồm các môn Vật lí, Hoá học, Sinh học) hoặc bài thi KHXH (gồm các môn Lịch sử, Địa lí, Giáo dục công dân). Trong đó, môn toán chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Thời gian làm bài của môn toán là 90 phút với 50 câu hỏi trắc nghiệm, tức là trung bình mỗi câu làm trong 1,8 phút. Với hình thức thi và thời gian thi như vậy là một áp lực không hề nhỏ đối với các thí sinh, đòi hỏi các thí sinh phải chuẩn bị cho bản thân lượng kiến thức, kĩ năng nhất định và chiến thuật làm bài phù hợp mới có thể có được kết quả cao. Trong chủ đề ‘‘Cực trị của hàm số’’ các bài toán tuy không khó, nhưng nếu học sinh vẫn làm theo phương pháp thông thường lâu nay thì mất rất nhiều thời gian, kể cả những học sinh khá giỏi. Thực tế giảng dạy cho thấy kĩ năng tính toán của các em học sinh trường THPT Yên Định 3 còn hạn chế, thiếu kinh nghiệm trong quá trình làm bài trắc nghiệm nên thường dẫn tới những sai sót khi làm bài. Để giúp các em có một số kinh nghiệm và kỹ năng làm bài trắc nghiệm môn toán trong kỳ thi THPT quốc gia sắp tới đạt hiệu quả hơn, tôi đã tìm hiểu và nghiên cứu “Một số kinh nghiệm làm bài thi trắc nghiệm môn toán trong kỳ thi THPT quốc gia” (Dành cho ban cơ bản). Môn Toán học trong trường phổ thông là một môn học khó, học sinh thường không học tốt môn này. Nếu thi theo hình thức trắc nghiệm thì học sinh gặp nhiều khó khăn về nội dung kiến thức và thời gian làm bài. Để giải quyết được trọn một đề 50 câu trong thời gian 90 phút nếu giải theo quy trình tự luận thì rất mất thời gian và có thể học sinh không làm hết được các câu hỏi . Với mong muốn cho học sinh trường THPT Yên Định 3 làm quen và nhanh với dạng toán trắc nghiệm tôi đã chọn nghiên cứu đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT Yên Định 3 giải nhanh bài toán trắc nghiệm cực trị của hàm số’’ 1.2. Mục đích nghiên cứu: Giúp học sinh lớp 12 trường THPT Yên Định 3 có thêm được các kiến thức và kĩ năng cơ bản trong việc giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số. 4
Đề xuất một số cách giải nhanh bài toán trắc nghiệm cực trị của hàm số để giúp học sinh hình thành được tư duy giải các bài toán trắc nghiệm, từ đó giải bài toán trắc nghiệm cũng dễ dàng hơn. Giúp nâng cao chất lượng dạy học phần cực trị của hàm số và giúp học sinh trường THPT Yên Định 3 yêu thích môn Toán hơn. Nâng cao chất lượng dạy học bộ môn. 1.3. Đối tượng nghiên cứu: Đề tài đi vào nghiên cứu cách giải nhanh một số bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số (Giải tích 12 cơ bản). Đối tượng áp dụng: Học sinh lớp 12 trường THPT Yên Định 3, Thanh Hóa. 1.4. Phương pháp nghiên cứu: Trong đề tài này tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết. Thông qua các kiến thức trong sách giáo khoa, tôi đưa ra một số chú ý và nhận xét quan trọng để học sinh từ đó giải nhanh bài toán trắc nghiệm. Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin : Tham khảo ý kiến của giáo viên và thăm dò ý kiến học sinh. Phương pháp thống kê, xử lí số liệu : Thống kê và xử lí số liệu kết quả học tập của học sinh trước và sau khi áp dụng sáng kiến. 5
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm: Học sinh phải nắm được: Về kiến thức: + Khái niệm điểm cực đại (điểm cực tiểu) được gọi chung là điểm cực trị của hàm số, giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) được gọi chung là cực trị của hàm số, điểm cực đại (điểm cực tiểu) được gọi chung là điểm cực trị của đồ thị hàm số. + Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị. Về kĩ năng: + Học sinh biết vận dụng kiến thức đã học để tìm điểm cực trị của hàm số, cực trị của hàm số, điểm cực trị của đồ thị hàm số. + Vận dụng kiến thức đã học để giải nhanh các bài toán cực trị của hàm số. 2.1.1. Khái niệm cực đại, cực tiểu: Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên khoảng (a ; b) (có thể a là − ; b là + ) và điểm x0 ( a; b ) . a)Nếu tồn tại h sao cho f ( x ) < f ( x0 ) với mọi x ( xo − h; xo + h ) và x xo thì hàm số f ( x ) đạt cực đại tại xo . b)Nếu tồn tại h sao cho f ( x ) > f ( x0 ) với mọi x ( xo − h; xo + h ) và x xo thì hàm số f ( x ) đạt cực tiểu tại xo . Chú ý: Nếu f ( x ) đạt cực đại (cực tiểu) tại xo thì xo được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số ; f ( xo ) được gọi là giá trị cực đại (giá trị 6
cực tiểu) của hàm số, kí hiệu fCD ( fCT ) , còn điểm M ( xo ; f ( xo ) ) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số. Các điểm cực đại (điểm cực tiểu) được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn được gọi là cực đại (cực tiểu) và gọi chung là cực trị của hàm số. 2.1.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị: Định lí 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x 0. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại x0 thì f ' ( xo ) = 0 2.1.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị: Định lí 2: Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng K = ( xo − h; xo + h ) và có đạo hàm trên K hoặc trên K / { xo } , với h > 0. a)Nếu f ( x ) > 0 trên khoảng ( x0 − h; x0 ) và f (x) 0. Khi đó: a) Nếu f ( xo ) = 0 , f ( x0 ) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu; b) Nếu f ( xo ) = 0 , f ( x0 ) < 0 thì x0 là điểm cực đại; 2.1.4. Quy tắc tìm cực trị: Quy tắc 1: Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tính f ( x ) .Tìm các điểm mà tại đó f ( x ) bằng 0 hoặc không xác định. Bước 3: Xét dấu f ( x ) và lập bảng biến thiên. Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra cực trị của hàm số. Quy tắc 2: Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tính f ( x ) . Giải phương trình f ' ( x ) = 0 và kí hiệu là xi (i = 1,2,3,, n) Bước 3: Tính f '' ( x ) , f '' ( xi ) Bước 4: Dựa vào dấu của f '' ( xi ) suy ra tính chất cực trị của xi 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: + Các năm trước khi chưa thi theo hình thức trắc nghiệm thì học sinh máy móc áp dụng theo giáo viên, nhưng bắt đầu từ năm 2017 Bộ giáo dục và đào tạo tổ chức thi theo hình thức trắc nghiệm. Với hình thức thi này nếu học 7
sinh vẫn máy móc áp dụng lần lượt các bước thì vẫn có thể ra đáp số nhưng mất rất nhiều thời gian và không có thời gian cho các câu khác. + Kỹ năng tư duy phân tích giả thiết của các em học sinh còn hạn chế. + Phần lớn học sinh lớp 12 trường THPT Yên Định 3 kỹ năng tính toán và suy luận chưa cao nên sẽ gặp khó khăn trong bài toán trắc nghiệm. 2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề. Theo kinh nghiệm giảng dạy của bản thân tôi sẽ chia làm các dạng để học sinh có thể hiểu rõ và nắm vững hơn về từng dạng, vận dụng được cho các bài tập khác. 2.3.1. Dạng 1: Xác định điểm cực trị của hàm số, điểm cực trị của đồ thị hàm số và cực trị của hàm số. Phương pháp chung: Để giúp học sinh làm tốt và làm nhanh bài toán liên quan đến cực trị trước hết giáo viên cần giúp học sinh nắm vững được kiến thức liên quan đến cực trị, cách tìm cực trị và cách phân biệt điểm cực trị của hàm số, điểm cực trị của đồ thị hàm số và cực trị của hàm số. Ngoài ra, đôi khi trong một số bài toán giáo viên hướng dẫn học sinh một số cách loại đáp án sai tìm nhanh ra đáp án đúng để không mất thời gian quá nhiều. Bài tập 1: Hàm số y = x 4 − x3 có điểm cực trị là: 3 B. x = 0 3 3 −27 A. x = 0; x = C. x = D. ; 4 4 4 256 Giải x=0 Ta có: y = 4 x − 3x 3 2 y =0 x ( 4 x − 3) 2 3 x= 4 Ta thấy y’ không đổi dấu qua x = 0 do vậy x = 0 không phải là một điểm cực 3 3 trị của hàm số. Và y’ đổi dấu khi đi qua x = do vậy x = là một điểm cực trị 4 4 của hàm số. Ta chọn đáp án C Nhận xét: Nhiều học sinh không nắm vững lí thuyết sẽ chọn ngay đáp án A vì cứ nghĩ nghiệm của phương trình y’ = 0 là điểm cực trị của hàm số. Ngoài ra học sinh cũng hay mắc phải sai lầm đó là chọn đáp án D điểm cực trị của đồ thị hàm số. Qua đó ta rút ra nhận xét: Nếu x = x0 là điểm cực trị của hàm số y = f(x) thì f’(x0) = 0 hoặc f’(x0) không xác định, nhưng nếu f’(x0) = 0 thì chưa hẳn x = x0 là điểm cực trị của hàm số. Trong các bài toán trắc nghiệm thường có các câu hỏi đánh lừa học sinh bởi các cụm từ “điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị của đồ thị hàm 8
số”. Vì vậy học sinh cần nắm vững lí thuyết để phân biệt được các khái niệm. Bài tập 2: Hàm số nào sau đây không có cực trị A. y = x3 − 3x + 1 B. y = x 4 − 4 x3 + 3x + 1 C. y = 2− x D. y = x 2 n − 2017 x + 1( n N * ) x+3 Giải Cách giải thông thường: Với A: Ta thấy đây là hàm bậc ba có y’ = 3x2 – 3 , phương trình y’ = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt nên hàm số có hai điểm cực trị (loại) Với B: Đây là hàm bậc bốn có y’ = 4x3 – 12x2 + 3, phương trình bậc ba luôn có ít nhất một nghiệm nên hàm số có ít nhất một điểm cực trị (loại) Với C: Đây là hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất nên hàm số không có cực trị. Do đó ta chọn đáp án C Nhận xét: Với một bài toán yêu cầu tìm hàm số không có cực trị nếu ta xét từng đáp án thì mất rất nhiều thời gian. Đôi khi ta phải nhớ được một số kết quả đã biết. Ví dụ như trong bài tập 2 này nhìn vào bốn đáp án ta có thể chọn ngay đáp án C. Giáo viên có thể nhấn mạnh lại kiến thức cho học sinh ghi nhớ đó là: “Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất không có cực trị” Bài tập 3: Cho hàm số y = − x 4 + 2 x 2 + 1 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu B. Hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu C. Hàm số có một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu D. Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu Giải Cách giải thông thường: x = −1 y ( −1) = −8 < 0 Ta có: y = −4 x3 + 4 x y =0 x = 0 ; y − 12 x 2 + 4 y ( 0) = 4 > 0 x =1 y ( 1) = −8 < 0 Vậy hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu. Ta chọn đáp án B Nhận xét: Đối với hàm bậc bốn trùng phương có dạng y = ax 4 + bx 2 + c ( a 0 ) thì ta có Nếu ab > 0 thì hàm số có 1điểm cực trị x = 0 b Nếu ab
b +) a > 0 thì x = 0 là điểm cực đại, x = − là hai điểm cực tiểu của hàm 2a số Đôi khi chúng ta nhớ “mẹo” đó là a 0 đồ thị hàm số có dạng chữ W nên hàm số có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại. Dựa vào nhận xét trên ta có thể giải quyết bài toán trên như sau: Ta có: a = 1
dấu, bởi vì ( 1 − x ) 0 với mọi x. Do vậy hàm số chỉ có đúng 1 điểm cực trị x 2 = 3. Vậy ta chọn đáp án C Nhận xét: Trong đa thức, đa thức chỉ đổi dấu khi qua nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ, còn nghiệm bội chẵn không khiến đa thức đổi dấu. Qua nhận xét này ta có thể chọn ngay đáp án C Bài tập 6: Cho hàm số y = x . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau A. Hàm số có một điểm cực đại B. Hàm số không có cực trị C. Hàm số đã cho có đạo hàm không xác định tại x = 0 nên không đạt cực trị tại x = 0 D. Hàm số đã cho có đạo hàm không xác định tại x = 0 nhưng đạt cực trị tại x = 0 Giải x Ta có: y ' = . Hàm số có đạo hàm không xác định tại x = 0 và ta thấy đáp án x2 C và D ngược nhau, nên ta loại trừ ngay được đáp án A và B. Ta thấy y’ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x = 0 , vậy theo định nghĩa x = 0 là một điểm cực trị của hàm số. Ta chọn đáp án D Nhận xét: Với hàm liên tục thì hàm số sẽ đạt cực trị tại điểm làm cho y’ = 0 hoặc không xác định Nếu hàm số đạt cực trị tại x = x0 thì x = x0 sẽ làm cho y’ bằng 0 hoặc không xác định. 2.3.2. Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có điểm cực trị và điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp chung: Với kinh nghiệm giảng dạy của bản thân tôi rút ra được một số nhận xét sau đây: *) Đối với hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất ax + b y= (c 0; ad − bc 0 ) : Không có cực trị cx + d *) Đối với hàm đa thức bậc ba y = f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d ( a 0 ) Ta có: y = 3ax 2 + 2bx + c , ∆ = b 2 − 3ac Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình y’=0 có hai nghiệm phân biệt ∆ = b 2 − 3ac > 0 Để hàm số không có điểm cực trị thì phương trình y’=0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ∆ = b 2 − 3ac 0 Qua đây ta rút ra được kết quả: Đồ thị hàm đa thức bậc ba hoặc là có hai điểm cực trị hoặc là không có điểm cực trị nào. 11
Bài tập 1: Với giá trị nào của m thì hàm số y = x3 − m 2 x 2 − ( 4m − 3) x − 1 đạt cực đại tại x = 1 A. m = 1 m = −3 B. m = 1 C. m = −3 D. m = −1 Giải Ta có : y = 3 x 2 − 2m 2 x − ( 4m − 3 ) y = 6 x − 2m 2 y ( 1) = 0 Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = 1 là m = −3 . y ( 1) < 0 Vậy chọn đáp án C Nhận xét: Nhiều học sinh mắc sai lầm trong bài tập này đó là chỉ thay x =1 vào phương trình y’ = 0 suy ra giá trị m cần tìm là m = 1 và m = 3. Khi đó học sinh sẽ chọn đáp án A và không suy nghĩ gì đến đáp án C Qua đây ta có: y ( x0 ) = 0 Để hàm số đạt cực đại tại x0 thì y ( x0 ) < 0 y ( x0 ) = 0 Để hàm số đạt cực tiểu tại x0 thì y ( x0 ) > 0 Bài tập 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 4 x3 + mx 2 − 12 x đạt cực tiểu tại x = 2 A. m = −9 B. m = 2 C. m = −3 D. m = 9 Giải: Ta có y = 12 x 2 + 2mx − 12 y = 24 x + 2m y ( −2 ) = 0 Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 thì m = 9 . Vậy ta chọn đáp án y ( −2 ) > 0 D Bài tập 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3m + 1 có hai điểm cực trị A. m > 0 B. m < 0 C. m 0 D. m 0 Giải: Vận dụng nhận xét trên ta có để hàm số có hai điểm cực trị thì ∆ = b 2 − 3ac > 0 9m 2 > 0 m 0 . Ta chọn đáp án D 12
1 Bài tập 4: Tìm m để hàm số y = x3 − mx 2 + ( m 2 + m − 1) x + 1 đạt cực trị tại hai 3 điểm x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = 4 A. m = 2 B. m = −2 C. m < 1 D m = 2 Giải Tập xác định D = ﾡ Đạo hàm y = x 2 − 2mx + ( m 2 + m − 1) . Để hàm số có hai điểm cực trị thì ∆ > 0 m < 1 (1) Hàm số đạt cực trị tại hai điểm x 1, x2 suy ra x1, x2 là hai nghiệm của phương trình y’ = 0, theo Viét ta có x1 + x2 = 2m x1.x2 = m 2 + m − 1 m=2 Theo giả thiết ta có x1 + x2 = 4 2m = 4 . Kết hợp với (1) ta có giá trị m = −2 cần tìm là m = −2 . Ta chọn đáp án B Nhận xét: Ở bài này học sinh thường mắc sai lầm đó là chọn đáp án C hoặc A +) Học sinh ngay sau khi giải điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị thì chọn ngay C +) Hoặc học sinh không tìm điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị mà bắt m=2 tay vào giải x1 + x2 = 4 2m = 4 nên chọn đáp án A m = −2 Bài tập 5: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x3 + 2 x 2 − 3x + 1 là A. 26 x + 9 y − 15 = 0 B. −25 x + 9 y − 15 = 0 C. 26 x − 9 y + 15 = 0 D. 25 x − 9 y + 15 = 0 Giải: Thông thường bài toán này học sinh sẽ tìm hai điểm cực trị của đồ thị hàm số và lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị như sau: −2 + 13 14 − 3 13 x1 = y1 = 2 8 Ta có y’ = 3x2 + 4x – 3 , y = 0 −2 − 13 14 + 3 13 x2 = y2 = 2 8 Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là 26x + 9y – 15 = 0. Và chọn đáp án A Nhận xét: Đối với bài toán không chứa tham số thì học sinh có thể làm như vậy, nhưng đối với bài toán chứa tham số thì cách làm như vậy không hiệu quả mà đôi khi rất khó khăn trong việc tính toán. Ta có thể làm như sau: Giả sử hàm bậc ba y = f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d ( a 0 ) có hai điểm cực trị là x1 và x2.. Khi đó thực hiện phép chia f(x) cho f’(x) ta được: 13
f ( x) = Q ( x ) . f ( x ) + Ax + B f ( x1 ) = Q ( x1 ) . f ( x1 ) + Ax1 + B = Ax1 + B Ta có (do f ( x1 ) = f ( x2 ) = 0) f ( x2 ) = Q ( x2 ) . f ( x2 ) + Ax2 + B = Ax2 + B Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f ( x) đó là y = Ax + B. Bài tập vận dụng: Bài tập 6: Cho hàm số y = x3 − 3x 2 + 3 ( 1 − m ) x + 1 + 3m, giả sử đồ thị hàm số có hai điểm cực trị. Tìm đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho A. 2mx + y − 2m − 2 = 0 B. 2mx + y − 2m + 2 = 0 C. 2mx − y − 2m − 2 = 0 D. 2mx + y + 2m − 2 = 0 Giải Ta có : y = 3x − 6 x + 3 ( 1 − m ) . Thực hiện phép chia y cho y’ ta được 3 1 1 y= 3 x− 3 ( 3x 2 ) − 6 x + 3 ( 1 − m ) − 2mx + 2m + 2 Vậy phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số là y = −2mx + 2m + 2 . Ta chọn đáp án A Ngoài ra tôi xin giới thiệu một cách bấm máy tính (sử dụng cho máy Casio fx – 570 ES PUSL) để tìm nhanh phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba như sau: Bước 1: Xác định y’, y’’ Bước 2: Chuyển máy tính sang chế độ tính toán số phức MODE 2:CMPLX y Nhập biểu thức y − y . (Công thức này học sinh thừa nhận do khuôn khổ 18a của sáng kiến tôi xin phép không giới thiệu vào sáng kiến). Chú ý: Với bài toán không chứa tham số thì ta sử dụng biến X trong máy, tuy nhiên nếu bài toán chứa tham số ta có thể sử dụng biến bất kì trong máy để biểu thị cho tham số đã cho, ta quy ước biến M . Bước 3: Gán giá trị. Ấn CALC Gán X với i , gán M với 100 Lúc này máy tính xuất hiện kết quả, ta tách hệ số và i để đưa kết quả cuối cùng Ví dụ như hai bài tập 5 và 6 ở trên: Bài tập 5: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x3 + 2 x 2 − 3x + 1 là A. 26 x + 9 y − 15 = 0 B. −25 x + 9 y − 15 = 0 C. 26 x − 9 y + 15 = 0 D. 25 x − 9 y + 15 = 0 Ta có thể dùng máy tính bấm như sau: 14
Bước 1: Xác định y = 3x 2 + 4 x − 3, y = 6 x + 4 Bước 2: Chuyển máy tính sang chế độ tính toán số phức MODE 2:CMPLX 6X + 4 Nhập biểu thức X 3 + 2 X 2 − 3 X + 1 − ( 3 X 2 + 4 X − 3) . 18 Bước 3: Gán giá trị Ấn CALC 5 26 Gán X với i , gán M với 100. Khi đó máy tính xuất hiện − i . Vậy phương 3 9 trình đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là 5 26 y= − x 26 x + 9 y − 15 = 0 . Vậy đáp án ta chọn là A 3 9 Bài tập 6: Cho hàm số y = x3 − 3x 2 + 3 ( 1 − m ) x + 1 + 3m, giả sử đồ thị hàm số có hai điểm cực trị. Tìm đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho A. 2mx + y − 2m − 2 = 0 B. 2mx + y − 2m + 2 = 0 C. 2mx − y − 2m − 2 = 0 D. 2mx + y + 2m − 2 = 0 Giải Ta có : y = 3x − 6 x + 3 ( 1 − m ) . 2 Bước 1: Xác định y = 3x 2 − 6 x + 3 ( 1 − m ) , y = 6 x − 6 Bước 2: Chuyển máy tính sang chế độ tính toán số phức MODE 2:CMPLX 6X − 6 Nhập biểu thức X 3 + 3 X 2 − 3 ( 1 − M ) X + 1 + 3M − ( 3 X 2 − 6 X + 3 ( 1 − M ) ) . 18 Bước 3: Gán giá trị Ấn CALC Gán X với i , gán M với 100. Khi đó máy tính xuất hiện 202 − 200i . Ta thấy 202 − 200i = 2.100 + 2 − 2.100i y = 2m + 2 − 2mx Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là y = 2m + 2 − 2mx . Vậy đáp án ta chọn là A Nhận xét: Đôi khi việc sử dụng máy tính thuận lợi và nhanh hơn giải theo cách thông thường. Với hình thức thi mới này học sinh không những nắm vững và rộng kiến thức mà còn phải có kĩ năng sử dụng máy tính thành thạo để tránh mất thời gian làm bài. Bài tập 7: Xác định tất cả các giá trị của m để hai điểm cực trị của đồ thị hàm sau y = x 3 − 3x 2 + mx đối xứng nhau qua đường thẳng x − 2 y − 5 = 0 . A. m = 0 B. m = −2 C. m D. m = 2 Giải: Ta có y = 3x − 6 x + m 2 15
Để hàm số có hai điểm cực trị thì y = 3x 2 − 6 x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt ∆ = 9 − 3m > 0 m 0 m
*) Đối với hàm đa thức bậc bốn trùng phương y = f ( x) = ax 4 + bx 2 + c ( a 0 ) Ta có: y = 4ax 3 + 2bx x=0 y =0 b x2 = − (1) 2a Nhận xét: Hàm đa thức bậc bốn trùng phương luôn có điểm cực trị Số điểm cực trị của hàm số phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình (1) +) Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình y’=0 có ba nghiệm phân biệt ab < 0 +) Để hàm số có 1 điểm cực trị thì phương trình (1) hoặc vô nghiệm hoặc có một nghiệm kép x = 0 ab 0 b Nếu ab 0 C. m 0 D. m < 0 Giải: Để hàm số có đúng 1 điểm cực trị thì ab 0 2m 0 m 0 . Ta chọn đáp án A Bài tập 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = f ( x) = mx 4 + ( m 2 − 2 ) x 2 + 2 có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại m
C. m > 2 D. 0 < m < 2 Giải: Áp dụng nhận xét ở phần trước: Để hàm số có 2 điểm cực tiểu và một điểm ab < 0 m>0 cực đại thì 0 < m < 2 . Ta chọn đáp án D a>0 m2 < 2 Nhận xét: Nếu chưa rút ra được nhận xét ở phần trước thì học sinh phải trình bày khá dài để tìm ra được điều kiện thõa mãn yêu cầu bài toán. Vì vậy học sinh phải ghi nhớ công thức để làm bài toán một cách nhanh nhất. Sau đây dựa vào một số nhận xét ở trên tôi xin đưa ra một số dạng bài toán tổng quát cho học sinh hiểu và ghi nhớ công thức để làm bài thi trắc nghiệm tốt hơn Bài toán 1: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y = f ( x) = ax 4 + bx 2 + c ( a 0 ) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông Giải: Với ab
Bài toán 2: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y = f ( x) = ax 4 + bx 2 + c ( a 0 ) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều. Giải: Với ab
6 3 6 3 C. − � D. � 2 4 Giải: Vận dụng nhận xét ở trên ta có : Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị thì ab < 0 −8m 2 < 0, ∀m 0 Để ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc ở đỉnh cân bằng 600 thì theo ( −8m ) 3 b3 + 8a b3 6 3 nhận xét trên ta có cos α = = −24 = −24 m= . b3 − 8a a 1 2 Vậy ta chọn đáp án B Bài toán 4: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y = f ( x) = ax 4 + bx 2 + c ( a 0 ) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng S0. Giải Với ab