650
PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC
TRUY HỒI BẰNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Ngô Hùng Vương1
1. Email: vuongnh@tdmu.edu.vn
TÓM TẮT
Bài viết này trình bày phương pháp tìm giới hạn của dãy số truy hồi dựa vào đồ thị các
hàm số
()g x x=
và
()fx
là hàm số thu được từ công thức truy hồi của dãy. Nếu dãy hội tụ
thì giới hạn của nó là nghiệm của phương trình
( ) ( )f x g x=
(giao điểm của đồ thị hai hàm số
()fx
và
()gx
).
Từ khóa: Công thức truy hồi, đồ thị, giới hạn dãy số.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Dãy số và tìm giới hạn dãy số là một trong những kiến thức nền tảng của môn giải tích
Toán học ở bậc đại học, tuy nhiên các khái niệm về tính hội tụ và giới hạn của dãy số khá trừu
tượng và khó hiểu. Sinh viên, đặc là sinh viên năm thứ nhất gặp nhiều khó khăn khi giải các bài
tập có nội dung liên quan đến dãy số cho bởi công thức truy hồi. Các bài tập dạng này thường
được giải theo phương pháp giải tích, tuy nhiên phương pháp này đòi hỏi sinh viên ngoài hiểu
rõ lý thuyết về dãy số cần nắm chắc các kiến thức toán cơ bản khác như bất đẳng thức và phương
pháp quy nạp toán học. Do đó việc tìm ra một phương pháp giải mới để khắc phục các yếu tố
trên là hết sức cần thiết.
Bài tham luận này trình bày một cách giải khác đối với một số bài toán tìm giới hạn dãy
số cho bởi công thức truy hồi, gọi là phương pháp đồ thị. Thông qua đồ thị của hàm số
()g x x=
và
()fx
– hàm số nhận được từ công thức truy hồi
, xác định được các số hạng
12
, , , ,
n
x x x
của dãy
n
x
. Từ đó biết được dãy
n
x
có hội tụ hay không, nếu dãy hội tụ
thì giới hạn của dãy có thể là một trong các nghiệm của phương trình
( ) ( )f x g x=
(giao điểm
của đồ thị hai hàm số là
()fx
và
()gx
).
2. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa 1. Một ánh xạ từ tập số tự nhiên vào tập số thực được gọi là một dãy
số. (Võ Khắc Thường, 2013)
Ký hiệu:
12
, , , ,
n
x x x
hay viết gọn là
n
x
. Trong đó ứng với mỗi giá trị
n
số
n
x
được gọi là số hạng thứ
n
của dãy.
651
Ví dụ 1. a) Dãy số
n
x
được cho bằng cách liệt kê:
3;4;27;16;243;64;...
n
x=
. Số
hạng thứ 5 của dãy là
5243x=
.
b) Dãy số
n
x
được cho bằng công thức của số hạng tổng quát:
( 1)n
n
xn
−
=
. Số hạng
thứ 8 của dãy là
8
8
( 1) 1
88
x−
==
.
c) Dãy số
n
x
được cho bằng công thức truy hồi:
1
1
1
31
nn
x
xx
+
=
=−
Ta tính được:
21
32
43
3 1 3 1 1 2
3 1 3 2 1 5
3 1 3 5 1 14
xx
xx
xx
= − = − =
= − = − =
= − = − =
Định nghĩa 2. Dãy
n
x
được gọi là hội tụ nếu tồn tại số
l
sao cho
0 0 0
0 ( ) : n
n n n n x l
= −
.
Khi đó ta nói dãy
n
x
có giới hạn và giới hạn này bằng
l
, ký hiệu:
lim n
nxl
→ =
hay
n
xl→
khi
n→
. (Архипов Г.И. và nnk., 2004)
Định nghĩa 3. Dãy
n
x
được gọi là phân kỳ nếu với mọi
0c
chỉ có hữu hạn các phần
tử của dãy thỏa mãn
n
xc
. Nói cách khác:
0 0 0
0 ( ) : n
c n n c n n x c =
.
Khi đó ta nói dãy
n
x
có giới hạn ở vô cùng và được ký hiệu như sau:
lim n
nx
→ =
hay
n
x→
khi
n→
. (Архипов Г.И. và nnk., 2004)
Định lý 1 (định lý Weierstrass). Dãy
n
x
đơn điệu tăng và bị chặn trên thì hội tụ và
lim sup
nn
nxa
→ =
.
Định lý 2. Dãy
n
x
đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì hội tụ và
lim inf
nn
nxa
→ =
. Bạn
đọc có thể xem chứng minh định lý 1 và 2 trong tài liệu tham khảo [1].
Mệnh đề 1. Nếu dãy
n
x
cho bởi công thức truy hồi
1()
nn
x f x
+=
hội tụ và có giới hạn
bằng
L
thì
()L f L=
, nói cách khác
L
là nghiệm của phương trình
()f x x=
).
Chứng minh. Dãy
n
x
hội tụ và có giới hạn bằng L, do đó
1
lim lim lim ( ) ( )
n n n
n n n
x x L f x L f L L
+
→ → →
= = = =
.
652
3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
3.1. Phương pháp tìm giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi bằng đồ thị hàm số
Giả sử cần tìm giới hạn của dãy truy hồi:
1
1
()
( ), 1,2,3,
nn
x c c
x f x n
+
=
==
Ta có phương pháp giải bài toán trên bằng đồ thị như sau:
Bước 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc
Oxy
vẽ đồ thị các hàm số
yx=
và
()y f x=
, với
()fx
là hàm số thu được từ công thức truy hồi
1()
nn
x f x
+=
.
Bước 2. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số
()y f x=
và đường thẳng
yx=
bằng cách giải
phương trình
( ) ( )f x g x=
.
Bước 3. (Xem hình 1) Trên đồ thị hàm số
()y f x=
lấy điểm
1 1 2
( ; )M x x
, với
1
xc=
và
21
()x f x=
.
Từ
1 1 2
( ; )M x x
kẻ đường thẳng song song với trục hoành, cắt đường thẳng
yx=
tại
1 2 2
( ; )N x x
.
Từ
1 2 2
( ; )N x x
kẻ đường thẳng song song với trục tung, cắt đồ thị hàm số
()y f x=
tại
2 2 3
( ; )M x x
.
Lập lại như trên đối với điểm
2 2 3
( ; )M x x
ta tìm được các điểm
3 3 4 4 4 5
( ; ), ( ; ),M x x M x x
1
, ( ; ),
n n n
M x x +
Bước 4. Dựa vào đồ thị nếu
n
M
tiến gần đến giao điểm của đồ thị hàm số
()y f x=
và
đường thẳng
yx=
thì dãy số đã cho hội tụ (ví dụ 1, hình 1), ngược lại thì dãy phân kỳ (ví dụ
2, hình 4). Nếu dãy hội tụ thì theo mệnh đề 1 giới hạn của nó bằng hoành độ và tung độ của
giao điểm đồ thị
()y f x=
và
yx=
(nghiệm của phương trình
()f x x=
).
Vận dụng phương pháp vừa trình bày để giải một số bài toán sau.
3.2. Một số bài toán minh họa
Bài toán 1. Chứng minh sự hội tụ và tính giới hạn của dãy số
n
x
cho bởi công thức
truy hồi:
1
1
4
1
2
n
n
x
x
x+
=−
+
=
Giải. Trong mặt phẳng Oxy vẽ đồ thị hàm số
1
() 2
x
fx +
=
và
()g x x=
.
653
Hình 1. Sự hội tụ của dãy
n
x
Áp dụng phương pháp đã nêu ta xác định được các điểm
12345
, , , , ,M M M M M
. Trên
đồ thị của
()fx
các điểm
12345
, , , , ,M M M M M
tiến dần tới điểm cố định
( )
1;1L
là giao
điểm của đồ thị hai hàm số
()gx
và
()fx
, đồng thời các phần tử
12345
, , , , ,x x x x x
của dãy
tăng dần đến
1
L
x=
. Vậy dãy hội tụ và
lim 1
n
nx
→ =
.
Kiểm tra kết quả nhận được bằng cách giải lại bài toán 1 bằng phương pháp giải tích.
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học chứng minh
1, 1
n
xn
.
Ta có
141x= −
. Giả sử
1
111
11
22
n
nn
x
xx
+
++
= =
nên dãy bị chặn trên.
Mặt khác từ chứng minh trên suy ra
1
110
22
nn
n n n
xx
x x x
+
+−
− = − =
nên dãy
n
x
tăng
Vậy dãy đã cho tăng và bị chặn trên nên hội tụ và có giới hạn hữu hạn. Giả sử
1
lim lim
nn
nn
x l x l
+
→ →
= =
. Vì
11
lim 1
11
lim 1
2 2 2
n
nn
nn
n
x
xl
x x l l
→
++
→
+
++
= = = =
. Như
vậy giống với phương pháp đồ thị, phương pháp giải tích cũng chứng minh được
lim 1
n
nx
→ =
.
Dựa vào đồ thị của hình 1 ta có các lưu ý sau:
− Nếu
( )
1;1x −
thì
n
x
tăng và bị chặn trên bởi
1
L
x=
, nên dãy hội tụ .
− Nếu
( )
11;x
thì
n
x
giảm và bị chặn dưới bởi
1
L
x=
, nên dãy hội tụ.
− Nếu
11x=
thì các phần tử tiếp theo dãy
n
x
cũng bằng 1 vì
11
(1) 1
2
f+
==
.
654
Vậy dãy đã cho hội tụ
1
x
và
lim 1
n
nx
→ =
.
Qua bài toán này ta thấy rằng phương pháp tìm giới hạn dãy số cho bởi công thức truy
hồi bằng đồ thị hàm số vừa chứng minh được một dãy số là hội tụ (phân kỳ) vừa xác định được
với giá trị nào của
1
x
thì dãy hội tụ (phân kỳ), mà phương pháp giải tích không tìm được.
Bài toán 2. Cho dãy số
n
x
thỏa mãn
11
(0;1), (2 )
n n n
x x x x
+
= −
.
Chứng minh
n
x
hội tụ và tìm giới hạn của dãy.
Giải. Trong mặt phẳng
Oxy
vẽ đồ thị hàm số
( ) (2 )f x x x=−
và
()g x x=
. Trên trục
Ox
lấy
1
x
tùy ý sao cho
1(0;1)x
, từ đó tìm được
2345
, , , ,x x x x
như trên hình 2. Dễ thấy
trên đồ thị của
()fx
các điểm
1 2 3 4 5
, , , , ,M M M M M
tiến dần đến giao điểm
( )
1;1L
của hai
đồ thị hàm số
()gx
và
()fx
, đồng thời các phần tử
12345
, , , , ,x x x x x
của dãy tăng dần đến
1
L
x=
. Vậy dãy hội tụ và
lim 1
n
nx
→ =
.
Hình 2. Sự hội tụ của dãy
n
x
khi
( )
10;1x
.
Mở rộng bài toán: Trường hợp
( )
11;2x
theo hình 3 ta thấy dãy số
n
x
vẫn hội tụ và
lim 1
n
nx
→ =
. Tuy nhiên nếu giải bài toán này bằng phương pháp giải tích sẽ gặp nhiều khó khăn
do dãy số đã cho không phải là dãy tăng (
12
xx
mà
23
xx
).