Phương trình bậc cao tổng hợp
VD 71 :Chứng minh rằng phương trình sau có nhiệm duy nhất
` 5 2
2 1 0
x x x
( ĐH KD -05)
Nhận xét :
Đây là một phương trình mà khi giải nó cần có sự có mặt của tư duy hàm
số .Sau đây là một vài cách người thầy giúp học sinh tiếp cận lời giải .
Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng
2 2
3 3
1 1
1
x
x x
x x
(*)
Nhận xét nếu x=x0 là nghiệm của phương trình thì x0 >0 .Vì vậy trong
phương trình
(*) ta chỉ xét x>0
Mặt khác f(x)=x3 là hàm số đồng biến trên
0;

,
g(x) =
2
1
1
x
nghịch biến trên
0;

nên phương trình (*) có nhiều
nhất một nghiệm . Hàm h(x) = 5 2
2 1
x x x
liên tục trên R, h(1)=-3;
h(2)=23
nên h(1).h(2) < 0 . Theo định lý hàm số liên tục thì h(x) =0 có nghiệm
thuộc
khoảng
1;2
..Kết hợp với điều kiện trên ta có phương trình có nghiệm
duy nhất .
Cách 2: Biến đổi phương trình như sau
2
5
1
x x
từ phương trình ta thấy nếu phương trình có nghiệm x thì x>0
2
5
0 1 1, 1 1
x x x
nên phương trình vô nghiệm
1
x
xét hàm số h(x) = 5 2
2 1
x x x
,
có h’(x) =5x4 -2x-2 = 2x(x3 -1) +2(x4-1) +x4 >0 với mọi
1
x
nên h(x)
đồng biến
trên
0;

, h(x) =0 có nhiều nhất một nghiệm .
Lại có h(x) = 5 2
2 1
x x x
liên tục trên R nên liên tục trên
1;2
mà
h(1)=-3 ,h(2)=23 , nên h(1).h(2) < 0 . Theo định lý hàm số liên tục thì h(x)
=0 có nghiệm thuộc khoảng
1;2
..Kết hợp với điều kiện trên ta có
phương trình có nghiệm duy nhất
Cách3: Biến đổi phương trình
2
5
1
x x
Ta có
2 2
5 5
1 0 0 1 1 1 1
x x x x x
sau đó lại
xét hàm số
h(x)= 5 2
2 1
x x x
như trên .
VD72 :Tìm m để phương trình 3 2
18 2 0
x x mx m
(1)
Có ba nghiệm phân biệt x1,x2,x3 sao cho x1<0<x2<x3
( Đề thi thử ĐH –Chuyên Lê hồng phong Nam Định)
Lg:
Nhận xét Bài toán trên nếu giải theo phương pháp đại số thông thường
thì học sinh sẽ phải dùng đến định lý viét cho phương trình bậc ba-Đây là
định lý không được trình bày trong chương trình phổ thông,nếu dùng thì
học sinh phải chứng minh.Ta hãy xét cách giải sau bằng phương pháp
hàm số .
Biến đổi phưng trình như sau
(1)
3 2
3 2
2 (9 1) ( ) 2
9 1
x x
x x m x f x m
x
(Do x=
1
9
không là nghiệm )
số nghiệm của phương trìh (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
3 2
( )
9 1
x x
f x
x
và đường thẳng y=2m
ta có
2
'
2
0
2 3 1
( ) 0
1
(9 1)
3
x
x x
f x xx
.Bảng biến thiên
x -
0 1/9 1/3 +
+ 0 - - 0 -
f’(x)
0 +
f(x) -
-
1
27
-
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m<0 là giái trị cần tìm.
Bình luận :
Ta thấy cách giải bài toán trên là rất tự nhiên ,phù hợp với tư duy
,nhận thức của học sinh khi đã rất quen thuộc với bảng biến thiên.Với
cách giải như trên chúng ta có thể giải quyết nhiều câu hỏi khó khác
nhau của bài toán như : Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy
nhất,hay tìm m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt x1,x2,x3 sao
cho x1<0<x2<x3<1/3 ......
Ta xét cách giải khác sau bằng điều kiện cần và đủ Giả sử tìm được m
thoả mãn yêu cầu bài toán khi đó
f(x) = 3 2
18 2
x x mx m
=(x-x1)(x-x2)(x-x3). Do x1<0<x2<x3 nên
f(0)>0 hay
m<0.
Với m<0 f(0)=-2m>0,f(1)=16m<0 lim ( )
xf x


,lim ( )
xf x


Nên tồn tại a>1 sao cho f(a)>0,Tồn tại b<0 sao cho f(b)<0 .
Từ đó theo định lý hàm số
liên tục ta thấy phương (1) có ba nghiệm x1,x2,x3 thoả
1 2 3
;0 , 0;1 , ;x b x x a

.suy ra điều phải chứng minh.
VD 73 Tìm m để pt :
3
6 2
4 1
x x m
(1) có nghiệm trên đoạn
1;1
Lg :
Đặt y=
3
6 2
4 1
x x
Đặt
2
u x 0;1
. Ta có (1) có nghiệm khi phương trình
3
3
4 1 0
u u
có nghiệm trong đoạn
0;1
xét hàm số
3
3 3 2
y u 4 1 u 3u 12u 12u 4
2
1 2
2
y 9u 24u 12 0 u 0;1 ;u 2 1
3
Nhìn bảng biến thiên ta có
4
maxy 4;min y
9
Vậy phương trình có nghiệm khi
4
9
<m<4
Nhận xét :
ngoài cách giải bằng hàm số như trên ,học snh cũng có thể sử dụng bất
đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhia để tìm Gtln,Gtnn từ đó suy ra điều
kiện có nghiệm như sau
Đặt
6 6 6 6 6
2 2
sin sin 4cos sin cos 3cos
sin cos 3 4 max 4
x u y u u u u u
u u y
.
x
0
2
3
1
f
0
0
0
f
4
4
9
1
Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có
6 6 2
3
6 6 2
3
8 8 8 8 4
sin 3 sin sin
27 27 27 27 3
4 4 4 4 4
4cos 3 4cos cos
27 27 27 27 3
u u u
u u u
6 6 2 2
8
4 4 12 4
sin 4cos sin cos
9 3 3 9 9
y u u u u y
. Với
2 4
x min y
3 9
VD 74: Tìm m để phương trình 2
2( 2) 5 4 0
x m x m
(1) có hai
nghiệm phân biệt x1,x2 thoả mãn x1<-1<x2.
Nhận xét :
Do trong chương trình mới không có mặt định lý đảo về dấu của tam thức
bậc hai nên việc sử dụng đinh lý này học sinh phải chứng minh.Vì vậy ta áp
dụng phương pháp hàm số là phù hợp
Lg:
Biến đổi phương trình như sau
2
24 4
4 4 2 5 ( )
2 5
x x
x x m x f x m
x
(Do 2x+5=0 không là nghiệm)
Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để đường thẳng y=m cắt đò thị hàm số
2
4 4
( )
2 5
x x
f x
x
tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1,x2 thoả mãn x1<-
1<x2
Ta có
2
'
2
7
2 10 28
( ) 0
2
2 5
x
x x
f x x
x
.bảng biến thiên
x -
-7 -5/2 -1 2 +
f’(x) - 0 + + 0 -
+
+
9 0
f(x)
-3
-
-
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m<-3 là giá trị cần tìm
Nhận xét :
Ngoài cách giải trên ta có thể dùng định lý Viét để giải như sau
Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm
phân biệt x1,x2 và thoả mãn (x1+1)(x2+1)<0
Bình luận:
Bài toán trên có thể được hỏi trực tiếp bằng hàm số như sau
Tìm m để hàm số
3 2 2
1
2 5 4 1
3
y x m x m x m
có cực trị
tại hai điểm x1,x2 và thoả mãn x1<-1<x2.Đây là một câu hỏi mà các thí
sinh thừờng gặp trong các kỳ thi Đại học ,Cao đẳng .Qua bài toán này
người thày cần nhấn mạnh thêm cho học sinh thấy được mối quan hệ
giữa phương trình và đồ thị hàm số ,đồng thời phát triển ở học sinh tư
duy linh hoạt ,biết lột bỏ cái nguỵ trang của bài toán để đưa chúng về bài
toán quen thuộc .Đây cũng chính là nội dung của phương pháp ‘ Quy lạ
về quen’ mà Giáo sư Nguyễn Bá Kim đề cập trong cuốn :
“Phương pháp giảng dạy toán ” . Tập 1- NXB GD
VD 75 : Tìm a để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt
6 5 4 3 2
x 3x 6x ax 6x 3x 1 0
(1).
Giải
Vì x=0 không là nghiệm của phương trình nên chia 2 vế phương trình cho x3
ta được :
3 2
3 2
1 1 1
x 3 x 6 x a
x x x
Đặt
1
t x
x
thì x2 –tx+1=0 , để tồn tại x thì 2
t 4 0 t 2
Phương trình trở thành : t3 + 3t2 -9t = a + 6 (2)
Để ý rằng với
t 2
t 2
phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm x , còn với mỗi
t mà |t| >2 cho tương ứng với 2 giá trị của x.
Do đó , (1) có 2 nghiệm phân biệt
(2) có 2 nghiệm
t 2
hoặc có đúng 1
nghiệm t sao cho |t| >2
*TH1 : (2) có 2 nghiệm
t 2
2 a 6
22 a 6
không thoả mãn.
*TH2 : (2) có đúng 1 nghiệm t sao cho |t| >2
Xét hàm số y=t3 +3t2 -9t với
t ; 2 2;
2
t 1
y’ 3t 6t 9 0
t 3