Phương trình bậc cao tổng hợp

Chia sẻ: Paradise9 Paradise9 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

178
lượt xem 24
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'phương trình bậc cao tổng hợp', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương trình bậc cao tổng hợp

Phương trình bậc cao tổng hợp VD 71 :Chứng minh rằng phương trình sau có nhiệm duy nhất x 5  x 2  2 x  1  0 ( ĐH KD -05) ` Nhận xét : Đây là một phương trình mà khi giải nó cần có sự có mặt của tư duy hàm số .Sau đây là một vài cách người thầy giúp học sinh tiếp cận lời giải . Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng 2 2  x 1  1 3 3 x    x  1   (*) x  x Nhận xét nếu x=x0 là nghiệm của phương trình thì x0 >0 .Vì vậy trong phương trình (*) ta chỉ xét x>0 Mặt khác f(x)=x3 là hàm số đồng biến trên  0;   , 2  1 g(x) =  1   nghịch biến trên  0;   nên phương trình (*) có nhiều  x 5 2 nhất một nghiệm . Hàm h(x) = x  x  2 x  1 liên tục trên R, h(1)=-3; h(2)=23 nên h(1).h(2) < 0 . Theo định lý hàm số liên tục thì h(x) =0 có nghiệm thuộc khoảng 1;2  ..Kết hợp với điều kiện trên ta có phương trình có nghiệm duy nhất . 2 Cách 2: Biến đổi phương trình như sau x   x  1 5 từ phương trình ta thấy nếu phương trình có nghiệm x thì x>0 2  0  x  1  x 5  1,  x  1  1 nên phương trình vô nghiệm  x  1 xét hàm số h(x) = x 5  x 2  2 x  1 , có h’(x) =5x4 -2x-2 = 2x(x3 -1) +2(x4-1) +x4 >0 với mọi x  1 nên h(x) đồng biến trên  0;   , h(x) =0 có nhiều nhất một nghiệm . Lại có h(x) = x 5  x 2  2 x  1 liên tục trên R nên liên tục trên 1;2 mà h(1)=-3 ,h(2)=23 , nên h(1).h(2) < 0 . Theo định lý hàm số liên tục thì h(x) =0 có nghiệm thuộc khoảng 1;2  ..Kết hợp với điều kiện trên ta có phương trình có nghiệm duy nhất
2 Cách3: Biến đổi phương trình x   x  1 5 2 2 Ta có  x  1  0  x  0   x  1  1  x  1  x  1 sau đó lại 5 5 xét hàm số h(x)= x 5  x 2  2 x  1 như trên . VD72 :Tìm m để phương trình x 3  x 2  18mx  2m  0 (1) Có ba nghiệm phân biệt x1,x2,x3 sao cho x1
 Ta thấy cách giải bài toán trên là rất tự nhiên ,phù hợp với tư duy ,nhận thức của học sinh khi đã rất quen thuộc với bảng biến thiên.Với cách giải như trên chúng ta có thể giải quyết nhiều câu hỏi khó khác nhau của bài toán như : Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất,hay tìm m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt x1,x2,x3 sao cho x1
Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có 6 sin u  8  8  3 3 sin 6 u  8  8  4 sin 2 u  27 27 27 27 3   4cos 6 u  4  4  3 3 4cos 6 u  4  4  4 cos 2 u 27 27 27 27 3  y  sin 6 u  4cos 6 u  8  4  sin 2 u  cos 2 u   4  12  y  4 . Với 93 39 9 x  2  min y  4 3 9 VD 74: Tìm m để phương trình x 2  2(m  2) x  5m  4  0 (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thoả mãn x1
Nhận xét : Ngoài cách giải trên ta có thể dùng định lý Viét để giải như sau Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và thoả mãn (x1+1)(x2+1)2 Xét hàm số y=t3 +3t2 -9t với t   ; 2    2;   t  1 y’  3t 2  6t  9  0    t  3
BBT t -∞ -3 -2 1 2 +∞ y’ + 0 0 + - 27 +∞ y 22 -∞ 2  a  6  27 a  21 Từ BBT ta có 2) có đúng 1 nghiệm t sao cho |t| >2   .  a  6  2 a  4  a  21 KL: giá trị của a thoả mãn   a  4 Nhận xét : Đây là dạng toán gặp khá nhiều , khi làm cần lưu ý +Đặt ẩn phụ t chuyển sang phương trình mới với t  D ( cần đánh giá để được miền giá trị của t ứng với miền giá trị của x ). +Đưa phương trình về dạng cơ bản f(t)=g(m) , t  D . 4 2 2 2 VD76: Cho phương trình x  x  x  m( x  1) (1). Tìm m để phương trình có nghiệm. Lg : Phương trình đã cho tương đương 4( x 3  x 2  x ) 4 x ( x 2  1)  4 x 2 2x 2x 2 m  4m  2. ( )  4m (1  x 2 )2 (1  x 2 )2 1  x2 1  x2 2x Đặt t= ; t  [-1;1]. 1  x2 Khi đó phương trình (1) trở thành 2t+t2=4m. (1) có nghiệm  (2) có nghiệm t  [-1;1] Xét hàm số y=f(t)=t2+2t với t  [-1;1]. Ta có f’(t)=2t+2≥0 với mọi t  [-1;1]. t -1 1 f’ 0 +  f 3
-1 1 3 Từ BBT -1≤4m≤3    m  . 4 4 Bình luận : Các bài tập có dạng như trên nếu học sinh giải theo hướng khác thì gặp rất nhiều khó khăn ,phương pháp hàm số là sự lựa chọn thích hợp nhất cho các lớp bài tập dạng này . Các bài tập luyện tập tổng hợp log(mx ) Câu 1 )Tìm m để phương trình:  2 có nghiệm log( x  1)  x 2  3x  3 Câu 2) Tìm m để : f ( x)   0 có nghiệm cos2 x 1 2  21 sin x  2m ( m  1)   2 x  y  m  Câu 3) Tìm m để hệ:  Có nhiều hơn hai nghiệm. 2  x  1 y  xy  m  y  2   Câu 4) Tìm m để bất phương trình: 2 x  2  1  m  x x 2  2  4 đúng với x   0;1 Câu 5) Tìm m để phương trình: x 2  4 x 3 1  m 4  m2  1 có 4 nghiệm phân biệt.  5 Câu 6) Tìm m để: 3 1  x  3 1  x  m có 2 nghiệm. Câu 7) Tim m để bất phương trình sau có nghiệm: a 2x2  7  x  a Câu 8) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:   x x  x  12  m 5 x  4 x Câu 9) Tìm m để phương trình: 1  x 2  2 3 1  x 2  m có nghiệm. duy nhất Câu 10) Tìm x thoả mãn x>1 để bất phương trình: log 2 x  x  x  m  1  1 đúng với 0  m  4 .  2 m Câu 11) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất: x  1  x  2m x 1  x   2 4 x 1  x   m3
Câu 12) Tìm m để:   log 22 x  log 1 x 2  3  m log 4 x 2  3 có nghiệm   32;   2 Câu 13) Tìm m để bất phương trình có nghiệm:   x x  x  1  m log 2 2  4  x Câu 14) Tìm m để với x  0; 2  thoả mãn:   log 2 x 2  2 x  m  4 log 4 x 2  2 x  m  5 Câu 15) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:     log x  m x 2  1  log x  m x 2  2 x  3 Câu 16) Tìm m để bất phương trình:   x 2  4 x  5  2  0 có nghiệm với x  2; 2  3  x 4  x  m   Câu 17) Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:   2log 1  mx  28    log5 12  4 x  x 2 25 Câu 18) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 1 x 1  1  x  8  x  m  x  8  3m 8 x Câu 19) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với x 0; 4 : 2   2 9  x  1   3x  m  1  3 x  4 Câu 20) Tìm m để bất phương trình có nghiệm   0;1 : 2 x  2  2  m  x x 2  4  13 Câu 21) Tìm m để bất phương trình có nghiệm với x  2 ; 10    x x m 2 x 1 Câu 22) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: x 2  3x  1  m x 4  x 2  1  0 Câu 23) Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm với x :  log    x 2  ·+5  1 log 5 x 2  ax +6  1 3 Câu 24) Tìm m để moi nghiệm của bất phương trình : log 3  5 x 2  8 x  3  2 đều thoả mãn bất phương trình:     log 2 x 2  1  log 2 3x 2  x  m . Câu 25) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với x  1; 2 :
 m  2  log 2 1  x  1  2m log 1  x  1  1  0 2 2 Câu 26) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x4  4 x  m  4 x4  4 x  m  6 Câu 27) Tìm m để bất phương trình ln(1  x)  x  mx 2 nghiệm đúng với mọi x0 Câu 28) Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt x3  2 x 2  2 x  m3  3m 2  1  x  1 Câu 29) Chứng minh rằng với mọi m>0 phương trình sau luôn có nghiệm x 2  mx  2 )  2 x  x 2  mx  2  1 log 2 ( 2x 1  2 x 1 1  2x 1 Câu 30) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm   3  8 x  5  x  2 x  1  2m  0  3 Câu 31) Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm x 3  3x 2  1  a  x  x  1 