2
Vaán ñeà 3
x ≤ 0 ⇔ α ∉ f(x)co ù 2 nghieäm x 1 ]
[
2
PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI
2
x ,x 1 ∆ ≥⎧ ⎨ af( ) 0 α > ⎩ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
3. Ñieàu kieän ñeå tam thöùc khoâng ñoåi daáu treân R Cho 0) bx c (a + f(x) ax = + ≠
I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ
f(x) 0, x R
> ∀ ∈ ⇔ ⎨
bx c 0(a 0) (*)
+
+ =
≠
f(x) 0, x R
≥ ∀ ∈ ⇔ ⎨
2b
−
4ac ∆ = ∆ < 0 : (*) voâ nghieäm
f(x) 0, x R
< ∀ ∈ ⇔ ⎨
1. Phöông trình baäc hai: 2ax a. Cho phöông trình :
2
A
f(x) 0, x R
≤ ∀ ∈ ⇔ ⎨
x
=
x = = − x ∆ = 0 : (*) coù nghieäm keùp 1 b 2a
0
a 0 >⎧ 0 ∆ <⎩ a 0 >⎧ 0 ∆ ≤⎩ a 0 <⎧ 0 ∆ <⎩ a 0 <⎧ ∆ ≤⎩
b. Ñònh lyù Viete : Neáu phöông trình :
b − ± 2a bx c 0(a 0)
2ax
+ =
+
≠
x
+
= −
x 1
2
b a
coù 2 nghieäm
2
x ,x thì : 2 1
Neáu chöa coù a ≠ 0 thì ta phaûi xeùt tröôøng hôïp a = 0. 4. So saùnh nghieäm cuûa phöông trình baäc hai vôùi hai soá cho tröôùc. Cho phöông trình :
bx c 0(a 0)
vaø hai soá
, (
f(x) ax =
+ =
+
≠
α β α < β )
x
+
=
x 1
2
c a
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
x
x 1
2
2
af( ) 0 α < af( ) 0 β <
bx c(a 0)
2. Daáu cuûa tam thöùc baäc hai :
f(x) ax =
+
+
≠
af(
) 0
α <
x
< α <
x 1
2
af( ) 0 β >
⇔
a. Ñònh lyù thuaän: ∆ < 0 : f(x) luoân cuøng daáu vôùi a
vaø
f(
x
≠ −
∆ = 0 : f(x) cuøng daáu vôùi a vôùi moïi
) 0 =
−
α <
x 1
b 2a
) 0 af( α < af( ) 0 β >
⎧ < α < β < ⇔ ⎨ ⎩ ⎧ < β ⇔ ⎨ ⎩ ⎧ x < β < ⇔ ⎨ 2 ⎩
x<
> ∀ ∈ af(x) 0, x R b 2a
2
x ∆ > 0 : f(x) coù 2 nghieäm phaân bieät : 1
x
x
< α <
< β ∨ α <
< β < ⇔ phöông trình coù 2 nghieäm phaân
x 1
2
x 1
2
Baûng xeùt daáu:
).f( ) 0 β <
bieät vaø chæ coù moät nghieäm thuoäc
f( α ⎧ ( ; ) α β ⇔ ⎨ a 0 ≠⎩
f(x) =
b. Ñònh lyù ñaûo veà daáu cuûa tam thöùc: Cho tam thöùc vaø moät soá thöïc α .
bx c(a 0)
2ax
+
+
≠
∆ > 0 : (*) Coù 2 nghieäm phaân bieät 1,2
2
2
12
13
x < f(x)co ù 2 nghieämx 1 af( ) 0 x < α < x 1 ⎧ α < ⇔ ⎨ ⎩
Ví duï 2: Ñònh m ñeå phöông trình : 2x
−
2mx 2 m 0 + −
= coù 2 nghieäm 1
x ,x vaø 2
0
ñaït giaù trò nhoû nhaát.
x+
2 x 1
2 2
Giaûi
x
α <
<
x 1
2
Phöông trình coù 2 nghieäm 1
x ,x vaø 2
2
Phöông trình coù 2 nghieäm 2 − ⇔ ∆ =
−
' m (2 m) m m 2 0 m 2 m 1 ≥
− ≥ ⇔ ≤ − ∨
=
+
0
x
2m
+
=
Ñònh lyù viete:
0
− β <
2 m
2 = −
x 1 x x 1 2
⎧ ⎨ ⎩
af( ) 0 s 2 s 2
⎧ ⎪ ⎪∆ > ⎪ af( ) 0 α > ⎪ ⎪ < β ⇔ β > ⎨ ⎪ ⎪ − α > ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
2
2
2
x
=
+
=
4m 2(2 m) 4m 2m 4 − =
−
−
+
2 x ⇒ + 1
2 2
(x 1
x ) 2
2x x 1 2
II. Caùc ví duï:
− 2 f(x) 4m 2m 4
+
=
− vôùi m
Xeùt haøm soá
Ta coù :
f '(m) 8m 2 , f '(m) 0 m
=
+
+
2(m 3)x m 13 0 +
−
−
= coù 2 nghieäm.
Ví duï 1: Ñònh m ñeå phöông trình : 2x
2 m 1. ≥ ≤ − ∨ 1 = ⇔ = − 4
x
ñaït giaù trò lôùn nhaát.
−
−
x ,x vaø 1 2
x x 1 2
2 x 1
2 2
F(-2) = 8 , f(1) = 2 BBT
2
Giaûi 2 (m 13) m 7m 22 0 −
−
=
+
−
> m∀ vì
Ta coù: ∆ =
' (m 3) ∆ = − 49 88 0 < −
x
2(m 3) 6 2m
+
= −
= −
−
Ñònh lyù viete cho :
−
x 2 1 x x m 13 = 1 2
⎧ ⎨ ⎩
2 x 1
2 2
2 (x 1
2 x ) 2
2
2
x ⇒ − − = − + x x 1 2 x x 1 2
Vaäy Min
x ) 2
+
= khi m = 1
2 (x 1
2 2
+
= −
= −
−
+
− 2
(4m 27m 75) 2
2
2mx
−
+
− 2(m 2)x 2m 1)
−
4
75
= −
−
+
−
75 4 ≤
−
27 8
27 8
27 8
⎛ 4 m ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎠
Ví duï 3: Cho haøm soá f(x) = 2x + m + log2 ( (m laø tham soá). Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa m ñeå f(x) xaùc ñònh vôùi moïi x
⎛ ⎜ ⎝ 2
(ÑAÏI HOÏC CAÀN THÔ – Khoái D naêm 2000)
Vaäy
m
75
khi
=
−
−
x ) 4 =
−
max(x x 1 2
2 x 1
2 2
27 8
27 8
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
2
f(x) xaùc ñònh
mx
2(m 2)x 2m 1 0 x
x ∀ ⇔
−
− >
∀ (1)
+
Giaûi −
4x 1 0
x
⇔ − > ⇔ >
. m = 0 : (1)
khoâng thoaû vôùi x∀
1 4
14
15
= + − = − (6 2m) − x ) 2 3(m 13) − 2 3x x (x 1 2 1 2 4m 27m 75
.
m 0 : (1)
≠
2
(m 2) m(2m 1) 0
− <
−
−
m 0 >⎧⎪ ⇔ ⎨ ' ∆ = ⎪⎩
m
5m – 4 = 0 m ⇔ = 4 5
= vaøo phöông trình cho: 2 x
m 0
4 5
m 1
⇔ >
⇔
⇔
4 m 1
< − ∨
>
m 3m 4 0
+
− >
m 0 >⎧ ⎨ m ⎩
Theá x 0 x 0 − = ⇔ − = 8 5 8 5 ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠
nhaän. x 0 x ⇔ = ∈ ∨ = ∉ m ⇒ =
[
] 0,1
[
] 0,1
>⎧ ⎪ ⎨ 2 ⎪ ⎩ Ví duï 4: Tìm a ñeå hai phöông trình :
2ax
x 1 0
+ + = vaø 2x
+
+ = ax 1 0
4 5 8 5 : * Phöông trình cho coù ñuùng moät nghieäm (0,1) ∈
Coù nghieäm chung.
2 < <
(ÑAÏI HOÏC THAÙI NGUYEÂN – Khoái D naêm 2000)
0 x 1 (1) < < <
2
Giaûi
1 x (2) 2 1 (3) x < = x ⎡ 1 ⎢ 0 x ⇔ < ⎢ 1 ⎢ < 0 x ⎣ 1
Goïi x0 laø nghieäm chung cuûa 2 phöông trình cho, ta coù: ax
1 0 (1)
x
+ =
+
2 0
0
2
' m 5m 4 0
+ =
−
x
ax
1 0 (2)
+
+ =
=
2 0
0
(3)
⇔
⇔
m ⇔ ∈∅
m 1 m 4 = ∨ 0 m 1 < <
0
<
=
m 1 <
(1 a)x
+ −
(1) – (2) :
0 =
⎧ ⎨ ⎩
0
2 0
⎧∆ = ⎪ ⎨ s ⎪ 2 ⎩
0
(a 1)x
(a 1)(x
x ) 0 (*)
−
=
−
=
⇔ −
⇔ −
(a 1)x −
(a 1)x − 2 0
0
Toùm laïi:
≤
≤ m 1
x
0 x
1) 0
⇔
= 1
− = ⇔ = ∨
0
0
0
0 a 1 x (x 0
4 5 Ví duï 6 : Goïi x1, x2 laø caùc nghieäm cuûa phöông trình :
caû 2 phöông trình ñaõ cho ñeàu voâ nghieäm.
0 :=
2
2
12x
−
6mx m 4 +
− +
= 0
12 2
m
laø nghieäm chung cuûa hai phöông trình ñaõ cho, thì ta coù: a
1:= + + = ⇔ = − 2
x+
3 2
Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì 3 x 1 a) Ñaït giaù trò lôùn nhaát ? b) Ñaït giaù trò nhoû nhaát ?
0
− = coù ñuùng moät nghieäm
2mx 5m 4 +
−
Giaûi
2 0 . Neáu a 1 0 − = ⇔ = thì caû hai phöông trình ñaõ cho ñeàu voâ nghieäm. a 1: (*) . Neáu ≠ + Vôùi 0x + Vôùi 0x a 1 1 0 Vaäy a = - 2 thì hai phöông trình ñaõ cho coù nghieäm chung x = 1. Ví duï 5: Ñònh m ñeå phöông trình : 2x thuoäc [
(1) vaø (2) f(0).f(1) 0 (5m 4)(3m 3) 0 ⇔ < ⇔ − < ⇔ < − < m 1 4 5
]0,1 .
Ñieàu kieän ñeå phöông trình cho coù nghieäm
Giaûi
2
2
' 9m 12 m 4
0
⇔ ∆ =
− +
−
≥
12 2
m
⎞ ⎟ ⎠
2
2 4 m 12
0
⇔ −
m 16 +
−
≥ ⇔ ≤
≤ ⇔ ≤
2 m 2 3 ≤
⎛ ⎜ ⎝ 48 2
m
Vôùi ñieàu kieän ñoù, x1 vaø x2 laø 2 nghieäm cuûa phöông trình, ta coù :
Ta xeùt caùc tröôøng hôïp sau: Phöông trình cho coù nghieäm x = 1 Theá vaøo phöông trình cho: 3m – 3 = 0 m 1⇔ = . Theá m = 1 vaøo phöông trình cho: 2x ⇒ m = 1 nhaän. * Phöông trình cho coù nghieäm x = 0 : Theá vaøo phöông trình cho:
16
17
2x 1 0 x 1 + = ⇔ = (keùp) −
x
+
=
x 1
2
x
+
=
+
−
+
2
3 x 1
3 2
(x 1
3 x ) 2
3x x (x 1 2 1
x ) 2
2mx m 4 0 (*)
Ví duï 8 : Ñònh m ñeå phöông trình: (m 5)x −
−
− =
+
2 m 4
=
− +
x x 1 2
12 2
1 12
Coù moät nghieäm nhoû hôn 1 vaø moät nghieäm lôùn hôn 2.
m
m 2 ⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
3
Giaûi
2
2 m 4
f(m)
3
− +
=
−
=
=
−
f(x)
=
(m 5)x −
2mx m 4 − +
−
12 2
m 2
3 2m
m 2
m
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
⎛ ⎜ ⎝
m 1 ⎞ . ⎟ 12 2 ⎠ 3
vaäy haøm soá luoân taêng trong hai ñoaïn
0, m 0,
f '(m)
> ∀ ≠
Ñaët Goïi x1 , x2 laø 2 nghieäm cuûa (*), ta coù : x1 < 1 < 2 < x2
2
1 = + 2
5 m 24
.
−
2 3, 2 −
⎡ ⎣
2m ⎡ vaø 2,2 3 ⎣
⎤ ⎦
⎤ ⎦
af(1) 0 af(2) 0
m 5 > 5 m 24 <
(m 5)( 9) 0 − < ⎧ ⎨ (m 5)(m 24) 0 − ⎩
⇔ ⇔ < < ⇔ ⇔ < < − − < < ⎧ ⎨ ⎩
Ta coù :
2
(1 3m) x
x
.
+ −
+
+
+
3m 0 =
1 2
1 x
x
⎞ ⎟ ⎠
f( 2 3) − f( 2 3) f(2 3) ⇒ − < f(2) f(2 3) = < 1 4 1 ⎫ f( 2) < − = − ⎪⎪ 4 ⎬ ⎪ ⎪⎭
x+
2 3
= −
2
2
2
2
t
x
t
x
2
x
t
Ñaët
+
+ ⇒ +
=
− 2
1 2
1 2
3 2 nhaát öùng vôùi m 2 3 Ví duï 7 :
x
x
1 = + ⇒ = x Ñieàu kieän t
2≥
vaø ñaït giaù trò lôùn ñaït giaù trò nhoû nhaát öùng vôùi m Vaäy 3 x 1 ⎧ ⎨ ⎩ Ví duï 9 : Ñònh m ñeå phöông trình coù nghieäm : ⎛ ⎜ ⎝ Giaûi . =
Phöông trình cho
2t
⇔ − + −
= 2 (1 3m)t 3m 0
+
−
+
+
0 (a b c 0)
+ + =
(1 3m)t 3m 2 +
− =
2
2t ⇔ + − ⎡ = t 1 khoâng thoaû t
≥
Ñònh m ñeå phöông trình sau coù nghieäm thuoäc π ⎞ ⎟ ⎠ 3 π⎛ , ⎜ 2 2 ⎝ cos2x (2m 1) cos x m 1 0 + =
)
t 3m 2
=
−
⇔ ⎢ ⎢⎣
2
2
Ñeå phöông trình coù nghieäm :
+
+
x 1,0 Ñaët t = cosx, vì ∈ Giaûi [ t π ⇒ ∈ − 3 , 2 2 π⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠
3m 2 2 − ≥
3m 2
2
3m 2
2 − ≤ −
22t ⇔ −
(2m 1)t m 0 =
+
+
⎡ ⇔ − ≥ ⇔ ⎢ ⎣
4 ⎡ m ≥⎢⇔ 3 ⎢ m 0 ≤⎢⎣
1 cos2x 2 cos x 1 2t − − = = 22t 1 (2m 1)t m 1 0 + = ⇔ − − Phöông trình cho
t
m
2
2
1,0
)
[ = ∉ −
2m 1 2m 1 + + 4 2m 1 2m 1 + − 4
1 2
Vaäy ñeå nghieäm
t
1,0
− = = (2m 1) 8m (2m 1) 0 ∆ = + − = − ≥ ⎡ ⎢ ⇔ ⎢ −
) ∈ − ⇔ − ≤
⎢ = t ⎢⎣ < 1 m 0
[
18
19
HÖÔÙNG DAÃN VAØ ÑAÙP SOÁ
III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ
3.1. Cho hai phöông trình : 2x
1
x m 0 (1) = − + 2x
−
3x m 0 (2) =
+
0≠ laø 1 nghieäm cuûa phöông trình (1), nghieäm phöông trình (2):
1 4m 0 ∆ = − ≥ m ⇔ ≤ 9 4m 0 1 4 ∆ = − ≥
3.1. Ñieàu kieän ñoàng thôøi coù nghieäm cuûa 2 phöông trình cho laø : ⎧ ⎨ ⎩ 2 Goïi 0x
0
2 0
0
2 0
0
+
0
= 3x 2s 0 2x 6x 5s 0 = +
2 0
0
2 0
0
2
2
x = x x m 0 5x 0 − + = − = x 2x= ⇔ ⇔ ⇔ 4x m x x − 6x m 0 + = = − + ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎧ 3x ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ m = − 5 3 10 9 ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
thì ít nhaát moät trong hai
≥
+
2(b 1
b ) 2
f(x) x g(x) x 3.2. Ñaët = + 3x 2s, + = + 6x 5s +
2
Vôùi nhöõng giaù trò naøo cuûa m, thì phöông trình (2) coù moät nghieäm khaùc 0, gaáp 2 laàn moät nghieäm cuûa phöông trình (1). 3.2. Cho hai phöông trình : 2x + + Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa s ñeå moãi phöông trình ñeàu coù 2 nghieäm phaân bieät, vaø giöõa 2 nghieäm cuûa phöông trình naøy coù ñuùng moät nghieäm cuûa phöông trình kia. a a 3.3. Chöùng minh raèng neáu 1 2 phöông trình x
0
+
=
a x b + 1 1
1
2
coù nghieäm.
2
x
0
+
=
a x b + 2
2
0 ∆ > 1 vôùi x1, x2 laø nghieäm cuûa phöông trình f(x) = 0 g(x ).g(x ) 0 < Moãi phöông trình ñeàu coù 2 nghieäm phaân bieät vaø giöõa 2 nghieäm cuûa phöông trình naøy coù ñuùng moät nghieäm cuûa phöông trình kia, ta phaûi coù ⎧ ⎨ ⎩
3
2
hx
x
hx 1 0 (1)
+
+
+
+ =
3.4. Ñònh m ñeå phöông trình : 2 x Coù khoâng ít hôn hai nghieäm aâm khaùc nhau.
0 s 1 ⇔ < < ⇔ 9s(s 1) 0 8 9 − < ⎧ s <⎪ ⎨ ⎪ ⎩
a
4b
−
−
∆ = 1
2 a 1
2 2
2
2
2
a
b ) 0
+
+
−
≥
3.5. Ñònh m ñeå phöông trình
1 a
0
coù
+
+ −
=
2
4(b 1
4x 2
4
2ax 2
x
1 2x +
+
1 x +
3.3.
4b , ∆ = 2 1 2 2 a 2 1 a a 1 2
2 2 2
nghieäm. 3.6. Ñònh m ñeå phöông trình coù nghieäm:
2
2
2
⇒ ∆ + ∆ = 1 (vì 2 a 1 ⇒ ít nhaát 1 trong 2 phöông trình ñaõ cho phaûi coù nghieäm. 3.4. Nhaän xeùt x = 0 khoâng phaûi laø nghieäm cuûa (1)
(x
−
2x 2) +
+
2(3 m)(x −
−
2 = 2x 2) m 6m 0
−
+
+
2
a ) ≥ + ≥ + 2(b 1 b ) 2 2a a 1 2
3.7. Chöùng minh phöông trình sau coù nghieäm:
t x h(x) x tx 1 0 (2) = − + = Ñaët
2
2
t
2 t 2 t 1 = + ⇔ x Ñieàu kieän t ≥ ⇔ ≥ ∨ ≤ − 2 c, m n,a, b,c 0 (1) = ≠ ≠ + x m x n b − a −
20
21
(2) neáu coù nghieäm thì caùc nghieäm cuøng daáu. t = - 2 thì (2) coù 1 nghieäm aâm. 2⇔ < − (2) coù 2 nghieäm aâm
2
2
⎧ ≥⎪ t f(t)
t
=
+
ht 1 0 − =
⇔ ⎨ ⎪⎩
f( 2) 0
h
f(t) coù 2 nghieäm traùi daáu YCBT
⇔ − < ⇔ >
3 2
2x
3.5. Ñaët
t
=
Ñieàu kieän 1 t 1 − ≤ ≤
2
1 x +
2
1 1 1
2
1 a
0
+
+ −
− ≤ ≤ 2
2
4x 2
4
2ax 2
x
t
f(t)
0
1 2x +
+
1 x +
=
+
at 1 a + −
=
x
f( 1)f(1) 0
a
2
⇔ −
≤ ∨
2 ⇔ <
<
(1) coù nghieäm
5
1
<
⎧⎪ = ⇔ ⎨ ⎪⎩ 0 ∆ ≥⎧ ⎪ − > f( 1) 0 ⎪⎪ ⎨ f(1) 0 > ⎪ s ⎪− < 1 ⎪⎩ 2
2
2
2
3.6. Ñaët
t
x
2x 1) 1 (x 1)
=
−
2x 2 (x + =
−
+ + =
−
1 1 + ≥
2
2(3 m)t m 6m 0
Phöông trình cho trôû thaønh: 2 t
+
=
+
−
−
t m =⎡ ⇔ ⎢ −⎣ m 6
m 1 ≥
m 1 ≥
YCBT
m 1
⇔
⇔
⇔ ≥
m 6 1 − ≥
m 7 ≥
⎡ ⎢ ⎣
⎡ ⎢ ⎣
2
2
(1)
f(x)
3.7.
−
⇔
= c(x m)(x n) a (x n) b (x m) 0
−
−
−
−
−
2
f(m).f(n)
= 2 2 a b (m n)
0
= −
−
< ⇒ phöông trình luoân luoân coù phaân bieät
vaø m,n ≠
22
(1)
