PH NG TRÌNH HÀM TRÊN R, Q, N (FUNCTION EQUATION) ƯƠ
Trong các kì thi h c sinh gi i th ng có bài toán gi i ph ng trình hàm ,trong đó có m t sọ ỏ ườ ả ươ ộ ố
không nh các bài qui v xác đ nh tính c ng,nhân c a hàm s . Chuyên đ này kai thác các tínhỏ ề ị ộ ủ ố ề
ch t c a hàm c ng tính, nhân tính đ gi i các PTH trong các kì thi HSG trong n c và n cấ ủ ộ ể ả ướ ướ
ngoài
BT1 : Cho hàm f : R → R tho mãn f(x + y) = f(x) + f(y) v i ả ớ ∀ x, y ∈ R (f đ c g i là hàm c ngượ ọ ộ
tính trên R) và không ph i là hàm h ng .Ch ng minh các m nh đ sau t ng đ ngả ằ ứ ệ ề ươ ươ
a) f(x) liên t c t i xụ ạ 0
b) f (x) = ax ( a ≠ 0)
c) f đ n đi u trên (c; d) ơ ệ
d) f gi i n i trên (c; d) ớ ộ
Gi i:ả
a) ⇒ b) Ta ch ng minh f liên t c trên R .V i xứ ụ ớ 1 b t kì ,l y dãy (xấ ấ n) h i t t i xộ ụ ớ 1
Cho n → +∞ : xn - x1 + x0 → x0 , do f liên t c t i xụ ạ 0 nên
+ ∞→n
lim
f(xn - x1 + x0) =
+ ∞→n
lim
[f(xn) - f(x1) + f(x0)]
=
+ ∞→n
lim
f(xn) - f(x1) + f(x0) = f(x0)
⇒
+ ∞→n
lim
f(xn) = f(x1) V y f liên t c trên R ậ ụ
Vì f c ng tính trên R nên f(x) = ax (1) v i ộ ớ ∀ x ∈ Q, a ∈ R* (B n đ c hãy ch ng minh TC n y) ạ ọ ứ ầ
V i x b t kì, l y dãy (yớ ấ ấ n) ⊂ Q h i t t i x.Ta có:ộ ụ ớ
+ ∞→n
lim
f(yn) =
+ ∞→n
lim
(ayn) = ax (theo (1))
+ ∞→n
lim
f(yn) = f(x) (do f liên t c trên R) ụ
⇒f(x) = ax
b) ⇒ c) và c) ⇒ d) là đ ng nhiên.Ta ch ng minh d) ươ ứ ⇒ a)
Ta ch c n CM cho c > 0ỉ ầ
Ta có m < f(x) < M ⇒
n
m
< f(
n
x
) <
m
M
(n ∈ N* , x ∈ (c; d) )
Cho n → +∞ :
n
m
→ 0,
m
M
→ 0, y =
n
x
→ 0+
⇒
+
→0y
lim
f(y) = 0 = f(0) ⇒ f liên t c bên ph i t i 0ụ ả ạ
Do f làhàm l (B n đ c hãy ch ng minh TC n y) ẽ ạ ọ ứ ầ ⇒ f liên t c bên trái t i 0 ụ ạ
⇒ f liên t c t i t i x = 0 . ụ ạ ạ
Ch ng minh t ng t nh a ta có f liên t c trên R ứ ươ ự ư ụ
N u f là hàm h ng ta d dàng CM đ c f(x) ế ằ ễ ượ ≡ 0
BT2 : Tìm hàm f : R → R tho mãn f(xy) = f(x)f(y) v i ả ớ ∀ x, y ∈ R (f đ c g i là hàm nhân tínhượ ọ
trên R ) và liên t c t i xụ ạ 0 > 0
HD :
Ta có : f(0) = 0 ho c f(0) = 1; f(1) = 0 ho c f(1) = 1ặ ặ
a) f(1) = 0 : f(x) ≡ 0 (nh n)ậ
b) f(1) = f(0) = 1
f(x) = f(x).f(1) = f(x)f(0) = f(0) ≡ 1 (nh n)ậ
c) f(0) = 0 và f(1) = 1
x ≠ 0: f(x)f(
x
1
) = f(1) = 1
⇒ f(x) ≠ 0
x > 0 : f(x) = [f(
x
)]2 > 0
Xét hàm g :R→ R :
g(x) = ln[f(ex)]⇒ g là hàm c ng tính trên R ộ
f (x) liên t c t i xụ ạ 0 > 0 ⇒ g(x) liên t c t i xụ ạ 1 = lnf(x0) .Theo BT 1a, b
⇒ g(x) = ax ⇒ f(ex) = (ex)a ⇒ f(x) = xa v i x > 0ớ
*) N u f(-1) = -1 : f(x) = -f(-x) = -(-x)ếa v i x < 0 ớ
*) N u f(-1) = 1 : f(x) = f(-x) = (-x)ếa v i x < 0 ớ
V y f(x) = ậ
<
=
>
0x neáu x-
0x neáu 0
0x neáu x
a
a
;
f(x) =
(nh n) ậ
B n đ c hãy gi i BT trên khi thay đ i gi thi t “liên t c t i xạ ọ ả ổ ả ế ụ ạ 0 > 0” b i “f gi i n i trên (c; d)ở ớ ộ
v i c > 0” ho c “f đ n đi u trên (c; d) v i c > 0” ho c “f tăng trên (c; d) v i c > 0”ớ ặ ơ ệ ớ ặ ớ
BT3 : Xác đ nh hàm f có tính nhân và tính c ng trên R ị ộ
HD:
a) f(1) = 0 : f(x) ≡ 0 (nh n)ậ
b) f(1) = 1 và f(0) = 0
Theo CM BT1 ta có x > 0 : f(x) > 0 ở
x > y ⇒ f(x - y) = f(x) - f(y) > 0
⇒ f tăng trên R . Theo BT 1c ⇒ f(x) = ax (a > 0)
M t khác f(x.y) = f(x)f(y) ặ
⇒ axy = a2xy⇒ a = 1 ⇒ f(x) = x (nh n)ậ
BT4 : Tìm hàm f : R* → R tho mãn ả
f(xy) = f(x) + f(y) v i ớ∀ x, y ∈ R* (t m g i f là hàm nhân –c ng tính trên Rạ ọ ộ * ) và liên t c t i xụ ạ 0
> 0
HD :
g : R → R : g(x) = f(ex)
⇒g là hàm c ng tính trên R , liên t c t i f(xộ ụ ạ 0)
⇒ g(x) = ax ⇒ f(ex) = ax = a.lnex ⇒ f(x) = a.lnx n u x > 0 ế
Ta có:
f(1) = 0 ; f(-1) = 0 ⇒ f(x) = f(-x)
⇒ f(x) = f(-x) = a.ln(-x) v i x < 0 ớ
V y f(x) = a.lnậx (nh n)ậ
BT5:Tìm hàm f : R → R tho mãn f(x + y) = f(x)f(y) v i ả ớ ∀ x, y ∈ R( t m g i f là hàm c ng –ạ ọ ộ
nhân tính trên R) và liên t c t i xụ ạ 0
HD :
f(0) = 0 ho c f(0) = 1 ặ
a) f(0) = 0 :
f(x) = f(x + 0) = f(0)f(x) ≡ 0 (nh n)ậ
b) f(0) = 1
1 = f(x + (-x)) = f(x)f(-x) ⇒ f(x) ≠ 0 v i m i xớ ọ
f(x) = f(
2
x
+
2
x
) = [f(
2
x
)]2 > 0
g : R →R : g(x) = ln(f(x)) ,hàm g c ng tính trên R và liên t c t i ln(f(xộ ụ ạ 0))
⇒ g(x) = ax ⇒ ln(f(x)) = ax
⇒f(x) = eax (nh n)ậ
BT6 : Hàm f : R
*
+
→ R
*
+
có tính nhân và f(f(x)) = x v i ớ∀ x ∈ R
*
+
. Ch ng minh ứ
a) N u f liên t c trên Rế ụ
*
+
thì f(x) = x ho c f(x) = ặ
x
1
b)Các m nh đ sau t ng đ ng ệ ề ươ ươ
i) f(x) = x ii)
+
→ox
lim
f(x) = 0 iii)
+ ∞→x
lim
f(x) = +∞
c) Các m nh đ sau t ng đ ng ệ ề ươ ươ
i) f(x) =
x
1
ii)
+
→ox
lim
f(x) = +∞ iv)
+ ∞→x
lim
f(x) = 0
HD:
a)L p hàm g : Rậ→ R :
g(x) = ln[f(ex)], g có tính c ng và liên t c trên Rộ ụ
b)Ta ch ng minh iii) ứ⇒ i)
Cho x > 1 : f(xn) = fn(x) → +∞ khi n → +∞ ⇒ f(x) > 1
G a s y > x >0 : f(ỉ ử
x
y
) =
)x(f
)y(f
> 1 ⇒ f(y) > f(x) ⇒ f tăng trên R
*
+
L p hàm g : R ậ→ R :
g(x) = ln[f(ex)], g có tính c ng và tăng trên R, theo BT1cộ
⇒ g(x) = ax v i a > 0ớ
⇒ f(ex) = (ex)a ⇒ f(x) = xa .
T f(f(x)) = x ừ⇒ a = 1
M t s bài t p và đ thi :ộ ố ậ ề
1) Tìm hàm f : R → R liên t c và tho mãn :ụ ả
f(0) = 0 ;∀ x, y ∈ R mà x - y ∈ Q ⇒ f(x) - f(y) ∈ Q
HD :
Ch ng minh f(x) c ng tính và liên t c trên R.ứ ộ ụ
ĐS : f(x) = ax v i a ớ∈ Q
2)Tìm hàm f : R → R tho mãn :ả
f(x + f(y)) = y + f(x) ∀ x, y ∈ R ;
T p ậ{
x
)x(f
/ x ≠ 0}là t p h u h n ậ ữ ạ
(Vô đ ch Singapor 97).ị
HD :
T f(x + f(y)) = y + f(x) ừ∀ x, y ∈ R hãy ch ng minh f có tính c ng trên Rứ ộ
T ừ{
x
)x(f
/ x ≠ 0}là t p h u h n suy ra f gi i n i trên (c; d) v i c > 0.ậ ữ ạ ớ ộ ớ
ĐS : f(x) = ±x
3)Tìm hàm f : R
*
+
→ R
*
+
tho mãn ả
f(xf(y)) = yf(x) v i ớ∀ x, y ∈ R
*
+
và
+ ∞→x
lim
f(x) = 0 (TH &TT)
HD :
Đ t x = yf(1) ặ⇒ f(f(x)) = f(f(yf(1))) = f(1.f(y)) = yf(1) = x v i ớ∀ x ∈R
*
+
f(uv) = f(uf(f(v))) = f(v)f(u) ∀ u, v ∈ R
*
+
.
Theo BT6 : f(x) =
x
1
4)Tìm t t c các hàm f, g : R ấ ả → R tho mãn:ả
*)N u x < y thì f(x) < f(y) ế
*)V i ớ∀ x, y ∈ R thì f(xy) = g(y)f(x) + f(y) (Vô đ ch Hàn Qu c 98)ị ố
HD :
Hãy ch ng minh g là hàm nhân tính và tăng trên R ứ
ĐS : g(x)=
<
≥
0x neáu x-
0x neáu x
a
a
; f(x) = c(1 - g(x)) v i a, c > 0 ớ
5) Tìm hàm f : R → R tho mãn :ả
f(x + y) + f(xy) = f(x) + f(y) + f(x)f(y) v iớ∀ x, y ∈ R
HD:
CM f v a có tính c ng v a có tính nhân ừ ộ ừ
6) Tìm hàm f : R → R tho mãn:ả
(f(x) + f(z))(f(y) + f(t)) = f(xy - zt) + f(xt + yz) v iớ∀ x, y, z, t ∈ R (IMO 2002)
7) Tìm t t c các hàm f(x) xác đ nh trên (0; +ấ ả ị ∞) ,có đ o hàm t i x = 1 và tho mãn:ạ ạ ả
f(xy) =
x
f(y) +
y
f(x) v i ớ∀x, y ∈ (0; +∞) (TH&TT)
HD :
Đ t g(x) = ặ
x
)x(f
, g là hàm nhân - c ng tính trên (0; +ộ∞) .
ĐS : f(x) = a
x
lnx (a ∈ R)
8)Tìm t t c các đa th c hai bi n P(x; y) tho mãn ba đi u ki n:ấ ả ứ ế ả ề ệ
a) P(tx; ty) = tn+2P(x; y) ∀ x, y, t ∈ R ; n ∈ N
b) P(1; 0) = 1
c) P(y + z; x) + P(z + x; y) + P(x + y; z) = 0 v i ớ∀ x, y, z ∈ R
HD :
Đ t f(x) = P(x; 1 - x) + 2.ặ
Hãy ch ng minh f c ng tính và liên t c trên R ứ ộ ụ
ĐS : P(x; y) = (x + y)n+1(x - 2y) v i n ớ∈ N
Nguy n Ng c Khoa-Gv Tr.PTTH Chuyên Lê Khi t-Qu ng Ngãi ễ ọ ế ả