zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Sáng kiến kinh nghiệm

Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số bài toán về đa thức và áp dụng

Chia sẻ: Nguyễn Minh Hải | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Báo xấu

9
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Một số bài toán về đa thức và áp dụng" nhằm hệ thống và phân loại kiến thức các bài tập có sử dụng kiến thức về Đa thức mà chỉ học sinh chuyên Toán mới được học như: Phương trình hàm đa thức, Đa thức bất khả quy, Công thức nội suy Lagrange, Định lý Viét cho đa thức bậc n, Đa thức Tsêbưsep,... Giúp cho học sinh có hệ thống kiến thức và biết vận dụng đa thức vào giải các bài toán lượng giác, hệ phương trình đại số đồng thời định hướng quá trình suy nghĩ giải quyết vấn đề, rèn luyện tư duy sáng tạo toán học và khả năng vận dụng sáng tạo trong giải các bài toán mới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số bài toán về đa thức và áp dụng

TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG TỔ HÀNH CHÁNH ĐỀ TÀI: Người thực hiện : NGUYỄN VŨ THANH Năm học 2010-2011
MỤC LỤC ------- I. PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 2. Mục tiêu nghiên cứu 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 4. Phương pháp nghiên cứu 5. Một số kết quả đạt được II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương I: PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC Chương II: ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN Chương III: NGHIỆM CỦA ĐA THỨC Chương IV: CÔNG THỨC NỘI SUY LAGRANGE Chương V: ĐỊNH LÝ VIETE Chương VI: ĐA THỨC CHEBYSHEV( Tsêbưsep) Chương VII: ÁP DỤNG ĐA THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN
Một số bài toán về Đa thức và áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh I. PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: Từ khi tham dự các hội nghị Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi THPT do trường Đại học Khoa học tự nhiên Hà nội tổ chức hàng năm từ 2002 đến nay, được học tập các chuyên đề do các giảng viên, các chuyên gia Toán của Bộ trình bày và được sự động viên của thầy Trương Thành Phú chuyên viên môn Toán của Sở Giáo dục và đào tạo Tiền Giang chúng tôi có một tâm huyết là sẽ cố gắng thực hiện hoàn chỉnh, cụ thể hoá các chuyên đề phù hợp với trình độ học sinh tỉnh nhà để đóng góp vào thành tích chung của Tỉnh trong các kỳ thi HSG cấp khu vực và cấp quốc gia. Trong những năm gần đây bộ môn Toán của tỉnh Tiền Giang đã có những tiến bộ và đạt được một số thành tích đáng kể trong các kỳ thi HSG khu vực. Nhưng gần đây Bộ đã thay đổi mạnh về quy chế thi HSG cấp Quốc gia đó là không còn phân chia hai bảng A, B như trước mà chỉ có một bảng thống nhất chung toàn quốc. Đề thi khó hơn và khối lượng kiến thức nhiều hơn gây khó khăn cho cả Giáo viên và học sinh môn Toán tỉnh nhà. Trong điều kiện khó khăn đó việc tìm tài liệu và viết các chuyên đề này là việc cần thiết trong tình hình hiện nay. Được sự ủng hộ của các thầy cô trong tổ Toán trường THPT Chuyên Tiền Giang chúng tôi thực hiện viết chuyên đề: “ Một số bài toán về đa thức và áp dụng”. 2. Mục tiêu nghiên cứu: Nhằm hệ thống và phân loại kiến thức các bài tập có sử dụng kiến thức về Đa thức mà chỉ học sinh chuyên Toán mới được học như: Phương trình hàm đa thức, Đa thức bất khả quy, Công thức nội suy Lagrange, Định lý Viét cho đa thức bậc n, Đa thức Tsêbưsep,....Giúp cho học sinh có hệ thống kiến thức và biết vận dụng đa thức vào giải các bài toán lượng giác, hệ phương trình đại số đồng
Một số bài toán về Đa thức và áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh thời định hướng quá trình suy nghĩ giải quyết vấn đề, rèn luyện tư duy sáng tạo toán học và khả năng vận dụng sáng tạo trong giải các bài toán mới. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu: Hệ thống kiến thức về đa thức, phân dạng bài tập và hướng dẫn giải các bài tập áp dụng. Tùy theo từng nội dung của các vấn đề về đa thức, chúng tôi chọn lọc một số bài tập có các kiến thức liên quan như: số học, nghiệm phương trình, bất đẳng thức, tổ hợp, … mà trong các kỳ thi học sinh giỏi toán thường hay gặp. Vì đây là chuyên đề nâng cao về đa thức để rèn luyện kỹ năng giải Toán cho học sinh giỏi nên chúng tôi không trình bày hệ thống lý thuyết về Đa thức, coi như học sinh chuyên Toán phải biết trong chương trình chính khóa về đa thức để làm cơ sở cho việc học chuyên đề này. Rèn luyện tư duy giải toán thông qua giải các bài tập về đa thức và áp dụng đa thức để giải toán đồng thời trao đổi và học tập kinh nghiệm với các thầy cô bộ môn Toán của tỉnh Tiền Giang. 4. Phương pháp nghiên cứu - Dựa vào các chuyên đề đã học ở Hà Nội và các tài liệu trong tất cả các đợt bồi dưỡng để trình bày hệ thống các bài toán về Đa thức thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán. - Hướng dẫn học sinh Đội tuyển tìm tài liệu có liên quan, phân loại bài tập, nhận xét cách giải, tạo tình huống có vấn đề để học sinh cùng trao đổi nghiên cứu. - Hệ thống và sắp xếp các dạng bài tập từ dễ đến khó và có các hướng dẫn. - Chúng tôi không trình bày chi tiết các lời giải mà chỉ định hướng cách giải, phần giải quyết chính dành cho học sinh.Tuy nhiên trước khi hướng dẫn chúng tôi cho học sinh tự giải quyết vấn đề một cách độc lập để phát hiện từ
Một số bài toán về Đa thức và áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh các em nhiều cách giải hay, độc đáo góp phần bồi dưỡng và rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh. - Phương pháp phân tích: giúp học sinh nắm rõ bản chất vấn đề , lựa chọn phương pháp giải phù hợp đồng thời mở rộng và tương tự hoá bài toán. 5. Một số kết quả đạt được Giúp cho học sinh đội tuyển có thêm phương pháp và tài liệu cần thiết để giải các bài tập về Đa thức và áp dụng đa thức để giải toán . Qua chuyên đề này giúp học sinh khắc sâu thêm kiến thức về Đa thức và các kiến thức khác như : Số học, Phương trình, Phương trình hàm, Giải tích Tổ hợp,… Giúp cho học sinh có thêm phương pháp để viết các chuyên đề nâng cao khác. II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 1. Các bài tập về Đa thức và áp dụng đa thức để giải toán thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi cấp Quốc Gia gần đây.Với mong muốn có một chuyên đề Đa thức phong phú nên chúng tôi viết chuyên đề: “ Một số bài toán về đa thức và áp dụng” để phục vụ giảng dạy cho học sinh Đội tuyển tỉnh nhà. 2. Đề tài được chia làm 7 chương: Chương I: PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC Chương II: ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN Chương III: NGHIỆM CỦA ĐA THỨC Chương IV: CÔNG THỨC NỘI SUY LAGRANGE Chương V: ĐỊNH LÝ VIETE
Một số bài toán về Đa thức và áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh Chương VI: ĐA THỨC CHEBYSHEV( Tsêbưsep) Chương VII: ÁP DỤNG ĐA THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN Trong mỗi chương sau phần trình bày các vấn đề có liên quan là hệ thống bài tập có hướng dẫn. Dù cố gắng nhiều nhưng đề tài không tránh khỏi sai sót, rất mong nhận được sự đóng góp từ các đồng nghiệp môn Toán của tỉnh nhà. Sau đây và trình bày phần nội dung của đề tài.
Một số bài toán về Đa thức và áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh Chương I: PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC I.1. Sử dụng tính chất : Nếu P(x)  R[ x ] là đa thức tuần hoàn, tức tồn tại a khác 0 sao cho P(x+a) = P(x) với mọi x thì P(x) = C , x  R . Thật vậy đặt Q(x) = P(x) – P(0) ta có Q(0) = 0 và Q(x+a) = Q(x) x  R suy ra Q(na) = 0 với mọi n là số tự nhiên . P(x) = 0 có vô số nghiệm nên Q( x)  0  P( x)  P(0)  C . Bài 1:a/ Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa xP(x-1) = (x-3)P(x), x  R (Thi HSG cấp Tỉnh 2000) b/ Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa (x-1)2P(x) = (x-3)2P(x+2), x  R Hướng dẫn: a/Lần lượt thay x = 0, x = 1, x =2 vào xP(x-1) = (x-3)P(x) ta tìm được P(0) = P(1) = P(2) = 0 .Theo định lý Bezout P(x) = x(x-1)(x-2)Q(x) từ đó suy ra Q(x) = Q(x-1)  Q ( x)  C .Thử lại P ( x )  Cx( x  1)( x  2) ( với C là hằng số ) thỏa bài toán. b/ x= 3 là nghiệm bội bậc lớn hơn hoặc bằng 2 của P(x) nên P(x) = (x- 3)2Q(x) từ đó suy ra Q(x) =Q(x+2)  Q ( x)  C . Thử lại P ( x )  Cx( x  1)( x  2) ( với C là hằng số) thỏa bài toán. Bài 2: Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa P(0) = 0 và 1 P( x)   P( x  1)  P( x  1) 2 Hướng dẫn: Đặt Q(x)=P(x+1)-P(x)  Q ( x)  Q ( x  1), x  Q ( x)  C . P(n)= [P(n)-P(n-1)]+ [P(n-1)-P(n-2)] +…+ [P(1)-P(0)] + P(0) = nC với n  N  P( x)  Cx  0 có vô số nghiệm do đó P(x) = Cx .Thử lại P ( x )  Cx thỏa bài toán.
Một số bài toán về Đa thức và áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh Bài 3: Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa 1 P ( x )  P(1)   P( x  1)  P( x  1) 2 Hướng dẫn: Đặt P(1) = a và Q ( x)  P( x)  ax 2 thì Q(1)=0 1 và Q ( x)  Q ( x  1)  Q ( x  1) .Tương tự bài 2 ta có Q( x)  bx  b .Thử lại 2 P ( x )  ax 2  bx  b , với a,b là hằng số thỏa bài toán. Bài 4: Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa P(x+1) = P(x) + 2x + 1, x  R . Hướng dẫn: Đặt Q ( x)  P( x)  x 2 thì Q( x  1)  Q ( x)  Q ( x)  C . Thử lại P( x)  x 2  C thỏa bài toán Bài 5: a/Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa P(0) = 0 và 2 P ( x 2  1)   P( x)  1 b/Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa P(2011) = 2043 và P ( x )  P( x 2  1)  33  32 ( x  0) Hướng dẫn: a/Đặt Q(x) = P(x) – x thì Q(0) = 0 , giả sử x = k là nghiệm của Q(x) khi đó P(k) = k  P (k 2  1)  k 2  1  Q (k 2  1)  0 mà k 2  1  k nên Q(x)=0 có vô số nghiệm suy ra Q ( x)  0  P ( x)  x b/ Đặt Q(x) = P(x) – 32 thì Q(2011) = 2011 và 2 Q ( x 2  1)  Q ( x)   1  Q( x)  x Bài 6: Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa P (u 2  v 2 )  P (u  v ).P (u  v ) Hướng dẫn: Đặt x = u+v và y = u-v ta có P( xy )  P( x).P( y ) (1).Cho x = y=0 thì P(0) = 0 hoặc P(0) = 1 .Nếu P(0) =1 thì cho y = 0 ta được P( x )  1
Một số bài toán về Đa thức và áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh Nếu P(0) = 0 thì P(x) = xQ(x) với degQ = degP-1.Thay vào (1) ta được Q ( xy )  Q( x).Q( y ) .Tiếp tục quá trình lập luận này ta có P( x )  1 hoặc P ( x )  x n , với n nguyên dương Bài 7: Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa ( x 3  3x 2  3x  2) P( x  1)  ( x3  3 x 2  3 x  2) P( x) (1) (Thi HSG Quốc Gia 2003) Hướng dẫn: Ta có (1)  ( x  2)( x 2  x  1) P( x  1)  ( x  2)( x 2  x  1) P ( x ) (2). Lần lượt thay x  1, x  2 ta tính được P(2)  P(1)  P(0)  P(1)  0 suy ra P( x )  ( x  1) x( x  1)( x  2)Q ( x) Tiếp tục thay vào (2) ta được ( x 2  x  1)Q( x  1)  ( x 2  x  1)Q( x)  Q ( x )  ( x 2  x  1) R( x ) .Từ đó tìm được 2 R( x  1)  R( x)  R( x)  C . Thử lại P ( x )  C ( x  1) x ( x  1)( x  2)( x  x  1) thỏa bài toán Nhận xét : Các bài tập trên áp dụng nhiều lần các tính chất sau: - Định lý Bezout : x0 là nghiệm của đa thức P(x) khi và chỉ khi P(x0) chia hết cho x – x0 - Mọi đa thức P(x) bậc n ( n  1 ) không thể có quá n nghiệm - Nếu đa thức P(x) bậc không quá n có hơn n nghiệm thì P( x )  0 I.2.Áp dụng phương pháp đồng nhất 2 Bài 8: Tìm đa thức P(x) hệ số nguyên thỏa 16 P ( x 2 )   P(2 x) (1) Hướng dẫn: Gọi a là hệ số bậc cao nhất của P(x) (a  0) .Đồng nhất hệ số bậc cao nhất của (1) 16 ta được 16a  2 2n a 2  a   Z  n  0;1; 2 4n  Với n =0 ta có P( x)  0, P( x )  16
Một số bài toán về Đa thức và áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh  Với n = 1 khi đó a = 4 và P(x) = 4x + b .Thay vào (1) và đồng nhất ta được b = 0.Vậy P( x)  4 x  Với n = 2 ta có a = 1 và P(x) = x2+bx+c. Thay vào (1) và đồng nhất ta được b = c = 0.Vậy P( x )  x 2 2 Bài 9: Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa P( x 2 )   P( x) Hướng dẫn:  Với P(x) = C thì C2 = C suy ra C = 0 hoặc C = 1.Ta có P( x)  0; P( x)  1 Với P( x )  an x n  an 1 x n1  ...  a1 x  a0 ( an  0) .Giả sử an 1 , an 2 ,..., a0 không đồng thời bằng 0.Chọn k < n là số lớn nhất sao cho ak  0 Ta có 2 P( x 2 )   P( x )  an x 2 n  ak x 2 k  ...  a1 x 2  a0  (an x n  ak x k  ...  a1 x  a0 )2 . So sánh hệ số của xn+k hai vế ta có 2an ak  0 ( chú ý 2k < n+k < 2n) Suy ra ak = 0 ( vô lý ) .Vậy an 1  an 2  ...  a0  0 , từ đó suy ra an=1 và P( x )  x n , với n nguyên dương. 2 Bài 10: Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa P( x 2  2 x )   P( x  2) Hướng dẫn: 2 2 Ta có P( x 2  2 x)   P( x  2)   P(( x  1)2  1)   P(( x  1)  1) Đặt Q ( y )  P( y  1)  Q[( x  1) 2 ]  Q 2 ( x  1) .Theo bài 9 n Q  0, Q  1, Q  x n  P  0, P  1, P  ( x  1) Bài 11: Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa 2 P( x 2 )  x[3P( x)  P( x)]   P( x)   2 x 2 (1) (Thi HSG Quốc Gia 2006) Hướng dẫn: Thay x bởi –x rồi trừ cho nhau được  P( x )  P( x ) P( x)  P( x)  4 x   0 -Hoặc P(x)+P(-x) = 0 đúng với vô số giá trị của x.
Một số bài toán về Đa thức và áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh -Hoặc P(x)-P(-x) - 4x = 0 đúng với vô số giá trị của x. Vì P(x) là đa thức nên hoặc P(x)+P(-x) = 0 đúng với mọi giá trị của x hoặc P(x)+P(-x)-4x = 0 đúng với mọi giá trị của x  Nếu P(x)+P(-x) = 0 thay vào (1) được P( x 2 )  x 2  ( P( x)  x)2 .Đặt Q(x)=P(x)-x thì Q ( x 2 )  [Q ( x)]2 .Suy ra P( x)  x, P( x)  x  1, P( x )  x n  x nhưng với điều kiện P(x) + P(-x) = 0 ta chỉ nhận P( x)  x, P( x)  x 2k 1  x ( k = 0,1,…)  Nếu P(x)-P(-x) - 4x = 0 thay vào (1) được P( x 2 )  2 x 2  ( P( x )  2 x) 2 . Đặt Q(x) = P(x)-2x thì Q ( x 2 )  [Q ( x)]2 .Suy ra P( x)  2 x, P( x)  2 x  1, P( x)  x n  2 x nhưng với điều kiện P(x)+ P(-x) -4x = 0 ta chỉ nhận P( x )  2 x, P( x )  x 2k  2 x ( k = 1,2,…) x y xy Bài 12: Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa P( x ).P( y )  P 2 ( )  P2 ( ) 2 2 (1) Hướng dẫn: P(x)=0 thỏa , P(x)=C  0 không thỏa bài toán.Giả sử P(x) có bậc n  1 và hệ số cao nhất của P(x) là a  0.Thay y = 3x vào (1) và đồng nhất hệ số của x2n hai vế ta được a.3n.a  (2n a)2  a 2  3n  1  4n  n  1 .Vậy P(x) = ax (a  0) Bài 13:Cho đa thức với hệ số thực P ( x )  an x n  an 1 x n1  ...  a1 x  a0 ( an  0) thỏa P ( x ) P(2 x 2 )  P(2 x3  x ) .CMR P(x) không có nghiệm thực (Thi HSG Quốc Gia 1990) Hướng dẫn: 3 3 Giả sử tồn tại x0 sao cho P( x0 )  0  P(2 x0  x0 )  0  x1  2 x0  x0 cũng là 3 nghiệm.Lập luận tương tự (xn) là nghiệm P(x) với xn  2 xn1  xn 1 n  1 và x0 cho trước.  Nếu x0 < 0 thì x0 > x1 > x2 >…> xn> xn+1 >…suy ra P(x) có vô hạn nghiệm, vô lý.
Một số bài toán về Đa thức và áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh  Nếu x0 > 0 thì x0 < x1 < x2 …suy ra P(x) có vô hạn nghiệm, vô lý.  Nếu x0 = 0 ta gọi k là số bé nhất mà ak  0 (n  k > 0) ta có P ( x)  an x n  an 1 x n 1  ...  ak x k .Thay vào (1) ta được an 2n x 3n  ...  ak2 2 k x3 k  an (2 x 3  x )n  ...  ak (2 x 3  x ) k (2).Do a0=0 và ak  0 nên k > 0 2 k  3k  k .Trong (2) đồng nhất hệ số của x hai vế đi đến ak = 0 , vô lý. Chương II: ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN II.1. Định nghĩa: Đa thức có hệ số nguyên có bậc lớn hơn 0 P(x) được gọi là đa thức bất khả quy trên Z nếu P(x) không phân tích được thành tích của hai đa thức hệ số nguyên có bậc bé hơn n. II.2. Tiêu chuẩn Eisenstein: Cho đa thức P ( x )  an x n  an 1 x n1  ...  a1 x  a0 , n  1 .Biết rằng tồn tại số nguyên tố p sao cho: i/ a0 , a1 ,..., an 1  p ii/ an không chia hết cho p iii/ a0 không chia hết cho p2 Khi đó P(x) bất khả quy trên Z Chú ý: Nếu tất cả giả thiết của tiêu chuẩn Einsenstein được thỏa thì P(x) cũng bất khả quy trên Q. Ví dụ: Đa thức P(x) = x4 + 2x +2 bất khả quy trên Q và với n > 3 đa thức Q(x) = xn - 2 bất khả quy trên Q ( ở đây p = 2 ) II.3. Bài tập:
Một số bài toán về Đa thức và áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh Bài 1: Cho các số nguyên a1, a2,…, an khác nhau đôi một. CMR ( x  a1 )( x  a2 )...( x  an )  1 không thể phân tích được dưới dạng tích của hai đa thức có hệ số nguyên có bậc bé hơn n Hướng dẫn: Giả sử ( x  a1 )( x  a2 )...( x  an )  1  f ( x).g ( x) trong đó deg f(x) , deg g(x) < n Thay x = ai vào ta được: f (ai ).g (ai )  1  f (ai )  g (ai )  0, i  f ( x)  g ( x)  0 ( vì deg(f+g) < n và f+g có n nghiệm ).Từ đó suy ra f ( x )   g ( x )  ( x  a1 )( x  a2 )...( x  an )  1  [ f ( x )]2 (vô lý vì hệ số bậc cao nhất của vế trái bằng 1,trong khi hệ số bậc cao nhất của vế phải là số âm) Bài 2: Cho đa thức f(x) bậc n có hệ số nguyên ( với n = 2m hoặc n = 2m+1 ) nhận giá trị bằng 1 với hơn 2m giá trị nguyên của x thì f(x) không thể biểu diễn thành tích 2 đa thức bậc nguyên dương với hệ số nguyên . Hướng dẫn: Giả sử f ( x )  g ( x)h( x) với g(x) và h(x) có hệ số nguyên và 0  deg g  deg h  n . Vì n = 2m hoặc n = 2m+1 nên deg g  m .Giả sử có k số nguyên ai ( k > 2m ) sao cho f (ai )  g (ai ).h(ai )  1  g (ai )  1, i  1,..., k .Mà g ( x)  1 có không quá 2m nghiệm nguyên do deg g  m ,vô lý. Bài 3: Cho đa thức f(x) bậc n ( n  2 ) có hệ số nguyên với f (a )  1 hoặc f (a )  p là số nguyên tố với ít nhất 2n+1 giá trị nguyên khác nhau của a .CMR f(x) không thể phân tích thành tích của 2 đa thức bậc nguyên dương với hệ số nguyên. Hướng dẫn: Giả sử f ( x )  g ( x)h( x) với g(x) và h(x) có hệ số nguyên và deg g ,deg h  1.
Một số bài toán về Đa thức và áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh Đặt m  deg g , l  deg h (n  m  l ) .Tồn tại 2n+1 số nguyên a1,a2,…,a2n+1 sao cho f (ai )  1 hoặc f (ai )  p là số nguyên tố suy ra: 1  g (ai )  1 f (ai )  g (ai ) . h(ai )     i  1,2,...,2n  1 . g ( x )  1  g 2 ( x )  1  p  h (ai )  1   có không quá 2m nghiệm; tương tự h( x)  1 có không quá 2l nghiệm.Vậy g ( x)  1 hoặc h( x)  1 có không quá 2(m  l )  2n nghiệm , vô lý. Bài 4: CMR không tồn tại hai đa thức f(x) và g(y) sao cho x 2010 y 2011  1  f ( x) g ( y ) (1) Hướng dẫn: n m Giả sử f ( x)   ak x k , g ( y )   bk y k thỏa (1) ta có k 0 k 0 1 a0b0  1  a0  0, b0  0 .Cho x = 0 ta được a0 g ( y )  1, y  g ( y )  .Tương tự a0 1 1 f ( x)   x 2010 . y 2011  1   1 ,vô lý. b0 a0b0 Bài 5: Cho các số nguyên a1,a2,…,an khác nhau đôi một.CMR P ( x )  ( x  a1 )2 ( x  a2 ) 2 ...( x  an ) 2  1 không thể phân tích được dưới dạng tích của hai đa thức có hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng 1 Hướng dẫn: Giả sử P ( x )  Q( x) R( x) với Q(x) và R(x) có hệ số nguyên và deg Q,deg R  1 .Suy ra Q(ai ) R (ai )  1  Q(ai )  R(ai )  1, i .Ta CM Q(ai )  1 hoặc Q(ai )  1, i và tương tự cho R(x). Giả sử k  j : Q(ak )  1, Q(a j )  1  x0  (ak ; a j ) : Q ( x0 )  0  P( x0 )  0 vô lý vì P ( x )  1, x
Một số bài toán về Đa thức và áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh  Nếu Q(ai )  R (ai )  1, i  Q ( x)  1 , R ( x )  1 nhận ai làm nghiệm  Q ( x)  1  R( x)  1  ( x  a1 )( x  a2 )...( x  an )  ( x  a1 ) 2 ( x  a2 ) 2 ...( x  an ) 2  1 2   ( x  a1 )( x  a2 )...( x  an )  1  ( x  a1 )( x  a2 )...( x  an )  0 Vô lý.  Nếu Q(ai )  R (ai )  1, i lý luận tương tự như trên  Q(ai )  1, R(ai )  1, i .Thay x = ai vào (1) thì 1 = -1 , vô lý . Chương III: NGHIỆM CỦA ĐA THỨC III.1. Áp dụng tính chất : P(x) là đa thức với hệ số nguyên . a , b là hai số nguyên khác nhau , khi đó P (a )  P (b) (a  b) Chứng minh: Áp dụng hằng đẳng thức a n  bn  (a  b)(a n1  a n2b  ...  ab n2  b n1 ) Bài 1:CMR không tồn tại đa thức P(x) với các hệ sô nguyên sao cho P(7) = 5 và P(15) = 9 Hướng dẫn: P(15)-P(7) chia hết cho 8 Bài 2: Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên.CMR không tồn tại ba số nguyên phân biệt a, b, c sao cho P(a) = b, P(b) = c, P(c) = a Hướng dẫn: Dùng phản chứng: b  c  P(a )  P(b)(a  b)  b  c  a  b , tương tự a  b  c  a , c  a  b  c  a  b  b  c  c  a .Vì a  c nên a  b  b  c  a  2b  c ,tương tự c  a  b  c  b  2c  a Khi đó a = c , vô lý. Bài 3 : Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên và P(0), P(1) là các số lẻ. CMR P(x) không có nghiệm nguyên. Hướng dẫn:
Một số bài toán về Đa thức và áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh Giả sử P(a) = 0 với a nguyên , P(a)-P(0)chia hết cho a suy ra a lẻ , P(a)- P(1) chia hết cho a-1 suy ra a chẵn,vô lý Bài 4: Giả sử P(x) là đa thức hệ số nguyên và P(x) không chia hết cho 3 với ba giá trị nguyên liên tiếp nào đó của x. CMR P(x) không có nghiệm nguyên. Hướng dẫn: Giả sử P(a) = 0 ta có P(a+3k) - P(a) chia hết cho 3 suy ra P (a  3k )3, k  Z .Khi đó với mọi ba số nguyên liên tiếp tồn tại một số b mà P(b) chia hết cho 3,vô lý III.2. Áp dụng định lý Bezout: x0 là nghiệm của đa thức P(x) khi và chỉ khi P(x0) chia hết cho x – x0 Bài 5: Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên sao cho P(a)  P(b)  P(c)  1 với a, b, c là ba số nguyên phân biệt. CMR P(x) không có nghiệm nguyên Hướng dẫn: Dùng phản chứng giả sử P(x) có nghiệm nguyên x0 .Ta có P ( x )  ( x  x0 )Q ( x ) trong đó Q(x) là đa thức với hệ số nguyên.Suy ra 1  P (a)  a  x0 Q(a )  a  x0  1 ,tương tự b  x0  1 , c  x0  1.Ba số a  x0 , b  x0 , c  x0 thuộc tập {1,1} nên có ít nhất hai số trong chúng bằng nhau, vô lý. Bài 6 : Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên và P(x) nhận giá trị bằng 7 với 4 giá trị nguyên khác nhau của x. CMR P(x)-14 không có nghiệm nguyên. Hướng dẫn: Dùng phản chứng: giả sử P(x)-14 có nghiệm nguyên x0.Giả sử P (a )  P (b)  P(c )  P (d )  7  P( x)  7  ( x  a )( x  b)( x  c)( x  d )Q ( x ) .Thay x = x0 vào ta được 7  ( x0  a )( x0  b)( x0  c)( x0  d )Q ( x0 ) ,vô lý
Một số bài toán về Đa thức và áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh Bài 7:a/ Cho đa thức P(x) với hệ số nguyên và P(k) không chia hết cho 5 ( k = 0, 1, 2, 3, 4). CMR P(x) không có nghiệm nguyên. b/ CMR nếu P(x) =1 có quá 3 nghiệm nguyên phân biệt thì P(x) = - 1 không có nghiệm nguyên. Hướng dẫn: a/ Giả sử P(x) có nghiệm nguyên n ta có P(x) = (x-n)Q(x)  P(k )  (k  n)Q (k ) ( k = 0,1,2,3,4).Vì 0-n, 1-n, 2-n, 3-n, 4-n là 5 số nguyên liên tiếp nên tồn tại i sao cho P(i) chia hết cho 5 , vô lý b/Giả sử a là nghiệm nguyên của P(x) = -1 và x1, x2, x3, x4 là 4 nghiệm của P(x)=1.Ta có P ( x )  1  ( x  x1 )( x  x2 )( x  x3 )( x  x4 )Q ( x) .Thay x = a vào được 2  (a  x1 )(a  x2 )(a  x3 )(a  x4 )Q (a ) ,vô lý Bài 8: Cho đa thức P(x) với hệ số thực bậc n và có hệ số bậc cao nhất bằng 1. Biết rằng P(x) có n nghiệm x1, x2,…, xn thỏa 0  xi  1 .CMR : 1 (2)n P( )  (3)n P(0) 2 Hướng dẫn: P ( x )  ( x  x1 )( x  x2 )...( x  xn ) và P (0)  (1) n x1 x2 ...xn ; 1 1 1 1 (2 x1  1)(2 x2  1)...(2 xn  1) P ( )  (  x1 )(  x2 )...(  xn )  (1) n 2 2 2 2 2n 1  (2) n P ( )  (2 x1  1)(2 x2  1)...(2 xn  1)  3 x1.3 x2 ...3 xn 2 .  3n x1 x2 ...xn  3n (1) n P (0)  ( 3) n P (0) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi P ( x )  ( x  1)n k Bài 9: Cho đa thức f(x) bậc n và f ( x )  (k  0,1,..., n) .Tính f(n+1) k 1 Hướng dẫn: (x+1)f(x)-x là đa thức bậc n+1 có n+1 nghiệm nên
Một số bài toán về Đa thức và áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh (x+1)f(x)-x = ax(x-1)(x-2)…(x-n) (1) .Thay x= -1 vào ta được (1) n1 a . Thay x= n+1 vào thì được (n  1)! (n  1)  a (n  1)! n  1  (1)n1 f (n  1)   n2 n2 III.3. Đa thức hệ số nguyên có nghiệm vô tỉ: III.3.1. Định lý ( Định lý về nghiệm hữu tỷ của đa thức với hệ số nguyên ) n Cho đa thức P ( x )   ak x k bậc n có hệ số nguyên thì mọi nghiệm hữu tỷ k 0 p của P(x) có dạng tối giản trong đó p là ước của a0 còn q là ước của an q Chứng minh: p Từ P ( )  0  an p n  q (an 1 p n1  ...  a1 pq n2  a0 q n1 )  an  q, a0  p q p Đặc biệt: nếu an = 1 thì là số nguyên và là ước của a0. q Ta thường áp dụng định lý này để chứng minh một số là số vô tỷ khi số đó không là nghiệm nguyên của đa thức hệ số nguyên có bậc cao nhất bằng 1. III.3.2.Bài tập: Bài 10: Cho P ( x )  x 3  ax 2  bx  c là đa thức với hệ số hữu tỷ nhận 3 làm nghiệm. Tìm các nghiệm còn lại của P(x). Đáp số :  3;a Bài 11: Tìm đa thức với hệ số nguyên nhận 2  3 3 làm nghiệm ( Thi HSG quốc Gia 1984) Hướng dẫn: x  2  3 3  ( x  2)3  3  x3  6 x  3  2(3 x 2  2)  x 6  6 x 4  6 x 3  12 x 2  36 x  1  0
Một số bài toán về Đa thức và áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh Nhận xét: Từ kết quả trên suy ra 2  3 3 là số vô tỷ. Bài 12: Cho x  1  3 2  3 4 a/ Tìm đa thức bậc ba có hệ số nguyên nhận x  1  3 2  3 4 làm nghiệm b/ CMR không tồn tại đa thức bậc nhất và bậc hai có hệ số nguyên nhận x  1  3 2  3 4 làm nghiệm Hướng dẫn: a/ f(x)= x3-3x2+9x-9 b/ Nếu f(x) có nghiệm hữu tỷ thì f(x) có nghiệm nguyên là ước của 9 nên 1  3 2  3 4 là số vô tỷ nên nó không là nghiệm của đa thức bậc nhất..Giả sử 1  3 2  3 4 là nghiệm của đa thức bậc hai g(x) hệ số nguyên.Chia f(x) cho g(x) ta được f(x)=g(x).q(x)+r(x) với deg r(x) < 2 mà r (1  3 2  3 4)  0  r ( x )  0  f ( x)  g ( x )q ( x ) mà q(x) bậc nhất nên f(x) có nghiệm hữu tỷ, vô lý. 3 Bài 13:Tồn tại hay không đa thức bậc hai hệ số nguyên nhận 3 làm nghiệm. Hướng dẫn: 3 CM 3 là số vô tỷ và áp dụng phản chứng Bài 14: a/ Tìm tất cả đa thức f(x) hệ số hữu tỷ có bậc nhỏ nhất sao cho f ( 3 3  3 9)  3  3 3 b/Tồn tại hay không đa thức hệ số nguyên f(x) thỏa : f ( 3 3  3 9)  3  3 3 ? ( Thi HSG Quốc Gia 1997) Hướng dẫn: 3  3 Trước hết CM : u 3  v 9  s  Q  u  v  0 u, v  Q
Một số bài toán về Đa thức và áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh Ta có: s 2v  u 2 ( 3 9v)  6uv 2  3v3 3 3  (3v 3  u 3 ) 3 3  s 2 v  u 2 s  6uv 2  u 3  3v3  u  v  0 a/ f(x) = ax + b thì từ nhận xét trên suy ra vô lý 1 1 Nếu f(x)=ax2 + bx + c thì từ nhận xét trên suy ra a  , b   , c  0 2 2 b/ Đặt   3 3  3 9   3  9  12 Vậy g(x) = x3 -9x – 12 nhận  làm nghiệm .Giả sử tồn tại đa thức f(x) hệ số nguyên thỏa : f ( 3 3  3 9)  3  3 3 .Lấy f(x) chia cho g(x) được dư r(x) với deg r(x) < 3 Khi đó r ( )  f ( )  3  3 3 . Vô lý theo câu a/ Bài 15: Xét tập hợp các đa thức P ( x )  0, x  R thỏa điều kiện P ( x 2  1)  P( x) P( x) .Hãy tìm trong tập hợp đó một đa thức có bậc bé nhất, nhưng có nghiệm lớn nhất. Hướng dẫn: Nếu P ( x )  c thì c = 1.Nếu P(x)=ax + b thì từ (1) đồng nhất ta được  a  1   b  1  5   2 1  5 1  5 Ta được hai đa thức P ( x )   x  có nghiệm x0  và đa thức 2 2 1 5 1 5 P( x)   x  có nghiệm x0   .Nếu P(x) có bậc  2 và giả sử 2 2 2 1 5 2 1 5 P ( x0 )  0  P ( x0  1)  0 .Nếu x0  thì x0  1  x0  khi đó P(x) có 2 2 vô số nghiệm , vô lý .Vậy nếu P(x) có bậc  2 có nghiệm và thỏa điều kiện đã

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.