Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8
171
PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON - JACOBI VỚI DỮ KIỆN
LÕM - LỖI TỪNG PHẦN
Nguyễn Hữu Thọ
Trường Đại học Thủy lợi, email: nhtho@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG
Báo cáo này sẽ nghiên cứu về bài toán
Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi
trong trường hợp Hamiltonian và dữ kiện
ban đầu là các hàm lõm-lồi từng phần.
Kết quả đạt được trong báo cáo này là: với
những giả thiết được đặt ra, tác giả sẽ thiết
lập được công thức nghiệm dạng
Hopf – Lax cho nghiệm toàn cục Lipschitz
của bài toán.
2. NỘI DUNG BÁO CÁO
2.1. Đặt vấn đề
Xét bài toán Cauchy cho phương trình
Hamilton-Jacobi
() 0,(,) (0,) (1)
,
(0, ) ( ) , (2)
n
tx
n
uHu tx T
ux gxx
⎧
⎪+= ∈Ω=×
⎪
⎪
⎨
⎪=∈
⎪
⎪
⎩
\
\
ở đây Hamiltonian ()HHp= và dữ kiện
ban đầu ()ggx= đã được cho trước, ký hiệu
()Lip Ω là tập tất cả các hàm liên tục
Lipschitz địa phương trong Ω.
Định nghĩa 1. ([4]). Hàm
()
(, )utx Lip∈Ω, trong đó [0, ) n
TΩ= ×\,
được gọi là một nghiệm toàn cục Lipschitz
của bài toán (1) - (2) nếu (, )utx thỏa mãn (1)
hầu khắp nơi trong Ω và (0, ) ( )ux gx=
vớin
x∈\.
Trong bài báo [1] của mình năm 1965,
E. Hopf đã chứng minh được các kết
quả sau:
i) Nếu Hamiltonian ()Hp là hàm lõm ngặt
trong n
\, thỏa mãn ||
()
lim ||
p
Hp
p
→∞ =−∞ và dữ
kiện ban đầu ()gx là hàm liên tục Lipschitz
toàn cục trong n
\ thì hàm
*
(, ) sup ( )
n
y
xy
utx gy tH t
∈
⎛⎞
⎛⎞
−⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎟
=+
⎜⎜⎟
⎟
⎜⎜⎟⎟
⎜
⎜⎝⎠
⎝⎠
\
(3)
là một nghiệm toàn cục Lipschitz của bài
toán (1) – (2).
ii) Nếu Hamiltonian ()Hp là hàm lồi ngặt
trong n
\, thỏa mãn ||
()
lim ||
p
Hp
p
→∞ =+∞ và dữ
kiện ban đầu ()gx là hàm liên tục Lipschitz
toàn cục trong n
\ thì hàm
*
(, ) inf ( )
n
y
xy
utx gy tH t
∈
⎛⎞
⎛⎞
−⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎟
=+
⎜⎜⎟
⎟
⎜⎜⎟⎟
⎜
⎜⎝⎠
⎝⎠
\
(4)
là một nghiệm toàn cục Lipschitz của bài
toán (1) – (2).
iii) Nếu Hamiltonian ()Hp là hàm liên tục,
dữ kiện ban đầu ()gx là hàm lồi và liên tục
Lipschitz toàn cục trong n
\ thì hàm
()
*
(, ) sup , ( ) ( )
n
y
utx xy g y tH y
∈
=−−
\
là một nghiệm toàn cục Lipschitz của bài
toán (1) – (2).
iv) Nếu Hamiltonian ()Hp là hàm liên tục,
dữ kiện ban đầu ()gx là hàm lõm và liên tục
Lipschitz toàn cục trong n
\ thì hàm
()
*
(, ) inf , ( ) ( )
n
y
utx xy g y tH y
∈
=−−
\
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8
172
là một nghiệm toàn cục Lipschitz của bài
toán (1) – (2).
Ở đây, trong các công thức (3) - (4), *()lz
là liên hợp Fenchel của hàm ()lp.
Nếu ()lp là hàm lồi
()
*() sup , ()
n
p
lz zp lp
∈
=−
\
.
Nếu ()lp là hàm lõm
()
*() inf , ()
n
p
lz zp lp
∈
=−
\
.
Từ đó đến nay, đã có rất nhiều nhà Toán
học nghiên cứu nhằm mở rộng các kết quả
của E. Hopf với những điều kiện nới lỏng đặt
lên Hamiltonian và dữ kiện ban đầu. Báo cáo
này sẽ mở rộng các kết quả đó theo hướng
xét Hamiltonia và dữ kiện ban đầu các hàm
lõm - lồi từng phần, và đây cũng là một phát
triển mới các kết quả đạt được trong [2]
và [3].
Ở đây, với n
x∈\, ta sẽ tách ra như sau
12
12 1 2 1 2
(, ), , , .
nn
xxxx x nnn=∈∈+=\\
Định nghĩa 2. [2] Hàm 12
(, )
f
xx được gọi
là lồi (lõm) theo 1
x nếu với mỗi 2
2
n
x∈\
hàm 12
(, )
f
xx là hàm lồi (lõm) đối với 1
x.
Và ta cũng có công thức liên hợp Fenchel
từng phần như sau.
Nếu 12
() ( , ),lp lp p= là hàm lồi theo
1
1
n
p∈\với12
12
(, ) nn
ppp=∈×\\, khi đó
()
1
1
*1
12 11 12
(, ) sup , (, )
n
p
lzp zp lpp
∈
=−
\
.
Nếu 12
() ( , ),lp lp p= là hàm lõm theo
2
2
n
p∈\, khi đó
()
2
2
*2
12 2 2 1 2
(, ) inf , (, )
n
p
lpz zp lpp
∈
=−
\
.
2.2. Kết quả
Mục này dành cho việc trình bày một số
kết quả cho bài toán Cauchy (1) – (2) trong
trường hợp Hamitonian và dữ kiện ban đầu là
các hàm lõm – lồi từng phần.
Định lý. Giả thiết rằng, Hamiltonian
12
() ( , ),Hp Hp p= và dữ kiện ban đầu
12
() ( , )gx gx x= thỏa mãn các điều kiện sau:
1) Hàm 2
12
() ( , ) ( )Hp Hp p C=∈\, lồi
theo 2
p và
2
12
|| 2
(, )
lim .
||
p
Hp p
p
→∞ =+∞
2) Với
()
12 2
12 22
,,,
nn n
pp yz∈× ∈\\ \
luôn tồn tại các hằng số 12
,CC sao cho
22
2
2
2
*2
212212
inf , ( , )
nzz
y
zH pyz Cz
∈
≥
\
,
22
2
2
2
*1
212222
sup , ( , )
npp
y
zg pyz C z
∈
≤
\
.
3) Với mỗi 121
,,,xxpt cố định
2
*1 *1
12 12
*2 22
|| 1
(, ) (, )
lim inf ,
p
gpx gpp
xp
tH p t
→∞
⎡
⎤
−+
⎢⎥
⎢⎥
⎛⎞
>−∞
−⎟
⎢⎥
⎜⎟
⎜
⎢⎥
⎟
⎜⎟
⎜
⎝⎠
⎢
⎥
⎣
⎦
.
4) Hàm 2
12
(, ) ( )
n
gx x C∈\ là hàm lồi theo
biến 1
x và với mỗi 2
x cố định
1
*1 *2
12 12
|| 1
(, ) (,0)
lim ||
p
gpx tHp
p
→∞
−
==+∞
.
5) Với mọi 12
12
(, ) nn
ppp=∈×\\
()
22 2 2
*1 *1
2 1 12 12
(, ) (, ) 0
pp p p
EtH pgppgpp
⎡
⎤
−− ≠
⎢⎥
⎣
⎦
trong đó 2
E là ma trận đơn vị cấp 2
n.
6) Nếu 2212
(, ,)pppxt= là nghiệm của hệ
phương trình
2
*1
21122
((,))
p
ptHpgpp x+− =,
thì với mỗi 12
(, )xx cố định, nghiệm
1112
(, ,)ppxxt= của hệ phương trình
1
*1 *2 22
112 1
(, ) , 0
p
xp
pgpp tHp t
⎛⎞
−⎟
⎜⎟
−+ =
⎜⎟
⎜⎟
⎜
⎝⎠
là hàm khả vi theo 1
x và bị chặn đều theo t
khi t đủ nhỏ.
Khi đó công thức
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8
173
2
12
1
12
*1
11 12
*2 22
1
(, ,)
,(,)
sup inf ,
n
np
p
ux x t
px g pp
xp
tH p t
∈
∈
=
⎡
⎤
−+
⎢
⎥
⎢
⎥
⎛⎞
=−⎟
⎢
⎥
⎜⎟
+⎜
⎢
⎥
⎟
⎜⎟
⎜
⎢
⎝⎠⎥
⎣
⎦
\
\
xác định nghiệm toàn cục Lipschitz của bài
toán Cauchy (1) – (2).
Chú ý. Cùng với một số điều kiện tương
thích tương ứng và các điều kiện cơ bản dưới
đây ta đạt được kết quả như sau.
1) Nếu 12
(, )HHpp= lồi theo biến 2
x,
hàm 12
(, )gx x lõm theo 1
x,
12
12
12
*1
11 12
*2 22
1
(, ,)
,(,)
inf inf ,
nn
pp
ux x t
px g pp
xp
tH p t
∈∈
=
⎡⎤
−+
⎢⎥
⎢⎥
⎛⎞
=−⎟
⎢⎥
⎜⎟
+⎜
⎢⎥
⎟
⎜⎟
⎜
⎢⎝ ⎠⎥
⎣⎦
\\
là nghiệm toàn cục Lipschitz của bài toán
Cauchy (1) – (2).
2) Nếu 12
() ( , )Hp Hp p= lõm theo biến
2
x, dữ kiện ban đầu 12
(, )gx x lồi theo 1
x,
12
12
12
*1
11 12
*2 22
1
(, ,)
,(,)
sup sup ,
nn
pp
ux x t
px g pp
xp
tH p t
∈∈
=
⎡
⎤
−+
⎢
⎥
⎢
⎥
⎛⎞
=−⎟
⎢
⎥
⎜⎟
+⎜
⎢
⎥
⎟
⎜⎟
⎜
⎢
⎝⎠⎥
⎣
⎦
\\
là nghiệm toàn cục Lipschitz của bài toán
Cauchy (1) – (2).
3) Nếu 12
() ( , )Hp Hp p= lõm theo biến
2
x, dữ kiện ban đầu 12
(, )gx x lõm theo 1
x,
12
12
12
*1
11 12
*2 22
1
(, ,)
,(,)
inf sup ,
nn
pp
ux x t
px g pp
xp
tH p t
∈∈
=
⎡
⎤
−+
⎢
⎥
⎢
⎥
⎛⎞
=−⎟
⎢
⎥
⎜⎟
+⎜
⎢
⎥
⎟
⎜⎟
⎜
⎢
⎝⎠⎥
⎣
⎦
\\
là nghiệm toàn cục Lipschitz của bài toán
Cauchy (1) – (2).
3. KẾT LUẬN
Báo cáo trình bày kết quả mở rộng công
thức dạng Hopf-Lax cho nghiệm toàn cục
Lipschitz của bài toán Cauchy cho phương
trình Hamilton – Jacobi trong trường hợp
Hamiltonian và dữ kiện ban đầu là hàm lõm –
lồi từng phần, kết quả này là có thể coi là một
cầu nối các công thức (3) và (4) trong [1] của
E. Hopf và cùng là một mở rộng kết quả
trong các công trình [2] và [3].
4. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] E. Hopf, (1965), Generalized solutions of
nonlinear equations of first order, J. Math.
And Mech., Vol. 14, pp. 951-973.
[2] Ha Tien Ngoan (1998), Hopf’s formula for
Lipschitz solutions of Hamilton-Jacobi
equations with concave-convex Hamiltonian,
Acta Mathematica Vietnamica, Vol. 23, No.
2, pp. 269-293.
[3] N.H. Tho and Tran Duc Van, (2003), Hopf
– Type estimates for solutions to Hamilton-
Jacobi equations with cancave-convex
initial data, Electronic Journal of
Differential equations, Vol. 2003, No. 59,
pp. 1-11.