Kinh nghiệm rèn luyện năng lực tìm đoán cho học sinh THPT qua dạy học giải phương trình

M Đ UỞ Ầ

Ọ Ề I. LÍ DO CH N Đ TÀI.

ứ ể ể ệ ệ ạ ộ ọ ầ ủ ự Hi n nay đ đáp ng nhu c u c a s phát tri n xã h i,vi c d y và h c

ạ ộ ừ ổ ớ ả ậ ọ toán không ng ng đ i m i và nâng cao. Ho t đ ng gi i bài t p toán h c là

ể ự ệ ố ề ệ ụ ạ ọ ổ đi u ki n đ th c hi n t t các m c đích d y h c toán ở ườ tr ng ph thông. Vì

ả ệ ệ ạ ả ế ị ậ ọ ậ ổ ứ v y t ch c có hi u qu vi c d y gi i bài t p toán h c có vai trò quy t đ nh

ớ ấ ượ ạ ọ t i ch t l ng d y và h c toán.

ủ ệ ầ ạ ả ậ ọ ớ Yêu c u c a vi c d y gi i bài t p toán h c là: “Cùng v i ph ươ ng

ụ ề ậ ầ ả ọ ữ pháp có tính thu t toán, th y giáo ph i truy n th cho h c sinh nh ng

ươ ể ả ộ ố ể ph ấ ng pháp có tính ch t tìm đoán đ gi i m t s ki u bài toán. Tuy nhiên

ọ ể ụ ả ầ ằ ầ ả th y giáo ph i làm cho h hi u r ng m c đích hàng đ u không ph i ch ỉ

ữ ắ ả ừ ừ ể ậ ậ ậ n m v ng cách gi ệ i t ng ki u bài t p,th m trí t ng bài t p mà là rèn luy n

ả ả ể ứ ữ ể ậ ớ kh năng gi ớ i bài t p nói chung đ có th ng phó v i nh ng bài toán m i

ẻ ệ ẫ ẵ ộ m không l thu c vào khuôn m u có s n.”

ệ ặ ổ ọ ả Ở ườ tr ng ph thông hi n nay, h c sinh không g p khó khăn khi gi i các

ự ế ư ậ ậ ề ậ ậ bài t p có thu t toán. Nh ng th c t có nhi u bài t p không có thu t toán nên

ữ ậ ặ ặ ọ ờ ấ khi g p nh ng bài t p này h c sinh r t lúng túng. M t khác do th i gian trên

ệ ướ ề ế ạ ẫ ư ớ l p có h n, giáo viên ch a chú ý nhi u đ n vi c h ọ ng d n h c sinh tìm l ờ i

ả ậ ậ gi i bài t p không có thu t toán.

ữ ề ọ Vì nh ng lí do trên, tôi ch n đ tài:

ự ọ ọ ệ ạ “ Rèn luy n năng l c tìm đoán cho h c sinh thông qua d y h c gi ả i

ươ ” ph ng trình ở ườ tr ng THPT

Ứ Ụ II. M C ĐÍCH NGHIÊN C U.

ự ứ ệ ệ ạ ọ ả i ph ươ ng Nghiên c u vi c rèn luy n năng l c tìm đoán trong d y h c gi

trình ở ườ tr ng THPT.

Ứ Ệ Ụ III. NHI M V NGHIÊN C U.

ậ ề ứ ạ ư ề ố 1. Nghiên c u lý lu n v các lo i hình t ệ ữ duy, v m i quan h gi a

ự ạ ư năng l c tìm đoán và các lo i hình t duy.

ự ứ ọ ế ạ ả ươ 2. Tr c ti p nghiên c u d y h c gi i ph ng trình ở ườ ng tr

THPT.

ề ấ ươ ạ ả ươ 3. Đ xu t ph ộ ố ng án d y m t s bài toán gi i ph ằ ng trình nh m

ự ệ rèn luy n năng l c tìm đoán.

ướ ầ ả ủ ệ ệ ả 4. Đánh giá b c đ u tính kh thi và tính hi u qu c a vi c rèn

ạ ọ ự ệ ả ươ luy n năng l c tìm đoán thông qua d y h c gi ậ i bài t p ph ng trình ở

ườ ổ tr ng ph thông.

ƯƠ Ứ IV. PH NG PHÁP NGHIÊN C U.

ậ ứ 1. Nghiên c u lý lu n.

ệ ủ ứ ả ướ ế 1.1. Nghiên c u các văn ki n c a Đ ng, Nhà n c có liên quan đ n

ụ ụ ế ạ ộ ươ ạ giáo d c và đào t o, có liên quan đ n m c đích, n i dung, ph ng pháp d y

ươ ạ ọ h c nói chung và ph ọ ng pháp d y h c toán nói riêng.

ứ ệ ậ ế ọ ụ ọ ọ 1.2. Nghiên c u tài li u lý lu n ( tri t h c, giáo d c h c, tâm lý h c, lý

ọ ộ ủ ế ề ạ ậ ậ lu n d y h c b môn toán ) có liên quan đ n đ tài c a lu n văn.

ứ ụ ứ ạ 1.3. Nghiên c u t p chí Nghiên c u giáo d c, sách giáo khoa,

ả sách tham kh o ...

ề 2. Đi u tra, quan sát.

ự ờ ổ ủ ề ề ạ ế ệ ọ ươ 2.1. D gi , t ng k t kinh nghi m v d y h c ch đ ph ng trình ở

ườ tr ổ ng ph thông.

ế ủ ề ấ ậ ỏ ọ 2.2. Ph ng v n, đi u tra, thu th p các ý ki n c a các giáo viên, h c sinh

ủ ề ạ ạ ọ ủ ể ổ ề ự v th c tr ng d y h c ch đ này ở ườ tr ng ph thông, quan đi m c a giáo

ự ư ự ệ ệ ề viên v năng l c tìm đoán và vi c rèn luy n năng l c t duy thông qua khâu

ạ ọ ả ươ tìm đoán trong d y h c gi ậ i bài t p ph ng trình.

ủ ế ệ ả ọ ỏ ữ 2.3. Tham kh o ý ki n đóng góp, h c h i kinh nghi m c a nh ng

ứ ệ ả ạ chuyên gia, giáo viên giàu kinh nghi m trong gi ng d y và nghiên c u toán

h c.ọ

ư ạ ự ệ 3. Th c nghi m s ph m

ề ệ ấ ậ ề V các bi n pháp đ xu t trong lu n văn.

Ọ Ả Ế V. GI THUY T KHOA H C.

ế ạ ọ ả ươ ự ượ ộ ố ệ N u trong d y h c gi i ph ng trình, xây d ng đ c m t s bi n pháp

ệ ố ậ ọ ả ươ và h th ng bài t p, giúp h c sinh tìm đ ượ ờ c l i gi i ph ư ng trình khi ch a

ế ự ư ể ậ bi ể t rõ quy trình thu t toán thì có th thông qua đó phát tri n năng l c t duy

ệ ự ư ạ ạ ọ ặ đ c bi t là năng l c t duy linh ho t, sáng t o cho h c sinh.

Ố Ụ Ậ VI. B C C LU N VĂN.

ở ầ ụ ế ệ ầ ậ ả ậ Ngoài ph n m đ u,k t lu n,danh m c và tài li u tham kh o,lu n văn

ươ ồ g m ba ch ng.

ươ ự ễ ơ ở Ch ậ ng I: C s lí lu n và th c ti n.

ươ ộ ố ươ ướ ả ươ Ch ẫ ọ ng II: H ng d n h c sinh m t s ph ng pháp gi i ph ng

ộ ố ệ ề ấ ệ ố ọ ọ ậ trình thông qua h th ng bài t p ch n l c và đ xu t m t s bi n pháp

ạ ọ ự ệ ằ ả ậ ư ạ s ph m nh m rèn luy n năng l c tìm đoán trong d y h c gi i bài t p

ươ ổ ph ng trình ở ườ tr ng ph thông.

ươ ư ạ ự ệ Ch ng III: Th c nghi m s ph m.

ƯƠ

NG I

Ơ Ở

Ự

Ậ

Ễ

C S LÝ LU N VÀ TH C TI N

Ộ Ố Ọ Ư Ạ 1.1. M T S THAO TÁC T DUY TRONG D Y VÀ H C TOÁN.

ặ ệ 1.1.1. Khái quát hoá đ c bi t hoá.

1.1.1.1. Khái quát hoá.

ể ừ ệ ứ Theo G.Pôlya, “ Khái quát hoá là chuy n t ộ ậ vi c nghiên c u m t t p

ố ượ ộ ậ ớ ứ ế ệ ơ ồ ợ h p đ i t ả ậ ng đã cho đ n vi c nghiên c u m t t p l n h n, bao g m c t p

ầ ợ h p ban đ u ” ([1];tr.21)

ữ ạ ườ ặ Theo ([8];tr.19) nh ng d ng khái quát hoá th ng g p trong môn Toán

ể ượ ơ ồ ễ ể có th đ ằ c bi u di n b ng s đ sau:

Khái quát hoá

ừ

ẻ ế cái ổ ừ cái ổ đ n cái t ng

Khái quát hoá t riêng l quát Khái quát hoá t ế ổ t ng quát đ n cái t ng quát h nơ

Khái quát hoá t ổ t ng quát đã bi ớ i cái ế t ớ Khái quát hoá t ư ổ t ng quát ch a bi i cái ế t

ơ ồ S đ 1

Ở ớ ế ả ộ ố ạ l p 8, HS đã bi t gi i m t s PT d ng: Ví d 1ụ :

+ = x

+ 2 x

6 0,

- = x 6

8 0

- - ằ ươ b ng ph ng pháp phân tích thành nhân

ử Ở ớ ượ ọ ộ ẩ ứ ủ ệ ậ t l p 9, HS đ . c h c công th c nghi m c a PT b c 2 m t n.

ử ụ ậ ằ ả ượ i đ ứ c PT b c 2 b ng cách s d ng công th c Ví d 2ụ : Sau khi HS đã gi

2a x

+b +c = 0 (a

(cid:0) ệ ầ ả nghi m, ta yêu c u HS gi i PT: .

ừ ẻ ế cái riêng l ổ đ n cái t ng quát. Trong ví d 1ụ , khái quát hoá t Ở ví dụ

ừ ế ả ổ ơ ổ khái quát hoá t cái t ng quát đ n cái t ng quát h n. Và trong c hai ví d ụ

ớ ư ổ ế ạ ạ ề đ u khái quát t i cái t ng quát ch a bi t. Bên c nh đó còn có d ng khái quát

ứ ế ế ạ ượ ế ạ ế hoá đi đ n ki n th c đã bi t, d ng này đ ẳ c ti n hành ch ng h n khi gi ả i

ữ ứ ọ ượ nh ng bài toán ch ng minh toán h c trong đó khái quát hoá đ c th hi n ể ệ ở

ề ị ữ ữ ệ ệ ố ớ ụ ể ủ vi c liên h nh ng tình hu ng c th c a bài toán v i nh ng tiên đ , đ nh

ợ ở ệ ậ ị ế ổ nghĩa, đ nh lý thích h p, vi c nh n bi ụ ể t cái t ng quát trong cái c th .

ụ ậ : Ví d 3 ( Bài t p 1 )

(1)

ả Gi i PT:

ậ Nh n xét:

(2)

(cid:0) ế +) N u PT có nghi m ệ x thì

= + 3

(3)

ế ặ ể ư ề ệ ố ứ +) PT có th đ a v h đ i x ng n u đ t

= 5) 0

(4)

�

( � = u

+ + x u x u )( + 2 x

= - x = - u

(cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) ạ Khi đó PT (1) có d ng: - (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ả ệ ế ợ ề ệ ớ ượ ệ Gi i h (4) k t h p v i đi u ki n (2),(3) thu đ c nghi m .

ệ ả ụ ể ớ ệ ữ ổ Trong vi c gi i PT ở ví d 3ụ đã liên h gi a cái c th v i cái t ng quát đã

ế ố ứ ệ ẩ ạ bi t là h PT hai n đ i x ng lo i 2.

ư ậ ư ữ ệ ằ Nh v y, khái quát hoá là thao tác t duy nh m phát hi n nh ng quy

ổ ế ủ ộ ớ ố ượ ậ ệ ượ ừ ộ lu t ph bi n c a m t l p các đ i t ặ ng ho c hi n t ng t ộ ặ m t ho c m t

ườ ợ ẻ ề ớ ộ ố s các tr ng h p riêng l . V i ý nghĩa đó, khái quát hoá thu c v các phép

ế ậ ậ ượ ừ ườ suy lu n có lí, nên các k t lu n đ c rút ra t khái quát hoá th ng mang tính

ả ự ế ề ườ ậ ừ ợ ấ ch t gi thuy t, d đoán. Tuy nhiên trong nhi u tr ế ng h p k t lu n t khái

ể ượ ờ quát hoá có th thu đ ạ c nh quy n p hoàn toàn.

ườ ượ ử ụ ệ Khái quát hoá th ng đ ệ c s d ng trong vi c hình thành khái ni m,

ữ ứ ứ ệ ề ế ấ ớ ị ch ng minh đ nh lí, phát hi n và đ xu t nh ng ki n th c m i,…

ụ ậ : Ví d 4 ( Bài t p 2 )

- = x

+ 2006

2008

(1)

- ả Sau khi gi i PT:

ể ả ượ i đ c các PT : chúng ta khái quát hoá có th gi

+ n

- = x 2)

(2)

+ n

+ + n 1)

- = x 3)

2 (3)

ặ ệ 1.1.1.2. Đ c bi t hoá.

ặ ệ ể ừ ệ ộ ậ Theo G.Pôlya: “Đ c bi t hoá là chuy n t ợ ứ vi c nghiên c u m t t p h p

ộ ậ ỏ ơ ứ ứ ệ ợ ố ượ đ i t ậ ng đã cho sang vi c nghiên c u m t t p h p nh h n ch a trong t p

ợ h p đã cho” ([1],tr.22)

ữ ặ ệ ườ ể ượ ặ ạ Nh ng d ng đ c bi t hoá th ng g p trong môn toán có th đ ể c bi u

ơ ồ ễ ằ di n b ng s đ sau:

ệ ặ Đ c bi t hoá

ệ ệ ừ

ừ ế ổ

ặ Đ c bi t hoá t cái t ng quát đ n cái riêng lẻ ặ t hoá t Đ c bi ế cái riêng đ n cái riêng h nơ

ặ ệ Đ c bi riêng l ớ t hoá t i cái ế ẻ t đã bi ớ ệ ặ t hoá t Đ c bi ẻ ư ch a bi riêng l i cái ế t

ơ ồ S đ 2

ệ ườ ượ ử ụ ệ ặ Đ c bi t hoá th ng đ ệ c s d ng trong vi c trình bày các khái ni m,

ứ ị ả ậ ả ặ ệ ch ng minh đ nh lý, gi i bài t p… Trong bài toán gi i PT, đ c bi t hoá đ ượ c

ơ ở ự ệ ẫ ị ướ ử ụ s d ng trong mò m m, d đoán nghi m, trên c s đó đ nh h ng ph ươ ng

ả pháp gi i cho PT.

ụ ậ : Ví d 1 ( Bài t p 3 )

x 5 (1)

ả Gi i PT:

3 Thay x v i m t vài giá tr c th : ị ụ ể

ớ ộ

+ = vô lý.

1x = , ta có (1) tr thành:

3 4 5

ở (cid:0) V i ớ

2 3

ở (cid:0) V i ớ đúng.

= vô lý.

x = , ta có (1) tr thành: 3x = , ta có (1) tr thành:

3 3

3 5

ở (cid:0) V i ớ

+ x = là m t nghi m c a PT. Ngoài ra, ch a tìm đ ủ ả ỏ ặ

ộ ượ ư ệ Ta đ c ượ

ệ ấ ộ khác. M t câu h i đ t ra là

ệ c nghi m x = có ph i là nghi m duy nh t không. Và đây ướ ả ủ ỏ ợ i c a PT. ng gi chính là câu h i g i ý cho h

ể ặ ệ ư ượ ủ Có th nói đ c bi t hoá là thao tác t duy ng c c a khái quát hoá.

ạ ầ ỉ ừ ế ọ Trong quá trình d y h c không ch yêu c u đi t cái riêng đ n cái chung ( khái

ỏ ọ ừ ế ặ ệ quát hoá ) mà còn đòi h i h đi t cái chung đ n cái riêng ( đ c bi t hoá ) và

ạ ượ ữ ệ ố ấ làm rõ m i quan h chung riêng gi a cái đ t đ ẳ c và cái xu t phát. Ch ng

ạ ở h n

ượ ụ ớ c PT (2), v i m c đích ví d 4 ụ ( m c ụ 1.1.1.1 ), sau khi HS đã khái quát hoá đ

ọ ặ ệ ể ể ầ ệ ki m tra vi c khái quát hoá đó có th yêu c u h đ c bi t hoá PT (2) sao cho

ệ ấ ạ ố tìm l ạ ượ i đ ữ c PT (1), thông qua đó nh n m nh m i quan h chung riêng gi a

ượ ự ặ ệ ở ụ ớ PT tìm đ ầ c và PT ban đ u. S đ c bi t hoá đây v i m c đích đ s b ể ơ ộ

ể ả ượ ủ ứ ư ả ổ ả ki m tra tính gi c c a PT t ng quát ch ch a ph i là gi i đ ổ i PT t ng quát

đó.

ươ ự 1.1.2. So sánht ng t .

1.1.2.1. So sánh.

ư ằ ị So sánh là thao tác t ự ố duy nh m xác đ nh s gi ng nhau hay khác nhau,

ấ ằ ồ ữ ấ ự ằ ự ồ s đ ng nh t hay không đ ng nh t, s b ng nhau hay không b ng nhau gi a

ố ượ ẽ ớ ứ ậ ặ ổ ợ các đ i t ng nh n th c. So sánh liên quan ch t ch v i phân tích, t ng h p và

ứ ư ể ở ứ ộ ơ ư ẫ ả ơ ố ớ đ i v i các hình th c t duy đó có th m c đ đ n gi n h n nh ng v n có

ể ậ ứ ượ ế ố ả ệ ượ ữ th nh n th c đ c nh ng y u t ấ ủ ự ậ b n ch t c a s v t, hi n t ng.

ươ 1.1.2.2. T ng t ự .

ệ ươ ự ế ớ Theo G. Pôlya: “Hai h là t ng t ợ n u chúng phù h p v i nhau trong

ậ ươ ứ ữ ữ ệ ố ộ ị m i quan h xác đ nh rõ ràng gi a nh ng b ph n t ng ng”. ([1],tr.23)

ươ ự ộ ạ ọ . Trong “Lôgic h c”, D.Gorki vi ế t T ng t là m t d ng so sánh

ươ ự ậ ừ ỗ ố ượ ố “T ng t là phép suy lu n trong đó t ch hai đ i t ng gi ng nhau ở ộ m t

ậ ằ ố ượ ệ ế ở ố ấ s d u hi u, ta rút ra k t lu n r ng các đ i t ố ng này gi ng nhau ấ các d u

ệ hi u khác”.

ố ượ ế ố ượ ấ N u đ i t ệ ng A có các d u hi u a, b, c, d và đ i t ng B cũng có các

ệ ế ậ ả ị ố ượ ấ d u hi u a, b, c, thì ta rút ra k t lu n gi ằ đ nh r ng đ i t ấ ng B cũng có d u

ễ ơ ồ ủ ể ể ậ ươ ệ ự ư hi u d.Ta có th bi u di n s đ c a phép suy lu n t ng t nh sau:

ấ A có tính ch t a, b, c, d

ấ B có tính ch t a, b, c

ế ấ K t luân B cũng có tính ch t d

ườ ườ ự ươ ự ạ ọ Ng i ta th ng xét s t ng t trong toán h c trên các khía c nh sau:

ươ ự ế ườ ố ươ ứ Hai phép ch ng minh là t ng t n u đ ng l i, ph ứ ng pháp ch ng

ố minh là gi ng nhau.

ươ ự ế ề ấ ố Hai hình là t ng t ế n u chúng có nhi u tính ch t gi ng nhau hay n u

ữ ủ ề ặ ố ấ vai trò c a chúng gi ng nhau trong v n đ nào đó, ho c gi a các ph n t ầ ử

ươ ứ ệ ố ủ t ng ng c a chúng có quan h gi ng nhau.

ấ ươ ự ế ế ố ể ễ Hai tính ch t là t ng t n u chúng bi u di n các y u t ặ ho c các

ộ ươ ủ thu c tính c a hai hình t ng t ự .

Ví d 1:ụ

3 x x a +b +c=0(a

(cid:0) ươ ả ươ ự ươ Ph ng pháp gi i PT t ng t ư nh ph ng pháp gi ả i

2 x x a +b +c=0(a

(cid:0) PT

ươ ư ủ ề ở Phép t ng t ự ượ đ ệ c xem nh là ti n thân c a khái quát hóa, b i vì vi c

ể ừ ộ ườ ợ ộ ườ ợ chuy n t m t tr ng h p riêng này sang m t tr ủ ng h p riêng khác c a

ộ ướ ộ ổ ớ ườ ấ ợ cùng m t cái t ng quát, là m t b ể c đ đi t ữ i nh ng tr ng h p riêng b t kì

ộ ự ề ộ ổ ấ ủ c a cùng m t cái t ng quát đó. Nhi u khi HS đã có m t s hình dung nh t

ể ư ư ủ ư ể ề ầ ộ ỉ ị đ nh v cái chung nh ng ch a hi u nó m t cách đ y đ , ch có th đ a ra

ệ ượ ữ ẻ ư ạ ủ ế ể nh ng hi n t ng riêng l coi nh đ i bi u c a cái chung. Vì th trong

ườ ự ự ấ ị ệ ợ ươ ự ữ nh ng tr ể ng h p nh t đ nh, ta có th coi s th c hi n phép t ng t ư nh là

ủ ể ệ ầ ạ ọ ế bi u hi n c a khái quát hóa. Do đó, trong quá trình d y h c, c n khuy n

ệ ươ ự ư ề ủ ự khích HS th c hi n phép t ng t coi nh ti n thân c a khái quát hóa, coi nh ư

ứ ượ ệ ế ậ ự ể s bi u hi n khái quát hóa cho đ n khi nào HS nh n th c đ c cái khái quát

ộ ầ ủ m t cách đ y đ .

ụ ậ : Ví d 2( Bài t p 2 )

Sau khi HS đã gi i PTả

- = x

+ 2006

2008

2 (1)

ể ầ ả ữ GV có th yêu c u HS gi i nh ng PT sau:

- = x

+ 2007

2009

2 (2)

- = x

+ 2006

2008

2 (3)

ư ậ ệ ậ ươ ự ừ Nh v y ta đã t p luy n cho HS phép t ng t . Tuy nhiên không d ng l ạ ở i

ứ ệ ầ ầ ổ ạ đó, mà còn yêu c u HS phát hi n d ng PT t ng quát, t c là yêu c u HS t ừ

ữ ươ ự ế nh ng phép t ng t ti n lên khái quát hoá.

ươ ự ố ủ ề ạ ồ T ng t ố là ngu n g c c a nhi u phát minh. Bên c nh đó cũng gi ng

ư ươ ự ữ ữ ề ế ộ nh khái quát hóa, t ng t ậ ậ thu c v nh ng suy lu n có lý, nh ng k t lu n

ấ ả ầ ư ự ế ậ rút ra t ừ ươ t ng t ự ườ th ng có tính ch t gi thuy t, d đoán. Do v y c n l u ý

ữ ế ằ ậ ự ể ẫ ữ ớ v i HS r ng nh ng k t lu n rút ra t ừ ươ t ng t ế ế có th d n đ n nh ng k t

ậ lu n sai.

ổ ợ 1.1.3. Phân tích t ng h p.

ể ề ể ậ ộ ộ ỉ Phân tích là chia m t ch nh th ra làm nhi u b ph n đ đi sâu vào các

ế ừ ậ ộ ườ ụ ề ằ ộ chi ti t trong t ng b ph n. Th ng thì phân tích đ u nh m m t m c đích c ụ

ứ ừ ệ ể ậ ả ộ ướ th , nghĩa là vi c nghiên c u t ng b ph n ph i mang tính h ng đích, không

ố ớ ộ ả ự ế ế ậ tràn lan. Đ i v i m t bài toán trong đó có gi thuy t và k t lu n thì s phân

ả ướ ữ ụ ắ ố ả tích ph i h ng vào m c đích tìm cho ra các m t xích lôgic n i gi a gi thi ế t

ậ ế và k t lu n.

([3],tr.123)

ể ồ ề ậ ợ ổ ộ ỉ ộ T ng h p là nhìn bao quát lên m t ch nh th g m nhi u b ph n, c ố

ả ượ ứ ủ ả ệ ữ ể ả ố mô t ỉ c b c tranh toàn c nh c a c ch nh th , các m i quan h gi a các đ

ậ ủ ể ớ ủ ể ỉ ỉ ườ ộ b ph n c a ch nh th và c a ch nh th v i môi tr ng xung quanh. Phân tích

ứ ấ ả ề ệ ổ ợ ế ạ t o đi u ki n cho t ng h p, vì n u không đi sâu vào nghiên c u t t c các b ộ

ủ ậ ỉ ứ ể ph n c a ch nh th thì khó lòng mô t ả ượ đ ả c chính xác b c tranh toàn c nh

ể ổ ợ ạ ỉ ươ ướ ự ế ủ c a ch nh th . T ng h p l ỉ i ch ra ph ng h ng cho s phân tích ti p theo.

([3],tr.125)

ọ ậ ặ ở ọ ổ ợ Trong h c t p môn Toán, phân tích t ng h p có m t ạ ộ m i ho t đ ng

ệ ư ể ả ọ trí tu , là thao tác t duy quan tr ng đ gi ề ế ấ i quy t v n đ .

ụ ậ Ví d 1( Bài t p 4 ):

- = 9

(

(1)

x x

3 3

- ả Gi i PT: -

Phân tích :

9 0

(cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) ế ỉ V trái có nghĩa khi và ch khi: (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x x

3 3

(cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) ế ả ỉ V ph i có nghĩa khi và ch khi: (cid:0) - (cid:0)

(cid:0) - (cid:0) ổ ạ ượ ỉ ợ l i ta đ c: PT (1) có nghĩa khi và ch khi T ng h p (cid:0) (cid:0)

- = 2 9

(

+ x 3)(

- ế ể ặ ự +) Qua s phân tích đ c đi m v trái có

x x

ả ế v ph i có -

3 3 x = -

< -

ấ ủ ộ ậ +) Ta nh n th y ệ là m t nghi m c a PT (1).

x x

3 3

(cid:0) ả +) V i ớ ế ủ ,chia c hai v c a PT (1) cho ta đ c:ượ (cid:0) - (cid:0)

- = - x 3

ợ ạ ổ ờ ả ủ . T ng h p l i ta có l i gi i c a PT.

ụ ể ừ ượ 1.1.4. C th hoá Tr u t ng hoá.

ừ ượ ộ Tr u t ng hoá là thao tác tách ra t ừ ộ ố ượ m t đ i t ọ ng toán h c m t tính

ệ ố ượ ề ấ ế ớ ủ ặ ạ ặ ch t ( v quan h s l ng ho c hình d ng ho c lôgíc c a th gi i khách

ể ấ ứ quan ) đ nghiên c u riêng tính ch t đó.

ừ ượ ệ ậ ế ớ Tr u t ng hoá có liên h m t thi t v i khái quát hoá. Nh tr u t ờ ừ ượ ng

ể ộ ơ hoá ta có th khái quát hoá r ng và sâu h n.

ọ ở ỗ ữ ứ ế ạ ỉ ủ S c m nh c a toán h c ch ngày càng ti n lên nh ng đ nh cao c a s ủ ự

ừ ượ ừ ượ ở ứ ả tr u t ng. B i vì càng tr u t ụ ng bao nhiêu thì càng có kh năng ng d ng

ề ự ậ ụ ể ấ vào nhi u s v t c th b y nhiêu.

ỉ ừ ủ ế ố ọ ỉ ạ ở ỗ Mu n ti n lên đ nh cao c a khoa h c không ch d ng l ch làm sao i

ụ ể ể ạ ễ ể ừ ượ ề cho có nhi u cái c th đ minh ho d hi u cái tr u t ả ế ng, mà còn ph i ti n

ừ ượ ừ ượ ể ộ ở công vào cái tr u t ữ ng đ cho nh ng cái tr u t ng tr thành quen thu c, tr ở

ữ ể ả ả ầ ố thành nh ng hình nh trong đ u óc chúng ta đ cu i cùng có kh năng sáng

ừ ượ ữ ạ t o nh ng cái tr u t ng đó.

= -

cos

sin

tan

cot

1 cos

1 sin

ụ ậ Xét PT : Ví d 1.( Bài t p 5 )

ừ ượ ươ ặ ẩ B ng ằ gi ả ượ i đ ằ c PT b ng ph ụ ng pháp đ t n ph . tr u t ng hoá

cos

sin ,

x t

t (cid:0)

(cid:0) (cid:0) Đ t ặ ,

= -

= 2

+ t t (

�

t 2 2

ở PT tr thành: - -

p k

k Z

p 3 4

(cid:0) ả ế ượ ủ ệ Gi i ti p tìm đ c các nghi m c a PT là: .

ụ ậ ả Gi i PT: Ví d 2:( Bài t p 6 )

+ - x 5

+ 10

= 50 5 (1)

- -

ễ ể ượ ứ ộ ỗ ử ụ S d ng bi u di n đ ộ c m i căn th c theo đ dài m t ụ ể c th hoá

ấ ẳ ạ ọ đo n th ng và dùng tính ch t hình h c gi ả ượ i đ c PT (1).

+ 2

Ch n ọ A(2;1);B(5;5);M( ;0)x .

(

2 4

+ x

+ 2

- - Ta có:

(

2 10

+ x

MB AB =

- -

(1)

MA-MB =AB

(cid:0)

ọ ộ ể M i b 3 đi m M,A,B, luôn có:

MA-MB AB (2)

(cid:0)

(cid:0) M, A, B th ng hàng và M n m ngoài AB.

ằ ả ấ ở ằ ẳ D u b ng x y ra (2)

5 M ;0 4

� � � � � �

ả ế ượ ể ầ Gi i ti p bài toán tìm đ c là đi m c n tìm.

ạ ọ ạ ọ ấ ầ ồ ế Trong d y h c, đ dùng d y h c là r t c n thi ạ t tuy nhiên không nên l m

ề ấ ề ể ặ ọ ọ ằ ụ d ng nó. Vì càng h c lên cao, càng g p nhi u v n đ không th minh h a b ng

ố ớ ọ ạ ả ừ ầ ằ ồ đ dùng gi ng d y. Đ i v i h c sinh, ngay t ớ ban đ u không nên b ng lòng v i

ụ ụ ể ạ ủ ả ự ữ ữ ầ ả ồ nh ng ví d c th , nh ng đ đùng gi ng d y c a th y cô, mà ph i t mình tìm

ữ ụ ạ ấ ồ ờ ừ thêm nh ng ví d minh ho khác. Đ ng th i trong quá trình t n công vào cái tr u

ự ế ủ ả ắ ồ ố ỏ ượ t ớ ng ph i luôn g n v i ngu n g c th c t ể c a nó đ làm sáng t ố ồ ngu n g c

này.

Ộ Ố Ạ Ư 1.2. M T S LO I HÌNH T DUY.

ư 1.2.1. T duy hàm.

ệ 1.2.1.1. Khái ni m hàm.

ị ươ ạ ố ổ Đ nh nghĩa hàm theo ch ng trình toán ph thông( Sách giáo khoa Đ i s 10

Nâng cao ).

D(cid:0)x

ủ ậ ố ự ộ ậ ộ ố ỗ Cho D là m t t p con khác r ng c a t p s th c R. M t hàm s f xác

ậ ắ ộ ươ ầ ử ứ ỗ ớ ị đ nh trên t p D là m t quy t c cho t ng ng v i m i ph n t m t vàộ

ỉ ộ ố ự ch m t s th c y.

ệ ư 1.2.1.2. Khái ni m t duy hàm.

ư ạ ộ ư ạ ộ ồ T duy hàm là m t lo i hình t ớ ờ ả ố duy có đ ng th i c b n ho t đ ng v i

ệ ư ữ nh ng thao tác trí tu nh sau:

ạ ộ Ho t đ ng 1:

ế ắ ươ ứ ữ ả ố ộ ậ Nh n bi t nh ng quy t c t ng ng có ph i là m t hàm s không.

ạ ộ Ho t đ ng 2:

ự ươ ị ữ ạ ượ ứ ơ ế ệ + Phát hi n ra s t ng ng đ n tr gi a hai đ i l ộ ng bi n thiên trong m t

ạ ượ ề ả hoàn c nh có nhi u đ i l ế ng bi n thiên.

ế ậ ượ ắ ươ ạ ượ ứ ừ ế + Thi t l p đ c quy t c t ữ ng ng gi a hai đ i l ng bi n thiên v a phát

ệ ộ ộ ố hi n ra ( là m t hàm hay m t hàm s ).

ạ ộ Ho t đ ng 3:

ố ừ ứ ữ Nghiên c u nh ng hàm, hàm s v a thi ế ậ ượ t l p đ c.

ạ ộ Ho t đ ng 4:

ợ ụ ể ả ữ ề ế ả ố ứ L i d ng nh ng k t qu nghiên c u v hàm, hàm s nói trên đ gi ế i quy t

ượ ấ ề ặ đ c v n đ đ t ra.

ầ ẩ ạ ộ ạ ộ ạ ộ ạ Trong các ho t đ ng trên thì ho t đ ng 1 là ng m n, ho t đ ng 2, ho t

ạ ộ ụ ễ ạ ộ ườ ộ đ ng 3, ho t đ ng 4 di n ra theo m t m ch liên t c và t ng minh trong t ư

ạ ộ duy hàm, đó là các ho t đ ng:

ế ậ ợ ụ ệ Phát hi n, thi ứ t l p Nghiên c u L i d ng.

ụ ậ Ví d 1 ( Bài t p 7 ):

2006

2008

2.2007 (1)

ả Gi i PT:

/ ( )

ướ ẫ H ng d n.

f x liên t c trên [a;b] và

x t n t

ị ố ( ) ụ Đ nh lý Lagrange: Cho hàm s ồ ạ i

f b ( )

f a ( )

a b ( ; )

c ( )

b a

- (cid:0) ồ ạ trên (a;b) thì luôn t n t i sao cho -

= x

ệ ế ậ ự ươ ứ +Phát hi n,thi t l p s t ng ng:

�

(1)

2008

2007

x 2006 (2)

- -

ư ậ ị ủ ề ế ế ố ả ủ Và nh v y v trái và v ph i c a (2) đ u là giá tr c a hàm s

a t

> t

t ( )

= + t (

a 1)

ng ng:

(2007)

f Ta có (2006)

ứ ự ươ ứ +Nghiên c u s t f=

c (cid:0)

(2006;2007)

ồ ạ ị Theo đ nh lý Lagrange t n t i ,sao cho:

c = mà

a c

/ ( ) 0

c ( )

a [(c+1)

]

- - .

�

a c

= c ( ) 0

[(

a 1)

]=0

- - - Do đó

�

a c

a (c+1)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0)

ợ ụ ự ươ ứ +L i d ng s t ng ng:

ừ ươ ệ T đó ta có: Ph ỉ ng trình (1) ch có hai nghi m .

ữ ủ ạ ề ể ư 1.2.1.3. Nh ng t ư ưở t ng ch đ o v phát tri n t duy hàm.

ề ươ ể ư ệ ư ữ Nh ng t ư ưở t ủ ạ ng ch đ o v ph ng di n phát tri n t duy hàm nh sau:

ứ ệ ệ ậ ế ậ ứ ấ : T p luy n cho HS phát hi n, thi t l p, nghiên c u và l ợ i Th nh t

ự ươ ụ ế ứ ứ ề ằ ữ ụ d ng nh ng s t ng ng trong khi nh m vào truy n th ki n th c và rèn

ệ ọ luy n kĩ năng toán h c.

ơ ặ ự ệ ệ ợ ộ ơ ế ợ ộ : Th c hi n g i đ ng c , đ c bi ố t là g i đ ng c k t thúc đ i Th haiứ

ạ ộ ữ ư ở ớ v i nh ng ho t đ ng t ữ ạ ộ duy hàm, sao cho các ho t đ ng này tr thành nh ng

ơ ộ ạ ả ọ ợ ộ kh năng g i đ ng c n i t i toán h c.

ở ể ượ ế ớ ữ ữ HS nh ng bi u t ng ti n t i nh ng tri th c v ứ ề Th baứ : Hình thành

ạ ộ ữ ứ ệ ậ ơ ớ ọ ị ự ươ s t ớ ng ng đ n tr và t p luy n cho h nh ng ho t đ ng ăn kh p v i

ứ ữ ươ ề ư nh ng tri th c ph ng pháp v t duy hàm .

ạ ộ ề ư ố ượ duy hàm theo s l ế ng bi n, theo ậ Th tứ ư: Phân b c ho t đ ng v t

ộ ự ố ượ ứ ủ ộ ộ ậ ạ m c đ tr c quan c a đ i t ủ ng, theo trình đ đ c l p và thành th o c a

ạ ộ ủ ườ ọ ho t đ ng c a ng i h c. ([5],tr.16tr.23)

ậ ả ư 1.2.2. T duy thu t gi i.

ệ ậ ả 1.2.2.1. Khái ni m thu t gi i.

ậ ả ắ ơ ộ ị Theo ([5], tr.51) thì: “Thu t gi i là m t quy t c chính xác và đ n tr quy

ộ ố ữ ơ ấ ữ ạ ộ ự ị đ nh m t s h u h n nh ng thao tác s c p theo m t trình t ị xác đ nh trên

ố ượ ữ ộ ố ữ ữ nh ng đ i t ạ ng sao cho sau m t s h u h n nh ng thao tác đó ta thu đ ượ c

ả ố ế k t qu mong mu n”.

ậ ỗ ả ề ữ ọ M i thu t gi ấ ơ ả i đ u có nh ng tính ch t c b n và quan tr ng sau:

ị * Tính đ n trơ

* Tính d ngừ

* Tính đúng đ nắ

ổ ụ * Tính ph d ng

ệ ả * Tính hi u qu

ả ồ ạ ướ ứ ề ậ Thu t gi i t n t i d i nhi u hình th c khác nhau. Trong môn toán và

ườ ữ ể ễ ậ ặ ả trong th c t ự ế ườ ng i ta th ứ ng g p nh ng hình th c bi u di n thu t gi i sau:

ữ ự ữ ỏ ữ ố ọ ngôn ng t ơ ồ nhiên và ngôn ng toán h c, s đ kh i, ngôn ng ph ng trình và

ữ ậ các ngôn ng l p trình.

ắ ả ữ ự ậ ể i PT b c hai có th dùng ngôn ng t ọ nhiên và toán h c Ví d 1 ụ : Quy t c gi

ả ướ ư ự ể ệ đ li t kê, mô t các b ệ c th c hi n nh sau:

D =

ệ ố ị B1. Xác đ nh các h s a,b,c.

- .

= -

D =

B2. Tính B3. Xét D D < 1. N u ế : PT vô nghi m.ệ

b a 2

D >

ệ 2. N u ế : PT có nghi m kép

ệ ệ 3. N u ế : PT có hai nghi m phân bi t

;

x 1

- + D = x 2

- - D

ắ ự ậ ả 1.2.2.2. Quy t c t a thu t gi i.

ở ư ủ ặ ậ ả ệ ố ư Nh đã trình bày trên, đ c tr ng c a thu t gi i là h th ng các quy

ặ ượ ự ệ ộ ự ặ ẽ ị đ nh nghiêm ng t đ c th c hi n theo m t trình t ch t ch . Tuy nhiên trong

ự ễ ạ ọ ườ ộ ố ặ ắ quá trình và th c ti n d y h c, ta cũng th ư ng g p m t s quy t c tuy ch a

ặ ư ầ ủ ủ ặ ậ ả ộ ố ư ể mang đ y đ các đ c đi m đ c tr ng c a thu t gi i nh ng có m t s trong các

ệ ướ ụ ề ể ẫ ặ đ c đi m đó và chúng có nhi u tác d ng trong vi c h ọ ng d n h c sinh gi ả i

toán.

ắ ự ệ *Khái ni m quy t c t a thu t gi ậ ả i

ắ ự ễ ậ ư ộ ể Theo Nguy n Bá Kim: “Quy t c t a thu t gi ả ượ i đ c hi u nh m t dãy

ỉ ẫ ữ ự ệ ạ ượ ự ằ ị ữ h u h n nh ng ch d n th c hi n đ ộ c theo m t trình t ế xác đ nh nh m bi n

ộ ớ ủ ổ đ i thông tin vào c a m t l p bài toán thành thông tin ra mô t ả ờ l i gi ả ủ i c a

ớ l p bài toán đó”. ([4], tr.379)

x ).

ủ ắ ố ạ Ví d 1ụ : Quy t c tính đ o hàm c a hàm s y = f(

ướ ủ ố ố ạ ủ ố i đi m ể x là (cid:0) x . Tính s gia c a hàm s : ố

D + f (

f x ( )

)

- ố +B c 1: Cho s gia c a đ i s t D = y

ướ +B c 2:

y x

(cid:0) ậ ỉ ố L p t s . (cid:0)

lim x 0

y x

D ướ ớ ạ +B c 3: Tính gi i h n: . D (cid:0) D

x ) t

ớ ạ ủ ỉ ố ủ ế ạ ố Gi ọ i h n( n u có ) c a t s trên g i là đ o hàm c a hàm s y = f( iạ

x . Trong quy t c này, h c sinh d hình dung và n m đ

ễ ắ ọ ượ đi m ể

ướ ố ạ ủ ể ế b ạ c ti n hành đ tính đ o hàm c a hàm s t ể i đi m ắ ắ c quy t c, các x . Tuy nhiên có nh ngữ

ỉ ẫ ư ả ộ ệ ẳ ạ ị ch d n ch a mô t m t cách xác đ nh công vi c, ch ng h n: ch d n ỉ ẫ ở ướ c b

lim x 0

y x

D ề ệ ụ ậ ọ 3 v vi c tìm ặ . Do v y, có h c sinh m c dù áp d ng đúng trình t ự D (cid:0) D

ư ượ ạ ố ụ ể ủ ặ ẫ trên nh ng v n không tìm đ c đ o hàm c a hàm s c th , m c dù gi ớ ạ i h n

ồ ạ này t n t i.

ắ ự ậ ả ệ ớ ậ ả *Quy t c t a thu t gi i phân bi t v i thu t gi ư i nh sau:

ỉ ẫ ư ể ắ ỗ ả ộ ộ + M i ch d n trong quy t c đó có th ch a mô t hành đ ng m t cách xác

ị đ nh.

ả ự ỉ ẫ ệ ế ơ ị ỗ + K t qu th c hi n m i ch d n không đ n tr .

ộ ố ữ ắ ằ ả ắ ả ạ ắ ướ + Quy t c không đ m b o ch c ch n r ng sau m t s h u h n b c thì đem

ạ ế ả ờ ả ủ ớ l i k t qu là l i gi i c a l p bài toán.

ộ ố ạ ế ặ ậ ớ ả ắ ự M c dù có m t s h n ch trên so v i thu t gi ậ i song quy t c t a thu t

ả ứ ẫ ươ ọ gi i cũng v n là tri th c ph ạ ng pháp quan tr ng có ích cho quá trình ho t

ả ộ đ ng và gi i toán.

ệ ư ậ ả 1.2.2.3. Khái ni m t duy thu t gi i.

ệ ư ậ ả *Khái ni m t duy thu t gi i.

ươ ệ ậ ớ ả ạ ộ ữ T ng thích v i khái ni m thu t gi i có nh ng ho t đ ng đáng chú ý sau đây:

ự ữ ệ ộ ự ợ ớ ị Th c hi n nh ng thao tác theo m t trình t ộ xác đ nh phù h p v i m t

ả ậ thu t gi i.

ữ ộ ượ ự ệ Phân tích m t quá trình hình thành nh ng thao tác đ c th c hi n theo

ộ ự ị m t trình t xác đ nh.

ộ ố ố ượ ễ ộ Khái quát hoá m t quá trình di n ra trên m t s đ i t ng riêng l ẻ

ộ ớ ố ượ ộ ễ thành m t quá trình di n ra trên m t l p đ i t ng.

ả ạ ộ ộ Mô t ế chính xác quá trình ti n hành m t ho t đ ng.

ậ ả ố ư ể ả ệ ế ệ Phát hi n thu t gi i u đ gi i t ộ i quy t m t công vi c.

ươ ứ ư ế ể ả ọ ộ ị Ph ng th c t duy bi u th kh năng ti n hành năm hoat đ ng trên g i là t ư

ậ ả duy thu t gi i.

ế ể ư ả ọ ậ ự ầ *S c n thi t ph i phát tri n t duy thu t toán cho h c sinh.

ể ư ế ạ ọ ủ ậ Trong d y h c môn toán, ti n hành phát tri n t duy thu t toán c a HS

ữ ụ có nh ng tác d ng sau đây:

ệ ố ể ứ ư ề ế ế ậ ạ T duy thu t toán t o đi u ki n t t đ HS ti p thu ki n th c, rèn

ạ ộ ệ ỹ ượ ọ luy n các k năng toán h c. Khi các ho t đ ng đ ạ c tách b ch các b ướ c,

ượ ẽ ấ ự ệ ề ể ắ ấ ậ đ c th c hi n qua quy t c có c u trúc đi u khi n thu t toán, HS s th y rõ

ứ ầ ớ ố ơ ậ ợ ự ụ ệ ọ ơ h n tri th c c n h c, ghi nh t ậ t h n, th c hi n v n d ng cũng thu n l i và

ả ơ ế có k t qu h n.

ạ ộ ế ư ể ẫ ế ậ Ti n hành các ho t đ ng t duy thu t toán có th d n đ n hình thành

ứ ươ ể ả ọ ấ ế ề ầ thói quen, tri th c ph ng pháp đ gi i quy t m i v n đ , góp ph n hình

ự ả ề ở ọ ậ ư thành năng l c gi ế ấ i quy t v n đ ộ HS trong h c t p cũng nh trong cu c

s ng.ố

ứ ư ệ 1.2.3. T duy bi n ch ng.

ơ ở ế ọ ủ ư ứ 1.2.3.1. C s tri t h c c a t ệ duy bi n ch ng.

ế ọ ể ệ ứ ệ ậ ậ Tri t h c duy v t bi n ch ng th hi n các quy lu t chung nh t c a s ấ ủ ự

ể ự ộ ư ườ ơ ở ươ phát tri n t nhiên, xã h i và t duy con ng i. Nó là c s ph ậ ng pháp lu n

ọ ươ ạ ọ ọ ủ c a m i khoa h c, trong đó có ph ấ ng pháp d y h c môn Toán. Nó cung c p

ươ ệ ượ ứ ữ cho ta ph ắ ng pháp nghiên c u đúng đ n: “Xem xét nh ng hi n t ng giáo

ộ ẫ ụ ể ệ ố ụ d c trong quá trình phát tri n và trong m i liên h ph thu c l n nhau, trong

ổ ề ố ượ ữ ế ệ ấ ẫ ố ự s mâu thu n và th ng nh t, phát hi n nh ng bi n đ i v s l ế ẫ ng d n đ n

ổ ề ấ ượ ữ ế nh ng bi n đ i v ch t l ng v. v…”. ([3],tr. 22)

ậ ủ ế ọ ứ *Các quy lu t c a tri ậ ệ t h c duy v t bi n ch ng.

ự ủ ự ể ẫ ậ (cid:0) Quy lu t mâu thu n là đ ng l c c a s phát tri n. ộ

ủ ị ủ ậ (cid:0) Quy lu t ph đ nh c a ph đ nh. ủ ị

ậ ượ ấ ổ ổ (cid:0) Quy lu t l ng đ i, ch t đ i.

ố ậ ủ ạ ặ ế ọ ậ ệ *Các c p ph m trù đ i l p c a tri ứ . t h c duy v t bi n ch ng

ự ễ ậ 1.Lí lu n và th c ti n.

2.Cái chung và cái riêng.

ụ ể ừ ượ 3.C th và tr u t ng.

ủ 4.Ch quan và khách quan.

ứ ộ 5.N i dung và hình th c.

ệ ượ ả ấ 6.B n ch t và hi n t ng.

ẫ ấ 7.Ng u nhiên và t t nhiên.

ứ ậ ộ 8.V n đ ng và đ ng yên.

ễ ạ 9.Suy di n và quy n p.

ổ ợ 10.Phân tích và t ng h p.

1.2.3.2. Lôgíc hình th c.ứ

ơ ấ ứ ư ứ ủ ứ Lôgíc hình th c nghiên c u c c u c a các hình th c t duy ( khái

ề ậ ứ ứ ệ ậ ế ni m, phán đoán, suy lu n, ch ng minh ). Lôgíc hình th c không đ c p đ n

ứ ấ ứ ủ ể ỉ ự ả s n y sinh và phát tri n c a các hình th c y. Lôgíc hình th c ch quan tâm

ố ượ ướ ạ ạ ụ ủ ế ệ ậ ế đ n các đ i t ng d i d ng tĩnh t ự i, cô l p. Nhi m v ch y u là xây d ng

ủ ự ề ệ ắ ậ ầ các quy t c, quy lu t mà s tuân th là đi u ki n c n thi ế ể ạ ượ c t đ đ t đ

ứ ữ ự ế ế ả ậ nh ng k t qu chân th c trong quá trình thu nh n ki n th c.

ệ ứ ư ự ứ ệ 1.2.3.3. T duy bi n ch ng ( d a vào lôgíc bi n ch ng ).

ớ ư ứ ệ ế ế ọ ề Lôgíc bi n ch ng v i t ọ cách là h c thuy t tri ậ ữ t h c v nh ng quy lu t

ấ ủ ự ả ủ ự ể ộ ư chung nh t c a s n y sinh và phát tri n c a t nhiên, xã h i, t duy giúp

ắ ượ ộ ủ ố ượ chúng ta n m đ c n i dung c a đ i t ng.

ố ượ ủ ư ố ượ ứ ữ ệ ậ ộ Đ i t ng c a t duy bi n ch ng là nh ng đ i t ế ổ ng v n đ ng, bi n đ i

ộ ẫ ứ ụ ệ ằ ố ạ trong m i liên h , ph thu c l n nhau. Ănghen cho r ng khi nghiên c u các đ i

ế ả ọ ướ ự ủ ệ ượ l ng bi n thiên “B n thân toán h c đã b ứ c vào lĩnh v c c a phép bi n ch ng

r i”.ồ

ệ ữ ứ ứ ố ệ *M i quan h gi a lôgíc hình th c và lôgíc bi n ch ng.

ề ậ ế ư ố ượ ề ạ ứ Lôgíc hình th c đ c p đ n t duy v các đ i t ng tĩnh t ậ i, cô l p,

ặ ổ ị ươ ố ủ ự ậ ườ ế ứ t c là chú ý đ n m t n đ nh t ng đ i c a s v t. Trong tr ợ ng h p đó

ậ ủ ơ ở ứ ữ ẳ ạ ậ ồ nh ng quy lu t c a lôgíc hình th c là có c s . Ch ng h n, quy lu t đ ng

ứ ằ ấ ườ ườ ườ nh t nói r ng “A là A”, t c là đ ng tròn là đ ng tròn, đ ng elíp là đ ườ ng

ứ ườ ấ ớ ườ ề elíp, ch đ ồ ng tròn không đ ng nh t v i đ ng elíp. Đi u này đúng khi xem

ự ế ủ ặ ứ ỏ xét m t tĩnh c a không gian. Tuy nhiên th c t đòi h i nghiên c u quá trình

ủ ự ậ ứ ự ể ổ ỏ ặ thay đ i, nghiên c u s phát tri n c a s v t, nghĩa là đòi h i xem xét m t

ứ ữ ủ ậ ợ ộ đ ng thì quy lu t nói trên c a lôgíc hình th c không còn phù h p n a. Và khi

ư ứ ứ ể ệ ả đó ta ph i dùng t duy bi n ch ng đ nghiên c u các quá trình đó.

ậ ụ ư ệ ạ ứ ệ ậ 1.2.3.4. V n d ng t duy bi n ch ng trong vi c d y bài t p toán.

ủ ụ ệ ậ ậ ặ ạ ế ọ Vi c v n d ng các quy lu t và các c p ph m trù c a tri ậ t h c duy v t

ữ ứ ứ ể ệ ậ ọ ệ bi n ch ng vào khai thác nghiên c u bài t p toán h c mang nh ng bi u hi n

ậ ầ ủ ự ả ặ ư ạ ệ ế ố ư ặ đ c tr ng c a s sáng t o. Do v y c n ph i đ c bi ọ t coi tr ng y u t t duy

ứ ệ ệ ả ứ ậ ọ bi n ch ng trong vi c gi i và nghiên c u bài t p toán h c.

ệ ữ ẳ ạ ố ộ Ch ng h n xét m i quan h gi a “Cái chung và cái riêng”. M t cái

ể ườ ặ ợ ệ ủ ề ộ riêng có th là tr ng h p đ c bi t c a nhi u cái chung khác nhau. M t cái

ặ ệ ữ ừ ậ ằ ộ chung, đem đ c bi t hoá t ng b ph n khác nhau, b ng nh ng cách khác nhau

ứ ề ướ ệ ờ ả ủ ộ ẽ s cho nhi u cái riêng khác nhau. Đ ng tr c vi c tìm tòi l i gi i c a m t bài

ể ầ ặ ọ ệ ừ ủ ậ toán, giáo viên có th yêu c u h c sinh đ c bi ộ t hoá t ng b ph n c a bài

ữ ứ toán theo nh ng cách th c khác nhau.

ụ ậ Ví d 1 ( Bài t p 8 ):

ả Gi i PT:

ị ủ ộ ậ ấ ủ ộ Thay m t vài giá tr c a vào PT, ta nh n th y ệ là m t nghi m c a PT,

vì ( đúng ).

ự ấ ủ ệ + D đoán : là nghi m duy nh t c a PT (1)

ừ ự ị ướ ờ ả ủ + T d đoán này giúp ta đ nh h ng l i gi i c a bài toán.

ứ ứ ể ạ ứ ẩ + PT này có các bi u th c ch a n d ng: đa th c, mũ, lôgarit.

ể ư ề ằ ươ ặ ẩ Ta có th đ a v PT mũ b ng ph ụ ng pháp đ t n ph :

Đ t ặ

ở PT (1) tr thành:

ả ế ượ ệ ấ Gi i ti p ta đ c PT đã cho có nghi m duy nh t là .

ứ ề ậ ớ ỗ ộ ộ Nhìn nh n bài toán theo nhi u góc đ khác nhau, ng v i m i góc đ , ta

ế ố ủ ộ ườ ư ộ ặ ợ coi m t trong các y u t c a bài toán nh là m t tr ng h p đ c bi ệ ủ t c a

ư ậ ộ ướ ơ ộ ổ ộ ỗ ớ m t cái t ng quát h n. Nh v y, v i m i góc đ cho chúng ta m t h ng m ở

ế ầ ả ộ r ng k t qu bài toán ban đ u.

ụ ậ Ví d 2 ( Bài t p 2 ):

ả Gi i PT :

ướ ẫ H ng d n.

ứ ủ ể ể ặ ứ ẩ + Quan sát đ c đi m c a PT, có các bi u th c trong căn ch a n:

ớ ệ ố v i m i liên h .

ể ả ể ỹ ừ ể ử ụ ấ ẳ ặ + Đ gi ứ i PT có th s d ng b t đ ng th c Côsi, ho c có th lu th a hai v ế

ứ ử kh căn th c.

ấ ẳ ử ụ ứ Cách 1: Đánh giá( S d ng b t đ ng th c Côsi )

ề ệ Đi u ki n

ấ ẳ ụ ứ ố Áp d ng b t đ ng th c Côsi cho 2 s không âm, ta có:

ả Suy ra PT tho mãn (2)

ươ ả ườ ặ ợ ệ ủ ớ V i ph ng pháp gi i này PT (1) là tr ng h p đ c bi t c a các PT sau:

(2)

(3)

ươ ổ ươ ế ươ ế ng pháp bi n đ i t ng đ ỹ ừ ng ( lu th a 2 v ) Cách 2: Ph

- = x

+ 2006

2008

2 (1)

ề ệ ề ớ Đi u ki n: ệ , v i đi u ki n (2) ta có:

�

- + x

(1)

2006 2008

2 (

= 2006)(2008

)

- - -

ả ( tho mãn (2) )

ằ ươ ổ ươ ế ươ ể ả ượ ộ ố B ng ph ng pháp bi n đ i t ng đ ng ta có th gi i đ c m t s PT sau:

(3)

(4)

ư ạ 1.2.4. T duy sáng t o.

ệ ạ 1.2.4.1. Khái ni m sáng t o.

ị ừ ể ữ ạ Theo đ nh nghĩa trong t đi n thì ị ớ sáng t oạ là t o ra nh ng giá tr m i

ặ ấ ầ ạ ặ ớ ả ề ậ v v t ch t ho c tinh th n ho c sáng t o là tìm ra cái m i, cách gi ế i quy t

ụ ộ ớ m i, không gò bó ph thu c cái đã có.

ạ ủ ạ *Các giai đo n c a quá trình sáng t o.

ẩ ị ạ + Giai đo n chu n b .

ạ ấ ủ . + Giai đo n p

ạ ừ + Giai đo n b ng sáng.

ạ + Giai đo n xác minh.

ụ ậ Ví d 1( Bài t p 9 ):

ả Gi i PT :

ạ ẩ ế ạ ờ ả ể ị là giai đo n HS tìm ki m l i gi i. HS có th quy Giai đo n chu n b :

ẫ ố ể ể ể ế ẫ ấ ấ ọ ẫ ồ đ ng m u s đ làm m t m u, cũng có th rút g n v trái đ làm m t m u,

ư ư ề ấ ọ ặ ư đ a PT đã cho v PT tích. Nh ng h g p khó khăn ch a nhìn th y ngay nhân

ử ể t ọ chung đ rút g n hay phân tích.

Giai đo n p ạ ấ ủ :

ư ề ể ấ ẫ ở Quá trình trăn tr suy nghĩ làm sao đ m t m u và đ a v PT tích.

ạ ừ Giai đo n b ng sáng:

1 sin 3x

x cos2

- - ể ề ế Đ ý v trái ứ ủ ể ư ề ể đ u có th đ a v bi u th c c a và sin 2

sin x . Li u r ng có th phân tích nhân t

ệ ằ ể ể ệ ẫ ử ả ử c t ẫ và m u đ tri t tiêu m u.

ừ ộ M t ý nghĩ b ng sáng

= + x

1 sin 3

x (1 sin )(4sin

4sin

+ = + x 1)

x (1 sin )(2sin

- - -

= x

- + x

= + 2 x

sin

cos2

sin

1 2sin

x (1 sin )(2sin

- -

ế ươ ươ Đ n đây PT đã cho t ng đ ớ ệ ng v i h :

sin

(cid:0) - (cid:0)

sin

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

1 2 - = x 1)

3(2sin

2cos 2

7 (2)

(cid:0) - (cid:0) (cid:0)

ề ế ượ ả ế ấ Đ n đây v n đ đã đ c gi i quy t.

ạ ữ ự ệ ả ở ề Th c hi n nh ng đi u đã suy nghĩ n y sinh trên Giai đo n xác minh:

ệ ư ạ 1.2.4.2. Khái ni m t duy sáng t o.

ộ ạ ư ư ộ ậ ạ ưở ạ T duy sáng t o là m t d ng t duy đ c l p, t o ra ý t ớ ộ ng m i đ c

ả ả ệ ế ấ ề đáo và có hi u qu gi i quy t v n đ cao.

ề ấ ủ ư ứ ế ả ợ ổ ạ T ng h p các k t qu nghiên c u v c u trúc c a t duy sáng t o, có

ơ ả ủ ư ể ầ ề ạ th nêu lên ba thành ph n c b n c a t ẻ duy sáng t o đó là tính m m d o,

ầ ộ ễ tính nhu n nhuy n và tính đ c đáo.

ẻ ề Tính m m d o.

ổ ễ ậ ự ủ ệ ố ự Đó là năng l c thay đ i d dàng, nhanh chóng tr t t c a h th ng tri

ể ừ ứ ệ ệ ộ ộ ị th c, chuy n t góc đ quan ni m này sang góc đ quan ni m khác; đ nh

ạ ự ậ ệ ượ ự ươ ư nghĩa l i s v t, hi n t ng, xây d ng ph ng pháp t ớ ạ duy m i, t o ra s ự

ệ ớ ữ ệ ể ậ ặ ớ ố ổ ậ v t m i trong nh ng m i quan h m i ho c chuy n đ i quan h và nh n ra

ấ ủ ự ậ ề ả b n ch t c a s v t và đi u phán đoán.

ễ ầ Tính nhu n nhuy n.

ự ạ ự ổ ợ ữ ộ Đó là năng l c t o ra m t cách nhanh chóng s t h p gi a các y u t ế ố

ẻ ủ ư ả ố ả ế ớ ưở ớ riêng l c a tình hu ng hoàn c nh, đ a ra gi thuy t m i và ý t ng m i.

ộ Tính đ c đáo.

ủ ộ ưở ể ệ ở ả ớ ạ ế Tính đ c đáo c a ý t ng m i th hi n gi i pháp l , hi m, không

ặ ấ ộ quen thu c ho c duy nh t.

ồ ưỡ ự ế ạ ỏ B i d ơ ng năng l c sáng t o chính là đòi h i HS bi n quá trình đ n

ọ ậ ạ ạ ứ ế ế ầ thu n ti p thu ki n th c trong h c t p thành quá trình sáng t o l ọ i. Toán h c

ở ộ ệ ố ứ ế ổ ỉ ượ ấ ở ph thông là m t h th ng ki n th c hoàn ch nh đ ặ c c u thành b i 4 m t:

ệ ậ ươ ự ậ ậ các khái ni m, lý lu n, ph ụ ng pháp và s v n d ng. V y ph i b i d ả ồ ưỡ ng

ư ặ ọ ậ ệ ạ ậ tính t duy sáng t o trên hai m t h c t p lý lu n ( các khái ni m, nguyên lý )

ả ế ấ ề và cách gi i quy t v n đ . ( [7],Tr.283284 )

ụ ậ Ví d 1 ( Bài t p 10 ):

ả Gi i PT :

ứ ằ ỹ ừ ứ ử ế ế ư N u c máy móc kh căn th c b ng cách lu th a hai v thì PT đã cho đ a

ả ở ể ậ ề v PT b c 4 khó gi i. Song đây ta đ ý:

+ = + + x

- + x

và

ệ ươ ả Phát hi n này giúp ta tìm ra ph ng pháp gi i PT.

ề ệ Đi u ki n:

ề ệ ớ V i đi u ki n đó

(1)

ả ế ượ ậ ệ Gi i ti p ta tìm đ ủ c t p nghi m c a PT đã cho là

Ệ Ữ Ố Ự Ạ 1.3. M I QUAN H GI A NĂNG L C TÌM ĐOÁN VÀ CÁC LO I

Ư Ư HÌNH T DUY, CÁC THAO TÁC T DUY.

ự 1.3.1. Năng l c tìm đoán.

ự ư ự ờ ả ủ Năng l c tìm đoán là năng l c t ể duy đ tìm ra l i gi ặ i c a bài toán, đ c

ệ ậ ả bi t là các bài toán không có thu t gi i.

ệ ữ ự ố ư 1.3.2. M i quan h gi a năng l c tìm đoán và các thao tác t ạ duy, các lo i

ư hình t duy.

ứ ể ề ệ ầ ặ ầ Do đi u ki n nghiên c u, chúng tôi không đ t ra yêu c u tìm hi u đ y

ệ ữ ự ạ ố ớ ư ủ ề đ v các m i quan h gi a năng l c tìm đoán v i các lo i hình t duy và các

ư ộ ố ế ố ỉ ụ ữ ể thao tác t duy, mà ch xét m t s y u t liên quan gi a chúng đ ph c v ụ

ề cho đ tài.

ặ ệ ươ ự Khái quát hoá đ c bi t hoá, t ng t ụ ể so sánh, c th hoá tr u t ừ ượ ng

ươ ự ể ẫ hoá, là ph ng pháp suy nghĩ giúp chúng ta mò m m, d đoán đ tìm ra l ờ i

ả ủ ố ớ ữ ậ ả ể ặ gi i c a bài toán. Đ i v i nh ng bài toán không có thu t gi i, có th đ c bi ệ t

ể ử ặ ả ừ ế ờ ể ằ hoá đ th ho c gi i bài toán đó, t đó b ng khái quát hoá đ đi đ n l i gi ả i

ể ươ ự ủ ủ c a bài toán. Cũng có th xét bài toán khái quát hoá ( t ng t ) c a bài toán

ừ ả ể ả ượ đó t đó tìm cách gi i bài toán đã cho. Đ gi i đ ả c bài toán, ph i tìm cho ra

ữ ắ ố ả ậ ử ụ ậ ủ ế ế các m t xích n i gi a gi thuy t và k t lu n c a bài toán, vì v y s d ng các

ể ị ổ ợ ướ ờ ả ủ thao tác phân tích t ng h p đ đ nh h ng và tìm l i gi i c a bài toán.

ụ ậ Ví d 1 ( Bài t p 11 ):

ả Gi i PT:

ứ ẩ ứ ể ấ ướ ấ B ng ằ i d u căn phân tích ta th y PT này có hai bi u th c ch a n d

ứ ậ ứ ậ ể ể ấ ộ ộ ậ b c hai, m t bi u th c b c hai và m t bi u th c b c nh t.

ử ươ ườ ứ Kh căn th c theo các ph ng pháp thông th ng:

ươ ượ ậ Bình ph ng thì thu đ ầ ủ c PT b c 6 đ y đ .

ặ ẩ ư ế ượ ệ ữ ẩ ụ ẩ ố ụ N u đ t n ph thì ch a tìm đ c m i liên h gi a n ph và n ban

đ u.ầ

ặ ệ ấ ậ ủ ộ nh n th y ệ là m t nghi m c a PT. Dùng đ c bi t hoá

ự ấ ủ ệ D đoán là nghi m duy nh t c a PT đã cho.

ề ệ Đi u ki n:

ể ứ ệ ủ ừ ề ấ ủ ự ệ T đi u ki n c a PT ta có th ch ng minh tính duy nh t c a nghi m d a vào

ệ ủ ặ ố ự ơ s đ n đi u c a hàm s ho c đánh giá.

ệ ủ ự ơ ế ố N u dùng s đ n đi u c a hàm s .

Đ t ặ

ị ạ không xác đ nh t i

ế ả ồ suy ra hàm s ố đ ng bi n trên kho ng

ế ươ N u dùng ph ng pháp đánh giá.

V i ớ , ta có:

�

� 1 4.

1 1

� 1 1

1 - = 2

- -

24 x

1 0

- (cid:0)

ế suy ra v trái (1)

PT (1)

ấ ủ ệ ươ V y ậ là nghi m duy nh t c a ph ng trình đã cho.

ả ủ ợ ta có đ ượ ờ c l i gi i c a bài toán. ổ B ngằ t ng h p

ả ủ ự ặ ộ Gi i các bài toán là thành t u đ c thù c a lí trí, mà lí trí là m t thiên t ư

ệ ủ ườ ự ượ ở ự ạ ố ặ đ c bi t c a con ng i. Năng l c v t qua tr ng i, năng l c tìm ra l i đi

ố ẳ ườ ữ ơ vòng khi không có l i đi th ng đã nâng ng i có tài lên cao h n nh ng ng ườ i

ườ ố ớ ữ ẵ ươ ả bình th ng. Đ i v i nh ng bài toán không có s n ph ng pháp gi i, con

ườ ả ả ự ế ng i ph i tìm tòi, phán đoán cách gi i quy t bài toán. Năng l c tìm đoán có

ệ ậ ố ế ớ ạ ư ư ư m i liên h m t thi t v i các lo i hình t duy: t ậ duy thu t toán, t ệ duy bi n

ứ ư ư ể ượ ả ch ng, t duy hàm, t ạ duy sáng t o. Đ tìm đ c cách gi i bài toán, con

ườ ạ ố ả ữ ể ỗ ng i ph i phân lo i t ể t các bài toán thành nh ng ki u bài, sao cho m i ki u

ị ướ ươ ả ọ ấ ẽ ặ bài toán quy đ nh tr ộ c m t ph ng pháp gi i. Toán h c r t ch t ch và

ướ ả ế ườ ầ ả ờ lôgíc, khi đã tìm ra h ng gi i quy t, con ng i c n ph i trình bày l i gi ả i

ủ ư ậ ọ ậ ả ẩ c n th n,chính xác. Đó chính là hai ý nghĩa quan tr ng c a t duy thu t gi i.

ư ườ ệ ộ ố Trong m t s bài toán, t duy hàm giúp con ng i phát hi n, thi ế ậ t l p,

ứ ự ươ ạ ượ ứ ế nghiên c u s t ữ ng ng gi a các đ i l ng bi n thiên có trong bài toán đó,

ừ ợ ụ ự ươ ứ ờ ả ủ Ở t đó l i d ng s t ể ng ng đ tìm ra l i gi i c a bài toán. các bài toán

ư ụ ể ạ ớ ư khác t ố ợ duy hàm là công c đ ph i h p cùng v i các lo i hình t duy khác

ờ ả ể đ tìm ra l i gi i.

ụ ậ Ví d 2 ( Bài t p 12 ):

ệ ể ấ Tìm m đ PT sau có nghi m duy nh t.

ướ ẫ H ng d n.

ệ ự ươ ứ ớ ế + Phát hi n s t ng ng: V i ho c ặ thì v trái (1) cho cùng

ả ế ợ ộ ế ớ ươ ờ ả m t k t qu . K t h p v i ph ng pháp đánh giá ta có l i gi i:

ệ ầ ề ả ử ấ ễ ấ + Đi u ki n c n: Gi ệ s (1) có nghi m duy nh t . D th y vì (1) có

ủ ệ nghi m ệ nên cũng là nghi m c a (1). Do đó

ạ . Thay l i vào (1) ta có . Đó chính là đi u ề

ệ ầ ể ệ ấ ki n c n đ (1) có nghi m duy nh t.

ệ ủ ề ạ + Đi u ki n đ : Gi ả ử s , khi đó (1) có d ng :

ấ ẳ ứ Theo b t đ ng th c Côsi ta có :

ấ ả , d u “ = ” x y ra khi .

Do đó (2)

ệ ấ ậ V y (2) có nghi m duy nh t

ạ ủ ể ệ ề ệ ấ ầ Tóm l i đ cho (1) có nghi m duy nh t, đi u ki n c n và đ là

ủ ư ư ệ ộ ộ ứ ệ ể T duy hàm là m t bi u hi n sinh đ ng c a t ư duy bi n ch ng, nh ng

ư ứ ệ ả ư ư ệ t duy bi n ch ng không ph i lúc nào cũng là t ứ duy hàm. T duy bi n ch ng

ầ ả ứ ụ ế ố xem xét bài toán c n gi ộ ẫ ệ ệ i quy t trong m i quan h bi n ch ng, ph thu c l n

ư ứ ự ữ ệ ậ nhau d a trên nh ng quy lu t khách quan. T duy bi n ch ng giúp con ng ườ i

ủ ệ ể ượ ấ ủ ả ộ ụ ầ h i t đ y đ các thao tác trí tu , hi u đ c b n ch t c a bài toán. Trong

ộ ố ườ ộ ộ ớ m t s tr ợ ng h p, gi ả ượ i đ c m t bài toán giúp ta gi ả ượ i đ c m t l p bài toán

ươ ự ơ t ng t , khái quát h n.

ụ ậ Ví d 3 ( Bài t p 2 ):

Sau khi gi ả ượ i đ c PT: (1), ta có th gi ể ả i

ượ ộ ố đ c m t s PT sau:

(2)

(3)

(4)

ờ ả ệ ắ ượ ươ ả Khi tìm tòi l i gi i bài toán, vi c n m đ c các ph ng pháp gi ế i, ki n

ứ ư ủ ề ả ọ ế ậ th c liên quan ch a đ , mà đi u quan tr ng là ph i bi ứ t suy nghĩ nh n th c

ấ ộ ươ ụ ệ ậ ớ ớ bài toán y theo m t ph ạ ng di n m i ( cách nhìn m i ), v n d ng linh ho t

ế ế ả ế ấ ụ ề ậ ứ ki n th c đã bi t, gi ớ i quy t v n đ theo cách m i, v n d ng vào trong hoàn

ượ ườ ấ ế ữ ắ ớ ả c nh m i, tìm đ c con đ ặ ng ng n nh t đ n đích, đó chính là nh ng đ c

ủ ư ư ạ ườ ả ế tr ng c a t duy sáng t o giúp con ng i gi i quy t bài toán.

ụ Ví d 4 ( Bài tâp 13 ):

ả Gi i PT:

ể ẽ ủ ế ậ ầ ế ươ PT này n u khai tri n s là PT b c 4 đ y đ . Ta đã bi t ph ng pháp

ườ ụ ư ặ ẩ ệ ề ế ả th ng dùng là đ t n ph , đ a PT v PT, h PT đã bi t cách gi i.

ể ầ Đ ý trong PT có các thành ph n: .

ự ằ ạ B ng s phân tích linh ho t

ệ ữ ấ ể ư ề ạ ệ ự Ta nhìn th y s liên h gi a , li u có th đ a PT này v d ng:

ự D đoán thôi thúc ta tìm tòi, phân tích:

ư ậ Và nh v y ta có:

�

(1)

2 x x 6 (

3) 16(

- - - -

3x (cid:0)

ế ớ ượ ư ề ạ ậ Đ n đây, v i đ t ặ , thì (1) đ ố ớ c đ a v d ng PT b c 2 đ i v i -

ế ả y đã bi t cách gi i.

ạ ệ ệ ể ầ ọ Tóm l ọ ự i, đ rèn luy n cho h c sinh năng l c tìm đoán, c n rèn luy n cho h c

ứ ươ ề ư ạ ư sinh tri th c ph ng pháp v các thao tác t duy và các lo i hình t duy.

Ề Ạ Ọ ƯƠ 1.4. VÀI NÉT V D Y H C PH NG TRÌNH Ở ƯỜ TR Ổ NG PH

THÔNG.

ắ ươ 1.4.1. Tóm t ạ t các d ng ph ng trình đã h c ọ ở ườ tr ổ ng ph thông.

ươ ổ ượ ư Trong ch ng trình toán ở ườ tr ng ph thông, PT đ c đ a ra xuyên

ố ừ ấ ế ậ ể ế ọ ổ ở ể ọ ọ su t t c p ti u h c đ n h t b c ph thông. Tuy nhiên ti u h c, h c sinh

ượ ệ ẩ ộ ớ ả đ c làm quen m t cách n tàng v i vi c gi i chúng.

3 8

ề ố ợ ố Ví d 1:ụ Đi n s thích h p vào ô tr ng:

+ = W 9 - = W 7 + + = W - = 3 4 9 ế nhiên a, bi

2 W ố ự Tìm s t

a + = . 2 7 ệ

ế ổ ố Tìm 2 s khi bi t t ng và hi u.

ề ậ ố ườ Các bài toán v v n t c, quãng đ ng.

ớ ớ ọ ượ ả ả Ở ườ tr ng THCS, l p 6, l p 7 h c sinh đ c gi i các bài toán gi i PT

ứ ạ ể ọ ơ ạ d ng ph c t p h n ti u h c.

t:ế Ví d 2:ụ Tìm x bi

832

(cid:0)

= :12 345 = x

26 + x

875 :

25 = x

) 15

= 3) 0

5 (6 = 2

22 30 3 + 12 ( = 3

- - -

ớ ượ ủ ệ ệ ọ ọ L p 8: H c sinh đ ậ ẩ ố c h c khái ni m PT, n s , nghi m c a PT, t p

ị ươ ươ ư ư ượ ệ ả ọ xác đ nh, hai PT t ng đ ng, nh ng ch a đ ạ c h c PT h qu . Các d ng

ượ ọ PT đ c h c:

ấ ậ PT b c nh t.

ứ ẩ ở ẫ ứ PT có ch a n m u th c.

ứ ấ ệ ố ị PT có ch a d u giá tr tuy t đ i.

ả ằ ậ Gi i bài toán b ng cách l p PT.

ớ ượ ố ệ ề ậ ấ ẩ ọ ọ L p 9: H c sinh đ ậ c h c v PT b c nh t hai n s , h hai PT b c

ế ẩ ấ ượ ộ ố ề ậ ậ ọ nh t hai n. Ti p đó HS đ c h c PT b c hai và m t s PT quy v b c hai,

ả ệ ằ ậ gi i bài toán b ng cách l p PT và h PT.

ứ ế ề ế ớ ổ ượ L p 10: T ng k t và nâng cao các ki n th c v PT đã đ c h c ọ ở

ụ ể THCS, c th :

ọ ượ ọ ị ệ ị H c sinh đ c h c đ nh nghĩa PT và các khái ni m có liên quan, đ nh nghĩa PT

ươ ươ ổ ươ ệ ế ả ươ t ng đ ng, PT h qu , các phép bi n đ i t ng đ ạ ng. Các d ng PT đ ượ c

h c:ọ

ộ ẩ ậ ấ ậ PT b c nh t, b c hai m t n.

ề ậ ứ ẩ ấ ậ ấ ộ ẩ PT quy v b c nh t, b c hai m t n.( PT ch a n trong d u giá tr ị

ệ ố ứ ẩ ứ ấ tuy t đ i, PT ch a n trong d u căn th c )

ề ẩ ệ ậ ẩ ấ PT, h PT b c nh t hai n, nhi u n.

ớ ọ ượ ề ọ ượ ơ ả L p 11: H c sinh đ c h c v PT l ng giác c b n và các PT l ượ ng

ườ giác th ặ ng g p:

ư ề ậ ấ ố ớ ố ượ ậ ấ ộ PT b c nh t, PT đ a v b c nh t đ i v i m t hàm s l ng giác.

ư ề ậ ươ ố ớ ậ ộ PT b c hai, PT đ a v ph ng trình b c hai đ i v i m t hàm s l ố ượ ng

giác.

ậ PT b c nh t đ i v i ấ ố ớ sin x và cosx .

ớ ọ ượ ọ ề L p 12: H c sinh đ c h c v PT mũ, PT lôgarit.

ạ ọ ự ươ ạ 1.4.2. Th c tr ng d y h c ph ng trình ở ườ tr ng THPT.

ọ ậ ự ủ ự ễ ả ổ Thông qua kh o sát th c ti n tình hình h c t p c a HS và s trao đ i

ự ế ầ ả ạ ớ ề ệ ệ tr c ti p v i các th y cô giàu kinh nghi m gi ng d y môn toán THPT v vi c

ệ ạ ấ ươ ộ ố ấ ề ậ ạ d y PT, chúng tôi nh n th y vi c d y ph ng trình có m t s v n đ sau:

ề +) V phía giáo viên:

ể ắ ố ắ ữ ề ệ ể Giáo viên có nhi u c g ng trong vi c tìm hi u đ n m v ng các

ả ả ứ ề ế ả ạ ki n th c v PT. Tuy nhiên trong quá trình gi ng d y do ph i đ m b o s ả ự

ố ề ụ ệ ệ ả ạ ờ ừ cân đ i v th i gian gi ng d y cho t ng m c tiêu nên vi c rèn luy n năng

ệ ả ậ ả ọ ự l c tìm đoán cho h c sinh trong vi c gi i bài t p nói chung, gi i PT nói

ự ệ ấ ờ riêng có r t ít th i gian th c hi n.

Ở ớ ạ l p đ i trà:

ầ ớ ố ớ ỉ ư ậ ờ Đ i v i PT không có thu t toán, ph n l n giáo viên ch đ a ra l i gi ả i

ứ ạ ọ ờ ả ờ ầ ế ồ ch không d y cho h c sinh cách tìm ra l i gi i. Đ ng th i h u h t giáo viên

ữ ệ ậ ỉ ừ ch d ng l ạ ở i nh ng PT không có thu t toán trong sách giáo khoa. Vi c m ở

ấ ạ ư ạ ế ộ r ng ra các d ng toán khác có nh ng r t h n ch .

Ở ớ ọ các l p chuyên,ch n:

ơ ấ ữ ề ệ ạ ậ Vi c d y nh ng PT không có thu t toán phong phú h n r t nhi u. Tuy

ứ ệ ị ươ ề nhiên vi c trang b tri th c ph ự ng pháp v năng l c tìm đoán ch a đ ư ượ ầ c đ y

ư ủ đ và ch a mang tính quy mô.

ọ ề +) V phía h c sinh:

ứ ế ề ượ ọ ở ớ ướ ượ ệ Do ki n th c v PT đã đ c h c l p d i và đ c tôi luy n qua

ấ ứ ủ ề ề ớ ọ ọ ầ ớ nhi u kì thi, nên v i ch đ này ph n l n các em h c sinh r t h ng thú h c

ề ạ ả ữ ậ ớ ấ ậ t p. Nhi u em r t thành th o gi ữ i nh ng PT có thu t toán, song v i nh ng

ệ ậ ặ ả ờ ả PT không có thu t toán thì các em g p ph i khó khăn trong vi c tìm l i gi i.

ự ệ ệ ệ ậ ọ ạ Vì v y vi c rèn luy n năng l c tìm đoán cho h c sinh trong vi c d y

ạ ọ ả ữ ệ ộ ọ h c toán nói chung và d y h c gi i PT nói riêng là m t trong nh ng nhi m v ụ

ủ ọ ườ ề ầ ạ ổ quan tr ng c a nhà tr ọ ng ph thông. Đi u đó góp ph n đào t o các em h c

ữ ở ườ ự ộ ả sinh tr thành nh ng ng i lao đ ng có năng l c gi ế ấ i quy t v n đ , t ề ự ủ ch ,

ứ ệ ạ ượ ữ ự ề ầ sáng t o trong công vi c, đáp ng đ c nh ng yêu c u v nhân l c trong

ấ ướ ệ ệ ạ ờ ố ế ậ ộ th i kì công nghi p hoá, hi n đ i hoá đ t n c và h i nh p qu c t .

Ậ Ế ƯƠ 1.5. K T LU N CH NG I

ề ậ ở ữ ộ ươ ơ ở ự Qua nh ng n i dung đã đ c p trong ch ậ ng I, d a trên c s lí lu n

ụ ự ế ậ ấ ố ề ư v t duy và năng l c tìm đoán chúng ta th y: N u v n d ng t ậ t các lí lu n

ữ ạ ả ượ ự ộ ậ này vào gi ng d y không nh ng phát huy đ ủ ọ c s đ c l p suy nghĩ c a h c

ượ ứ sinh mà còn kích thích đ ủ ọ c h ng thú, óc tìm tòi c a h c sinh trong quá trình

ể ượ ự ọ ộ ọ ọ ậ h c t p, nó giúp h c sinh phát tri n đ c năng l c toán h c, m t thành t ố ơ c

ỏ ả ủ ọ b n c a h c sinh khá gi i toán.

ạ ườ ụ ươ ọ Bên c nh đó, ng ả i giáo viên ph i áp d ng ph ạ ng pháp d y h c tích

ọ ợ ạ ự ọ ự c c, khoa h c và h p lí, mang l ấ i cho h c sinh s say mê môn toán, tìm th y

ọ ậ ữ ụ ề ớ ẩ trong toán ni m vui l n trong h c t p. Qua đó giáo d c các em nh ng ph m

ấ ạ ứ ố ẹ ch t đ o đ c t t đ p khác.

ươ ề ậ ớ ủ ậ ộ ố ệ Trong ch ng II c a lu n văn chúng tôi đ c p t i m t s bi n pháp s ư

ự ệ ằ ạ ọ ả ph m nh m rèn luy n cho h c sinh năng l c tìm đoán trong quá trình gi i bài

ươ ậ t p nói chung và ph ng trình nói riêng.

ƯƠ

NG II

ƯỚ

Ộ Ố ƯƠ

Ọ

Ẫ

NG D N H C SINH M T S PH

Ả NG PHÁP GI I

ƯƠ

Ệ Ố

Ậ

Ọ NG TRÌNH THÔNG QUA H TH NG BÀI T P CH N

Ộ Ố Ệ

Ư Ạ

Ọ

Ằ

Ấ

Ề

L C VÀ Đ XU T M T S BI N PHÁP S PH M, NH M

Ự

Ệ

RÈN LUY N NĂNG L C TÌM ĐOÁN

Ở ƯỜ TR

NG THPT

ƯỚ Ệ Ố Ự Ậ Ị 2.1. Đ NH H NG XÂY D NG H TH NG BÀI T P.

ệ ề ậ ố ượ ự ệ ớ H th ng bài t p v PT đ ụ c xây d ng v i m c đích rèn luy n và

ự ể ặ ọ ệ ọ phát tri n năng l c tìm đoán cho h c sinh THPT đ c bi t là h c sinh khá gi ỏ i,

ầ ế ả ả ả ầ cho nên c n thi t ph i đ m b o các yêu c u sau:

ố ữ ơ ả ứ ủ ế ắ ỹ ươ C ng c v ng ch c ki n th c, k năng c b n trong ch ọ ng trình h c

ổ ấ v n ph thông.

ế ừ ế ố ộ ầ ủ ự Tác đ ng đ n t ng y u t , thành ph n c a năng l c tìm đoán.

ề ợ ọ ờ ả ậ G i cho h c sinh ni m say mê, khám phá tìm tòi l i gi i bài t p.

ề ậ ứ ế ế ề ậ ổ ợ ộ Bài t p có tính t ng h p, đ c p đ n nhi u n i dung ki n th c trong

ươ ọ ch ng trình h c.

ọ ậ ộ ậ ự ạ ọ Giúp h c sinh nâng cao tính đ c l p, tính tích c c, sáng t o trong h c t p.

ệ ọ ư ạ ộ ệ ọ Giúp h c sinh rèn luy n các thao tác t duy, các ho t đ ng trí tu toán h c.

ả ọ ậ ụ ế ể ậ ượ Bài t p có tác d ng ki m tra k t qu h c t p, đánh giá đ c m c đ ứ ộ

ể ư phát tri n t ủ ọ duy c a h c sinh.

ươ ệ ộ Bám sát n i dung ch ng trình sách giáo khoa hi n hành, khai thác, s ử

ả ệ ố ệ ậ ậ ụ d ng hi u qu h th ng bài t p trong sách giáo khoa và sách bài t p.

ệ ố ậ ượ ượ ạ ợ ả ả ọ H th ng bài t p đ c đ ụ c ch n, phân lo i h p lý, đ m b o m c

ừ ứ ố ớ ọ ử ụ ề ả đích đã đ ra, tính kh thi khi s d ng, tính v a s c đ i v i h c sinh...

ƯỚ Ọ Ộ Ố Ẫ ƯƠ 2.2. H NG D N H C SINH M T S PH Ả NG PHÁP GI I

ƯƠ Ọ Ọ Ậ PH Ệ Ố NG TRÌNH THÔNG QUA H TH NG BÀI T P CH N L C.

ả ứ ề ự ậ ữ ụ ế ươ Gi ạ i PT là s v n d ng linh ho t các ki n th c v nh ng ph ệ ng di n

ể ả ề ụ ể ế ấ ả ề ậ ỗ khác nhau đ gi i quy t v n đ c th . Khi gi i m i bài t p v PT, nó đòi

ườ ả ự ự ỗ ự ả ậ ậ ộ ỏ h i ng i gi i ph i th c s n l c, t p trung t ư ưở t ậ ng cao đ , có l p lu n

ẽ ư ệ ạ ạ ị ặ lôgíc ch t ch , có t duy linh ho t, sáng t o trong vi c tìm tòi và đ nh h ướ ng

ả ề ậ ấ ạ cách gi i toán. Các bài t p v PT r t đa d ng và phong phú, nên ta có th ể

ệ ả ự ư ể ệ ậ thông qua vi c gi i các bài t p đ rèn luy n các năng l c t duy cho HS, trong

ự ả ộ ườ ả đó có năng l c tìm đoán. Khi gi i m t PT, thông th ọ ng ta ch n cách gi i nào

ư ậ ả ượ ả ắ ấ ọ ộ ị ơ đ n gi n, ng n g n và đ c đáo nh t. Nh v y HS ph i đ c trang b các

ươ ả ệ ố ủ ề ớ ph ng pháp gi ộ i PT m t cách ệ ầ đ y đ và có h th ng thì m i có đi u ki n

ọ ả ỗ ươ ả ư ề ể ch n ra cách gi ấ i hay nh t. M i ph ng pháp gi ủ i PT đ u có u đi m riêng c a

ủ ứ ề ấ ạ ậ nó. Do tính ch t và ph m vi c a đ tài nghiên c u, nên chúng tôi t p trung

ẫ ươ ả ươ ụ ướ h ng d n HS ba ph ng pháp gi i PT là: Ph ặ ẩ ng pháp đ t n ph , Ph ươ ng

ố ươ pháp hàm s , Ph ng pháp đánh giá.

ươ ặ ẩ 2.2.1. Ph ụ ng pháp đ t n ph .

ươ ặ ẩ ụ ộ ươ ấ ọ Ph ng pháp đ t n ph là m t ph ng pháp quan tr ng và r t ph ổ

ể ả ế ặ ẩ ủ ụ ư ụ ệ ằ ậ bi n đ gi i PT. M c đích c a vi c đ t n ph là nh m đ a PT b c cao v ề

ứ ạ ư ề ậ ấ ả ơ ơ ơ ế PT có b c th p h n, đ a PT ph c t p v PT đ n gi n h n đã bi t cách gi ả i.

ả ằ ươ ụ ả ặ ặ ẩ ụ ế ẩ Khi gi i b ng ph ng pháp đ t n ph ph i đ t ĐK cho n ph ( n u có ) và

ế ể ừ ủ ẩ ụ ẩ ả ph i bi t chuy n t ĐK c a n chính sang n ph .

ươ 2.2.1.1. Ph ỉ ng trình vô t .

g x ( )

f x ( )

ườ ụ ố ớ ặ ẩ ợ ươ Các tr ng h p đ t n ph đ i v i ph ỉ ng trình vô t :

a v i ớ

n f x ( )

g x ( )

TH1:

�

f x ( )

g x ( )

Đ t ặ

- + + = t a b

ạ PT có d ng:

ụ ậ Ví d 1: ( Bài t p 14 )

+ = x 2

+ x 6

5 (1)

- - ả Gi i PT:

ướ ẫ H ng d n.

+ = x

5 2(

+ x 3

+ 2) 1

- - ậ + Nh n xét:

�

+ x

+ = x 6

+ t 5 2

- - + Đ t ặ

ở PT (1) tr thành:

32 t

+ = t 3

1 0

+ 2

- + =

�

;

t (

t 1)(2

- = t 2

1) 0

�

- - -

+ 3

1t = , gi

;

- + 1

- ả ượ + V i ớ i ra đ c:

3 3 4;

3 3 4

3 = - 2

1 2

3 = + x 2

1 2

- - ả ượ + V i ớ , gi i ra đ c:

+ = x 2

- - - - - + V i ớ , ta có PT 3 vô nghi m.ệ

5 3 ;

;

3 3 4 3 2

+ 3 3 4 3 2

� � � �

� 3 � � � �

- - - - ủ ệ ậ T p nghi m c a (1) là

ụ ậ Ví d 2: ( Bài t p 15 )

- =

1 6 (1)

ả Gi i PT :

Gi i. ả

x(cid:0)

6 (2)

(cid:0) + ĐK: 1

0 (3)

2 y

+ = y

- (cid:0) ở + Đ t ặ , PT (1) tr thành:

210 y

- + y

= 20 0

�

(

+ - y

4)(

5) 0 (4)

�

- -

ả ế ượ + Gi i ti p PT(4) ta đ c:

- + =

+ =

;

y 1

y 2

y 3

y 4

- - -

4;y y trái v i ĐK (3) ớ

+ Lo i ạ 1

+ 13

;

3;y y vào (3) đ

x 1

x 2

- c ượ Thay 2

2x vì trái ĐK (2), 1x tho mãn đi u ki n (2).

ệ ề ả Lo i ạ

= 11

- ệ ấ ậ V y PT có nghi m duy nh t .

ị ậ ề Bài t p đ ngh .

ậ Bài t p 16.

+ + x

(

3)(

1) 4(

x x

+ 1 = - 3

- - -

ậ Bài t p 17.

- + 1

+ = x 3

1 0

ậ Bài t p 18.

= 15 0

24 x

+ x

24 x

- - -

ậ Bài t p 19.

23 x

21+ x

= = k

f x g x ( ). ( )

const

2 +18 = 2

c v i ớ

a f x ( )

b g x ( )

TH2:

f x

( ). m

g x ( )

ừ ả ế T gi thi t, ta có:

�

f x ( )

g x ( )

k t

Đ t ặ

+ = ct b

- ở PT tr thành:

ụ ậ Ví d 1: ( Bài t p 20 )

+ x

- = 2 x

- + 2 1

2 (1)

ả Gi i PT: -

Gi i.ả

1 0 + - ��۳ x

1 0

(cid:0) - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) + ĐK:

x � � (cid:0) x

x � � x

1 0

- - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

- - - ậ

) (

)

+ x

Nh n xét:

+) V i ớ , ta có:

( 1x (cid:0)

�

(1)

- = 1

2 1 ,

+ Đ t ặ - (cid:0)

�

+ = u 2

1 0

1 + = u

- ạ (1) có d ng:

�

� (cid:0)

+ - = 2 u

u (

u 1)(

1) 0

(cid:0) -

1 + - = u

1 0

(cid:0)

=� (cid:0) u

(cid:0) - - (cid:0)

(cid:0)

- + 1

(cid:0)

(cid:0) (cid:0)

2 1u = tho mãn đi u ki n

1u (cid:0)

ệ ề ả ỉ + Ch có .

- = - 2

- =

1=u

�

1 1

(2)

+ V i ớ ta có: 4

x 1 1 1x = là m t nghi m c a (2)

(cid:0) ủ ệ ộ

(2)

1x > ta có: VT(1) >0; VP(1) <0

(cid:0) ệ (cid:0) V i ớ ằ không có nghi m n m

(1;

)+(cid:0)

trong kho ng ả .

1x = .

ệ ấ ậ V y PT có nghi m duy nh t

ị ậ ề Bài t p đ ngh .

+ +

3 2

1 +

ậ Bài t p 21.

ậ Bài t p 22.

- -

12 2 x 1

x 1 12 2

5 2

- -

ậ Bài t p 23.

x x

x + x

1 1

1 = 1

- - -

ụ ư ề ươ ặ ẩ ấ ớ ẩ ụ ẳ ng trình đ ng c p v i 2 n ph đó. TH3: Đ t n ph đ a v ph

n a f

f x g x

x ( )

2 b g x ( )

( ) ( ) (1)

ặ Đ c bi ệ t

f x = ( ) 0

+ Xét

f x (cid:0) ( )

n f

x ,ta có:

2 ( )

�

+ a b

(1)

2 g x ( ) 2 x f ( )

g x ( ) f x ( )

ế ủ ừ + V i ớ , chia t ng v c a (1) cho

+ = ct a

g x ( ) f x ( )

- Đ t ặ ở , PT (1) tr thành:

ụ ậ Ví d 1: ( Bài t p 24 )

n 2 (1

x )

n 3 (1

+ )

= 2 x )

0 (1)

- - ả Gi i PT :

Gi i.ả

ẵ ớ +) V i n ch n

(cid:0)

x ) = 2

(1)

�

= - x � = x

= 2

x )

1 � (1

(cid:0) (cid:0) - PT ( Vô nghi m )ệ (cid:0) (cid:0) - (cid:0)

ẻ

ủ ệ ớ +) V i n l = 1x

+ =

(1)

1 0

�

không là nghi m c a (1) (cid:0) 1x , ta có: V i ớ

(1 (1

x ) x )

1 1

x x

= -

- -

(cid:0)

t 2

+ = (cid:0) t 3 1 0

(cid:0) = t

1 1

x x

1 2

= -

= - 1

(cid:0) - ạ Đ t ặ , (1) có d ng: - (cid:0)

+ = - x

�

1 1

x x

1 1

x = - x

+) V i ớ , ta có: (Vô - -

nghi m)ệ

�

= 1 2

1 1

x x

1 2

+ 1 1

x x

1 n 2

+ n 1 2 = n 1 2

- - - +) V i ớ , ta có: - - -

ế ậ K t lu n:

ệ ẵ ớ V i n ch n, PT vô nghi m.

+ n 1 2 n 1 2

ẻ ệ ớ V i n l , PT có nghi m . -

ụ ậ Ví d 2: ( Bài t p 25 )

= 8) 5

8(1)

ả Gi i PT :

+ =

Gi i.ả

8 (

2)(

+ x

+ =

- ậ + Nh n xét:

8 2(

(

+ x

4 (

> v

- (cid:0) + Đ t ặ

= + x

2 v

+ x

- Khi đó: 2 u

8; 2

2 u

2 v

2 2 u v

2(2

2 u

2 v

= ) 5

(2 2

u v u

)(

= v 2 ) 0

�

= 2 v

= � 2 2u v ho c ặ

- - ạ (1) có d ng:

= 2 2u v ta có:

+ V i ớ

= - 5

2 2

+ = 4

x + �� x 4 x

= 12 0

= + 5

(cid:0) (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0)

= 2

vta có

+ = 2

+ x

- + V i ớ

22 x

+ = x

6 0

�

- ( vô nghi m)ệ

= - 5

37;

= + 5 x

ệ ậ V y PT có 2 nghi m là .

ị ậ ề Bài t p đ ngh .

ậ Bài t p 26.

22 x

+ = x 2

- -

ậ Bài t p 27.

+ = x

2 4 2(

20)

+ b

+ =

- - -

(

)

x 21 (

)

p x ( )

q x ( )

p x ( )

q x ( )

g p x q x ( ). ( )

0 (1)

(cid:0) (cid:0) TH4:

a (

(cid:0)

q x

p x ( )

q x ( )

p x ( )

( ) 2

p x q x ( ) ( )

+ =

(cid:0) (cid:0) Đ t ặ thì 2 t

g+ b t

ở PT (1) tr thành:

ụ ậ Ví d 1: ( Bài t p 28 )

+ =

+ -

+ + 3

1 3

2 2

3 16 (1)

ả Gi i PT :

Gi i.ả

3 2

(cid:0) - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - ệ ề + Đi u ki n: (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(

)

) + + 1

(

)

22 x

+ = 3

) ( 1 2

- ậ + Nh n xét:

+ =

+ +

+ -

(1)

� x 2

+ + 3

1 (2

(

1) 2 (2

3)(

1) 20 0

+ Ta có:

+ +

+ + 3

t 1 (

4 2 2

(cid:0) (cid:0) + Đ t ặ 2 t

= (cid:0) 20 0

= - t (cid:0) =(cid:0) t

(cid:0) - - ở Khi đó, (1) tr thành:

( lo i )ạ

t = - 4 + V i ớ = 5t

ượ , ta đ c

+ + 3

+ = (cid:0) 1 5

1 +

2 2

+ = 1

21 3

(cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0)

�

� x

7 + x

146

= 429 0

x � x

143

- (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

3x = .

ệ ấ ậ V y PT có nghi m duy nh t

ụ ậ Ví d 2: ( Bài t p 29 )

= 2

ả Gi i PT:

x x

+ x

(1)

2 3

- -

= 2

ướ ẫ H ng d n.

x ;

x x

- - = + - 1x 1 ậ + Nh n xét:

= 2

+ Ta có:

(1)

+ 3 2

x x

+ x

)

�

+ 2

- -

(

)

( 1

)

x (1

+ = x ) 2 3(

+ x

) (2)

�

= +

- - -

x t ;

x (1

)

� 2 1 2

- (cid:0) - + Đ t ặ ,

+ = 2 3 t

2 0

- ở Khi đó (1) tr thành :

t , ki m tra đi u ki n

-1

x ,

(cid:0) 0t {

ả ề ệ ể Gi i ra

ượ ậ ệ tìm đ c t p nghi m PT (1) là: ồ , r i thay vào PT: }0;1 .

ị ậ ề Bài t p đ ngh .

ậ Bài t p 30.

+ + x

- + x

+ (1

)(8

= x )

+ =

+ -

+ + 3

1 6

2 8

3 16

ậ Bài t p 31.

ụ ư ề ệ ươ ử ụ ẩ TH5: S d ng n ph đ a v h ph ữ ỉ ng trình h u t .

ể ử ụ ươ ử ụ ụ ể ẩ ầ Đ s d ng ph ng pháp này ta s d ng k n ph chuy n PT ban đ u v h ề ệ

ệ ớ ớ ớ ụ ẩ ậ ượ ừ ố m i v i k n ph . Trong h m i thì ( k1 )PT nh n đ ệ ữ m i liên h gi a c t

ạ ượ ươ ứ các đ i l ng t ng ng.

- = b

+ f x ( )

f x ( )

- ố ớ ạ ẳ Ch ng h n đ i v i PT:

f x

= v

( );

f x ( )

+ =

- - Đ t ặ

u v + m

c = +

a b

(cid:0) (cid:0) Ta có h : ệ (cid:0)

ụ ậ Ví d 1: ( Bài t p 29 )

= 2

ả Gi i PT:

x x

+ x

(1)

2 3

- -

ướ ẫ H ng d n.

(cid:0) (cid:0) (cid:0) + Đ t ặ - (cid:0) (cid:0)

+ PT(1) có d ng:ạ

2 u

= + uv u v

= 2 1 v 2 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (2) (cid:0) (cid:0)

= + s u v

2( s

p 4 )

= p uv

(cid:0) (cid:0) (cid:0) + Đ t ặ (cid:0)

ệ ạ + H (2) có d ng:

= p

�

= s 1 � = p

= p s

3 2

2 2 3

+ = s 3 3 2

2 0 3 2

2 � s � � 1 � �

2 � s � � p � �

- - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ho c ặ ( lo i)ạ - (cid:0) (cid:0) (cid:0)

{

}0;1 .

1 =

(cid:0) (cid:0) ượ ậ ủ ệ + V i ớ tìm đ c t p nghi m c a PT (1) là (cid:0)

ụ ậ Ví d 2: ( Bài t p 32 )

+ + x

- = x

1 (1)

1 2

ả Gi i PT :

ướ ẫ H ng d n.

x v ;

x v ,

0 (2)

1 2

- (cid:0) + Đ t ặ , ta có:

ạ

�

1 =

+ PT(1) có d ng: + =

= - 1 = - 1

u v � � + 3 u �

u � � u �

�

= - v u 1 � � = - 3 v ) (1 � = � v

v v )(

= 3) 0

v (3) 1v = ho c ặ

3v =

- - ho c ặ + Ta có (3)

v = , ta có : 0

- = x

=� x

1 2

+) V i ớ

1v = , ta có :

- = x

= -� x

1 2

+) V i ớ

3v = , ta có:

- = x

= -� x

1 2

17 2

= -

+) V i ớ

= - x

;

1 2

17 2

PT (1) có 3 nghi m ệ .

ụ ậ Ví d 3: ( Bài t p 33 )

+ 6

+ = x 6

6 (1)

ả - Gi i PT:

Gi i.ả

3 � 3

- = z x � - = z y

+ = 6 + = 6

- =

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) + Đ t ặ (cid:0) (cid:0) (cid:0)

6 0

ụ ư ẩ ớ ừ + V i các n ph nh trên, t (1) ta có

6 (2)

(cid:0)

6 (3)

y 3

= + y = + z = + x

6 (4)

(cid:0) (cid:0) ệ + Ta có h PT : (cid:0) (cid:0)

x y z ; ;

ố ớ ệ ổ + Do h (2),(3),(4) không thay đ i khi hoán v vòng quanh đ i v i

z .

y x ;

( ,

ổ nên không m t tính t ng quát gi ả ử s ị (cid:0) =�x max x y z , )

�

= + z

+ = 6

+ > +

x >

ừ ấ y> , t +N u ế x (2) và (3) .

�

(cid:0)x

z ở

�

z=� y

= = y

ừ ớ ả T (3) và (4) ẫ , mâu thu n v i gi thi ế t

y , t

ừ (2) và (3) .

trên. + Suy ra =x ạ PT (1) có d ng:

�

= �

- = x

6 0

(

+ 2

3) 0

- -

+ x 2)( 2=x

ấ ệ PT (1) có nghi m duy nh t .

ụ ậ Ví d 4: ( Bài t p 1 )

ả Gi i PT:

( PT này đã gi m c i ả ở ụ 1.1.1.1 )

ị ậ ề Bài t p đ ngh .

ậ Bài t p 34.

- = - x 1

- 3 2

= + 2

ậ Bài t p 35.

2 3

- -

ử ụ ẩ ụ ư ề ươ ủ ẩ ụ ẩ TH6: S d ng n ph đ a v ph ng trình c a n ph đó và n ban

ố ầ ẩ ầ đ u ( n ban đ u coi là tham s )

ệ ử ụ ớ ẩ ụ ể ẩ ầ ộ ư Vi c s d ng n ph chuy n PT ban đ u thành m t PT v i n ph nh ng

ệ ố ẫ ươ ườ ượ ử ụ ụ ứ x . Ph các h s v n còn ch a ng pháp này th ng đ ố ớ c s d ng đ i v i

ọ ẩ ụ ứ ứ ữ ự ể ể ộ nh ng PT, khi l a ch n n ph cho m t bi u th c thì các bi u th c còn l ạ i

ễ ượ ệ ể ụ ễ ể ẩ ặ ượ ể không bi u di n đ c tri t đ qua n ph đó ho c bi u di n đ c thì công

ễ ạ ứ ứ ạ ể th c bi u di n l i quá ph c t p.

ụ ậ Ví d 1: ( Bài t p 36 )

+ +

+ 2

2 2

4 4 2

- = x

16 (1)

ả Gi i PT:

2 (2)

- (cid:0) (cid:0) i.ả Gi + ĐK: 2

ế ủ ớ ươ ươ + V i ĐK này, 2 v c a (1) luôn d ng, bình ph ế ng 2 v ta có:

4(2

+ 4) 16(2

+ x ) 16 2(4

= 2 x ) 9

+ 2 x

- -

8(4

+ ) 16 2(4

+ 2 x

= ) 16

+ 2 x

+ x 8

16 (3)

�

- -

2(4

- (cid:0) + Đ t ặ , ta có:

t 4

t 16

= x 8

0 (2)

- -

t c ượ 1

t 2;

x 2

- - ả + Gi i PT n ẩ t , tìm đ

2 0

(cid:0) (cid:0) Do - nên < t (lo i)ạ

2(4

= )

= x

x ��(cid:0)

x 2

4 2 3

x t = ta có: 2

8(4

= )

(cid:0) (cid:0) - + V i ớ - (cid:0)

ị ậ ề Bài t p đ ngh .

ậ Bài t p 37.

+ - x

5 (4

1) 6

+ = 6 x

5 0

- - -

+ = 3

+ 3

ậ Bài t p 38.

+ x

1 2

- =

ậ Bài t p 39.

x x

1 2

ử ụ ượ ươ ặ ẩ TH7: S d ng l ng giác trong ph ụ ng pháp đ t n ph .

ụ ậ Ví d 1: ( Bài t p 40 )

= 2

ả Gi i PT:

+ (1 2 1

) (1)

- -

Gi i.ả

-�� 1

- + ĐK: 1

sin

-� � p p ; � �� 2 2

(cid:0) + Đ t ặ , v i ớ , PT (1) có d ng:ạ

= t

1 sin

t sin (1 2 1 sin )

�

+ 1 cos

+ t sin (1 2cos )

�

2 cos

sin

t sin 2

2 cos

2sin

cos

t 2

t 3 2

t 2

- -

cos

(cid:0)

�

� (cid:0)

cos

2 sin

= ) 0

t 2

t 3 2

sin

(cid:0)

t 2 t 3 2

2 2

(cid:0) (cid:0)

PT (1) có 2 nghi m: ệ .

ụ ậ Ví d 2: ( Bài t p 41 )

+ (1

)

(1)

� �

� = + 3 x ) �

- - - - ả Gi i PT:

(cid:0)x

Gi i.ả

(2)

+ ĐK:

[

]

= 2

t t

cos ,

0;p

sin

= + 3

(cid:0) - + Đ t ặ , ta có:

�

- -

(

)

(1)

+ 1 sin

t (1 cos )

2 sin

cos

sin

2 sin

t 2

� � � sin �

� � � � � �

� 2 2 cos � �

� � = + � � � �

2 2 2 sin

2 cos

sin

�

t 2

1 2

� � �

�� + 1 sin cos ��

� � + = 2 1 � � � �

� � �

�

2 2 cos (1

t sin )

2(1

t sin )

1 2

ﾡ

1 (Vì

sin

> " 0

� t cos

1 2

2 2

(cid:0) )

x =�

cos

2 2

ệ ề ả + V i ớ ( tho mãn đi u ki n (2))

x =

2 2

ấ . ệ PT (1) có nghi m duy nh t

ị . ậ ề Bài t p đ ngh

2 2

x 2

ậ Bài t p 42.

+ + 1

ậ Bài t p 43.

1) 2 x

x ( x 2 (1

)

ậ Bài t p 44.

= 2 3 )

2 2

- -

ươ 2.2.1.2. Ph ữ ỉ ng trình h u t .

ụ ư ề ươ ặ ẩ ấ ẳ TH1: Đ t n ph đ a v ph ng trình đ ng c p.

= 2 x

(

16)(

+ 2 3)

0(1)

- - ụ ậ ả Gi i PT: Ví d 1: ( Bài t p 13 )

Gi i.ả

�

(1)

2 x x (

16(

+ 3)

= x 9

+ 2

- - -

16(

= 3)

2 � � � x x (

� �

- - -

2 x x 6 (

3) 16(

0 (2)

- - - -

ủ ệ

� x 3) 3x = không là nghi m c a (2) +) x (cid:0)

(2)

= 16 0

� �- x � � �- x 3 � �

- -

+ Đ t ặ , (2) có d ng:ạ -

= (cid:0) 16 0

8 = -

(cid:0) - - (cid:0) (cid:0)

8=y

�

+ x

= 24 0

= -

+ 2

2= -

- + V i ớ ta có (vô nghi m)ệ -

�

- = x

= - x

6 0

= -

+ V i ớ ta có -

= - + x

- Nghi m: ệ

ụ ậ Ví d 2: ( Bài t p 45 ).

168

x x

x + x

x x

9 = 4

2 + 3 � � + � � 2 � �

2 3 � � � � 2 � �

- - - ả Gi i PT: - -

ướ ẫ H ng d n.

+ ĐK:

+ Đ t ặ .

ạ + PT đã cho có d ng: ho c ặ .

x a x b x

)(

c x d )(

)

(1)

ả ế ượ ậ ệ + Gi i ti p ta tìm đ c t p nghi m PT đã cho là: .

TH2: ( , trong đó .

(1)

(

)

+ c d x cd m

)

(

2 � x � �

+ 2 �� a b x ab x ��

= � �

Ta có

+ y ab y cd m

)(

)

(

Đ t ặ

ạ Khi đó PT(1) có d ng: (2)

ố ớ ẩ ậ ế ả PT (2) là PT b c 2 đ i v i n y đã bi t cách gi i.

+ =

ụ ậ Ví d 1: ( Bài t p 46 )

2 7) (3

4)(

1) 1 (1)

ả Gi i PT:

Gi i.ả

(1)

� x (6

2 7) (6

8)(6

= 6) 12

�

(36

49)(36

= 48) 12

ả ớ ế ủ + Nhân c 2 v c a (1) v i 12.

49;

0 (2)

(cid:0) + Đ t ặ

= (cid:0) 12 0

=(cid:0) t (cid:0) = - t

- - ạ (1) có d ng: (cid:0)

4=t

+) V i ớ ta có:

- (cid:0)

�

= 49 4

= 45 0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0)

3 2 5 6

(cid:0) (cid:0)

;

� �

5 6

-� 3 � 2 �

- ệ ậ T p nghi m PT đã cho :

ụ ậ

1)(

3)(

(

5)(

7) 9 (1)

Ví d 1: ( Bài t p 47 ) + ả Gi i PT:

] [

]

[ � x

ướ ẫ H ng d n.

(1)

(

1)(

(

3)(

(

x 8

7)(

x 8

= 15) 9

�

+ Ta có:

= -

(

7)(

= (cid:0) 15) 9

+ 2 8 x

= -

(cid:0) ạ + Đ t ặ , PT (1) có d ng: (cid:0) (cid:0)

{

- + 10; 4; 4

} 10

]

[

]

- - - ả ế ượ ậ ủ ệ + Gi i ti p ta đ c t p nghi m c a PT(1) là

f x ( )

(1)

TH3: [

(cid:0)

= +

p q

a � = - b

p q

p � q

+ -

4 =

+ +

]

[

]

+ a b 2 a b 2 [

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Đ tặ - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

p q

f x ( )

(1)

ạ (1) có d ng:

f x p q ( ) + , ta có PT:

f x ( )

4 =

4 +

2 2 +

4 =

[

]

[ + -

]

�

+ t q

t q

q t

Đ t ặ

+ 4

ụ ậ Ví d 1: ( Bài t p 48 )

(2008

)

(2006

= 4 x )

- -

Gi i.ả

2007

+ 4

= 4

+ 4

- = 2

- + Đ t ặ .

�

+ y

(1)

(

7 0

= -

�

1 = -

- = x

2006

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

y 1y = , ta có: 2007 y = -

+) .

2008

- = - x {

=� x =� x } 2006;2008

+) . , ta có: 2007

ệ ậ T p nghi m PT đã cho:

ụ ậ Ví d 1: ( Bài t p 49 )

(

ả Gi i PT:

ướ H ng d n.

ẫ x= + + Đ t ặ

=� y

26 y

0=y

ạ

+ V i ớ ta có: . + PT đã cho có d ng : x = -

x = -

ệ ậ ấ V y PT(1) có nghi m duy nh t .

dx e

+ = , ( v i ớ 0

e d = 2 a b

(cid:0) (cid:0) (cid:0) TH4: ).

+ + +

(1)

bx c

�

d x

e 2 x

ủ ệ + Do , nên không là nghi m c a PT.

(1)

+ = c

e 2 ax

d bx

� a x � � �

� � b x � � � �

� � �

+ = c

�

d 2 2 b x

d bx

� � �

� a x � �

� � + b x � � � �

+ Do , nên:

Đ t ặ , PT (1) có d ng:ạ

2 2.

+ = by c

0 (2)

d b

� a y � �

� + � �

ậ PT(2) là PT b c 2 đ i v i ố ớ y .

ụ ậ Ví d 1: ( Bài t p 50 )

(

1)(

+ x 2

= 2) 0 (1)

- - ả Gi i PT:

ướ

1 (2)

+ =

ẫ H ng d n. = - x + Đ t ặ ,

1 0 (3)

ạ + PT (1) có d ng:

2 z

z 5

+ = (cid:0) 4 0

= + y

, (

= - z (cid:0) = - z

1 y

z = -

(cid:0) (cid:0) ạ + Đ t ặ , PT(3) có d ng: (cid:0)

= -

( lo i ).ạ

= - + y

- ả + Gi i PT: ; ta đ cượ

ượ ậ ủ ệ Thay vào (2), ta tìm đ c t p nghi m c a PT(1) là .

+ 3

ụ ậ Ví d 1: ( Bài t p 51 )

x 21

+ x 105

= 50 0

- - ả Gi i PT:

ướ ẫ H ng d n.

+ Đ t ặ , ( )

+ y

=� y

22 y

= 54 0

- ạ + Ta có PT(1) có d ng: ho c ặ

ả ế ượ ậ ệ + Gi i ti p ta tìm đ c t p nghi m PT đã cho là:

ị . ậ ề Bài t p đ ngh

ậ Bài t p 52.

+ = x 2

1 0

- -

ậ Bài t p 53.

6 0

1 2 x

1 - = x

ậ Bài t p 54.

= 16 0

1 x

1 2 x

ậ Bài t p 55.

)

= 16 0

1 2 x

1 x

ậ Bài t p 56.

- =

)

6 0

1 2 x

1 x

ậ Bài t p 57.

3 +2

ươ ệ 2.2.1.3. Ph ng trình siêu vi t.

(cid:0) ươ ượ Ph ng trình l ng giác.

ườ ẩ ụ ng dùng các n ph :

sin ;

ax t

cos ;

ax t

tan ;

ax t

cot

ax ;

ố ớ ượ + Đ i v i PT l = ng giác th =

sin

cos ;

x t

sin

cos

x .

ố ớ ố ạ ế ậ ấ ậ ỉ + N u PT ch có các s h ng b c nh t và b c 3 đ i v i và thì có

3cos x ho c ặ

3sin x đ a PT đã cho v PT b c 3

ế ủ ể ả ư ề ậ th chia c 2 v c a PT cho

c a ủ tan x ho c ặ cot x

tan x , cot x và sin2x , cos2x thì đ t ặ = tan

x ,

ố ạ ế + N u PT có các s h ng

sin2

;cos2

t 2 + t

1 1

t t

- khi đó: .

ụ ậ Ví d 1:( Bài t p 58 )

cos

0 (1)

- ả Gi i PT:

x 4 3 1 tan

Gi i.ả

cos

(2)

1 cos 2 2

�

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(1)

� � �

+ Ta có:

(3)

� � � 1

x 4 3 x cos 2 2 x cos

x > x

x 4 3 sin cos

- (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

+ Ta có:

+ Đ t ặ , ta có

cos2

cos2 +

(3)

�

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

cos2

2 cos

1 cos2 2

(cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

cos2

> t 3

0 (4)

�

� 3 t 4

ạ PT(2) có d ng:

t 4

+ = 3 t

3 0

= 1;

= ; t

= �

3 2

- - -

t =

3 2

cos

p 2 , k

= p x k 3 ,

- và ( lo i )ạ

ﾡ .

ﾡ ��

�

x 2 3

+ V i ớ = 1t , ta có:

ﾡ

x 2 3 = x k p 3

ủ ệ ậ V y các nghi m c a PT(1) là: , k (cid:0)

= +

ụ ậ Ví d 1:( Bài t p 59 )

(1 tan )(1 sin2 ) 1 tan (1)

- ả Gi i PT:

ướ ẫ H ng d n.

= 2

ạ + Đ t ặ , PT (1) có d ng:

+ )(1

)

+ (1

+ )(1

)

�

t t )

�

= - t � (cid:0) =(cid:0) t

(cid:0)

ả ượ ủ ệ + Gi i các PT ta đ c các nghi m c a PT (1) là:

ụ ậ Ví d 3:( Bài t p 5 )

= -

cos

sin

tan

cot

ả Gi i PT:

1 cos

1 sin

(1)

sin2

Gi i.ả

+ ĐK:

+ Đ t ặ .

sin2

x t=

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - Ta có: (2) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

= -

= 2

+ t t (

�

t 2 2

= - t (cid:0) =(cid:0) t

1t = ( lo i )ạ

(cid:0) (cid:0) ở PT (1) tr thành: - -

sin

= (cid:0) 0

p k

0t = ta có: cos

ﾡ .

p 3 4

(cid:0) + V i ớ

p k

ﾡ .

p 3 4

(cid:0) ệ ậ V y PT đã cho có các nghi m là:

ụ ậ Ví d 3:( Bài t p 60 )

x sin .sin2

x sin3

3 6cos

(1)

ả Gi i PT:

ướ ẫ H ng d n.

(1)

2 x 2sin .cos

3sin

3 4sin

= x

3 6cos

�

cos

= 0x

ả +) , (1) không tho mãn .

cos

3cos x , ta đ

(cid:0) ế ủ ả +) , chia c 2 v c a (1) cho c:ượ

3 3tan (1 tan ) 4tan

= x

2 x 2tan + Đ t ặ = tan t

x , ph

ươ ạ ng trình (1) có d ng

22 t

+ = t 3

6 0

= - t 2;

= 3;

= �

= -

- -

tan

2;tan

3;tan

= x

ả ượ ệ + Gi i các PT ta đ ủ c các nghi m c a

ươ ph ng trình (1) là

= p k x ;

k k ;

arctan2

p k x ;

ﾡ .

p = - + 3

+ 3

(cid:0)

ị . ậ ề Bài t p đ ngh

tan

2 tan

3 tan

cot

ậ Bài t p 61.

ậ Bài t p 62.

3cos4

=2 x 2cos 3

ậ Bài t p 63.

p� � p 5 ; : � � 4 4 � �

cos

sin

1 cos

1 sin

10 3

ệ ả ủ Tìm các nghi m c a PT trên kho ng

+ =

3(sin

cos ) 4sin .cos

3 0

ậ Bài t p 64.

ậ Bài t p 65.

sin

cos

+ x

sin2

= - x

1 2

- =

2(tan

cot

x )

tan

cot

6 0

Bài t p 66ậ

= log

(cid:0) ươ Ph ng trình Lôgarit

g x ; = ( ) ( )

t g x , sử

ố ớ ườ ụ ẩ + Đ i v i PT lôgarit th ng dùng các n ph :

ể ả ấ ụ d ng tính ch t lôgarit đ gi i.

log

f x ( )

ế ẩ ố ồ ờ ở ơ ố ứ ấ ể ườ + N u n s đ ng th i có c s và bi u th c l y lôgarit, th ng dùng công

g x (

)

log ( ) f x a g x log ( ) a

ứ ổ ơ ố ư ẩ ố ỏ ố ằ th c đ i c s nh m đ a n s ra kh i s mũ:

ư ế ( coi nh 2 v đã có nghĩa ).

ụ ậ Ví d 1: ( Bài t p 67)

ả Gi i PT:

log

(log

x (1) ))

)

log (log (2008 x

2008

- - -

Gi i.ả

< < x

2008,

2007,log (2008

> ) 0.

(cid:0) (cid:0) - + ĐK: 0

ừ + Đ t ặ , t ĐK (1)

)

) (2)

log (log x

PT (1) có d ng:ạ = log (log y

b .log

log

(2)

log (log

)

log

)

� x

y .log (log x

�

log

)

log ( x

y .log (log x

1 log

, ta có: T ừ log

�

= )

)

log (log x

(

y .log (log x )

log

�

log ( ) 1 log log x

log

1004

�

x =2008- x ��

x y = (cid:0) + log (log ) 0

x y

ệ ề ả ( tho mãn đi u ki n ).

x =

1004

ệ ậ ấ V y PT(1) có nghi m duy nh t

+ 3

ụ ậ Ví d 2: ( Bài t p 68 )

log

14log

= x

0 (1)

40log 4

x 2

ướ ẫ H ng d n.

;

2 (2)

1 16

1 4

(cid:0) (cid:0) (cid:0) + ĐK:

+ Đ t ặ

log 2

log

Ta có:

x 1

t 2 1

2log 2 x log 2

x 2

log 2

x x 2

- -

log 4

t +

x x

log 2 log 4 2

t 3

+ PT (1) có d ng:ạ

14.

40.

t (2

t 3

2) 0

�

t 2 1

+ t

t + t

= 2)

+ 4

- - - -

;

�

1 2

= , k t h p đi u ki n (2), ta ề

log 2

0;log 2

;log 2

1 2

;1;4

- ả ế ợ ệ + Gi i các PT

� �

1 � � 2 �

ượ ậ ủ ệ đ c t p nghi m c a PT (1) là

2008

2(log

log

+ + ...

log

2009 (1)

ụ ậ Ví d 3: ( Bài t p 69 )

2008

ả Gi i PT:

Gi i.ả

log

2log

2008

+ ĐK:

2008

1 2008 2

log

3log

2008

1 2008 3

+ Ta có:

2008

log

2008log

2008

. . .

+ +

2(log

2log

... 2008log

x )

+ Đ t ặ , ta có:

2008

+ + +

t 2.(1 2 ... 2008).

t .

t 2008.2009.

(1 2008)2008 2

VT (1)

t 2008.2009

2009

=� t

1 2008

ạ + PT (1) có d ng:

+ V i ớ , ta có .

x =

2008 2008

ệ ấ ậ V y PT có nghi m duy nh t

ụ ậ Ví d 4: ( Bài t p 70 )

ả Gi i PT:

Gi i.ả

+ ĐK:

log 6

2 log 6

log 6

(

)

t 2

ậ +Nh n xét

=� t

+ Đ t ặ , PT (1) có d ng:ạ

+ V i ớ

(

)

(2)

�

log 6

log 6 x

log 6

1 log 6

V i ớ , ta có:

= -

�

log 6 log 6

1 6 6

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ụ ậ Ví d 4: ( Bài t p 71 )

+ (9 12

2 x 4 )

x 23

= 21) 4 (1)

log 3

log 2

ả Gi i PT:

Gi i.ả

< (cid:0) x

3 2

(1)

x 3)(3

= 7) 4

�

log 3

log 2

- - + ĐK: (2)

0t (cid:0)

2 + +1

+ Đ t ặ , ( ) PT đã cho có d ng:ạ

+ + =

t 2

+ = 3 1 0 t

�

1 t

=(cid:0) t � (cid:0) = t

(cid:0) -

1 2 + =

= 3) 1

x 3 3

�

1t = ta có:

(cid:0)

x = -�

log 3

= -

(cid:0)

+ =

+ = 3

x 3

2 0

�

1 t = ta có: 2

1 4

(cid:0) (cid:0) - + (cid:0) (cid:0)

1 4

- ả ỉ Ch có ( tho mãn (2) ).

1 4

- ệ ậ ấ V y PT đã cho có nghi m duy nh t .

ị . ậ ề Bài t p đ ngh

+ 2

ậ Bài t p 72.

= 3 1)

2 log ( 2

log ( 2

- -

ậ Bài t p 73.

+ log 8 log 2 log 243 0

ậ Bài t p 74.

log

1 0

- = x log 3 3

log

+ + ...

log

< (cid:0) n

log n

ậ Bài t p 75.

(cid:0) ươ Ph ng trình mũ

f x (

)

f x (

= )

ườ ộ ố ườ ặ ụ ợ Ta th ng g p m t s tr ặ ẩ ng h p đ t n ph sau:

(

)

(

)

b a ).(

= ) 1

)

- - + TH1: . , v i ớ (

(

) f x (

2 (

f x

)

f x (

)

2 (

f x

)

Đ t ặ

a u .

b uv ( )

c v .

f x (

)

+ TH2:

v x (cid:0) , v i ớ ( ) 0

u � �= � � v � �

Đ t ặ

x =

ụ ậ Ví d 1: ( Bài t p 76 )

- ả Gi i PT: (1)

)

(

Gi i. ả

= 8

- = 9 8 1

8. 3

x =

- + Ta có: 3

x 8 (

�

- Đ t ặ

)

(

1 t

(cid:0) = + t 3

+ = 6 1 0 t

�

� (cid:0)

1 + = t

= - 3

x ) 2 =

- ạ + PT (1) có d ng: (cid:0) (cid:0)

t = - 3

+ 3

x = - 3

( + 3

�

+) V i ớ

)

(

1 +

= -

= - x

�

x 2

(

) 2

t = + 3

= + 3

�

+) V i ớ

)

(

�

x 2

ủ ệ ậ T p nghi m c a PT(1) là:

ụ ậ Ví d 2: ( Bài t p 77 )

cos

sin

x 2cos 1

log 8 15 +

= 2cos 1

- - -

2sin 5

0 (1)

2sin 3

1 � � � � 15 � �

x cos )

Gi i.ả

2(sin 3

2cos

2sin

sin

x + =

ế ủ ả + Chia c 2 v c a (1) cho ta có:

3 0

5 � � 5. � � � 3 � �

cos 5 � � � � 3 � �

- PT(1)

=(cid:0) t

+ Đ t ặ

t 5

+ = (cid:0) 8 t 3 0

(cid:0) = t

(cid:0) - ạ PT (1) có d ng :

3 5

sin

(cid:0)

cos

sin

�

cos 5 � � � � 3 � �

+) V i ớ , ta có:

cos(

= ) 0

= x

p k k ;

�

�ﾡ

p 3 + 4

sin

= -

cos

sin

�

3 5

cos 5 � � � � 3 � �

+) V i ớ , ta có:

p 2

cos(

= )

�

� (cid:0)

1 2

2 = + p

- (cid:0) - (cid:0) - ( )

p 2 k

(cid:0)

ệ ậ V y PT đã cho có các nghi m là: ; ;

( )

ụ ậ Ví d 3: ( Bài t p 78 )

Gi i.ả

2sin4

4) (2)

(cid:0) (cid:0) + Đ t ặ

2cos2

2) (3)

2 sin

2 cos

(cid:0) (cid:0)

u v = .

+ Ta có:

+ = +

2 (4)

u v =

2 u v .

4 (5)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ Ta có h PT : (cid:0) (cid:0)

= + 2

�

- Ta có (4) , thay vào (5) ta có:

2 v

= ) 4 v

(

2)(

2 v

v 2

= 2 2) 0

�

= + 1

1 2 2 ;

= - 1

+ 1 2 2

�

- - - -

v =

ả ỉ Ch có tho mãn ĐK (2) và ĐK (3).

v =

2cos

2 cos

cos2

p k

�

�ﾡ .

1 2

+ V i ớ , ta có:

ị . ậ ề Bài t p đ ngh

ậ Bài t p 79.

x =

)

(

x 3.25

x 2.49

x 5.35

ậ Bài t p 80.

ươ ố 2.2.2. Ph ng pháp hàm s .

ệ ủ ử ụ ơ ố 2.2.2.1. S d ng tính đ n đi u c a hàm s

ứ ủ ệ ấ ươ ng trình BÀI TOÁN 1: Ch ng minh tính duy nh t nghi m c a ph

ổ ề Xét PT B đ 1 :

ế ề ị V i ớ ố ủ , trong đó D là mi n xác đ nh c a PT(1). N u trên D hàm s

ệ ẽ ế ế ặ ị ế ồ đ ng bi n ( ho c ngh ch bi n ), thì n u (1) có nghi m s kéo theo PT(1) có

ệ ấ nghi m duy nh t trên D.

ủ ế ề ị Xét PT (2), D là mi n xác đ nh c a PT(2). N u trên D ổ ề B đ 2:

( )g x ngh ch bi n( ho c ng

ồ ế ặ ị hàm s ố ế đ ng bi n còn ượ ạ c l ế i) thì n u (2) có

ẽ ệ ệ ấ nghi m s kéo theo (2) có nghi m duy nh t trên D.

ụ ậ Ví d 1: ( Bài t p 81 )

+ - 1

- = x 3 2

(1)

ả Gi i PT:

Gi i.ả

(1)

�

+ ĐK:

+ x + + 1

x 3

- =

+ Ta có: -

+ + 1

x 3

2 5

�

(vì )

/ f x ( )

> " > 0 x

+ Xét , ta có

2 3

2 x

3 x 1 2 3

ồ ế đ ng bi n trên

ấ ủ ệ V y ậ là nghi m duy nh t c a PT.

ụ ậ Ví d 2: ( Bài t p 82 )

- = - 1

+ 4

5 (1)

- ả Gi i PT:

Gi i.ả

+ ĐK :

f x ( )

- + Xét các hàm s ố ; ị xác đ nh trên

/ f x ( )

+� � (1; )

1 x

= -

- < " 2

" Ta có: -

/ g x ( )

x 3

4 0

(cid:0)

(1)

ồ ị ế đ ng bi n trên D, ế ngh ch bi n trên D

ấ ủ ệ là nghi m duy nh t c a PT.

ụ ậ Ví d 3: ( Bài t p 11 )

ả Gi i PT:

ờ ả ở ụ ( Đã trình bày l i gi m c 1.4.2 ) i

ụ ậ Ví d 4: ( Bài t p 83 )

ả Gi i PT: (1)

Gi i.ả

3 5

4 5

x � � � � + � � � � � � � � �

+ Ta có PT(1)

f x ( )

4 5

3 5

x � � � � + � � � � � � � �

(4)

9 16 + 25 25

ế ị + Xét hàm s ố ngh ch bi n trên .

ấ ủ ệ + V yậ là nghi m duy nh t c a PT đã cho.

ụ ậ Ví d 5: ( Bài t p 84 )

ả Gi i PT:

Gi i.ả

ả ế ủ + Chia c 2 v c a PT(1) cho , ta có :

5 9

1 9

x � � � � + � � � � � � � � � � � �

PT(1)

= ( ) 4 f x

5 9

1 9

x � � � � +� � � � � � � � � � � �

+ Đ t ặ

f x ngh ch bi n trên R ( )

ế ị

2x = là nghi m c a PT (1) vì

+ = (đúng ) 1

4 5 9 9

ủ ệ +)

2x = là nghi m duy nh t c a PT(1)

ấ ủ ệ V y ậ

+ =

ụ ậ Ví d 6: ( Bài t p 85 )

x +

2 2

log 2

ả Gi i PT:

0x >

Gi i.ả

+(cid:0)

D =

(0;

)

+ ĐK:

f x ( )

log

+ xác đ nh trên 2x ị

+ Xét hàm s :ố .

/ f x ( )

> " 0

x D

2 ln2 + x

(cid:0) Ta có:

1 + ln2 2 2 f x đ ng bi n trên D. ( )

+ =

(cid:0) ế ồ

(1)

1 2

2 2

log 1 2

1x = .

ệ ậ ấ + V y PT (1) có nghi m duy nh t

ị . ậ ề Bài t p đ ngh

- + 1

+ = - 2 3 4

ậ Bài t p 86.

ậ Bài t p 87.

ậ Bài t p 88.

x 3

1 = - 6

1 2

x 1 � � + � � 3 � �

x � � � � � � � � � � � �

- - -

ậ Bài t p 89.

x =

(

)

5 2 6

(

)

(

)

x 3

x 5

ậ Bài t p 90.

BÀI TOÁN 2:

ả ư ượ ề ạ Gi i các PT đ a đ c v d ng: f(a) = f(b) (3)

ố ồ ế ế ậ ặ ớ ị Trong đó f là hàm s đ ng bi n (ho c ngh ch bi n ) trên t p D, v i .

ừ ủ ệ Khi đó PT đã cho .T PT này tìm ra nghi m c a PT(3).

- + x

ụ ậ Ví d 1: ( Bài t p 91 )

2 2

2 3

- + 3

- + x

1 (1)

ả Gi i PT:

Gi i.ả

+ Đ t ặ

a 2

a 3

+ = a

b 2

b 3

PT (1) có d ng:ạ

+ Đ t ặ

ồ Ta có: ế đ ng bi n trên .

x= - +

+ 2

+ Xét PT:

ủ ộ ệ là m t nghi m c a PT.

ế ế ồ ị VT(1) là hàm đ ng bi n trên R; VP(1) là hàm ngh ch bi n trên R là

ấ ủ ệ nghi m duy nh t c a PT (2).

ệ ấ + Do đó PT(1) có nghi m duy nh t .

ụ ậ Ví d 2: ( Bài t p 92 )

x 3

log 3

3 +

x x

+ + x + 4

� � 2 �

� = � �

ả Gi i PT: (1)

+ =

Gi i.ả

x 3

2 (2

(

+ + 2 x

+ 2

- + Ta có:

(1)

+ + x

+ x

= 5)

+ x

+ + 2 x x

(

�

log ( 3

log (2 3

+ + =

+ + x

3 log (2

+ 5) 2

�

log ( 3

- -

+ + =

= u x

+ =

11 11 4 4 + (cid:0)

2 1 � � + + � � 2 � � 5 2( x 1)

3 3

+ =

u u

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) + Đ t ặ (cid:0) (cid:0)

+ (2) v v

log 3

ở + PT(1) tr thành:

+ > " > (cid:0)

t ( )

1 0

f t ( )

+ Xét , v i ớ , ta có:

1 ln3

+ + =

ế ồ đ ng bi n trên

f u ( )

f v ( )

= u v

3 2

�

= -

+ Ta có (2)

+ =

x 3

2 0

�

� (cid:0)

= -

(cid:0)

{

} 2; 1

- - ệ ậ ậ V y PT đã cho có t p nghi m là :

ị . ậ ề Bài t p đ ngh

- =

x 3

4 log 7

+ x 3 + x (

13 2 3)

ậ Bài t p 93.

ậ Bài t p 94.

- + - 1 x

+ + 1 x

+ + = x x

1 1

ử ụ ị 2.2.2.2. S d ng đ nh lí Lagrange.

f x ( )

Ị Đ NH LÍ LAGRANGE.

ế ố ạ N u hàm s ụ liên t c trên

]a b và có đ o hàm trên kho ng [ ; ả

a b ( ; )

f b ( )

= ( ) f a

f c b a )

( ).(

( ; )a b thì t n t

(cid:0) - - ồ ạ i sao cho hay

f a ( )

f b ( )

ề ạ ư ụ ả Đ a PT đã cho v d ng , v i ớ liên t c, kh vi trên

ồ ạ ị ừ theo đ nh lí Lagrange t n t i sao cho . T PT này tìm ra

n.ẩ

ụ ậ Ví d 1: ( Bài t p 95 )

ả Gi i PT:

Gi i.ả

+ Đ t ặ ,ĐK:

u 3

u 5

u 2.4

u 4

u 3

- - ạ PT (1) có d ng: (2)

= = u 4 � ệ x a= , ta có:

ả ử + Gi s PT (1) có nghi m

a 5

a 4

- -

0t >

3 (3) = + ( t

a 1)

a t

(3)

(4)

- , v i ớ

Xét hàm s ố ( ) f t f= (3) (cid:0)

f t liên t c và có đ o hàm trên ( )

(3;4) nên theo đ nh lí Lagrange t n t ị

ụ ạ + Do ồ ạ i

-1

c(cid:0)

(3;4)

/ f c

= ( ) 0

a [(c+1)

a c

]=0

�

� (cid:0)

-1

=0 =

a c

(

a 1)

(cid:0) - - sao cho: - (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

0u > )

(cid:0) (cid:0) ề ả + PT (2) (đ u tho mãn (cid:0) (cid:0)

(cid:0)

�

u � � u �

x � � x �

(cid:0) + Khi đó (cid:0) (cid:0)

ệ ậ ậ V y PT đã cho có t p nghi m là: .

2006

2008

2.2007

ụ ậ Ví d 2: ( Bài t p 7 )

( Đã gi m c i ả ở ụ 1.2.1.2 )

ụ ậ Ví d 3: ( Bài t p 96 )

ỏ ằ ứ Ch ng t r ng PT

( 2;2)

- ả ấ ệ có ít nh t 1 nghi m trên kho ng

ướ ẫ H ng d n.

(1)

1 0

�

3 + 2 2

1 2 2

- = x

- + -

F x

= ( ) 3 2

+ + x

x F ;

(2)

- = F

( 2) 0

( 2;2)

-�

- - - + Đ t ặ

x 0

ồ ạ ị + Theo đ nh lí Lagrange t n t i sao cho .

ị . ậ ề Bài t p đ ngh

x 5

x 3

ậ Bài t p 97.

ậ Bài t p 98.

0m > v i ớ

a +

b + m

c m

Cho

+ = luôn có nghi m thu c kho ng

(0;1).

bx c

ứ ằ ệ ả ộ Ch ng minh r ng PT

sin

= x

ậ Bài t p 99.

2008

2007

sin

ỏ ấ ủ ị ớ ấ ố 2.2.2.3. S d ng giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s .

(

ử ụ f x m g m= ( , ) ) (1) Xét PT:

ậ ự ệ ể ệ ệ ệ ặ ủ ủ Bi n lu n s có nghi m, vô nghi m c a PT(1), ho c tìm ĐK đ nghi m c a

ả PT tho mãn ĐK nào đó.

ườ ể ả ạ ế ả Ta th ng dùng b ng bi n thiên đ gi i d ng toán này.

ụ ậ Ví d 1: ( Bài t p 100 )

+ + - 1 x

- + = 2 x 1

ể ệ Tìm m đ PT sau có nghi m

Gi i.ả

f x ( )

+ + - 1 x

- + 2 x

+ Xét hàm s ố

ﾡ

ậ ị T p xác đ nh là

/ f x ( )

x 2 1 + + 2 x

1 2

x 2 1 - + 2 x

f x = / ( ) 0

- - + Ta có

(

) 1

- + = x 1

) 1

+ + 2 x x

�

+ > x

1) 0

(2 (

(

1)(2 ( ) 1

- + x

) = 1

) 1

+ + 2 x x

) 1

- (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0)

1)(2

+ > x

1) 0

�

x =

1 0 =

(2 � � 6 �

- > � � x �

( vô nghi m)ệ

f x ( )

=� y

= > (0) 1 0

/ f x

> " ( ) 0

�

�ﾡ

ế ồ đ ng bi n

+ + - x 1

- + 2 x

ớ ạ +) Gi i h n:

f x lim ( ) x

lim( x

= -

(cid:0) - (cid:0) (cid:0) - (cid:0)

lim x

2 x + + +

- + x

+ + - x 1

- + 2 x

f x lim ( ) (cid:0) +(cid:0) x

lim( (cid:0) +(cid:0) x

lim (cid:0) +(cid:0) x

2 x + + +

- + x

1 =

f x ( )

(cid:0) - (cid:0)

ủ ế ả ố + B ng bi n thiên c a hàm s :

- < 1

< 1m

ừ ả ị ầ ủ ế + T b ng bi n thiên ta có các giá tr c n tìm c a m là:

ụ ậ Ví d 2: ( Bài t p 101 )

ự ệ ể ệ Tìm m đ PT sau có đúng 2 nghi m th c phân bi t

- =

4 2 6

- + x

2 6

x m

(1)

Gi i.ả

(cid:0) + ĐK: 0

6x(cid:0) f x =VT (1) ( )

+ Đ t ặ

ệ ự ủ ể ườ ẳ ng th ng

f x ( )

y m=

ố ệ ủ t c a PT chính là s giao đi m c a đ = ố S nghi m th c phân bi y m= ồ ị ố và đ th hàm s ẽ v trong [0;6]

f x ( )

ự ệ ỉ ườ ệ PT (1) có 2 nghi m th c phân bi t khi và ch khi đ ẳ ng th ng c t đắ ồ

ị ạ ể ệ ố th hàm s ẽ v trong [0;6] t i 2 đi m phân bi t.

/ f x ( )

x 2 (2 )

4 2 (6

x )

- - + - -

(0;6)

1 2

x (2 )

x )

� , x � �

� � � 4 �

� � + � � � � �

- - (cid:0) - -

u x ( )

= , ( ) v x

x (2 )

)

- - + Đ t ặ - -

u (2)

= (2) 0 v

= (2) 0

� - <

2 0

- < x 3

6 0

< - x

(0;2) � �

�

< 0 2 �

Ta có

+ V i ớ

3 x )

x (2 )

u x ( )

�

- -

x (2 )

x )

v x ( )

- -

x )

x (2 )

u x ( )

(2;6) � �

x (2 )

x )

- - + V iớ -

v x ( )

- -

f x < trên (2;6) / ( ) 0

f x ( )

trên

ủ ế ả ố + Ta có b ng bi n thiên c a hàm s

ừ ả ị ầ ủ ế T b ng bi n thiên ta có các giá tr c n tìm c a m là:

+ 2 6 2 6

3 2 6

(cid:0) (cid:0)

ị . ậ ề Bài t p đ ngh

ậ Bài t p 102.

+ = 3

m x

ủ ệ ệ ậ ố Bi n lu n theo m s nghi m c a PT

ậ Bài t p 103.

ể ệ Tìm m đ PT sau có nghi m.

+ + x

+ (3

x )(6

x m )

- - -

f x ( )

g x ( )

ươ 2.2.3. Ph ng pháp đánh giá.

ả Gi i PT

f x ( )

g x ( )

ướ ủ ị (cid:0) B c 1: Tìm t p xác đ nh c a PT ậ

f x M ( )

g x M ( )

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ướ ứ (cid:0) B c 2: Ch ng minh (cid:0) (cid:0)

ể ấ ằ ả Tìm ĐK đ d u b ng x y ra.

= f x M ( ) = g x M ( )

(cid:0) (cid:0) (cid:0) B c 3: Gi ướ ả ệ ươ i h ph ng trình (cid:0)

ự ệ ướ ứ ơ ả ấ ẳ ử ụ ư ằ Th c hi n b c 1 b ng cách s d ng các b t đ ng th c c b n nh Côsi,

ệ ố ủ ộ ố ệ ấ ố ơ ị ủ Bunhiacôpxki, tính ch t tr tuy t đ i c a m t s hàm s , tính đ n đi u c a

hàm s .ố

ụ ậ Ví d 1: ( Bài t p 104 )

7 cos

sin

ả Gi i PT:

Gi i.ả

7 cos

2 cos

(cid:0) +)

sin

2 sin

7 cos

sin

2 cos

2 sin

�

(cid:0)

7 cos

2 cos

(1)

sin

2 sin

(cid:0) (cid:0) (cid:0) +) PT (cid:0)

cos

7 cos

2 cos

cos

(cid:0) (cid:0) +) (cid:0) (cid:0)

cos

sin

2 sin

�

V i ớ

cos

sin

2 sin

�

V i ớ

cos

p k

7 cos

sin

ﾡ

= ��(cid:0)

cos

2 = p x k 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) +) , k (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ﾡ

= x k p 2

p k

ủ ệ ậ V y các nghi m c a PT đã cho là: ; ; k (cid:0)

x sin4 .sin16

1 (1)

ụ Ví d 2: ( Bài t p 105 )

ậ x =

Gi i.ả

(1)

(cos12

x cos20 ) 1

cos12

= cos20 x

�

1 2

- - + Ta có : .

1x (cid:0)

- (cid:0) cos12 ; cos20

+) PT (1)

= x k

(2)

(cid:0)

cos12

(1)

�

(cid:0) (cid:0)

cos20

= x

= p 2 x k = + p x

p 2 m

6 + m (2

� � �

12 � � �

� x

(3)

ﾡ

- (cid:0) (cid:0) (cid:0)

V i ớ ,k m(cid:0)

ệ ệ

= k m 6

k 2

�

k 10 6

+ k 2 6

- + H (2), (3) có nghi m p+ 1) -

k + 2 6

(cid:0) ề ả m nguyên nguyên, đi u này không x y ra.

+ PT đã cho vô nghi m.ệ

ụ ậ Ví d 3: ( Bài t p 106 )

- + 2 1

+ x

- = 2 x

1 2 (1)

Gi i.ả

+ ĐK:

1 0

(cid:0) - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0)

1 0 - ��۳ x +

x x � � (cid:0) x

x � � x

1 0

- - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ử ụ +S d ng BĐT Côsi ta có:

= -

ả ấ ằ + D u b ng x y ra

- =

1 0

�

� (cid:0)

(cid:0)

1x = là nghi m duy nh t c a PT(1).

ế ợ ấ ủ ệ K t h p ĐK ta có

ụ ậ Ví d 4: ( Bài t p 107 )

ả Gi i PT:

- + x 1

+ - x

3 4

- = x

1 1 (1)

Gi i.ả

(

)

(1)

) 2 + 1 1

�

- - - - Ta có:

- = x

- + - x

1 1 2

�

- - -

(

1 )

1 2

- + - 1 1 2 ) ( 1 1 2

-� � � x

- - - - (cid:0)

1 4

(cid:0)� � 1 x

x 5 ]2;5 [

(cid:0) - (cid:0)

ậ ậ ủ ệ V y t p nghi m c a PT đã cho là:

ụ ậ Ví d 5: ( Bài t p61 )

tan

2 tan

3 tan

cot

ả Gi i PT:

( Đã gi i ả ở ụ 3.2 ) m c

ụ ậ Ví d 6: ( Bài t p12 )

ệ ể ấ Tìm m đ PT có nghi m duy nh t:

( Đã gi i ả ở ụ 1.3.2 ) m c

ị . ậ ề Bài t p đ ngh

sin

cos

ậ Bài t p 108.

sin

cos

1 cos

ậ Bài t p 109.

= +

(

) 2

sin

3cos

5 cos

p� +� 3 �

� � �

ậ Bài t p 110.

+ 2

ậ Bài t p 111.

+ 1

+ 2 x

+ 4 1

+ 2 x

= x

- - -

+ + +

- + = x

1 2

ậ Bài t p 112.

Ộ Ố Ậ ƯƠ Ả Ổ Ợ 2.3. M T S BÀI T P CÓ PH NG PHÁP GI I T NG H P.

ế ớ ề ề ấ ạ Ta đã bi ạ t l p các bài toán v PT r t đa d ng, phong phú. Có nhi u lo i

ề ể ạ ỗ ươ ả PT và m i lo i PT có th có nhi u ph ng pháp gi ậ i khác nhau.Chính vì v y

ề ẩ ự ả ấ ớ ọ mà năng l c toán h c ti m n trong gi ự i PT là r t l n, trong đó có năng l c

ể ả ươ ươ ặ ẩ tìm đoán. Đ gi i PT ngoài ba ph ng pháp: ph ụ ng pháp đ t n ph ;

ươ ố ươ ươ ph ng pháp hàm s ; ph ng pháp đánh giá, còn có các ph ng pháp khác

ươ ổ ươ ế ươ ệ ả ươ ư nh : ph ng pháp bi n đ i t ng đ ng, h qu ; ph ọ ng pháp hình h c;

ươ ệ ầ ủ ề ươ ộ ố ồ ị ph ng pháp đi u ki n c n đ ; ph ướ ng pháp đ th ;…D i đây là m t s bài

ề ươ ả ổ ợ ậ t p v PT có ph ng pháp gi i t ng h p.

Bài t p 8.ậ ( m c ụ 1.2.3.4. )

ả Gi i PT:

Gi i.ả

+ ĐK:

+ Đ t ặ

ở + PT (1) tr thành:

(2)

ố ồ ế + Đ t ặ . Ta có là hàm s đ ng bi n trên .

ệ ấ Suy ra PT(2) có nghi m duy nh t

+ PT(1) .

ệ ậ ấ V y PT (1) có nghi m duy nh t .

ậ Bài t p113.

Gi i.ả

+ ĐK :

+ PT

ơ ố ế ả Lôgarit c s 3 c 2 v ta có:

ệ ệ + PT đã cho có nghi m các nghi m là: .

ậ Bài t p114.

ướ ẫ H ng d n.

+ ĐK:

ụ Áp d ng BĐT Côsi, ta có

ằ ấ ở D u b ng ả (2) x y ra

+ ,

ế ả + B ng bi n thiên:

ả ằ ấ + . D u b ng x y ra

ệ ( vô nghi m ).

ậ Bài t p115.

ả Gi i PT: (1)

Gi i.ả

+ Đ t ặ , ta có:

+ ĐK: , PT (1) có d ngạ

+V i ớ , ta có:

ủ ệ ậ V y các nghi m c a PT đã cho là: .

ậ Bài t p116.

Tìm ể đ PT

ệ ằ ấ ả có duy nh t nghi m n m trong kho ng

Gi i. ả

+ Ta có:

PT(1) (2)

ệ ộ ấ PT(3) có duy nh t nghi m thu c

Các giá tr ị ị ầ c n tìm là giá tr ể đ PT không có

ệ ệ ặ ỉ nghi m trong ho c ch có nghi m

, PT(4) có d ng ạ ( vô nghi m)ệ +)

ả tho mãn.

(cid:0) Do , nên

ầ Ta c n có:

(cid:0) V i ớ thì

V i ớ , PT (3) có d ngạ

ủ ệ Nghi m c a PT này trong là

ả tho mãn.

ế ậ + K t lu n:

ậ Bài t p117.

ả Gi i PT:

ướ ẫ H ng d n.

ả ượ ủ ệ Gi i PT (2) và (3) ta đ c các nghi m c a (1) là:

v i ớ .

ậ ư ậ ụ ệ Nh v y thông qua các ví d này, GV giúp HS rèn luy n các thao Nh n xét:

ặ ợ ệ ổ ồ ự ế ấ ổ tác phân tích, t ng h p, đ c bi ự t hoá, năng l c bi n đ i đ ng nh t, năng l c

ồ ưỡ ể ư ư ạ ướ đánh giá, b i d ng và phát tri n t duy hàm, t duy sáng t o, h ẫ ng d n HS

ự ứ ệ ả t ế tích lũy kinh nghi m, ki n th c trong quá trình gi i toán.

ị ậ ề Bài t p đ ngh .

ậ Bài t p118.

ậ Bài t p119.

Cho PT:

ả ớ a) Gi i PT v i

ệ ể b) Tìm m đ PT có nghi m

ậ Bài t p120.

ậ Bài t p121.

ậ Bài t p122.

ậ Bài t p123.

ậ Bài t p124.

ậ Bài t p125.

ậ Bài t p126.

ậ Bài t p127.

ậ Bài t p128.

ậ Bài t p129.

ậ Bài t p130.

Ộ Ố Ệ Ư Ằ Ạ Ệ Ự 2.4. M T S BI N PHÁP S PH M NH M RÈN LUY N NĂNG L C

Ọ Ả Ậ Ạ ƯƠ TÌM ĐOÁN TRONG D Y H C GI I BÀI T P PH NG TRÌNH.

ạ ộ ụ ỏ ặ ặ ầ ư 2.4.1. Đ t câu h i ho c yêu c u ho t đ ng có tác d ng kích thích t duy

ọ h c sinh tìm ra l ờ ả i gi i.

ả ụ ủ ế ủ ọ ệ ậ ọ Gi ọ ậ i bài t p toán h c là nhi m v ch y u c a h c sinh trong h c t p

ế ả ọ ế ụ ộ b môn toán. Sau khi h c lí thuy t, các em ph i bi t áp d ng nó vào các tình

ọ ụ ể ệ ố ả ệ ậ hu ng toán h c c th . Vi c gi ụ i bài t p toán có tác d ng rèn luy n tính sáng

ứ ỉ ậ ề ứ ế ớ ơ ạ t o, ý th c k lu t, ni m tin v ươ ớ n t i ki n th c m i khó h n.

ư ộ ố ẻ ế ọ ế Toán h c cũng nh cu c s ng, muôn hình, muôn v , n u bi ạ t phân lo i,

ế ặ ệ ẽ ở ậ nh n bi t, phân tích, khái quát hoá, đ c bi t hoá nó thì nó s tr ơ thành đ n

ả ơ ườ ổ ượ ị gi n h n. Trong tr ng ph thông các em đ ứ ơ ả ế c trang b các ki n th c c b n

ở ứ ộ ố ể ậ ườ ể ả ầ m c đ t ấ i thi u nh t. V y ng ọ i Th y ph i giúp h c sinh phát tri n cái

ể ấ ố ế ư ụ ế ố t i thi u y thành cái t i đa, bi ọ t áp d ng cái đã h c vào cái ch a bi ế t, bi n

ế ộ ư cái ch a bi t thành cái quen thu c.

ướ ẫ ọ ả ậ ậ ọ H ng d n h c sinh gi i bài t p toán h c nói chung, bài t p PT nói

ụ ằ riêng không n m ngoài m c đích đó.

ữ ậ ớ ả ư ọ ế ả V i nh ng PT không có thu t gi i, h c sinh ch a bi t cách gi i, giáo

ả ợ ắ ọ ẫ ặ ằ ặ ỏ viên ph i g i ý, d n d t h c sinh b ng cách đ t ra các câu h i ho c các yêu

ạ ộ ọ ờ ả ầ c u ho t đ ng giúp h c sinh tìm ra l i gi i.

ạ ộ ỏ ộ ệ ặ ặ ầ 2.4.1.1. Đ t câu h i ho c yêu c u ho t đ ng có n i dung phát hi n và tìm

ế ố ủ ố ệ ữ m i liên h gi a các y u t c a bài toán.

ụ ậ Ví d 1: ( Bài t p28 )

ả Gi i PT:

ậ Nh n xét:

ế ả ằ ươ ườ PT này n u gi i b ng ph ng pháp thông th ng:

ươ ể ượ ươ Bình ph ng đ phá căn thì thu đ c ph ng trình quá cao.

ặ ẩ ế ả ượ ế ố ứ ẩ ố ụ N u đ t n ph thì ph i tìm đ ệ ữ c m i liên h gi a các y u t ch a n.

ệ ữ ứ ẩ ứ ể ố Tìm m i liên h gi a các bi u th c ch a n?

ầ ườ GV phân tích sai l m th ặ ng g p:

ỉ ch đúng khi

ả ươ ặ ẩ ằ i PT b ng ph ụ ng pháp đ t n ph . Gi

ề ệ ớ V i đi u ki n

Đ t ặ

ạ PT (1) có d ng:

(lo i).ạ

V i ớ , ta có PT:

ố ọ ả ằ ươ ổ ươ ế ươ Đa s h c sinh gi i PT (3) b ng ph ng pháp bi n đ i t ng đ ng ( bình

ươ ự ể ể ế ọ ph ng 2 v ). Tuy nhiên đ phát tri n năng l c tìm đoán cho h c sinh, giáo

ỏ ể ặ viên có th đ t câu h i.

ủ ệ Đoán nghi m c a PT(3) ?

ủ ộ ệ là m t nghi m c a PT(3).

ấ ủ ệ là nghi m duy nh t c a PT(3) ? ể ứ Có th ch ng minh

ố ồ ế ằ VT(3) là hàm s đ ng bi n, VP(3) là hàm h ng.

ả ươ ằ i (3) b ng ph ố ng pháp hàm s . Gi

ụ ậ Ví d 2: ( Bài t p 67 )

ậ Nh n xét:

ứ ấ ử ụ ứ ẩ ơ ố ề ể Trong PT có c s và bi u th c l y lôgarit đ u ch a n, s d ng ph ươ ng

ố ặ pháp hàm s g p khó khăn.

+ ĐK:

ạ ổ b i ở d ng PT có thay đ i không? ế N u thay

ạ ổ , d ng PT không thay đ i.

ạ Đ t ặ , (1) có d ng:

ệ ề + Đi u ki n:

ứ ấ ể ệ Các bi u th c l y lôgarit có liên h gì?

ế ủ ư ề ơ ố Đ a 2 v c a PT (2) v cùng c s .

Ta có

ể ự ả ượ ế ọ Đ n đây h c sinh có th t i đ gi c.

ụ ậ Ví d 3: ( Bài t p 70 )

ả Gi i PT:

+ ĐK:

ứ ẩ ứ ể ớ Các bi u th c ch a n có liên quan gì v i nhau?

ể ả ượ ế ọ Đ n đây h c sinh có th gi i đ c PT đã cho.

ư ậ ả ệ ệ ậ Nh v y khi gi i PT nói riêng, bài t p toán nói chung, vi c phát hi n ra

ệ ữ ứ ố ể ệ ộ ứ ẩ là m t vi c làm có ý nghĩa. Nó giúp m i liên h gi a các bi u th c ch a n

ứ ạ ể ả ượ ư ề ả ơ ơ ta đ a bài toán ph c t p v bài toán đ n gi n h n và có th gi i đ ộ c m t

ế ễ ậ ượ ố ộ ố cách r ràng. Trong cu c s ng cũng v y, n u tìm đ ệ ữ c các m i liên h gi a

ệ ượ ể ả ườ các hi n t ấ ủ ng, hi u rõ b n ch t c a chúng thì con ng ể i có th làm ch ủ

ượ ườ ụ ượ ỏ ớ đ ừ c chúng. T đó con ng i nh bé m i chinh ph c đ ụ c vũ tr .

ạ ộ ỏ ộ ặ ặ ầ 2.4.1.2. Đ t câu h i ho c yêu c u ho t đ ng có n i dung khái quát hoá

ệ ươ ự ặ đ c bi t hoá t ng t hoá.

ụ ậ Ví d 1: ( Bài t p28 )

ọ Sau khi h c sinh gi ả ượ i đ c PT

ủ ệ ổ ạ Hãy phát hi n d ng t ng quát c a PT?

ụ ậ Ví d 2: ( Bài t p 69 )

ả +Sau khi HS gi i xong PT:

ươ ng trình ổ Hãy t ng quát ph

ậ ( Bài t p 75 )

ả ư ế ệ ộ Gi i xong m t bài toán, công vi c ch a k t thúc, hãy dùng các thao tác

ặ ệ ể ở ộ ừ ộ khái quát hoá, đ c bi t hoá đ m r ng, đào sâu thì t m t bài toán trong

ườ ể ẫ ớ ợ ề ườ ợ tr ng h p riêng có th d n t i bài toán chung cho nhi u tr ng h p.

ụ ậ Ví d 3: ( Bài t p 95 )

ả Gi i PT:

ậ Nh n xét:

ơ ố ở ị ướ ử ụ ượ ế giúp ta đ nh h ng không s d ng đ ệ ơ c tính đ n đi u Các c s hai v

ố ể ả ủ c a hàm s đ gi i .

ạ ọ ượ ị ị Khi d y bài này h c sinh đã đ c trang b đ nh lí Lagrange.

ủ ể ệ Có th đoán nghi m c a PT này không?

ạ ổ b i ở , d ng PT có thay đ i không? Thay

ạ ổ D ng PT không thay đ i.

ạ Đ t ặ PT(1) có d ng: (2)

ệ ữ ơ ố ở ề ậ ế ủ 2 v c a PT. Có nh n xét gì v quan h gi a các c s

ố ự ế nhiên liên ti p. 3;4;5 là s t

ể ư ế ề ạ ươ ự ng t nhau? Có th đ a PT (2) v PT mà có hai v có d ng t

ế ủ ị ủ ố Hai v c a PT là các giá tr c a hàm s nào?

ư ậ ạ ể ử ụ ị . Có th s d ng đ nh lí Lagrange đ ể Nh v y PT có d ng

ả gi i PT không?

ể ả ế ế ọ Đ n đây h c sinh có th gi i ti p.

ụ ậ Ví d 4: ( Bài t p 124 )

ả Gi i PT:

ạ ộ ượ ng giác nào? PT này thu c lo i PT l

ượ ậ ng giác b c cao. PT l

ố ớ ượ ườ ạ ậ ể ả Đ i v i PT l ậ ng giác b c cao ta th ng h b c đ gi i.

ứ ượ ể ặ ệ ng giác trong PT có gì đ c bi t. Các bi u th c l

ể ả ượ ế ọ ằ ươ ặ ẩ Đ n đây h c sinh có th gi i đ c PT (1) b ng ph ụ ng pháp đ t n ph .

Gi i.ả

Ta có:

ở Đ t ặ , PT (1) tr thành:

V i ớ , ta có: .

ệ ậ V y PT đã cho có các nghi m là: .

ệ ề ả ộ ườ ặ ợ ệ Nhi u khi vi c gi i bài toán trong m t tr ng h p đ c bi t không giúp

ẫ ứ ố ề ổ ư ậ ta gi ả ượ i đ c bài toán t ng quát đã cho. Đi u đó cũng v n c t t vì nh v y là

ầ ủ ố ớ ộ ộ ta đã gi ả ượ i đ c m t ph n c a bài toán. Đ i v i m t bài toán khó, gi ả ượ c i đ

ầ ộ ị m t ph n bài toán cũng đã có giá tr .

ớ ươ ặ V i ý nghĩa là ph ạ ng pháp suy nghĩ sáng t o, khái quát hoá, đ c bi ệ t

ươ ự ữ ệ ọ hoá, t ng t ẩ hoá đóng vai trò quan tr ng trong vi c hình thành nh ng ph m

ệ ấ ọ ớ ọ ươ ứ ch t trí tu cho h c sinh, giúp h làm quen v i ph ng pháp nghiên c u khoa

ạ ạ ồ ưỡ ầ ọ ọ h c, góp ph n đ o t o và b i d ế ng năng khi u toán h c.

ạ ộ ỏ ộ ặ ặ ầ ướ 2.4.1.3. Đ t câu h i ho c yêu c u ho t đ ng có n i dung h ng đích.

ả ế ạ ộ ướ Khi gi i m t bài toán n u t o cho các em thói quen thì l iờ h ng đích

ả ụ ệ ế ắ ọ ộ gi ừ i ng n g n và không có đ ng tác th a. N u ta làm vi c có m c đích thì

ệ ấ ế ậ ậ ậ ơ ọ công vi c y có ý nghĩa h n. L p lu n toán h c cũng v y, n u không có tính

ướ ự ừ ư ạ ậ h ng đích thì có khi t ộ mình đ a mình l c vào m t khu r ng r m mà không

ố có l i ra.

ừ ướ ẽ ả ữ ề ố ươ ệ “T c mu n, s n y ra ý nghĩ v nh ng ph ấ ằ ng ti n nào đó mà th y r ng

ể ự ẽ ệ ượ ố ố ộ chúng s có th th c hi n đ ư c m t cái gì gi ng nh ta đang mu n. Và t ừ ý

ẽ ả ữ ề ươ ể ạ ượ ệ nghĩ đó s n y sinh ra ý nghĩ v nh ng ph ng ti n đ đ t đ c các ph ươ ng

ư ế ế ụ ứ ế ệ ộ ti n kia, và c nh th ti p t c cho đ n khi khi nào ta t ớ ượ i đ ồ c m t ngu n

ề ở ữ ủ Ơ ộ nào đó thu c quy n s h u c a ta.” ( T.HÔPX Lêviaphan )

ụ ậ Ví d 1: ( Bài t p 11 )

ậ Nh n xét:

ứ ỉ ể Đây là PT vô t có bi u th c trong căn là và không dùng đ cượ

ươ ặ ẩ ph ụ ng pháp đ t n ph .

ổ ươ ế ươ ươ ượ ậ Bi n đ i t ng đ ng ( bình ph ng thì thu đ c PT b c quá cao )

100

ượ ươ ứ ể ọ Không dùng đ c ph ấ ng pháp hình h c ( bi u th c trong căn không xu t

ệ ổ ươ hi n t ng bình ph ng ).

ươ ớ ố ng pháp hàm s ( HS l p 12 ). Đích: Dùng ph

ươ ớ ớ ng pháp đánh giá ( HS l p 10, HS l p 11 ). Dùng ph

ệ Đoán nghi m PT(1) ?

ấ ủ ệ là nghi m duy nh t c a PT(1). ể ứ Có th ch ng minh

ừ ệ ự ế ặ ạ ọ T nghi m , h c sinh đánh giá tr c ti p VT(1) ho c dùng đ o hàm.

ể ượ ự ị ướ ả Tuy nhiên đ có đ c s đ nh h ng chính xác trong quá trình gi i bài

ầ ượ ị ề ả ế ắ ầ ậ t p, HS c n đ ứ ữ c trang b n n t ng ki n th c v ng ch c, và HS c n ph i t ả ự

ệ ỹ tích lu kinh nghi m.

ụ ậ Ví d 2: ( Bài t p 129 )

ả Gi i PT:

ậ Nh n xét:

ươ ể ượ ươ Bình ph ng đ phá căn thì thu đ c ph ng trình quá cao.

ặ ẩ ế ả ượ ế ố ứ ẩ ố ụ N u đ t n ph thì ph i tìm đ ệ ữ c m i liên h gi a các y u t ch a n.

ệ ữ ứ ẩ ứ ể ố Tìm m i liên h gi a các bi u th c ch a n?

ươ ụ ẽ ặ ẩ ượ ậ ố Dùng ph ng pháp đ t n ph s thu đ ầ ủ c PT b c b n đ y đ .

ươ ng pháp đánh giá. Đích: Dùng ph

Gi i.ả

101

ụ Áp d ng BĐT Bunhiacôpxki

Ta có:

ệ ậ ấ V y PT đã cho có nghi m duy nh t

ụ ậ Ví d 3: ( Bài t p 125 )

ả Gi i PT:

ượ ề ng giác v PT tích. ư Đích: Đ a PT l

ệ ố ủ ệ ữ ố ạ ự Tìm s liên h gi a các h s c a các s h ng trong PT?

ố ạ ử chung. ừ Hãy phân tích t ng s h ng tìm nhân t

102

Ở ậ ườ ươ bài t p này, trong quá trình tìm đ ng đi đ n ng trình tích ), tr ở ế đích ( ph

ạ ử ả ấ ng i khó nh t là tìm nhân t chung đã gi ế i quy t xong.

Gi i.ả

ệ ề + Đi u ki n:

+ PT(1)

ả ế ợ ệ ượ ề ủ ệ Gi i PT (2) và (3), k t h p đi u ki n đ c các nghi m c a PT là:

103

ẫ ờ ả ướ ụ ộ Nói chung mò m m bao gi cũng ph i h ng vào m t m c đích rõ

ủ ạ ủ ả ẫ ế ràng, có ý nghĩa ch đ o c a nó. Trong quá trình mò m m, ph i bi ậ t nh n xét,

ậ ụ ế ậ phân tích, v n d ng, suy lu n, phát huy sáng ki n. ( ;tr.28 )

ụ ậ Ví d 3: ( Bài t p 121 )

ả Gi i PT:

ậ Nh n xét:

ặ ồ ờ ở ơ ố ủ ẩ Đây là PT lôgarit mà n có m t đ ng th i ơ ố ủ ỹ ừ c s c a lu th a và c s c a

lôgarit

ườ ươ ể ư ề ơ ố ng dùng ph ng pháp lôgarit hoá đ đ a v cùng c s . Đích: Th

ơ ố ấ ế ủ Nên l y lôgarit 2 v c a PT theo c s nào?

ơ ố c s 5

Gi i.ả

+ ĐK:

+ Đ t ặ

ạ (2) có d ng:

V i ớ ta có

104

ậ ậ ủ ệ V y t p nghi m c a PT đã cho là: .

ướ ự ố ọ ệ ẫ ướ ả 2.4.2. H ng d n h c sinh th c hi n quy trình b n b c gi i bài toán

ặ ệ ủ c a G.Pôlya đ c bi t là khâu tìm l ờ ả i gi i và khai thác l ờ ả i gi i.

ươ ả ồ ộ ướ Theo G.Pôlya, ph ng pháp chung gi i m t bài toán g m 4 b ể c: Tìm hi u

ự ủ ươ ả ự ệ ươ ộ n i dung c a bài toán, xây d ng ch ng trình gi i, th c hi n ch ng trình

ả ứ ờ ể ả gi i, ki m tra và nghiên c u l i gi ụ ể i. C th :

ướ ể ộ B c 1: Tìm hi u n i dung bài toán.

(cid:0) ể ề ướ ể ể ữ ứ ạ Phát bi u đ bài d ộ i nh ng d ng th c khác nhau đ hi u rõ n i

dung bài toán.

(cid:0) ệ ứ ả ả Phân bi t cái đã cho và cái ph i tìm, ph i ch ng minh.

ẽ ể ỗ ợ ễ ả ề ứ ệ ể ệ Có th dùng công th c, kí hi u, hình v đ h tr cho vi c di n t đ bài.

ướ ả B c 2: Tìm cách gi i.

(cid:0) ệ ả ờ ữ ấ Tìm tòi phát hi n cách gi i nh nh ng suy nghĩ có tính ch t tìm

ứ ế ế ả ả ổ ổ đoán: Bi n đ i cái đã cho, bi n đ i cái ph i tìm hay ph i ch ng minh, liên h ệ

ứ ữ ả ớ ế ệ ầ cái đã cho và cái ph i tìm v i nh ng tri th c đã bi t, liên h bài toán c n gi ả i

ộ ươ ự ộ ườ ộ ổ ợ ớ v i m t bài toán cũ t ng t , m t tr ng h p riêng, m t bài toán t ng quát

ử ụ ữ ộ ươ ặ ơ h n hay m t bài toán nào đó có liên quan, s d ng nh ng ph ng pháp đ c thù

ư ứ ứ ạ ạ ọ ự ả ớ ừ v i t ng d ng toán nh ch ng minh ph n ch ng, quy n p toán h c, toán d ng

ỹ hình, toán qu tích v.v,...

ờ ả ằ ạ ỹ ừ ướ ự ệ (cid:0) Ki m tra l ể i gi i b ng cách xem l i k t ng b ặ ặ c th c hi n ho c đ c

ệ ế ả ượ ặ ố ộ ố ứ ế ế bi t hoá k t qu tìm đ ả ớ c ho c đ i chi u k t qu v i m t s tri th c có liên

quan,...

(cid:0) ả ể ọ ượ ả ữ Tìm tòi nh ng cách gi i khác, so sánh chúng đ ch n đ c cách gi i

ấ ợ h p lí nh t.

ướ B c 3: Trình bày l ờ ả i gi i.

105

ừ ả ượ ệ ế ệ ắ ả T cách gi i đã đ ộ c phát hi n, s p x p các vi c ph i làm thành m t

ươ ướ ự ự ệ ợ ướ ch ồ ng trình g m các b ộ c theo m t trình t thích h p và th c hi n các b c đó.

ướ ứ B c 4: Nghiên c u sâu l ờ ả i gi i.

ụ ứ ế ả ả (cid:0) Nghiên c u kh năng ng d ng k t qu c a l ả ủ ờ ứ i gi i.

ứ ả ữ ươ ự ở ộ ậ ượ (cid:0) Nghiên c u gi i nh ng bài toán t ng t , m r ng hay l t ng ấ c v n

đ .ề

x 2 3

(1)

ụ ậ Ví d 1: ( Bài t p 130 )

ướ B c 1:

ề ể ị ệ Tìm đi u ki n đ (1) xác đ nh

ướ B c 2:

ể ậ và ? V y có th so sánh

ế ươ ả ng pháp gi i.

ờ Đ n đây đã có ph (cid:0) Ki m tra l ể i gi ả i

ừ ể ướ c đánh giá. Ki m tra kĩ t ng b

ướ B c 3:

ờ ả ở i gi i PT(1) vào v Trình bày l

+ ĐK

N u ế

106

ươ ự ế T ng t , n u , thì

N u ế , thì

Do đó PT

ậ ậ ủ ệ V y t p nghi m c a PT là

ướ ứ ờ ả Nghiên c u sâu l i gi i. B c 4:

(cid:0) ươ ự Bài toán t ng t .

ả i các PT sau: Hãy gi

(cid:0) ổ Bài toán t ng quát.

ổ Hãy t ng quát PT(1)

ấ ( d u căn, )

ấ ớ ( d u căn, v i )

ụ ậ Ví d 2: ( Bài t p 126 )

ả Gi i PT:

107

ướ B c 1:

ĐK :

ướ B c 2:

ứ ể ể ể ễ có th bi u di n theo cách Các bi u th c

khác không?

ộ ạ ượ ả ng giác nào và nêu cách gi i? PT (2) thu c d ng PT l

ố ứ ố ớ và PT (2) là PT đ i x ng đ i v i

ạ Đ t ặ , PT có d ng :

108

ả (cid:0) Cách gi i khác:

ụ ư ặ ẩ ề ớ ử là: ( Không đ t n ph đ a PT(2) v PT tích v i 1 nhân t

) ?

ươ ả ng pháp gi i PT : ? Hãy tìm ph

ướ B c 3:

ĐK:

ệ ế ề ớ ố ượ ủ ệ Đ i chi u v i đi u ki n, ta đ c các nghi m c a PT là:

109

ướ B c 4:

(cid:0) ươ ự Bài toán t ng t .

ứ ượ ể ậ ổ ứ ặ ế Dùng kĩ thu t bi n đ i: bi u th c l ng giác ch a và cung đ c bi ệ ề t v

ứ ượ ể ố ớ bi u th c l ng giác đ i v i , ta có th gi ể ả ượ i đ c

ậ ươ các bài t p t ng t ự .

ậ Bài t p 127.

ả Gi i PT:

ướ ẫ H ng d n.

Khi đó, PT(1)

Đ t ặ , PT(1) có d ng:ạ

ệ ủ Các nghi m c a PT đã cho là:

ậ Bài t p 128.

110

ướ ẫ H ng d n.

ệ ủ Các nghi m c a PT đã cho là:

ầ ư ả ằ ố ợ ướ ủ ữ ờ C n l u ý r ng b ng g i ý b n b c c a G.Pôlya là nh ng l i khuyên

ườ ệ ả ỉ ẫ ứ ả ả ủ c a ng i có kinh nghi m gi i toán ch không ph i là b ng ch d n có tính

ự ế ậ ấ ấ ằ ạ ậ ch t thu t toán.Th c t ộ cho th y r ng không có m t thu t toán v n năng nào

ể ề ệ ế ạ ọ ỉ ể ả đ gi i quy t các bài toán. Ta ch có th thông qua vi c d y h c, truy n th ụ

ươ ả cho HS ph ng pháp chung gi i toán.

ươ ả ớ ả ộ ừ T ph ng pháp chung gi i toán đi t i cách gi ậ ụ ể i m t bài t p c th là

ặ ộ ườ ự ủ ỏ ộ ườ ả c m t ch ng đ ng đòi h i lao đ ng tích c c c a ng i HS.

([10];tr.398)

ướ ẫ ọ 2.4.3. H ng d n h c sinh tìm nhi u l ề ờ ả ủ i gi ộ i c a m t bài toán.

ữ ằ ả ỏ ậ G.Pôlya cho r ng “Ngay c nh ng HS gi i cũng v y, sau khi đã tìm

ấ ờ ả ề ướ ậ ạ th y l i gi ủ ủ i và trình bày sáng s a c a mình đ u có xu h ng g p sách l i và

ỏ ấ ư ậ ệ ạ ộ ọ làm vi c khác. Làm nh v y HS đã b m t m t giai đo n quan tr ng r t b ấ ổ

ạ ả ả ạ ế ệ ọ ỏ ích cho vi c h c h i. Nhìn l i cách gi i, kh o sát phân tích l ả i k t qu và con

ườ ể ủ ố ạ ứ ủ ữ ế đ ng đã đi, HS có th c ng c l ể i nh ng ki n th c c a mình và phát tri n

ả ả ậ kh năng gi i bài t p khác.”

111

ả ườ ườ ộ ờ ả ắ Khi gi i toán ng i ta th ố ng mong mu n có m t l i gi ọ i ng n g n,

ộ ờ ư ế ả ươ ủ ự ộ đ c đáo. Nh ng n u có m t l i gi i dài, mà ph ng pháp c a nó t nhiên, d ễ

ụ ể ấ ờ ả ư ạ hi u, thông d ng thì cũng r t quý. Có l i gi ứ ạ i tuy ph c t p nh ng l i có th ể

ể ả ụ ữ ươ ự ữ ặ ổ áp d ng đ gi i nh ng bài toán t ng t ơ ho c nh ng bài toán t ng quát h n,

ư ế ề ớ ộ ấ ượ ơ hay đ a đ n m t v n đ m i thì nó càng đáng đ c quan tâm h n.

ề ờ ướ ẫ ọ ả ủ ẽ ộ H ng d n h c sinh tìm nhi u l i gi i c a m t bài toán s kích thích

ọ ậ ủ ữ ề ơ ọ ứ h ng thú h c t p và ni m say mê môn Toán c a HS. H n n a khi h c sinh

ữ ẽ ậ ộ gi ả ượ i đ c m t bài t p theo nh ng cách khác nhau, HS s tìm ra đ ượ ờ c l i gi ả i

ả ắ ấ ấ ấ ọ ơ đ n gi n nh t, ng n g n nh t, hay nh t.

ụ ậ Ví d 1: ( Bài t p 112 )

ả Gi i PT:

Cách 1:

ả ươ ổ ươ ế ươ ằ i PT b ng ph ng pháp bi n đ i t ng đ ng ? Gi

ươ ế ủ ượ ng 2 v c a (1), ta đ c: Bình ph

ủ ế ể Có th đánh giá v trái c a (*1)

ta có:

ệ ậ ấ V y PT đã cho có nghi m duy nh t

Cách 2:

112

ệ ữ ứ ẩ ứ ể ố Tìm m i quan h gi a các bi u th c ch a n?

? Đánh giá

, ta có:

ủ ế Đánh giá v trái c a (1)?

ấ ẳ ố ươ ứ ụ ng , ta có: Áp d ng b t đ ng th c Côsi cho 2 s d

Cách 3:

T ừ

Cách 4:

ủ ế ổ ươ ng và các đ i l ạ ượ ng Phân tích v trái (1) thành t ng c a các bình ph

không âm?

113

Cách 5:

ố ể có th tìm Xét hàm s

theo cách khác không?

, , t ừ

Cách 6:

ậ ị có t p xác đ nh là và , suy ra Ta có:

là hàm ch n.ẵ

Xét hàm s ố v i ớ

ố ồ ế là hàm s đ ng bi n trên

Cách 7

ươ ọ ể ả Dùng ph ng pháp hình h c đ gi i PT?

114

ạ ộ ề ẳ ặ ể ọ Trong m t ph ng to đ Đ các vuông góc ch n 3 đi m

Ta có

ở Do đó (*3) tr thành:

ẳ th ng hàng

ạ ộ ủ ả ườ ẳ Suy ra to đ c a M tho mãn PT đ ng th ng AB là : .

ệ ấ ậ V y PT có nghi m duy nh t .

Cách 8:

ươ Dùng ph ng pháp vect ơ ể ả đ gi i PT.

ơ và ọ Ch n 2 vect

Ta có:

115

ạ Khi đó PT (1) có d ng:

(*3)

ệ ậ V y PT có nghi m .

Cách 9:

ậ Nh n xét:

ể ả ị i PT. Dùng đ nh lí Côsin đ gi

ẵ ố là hàm s ch n, nên Do hàm s ố

t xét v i ớ

ể ọ Trên tr c ụ ch n 2 đi m A,B sao cho: OA=OB=1.

o l y đi m M và đ t OM=

ạ ộ ể ấ ặ Trên tia ớ t o v i tia m t góc 60 x

600

116

x O A B

ụ ố ị Áp d ng đ nh lí hàm s Côsin trong các tam giác OAM và OBM, ta có:

ỉ ả ư ề ạ Khi đó PT (1) có d ng MA+MB=AB. Nh ng đi u này ch x y ra khi M trùng

ứ v iớ O, t c là khi .

ệ ấ ậ V y PT có nghi m duy nh t .

ụ ậ Ví d 2: ( Bài t p 61 )

ả Gi i PT: (1)

Cách 1:

+ ĐK:

ươ ể ả ng pháp đánh giá đ gi i PT? Dùng ph

và cùng d u.ấ

117

ươ T ng t ự và cùng d u.ấ

ừ +) T PT suy ra ấ cùng d u và

ấ ẳ ố ươ ụ ứ +)Áp d ng b t đ ng th c Côsi cho 2 s d ng ta có:

ươ ; T ng t ự

Suy ra: VT (1)

(1)

ả ế ợ ượ ủ ệ Gi i (2) k t h p ĐK(*1) ta đ c các nghi m c a PT(1) là:

Cách 2:

ươ ụ ả Dùng ph ặ ẩ ng pháp đ t n ph gi i PT?

Đ t ặ

ạ (1) có d ng :

V i ớ ta có

ụ ậ Ví d 3: ( Bài t p 36 )

ả Gi i PT:

118

Cách 1:

ả ổ ươ ế ằ ươ Gi i PT b ng phép bi n đ i t ng đ ng?

ĐK:

ế ủ ề ệ ớ ươ ươ V i đi u ki n này, 2 v c a (1) luôn d ng, bình ph ế ng 2 v ta có:

Vì

Do đó:

ả ( tho mãn ĐK )

ệ ấ ậ V y PT có nghi m duy nh t

Cách 2:

ươ ụ ể ả Dùng ph ặ ẩ ng pháp đ t n ph đ gi i PT?

Đ t ặ , ta có:

ả ẩ Gi i PT n , tìm đ c ượ

nên (lo i)ạ Do

V i ớ

119

ả Bài 4:Gi i PT:

ề ệ Cách 1: Đi u ki n:

ả ươ ặ ẩ ằ i PT b ng ph ụ ng pháp đ t n ph ? Gi

, PT (1) có d ngạ Đ t ặ

ả ượ ủ ệ Gi i các PT ta đ c các nghi m c a PT (1) là

Cách 2:

ả ư ề ươ ằ Gi i PT b ng cách đ a v ph ng trình tích?

Có

Ta có

120

ẩ ị ệ ố ậ ấ 2.4.4. Chu n b h th ng bài t p có tính ch t tìm đoán.

ứ ướ ự ắ ẫ ắ ặ ộ Đ ng tr c m t PT không m u m c m c dù HS đã n m ch c ph ươ ng

ả ư ể ẫ ề ầ ế pháp gi i PT nh ng v n có th không gi ả ượ i đ c. Đi u c n thi ầ t là GV c n

ắ ượ ươ ể ả ữ ế làm cho HS n m đ c ph ng pháp chung đ gi ứ i toán, bi n nh ng tri th c

ươ ệ ổ ả ủ ả ph ng pháp t ng quát thành kinh nghi m gi ậ i toán c a b n thân HS. Vì v y

ề ộ ạ ậ ạ ẩ ầ ị khi d y bài t p v m t d ng PT nào đó giáo viên c n chu n b thêm m t s ộ ố

ộ ố ậ ậ ế ạ ư ượ ế ặ ổ bài t p, mà sau m t s nh n xét tinh t ho c bi n đ i linh ho t đ a đ c PT

ề ế ả ự ệ ề ầ đó v PT đã bi t cách gi i. Đi u đó góp ph n rèn luy n năng l c tìm đoán cho

ỹ ượ ể ả ệ ọ ọ h c sinh và giúp h c sinh tích lu đ c kinh nghi m đ gi i toán.

ạ ạ ạ ẳ ươ ố ớ Ch ng h n, khi d y HS d ng ph ố ứ ng trình đ i x ng đ i v i và

ả i các PT sau: (?) Gi

ế ả Các PT trên HS đã bi t cách gi i.

Xét các PT sau:

ự ố ủ ươ ng trình trên ? Tìm s gi ng nhau c a 5 ph

121

ố ạ ứ ẩ ượ ứ ộ c g p thành 2 nhóm. Nhóm th nh t ấ ở Các s h ng ch a n đ

ứ ổ ở ạ ứ ượ ể ễ ạ d ng t ng, nhóm th hai d ng tích. Nhóm th hai đ c bi u di n qua nhóm

m t.ộ

ả ả i các PT (1), (2). Hãy gi i PT(3) ? ớ V i cách gi

ệ ề , đi u ki n: Đ t ặ

ở PT (3)tr thành:

ệ ề ả ( tho mãn đi u ki n)

+) V i ớ

ả ữ ạ i nh ng PT có d ng trên ? Hãy rút ra cách gi

ứ ổ ặ ẩ ụ ề ệ ẩ ướ B c 1: ụ Đ t n ph là nhóm ch a t ng và đi u ki n cho n ph .

ụ ồ ế ễ ể ẩ ạ ướ B c 2: Bi u di n nhóm d ng tích qua n ph r i thay th vào PT.

ả ế ề ệ ể ẩ ướ B c 3: Gi ụ ố i PT đ tìm n ph , đ i chi u đi u ki n.

ẩ ủ ướ B c 4: Tìm n c a bài toán.

122

ệ ả ươ ố ứ ớ Qua vi c gi ậ i bài t p ph ng trình đ i x ng v i và . B ngằ

ươ ươ ự ọ ụ ậ ạ ph ng pháp t ng t , h c sinh đã v n d ng gi ả ượ i đ ậ c lo i bài t p có cùng

ấ tính ch t nêu trên.

ề ậ ề ẳ ạ ạ ặ ậ ậ ấ Ch ng h n, khi d y bài t p v PT quy v b c nh t ho c b c hai ( ở

ễ ậ ế ả ộ ố ể ữ ớ l p 10 ), ngoài nh ng PT d nh n bi ậ t thu t gi i ta có th ra thêm m t s bài

t p:ậ

ư ứ ầ ộ ượ ự ậ Tuy nhiên m c đ bài t p tìm đoán đ a ra c n đ ọ c l a ch n kĩ càng

ừ ứ ệ ợ ờ ả ữ cho phù h p th i gian và v a s c HS. Thông qua vi c gi i nh ng bài t p c ậ ụ

ể ầ ữ ể ặ ố ợ ỏ ợ th , c n đ t cho HS nh ng câu h i g i ý phù h p tình hu ng, đ HS bi ế ử t s

ữ ư ữ ươ ệ ỏ ụ d ng nh ng câu h i này nh nh ng ph ng ti n kích thích suy nghĩ tìm tòi,

ệ ừ ể ự ệ ướ ươ ể ả ự d đoán, phát hi n, đ th c hi n t ng b c ph ng pháp chung đ gi i toán.

ỗ ợ ữ ầ ỏ ọ Nh ng câu h i này lúc đ u do GV nêu ra h tr ư cho h c sinh nh ng

ụ ủ ọ ế ầ ượ ầ d n d n bi n thành công c c a h c sinh, đ c HS nêu ra đúng lúc, đúng ch ỗ

ừ ướ ủ ả ể ợ đ g i ý cho t ng b c đi c a mình trong quá trình gi i toán..( ;tr.398)

Ậ Ế ƯƠ 2.5. K T LU N CH NG II.

ề ậ ự ệ ệ ế ậ ọ Lu n văn đã đ c p đ n vi c rèn luy n năng l c tìm đoán cho h c sinh

ụ ể ệ ụ ể ừ ụ ừ ạ ướ vào c th t ng d ng toán, phân tích c th vi c áp d ng vào t ng b c gi ả i

ề ả ậ ạ toán, phân lo i bài t p v gi i PT.

123

ậ ủ ư ặ ờ ự ị M t khác cũng nh lí lu n c a t duy và năng l c tìm đoán, đ nh h ướ ng

ư ạ ệ ố ự ệ ạ ậ ầ xây d ng và sáng t o h th ng bài t p, các bi n pháp s ph m cũng ph n nào

ả ạ ộ ợ g i ý cho GV trong quá trình gi ng d y b môn Toán.

ƯƠ

NG III

Ư Ạ

Ự

Ệ TH C NGHI M S PH M

Ự Ụ Ụ Ệ Ệ 3.1. M C ĐÍCH VÀ NHI M V TH C NGHI M.

ụ ự ệ 3.1.1. M c đích th c nghi m.

ự ư ệ ạ ượ ế ể ể ả Th c nghi m s ph m đ ạ c ti n hành đ minh ho , ki m tra tính kh thi và

ả ủ ự ủ ệ ệ ệ ệ hi u qu c a vi c rèn luy n năng l c tìm đoán c a HS THPT thông qua vi c

ả ươ ọ ạ d y h c gi i ph ng trình.

ụ ự ư ệ ạ ẳ ị ả ế ọ ằ Th c nghi m s ph m nh m m c đích kh ng đ nh gi thuy t khoa h c đã

ượ ề ậ đ c đ ra trong lu n văn.

ụ ự ệ ệ 3.1.2. Nhi m v th c nghi m.

ự ệ ể ạ ả ạ ướ ệ +) Biên so n giáo án đ GV th c hi n gi ng d y theo h ng: rèn luy n năng

ệ ạ ậ ươ ự l c tìm đoán cho HS THPT thông qua vi c d y bài t p ph ng trình.

ả ự ệ ế ặ +) Đánh giá k t qu th c nghi m theo 2 m t:

ả Tính kh thi.

ả ệ Tính hi u qu .

Ộ Ự Ệ 3.2. N I DUNG TH C NGHI M

ư ạ ấ ả ự ệ ế ộ ớ Ti n hành th c nghi m s ph m theo b SGK m i xu t b n năm 2006

2008.

ụ ể ư C th nh sau:

ự ệ * Các giáo án th c nghi m:

124

ạ ố SGK [81] Đ i s 10 nâng cao

ế ộ ố ươ ề ươ ậ ấ Ti t 30: M t s ph ng trình quy v ph ng trình b c nh t và ph ươ ng

ậ trình b c hai.

ạ ố ả SGK [33] Đ i s và gi i tích 11 nâng cao

ế ề ộ ố ươ ậ ượ ườ Ti t 18: Bài t p v m t s ph ng trình l ng giác th ặ ng g p.

Giáo án 1

ế ộ ố ươ ề ươ ấ ậ Ti t 30. M t s ph ng trình quy v ph ng trình b c nh t và ph ươ ng

ậ ạ ố trình b c hai.(Đ i s 10 nâng cao).

ụ ạ I. M c tiêu bài d y.

ọ Giúp h c sinh:

ề ế ứ 1. V ki n th c.

ượ ươ ụ ể ả ươ ỉ ắ N m đ c ph ặ ẩ ng pháp đ t n ph đ gi ộ ố i m t s ph ng trình vô t và

ươ ph ữ ỉ ng trình h u t .

ể ư ặ ệ ự ả Phát tri n t duy đ c bi t là năng l c tìm đoán trong quá trình gi i ph ươ ng

trình.

ề 2. V kĩ năng.

ươ ữ ỉ ươ ỉ ằ Gi ả ượ i đ ộ ố c m t s ph ng trình h u t và ph ng trình vô t b ng ph ươ ng

ụ ặ ẩ pháp đ t n ph .

ế ạ II. Ti n trình bài d y.

ả ươ Gi i ph ng trình. Bài t p 1.ậ

(1)

ạ ộ ủ ạ ộ ủ Ho t đ ng c a GV Ho t đ ng c a HS

125

ậ ề ố * Có nh n xét gì v m i *) ( )+4

ệ ể ữ liên h gi a các bi u

ứ ẩ ứ th c ch a n? ặ ẩ ướ ụ ặ ẩ +B c 1: Đ t n ph và đ t ĐK cho cho n

ả * Gi ằ i PT(1) b ng phụ

ươ ph ặ ẩ ng pháp đ t n Đ t ặ ( ) ph .ụ

ướ ụ ư ề ẩ ầ +B c 2: Đ a PT ban đ u v PT n ph , gi ả i ử ờ ỉ *GV ch nh s a l i gi ả i

ẩ ụ PT n ph . ủ ủ ọ c a h c sinh và c ng c ố

ạ PT (1) có d ng: ho cặ ạ ướ ả l i các b c gi i PT

ề ả (đ u tho mãn ). ươ ằ b ng ph ặ ng pháp đ t

ướ ừ ị ẩ ữ ụ +B c 3: Tìm t nh ng giá tr n ph tìm ẩ ụ n ph

đ c.ượ *Khai thác bài toán

ươ ằ +) B ng ph ng pháp ậ ệ T p nghi m (1) là

ụ ặ ẩ đ t n ph , PT(1) đ ượ c

ề ạ ậ ậ *)Bài t p 1.1 ư đ a v d ng PT b c 2

m t nộ ẩ 2 +18 2

ươ ự Bài toán t ng t ậ *)Bài t p 1.2

ươ +Nêu ph ng pháp gi ả i = (1) ậ bài t p 1.1

ả +Gi ậ i bài t p 1.2

+Đ t ặ ườ ầ Sai l m th ặ ng g p

ủ ọ c a h c sinh +PT(1) có d ng ạ

đ t ặ

ĐK +V i ớ tacó

ế ế ẫ d n đ n thi u nghiêm

(2) ủ ậ ệ và t p nghi m c a (1)

126

sai ả ệ ượ Gi i h (2) ta đ c

ủ ệ ậ T p nghi m c a (1) là

+e =0 *)

ổ ậ Hãy t ng quát bài t p V i ớ

1 ; Đ t ặ ư ạ ổ GV đ a ra d ng t ng

ạ PT(1) có d ng: quát h n.ơ

ả ươ Gi i ph ng trình. Bài t p 2.ậ

(1)

ệ ố *Phát hi n m i liên h ệ *) = ứ ữ ứ ể gi a các bi u th c ch a

n?ẩ +Đ t ặ ( ) ả ươ *Gi i ph ng trình

ươ ằ b ng ph ặ ng pháp đ t ạ +PT(1) có d ng:

ẩ ụ n ph .

ỉ Ch có ả tho mãn

+V i ớ ta có

127

ả ế ượ ậ ệ Gi i ti p (2) và (3) ta đ ủ c t p nghi m c a *Khai thác bài toán

(1) ươ ự Bài toán t ng t

ằ ươ ặ B ng ph ng pháp đ t

ẩ ể ả ụ n ph có th gi i

ượ ậ đ c các bài t p

(2.1) 2.1;2.2;2.3;2.4

(2.2)

(2.3)

ế ứ ứ Nghiên c u ti p ng (2.4) 3 +2 ủ ậ ụ d ng c a bài t p 2

ế ổ ươ Bi n đ i ph ng trình

ề ạ (2.4) v d ng ph ươ ng

trình không ch a n ứ ẩ ở

m uẫ

ề ố ậ Nh n xét v m i quan

ệ ố ữ ệ h gi a h s và

ệ ố ;h s và h s t ệ ố ự

do. *)(2.4) ươ Nêu ph ng pháp gi ả i

ươ ph ng trình (2.5)

128

+H sệ ố =h sệ ố =3

ệ ố ự H sệ ố = h s t do=1

*)(2.5)

ủ + ệ không là nghi m c a PT(2.5)

V i ớ

(2.5)

Đ t ặ (

ươ ạ Ph ng trình (2.5) có d ng

Giáo án 2

ế ậ ề ộ ố ươ ượ ườ ặ Ti t 18: Bài t p v m t s ph ng trình l ng giác th ng g p

ạ ố ả (Đ i s và gi i tích 11 nâng cao)

ụ ạ . I. M c tiêu bài d y

ọ Giúp h c sinh :

ề ế ứ 1. V ki n th c:

ượ ươ ả ượ ằ ươ ắ N m đ c ph ng pháp gi i PT l ng giác b ng ph ng pháp đánh giá.

129

ồ ưỡ ự ệ ả ệ ậ B i d ng năng l c tìm đoán trong vi c gi i bài t p nói chung và vi c gi ả i

ượ PT l ng giác nói riêng.

ề 2. V kĩ năng:

ổ ượ ế ệ ả ể ả Rèn luy n kĩ năng, kĩ x o trong bi n đ i l ng giác đ gi ộ ố i m t s ph ươ ng

ượ ự ẫ trình l ng giác không m u m c.

ế ạ II. Ti n trình bài d y.

ả ươ Gi i ph ng trình. Bài t p 1.ậ

(1)

ủ ủ

ạ ộ ươ Ho t đ ng c a GV *Ph ng trình (1) là ạ ộ Ho t đ ng c a HS *)Ta có =1

ươ ậ ph ng trình b c cao

ớ ố đ i v i và

ả ằ khó gi i b ng ph ươ ng

ườ pháp thông th ng.

ấ ậ *Do tính ch t t p giá tr ị

c a ủ và g i ýợ

cho ta đánh giá hai v .ế

ế ủ *Đánh giá hai v c a

ả ồ (1), r i gi i PT(1).

ướ ẫ *GV h ng d n HS tóm

ắ ướ t t các b c gi ả i

ươ ph ng ằ trình b ng ướ ủ ị ậ *)B c 1: Tìm t p xác đ nh c a PT

ươ ph ng pháp đánh giá.

ướ ứ B c 2: Ch ng minh

ể ấ ằ ả Tìm ĐK đ d u b ng x y ra.

130

ướ B c 3: Gi ả ệ ươ i h ph ng trình

(1.1). +

+Ta có

*Khai thác l ờ ả i gi i + 1 ậ ươ ự Bài t p t ng t

ả Gi i PT(1.1) PT (1.1)

ườ ầ Sai l m th ặ ủ ng g p c a

ậ ố Đáp s bài t p(1.1)

;

ả ươ Gi i ph ng trình. Bài t p 2.ậ

ả *)Gi i PT(1)

ự *)D đoán

ọ ẽ ả H c sinh s gi i PT

131

ươ ằ b ng ph ng pháp đánh

giá.

ườ ầ Sai l m th ặ ủ ng g p c a

ọ h c sinh

ấ ẳ ứ Dùng b t đ ng th c

Côsi đánh giá:

ề ệ Đi u ki n: ư ị ấ khi ch a xác đ nh d u

c a ủ +) = + = (1+

ề ấ ậ ủ *) Nh n xét v d u c a

+ ) ố ạ ứ ổ t ng các s h ng ch a

ổ ố ạ , t ng các s h ng 1+ + =

ch a ứ .

và cùng d u.ấ

= +

ươ T ng t ự và cùng d u.ấ

ấ +) cùng d u và

ừ ậ ấ *)T PT(1) nh n xét d u

c a ủ . ụ ứ ẳ ấ +)Áp d ng b t đ ng th c Côsi cho 2 s ố

ả *)Gi i PT(1). ươ d ng ta có:

ươ T ng t ự

ế Suy ra: v trái(1)

132

(1)

ả ế ợ ượ Gi i (2) k t h p ĐK(*1) ta đ ệ c các nghi m

ủ c a PT(1) là:

Cách 2: Đ t ặ

*) Khai thác bài toán

ả Cách gi i khác

ạ (1) có d ng : Đã bi t ế

ể ả ằ Có th gi i PT b ng

ươ ặ ẩ ụ ph ng pháp đ t n ph V i ớ ta có

ả ươ i ph ng trình : Bài t p 3ậ : Gi

133

ể ứ *) Các bi u th c +)

ĐK: ể ể ễ có th bi u di n theo

cách khác ? Ta có:

ả *) Gi i PT (1) ?

ự *) D đoán:

ả ẽ HS s gi i PT (1) theo

2cách

ả ượ Gi ế ợ i (2) và (3) , k t h p ĐK (*1), ta đ c các Cách 1: Đ tặ

ệ ủ nghi m c a PT(1) là :

ả ằ Gi i PT(1) b ng ph ươ ng

ụ ặ ẩ pháp đ t n ph .

ư Cách 2: Đ a PT(1) v ề

PT tích.

*) GV phân tích cái hay

ỗ ươ ủ c a m i ph ng pháp và

134

ự ọ giúp HS l a ch n

ươ ố ph ng pháp t t nh t đ ấ ể

ả gi i PT (1), đó là

ươ ư ph ng pháp đ a PT(1)

ề v PT tích.

ề ể ự ệ * Các đ ki m tra th c nghi m

Ố Ề Ể Đ KI M TRA S 1

ả ươ Gi i các ph ng trình sau:

Câu 1(5 đi m )ể :

Câu 2(5 đi m )ể :

ầ ủ ề ể ụ ố M c đích yêu c u c a đ ki m tra s 1

ụ ư ặ ẩ ươ ề ươ Đánh giá kĩ năng đ t n ph đ a ph ng trình đã cho v ph ậ ng trình b c

ươ ế ả ặ hai ho c ph ng trình đã bi t cách gi i.

ậ ế ệ ặ ữ ố ệ ữ ể Đánh giá kĩ năng nh n bi t nh ng m i liên h đ c bi ứ t gi a các bi u th c

ươ ứ ẩ ủ ch a n c a ph ng trình.

ề ể ố ể Đáp án thang đi m đ ki m tra s 1

Câu 1( 5 đi m )ể

+ : 1đi mể

+ Đ t ặ

135

(1) có d ng ạ : 1đi mể

ả ề ệ ố ượ +Gi ế i (2) và đ i chi u đi u ki n ta đ c : 1 đi mể

ậ ậ ế ệ + Tìm nghi m ệ và k t lu n t p nghi m PT (1)

: 2 đi m ể

Câu 2( 5 đi m )ể

+ Đ t ặ

ươ ạ Ph ng trình (1) có d ng : 1 đi mể

ả ượ + gi i (2) đ c : 1đi mể

ả ế ượ ậ ủ ệ + Gi i ti p tìm đ c t p nghi m c a (1) là:

: 3 đi mể

Ố Ể Ề Đ KI M TRA S 2

ả ươ Gi i các ph ng trình sau:

ể Câu 1(5 đi m ):

ể Câu 2(5 đi m ):

ầ ủ ề ể ụ ố M c đích yêu c u c a đ ki m tra s 2

ổ ượ ế ủ ọ ặ ệ Đánh giá kĩ năng bi n đ i l ng giác c a h c sinh, đ c bi ể ữ t là nh ng bi u

ứ ượ ứ ẩ ặ ệ th c l ng giác ch a n và cung đ c bi t.

136

ậ ế ấ ệ ử ụ ươ ả Đánh giá kh năng nh n bi t d u hi u s d ng ph ng pháp đánh giá đ ể

ả ươ ượ ả ươ ượ gi i ph ng trình l ng giác, kĩ năng gi i ph ng trình l ằ ng giác b ng

ươ ph ng pháp đánh giá.

ề ố ể Đáp án, thang đi m đ s 2

ể Câu 1( 5 đi m ).

+Đ t ặ :1đi mể

ở PT đã cho tr thành:

ề ạ ế ổ + Bi n đ i PT (2) v d ng:

: 1 đi mể

ả + Gi i PT : 1 đi m ể

ả + Gi i PT : 1 đi mể

ủ ế ậ ệ +K t lu n nghi m c a PT(1) : : 1 đi mể

Câu 2( 5 đi m )ể

+ Đánh giá : 1 đi mể

+ : 1 đi mể

+ : 1đi mể

ả ượ +Gi i (2) ta đ c

137

: 1đi mể

ủ ế ậ ệ +K t lu n nghi m c a PT (1) là : 1đi mể

Ổ Ứ Ự Ệ 3.3. T CH C TH C NGHI M

ế ổ ạ ở ườ ứ ự ư ệ + Chúng tôi ti n hành t ch c th c nghi m s ph m tr ng THPT

Yên dũng s 2. ố

ọ ự ủ ỗ ố ọ ườ ớ M i kh i ch n ra 2 l p có h c l c khá c a tr ng là:

2 do th y Nguy n Văn Hà gi ng d y đ

ố ớ ạ ượ ễ ầ ả Kh i 10: L p 10a ọ c ch n làm

ự ệ ọ ớ ễ ả ạ ị ớ l p th c nghi m và ch n l p 10a ớ 3 do cô Nguy n Th Lan gi ng d y làm l p

ộ ố ứ ố ọ ươ ề ố đ i ch ng. Kh i 10 ch n bài: M t s ph ng trình quy trình quy v ph ươ ng

ấ ậ ươ ờ ệ ậ ố trình b c nh t và ph ậ ng trình b c hai (gi ấ luy n t p). Chúng tôi th ng nh t

ế ế ề ể ả ằ ế ả ố thi t k bài gi ng theo giáo án 1 và đánh giá k t qu b ng đ ki m tra s 1.

1 do th y giáo Lê Đình Kh

ọ ớ ố ầ ươ ả Kh i 11: Chúng tôi ch n l p 11a ạ ng gi ng d y,

3 do th y giáo Nguy n Văn Bính

ọ ớ ự ệ ớ ễ ầ làm l p th c nghi m (TN) và ch n l p 11a

ộ ố ứ ạ ả ớ ố ọ ươ gi ng d y làm l p đ i ch ng (ĐC). Chúng tôi ch n bài: M t s ph ng trình

ượ ườ ờ ệ ậ ể ạ ệ ố l ng giác th ặ ng g p (gi ấ ự luy n t p) đ d y th c nghi m và th ng nh t

ế ế ề ể ả ằ ế ả ố thi t k bài gi ng theo giáo án 2 và đánh giá k t qu b ng đ ki m tra s 2.

Ự Ả Ế Ệ 3.4. K T QU TH C NGHI M.

ề ươ ộ ủ ọ ả 3.4.1. V ph ng pháp và kh năng lĩnh h i c a h c sinh.

ộ ố ề ấ ậ ọ + Chúng tôi đã cung c p cho h c sinh m t s bài t p tìm đoán v ph ươ ng

ừ ơ ả ồ ưỡ ế ằ ự trình t c b n đ n nâng cao nh m b i d ng năng l c tìm đoán và ph ươ ng

ả ậ ọ pháp chung gi i bài t p toán cho h c sinh.

ệ ệ ươ ả ậ ọ + Thông qua vi c tìm tòi, phát hi n ph ng pháp gi i bài t p, h c sinh đ ượ c

ầ ủ ạ ộ ạ ộ ả ỗ ọ ậ h c t p trong các ho t đ ng. Trong m i ho t đ ng yêu c u c a bài toán gi m

138

ứ ế ế ề ệ ễ ạ ộ ầ d n giúp các em d dàng ti p thu, lĩnh h i ki n th c, t o đi u ki n cho các

ọ ậ ữ ứ ồ ờ ị ướ em h ng thú, say mê h c t p, đ ng th i giúp các em có nh ng đ nh h ng,

ế ư ữ ứ ụ ươ ả bi t áp d ng chúng nh nh ng tri th c ph ng pháp trong gi i toán.

ứ ơ ả ủ ố ọ ữ ế ắ ươ + Nói chung đa s h c sinh n m v ng ki n th c c b n c a ph ng trình do

ự ả ượ ư ề ả đó có kh năng t i đ gi ậ c khá nhi u bài t p đ a ra ho c d ặ ướ ự ỉ ẫ i s ch d n

ứ ự ệ ả ấ ợ ủ c a giáo viên. Sau đ t th c nghi m các em c m th y h ng thú, say mê và yêu

ộ thích b môn Toán.

ệ ư ạ ề ế ự ả ể 3.4.2. V k t qu các bài ki m tra th c nghi m s ph m.

ả ề ể ố ủ ự ế ể ệ ượ ố + K t qu v đi m s c a 2 bài ki m tra th c nghi m đ c th ng kê nh ư

ả ể ự ố ế ả ệ : B ng th ng kê k t qu ki m tra th c nghi m

Nhóm đi mể

3 4 5 6 7 8 9 10 Khố L pớ T ngổ SL % SL % SL % SL %

i số

11 HS 50 50 50 50 8 2 8 3 16 4 16 6 26 22 23 18 52 44 46 36 10 16 14 18 20 34 28 36 6 10 5 11 12 20 10 22 ĐC TN ĐC TN

ợ ế ả ể ố ượ ủ ổ ể ồ ằ T ng h p k t qu ki m tra c a hai kh i đ c so sánh b ng bi u đ sau :

Y(%)

139

50

40

30 ĐC

20 TN

10

0

X (Nhóm đi m)ể

Nhóm điểm 3 - 4

Nhóm điểm 5 - 6

Nhóm điểm 7 - 8

Nhóm điểm 9 - 10

ố ủ ể ể ả ố ố ế + Qua th ng kê đi m s c a hai bài ki m tra (trong b ng th ng kê k t

ả ể ả ể ự ệ ể ế ồ qu ki m tra th c nghi m và bi u đ so sánh k t qu ki m tra) và quá trình

ậ ấ ấ ch m bài chúng tôi nh n th y:

ỉ ệ ố ạ ỏ ở ớ ơ ớ S HS và t l ể HS đ t đi m khá, gi l p TN cao h n l p ĐC. i

ơ ớ ể ủ ớ Đi m bình quân c a l p TN cao h n l p ĐC.

Ở ớ ị ể ứ ề ố ở ớ l p đ i ch ng có nhi u em b đi m kém trong khi ự l p th c

ệ ố ơ ị ể nghi m s HS b đi m kém là ít h n.

ở ớ ự ệ ượ ệ ắ Do HS l p th c nghi m đã đ ự c rèn luy n năng l c tìm đoán và n m đ ượ c

ươ ể ả ứ ậ ướ ươ ph ng pháp chung đ gi i bài t p toán nên đ ng tr ộ c m t ph ng trình

ậ ả ị ướ ượ ươ ả không có thu t gi i, các em đ nh h ng đ c ph ng pháp gi ế i quy t bài

ọ ở ớ ứ ề ố toán nhanh g n, chính xác. Trong khi l p đ i ch ng, có nhi u em không

ướ ả ượ ự ề ọ ị đ nh h ng đ ượ ờ c l i gi i nên không làm đ c bài, có nhi u em l a ch n cách

ả ủ ờ ả ể ự ế gi i khác dài dòng, không đ th i gian làm bài. D a vào k t qu ki m tra ở 2

ả ươ ư ự ệ ệ ấ ặ ắ ờ ớ l p ta th y m c dù th i gian th c nghi m là ng n nh ng hi u qu t ố ng đ i

rõ ràng.

Ậ Ế ƯƠ 3.5. K T LU N CH NG III.

140

ệ ử ụ ả ự ả ủ ế ệ ấ ệ ố ệ K t qu th c nghi m cho th y hi u qu c a vi c s d ng h th ng

ọ ọ ậ ậ ụ ệ ố ể bài t p ch n l c đã trình bày ở ươ ch ng II. Tri n khai, v n d ng h th ng các

ậ ạ ẽ ầ bài t p này trong quá trình d y h c ọ ở ườ tr ng THPT s góp ph n nâng cao

ấ ượ ạ ủ ấ ượ ả ch t l ng gi ng d y c a GV và ch t l ọ ậ ủ ng h c t p c a HS.

Ậ

Ế

K T LU N

ề ệ ự ứ ễ ệ ậ Trong quá trình nghiên c u lý lu n và th c ti n v vi c rèn luy n năng

ạ ọ ọ ả ự l c tìm đoán cho h c sinh THPT qua d y h c gi ể i PT, ta có th rút ra m t s ộ ố

ậ ế k t lu n sau:

ự ể ệ ọ ườ 1. Vi c phát tri n năng l c tìm đoán cho h c sinh nhà tr ổ ng ph thông

ủ ề ụ ụ ấ ặ ọ ộ ổ ị có v trí r t quan tr ng, là m t m c tiêu c a n n giáo d c ph thông, đ c bi ệ t

ớ ổ ươ ư ệ ạ ạ trong giai đo n đ i m i ph ọ ng pháp d y h c nh hi n nay.

141

ơ ả ủ ư ệ ậ ữ 2. Lu n văn đã trình bày nh ng khái ni m c b n c a t ố duy, m i quan

ự ạ ớ ư ự ệ ủ h c a năng l c tìm đoán v i các lo i hình t ủ duy, vai trò c a năng l c tìm

ự ễ ụ ạ ả ộ đoán áp d ng vào th c ti n gi ng d y b môn Toán.

ộ ố ệ ư ệ ề ậ ằ ạ 3. Lu n văn đã đ ra m t s bi n pháp s ph m, nh m rèn luy n năng

ạ ọ ọ ả ự l c tìm đoán cho h c sinh thông qua d y h c gi ậ i bài t p PT.

ư ậ ượ ệ ố ạ ậ 4. Lu n văn đã đ a ra đ ọ ọ c h th ng bài t p ch n l c và đa d ng phong

ỗ ạ ậ ớ ỗ ươ ả ề ạ phú.V i m i d ng bài t p, m i ph ng pháp gi ụ i đ u có ví d minh ho .Các

ệ ầ ậ ọ ự bài t p này góp ph n rèn luy n năng l c tìm đoán cho h c sinh trong quá trình

ả ậ ọ gi i bài t p toán h c.

ự ả ậ ắ ả 5. Chúng tôi đã trình bày lu n văn d a trên nguyên t c: Đ m b o tính

ự ư ệ ệ ả ạ ọ khoa h c, tính lôgíc, tính s ph m, tính hi u qu . Quá trình th c nghi m s ư

ế ệ ạ ướ ầ ấ ắ ả ự ph m và k t qu th c nghi m đã b ệ c đ u cho th y tính đúng đ n, tính hi u

ự ế ả ậ ả ủ ả ớ ủ qu và tính kh thi c a lu n văn trong th c t ệ . V i kinh nghi m c a b n thân

ủ ạ ệ ệ ả ồ ưở và tham kh o kinh nghi m c a b n bè, đ ng nghi p chúng tôi tin t ằ ng r ng

ả ế ọ ủ ậ ấ ậ ượ ụ ệ gi thi t khoa h c c a lu n văn này là ch p nh n đ c và nhi m v nghiên

ượ ứ c u đã đ c hoàn thành.

Ả

Ệ

TÀI LI U THAM KH O

ữ ậ ọ ườ ị ồ 1. G.Pôlya Toán h c và nh ng suy lu n có lí ( Ng i d ch Hà Sĩ H , Hoàng

ữ ễ ươ ộ Chúng, Lê Đình Phi, Nguy n H u Ch ụ ng ). NXB Giáo d c Hà N i 1995.

ệ ệ ậ ạ ọ ọ ứ 2. T p luy n cho h c sinh khái quát hoá tài li u Toán h c. T p chí nghiên c u

ụ giáo d c, 5 1982.

142

ễ ươ ứ ệ ậ ậ ớ ả 3. Nguy n C nh Toàn Ph ọ ệ ng pháp lu n duy v t bi n ch ng v i vi c h c,

ụ ứ ậ ọ ộ ạ d y, nghiên c u toán h cT p 1. NXB Giáo d c, Hà N i, 1997.

ễ ươ ễ ả ạ 4. Nguy n Bá Kim, Đinh Nho Ch ươ ng, Nguy n M nh C ng, Vũ D ng

ụ ễ ườ ươ ạ ầ ọ Th y, Nguy n Văn Th ng Ph ng pháp d y h c môn toán Ph n 2

ơ ả ụ ữ ạ ọ ộ D y h c nh ng n i dung c b n. NXB Giáo d c, 1994.

ươ ươ ế ễ ộ ố ạ 5. Nguy n Bá Kim, V ng D ng Minh, Tôn Thân Khuy n khích m t s ho t

ệ ủ ọ ụ ộ đ ng trí tu c a h c sinh qua môn toán ở ườ tr ng THCS. NXB Giáo d c, 1998.

ệ ư ầ ệ ạ ọ ọ 6. Tr n Thúc Trình Rèn luy n t duy trong d y h c toán. Vi n khoa h c giáo

ụ d c, 2003.

ươ ạ ọ ổ 7. Hoàng Chúng Ph ng pháp d y h c toán h c ọ ở ườ tr ng ph thông trung

ụ ọ ơ ở h c c s . NXB Giáo d c, 2000.

ươ ụ ủ ễ ươ ọ 8. Nguy n Bá Kim( Ch biên )Vũ D ng Th y Ph ạ ng pháp d y h c môn

ườ ộ Toán(Dùng cho các tr ng ĐHSP). NXB Hà N i 1992.

ệ ả ạ ổ 9. Hoàng Chúng Rèn luy n kh năng sáng t o toán h c ọ ở ườ tr ng ph thông, 1969.

ễ ươ ạ ọ 10. Nguy n Bá Kim Ph ng pháp d y h c môn Toán. NXB ĐHSP, 2007.

ễ ễ ấ ọ ố ườ ể ọ 11. Nguy n Tr ng Bá, Lê th ng Nh t, Nguy n Phú Tr ữ ng Tuy n ch n nh ng

ạ ọ ệ ẳ ậ ụ bài ôn luy n thi vào đ i h c, cao đ ng môn Toán T p 1. NXB Giáo d c,

1998.

ạ ố ả ọ ạ ọ 12. Phan Huy Kh i Toán nâng cao cho h c sinh Đ i s 10.NXB Đ i h c

ố ộ Qu c Gia Hà N i, 1998.

ữ ứ ủ ả ồ ọ ệ 13. Lê H ng Đ c ( Ch biên ), Đào Thi n H i, Lê Bích Ng c, Lê H u Trí Các

ươ ả ươ ấ ươ ệ ộ ỉ ph ng pháp gi i ph ng trình, b t ph ng trình và h vô t . NXB Hà N i, 2005.

ạ ươ ớ ệ ề ể ườ 14. Doãn Minh C ng, Ph m Minh Ph ng Gi i thi u đ thi tuy n sinh

ạ ọ ế ẳ ọ vào đ i h c cao đ ng môn Toán năm h c 1997 1998 đ n năm 2006

ạ ọ ậ ố ộ 2007 T p 1. NXB Đ i h c Qu c Gia Hà N i, 2006.

143

ạ ươ ớ ề ệ ể ườ 15. Doãn Minh C ng, Ph m Minh Ph ng Gi i thi u đ thi tuy n sinh

ạ ọ ế ẳ ọ vào đ i h c cao đ ng môn Toán năm h c 1997 1998 đ n năm 2006

ạ ọ ậ ộ ố 2007 T p 2. NXB Đ i h c Qu c Gia Hà N i, 2006.

ữ ễ ạ ầ ươ 16. Phan Doãn Tho i, Nguy n Xuân Bình, Tr n H u Nam Ph ng pháp

ả ả ủ ề ụ gi ạ ố i toán Đ i s và Gi i tích 11 theo ch đ . NXB Giáo d c, 2007.

ễ ắ ậ ặ 17. Nguy n Xuân Liêm, Đ ng Hùng Th ng Bài t p nâng cao và m t s ộ ố

ề ạ ố ả ụ chuyên đ Đ i s và Gi i tích 11. NXB Giáo d c, 2008.

ủ ủ ễ ổ ỳ ầ 18. Đoàn Qu nh ( T ng ch biên ), Nguy n Huy Đoan ( Ch biên ), Tr n

ươ ễ ắ ặ ả Ph ng Dung, Nguy n Xuân Liêm, Đ ng Hùng Th ng Gi i tích 12 nâng

ụ cao. NXB Giáo d c, 2008.

ủ ủ ễ ổ ỳ ễ 19. Đoàn Qu nh ( T ng ch biên ), Nguy n Huy Đoan ( Ch biên ), Nguy n

ạ ố ễ ắ ắ ặ ả Kh c Minh, Nguy n Xuân Liêm, Đ ng Hùng Th ng Đ i s và Gi i tích

ụ 11 nâng cao. NXB Giáo d c, 2008.

ủ ủ ễ ầ ổ ỳ 20. Đoàn Qu nh ( T ng ch biên ), Nguy n Huy Đoan ( Ch biên ), Tr n Văn

ạ ố ễ ặ ắ Vuông, Nguy n Xuân Liêm, Đ ng Hùng Th ng Đ i s 10 nâng cao.

ụ NXB Giáo d c, 2008.

ụ ậ ạ ộ ọ 21. Bùi Mai Anh Lu n văn th c sĩ khoa h c giáo d c, PPGD Toán, Hà N i, 2002.

144

Sáng kiến kinh nghiệm: Rèn luyện năng lực tìm đoán cho học sinh thông qua dạy học giải phương trình ở trường THPT

ƯƠ

Ơ Ở

Ự

Ậ

Ễ

ƯƠ

ƯỚ

Ộ Ố ƯƠ

Ọ

Ẫ

Ả NG PHÁP GI I

ƯƠ

Ệ Ố

Ậ

Ọ NG TRÌNH THÔNG QUA H TH NG BÀI T P CH N

Ộ Ố Ệ

Ư Ạ

Ọ

Ằ

Ấ

Ề

Ự

Ệ

Ở ƯỜ TR

) (

)

( 1x (cid:0)

(

)

)

)

(

(

)

)

(

(

)

(

)

(

)

)

(

(

(

)

(

)

]a b và có đ o hàm trên kho ng [ ; ả

ƯƠ

Ư Ạ

Ự

Ệ TH C NGHI M S PH M

50

40

30

ĐC

20

TN

10

0

Nhóm điểm 3 - 4

Nhóm điểm 5 - 6

Nhóm điểm 7 - 8

Nhóm điểm 9 - 10

Ậ

Ế

Ả

Ệ

Tài liêu mới

Xác nhận đăng nhập

Đăng nhập từ tài khoản này?

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ