Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Rèn luyện kĩ năng sử dụng hằng đẳng thức để giải một số dạng toán có chứa căn thức bậc hai

Chia sẻ: Khánh Thành | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:20

Thêm vào BST

Báo xấu

60
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm là xây dựng một cách tổng quát, đầy đủ, chi tiết cho tất cả các trường hợp về áp dụng hằng đẳng thức để giải bài tập rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, thực hiện phép tính và giải phương trình chứa căn bậc hai. Có hệ thống bài tập áp dụng để học sinh hiểu đầy đủ từ dể đến khó, các trường hợp áp dụng hằng đẳng thức khác nhau để làm rỏ các dạng toán này, đồng thời có những bài tập nâng cao để học sinh phát triển tư duy sáng tạo của bản thân. Xây dựng cho học sinh niềm tin trong học tập, chống tư tưởng ngại khó, sợ toán, giúp các em hăng say học tập, hứng thú tìm tòi cái hay cái mới trong toán học

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Rèn luyện kĩ năng sử dụng hằng đẳng thức để giải một số dạng toán có chứa căn thức bậc hai

1. PHẦN MỞ ĐẦU 1.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của học sinh, trong quá trình giảng dạy mỗi giáo viên phải biết chắt lọc những nội dung kiến thức cơ bản một cách rõ ràng, ngắn gọn và đầy đủ, phải đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, từ cụ thể đến trừu tượng giúp học sinh có thể nắm được nội dung chính trong bài học, đồng thời có thể gợi mở, đặt vấn đề để học sinh phát triển tư duy cũng như kĩ năng phân tích, trình bày bài giải một cách chặt chẽ, logíc, có hệ thống. Trong những năm gần đây, việc đổi mới phương pháp dạy học là vấn đề cấp bách và cần thiết, nhằm hình thành cho học sinh thói quen tư duy tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện cho các em năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Chính vì vậy, mỗi giáo viên đứng lớp phải có một phương pháp truyền đạt kiến thức phù hợp, có khả năng hệ thống, phân loại và chọn lựa các dạng bài tập phong phú, đáp ứng được yêu cầu tối thiểu của người học, tác động đến tình cảm, đem lại niềm tin và sự hứng thú trong học tập của học sinh. Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, cũng như qua việc theo dõi kết quả các bài kiểm tra, bài thi của học sinh, tôi nhận thấy vẫn còn nhiều học sinh mắc phải các sai lầm không đáng có khi giải toán chứa căn thức bậc hai còn nhiều sai sót, rập khuôn máy móc hoặc chưa làm được do chưa nắm chắc các phương pháp giải, vận dụng kỹ năng biến đổi chưa linh hoạt vào từng dạng toán. Trong khi đó, ở kỳ thi học kỳ 1 và các kỳ thi cuối cấp. Nôi dung đê thi ̣ ̀ thương r ̀ ơi vao kiên th ̀ ́ ức cơ ban không thê thiêu đo la ch ̉ ̉ ́ ́ ̀ ương căn thức bâc hai ̣ cho dươi dang rut gon biêu th ́ ̣ ́ ̣ ̉ ức, thực hiên phép tinh căn ho ̣ ́ ặc giải phương trình. Để tháo gỡ và giải quyết những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, tôi nhận thấy việc rèn luyện kỹ năng giải toán có chứa căn thức bậc hai cho học sinh là rất cần thiết. Với các lí do trên, tôi xin được trình bày một số kinh nghiệm được rút ra trong quá trình giảng dạy với tên đề tài: “Rèn luyện kĩ năng sử dụng hằng đẳng thức để giải một số dạng toán có chứa căn thức bậc hai”. Đề tài này nhằm giúp học sinh lớp 9, cac hoc sinh kha, gioi môn toan va đ ́ ̣ ́ ̉ ́ ̀ ược thực hiên trong cac ̣ ́ giờ luyên tâp, ôn tâp, ôn thi vao l ̣ ̣ ̣ ̀ ơp 10 vê giai bai tâp rut gon biêu th ́ ̀ ̉ ̀ ̣ ́ ̣ ̉ ức co ch ́ ứa căn thưc, th ́ ực hiên phep tinh và gi ̣ ́ ́ ải phương trình chứa căn bậc hai. 1.2. ĐIỂM MỚI CỦA ĐỀ TÀI: Đề tài này đã có một số sách tham khảo cho học sinh THCS nhưng chưa tổng hợp được và chưa vận trong nhiều dạng toán, ứng dụng các bài toán khác nhau. 1
Ở đề tài này tôi đã xây dựng một cách tổng quát, đầy đủ, chi tiết cho tất cả các trường hợp vê áp d ̀ ụng hằng đẳng thức để giai bai tâp rut gon biêu th ̉ ̀ ̣ ́ ̣ ̉ ức ́ ưa căn th co ch ́ ưc b ́ ậc hai, thực hiên phep tinh và gi ̣ ́ ́ ải phương trình chứa căn bậc hai. Có hệ thống bài tập áp dụng để HS hiểu đầy đủ từ dể đến khó, các trường hợp áp dụng hằng đẳng thức khác nhau để làm rỏ các dạng toán này, đồng thời có những bài tập nâng cao để học sinh phát triển tư duy sáng tạo của bản thân. Xây dựng cho học sinh niềm tin trong học tập, ch ống t ư tưởng ng ại khó, sợ toán, giúp các em hăng say học tập, hứng thú tìm tòi cái hay cái mới trong toán học. Đề tài cũng là một tài liệu tham khảo cho các giáo viên trong quá trình đọc và nghiên cứu tài liệu, cũng như giảng dạy. Ngoài mục đích trên đề tài có thể coi như một giải pháp góp phần thực hiện đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy năng lực của học sinh và đổi mới kiểm tra đánh giá ở trường THCS. 1.3. PHẠM VI ÁP DỤNG CỦA ĐỀ TÀI: Đề tài được áp dụng để giảng dạy cho hầu hết các đối tượng học sinh học lớp 9, cho đội tuyển học sinh giỏi cấp trường, cấp huyện bậc THCS và là tài liệu cho học sinh học lên THPT vừa là tài liệu tham khảo cho giáo viên tham gia giảng dạy môn toán THCS và bồi dưỡng HSG toán 9. Đề tài chỉ nghiên cứu đến dạng bài toán về sử dụng hằng đẳng thức để ̉ ̀ ̣ giai bai tâp rut ̣ ̉ ́ gon biêu thưc co ch ́ ́ ưa căn th ́ ức, thực hiên phep tinh và gi ̣ ́ ́ ải phương trình chứa căn bậc hai. 2
2. PHẦN NỘI DUNG 2.1.THỰC TRẠNG KHI CHƯA ÁP DỤNG ĐỀ TÀI: 2.1.1. Số liệu thống kê: Để thực hiện đề tài tôi tiến hành khảo sát chất lượng học sinh dạng bài tập này trước khi triển khai kinh nghiệm thu được như sau: Kết quả bài kiểm tra số 1 ( Trước khi triển khai kinh nghiệm.) Giỏi Khá TB Yếu – kém Lớp Sĩ số SL % SL % SL % SL % 91 35 4 11,4 8 22,9 12 34,3 11 31,4 92 34 4 11,7 7 20,6 13 38,3 10 29,4 2.1.2. Tình hình trước khi thực hiện các giải pháp của đề tài: Đối với học sinh trường THCS nơi tôi đang công tác phần lớn các em được học đầy đủ các kiến thức cơ bản, có phần mở rộng và nâng cao nhiều. Song khi gặp một bài toán, học sinh vẫn bị lúng túng trong định hướng phương pháp giải, chưa biết vận dụng hoặc vận dụng chưa linh hoạt, sáng tạo các kiến thức cơ bản đã học. Nhiều học sinh chỉ biết vận dụng từng bước giải, từng phần của quy tắc, công thức mà thầy, cô đã hướng dẫn. Điều này hạn chế rất lớn đến việc phát huy tính tích cực và độc lập nhận thức khi giải toán của học sinh, dẫn đến các em không ham học toán và không tự tin khi giải toán, lúng túng trong lí luận và trình bày. 2.1.3. Nguyên nhân dẫn đến tình hình trên: * Về giáo viên: Việc truyền tải kiến thức của căn thức bậc hai cho học sinh đang còn hạn chế. 3
Chưa hình thành được cho học sinh kỹ năng giải, mô hình giải, cách giải ứng với từng trường hợp, từng bài tập vận dụng các hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa dấu căn ở lớp 9. Kỹ năng rèn luyện cho học sinh tư duy, định hướng trước một bài toán và khả năng phân tích đề bài chưa được chú trọng. * Về học sinh: Động cơ thái độ học tập của nhiều học sinh chưa thật tốt. Học sinh vẫn quen với lối học thụ động, chưa sẵn sàng tham gia một cách tích cực, chủ động vào các nội dung học tập. Chưa nắm vững các hằng đẳng thức đã học ở lớp 8 nên không chuẩn bị tốt tâm thế cho giờ học Toán. Kỹ năng vận dụng các hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa dấu căn thức ở lớp 9 chưa thành thạo. Học sinh chưa hình thành được mô hình giải toán, các bước để giải một bài toán. Kỹ năng phân tích đề bài và định hướng được cách làm của một bài, một dạng của học sinh còn khiêm tốn. 2.2. CÁC GIẢI PHÁP: 2.2.1. Cho học sinh nắm vững bảy hằng đẳng thức đã học ở lớp 8 ̉ ̣ Đê khăc phuc vân đê đa nêu ́ ́ ̀ ̃ ở trên, ta cân cho hoc sinh n ̀ ̣ ắm chắc bay hăng̉ ̀ ̉ đăng th ưc đa hoc ́ ̃ ̣ ở lơp 8. ́ 1) Binh ph ̀ ương môt tông : (a + b) ̣ ̉ 2 = a2 + 2ab + b2 2) Binh ph ̀ ương môt hiêu : (a – b) ̣ ̣ 2 = a2 – 2ab + b2 ̣ 3) Hiêu hai binh ph ̀ ương : a2 – b2 = (a + b).(a – b) 4) Lâp pḥ ương môt tông : ̣ ̉ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 5) Lâp ph ̣ ương môt hiêu : (a – b) ̣ ̣ 3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 ̉ 6) Tông hai lâp ph ̣ ương : a3 + b3 = (a + b).(a2 – ab + b2) ̣ 7) Hiêu hai lâp ph ̣ ương : a3 – b3 = ( a – b).(a2 + ab + b2) ́ ̣ ̣ Biêt vân dung no đê đ ́ ̉ ưa ra nhưng hăng đăng th ̃ ̀ ̉ ức đang nh ́ ớ ở lớp 9 (theo thư t ́ ự) viêt d ́ ưới dang co dâu căn. (v ̣ ́ ́ ới a ; b > 0) 4
( ) 2 1) a + 2 ab + b = a+ b ( ) 2 2) a − 2 a + 1 = a −1 ( ) ( ) = ( a + b ) .( ) 2 2 3) a − b = a − b a− b 4) a a + b b = ( a ) + ( b ) = ( a + ( ) 3 3 b ). a − ab + b 5)1 − a a = ( 1) − ( a ) = (1 − a ). ( 1 + ) 3 3 a +a 6) a b + b a = ab ( a + b ) 7) a + a = a ( a + 1) 2.2.2. Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai: Dạng 1: Chứng minh đẳng thức Bài 1: Chưng minh cac đăng th ́ ́ ̉ ức sau: 2 1 a a 1 a a) a 1 (với a 0; a 1) 1 a 1 a ̣ Nhân xet đê bai: ́ ́ ằng đăng th ́ ̀ ̀ Bai toan cho gôm co cac h ̀ ́ ̀ ̉ ức sau : ( a ) = ( 1 − a ) .( 1 + a + a ) 3 1 − a a = 13 − − ( a ) = ( 1 − a ) .( 1 + a ) 2 1 − a = 12 tương tự hăng đăng th ̀ ̉ ưc sô 3; 7 l ́ ́ ơp 8. Ap dung vao bai toan, ta biên đôi vê ́ ́ ̣ ̀ ̀ ́ ́ ̉ ́ trai: ́ Giaỉ 2 �1− a a � �1− a � VT = � �1 − a + a � � �1 − a � � � � � � � ( )( ) 2 �1 − a . 1 + a + a �� 1− a =� + a �� . � � � 1− a ��1 + a . 1 − a � �� ( )( ) 2 ( � 1 � = 1 + 2 a + a .� � 1+ a � � ) ́ ̣ ằng đẳng thức: ( 1 + 2 a + a ) = ( 1 + a ) tương tự 2 ́ ̣ Đên đây ta lai thây xuât hiên h ́ hằng đẳng thức số 1 lơṕ 8. Tiêp ́ tuc̣ biên ́ đôỉ ta được kêt́ qua:̉ 2 1 VT 1 a . 2 1 VP 1 a 5
a+b a 2b 4 b) =a (với a + b > 0 và b 0 ) b2 a 2 + 2ab + b 2 ̣ Nhân xet́: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 hằng đẳng thức sô 1 l ́ ơp 8. Ap dung vao ́ ́ ̣ ̀ ́ ̉ ́ ́ bai toan ta biên đôi vê trai : ̀ ́ Giaỉ a b a 2b 4 a b a 2b 4 VT b2 a 2 2ab b 2 b2 a b 2 2 a b ab 2 a b b a (vì a + b > 0) (đpcm) . . a b2 a b b2 a b Bai 2: ̀ Chưng minh đăng th ́ ̉ ức: � 1 1 � a +1 a −1 (với a > b; a � + �: = voi a > 0 ; a 1) 1 �a − a a −1�a − 2 a + 1 a ̣ Nhân xet́: bai toan đã cho k ̀ ́ ết hợp phân tích đa thức thành nhân tử và dạng hằng đẳng thức thứ 2 lớp 8 ở mẫu thức: a− a = a ( a −1 ) ( ) 2 a − 2 a +1 = a −1 ́ ̣ ́ ̉ ́ ́ Ap dung vao bai toan, ta biên đôi vê trai : ̀ ̀ ́ Giai ̉ 1 1 a 1 1 1 a 1 VT : : 2 a a a 1 a 2 a 1 a a 1 a 1 a 1 2 1 a a 1 1 a a 1 a 1 : 2 . VP a a 1 a 1 a a 1 a 1 a Dạng 2: Rút gọn biểu thức: � a 1 �� 1 2 � Bài 1: Cho biểu thức K = � − �:� + � � a − 1 a − a �� a + 1 a − 1 � a) Rút gọn biểu thức K. 6
b) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2 2 c) Tìm các giá trị của a sao cho K 0 và a ≠ 1 � a 1 �� 1 2 � K = � − �:� + � � a −1 a ( a − 1) �� a + 1 ( a + 1)( a − 1) � a −1 a +1 = : a ( a − 1) ( a + 1)( a − 1) a −1 a −1 = .( a − 1) = a ( a − 1) a b) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2 2 Ta có: a = 3 + 2 2 = (1 + 2 )2 � a = 1 + 2 (dạng hằng đẳng thức thứ nhất) 3 + 2 2 − 1 2(1 + 2) Do đó: K = = =2 1+ 2 1+ 2 c) Tìm các giá trị của a sao cho K
x +2 � x +4 � x +2 2 2 c) Ta có: B( A − 1) = .� � − 1� �= . = . x − 16 � x + 2 � x − 16 x + 2 x − 16 Để B( A − 1) nguyên, x nguyên thì x − 16 là ước của 2, mà Ư(2) = { 1; 2 } Ta có bảng giá trị tương ứng: x − 16 1 −1 2 −2 x 17 15 18 14 Kết hợp ĐK x 0, x 16 , để B( A − 1) nguyên thì x { 14; 15; 17; 18 } Bai 3: ̀ Cho biểu thức � 1 1 � x P = � + �: �x x x − 1 � x 2 x + 1 a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. 1 c) Tìm các giá trị của x để P > . 2 ̣ Nhân xet ̃ ưc, ta thây xuât hiên dang h ́: Sau khi quy đông mâu th ̀ ́ ́ ́ ̣ ̣ ằng đẳng thức sô 2 và 3 l ́ ơp 8. ́ Giải: a) ĐKXĐ : x > 0, x 1 1 1 x b) P : x x x 1 x 2 x 1 ( ) 2 � � x −1 1 x = � + � . � ( � x x −1 x ) ( x −1 � �) x ( x − 1) ( )( ) = x 1 2 1+ x x +1 x −1 = . = x ( x −1) x x. x x x 1 1 c) Với x > 0, x 1 thì > � 2 ( x 1) > x x > 2 . x 2 1 Vậy với x > 2 thì P > . 2 Bai 4: ̉ ̀ Cho biêu thưc: ́ ( ) 2 a+ b − 4 ab a b +b a A= − a− b ab ̀ ̀ ̣ ̉ a) Tim điêu kiên đê A co nghia ́ ̃ b) Khi A co nghia. Ch ́ ̃ ưng to gia tri cua A không phu thuôc vao a ́ ̉ ́ ̣ ̉ ̣ ̣ ̀ ̣ Nhân xet ́: Bai toan cho d ̀ ́ ươi dang hăng đăng th ́ ̣ ̀ ̉ ức và phân tích đa thức thành nhân tử: 8
( ) 2 a 2 ab + b = a b ́ ̣ ́ ời giai: Ap dung vao bai toan ta co l ̀ ̀ ́ ̉ a b + b a = ab ( a + b ) Giai ̉ ( ) 2 a+ b − 4 ab a b +b a A= − a− b ab aĐK ) a: b; > 0 a; b ( ) ( ) 2 a+ b − 4 ab a b + b a a + 2 ab + b − 4 ab ab a+ b b) A = − = − a− b ab a− b ab ( ) 2 a − 2 ab + b a− b A= a− b − ( a+ b = ) a− b − ( a+ b ) A= ( a− b − ) ( ) a + b = a − b − a − b = −2 b ̉ Biêu thưc A không phu thuôc vao a . ́ ̣ ̣ ̀ x x 1 x 1 Bài 5: Cho biểu thức: A x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức A? b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A sau nhận giá trị nguyên? x x 1 x3 1 x 1 x x 1 Nhận xét: ta thấy x 1 x 1 x 1 Áp dụng cho bài toán trên ta có lời giải: Giải: a ) ĐKXĐ : x 0; x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 A x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 2 x 1 x ( x 1) x 1 x 1 x 1 x 1 b) Ta có: A 1 , x 1 x 1 A nhận giá trị nguyên khi x 1 là ước của 1 x 1 1;1 Với: x 1 1 x 4 (TM ) x 1 1 x 0 TM Vậy x 0;4 thì A nhận giá trị nguyên. c 2 c 2 ̀ Cho biểu thức R = Bai 6: (Điều kiện c 0; c 4). 2 c 4 2 c 4 a) Rút gọn biểu thức R. b) Tìm c để R = 2 9
(Trích đề tuyển sinh lớp 10 THPT tỉnh Quảng Bình năm học 2008 2009) ̣ Nhân xet́: bai toan đã cho sau khi quy đ ̀ ́ ồng co hăng đăng th ́ ̀ ̉ ức: a−b = ( a+ b )( a− b ) và (a b) 2 a2 ́ ̣ 2ab b 2 . Ap dung vao bai toan ta ̀ ̀ ́ ́ ời giải: co l Giải: a) Điều kiện c 0; c 4 2 2 c 2 c 2 c 2 c 2 R 2 c 4 2 c 4 2 c 2 c 2 c 2 c 4 c 2 c 4 2(c 4) c 4 2(c 4) 2(c 4) c 4 c 4 b) R = 2 2 c 4 2c 8 c 12(TM ) c 4 Vậy khi R = 2 thì c =12 Bài 7: Cho biểu thức sau: ab b3 ab a3 2 a 2 b B : a b a b a b a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức. b) Rút gọn biểu thức B. c) Với giá trị nào của a,b thì B = 0. (Trích đề tuyển sinh lớp 10 THPT tỉnh Quảng Bình năm học 2009 2010) ̣ Nhân xet́: Bài toán sau khi tìm ĐKXĐ và phân tích đa thức thành nhân tử rồi rút gọn xuất hiện hằng đẳng thức a − b = ( a + b ) ( a − b ) . Ap dung vao bai ́ ̣ ̀ ̀ ́ ời giải: toan ta co l ́ Giải: a) ĐKXĐ của biểu thức: a 0; b 0; a b b ( a b) a ( b a) 2( a b) b) B : ( a b) ( b a) ( a b )( a b) 2 b a b a : ( a b) 2 b a c) B 0 0 b a (KTM) 2 Vậy không có giá trị nào của a,b thì B = 0 x 1 Bài 8: Cho biểu thức Q , với x >0 và x 1. x 1 x x a) Thu gọn biểu thức Q. 1 b) Tìm các giá trị của x R sao cho x > và Q có giá trị nguyên. 9 10
(Trích đề tuyển sinh lớp 10 THPT tỉnh Quảng Bình năm học 2011 2012) ̣ Nhân xet ́: Bai toan đã cho phân tích đa th ̀ ́ ức thành nhân tử: x x x x 1 rồi quy đồng và xuất hiện hằng đẳng thức, rút rọn. Ap dung vao bai toan ta co : ́ ̣ ̀ ̀ ́ ́ Giải: a) Với x >0 và x 1 ta có: x 1 x 1 Q x 1 x x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x x 1 1 b) Ta có: Q 1 x x 1 1 1 1 Vì x nên x 3 1 1 4 9 3 x x Suy ra : 1
̀ ́ ̣ ơn gian, đê t vai vi du đ ̉ ̉ ừ đo hoc sinh năm băt đ ́ ̣ ́ ́ ược cach lam đê ap dung vao bai ́ ̀ ̉ ́ ̣ ̀ ̀ toan ́ ́ ̣ Rut gon : Vi du 1: ́ ̣ a) 4 + 2 3 + 4 − 2 3 ̣ Nhân xet ̉ ́ ̣ ược bai toan nay ta phai viêt cac biêu th ́ : Đê rut gon đ ̀ ́ ̀ ̉ ́ ́ ̉ ức : 4 2 3 dươi dang binh ph ́ ̣ ̀ ương môt tông hoăc môt hiêu đê khai ph ̣ ̉ ̣ ̣ ̣ ̉ ương dâu căn l ́ ơn. Đê ́ ̉ ̀ ược điêu nay ta lam cac b lam đ ̀ ̀ ̀ ́ ước sau : Bươc 1 : ́ ́ ̀ ́ ́ ̉ ước dâu căn nho phai co th Lam thê nao đo biên đôi tr ̀ ́ ̉ ̉ ́ ừa sô 2 ́ ( bai toan đa cho ̀ ́ ̃ 2 3 ) Bươc 2 : ́ ́ ́ ̉ Tim hai sô biêt tông băng 4 va tich băng 3 > hai sô đo la: 3 va 1 ̀ ̀ ̀ ́ ̀ ́ ́ ̀ ̀ Bươc 3 : ́ ̣ ̉ ưng sô v Ta lây căn bâc hai cua t ́ ̀ ́ ừa tim đ ̀ ược ở bước 2, rôi viêt ̀ ́ ́ ươi dang binh ph chung d ́ ̣ ̀ ương môt tông hoăc môt hiêu (Tuy theo dâu công hoăc ̣ ̉ ̣ ̣ ̣ ̀ ́ ̣ ̣ trư cua biêu th ̀ ̉ ̉ ức dưới dâu căn l ́ ớn ) Chu ý ́ : ̉ ̀ ́ ́ ̉ + Đê tim hai sô co tông la S va tich la P ta s ̀ ̀ ́ ̀ ử dung đinh li sau: ̣ ̣ ́ ́ ́ ́ ̉ " Nêu hai sô a và b co tông la ̀ S va tich la P thi hai sô đo la nghiêm cua ̀ ́ ̀ ̀ ́ ́ ̀ ̣ ̉ phương trinh bâc hai: X ̀ ̣ 2 ̣ ̀ ̣ – SX + P = 0 ". Điêu kiên tôn tai hai sô a và b la: ̀ ́ ̀ S 2 − 4 P 0 . ́ ươi dang binh ph + khi viêt d ́ ̣ ̀ ương môt hiêu ta nên viêt hiêu đo co gia tri ̣ ̣ ́ ̣ ́ ́ ́ ̣ dương (sô bi tr ́ ̣ ừ lơn h ́ ơn sô tŕ ừ ) đê khi khai ph ̉ ương, khoi phai dung dâu gia tri ̉ ̉ ̀ ́ ́ ̣ ̣ tuyêt đôi. ́ ́ ̣ ́ ươc trên vao vi du 1, ta co l Ap dung cac b ́ ̀ ́ ̣ ́ ời giai sau: ̉ Giaỉ 4 + 2 3 + 4 − 2 3 = 3 + 2 3.1 + 1 + 3 − 2 3.1 + 1 ( 3) ( 3) ( ) ( ) 2 2 2 2 = + 2 3 + 12 + − 2 3 + 12 = 3 +1 + 3 −1 = 3 +1+ 3 −1 = 2 3 Vi du 2 : ́ ̣ Chưng minh đăng th ́ ̉ ức 2+ 3 + 2− 3 = 6 ̣ Nhân xet ́: Trươc dâu căn nho cua ca hai biêu th ́ ́ ̉ ̉ ̉ ̉ ưc d ́ ươi dâu căn l ́ ́ ớn co th ́ ưà sô là 1 ́ ̀ ̣ ̉ ́ ̉ ( 3 ) vi vây ta phai biên đôichung nh ́ ư sau: Nhân cả tử và mẫu cho 2 Bươc 1 : ́ 2+ 3 + 2− 3 = ( 2 2+ 3 ) + 2( 2 − 3) = 4+2 3 + 4−2 3 2 2 2 2 Bươc 2 : ́ ̀ ́ ́ ̉ Tim hai sô biêt tông băng 4, tich băng 3 > hai sô đo la 3 va 1 ̀ ́ ̀ ́ ́ ̀ ̀ 12
Bươc 3 : ́ ̣ ̉ ưng sô v Lây căn bâc hai cua t ́ ̀ ́ ừa tim đ ̀ ược rôi viêt chung d ̀ ́ ́ ươí ̣ dang binh ph ̀ ương môt tông hoăc môt hiêu (Tuy theo dâu công hoăc tr ̣ ̉ ̣ ̣ ̣ ̀ ́ ̣ ̣ ừ cua biêu ̉ ̉ thưc d ́ ươi dâu căn l ́ ́ ớn ) Giai ̉ VT = 2 + 3 + 2 − 3 = ( 2 2+ 3 ) + 2( 2 − 3) = 3 + 2 3.1 + 1 + 3 − 2 3.1 + 1 2 2 2 2 ( ) ( ) =( ) +( ) =( ) ( ) =2 2 2 3 +1 3 −1 3 +1 3 −1 3 +1 + 3 −1 3 VT = + = 6 = VP 2 2 2 2 2 2 ́ ̣ ́ Hai vi du lây phia trên la hai tr ́ ̀ ương h ̀ ợp ma chung ta th ̀ ́ ương găp. Tuy theo ̀ ̣ ̀ tưng loai bai, ta co thê giai băng nhiêu cach khac nhau, nh ̀ ̣ ̀ ́ ̉ ̉ ̀ ̀ ́ ́ ưng cơ ban la biêt vân ̉ ̀ ́ ̣ theo ba bươc ́ ở trên la ta co thê giai quyêt đ ̀ ́ ̉ ̉ ́ ược rât nhiêu bai dang nh ́ ̀ ̀ ̣ ư vây. Sau ̣ ̀ ̣ ́ ̀ ̣ đây la môt sô bai tâp trong sach bài t́ ập va môt sô bai trong cac ki thi tuyên vao ̀ ̣ ́ ̀ ́ ̀ ̉ ̀ lơp 10 ma tôi chi giai d ́ ̀ ̉ ̉ ựa vao ba b ̀ ươc đa phân tich ́ ̃ ́ ở trên đê giai, không phai lam ̉ ̉ ̉ ̀ chi tiêt theo t ́ ưng muc nh ̀ ̣ ư ở trên. Bai 1 : ̀ ́ ̣ Rut gon biêu th̉ ức 11 + 6 2 − 3 + 2 = 11 + 2.3 2 − 3 + 2 = 9 + 2 9.2 + 2 − 3 + 2 ( ) 2 = 9+ 2 −3+ 2 = 3+ 2 −3+ 2 = 2 2 Bai 2: ́ ̣ ̉ ̀ Rut gon biêu thức: 15 − 6 6 + 33 − 12 6 = 15 − 2.3 6 + 33 − 2.6 6 ( ) 2 = 9 − 2. 9.6 + 6 + 33 − 2. 36.6 = 9− 6 + 33 − 2. 216 ( 3− 6) ( 3− 6) ( ) 2 2 2 = + 24 − 2. 24.9 + 9 = + 24 − 9 = 3 − 6 + 24 − 3 = − 6 + 2 6 = 6 2.2.4. Dùng phương pháp thêm bớt để có dạng hằng đẳng thức để giải một số bài toán rút gọn nâng cao ̀ Chưng minh : Bai 1: ́ 4 nếu 2 a 6 P a 4 a 2 2 a 4 a 2 2 2 a 2 nếu a > 6 ̣ Nhân xet ̀ ương tự như bai trên ta co l ́ : Lam t ̀ ́ ời giai sau : ̉ 13
Giai ̉ P a 4 a 2 2 a 4 a 2 2 a 2 2.2 a 2 4 a 2 2.2 a 2 4 2 2 a 2 2.2 a 2 22 a 2 2.2 a 2 22 2 2 a 2 2 a 2 2 a 2 2 a 2 2 Nếu 2 a 6 , ta có: P a 2 2 2 a 2 4 Nếu a > 6 , ta có P a 2 2 a 2 2 2 a 2 ̀ ̀ ̣ * Con rât nhiêu bai tâp ma ta co thê s ̀ ́ ̀ ́ ̉ ử dung hăng đăng th ̣ ̀ ̉ ức đê rut gon biêu ̉ ́ ̣ ̉ thưc co ch ́ ́ ưa căn th ́ ưc bâc hai hoăc th ́ ̣ ̣ ực hiên phep tinh căn th ̣ ́ ́ ức bâc hai. Nh ̣ ững ̀ ̣ bai tâp tôi đưa ra ở trên đa d ̃ ược chon l ̣ ọc, đê cho cac em hoc sinh nhân thây đ ̉ ́ ̣ ̣ ́ ược ̣ ̉ tâm quan trong cua hăng đăng th ̀ ̀ ̉ ưc đang nh ́ ́ ơ, qua đo cac em co thê biêt cach hoc ́ ́ ́ ́ ̉ ́ ́ ̣ ̀ ́ ́ ̣ ̣ ̀ ̣ ̉ ̀ ̣ va cach ap dung vao viêc ren luyên giai bai tâp rut gon biêu th ̀ ́ ̣ ̉ ức co ch ́ ứa căn thức ̣ ̀ ực hiên phep tinh co dâu căn. Muc đich cua nôi dung nay la nhăm gop bâc hai va th ̣ ́ ́ ́ ́ ̣ ́ ̉ ̣ ̀ ̀ ̀ ́ phân nâng cao chât l ̀ ́ ượng day hoc trong nha tr ̣ ̣ ̀ ương ma hiên nay co chiêu h ̀ ̀ ̣ ́ ̀ ướng ́ ởi vi môt sô em do ch đi xuông b ̀ ̣ ́ ưa năm băt đ ́ ́ ược kiên th ́ ức cơ ban va ch ̉ ̀ ưa biêt́ ̣ ̣ ́ ức vao lam bai tâp. cach vân dung kiên th ́ ̀ ̀ ̀ ̣ 2.2.5. Sử dụng hằng đẳng thức để giải phương trình có chứa căn thức bậc hai a. Các ví dụ: a) x 1 1 b) 3x 7 x 1 2 c) x x 3 x2 x 1 =3 x 3 x −1 3 x2 − 1 d) − =4 3 x2 − 1 3 x +1 b. Phương pháp chung: Để giải phương trình chứa dấu căn ta tìm cách khử dấu căn . Cụ thể : Tìm ĐKXĐ của phương trình . Sử dụng HĐTđể biến đổi đưa phương trình về dạng đã học. Giải phương trình vừa tìm được . So sánh kết quả với ĐKXĐ rồi kết luận nghiệm . c. Phương pháp nâng lên luỹ thừa (Bình phương hoặc lập phương hai vế phương trình): 14
* Giải phương trình dạng: f ( x) g ( x) Bài 1: Giải phương trình : x 1 x 1 (1) ĐKXĐ : x+1 0 x 1 Với x 1 thì vế trái của phương trình không âm. Để phương trình có nghiệm thì x1 0 x 1.Khi đó phương trình (1) tương đương với phương trình : x 0 x+1 = (x1)2 x2 3x= 0 x(x3) = 0 x 3 Chỉ có nghiệm x =3 thoả mãn điều kiện x 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =3 . Bài 2: Giải phương trình: x x 1 13 x 1 13 x (1) x 1 0 x 1 ĐKXĐ : 1 x 13 (2) 13 x 0 x 13 Bình phương hai vế của (1) ta được : x 1 (13 x) 2 x2 27 x 170 0 Phương trình này có nghiệm x1 10 và x 2 17 . Chỉ có x1 10 thoã mãn (2) . Vậy nghiệm của phương trình là x 10 * Giải phương trình dạng: f ( x) h( x ) g ( x) Bài 3: Giải phương trình: 1 x 2 x 1 1 x 1 2 x (1) 1 x 0 x 1 ĐKXĐ: 2 x 1 2 x 0 x 2 Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được: 1 x 1 2 2 x 2 x x 2 x 1 0 1 5 Phương trình này có nghiệm x thoã mãn (2) 2 1 5 Vậy nghiệm của phương trình là x 2 Bài 4: Giải phương trình: 3 x 1 3 7 x 2 (1) Lập phương trình hai vế của (1) ta được: x 1 7 x 33 ( x 1)(7 x). 2 8 (x1) (7 x) = 0 x = 1 x = 7 (đều thoả mãn (1). Vậy x 1; x 7 là nghiệm của phương trình . * Giải phương trình dạng: f ( x) h( x ) g (x) Bài 5: Giải phương trình x 1 x 7 = 12 x 15
x 1 = 12 x + x 7 (1) x 1 0 x 1 ĐKXĐ: 12 x 0 x 12 7 x 12 x 7 0 x 7 Bình phương hai vế ta được: x 4 = 2 (12 x)( x 7) (3) Ta thấy hai vế của phương trình (3) đều thoã mãn (2) vì vậy bình phương 2 vế của phương trình (3) ta được : (x 4)2 = 4( x2 + 19x 84) 5x2 84x + 352 = 0 44 Phương trình này có 2 nghiệm x1 = và x2 = 8 đều thoả mãn (2) . 5 44 Vậy x1 = và x2 = 8 là nghiệm của phương trình. 5 * Giải phương trình dạng: f ( x) h( x ) g (x) + q (x) Bài 6: Giải phương trình : x 1 + x 10 = x 2 + x 5 (1) x 1 0 x 1 x 10 0 x 10 ĐKXĐ : x ≥ 1 (2) x 2 0 x 2 x 5 0 x 5 Bình phương hai vế của (1) ta được : x+1 + x+ 10 + 2 ( x 1)( x 10) = x+2 + x+ 5 + 2 ( x 2)( x 5) 2+ ( x 1)( x 10) = ( x 2)( x 5) (3) Với x 1 thì hai vế của (3) đều dương nên bình phương hai vế của (3) ta được ( x 1)( x 10) = 1 x Điều kiện ở đây là x 1 (4) Ta chỉ việc kết hợp giữa (2) và (4) x 1 x = 1 là nghiệm duy nhầt của phương trình x 1 (1). Nhận xét: Phương pháp nâng lên luỹ thừa được sử dụng vào giải một số dạng phương trình vô tỉ quen thuộc, song trong quá trình giảng dạy cần chú ý khi nâng lên luỹ thừa bậc chẵn Với hai số dương a,b nếu a = b thì a2n = b2n và ngược lại (n= 1, 2, 3.....) 16
Từ đó mà chú ý điều kiện tồn tại của căn, điều kiện ở cả hai vế của phương trình đó là những vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan khi sử dụng phương pháp này. Ngoài ra còn phải biết phối hợp vận dụng phương pháp này với cùng nhiều phương pháp khác lại với nhau . * KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC : Qua thời gian nghiên cứu và áp dụng, bản thân tôi nhận thấy đề tài này có tác dụng rất lớn trong quá trình giảng dạy môn toán lớp 9, tôi đã vận dụng từng phần sau mỗi tiết học lý thuyết và tiết luyện tập sử dụng hằng đẳng thức rút gọn biểu thức hay giải phương trình có chứa căn thức bậc hai để học sinh được củng cố và khắc sâu thêm, đồng thời rèn luyện cho các em kỹ năng trình bày khi gặp các dạng này. Trong thời gian ôn tập, ôn thi các em được hệ thống lại một cách hoàn chỉnh theo các dạng trên. Vì thế các em không còn lúng túng khi giải các dạng bài tập này mà còn rất hứng thú. Kết quả bài kiểm tra số 2: (Sau khi triển khai kinh nghiệm.) Giỏi Khá TB Yếu kém Lớp Sĩ số SL % SL % SL % SL % 1 9 35 6 17,2 12 34,3 13 37,1 4 11,4 92 34 6 17,6 11 32,4 14 41,2 3 8,8 Để đạt được kết quả và chất lượng học sịnh được nâng lên rõ rệt là do học sinh đã hiểu thấu đáo vấn đề ở những góc độ áp dụng từng hằng đẳng thức khác nhau. Đặc biệt là ở học sinh đã hình thành được kỹ năng giải bài tập, biết phân tích nhận dạng bài toán. Tuy nhiên việc áp dụng từng phần trong nội dung của đề tài tuỳ thuộc vào đối tượng học sinh. Đối với các lớp đại trà tôi chỉ rèn luyện cho các em dạng bài áp dụng những hằng đẳng thức đơn giản từ hằng đẳng thức thứ 1 đến hằng đẳng thức thứ 3. Đối với học sinh khá giỏi thì áp dụng tất cả hằng đẳng thức sau đó mới đưa ra các dạng bài tập từ dễ đến khó giúp học sinh hình thành kỹ năng giải dạng bài tập này. 17
3. PHẦN KẾT LUẬN: 3.1. Ý NGHĨA CỦA ĐỀ TÀI: Trên đây là một số phương pháp để rèn luyện kĩ năng giải một số dạng toán chứa căn thức bậc hai mà tôi đã áp dụng giảng dạy trên thực tế hiện nay ở trường cho học sinh đại trà cũng như học sinh khá giỏi và tôi đã thu được kết quả như sau: Học sinh tiếp thu bài nhanh dễ hiểu hơn, hứng thú, tích cực trong học tập và ngày càng yêu thích học chương có căn thức bậc hai từ đó thích học môn Toán. Học sinh phân loại được các dạng bài tập và từ đó tìm được các hằng đẳng thức để áp dụng cho từng dạng chứ không bị nhầm lẫn giữa các hằng đẳng thức với nhau. Học sinh tránh được những sai sót cơ bản và có kĩ năng vận dụng thành thạo các hằng đẳng thức để giải toán từ đó phát huy được tính tích cực của học sinh. Bên cạnh đó để đạt được kết quả như mong muốn đòi hỏi giáo viên cần phải thường xuyên trau dồi kiến thức nâng cao kỹ năng giải toán, kỹ năng phân loại bài tập cho học sinh. Trong quá trình giảng dạy trên lớp bên cạnh giảng dạy những kiến thức cơ bản trong SGK người giáo viên cần tìm tòi đưa thêm các kiến thức, kỹ năng cho học sinh để từ đó nâng cao kiến thức cho học sinh khá giỏi. Hướng dẫn học sinh đọc sách báo, học hỏi mở rộng kiến thức trong thực tế . Người giáo viên không ngừng bồi dưỡng nâng cao kiến thức để làm chủ kiến thức tự tin trước bài giảng và học sinh . Kiến thức của học sinh chỉ bền vững khi kĩ năng được thiết lập mà để hình thành những kĩ năng cho học sinh thì không có gì khác ngoài quá trình rèn luyện. Bồi dưỡng thường xuyên cho các em. Với phạm vi nghiên cứu của đề tài chỉ là một mảng kiến thức tương đối hẹp so với toàn bộ chương trình hoá học nhưng tôi hi vọng nó sẽ giúp ích cho các em học sinh và các thầy cô giáo trong việc giảng dạy phần kiến thức này, giúp các em và thầy cô có cách nhìn tổng quát hơn về dạng toán này và là tài liệu hữu ích cho việc ôn luyện thi vào các trường THPT. Các bài tập trong đề tài ở mức độ từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, giúp các em rèn luyện được 18
kỹ năng không chỉ giải được dạng bài tập phần này mà còn rèn được một số kỹ năng khác như kỹ năng tính toán, phân dạng bài tập để giải. Qua giảng dạy, nghiên cứu tôi thấy phần kiến thức này, học sinh thường lúng túng khi gặp phải. Do vậy, khi các em được học và rèn kỹ năng tôi tin chắc rằng những lúng túng đó sẽ không còn mà thay vào đó là sự tự tin và yêu thích môn học. 3.2. KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT: * Về phía học sinh: Học sinh phải thực sự cố gắng, có ý thức tự học, tự rèn luyện, kiên trì và chịu khó trong quá trình học tập. Học sinh phải nắm vững lý thuyết, có kỹ năng vận dụng tốt lý thuyết vào giải bài tập. Phải có đầy đủ các phương tiện học tập, đồ dùng học tập; giành nhiều thời gian cho việc làm bài tập ở nhà thường xuyên trao đổi, thảo luận cùng bạn bè để nâng cao kiến thức cho bản thân. * Về phía giáo viên: Giáo viên phải không ngừng học hỏi, nhiệt tình trong giảng dạy, quan tâm đến chất lượng của từng học sinh, nắm vững được đặc điểm tâm sinh lý của từng đối tượng học sinh và phải hiểu được khả năng tiếp thu của các em, từ đó tìm ra phương pháp dạy học hợp lý theo sát từng đối tượng học sinh. Giáo viên cần linh hoạt trong khi dạy các tiết học, luyện tập, ôn tập đó là cho các em phải nắm vững những hằng đẳng thức đã học đồng thời rèn luyện cho học sinh kĩ năng vận dụng từng hằng đẳng thức vào từng nội dung, từng phần của bài toán. Trong quá trình giảng dạy giáo viên cần phải nghiêm khắc, chỉ ra những điểm yếu mà học sinh chưa vận dụng được, đồng thời động viên kịp thời khi các em làm bài tập tốt nhằm gây hứng thú học tập cho các em. Theo dõi kết quả tiến bộ của các em qua học trên lớp, qua các bài kiểm tra. Giáo viên cần thường xuyên trao đổi với đồng nghiệp để học hỏi và rút ra kinh nghiệm cho bản thân, vận dụng phương pháp dạy học phù hợp với nhận thức của học sinh, không ngừng đổi mới phương pháp giảng dạy để nâng cao chất lượng dạy và học. 19
Đối với học sinh trung bình và yếu giáo viên cần dành nhiều thời gian để bố trí các buổi phụ đạo, kèm cặp những lúc rảnh, để các em có thể tiếp cận các kiến thức đã bị hỏng. * Về phía tổ chuyên môn: Thông qua các tiết dự giờ, thao giảng, thảo luận chuyên đề để góp ý, tư vấn chuyên môn. Giúp giáo viên học hỏi được kinh nghiệm cũng như phương pháp rồi vận dụng vào công tác giảng dạy của mình. Ngoài ra cần nhân rộng phong trào nghiên cứu khoa học, coi việc viết sáng kiến kinh nghiệm không chỉ là trách nhiệm mà còn là để tự mình nâng cao chuyên môn nghiệp vụ. * Về phía nhà trường: Nêu cao tinh thần việc tự học, viết sáng kiến kinh nghiệm của mỗi cá nhân một cách thường xuyên. Tăng cường công tác tập huấn nội bộ, trao đổi kinh nghiệm trong giảng dạy. Trên đây là kinh nghiệm được rút ra từ trong thực tế giảng dạy bộ môn Toán 9 theo suy nghĩ và hiểu biết của cá nhân xin được trình bày lại. Tuy nhiên, trong quá trình thực hiện không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự góp ý chân thành từ hội đồng khoa học các cấp, các đồng chí đồng nghiệp để sáng kiến hay hơn, phong phú đa dạng hơn và hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! 20