intTypePromotion=1
ADSENSE

Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Rèn luyện kĩ năng sử dụng hằng đẳng thức để giải một số dạng toán có chứa căn thức bậc hai

Chia sẻ: Khánh Thành | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:20

23
lượt xem
2
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm là xây dựng một cách tổng quát, đầy đủ, chi tiết cho tất cả các trường hợp về áp dụng hằng đẳng thức để giải bài tập rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, thực hiện phép tính và giải phương trình chứa căn bậc hai. Có hệ thống bài tập áp dụng để học sinh hiểu đầy đủ từ dể đến khó, các trường hợp áp dụng hằng đẳng thức khác nhau để làm rỏ các dạng toán này, đồng thời có những bài tập nâng cao để học sinh phát triển tư duy sáng tạo của bản thân. Xây dựng cho học sinh niềm tin trong học tập, chống tư tưởng ngại khó, sợ toán, giúp các em hăng say học tập, hứng thú tìm tòi cái hay cái mới trong toán học

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Rèn luyện kĩ năng sử dụng hằng đẳng thức để giải một số dạng toán có chứa căn thức bậc hai

  1. 1. PHẦN MỞ ĐẦU 1.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của  học sinh, trong quá trình giảng dạy mỗi giáo viên phải biết chắt lọc những nội   dung kiến thức cơ bản một cách rõ ràng, ngắn gọn và đầy đủ, phải đi từ dễ đến  khó, từ đơn giản đến phức tạp, từ  cụ thể đến trừu tượng giúp học sinh có thể  nắm được nội dung chính trong bài học, đồng thời có thể  gợi mở, đặt vấn đề  để học sinh phát triển tư duy cũng như kĩ năng phân tích, trình bày bài giải một  cách chặt chẽ, logíc, có hệ  thống. Trong những năm gần đây, việc đổi mới   phương pháp dạy học là vấn đề cấp bách và cần thiết, nhằm hình thành cho học  sinh thói quen tư duy tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và  giải quyết vấn đề, rèn luyện cho các em năng lực vận dụng kiến thức vào thực   tiễn. Chính vì vậy, mỗi giáo viên đứng lớp phải có một phương pháp truyền đạt   kiến thức phù hợp, có khả  năng hệ  thống, phân loại và chọn lựa các dạng bài   tập phong phú, đáp  ứng được yêu cầu tối thiểu của người học, tác động đến  tình cảm, đem lại niềm tin và sự hứng thú trong học tập của học sinh. Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, cũng như qua việc theo dõi kết quả các  bài kiểm tra, bài thi của học sinh, tôi nhận thấy vẫn còn nhiều học sinh mắc   phải các sai lầm không đáng có khi giải toán chứa căn thức bậc hai còn nhiều sai   sót, rập khuôn máy móc hoặc chưa làm được do chưa nắm chắc các phương   pháp giải, vận dụng kỹ năng biến đổi chưa linh hoạt vào từng dạng toán.  Trong khi đó,  ở  kỳ  thi học kỳ  1 và các kỳ  thi cuối cấp. Nôi dung đê thi ̣ ̀   thương r ̀ ơi vao kiên th ̀ ́ ức cơ  ban không thê thiêu đo la ch ̉ ̉ ́ ́ ̀ ương căn thức bâc hai ̣   cho dươi dang rut gon biêu th ́ ̣ ́ ̣ ̉ ức, thực hiên phép tinh căn ho ̣ ́ ặc giải phương trình.        Để tháo gỡ  và giải quyết những khó khăn, vướng mắc trong học tập   đồng thời nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, tôi nhận thấy việc rèn  luyện kỹ năng giải toán có chứa căn thức bậc hai cho học sinh là rất cần thiết.  Với các lí do trên, tôi xin được trình bày một số  kinh nghiệm được rút ra trong   quá trình giảng dạy với tên đề  tài:  “Rèn luyện kĩ năng sử  dụng hằng đẳng   thức để giải một số  dạng toán có chứa căn thức bậc hai”. Đề  tài này nhằm  giúp học sinh lớp 9, cac hoc sinh kha, gioi môn toan va đ ́ ̣ ́ ̉ ́ ̀ ược thực hiên trong cac ̣ ́  giờ luyên tâp, ôn tâp, ôn thi vao l ̣ ̣ ̣ ̀ ơp 10 vê giai bai tâp rut gon biêu th ́ ̀ ̉ ̀ ̣ ́ ̣ ̉ ức co ch ́ ứa  căn thưc, th ́ ực hiên phep tinh và gi ̣ ́ ́ ải phương trình chứa căn bậc hai. 1.2. ĐIỂM MỚI CỦA ĐỀ TÀI:  Đề  tài này đã có một số  sách tham khảo cho học sinh THCS   nhưng chưa  tổng hợp được và chưa vận trong nhiều dạng toán, ứng dụng các bài toán khác  nhau.  1
  2. ­ Ở đề tài này tôi đã xây dựng một cách tổng quát, đầy đủ, chi tiết cho tất   cả các trường hợp vê áp d ̀ ụng hằng đẳng thức để  giai bai tâp rut gon biêu th ̉ ̀ ̣ ́ ̣ ̉ ức   ́ ưa căn th co ch ́ ưc b ́ ậc hai, thực hiên phep tinh và gi ̣ ́ ́ ải phương trình chứa căn bậc   hai. ­  Có hệ  thống bài tập áp dụng để  HS hiểu đầy đủ  từ  dể  đến khó, các  trường hợp áp dụng hằng đẳng thức khác nhau để  làm rỏ  các dạng toán này,  đồng thời có những bài tập nâng cao để học sinh phát triển tư duy sáng tạo của   bản thân. ­ Xây dựng cho học sinh niềm tin trong học tập, ch ống t ư tưởng ng ại khó,  sợ toán, giúp các em hăng say học tập, hứng thú tìm tòi cái hay cái mới trong toán   học.  Đề tài cũng là một tài liệu tham khảo cho các giáo viên trong quá trình đọc  và nghiên cứu tài liệu, cũng như  giảng dạy. Ngoài mục đích trên đề  tài có thể  coi như  một giải pháp góp phần thực hiện đổi mới phương pháp dạy học theo  hướng phát huy năng lực của học sinh và đổi mới kiểm tra đánh giá  ở  trường   THCS. 1.3. PHẠM VI ÁP DỤNG CỦA ĐỀ TÀI: Đề tài được áp dụng để giảng dạy cho hầu hết các đối tượng học sinh học  lớp 9, cho đội tuyển học sinh giỏi cấp trường, cấp huyện bậc THCS và là tài   liệu cho học sinh học lên THPT vừa là tài liệu tham khảo cho giáo viên tham gia   giảng dạy môn toán THCS và bồi dưỡng HSG toán 9. Đề  tài chỉ  nghiên cứu đến dạng bài toán về  sử  dụng hằng đẳng thức để  ̉ ̀ ̣ giai bai tâp rut ̣ ̉ ́  gon biêu thưc co ch ́ ́ ưa căn th ́ ức, thực hiên phep tinh và gi ̣ ́ ́ ải   phương trình chứa căn bậc hai. 2
  3. 2. PHẦN NỘI DUNG  2.1.THỰC TRẠNG KHI CHƯA ÁP DỤNG ĐỀ TÀI:  2.1.1. Số liệu thống kê:  Để  thực hiện đề  tài tôi tiến hành khảo sát chất lượng học sinh dạng bài  tập này trước khi triển khai kinh nghiệm thu được như sau: Kết quả bài kiểm tra số 1 ( Trước khi triển khai kinh nghiệm.) Giỏi Khá TB Yếu – kém Lớp Sĩ số SL % SL % SL % SL % 91 35 4 11,4 8 22,9 12 34,3 11 31,4 92 34 4 11,7 7 20,6 13 38,3 10 29,4 2.1.2. Tình hình trước khi thực hiện các giải pháp của đề tài:  Đối với học sinh trường THCS nơi tôi đang công tác phần lớn các em  được  học đầy đủ các kiến thức cơ bản, có phần mở rộng và nâng cao nhiều. Song khi   gặp một bài toán, học sinh vẫn bị lúng túng trong định hướng phương pháp giải,  chưa biết vận dụng hoặc vận dụng chưa linh hoạt, sáng tạo các kiến thức cơ  bản đã học. Nhiều học sinh chỉ  biết vận dụng từng bước giải, từng phần của   quy tắc, công thức mà thầy, cô đã hướng dẫn.  Điều này hạn chế  rất lớn đến  việc phát huy tính tích cực và độc lập nhận thức khi giải toán của học sinh, dẫn   đến các em không ham học toán và không tự tin khi giải toán, lúng túng trong lí  luận và trình bày. 2.1.3. Nguyên nhân dẫn đến tình hình trên: * Về giáo viên: ­ Việc truyền tải kiến thức của căn thức bậc hai cho học sinh đang còn hạn  chế. 3
  4. ­ Chưa hình thành được cho học sinh kỹ năng giải, mô hình giải, cách giải  ứng với từng trường hợp, từng bài tập vận dụng các hằng đẳng thức đã học  dưới dạng biểu thức chứa dấu căn ở lớp 9. ­ Kỹ năng rèn luyện cho học sinh tư duy, định hướng trước một bài toán và  khả năng phân tích đề bài chưa được chú trọng. * Về học sinh:   ­ Động cơ thái độ học tập của nhiều học sinh chưa thật tốt. Học sinh vẫn   quen với lối học thụ động, chưa sẵn sàng tham gia một cách tích cực, chủ động  vào các nội dung học tập. ­ Chưa nắm vững các hằng đẳng thức đã học  ở  lớp 8 nên không chuẩn bị  tốt tâm thế cho giờ học Toán.  ­ Kỹ năng vận dụng các hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa   dấu căn thức ở lớp 9 chưa thành thạo.  ­ Học sinh chưa hình thành được mô hình giải toán, các bước để  giải một  bài toán. ­ Kỹ năng phân tích đề bài và định hướng được cách làm của một bài, một  dạng của học sinh còn khiêm tốn. 2.2. CÁC GIẢI PHÁP: 2.2.1. Cho học sinh nắm vững bảy hằng đẳng thức đã học ở lớp 8 ̉ ̣ Đê khăc phuc vân đê đa nêu  ́ ́ ̀ ̃ ở trên, ta cân cho hoc sinh n ̀ ̣ ắm chắc bay hăng̉ ̀   ̉ đăng th ưc đa hoc  ́ ̃ ̣ ở lơp 8. ́ 1) Binh ph ̀ ương môt tông :      (a + b) ̣ ̉ 2  = a2 + 2ab + b2 2) Binh ph ̀ ương môt hiêu :      (a – b) ̣ ̣ 2   = a2 – 2ab + b2 ̣ 3) Hiêu hai binh ph ̀ ương :         a2 – b2 = (a + b).(a – b) 4) Lâp pḥ ương môt tông : ̣ ̉        (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 5) Lâp ph ̣ ương môt hiêu :        (a – b) ̣ ̣ 3  = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 ̉ 6) Tông hai lâp ph ̣ ương :         a3 + b3 = (a + b).(a2 – ab + b2) ̣ 7) Hiêu hai lâp ph ̣ ương :         a3 – b3 = ( a – b).(a2 + ab + b2) ́ ̣ ̣ Biêt vân dung no đê đ ́ ̉ ưa ra nhưng hăng đăng th ̃ ̀ ̉ ức đang nh ́ ớ  ở  lớp 9 (theo  thư t ́ ự) viêt d ́ ưới dang co dâu căn.  (v ̣ ́ ́ ới a ; b > 0) 4
  5. ( ) 2 1) a + 2 ab + b = a+ b ( ) 2 2) a − 2 a + 1 = a −1 ( ) ( ) = ( a + b ) .( ) 2 2 3) a − b = a − b a− b 4) a a + b b = ( a ) + ( b ) = ( a + ( ) 3 3 b ). a − ab + b 5)1 − a a = ( 1) − ( a ) = (1 − a ). ( 1 + ) 3 3 a +a 6) a b + b a = ab ( a + b ) 7) a + a = a ( a + 1) 2.2.2. Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc   hai: Dạng 1: Chứng minh đẳng thức Bài 1: Chưng minh cac đăng th ́ ́ ̉ ức sau: 2 1 a a 1 a a) a 1   (với a 0; a 1) 1 a 1 a ̣ Nhân xet đê bai: ́ ́ ằng đăng th ́ ̀ ̀  Bai toan cho gôm co cac h ̀ ́ ̀ ̉ ức sau :  ( a ) = ( 1 − a ) .( 1 + a + a ) 3 1 − a a = 13 −   − ( a ) = ( 1 − a ) .( 1 + a ) 2 1 − a = 12 tương tự hăng đăng th ̀ ̉ ưc sô 3; 7 l ́ ́ ơp 8. Ap dung vao bai toan, ta biên đôi vê ́ ́ ̣ ̀ ̀ ́ ́ ̉ ́  trai: ́ Giaỉ 2 �1− a a � �1− a � VT = � �1 − a + a � � �1 − a � � � � � � � ( )( ) 2 �1 − a . 1 + a + a �� � 1− a =� + a �� . � � � 1− a ��1 + a . 1 − a � �� � ( )( ) 2 ( � 1 � = 1 + 2 a + a .� � 1+ a � � ) ́ ̣ ằng đẳng thức: ( 1 + 2 a + a ) = ( 1 + a ) tương tự  2 ́ ̣ Đên đây ta lai thây xuât hiên h ́ hằng   đẳng   thức   số  1   lơṕ   8.   Tiêp ́   tuc̣   biên ́   đôỉ   ta   được   kêt́   qua:̉   2 1 VT 1 a . 2 1 VP 1 a 5
  6. a+b a 2b 4 b) =a (với a + b > 0 và  b 0 ) b2 a 2 + 2ab + b 2 ̣ Nhân xet́: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 hằng đẳng thức sô 1 l ́ ơp 8. Ap dung vao ́ ́ ̣ ̀  ́ ̉ ́ ́ bai toan ta biên đôi vê trai :  ̀ ́ Giaỉ a b a 2b 4 a b a 2b 4 VT b2 a 2 2ab b 2 b2 a b 2 2 a b ab 2 a b b a   (vì a + b > 0)  (đpcm)  . . a b2 a b b2 a b Bai 2:  ̀ Chưng minh đăng th ́ ̉ ức: � 1 1 � a +1 a −1 (với a > b; a � + �: = voi a > 0 ; a 1) 1 �a − a a −1�a − 2 a + 1 a ̣ Nhân xet́: bai toan đã cho k ̀ ́ ết hợp phân tích đa thức thành nhân tử  và dạng   hằng đẳng thức thứ 2 lớp 8 ở mẫu thức: a− a = a ( a −1 )                                 ( ) 2 a − 2 a +1 = a −1 ́ ̣ ́ ̉ ́ ́ Ap dung vao bai toan, ta biên đôi vê trai : ̀ ̀ ́ Giai  ̉ 1 1 a 1 1 1 a 1 VT : : 2 a a a 1 a 2 a 1 a a 1 a 1 a 1 2 1 a a 1 1 a a 1 a 1 : 2 . VP a a 1 a 1 a a 1 a 1 a Dạng 2: Rút gọn biểu thức: � a 1 �� 1 2 � Bài 1: Cho biểu thức  K = � − �:� + � � a − 1 a − a �� a + 1 a − 1 � a) Rút gọn biểu thức K. 6
  7. b) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2 2 c) Tìm các giá trị của a sao cho K  0 và a ≠ 1     � a 1 �� 1 2 �      K = � − �:� + � � a −1 a ( a − 1) �� a + 1 ( a + 1)( a − 1) � a −1 a +1           = : a ( a − 1) ( a + 1)( a − 1) a −1 a −1           = .( a − 1) = a ( a − 1) a b) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2 2     Ta có: a = 3 + 2 2  = (1 +  2 )2  � a = 1 + 2   (dạng hằng đẳng thức thứ nhất) 3 + 2 2 − 1 2(1 + 2)       Do đó:    K = = =2 1+ 2 1+ 2 c) Tìm các giá trị của a sao cho K 
  8. x +2 � x +4 � x +2 2 2 c)  Ta có:   B( A − 1) = .� � − 1� �= . = . x − 16 � x + 2 � x − 16 x + 2 x − 16 Để  B( A − 1)  nguyên, x nguyên  thì  x − 16  là ước của 2, mà Ư(2) = { 1; 2 } Ta có bảng giá trị tương ứng: x − 16 1 −1 2 −2 x 17 15 18 14 Kết hợp ĐK  x 0, x 16 , để  B( A − 1)  nguyên thì  x { 14;  15;  17;  18 } Bai 3:  ̀ Cho biểu thức  � 1 1 � x P =  � + �: �x ­  x x − 1 � x ­ 2 x + 1 a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. 1 c) Tìm các giá trị của x để P >  . 2 ̣ Nhân xet ̃ ưc, ta thây xuât hiên dang h ́: Sau khi quy đông mâu th ̀ ́ ́ ́ ̣ ̣ ằng đẳng  thức sô 2 và 3 l ́ ơp 8.  ́ Giải: a) ĐKXĐ : x > 0, x  1 1 1 x b) P : x x x 1 x 2 x 1 ( ) 2 � � x −1 1 x        = � + � .   � ( � x x −1 x ) ( x −1 � �) x ( x − 1) ( )( ) = x ­ 1 2 1+ x x +1 x −1                 = . = x ( x −1) x x. x x x ­ 1 1          c) Với x > 0, x  1 thì  > � 2 ( x ­ 1) > x x > 2 .  x 2 1          Vậy với x > 2 thì P >  . 2 Bai 4:  ̉ ̀ Cho biêu thưc: ́ ( ) 2 a+ b − 4 ab a b +b a A= − a− b ab ̀ ̀ ̣ ̉ a) Tim điêu kiên đê A co nghia  ́ ̃ b) Khi A co nghia. Ch ́ ̃ ưng to gia tri cua A không phu thuôc vao a  ́ ̉ ́ ̣ ̉ ̣ ̣ ̀ ̣ Nhân xet ́: Bai toan cho d ̀ ́ ươi dang hăng đăng th ́ ̣ ̀ ̉ ức và phân tích đa thức thành  nhân tử:  8
  9. ( ) 2 a 2 ab + b = a b ́ ̣ ́ ời giai:       Ap dung vao bai toan ta co l ̀ ̀ ́ ̉ a b + b a = ab ( a + b ) Giai  ̉ ( ) 2 a+ b − 4 ab a b +b a A= − a− b ab aĐK ) a: b; > 0 a; b ( ) ( ) 2 a+ b − 4 ab a b + b a a + 2 ab + b − 4 ab ab a+ b b) A = − = − a− b ab a− b ab ( ) 2 a − 2 ab + b a− b A= a− b − ( a+ b = ) a− b − ( a+ b ) A= ( a− b − ) ( ) a + b = a − b − a − b = −2 b ̉ Biêu thưc A không phu thuôc vao a .  ́ ̣ ̣ ̀ x x 1 x 1        Bài 5:  Cho biểu thức:  A x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức A? b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A sau nhận giá trị nguyên? x x 1 x3 1 x 1 x x 1 Nhận xét: ta thấy           x 1 x 1 x 1 Áp dụng cho bài toán trên ta có lời giải: Giải: a ) ĐKXĐ : x 0; x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 A x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 2 x 1 x ( x 1) x 1 x 1 x 1 x 1 b) Ta có: A 1 , x 1 x 1  A nhận giá trị nguyên khi  x 1  là ước của 1 x 1 1;1 Với:  x 1 1 x 4 (TM ) x 1 1 x 0 TM Vậy  x 0;4  thì A nhận giá trị nguyên. c 2 c 2 ̀   Cho biểu thức R =  Bai 6:        (Điều kiện c 0; c 4). 2 c 4 2 c 4 a) Rút gọn biểu thức R. b) Tìm c để R = 2 9
  10. (Trích đề tuyển sinh lớp 10 THPT tỉnh Quảng Bình năm học 2008 ­ 2009) ̣ Nhân xet́: bai toan đã cho sau khi quy đ ̀ ́ ồng co hăng đăng th ́ ̀ ̉ ức: a−b = ( a+ b )( a− b ) và  (a b) 2 a2 ́ ̣ 2ab b 2 . Ap dung vao bai toan ta ̀ ̀ ́   ́ ời giải: co l Giải: a)  Điều kiện c 0; c 4 2 2 c 2 c 2 c 2 c 2 R 2 c 4 2 c 4 2 c 2 c 2       c 2 c 4 c 2 c 4 2(c 4) c 4 2(c 4) 2(c 4) c 4 c 4 b) R = 2 2 c 4 2c 8 c 12(TM ) c 4 Vậy khi R = 2 thì c =12 Bài 7: Cho biểu thức sau:  ab b3 ab a3 2 a 2 b B : a b a b a b a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức. b) Rút gọn biểu thức B. c) Với giá trị nào của a,b thì B = 0. (Trích đề tuyển sinh lớp 10 THPT tỉnh Quảng Bình năm học 2009 ­ 2010) ̣ Nhân xet́: Bài toán sau khi tìm ĐKXĐ và phân tích đa thức thành nhân tử rồi  rút gọn xuất hiện hằng đẳng thức   a − b = ( a + b ) ( a − b ) . Ap dung vao bai ́ ̣ ̀ ̀  ́ ời giải: toan ta co l ́ Giải: a) ĐKXĐ của biểu thức:  a 0; b 0; a b b ( a b) a ( b a) 2( a b) b) B : ( a b) ( b a) ( a b )( a b)   2 b a b a : ( a b) 2 b a c)  B 0 0 b a (KTM) 2 Vậy không có giá trị nào của a,b thì B = 0  x 1 Bài 8: Cho biểu thức  Q , với x >0 và x 1. x 1 x x a) Thu gọn biểu thức Q. 1 b) Tìm các giá trị của x R sao cho x > và Q có giá trị nguyên. 9 10
  11. (Trích đề tuyển sinh lớp 10 THPT tỉnh Quảng Bình năm học 2011 ­ 2012) ̣ Nhân xet ́: Bai toan đã cho phân tích đa th ̀ ́ ức thành nhân tử:  x x x x 1  rồi quy đồng và xuất hiện hằng đẳng thức, rút rọn. Ap dung vao bai toan ta co : ́ ̣ ̀ ̀ ́ ́ Giải: a) Với x >0 và x 1 ta có: x 1 x 1 Q x 1 x x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x x 1 1 b) Ta có:  Q 1 x x 1 1 1 1 Vì  x nên  x 3 1 1 4 9 3 x x Suy ra : 1
  12. ̀ ́ ̣ ơn gian,  đê t vai vi du đ ̉ ̉ ừ đo hoc sinh năm băt đ ́ ̣ ́ ́ ược cach lam đê ap dung vao bai  ́ ̀ ̉ ́ ̣ ̀ ̀ toan  ́ ́ ̣  Rut gon :  Vi du 1: ́ ̣ a) 4 + 2 3 + 4 − 2 3 ̣ Nhân xet ̉ ́ ̣ ược bai toan nay ta phai viêt cac biêu th ́ : Đê rut gon đ ̀ ́ ̀ ̉ ́ ́ ̉ ức :  4 2 3 dươi dang binh ph ́ ̣ ̀ ương môt tông hoăc môt hiêu đê khai ph ̣ ̉ ̣ ̣ ̣ ̉ ương dâu căn l ́ ơn. Đê ́ ̉  ̀ ược điêu nay ta lam cac b lam đ ̀ ̀ ̀ ́ ước sau : Bươc 1 :  ́ ́ ̀ ́ ́ ̉ ước dâu căn nho phai co th Lam thê nao đo biên đôi tr ̀ ́ ̉ ̉ ́ ừa sô 2 ́  ( bai toan đa cho  ̀ ́ ̃ 2 3  )  Bươc 2 :  ́ ́ ́ ̉ Tim hai sô biêt tông băng 4 va tich băng 3 ­> hai sô đo la: 3 va 1  ̀ ̀ ̀ ́ ̀ ́ ́ ̀ ̀ Bươc 3 :  ́ ̣ ̉ ưng sô v Ta lây căn bâc hai cua t ́ ̀ ́ ừa tim đ ̀ ược  ở  bước 2,  rôi viêt ̀ ́  ́ ươi dang binh ph chung d ́ ̣ ̀ ương môt tông hoăc môt hiêu (Tuy theo dâu công hoăc ̣ ̉ ̣ ̣ ̣ ̀ ́ ̣ ̣   trư cua biêu th ̀ ̉ ̉ ức dưới dâu căn l ́ ớn )  Chu ý ́ :  ̉ ̀ ́ ́ ̉ + Đê tim hai sô co tông la S va tich la P ta s ̀ ̀ ́ ̀ ử dung đinh li sau: ̣ ̣ ́ ́ ́ ́ ̉ " Nêu hai sô a và b co tông la  ̀  S va tich la P thi hai sô đo la nghiêm cua ̀ ́ ̀ ̀ ́ ́ ̀ ̣ ̉   phương trinh bâc hai: X ̀ ̣ 2 ̣ ̀ ̣   – SX + P = 0 ". Điêu kiên tôn tai hai sô a và b la: ̀ ́ ̀  S 2 − 4 P 0 .  ́ ươi dang binh ph + khi viêt d ́ ̣ ̀ ương môt hiêu ta nên viêt hiêu đo co gia tri ̣ ̣ ́ ̣ ́ ́ ́ ̣  dương (sô bi tr ́ ̣ ừ lơn h ́ ơn sô tŕ ừ ) đê khi khai ph ̉ ương, khoi phai dung dâu gia tri ̉ ̉ ̀ ́ ́ ̣  ̣ tuyêt đôi.  ́ ́ ̣ ́ ươc trên vao vi du 1, ta co l Ap dung cac b ́ ̀ ́ ̣ ́ ời giai sau: ̉  Giaỉ 4 + 2 3 + 4 − 2 3 = 3 + 2 3.1 + 1 + 3 − 2 3.1 + 1 ( 3) ( 3) ( ) ( ) 2 2 2 2 = + 2 3 + 12 + − 2 3 + 12 = 3 +1 + 3 −1 = 3 +1+ 3 −1 = 2 3 Vi du 2 : ́ ̣  Chưng minh đăng th ́ ̉ ức  2+ 3 + 2− 3 = 6 ̣ Nhân xet ́: Trươc dâu căn nho cua ca hai biêu th ́ ́ ̉ ̉ ̉ ̉ ưc d ́ ươi dâu căn l ́ ́ ớn co th ́ ưà   sô là 1 ́ ̀ ̣ ̉ ́ ̉ ( 3 ) vi vây ta phai biên đôichung nh ́ ư sau: Nhân cả tử và mẫu cho 2  Bươc 1 : ́ 2+ 3 + 2− 3 = ( 2 2+ 3 ) + 2( 2 − 3) = 4+2 3 + 4−2 3 2 2 2 2 Bươc 2 :  ́ ̀ ́ ́ ̉ Tim hai sô biêt tông băng 4,  tich băng 3 ­> hai sô đo la 3 va 1 ̀ ́ ̀ ́ ́ ̀ ̀   12
  13. Bươc 3 : ́ ̣ ̉ ưng sô v   Lây căn bâc hai cua t ́ ̀ ́ ừa tim đ ̀ ược rôi viêt chung d ̀ ́ ́ ươí  ̣ dang binh ph ̀ ương môt tông hoăc môt hiêu (Tuy theo dâu công hoăc tr ̣ ̉ ̣ ̣ ̣ ̀ ́ ̣ ̣ ừ cua biêu ̉ ̉   thưc d ́ ươi dâu căn l ́ ́ ớn ) Giai  ̉ VT = 2 + 3 + 2 − 3 = ( 2 2+ 3 ) + 2( 2 − 3) = 3 + 2 3.1 + 1 + 3 − 2 3.1 + 1 2 2 2 2 ( ) ( ) =( ) +( ) =( ) ( ) =2 2 2 3 +1 3 −1 3 +1 3 −1 3 +1 + 3 −1 3 VT = + = 6 = VP 2 2 2 2 2 2 ́ ̣ ́ Hai vi du lây phia trên la hai tr ́ ̀ ương h ̀ ợp ma chung ta th ̀ ́ ương găp. Tuy theo ̀ ̣ ̀   tưng loai bai,  ta co thê giai băng nhiêu cach khac nhau,  nh ̀ ̣ ̀ ́ ̉ ̉ ̀ ̀ ́ ́ ưng cơ ban la biêt vân ̉ ̀ ́ ̣   theo ba bươc  ́ ở trên la ta co thê giai quyêt đ ̀ ́ ̉ ̉ ́ ược rât nhiêu bai dang nh ́ ̀ ̀ ̣ ư  vây. Sau ̣   ̀ ̣ ́ ̀ ̣ đây la môt sô bai tâp trong sach bài t́ ập va môt sô bai trong cac ki thi tuyên vao ̀ ̣ ́ ̀ ́ ̀ ̉ ̀  lơp 10 ma tôi chi giai d ́ ̀ ̉ ̉ ựa vao ba b ̀ ươc đa phân tich  ́ ̃ ́ ở trên đê giai, không phai lam ̉ ̉ ̉ ̀   chi tiêt theo t ́ ưng muc nh ̀ ̣ ư ở trên.  Bai 1 :  ̀ ́ ̣ Rut gon biêu th̉ ức  11 + 6 2 − 3 + 2 = 11 + 2.3 2 − 3 + 2 = 9 + 2 9.2 + 2 − 3 + 2 ( ) 2 = 9+ 2 −3+ 2 = 3+ 2 −3+ 2 = 2 2 Bai 2:  ́ ̣ ̉ ̀ Rut gon biêu thức: 15 − 6 6 + 33 − 12 6 = 15 − 2.3 6 + 33 − 2.6 6 ( ) 2 = 9 − 2. 9.6 + 6 + 33 − 2. 36.6 = 9− 6 + 33 − 2. 216 ( 3− 6) ( 3− 6) ( ) 2 2 2 = + 24 − 2. 24.9 + 9 = + 24 − 9 = 3 − 6 + 24 − 3 = − 6 + 2 6 = 6 2.2.4. Dùng phương pháp thêm bớt để có dạng hằng đẳng thức để giải  một số bài toán rút gọn nâng cao  ̀   Chưng minh : Bai 1: ́ 4  nếu 2  a 6 P a 4 a 2 2 a 4 a 2 2 2 a 2 nếu a > 6 ̣ Nhân xet ̀ ương tự như bai trên ta co l ́ : Lam t ̀ ́ ời giai sau : ̉ 13
  14. Giai  ̉ P a 4 a 2 2 a 4 a 2 2 a 2 2.2 a 2 4 a 2 2.2 a 2 4 2 2 a 2 2.2 a 2 22 a 2 2.2 a 2 22 2 2 a 2 2 a 2 2 a 2 2 a 2 2 Nếu 2  a 6 , ta có:  P a 2 2 2 a 2 4 Nếu a > 6 , ta có P a 2 2 a 2 2 2 a 2 ̀ ̀ ̣ * Con rât nhiêu bai tâp ma ta co thê s ̀ ́ ̀ ́ ̉ ử dung hăng đăng th ̣ ̀ ̉ ức đê rut gon biêu ̉ ́ ̣ ̉   thưc co ch ́ ́ ưa căn th ́ ưc bâc hai hoăc th ́ ̣ ̣ ực hiên phep tinh căn th ̣ ́ ́ ức bâc hai. Nh ̣ ững  ̀ ̣ bai tâp tôi đưa ra ở trên đa d ̃ ược chon l ̣ ọc, đê cho cac em hoc sinh nhân thây đ ̉ ́ ̣ ̣ ́ ược  ̣ ̉ tâm quan trong cua hăng đăng th ̀ ̀ ̉ ưc đang nh ́ ́ ơ, qua đo cac em co thê biêt cach hoc ́ ́ ́ ́ ̉ ́ ́ ̣   ̀ ́ ́ ̣ ̣ ̀ ̣ ̉ ̀ ̣ va cach ap dung vao viêc ren luyên giai bai tâp rut gon biêu th ̀ ́ ̣ ̉ ức co ch ́ ứa căn thức   ̣ ̀ ực hiên phep tinh co dâu căn. Muc đich cua nôi dung nay la nhăm gop bâc hai va th ̣ ́ ́ ́ ́ ̣ ́ ̉ ̣ ̀ ̀ ̀ ́  phân nâng cao chât l ̀ ́ ượng day hoc trong nha tr ̣ ̣ ̀ ương ma hiên nay co chiêu h ̀ ̀ ̣ ́ ̀ ướng  ́ ởi vi môt sô em do ch đi xuông b ̀ ̣ ́ ưa năm băt đ ́ ́ ược kiên th ́ ức cơ  ban va ch ̉ ̀ ưa biêt́  ̣ ̣ ́ ức vao lam bai tâp. cach vân dung kiên th ́ ̀ ̀ ̀ ̣ 2.2.5. Sử dụng hằng đẳng thức để giải phương trình có chứa căn thức bậc  hai a. Các ví dụ:  a) x 1 1  b)  3x 7 x 1 2 c)  x x 3 x2 x 1 =3 x 3 x −1 3 x2 − 1 d)  − =4 3 x2 − 1 3 x +1 b. Phương pháp chung:  Để giải phương trình chứa dấu căn ta tìm cách khử dấu căn . Cụ thể :   ­  Tìm ĐKXĐ của phương trình .  ­  Sử dụng HĐTđể biến đổi đưa phương trình về dạng đã học.   ­  Giải phương trình vừa tìm được .  ­  So sánh kết quả với ĐKXĐ rồi kết luận nghiệm . c. Phương pháp nâng lên luỹ thừa (Bình phương hoặc lập phương hai  vế phương trình): 14
  15. * Giải phương trình dạng:  f ( x) g ( x) Bài 1:   Giải phương trình :  x 1 x 1  (1)  ĐKXĐ :  x+1 0  x ­1 Với x   ­1 thì vế trái của phương trình không âm.  Để   phương   trình   có   nghiệm   thì   x­1 0   x 1.Khi   đó   phương   trình   (1)  tương đương với phương trình : x 0       x+1 =  (x­1)2   x2 ­3x= 0   x(x­3) = 0       x 3   Chỉ có nghiệm x =3 thoả mãn điều kiện x 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =3 . Bài 2:    Giải phương trình:   x x 1 13    x 1 13 x (1) x 1 0 x 1 ĐKXĐ :            1 x 13   (2) 13 x 0 x 13  Bình phương hai vế của (1) ta được :  x 1 (13 x) 2 x2 27 x 170 0  Phương trình này có nghiệm  x1 10 và x 2 17 . Chỉ có  x1 10 thoã mãn (2) .  Vậy nghiệm của phương trình là  x 10 * Giải phương trình dạng:  f ( x) h( x ) g ( x) Bài 3:     Giải phương trình:      1 x 2 x 1 1 x 1 2 x    (1) 1 x 0 x 1 ĐKXĐ:                  2 x 1 2 x 0 x 2 Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được:  1 x 1 2 2 x 2 x    x 2 x 1 0 1 5 Phương trình này có nghiệm  x   thoã mãn (2) 2 1 5 Vậy nghiệm của phương trình là  x 2 Bài 4:    Giải phương trình:        3 x 1 3 7 x 2   (1)  Lập phương trình hai vế của (1) ta được:  x 1 7 x 33 ( x 1)(7 x). 2 8     (x­1) (7­ x) = 0       x = ­1                                           x = 7     (đều thoả mãn (1). Vậy  x 1; x 7  là nghiệm của phương trình . * Giải phương trình dạng:   f ( x) h( x ) g (x) Bài  5:      Giải phương trình      x 1 ­ x 7 = 12 x    15
  16. x 1 = 12 x + x 7   (1) x 1 0 x 1 ĐKXĐ:   12 x 0 x 12 7 x 12 x 7 0 x 7 Bình phương hai vế ta được: x­ 4 = 2  (12 x)( x 7)   (3) Ta thấy hai vế của phương trình (3) đều thoã mãn (2) vì vậy bình phương 2  vế của phương trình (3) ta được :      (x ­ 4)2 = 4(­ x2 + 19x­ 84)  5x2 ­ 84x + 352 = 0 44 Phương trình này có 2 nghiệm x1 =  và  x2 = 8 đều thoả mãn  (2) . 5 44 Vậy x1 =  và  x2 = 8 là nghiệm của phương trình. 5 *  Giải phương trình dạng:  f ( x) h( x ) g (x) +  q (x) Bài 6:      Giải phương trình :  x 1 + x 10  =  x 2  + x 5  (1) x 1 0 x 1 x 10 0 x 10  ĐKXĐ :                         x ≥ ­1  (2) x 2 0 x 2 x 5 0 x 5 Bình phương hai vế của (1) ta được : x+1 + x+ 10 + 2  ( x 1)( x 10) = x+2 + x+ 5 + 2 ( x 2)( x 5)  2+  ( x 1)( x 10)  =  ( x 2)( x 5)         (3) Với x   ­1 thì hai vế của (3) đều dương nên bình phương hai vế của (3)  ta   được ( x 1)( x 10)  = 1­ x Điều kiện ở đây là x   ­1 (4) Ta chỉ việc kết hợp giữa (2) và (4) x 1                                     x = 1 là nghiệm duy nhầt của phương trình  x 1 (1). Nhận xét:  Phương   pháp   nâng   lên   luỹ   thừa   được   sử   dụng   vào   giải   một   số   dạng  phương trình vô tỉ quen thuộc, song trong quá trình giảng dạy cần chú ý khi nâng  lên luỹ thừa bậc chẵn  Với hai số dương a,b nếu a = b thì a2n = b2n và ngược lại (n= 1, 2, 3.....)  16
  17. Từ  đó mà chú ý điều kiện tồn tại của căn, điều kiện  ở  cả  hai vế  của   phương trình đó là những vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm,  chủ quan khi sử  dụng phương pháp này. Ngoài ra còn phải biết phối hợp vận dụng phương pháp này với cùng nhiều   phương pháp khác lại với nhau . * KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC : Qua thời gian nghiên cứu và áp dụng, bản thân tôi nhận thấy đề  tài này có tác  dụng rất lớn trong quá trình giảng dạy môn toán lớp 9, tôi đã vận dụng từng   phần sau mỗi tiết học lý thuyết và tiết luyện tập sử  dụng hằng đẳng thức rút  gọn biểu thức hay giải phương trình có chứa căn thức bậc hai để học sinh được   củng cố và khắc sâu thêm, đồng thời rèn luyện cho các em kỹ năng trình bày khi   gặp các dạng này. Trong thời gian ôn tập, ôn thi các em được hệ thống lại một  cách hoàn chỉnh theo các dạng trên. Vì thế các em không còn lúng túng khi giải  các dạng bài tập này mà còn rất hứng thú.   Kết quả bài kiểm tra số 2: (Sau khi triển khai kinh nghiệm.) Giỏi Khá TB Yếu ­ kém Lớp Sĩ số SL % SL % SL % SL % 1 9 35 6 17,2 12 34,3 13 37,1 4 11,4 92 34 6 17,6 11 32,4 14 41,2 3 8,8           Để  đạt được kết quả  và chất lượng học sịnh được nâng lên rõ rệt là do  học sinh đã hiểu thấu đáo vấn đề ở những góc độ áp dụng từng hằng đẳng thức   khác nhau. Đặc biệt là ở học sinh đã hình thành được kỹ năng giải bài tập, biết   phân tích nhận dạng bài toán. Tuy nhiên việc áp dụng từng phần trong nội dung   của đề tài tuỳ thuộc vào đối tượng  học sinh. Đối với các lớp đại trà tôi chỉ  rèn  luyện cho các em dạng bài áp dụng những hằng đẳng thức đơn giản từ  hằng  đẳng thức thứ  1 đến hằng đẳng thức thứ  3. Đối với học sinh khá giỏi thì áp  dụng tất cả hằng đẳng thức  sau đó mới đưa ra các dạng bài tập từ dễ đến khó   giúp học sinh hình thành kỹ năng giải dạng bài tập này. 17
  18. 3. PHẦN KẾT LUẬN: 3.1. Ý NGHĨA CỦA ĐỀ TÀI: Trên đây là một số  phương pháp để  rèn luyện kĩ năng giải một số  dạng   toán chứa căn thức bậc hai mà tôi đã áp dụng giảng dạy trên thực tế hiện nay ở  trường cho học sinh đại trà cũng như  học sinh khá giỏi và tôi đã thu được kết  quả như sau: ­ Học sinh tiếp thu bài nhanh dễ hiểu hơn, hứng thú, tích cực trong học tập   và ngày càng yêu thích học chương có căn thức bậc hai từ  đó thích học môn  Toán. ­ Học sinh phân loại được các dạng bài tập và từ  đó tìm được các hằng   đẳng thức để  áp dụng cho từng dạng chứ  không bị  nhầm lẫn giữa các hằng  đẳng thức với nhau. ­Học sinh tránh được những sai sót cơ  bản và có kĩ năng vận dụng thành  thạo các hằng đẳng thức để giải toán từ đó phát huy được tính tích cực của học  sinh. Bên cạnh đó để  đạt được kết quả  như  mong muốn đòi hỏi giáo viên cần  phải thường xuyên trau dồi kiến thức nâng cao kỹ năng giải toán,  kỹ năng phân  loại bài tập cho học sinh. ­ Trong quá trình giảng dạy trên lớp  bên cạnh giảng dạy những kiến thức   cơ bản trong SGK người giáo viên cần tìm tòi đưa thêm các kiến thức,  kỹ năng   cho học sinh để từ đó nâng cao kiến thức cho học sinh khá giỏi. ­ Hướng dẫn học sinh đọc sách báo,  học hỏi mở rộng kiến thức trong thực   tế . ­ Người giáo viên không ngừng bồi dưỡng nâng cao kiến thức để  làm chủ  kiến thức tự tin trước bài giảng và học sinh . ­ Kiến thức của học sinh chỉ  bền vững khi kĩ năng được thiết lập mà để  hình thành những kĩ năng cho học sinh thì không có gì khác ngoài quá trình rèn  luyện. Bồi dưỡng thường xuyên cho các em.   Với phạm vi nghiên cứu của đề tài chỉ là một mảng kiến thức tương đối  hẹp so với toàn bộ  chương trình hoá học nhưng tôi hi vọng nó sẽ  giúp ích cho   các em học sinh và các thầy cô giáo trong việc giảng dạy phần kiến thức này,   giúp các em và thầy cô có cách nhìn tổng quát hơn về dạng toán này và là tài liệu   hữu ích cho việc ôn luyện thi vào các trường THPT. Các bài tập trong đề  tài  ở  mức độ từ dễ đến khó,  từ đơn giản đến phức tạp, giúp các em rèn luyện được  18
  19. kỹ năng không chỉ giải được dạng bài tập phần này mà còn rèn được một số kỹ  năng khác như kỹ năng tính toán,  phân dạng bài tập để giải. Qua giảng dạy, nghiên cứu tôi thấy phần kiến thức này, học sinh thường  lúng túng khi gặp phải. Do vậy, khi các em được học và rèn kỹ năng tôi tin chắc   rằng những lúng túng đó sẽ  không còn mà thay vào đó là sự  tự  tin và yêu thích   môn học.  3.2.  KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT: * Về phía học sinh: ­ Học sinh phải thực sự cố gắng, có ý thức tự học, tự rèn luyện, kiên trì và  chịu khó trong quá trình học tập. ­ Học sinh phải nắm vững lý thuyết, có kỹ năng vận dụng tốt lý thuyết vào  giải bài tập.  ­ Phải có đầy đủ  các phương tiện học tập, đồ  dùng học tập; giành nhiều   thời gian cho việc làm bài tập ở nhà thường xuyên trao đổi, thảo luận cùng bạn   bè để nâng cao kiến thức cho bản thân. * Về phía giáo viên:  ­ Giáo viên phải không ngừng học hỏi, nhiệt tình trong giảng dạy, quan tâm  đến chất lượng của từng học sinh, nắm vững được đặc điểm tâm sinh lý của  từng đối tượng học sinh và phải hiểu được khả năng tiếp thu của các em, từ đó  tìm ra phương pháp dạy học hợp lý theo sát từng đối tượng học sinh.  ­ Giáo viên cần linh hoạt trong khi dạy các tiết học, luyện tập, ôn tập đó là  cho các em phải nắm vững những hằng đẳng thức đã học đồng thời rèn luyện  cho học sinh kĩ năng vận dụng từng hằng đẳng thức vào từng nội dung, từng  phần của bài toán.  ­ Trong quá trình giảng dạy giáo viên cần phải nghiêm khắc, chỉ  ra những   điểm yếu mà học sinh chưa vận dụng được, đồng thời động viên kịp thời khi   các em làm bài tập tốt nhằm gây hứng thú học tập cho các em. Theo dõi kết quả  tiến bộ của các em qua học trên lớp, qua các bài kiểm tra.  ­ Giáo viên cần thường xuyên trao đổi với đồng nghiệp để học hỏi và rút ra  kinh nghiệm cho bản thân, vận dụng phương pháp dạy học phù hợp với nhận  thức của học sinh, không ngừng đổi mới phương pháp giảng dạy để  nâng cao   chất lượng dạy và học. 19
  20. ­ Đối với học sinh trung bình và yếu giáo viên cần dành nhiều thời gian để  bố trí các buổi phụ đạo, kèm cặp những lúc rảnh, để các em có thể tiếp cận các   kiến thức đã bị hỏng. * Về phía tổ chuyên môn: Thông qua các tiết dự  giờ, thao giảng, thảo luận chuyên đề  để  góp ý, tư  vấn chuyên môn. Giúp giáo viên học hỏi được kinh nghiệm cũng như  phương  pháp rồi vận dụng vào công tác giảng dạy của mình. Ngoài ra cần nhân rộng   phong trào nghiên cứu khoa học, coi việc viết sáng kiến kinh nghiệm không chỉ  là trách nhiệm mà còn là để tự mình nâng cao chuyên môn nghiệp vụ. * Về phía nhà trường: ­ Nêu cao tinh thần việc tự   học, viết sáng kiến kinh nghiệm của mỗi cá  nhân một cách thường xuyên.  ­ Tăng cường công tác tập huấn nội bộ, trao đổi kinh nghiệm trong giảng   dạy.  Trên đây là kinh nghiệm được rút ra từ  trong thực tế  giảng dạy bộ  môn  Toán 9 theo suy nghĩ và hiểu biết của cá nhân xin được trình bày lại. Tuy nhiên,  trong quá trình thực hiện không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự  góp ý chân thành từ  hội đồng khoa học các cấp, các đồng chí đồng nghiệp để  sáng kiến hay hơn, phong phú đa dạng hơn và hoàn thiện hơn.  Tôi xin chân thành cảm ơn! 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2