SKKN: Ứng dụng lý thuyết số phức để giải hệ phương trình

Chia sẻ: Lê Thị Diễm Hương | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:17

Thêm vào BST

Báo xấu

426
lượt xem 63
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến “Ứng dụng lý thuyết số phức để giải hệ phương trình” nhằm trang bị thêm cho học sinh một công cụ hữu hiệu để giải hệ phương trình nhằm giúp các em thành công trong các kỳ thi vì đây là một loại toán thường gặp ở các kỳ thi Đại học và học sinh giỏi các cấp. Mời quý thầy cô và các bạn tham khảo sáng kiến trên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: SKKN: Ứng dụng lý thuyết số phức để giải hệ phương trình

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A. ĐẶT VẤN ĐỀ : Trong quá trình giảng dạy toán việc hướng dẫn học sinh giải một bài toán bằng nhiều phương pháp khác nhau là rất quan trọng và cần thiết. Đặc biệt mỗi khi học sinh tiếp cận với một lý thuyết mới, người thầy phải khai thác các ứng dụng quan trọng và ưu việt của nó để trang bị cho học sinh, có như thế học sinh mới hứng thú, năng động và sáng tạo trong việc học của mình. Trong chương trình toán phổ thông trung học số phức vừa được đưa vào giảng dạy đại trà được 2 năm. Ứng dụng của số phức được giới thiệu ở sách giáo khoa rất ít, các tài liệu viết về ứng dụng số phức rất hiếm. Do đó với thời lượng thời gian cũng như lý thuyết mà các em được học ở trường người thầy phải nghiên cứu và bố trí dạy cho các em một số ứng dụng quan trọng và nổi bật nhất cho các em. Bản thân tôi nhiều năm được phân công giảng dạy các lớp năng khiếu nên điều kiện tiếp xúc với các ứng dụng của lý thuyết số phức để giải toán khá nhiều vì vậy khi trực tiếp giảng dạy phần số phức ở chương trình toán phổ thông tôi đã trang bị cho học sinh một số ứng dụng mà sách giáo khoa không đề cập đến và dĩ nhiên dạy ứng dụng đó ở thời điểm nào, dạy như thế nào thì sau đây tôi xin chia sẻ với các đồng nghiệp một bài dạy “Ứng dụng lý thuyết số phức để giải hệ phương trình” nhằm trang bị thêm cho học sinh một công cụ hữu hiệu để giải hệ phương trình nhằm giúp các em thành công trong các kỳ thi vì đây là một loại toán thường gặp ở các kỳ thi Đại học và học sinh giỏi các cấp. B. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN: Để học sinh hiểu một cách sâu sắc và có cơ sở lý luận tôi đã dẫn dắt học sinh vào vấn đề đơn giản như sau : Tìm căn bậc hai của số phức z = a + bi Ta gọi w = x + iy là một căn bậc hai của z. Ta có : w2 = z Û x 2 - y 2 + 2 xyi = a + bi ì x2 - y 2 = a Vậy ta có hệ : í î2 xy = b Như thế, một hệ phương trình có thể “xuất xứ” từ các phương trình nghiệm phức. Bằng cách đi ngược lại quá trình từ phương trình suy ra hệ phương trình. Ta sẽ được quá trình hệ phương trình è phương trình. Giải hệ phương trình, so sánh phần thực và phần ảo, ta được nghiệm của hệ phương trình.
I. Bước chuẩn bị 1/ Nghiên cứu các ứng dụng của lý thuyết số phức, tìm ra những ứng dụng cần thiết nhất từ đó xây dựng chương trình để đưa vào truyền đạt cho học sinh. 2/ Chọn bài tập mẫu Chọn một số bài tập mẫu tiêu biểu phù hợp được các đối tượng : Trung bình, khá và giỏi để đưa vào giảng dạy nhằm củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, rèn luyện được kỹ thuật ứng dụng của lý thuyết số phức. 3/ Phân phối thời gian Cần phân bố thời gian hợp lý, có phương án đối phó với những tình huống không trả lời được của học sinh. 4/ Bước chuẩn bị của thầy và trò 4.1- Chuẩn bị của trò : * Các kiến thức cơ bản a) Định nghĩa * ĐN1. Một số phức là một biểu thức dạng : a + bi . a, b Î ¡ , số i thỏa mãn : i 2 = -1 . i : đơn vị ảo . a : phần thực . b : phần ảo. * ĐN2. Hai số phức : z = a + bi với a, b Î ¡ z' = a’ + b’i với a’, b’ Î ¡ Ta có : ìa = a ' z = z’ Û í îb = b ' b) Phép toán về số phức (b 1 ) phép cộng (Định nghĩa và tính chất) (b 2 ) phép trừ (b 3 ) phép nhân (Định nghĩa và tính chất) (b 4 ) phép chia · Số phức liên hợp · Số phức nghịch đảo · Phép chia
c) Khai căn bậc hai của số phức * ĐN : Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa z 2 = w được gọi là một căn bậc hai của w. * Cách tìm căn bậc hai của số phức z d) Dạng lượng của số phức 4.2- Chuẩn bị của thầy : . Giáo án và các dụng cụ dạy học có liên quan. . Chuẩn bị bài tập chu đáo. . Tìm một số đề thi để giới thiệu. (1) Bài tập mẫu dạy tại lớp : ì x2 + x - y 2 = 5 * Bài 1- Giải hệ : í î2 xy + y = 55 ì x3 - 3 xy 2 = 1 * Bài 2 : Giải hệ : ï 2 í ï3 x y - y = - 3 3 î ì 3x - y ï x + x2 + y 2 = 3 * Bài 3 : Giải hệ ï í ï y - x + 3y = 0 ï î x2 + y2 * Bài 4- Giải hệ : ì æ 1 ö ï 3x . ç1 + ÷=2 ï è x+ yø í ï 7 y . æ1 - 1 ö = 4 2 ï ç ÷ î è x+ yø * Bài 5- Giải hệ :
ì æ 12 ö ï x ç1 - ÷=2 ï è 3x + y ø í ï y æ1 + 12 ö = 6 ï ç 3x + y ÷ î è ø * Bài 1- Dụng ý : . Để học sinh sử dụng phương pháp khác gặp rất nhiều trắc trở. . Khai thác phương pháp sử dụng số phức dễ dàng hơn. . Mặt khác để dẫn dắt học sinh đi đến áp dụng số phức bằng cách cho học sinh bình phương ( x + yi )2 = ? * Bài 2, 3- Rèn luyện kỹ năng áp dụng dạng giống bài 1. * Bài 4- Dụng ý : . Rèn kỹ năng áp dụng bằng thay biến phụ. * Bài 5- Dụng ý : . Rèn kỹ năng thêm trên cơ sở đã hiểu bài 4. (2) Bài tập tự rèn luyện ở nhà : ì x2 + 5x - y2 = 5 * Bài 1 í î2 xy + 5 y = 7 ì - 2 ï8 x x - 6 y x = 2 ï 2 * Bài 2 í ï-12 xy + y 3 = - 2 ï î 2
ìlog x ( x 2 + x - y 2 + x3 - 5) = 3 ï *Bài 3 í ïlog y (2 xy + y + y - 55) = 4 4 î ìlog x é( x3 + x 2 + 5( x - 1) - y 2 ù = 3 ï * Bài 4 ë û í ïlog y ( y + 2 xy + 5 y - 7) = 4 4 î (3) Đồ dùng dạy học T ĐỒ DÙNG 1 – BẢNG TÓM TẮT CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN a ) Định nghĩa * ĐN1. Một số phức là một biểu thức dạng : a + bi . a, b Î ¡ , số i thỏa mãn : i 2 = -1 . i : đơn vị ảo . a : phần thực . b : phần ảo. * ĐN2. Hai số phức : z = a + bi với a, b Î ¡ z' = a’ + b’i với a’, b’ Î ¡ Ta có : ìa = a ' z = z’ Û í îb = b ' b) Phép toán về số phức (b 1 ) phép cộng (Định nghĩa và tính chất) (b 2 ) phép trừ (b 3 ) phép nhân (Định nghĩa và tính chất) (b 4 ) phép chia
· Số phức liên hợp · Số phức nghịch đảo · Phép chia c) Khai căn bậc hai của số phức * ĐN : Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa z 2 = w được gọi là một căn bậc hai của w. * Cách tìm căn bậc hai của số phức z d) Dạng lượng của số phức T ĐỒ DÙNG 2 – Bảng trình chiếu T Bài tập 1 : Giải hệ phương trình ìx2 + x - y2 = 5 í î 2 xy + y = 55 T ĐỒ DÙNG 3 - Bảng trình chiếu
T Bài tập 2 : Giải hệ phương trình : ì x 3 - 3 xy 2 = 1 ï í 2 ï3x y - y = - 3 î 3 T ĐỒ DÙNG 4 - Bảng trình chiếu T Bài tập 3 :Giải hệ phương trình : ì 3 x - y ï x + x 2 + y 2 = 3 ï í ï y - x + 3 y = 0 ï î x 2 + y 2 T ĐỒ DÙNG 5 – Bảng trình chiếu
T Bài tập 4 : Giải hệ phương trình : ì æ 1 ö ï 3x.ç1 + ÷=2 ï è x+ yø í ï 7 y . æ1 - 1 ö = 4 2 ï ç ÷ î è x+ yø T ĐỒ DÙNG 6 - Bảng trình chiếu T Bài tập 5 : Giải hệ phương trình : ì æ 12 ö ï x ç1 - ÷=2 ï è 3x + y ø í ï y æ 1 + 12 ö = 6 ï ç ÷ î è 3x + y ø
T ĐỒ DÙNG 7 - Bảng trình chiếu BÀI TẬP VỀ NHÀ ì x2 + 5x - y 2 = 5 ¯ Bài 1 í î2 xy + 5 y = 7 ì - 2 ï8 x x - 6 y x = 2 ï 2 ¯ Bài 2 í ï -12 xy + y 3 = - 2 ï î 2 ìlog x ( x 2 + x - y 2 + x3 - 5) = 3 ï ¯ Bài 3 í ïlog y (2 xy + y + y - 55) = 4 4 î ìlog x é ( x 3 + x 2 + 5( x - 1) - y 2 ù = 3 ï ë û ¯ Bài 4 í ïlog y ( y + 2 xy + 5 y - 7) = 4 4 î
II. Bước soạn giảng * Ngày soạn : * Tiết PPCT : Tên bài : ỨNG DỤNG SỐ PHỨC (Chuyên đề tự chọn 12 – Nâng cao) Dạy bồi dưỡng học sinh giỏi A- Mục đích bài dạy : 1. Kiến thức : Nắm vững kiến thức lý thuyết về Số phức - Ứng dụng số phức. 2. Kĩ năng : Vận dụng số phức vào việc giải hệ phương trình. 3. Tư duy : Tư duy logic – tư duy so sánh. Mối quan hệ giữa sự vật và trừu tượng. B- Đồ dùng dạy học : . Bảng trình chiếu : Các đề bài tập. . Bảng tóm tắt : Kiến thức cơ bản về số phức. . Đề bài tập về nhà. C- Hoạt động dạy và học : 1. Kiểm tra bài cũ : Sẽ hỏi trong quá trình dạy 2. Hoạt động trên lớp:
Hoạt động của giáo viên và học sinh Nội dung ghi bảng * Hoạt động 1 (5 phút) GV: Trình chiếu kiến thức cơ bản về số phức. GV: Thuyết trình * Hoạt động 2 (8 phút) ì x2 + x - y 2 = 5 * Bài tập 1- í GV: Trình chiếu Bài tập 1. î2 xy + y = 55 ì x2 + x - y 2 = 5 Bài giải Giải hệ : í î2 xy + y = 55 x2 + x - y 2 = 5 (1) GV: Em nào giải hệ trên ? 2 xy + y = 55 (2) HS: Lúng túng và gặp khó trong việc giải hệ Nhân 2 vế của (2) với I sau đó cộng này vào (1) ta có : GV: Hướng dẫn học sinh sử dụng số phức ( x + yi ) 2 + x + yi = 5 + 55i bằng cách dùng : Đặt z = x + yi ta có pt : z = a + bi với a, b Î ¡ ì z = 5 + 5i z' = a’ + b’i với a’, b’ Î ¡ z 2 + z – 5 – 55i = 0 Û í î z = -6 - 5i ìa = a ' z = z’ Û í éx = y = 5 îb = b ' ì x + yi = 5 + 5i ê Vậy í Û ê ì x = -6 GV: Gợi mở từ ( x + yi )2 = ? x + yi = -6 - 5i î ê í y = -5 ëî x2 + x - y 2 = 5 (1) 2 xy + y = 55 (2) Nhân 2 vế của (2) với i sau đó cộng vào (1) ta có : ( x + yi ) 2 + x + yi = 5 + 55i Đặt z = x + yi ta có pt : ì z = 5 + 5i z 2 + z – 5 – 55i = 0 Ûí î z = -6 - 5i éx = y = 5 ì x + yi = 5 + 5i ê Ta có í Û ê ì x = -6 î x + yi = -6 - 5i ê í y = -5 ëî * Bài tập 2 : Giải hệ phương trình * Hoạt động 3 (8 phút) GV: Trình chiếu Bài tập 2. ì 3x - y ï x + x2 + y 2 = 3 ï í ï y - x + 3y = 0 ï î x2 + y2
ì 3x - y Giải ï x+ 2 =3 ï x + y2 í ï y - x + 3y = 0 Nhân 2 vế của (2) cho i, ta được ï î x2 + y2 x + 3y yi - i = 0 (3) GV : Nếu giải phương pháp thông thường sẽ x2 + y2 rất khó . Cộng vế với vế của (1) và (3) ta được GV : Thuyết trình : Đk : x + y ¹ 0 2 2 3x - y x + 3y x + yi + 2 - 2 i=3 . Nhân 2 vế của (2) cho i, ta được x +y 2 x + y2 x + 3y 3( x - yi ) - y - xi yi - i = 0 (3) Û x + yi + =3 x2 + y2 x2 + y2 . Cộng vế với vế của (1) và (3) ta được : 3( x - yi ) - y - xi Û x + yi + 2 + =3 3x - y x + 3y x + y2 x2 + y2 x + yi + - 2 i=3 x + y 2 2 x + y2 3( x - yi ) x - yi Û x + yi + 2 + 2 =3 3( x - yi ) - y - xi x +y 2 ( x + y 2 )i Û x + yi + =3 x2 + y2 Đặt z = x + yi ta có : 3( x - yi ) - y - xi Û x + yi + 2 + 2 =3 3z z 3 1 x + y2 x + y2 z+ + =3Û z+ + =3 (4) z z z.zi z zi 3( x - yi ) x - yi Û x + yi + 2 + 2 =3 GV: (*) => z x +y 2 ( x + y 2 )i Ta có nghiệm (x,y) Đặt z = x + yi ta có : 3z z 3 1 z+ + =3Û z+ + =3 (4) z z z.zi z zi * Bài tập 3: Giải hệ phương trình GV: (*) => z Ta có nghiệm (x,y) ì x3 - 3 xy 2 = 1 ï * Hoạt động 4 (8 phút) í 2 ï3 x y - y = - 3 3 î GV: Trình chiếu Bài tập 3. Giải hệ phương trình Giải ì x - 3xy = 1 ï 3 2 Nhân 2 vế của (2) với i rồi cộng vào í 2 ï3 x y - y = - 3 3 î (1) Ta có : GV: Hỏi học sinh giải HS: Trình bày lời giải x3 - 3 xy 2 + 3x 2 yi - y 3i = 1 - 3i [Nếu không được GV sẽ gợi ý : Nhân 2 vế Û ( x + yi )3 = 1 - 3i của (2) với i rồi cộng vào (1)] Ta có : x3 - 3 xy 2 + 3x 2 yi - y 3i = 1 - 3i Û ( x + yi )3 = 1 - 3i . HS: Viết 1- 3i dưới dạng lũy thừa với số mũ
3. 1 3 ( x + yi )3 = 2( - i) GV: Gợi ý chuyển về dạng lượng giác 2 2 HS: (tiếp tục biến đổi) -p -p Û ( x + yi )3 = 2[cos( ) + sin( )i ] 1 3 3 3 ( x + yi )3 = 2( - i) -p -p ù 3 2 2 é Û ( x + yi )3 = ê 3 2[cos( ) + sin( )i]ú -p -p ë 9 9 û Û ( x + yi )3 = 2[cos( ) + sin( )i ] 3 3 ì p ï x = 2 cos 9 3 -p -p ù ï 3 é Û ( x + yi )3 = ê 3 2[cos( ) + sin( )i]ú Vậy í ë 9 9 û ï y = - 3 2 sin p ï î 9 ì p ï x = 2 cos 9 3 Vậy ï í ï y = - 3 2 sin p ï î 9 * Hoạt động 5 (7 phút) * Bài tập 4: Giải hệ phương trình GV: Trình chiếu Bài tập 4. Giải hệ phương ì æ 1 ö ì æ 1 ö ï 3x . ç1 + ÷=2 ï 3x . ç1 + trình ï è x+ yø ÷=2 í Với x, y ï è x+ yø ï 7 y . æ1 - 1 ö = 4 2 í ï ç è x+ yø ÷ ï 7 y . æ1 - 1 ö = 4 2 î ç ÷ ï è x+ yø Î ¡ ; x ³ 0, y ³ 0, x + y ¹ 0 î GV: Đặt ẩn số phụ. Chuyển về dạng các bài Với x, y Î ¡ ìu = x ³ 0 tập trên. Đặt ï í ta có hệ phương trình ìu = x ³ 0 ïu = î y ³0 HS: Đặt ï í ta có hệ phương trình : ì æ ö ïu = y ³0 1 î ï ï 3u ç 1 + 2 è u +u ÷ = 2 ø 2 ì æ 1 ö í 3u ç1 + ÷ = 2 ï æ 1 ö ï ï è 2 + u 2 ø 7u ç 1 - 2 ÷ = 4 2 u ï î è u +u2 ø í ï æ 1 ö 7u ç 1 - ÷ = 4 2 ì u 2 ï è + u ø ïu + u 2 + u = (1) 2 2 î u 2 ï 3 ì u 2 Û í ïu + u 2 + u 2 = (1 ) ïu - u = 4 2 ï 3 ï (2) Û í î u2 +u 2 7 ïu - u 4 2 = (2) ï î u 2 + u 2 7 Nhân 2 vế của (2) với I sau đó cộng với Nhân 2 vế của (2) với i sau đó cộng với (1) ta có : (1) ta có : 1 2 4 2 1 2 4 2 u + ui + (u - u i ) = + i u + ui + (u - u i ) = + i u +u 2 2 3 7 u +u 2 2 3 7 Đặt z = u + ui Þ u 2 + u 2 = z z Ta có phương Đặt z = u + ui Þ u 2 + u 2 = z z Ta có trình : phương trình :
1 2 4 2 1 2 4 2 z+ .z = + i z+ .z = + i zz 3 7 zz 3 7 1 2 4 2 1 2 4 2 Û z+ = + i Û z+ = + i z 3 7 z 3 7 æ 2 4 2 ö æ 2 4 2 ö Û z2 - ç ç 3 + 7 i ÷ z +1 = 0 ÷ Û z2 - ç ç 3 + 7 i ÷ z +1 = 0 ÷ è ø è ø HS: Từ đó tìm z => x,y HS: Từ đó tìm z => x,y * Hoạt động 6 (6 phút) * Bài tập 5 : Giải hệ phương trình GV: Trình chiếu Bài tập 5. Giải hệ phương ì æ 12 ö ï x ç1 - ÷=2 trình ï è 3x + y ø í ì æ 12 ö ï y æ1 + 12 ö = 6 ï x ç1 - ÷=2 ï ç 3x + y ÷ ï è 3x + y ø î è ø í ï y æ1 + 12 ö = 6 Đk : x ³ 0, y ³ 0,3x + y ¹ 0 ï ç 3x + y ÷ î è ø Hệ phương đã cho viết lại : GV: Học sinh giải ì æ 12 ö ìx ³ 0 ï 3x ç1 - ÷=2 3 ìu = 3x è 3x + y ø Đk ï y ³ 0 ï í Đặt ï í í ï y æ1 + 12 ö = 6 ïu = ï3 x + y ¹ 0 î y î ï ç 3x + y ÷ î è ø Hệ phương đã cho viết lại : ìu = 3x ì æ 12 ö Đk: ï í ï 3x ç1 - ÷=2 3 ïu = î y è 3x + y ø ìu = 3x ìu ³ 0 ï í Đặt ï í Đk: í ì æ 12 ö ï y æ1 + 12 ö = 6 ïu = y î îu ³ 0 ïu ç1 - u 2 + u 2 ÷ = 2 3 ç ï è 3x + y ø î ÷ Ta có hệ ï è í ø ïu æ1 + 12 ö = 6 ì æ 12 ö ï ç u2 +u 2 ÷ î è ø ïu ç1 - u 2 + u 2 ÷ = 2 3 Ta có hệ ï è í ø ïu æ1 + 12 ö = 6 ï ç u2 +u 2 ÷ î è ø Học sinh về nhà tự giải. 3. Củng cố dặn dò (3 phút): * Củng cố phương pháp giải hệ phương trình bằng số phức. * Phát hiện các bài toán hệ phương trình mà giải được bằng bằng lý thuyết số phức. * Sưu tập các đề thi tuyển sinh và đề thi học sinh giỏi giải được bằng lý thuyết số phức. * Dạy bài tập về nhà.
D- Đánh giá hiệu quả : Sau khi tiếp thu tiết học này đại đa số học sinh rất là hưng phấn, hiểu bài và say mê hơn với việc tìm ra phương pháp mới để giải quyết các bài toán. Khoảng một thời gian sau tôi kiểm tra và đánh giá xem thì kết quả rất khả quan và thu được kết quả như sau : · Năm học 2008-2009 : Lớp 12 - Toán ì4 x 2 - y 2 - 4 x = -2 * Giải hệ phương trình : í î4 xy - 2 y = -4 Điểm Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém Số lượng 10 15 5 2 1 · Năm học 2009-2010 : Lớp 11 - Toán 1 ì2 x 2 - y 2 + 2 2 x = -1 * Giải hệ phương trình : ï í ï 2 xy + y = 2 î Điểm Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém Số lượng 11 16 5 2 Lớp 11 - Toán 2 ì x 2 - 4 y 2 + 2 x = -1 · Giải hệ phương trình : í î xy - y = 1 Điểm Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém Số lượng 10 15 6 1
C. KẾT LUẬN : Thực tế việc dạy toán ở trường phổ thông đặc biệt giảng dạy ở các lớp khá giỏi việc tìm tòi nhiều lời giải khác nhau cho một bài toán là rất quan trọng, phân tích được những ưu khuyết của mỗi phương pháp là rất cần thiết. Những việc làm đó mang lại sự hứng thú say mê học môn toán. Bản thân tôi đã nhiều năm giảng dạy toán ở trường phổ thông. Điều mà tôi thấy khi thành công trong việc dạy là luôn luôn tìm ra phương pháp mới cho môn dạy toán trang bị cho học sinh. Trên đây là một kinh nghiệm mà tôi đã thực hiện trong vài năm qua xin chia sẻ với các đồng nghiệp và mong được nhiều sự đóng góp ý kiến để sang kiến ngày càng hoàn thiện hơn. Xin chân thành cám ơn. Phan Rang, ngày 10 tháng 5 năm 2010 Người viết Trần Văn Trung