Chuyªn ®Ò 1:
S ph n t c a m t t p h p.T p h p conố ầ ử ủ ộ ậ ợ ậ ợ
1.M t t p h p có th có m t ,có nhi u ph n t , có vô s ph n t ,cũng có thộ ậ ợ ể ộ ề ầ ử ố ầ ử ể
không có ph n t nào.ầ ử
2.T p h p không có ph n t nào g i là t p r ng.t p r ng kí hi u là : Ø.ậ ợ ầ ử ọ ậ ỗ ậ ỗ ệ
3.N u m i ph n t c a t p h p A đ u thu c t p h p B thì t p h p A g i làế ọ ầ ử ủ ậ ợ ề ộ ậ ợ ậ ợ ọ
t p h p con c a t p h p B, kí hi u là Aậ ợ ủ ậ ợ ệ
⊂
B hay B
⊃
A.
N u Aế
⊂
B và B
⊃
A thì ta nói hai t p h p b ng nhau,kí hi u A=B.ậ ợ ằ ệ
Ví d 4.ụ Cho hai t p h pậ ợ
A = { 3,4,5}; B = { 5,6,7,8,9,10};
a) M i t p h p có bao nhiêu ph n t ?ỗ ậ ợ ầ ử
b) Vi t các t p h p khác t p h p r ng v a là t p h p con c a t p h p A v a là t p h p conế ậ ợ ậ ợ ỗ ừ ậ ợ ủ ậ ợ ừ ậ ợ
c a t p h p B.ủ ậ ợ
c) Dùng kí hi u ệ
⊂
đ th c hiên m i quan h gi a t p h p A,B và t p h p nói trong ể ự ố ệ ữ ậ ợ ậ ợ
câu b). Dung hình v minh h a các t p h p đó.ẽ ọ ậ ợ
Gi i. a) T p h p A có 3 ph n t , t p h p B có 6 ph n t .ả ậ ợ ầ ử ậ ợ ầ ử
b) Vì s 5 là ph n t duy nh t v a thu c t p h p A v a thu c t p h p B.vì v y ch có m t t pố ầ ử ấ ừ ộ ậ ợ ừ ộ ậ ợ ậ ỉ ộ ậ
h p C v a là t p h p con c a t p h p A ,v a là t p h p con c a t p h p B: C = {5}.ợ ừ ậ ợ ủ ậ ợ ừ ậ ợ ủ ậ ợ
c) C
⊂
A và C
⊂
B. bi u di n b i hình v :ể ễ ở ẽ
Bài t pậ:
1. Cho hai t p h p ậ ợ
M = {0,2,4,…..,96,98,100};
Q = { x
∈
N* | x là s ch n ,x<100};ố ẵ
a) M i t p h p có bao nhiêu ph n t ?ỗ ậ ợ ầ ử
b)Dùng kí hi u ệ
⊂
đ th c hiên m i quan h gi a M và Q.ể ự ố ệ ữ
2.Cho hai t p h p ậ ợ
R={m
∈
N | 69 ≤ m ≤ 85};
S={n
∈
N | 69 ≤ n ≤ 91};
a) Vi t các t p h p trên;ế ậ ợ
b) M i t p h p có bao nhiêu ph n t ;ỗ ậ ợ ầ ử
c) Dùng kí hi u ệ
⊂
đ th c hiên m i quan h gi a hai t p h p đó.ể ự ố ệ ữ ậ ợ
3.Vi t các t p h p sau và cho bi t m i t p h p có bao nhiêu ph n t :ế ậ ợ ế ỗ ậ ợ ầ ử
a) T p h p A các s t nhiên x mà 17 – x = 3 ;ậ ợ ố ự
b) T p h p B các s t nhiên x mà 15 – y = 16;ậ ợ ố ự
c) T p h p C các s t nhiên x mà 13 : z = 1;ậ ợ ố ự
d) T p h p D các s t nhiên t , t ậ ợ ố ự
∈
N* mà 0:t = 0;
4. Tính s đi m v môn toán trong h c kì I . l p 6A có 40 h c sinh đ t ít nh t m t đi mố ể ề ọ ớ ọ ạ ấ ộ ể
10 ; có 27 h c sinh đ t ít nh t hai đi m 10 ; có 29 h c sinh đ t ít nh t ba đi m 10 ; có 14ọ ạ ấ ể ọ ạ ấ ể
h c sinh đ t ít nh t b n đi m 10 và không có h c sinh nào đ t đ c năm đi m 10.ọ ạ ấ ố ể ọ ạ ượ ể
dung kí hi u ệ
⊂
đ th c hiên m i quan h gi a các t p h p h c sinh đ t s các đi m 10 c aể ự ố ệ ữ ậ ợ ọ ạ ố ể ủ
l p 6A , r i tính t ng s đi m 10 c a l p đó.ớ ồ ổ ố ể ủ ớ
5. B n Nam đánh s trang c a m t cu n sách b ng các con s t nhiên t 1 đ n 265 .h iạ ố ủ ộ ố ằ ố ự ừ ế ỏ
b n nam ph i vi t t t c bao nhiêu ch s ?ạ ả ế ấ ả ữ ố
6. Đ tính s trang c a m t cu n sách b n Vi t ph i vi t 282 ch s . h i cu n sách đó cóể ố ủ ộ ố ạ ế ả ế ữ ố ỏ ố
bao nhiêu trang.
Chuyªn®Ò2
C¸c phÐp to¸n trong N
1. Tính ch t giao hoán c a phép c ng và phép nhân.ấ ủ ộ
D a + b = b + a ; a.b = b.a
Khi đ i ch các s h ng trong m t t ng thì t ng không đ iổ ỗ ố ạ ộ ổ ổ ổ
Khi đ i chõ các th a s trong m t tích thì tích không đ i.ổ ừ ố ộ ổ
2. Tính ch t k t h p c a phép c ng và phép nhân:ấ ế ợ ủ ộ
(a + b ) + c = a + ( b + c); (a.b).c = a(b.c);
Mu n c ng m t t ng hai s v i m t s th ba , ta có th c ng s thố ộ ộ ổ ố ớ ộ ố ứ ể ộ ố ứ
nh t v i t ng c a hai s th hai và th ba.ấ ớ ổ ủ ố ứ ứ
Mu n nhân m t tích hai s v i s th ba ,ta có th nhân s th nh t v iố ộ ố ớ ố ứ ể ố ứ ấ ớ
tích c a s th hai và s th ba.ủ ố ứ ố ứ
3. Tính ch t phân ph i c a phép nhân đ i v i phép c ng.:ấ ố ủ ố ớ ộ
a(b+ c) = ab + ac
Mu n nhân m t s v i m t t ng , ta có th nhân s đó v i t ng s h ngố ộ ố ớ ộ ổ ể ố ớ ừ ố ạ
c a t ng r i c ng các k t qu l i.ủ ổ ồ ộ ế ả ạ
1. Đi u ki n đ th c hi n phép tr là s b tr l n h n ho c b ng s tr .ề ệ ể ự ệ ừ ố ị ừ ớ ơ ặ ằ ố ừ
2. Đi u ki n đ a chia h t cho b ( a,b ề ệ ể ế
∈
N ; b ≠ 0) là có s t nhiên p sao choố ự
a= b.p.
3. Trong phép chia có d a;ư
s b chia = s chia x th ng + s d ( a = b.p + r)ố ị ố ươ ố ư
s d bao gi cũng khác 0 và nh h n s chia.ố ư ờ ỏ ơ ố
Ví dụ . a) Tính t ng c a các s ng t nhiên t 1 đ n 999;ổ ủ ố ự ừ ế
b) Vi t liên ti p các s t nhiên t 1 đ n 999 thành m t hang ngang ,ta đ c sế ế ố ự ừ ế ộ ượ ố
123….999. tính t ng các ch s c a s đó.ổ ữ ố ủ ố
Gi i ả. a) Ta có 1 + 2 + 3 + ……+ 997 + 998 + 999 = (1+ 999) + ( 2 + 998 ) +(3 + 997 ) …..+
(409 + 501 ) = 1000.250 = 250000.
b) s 999 có t ng các ch s b ng 27, vì th n u tách riêng s 999 , r i k t h p 1 v iố ổ ữ ố ằ ế ế ố ồ ế ợ ớ
998; 2 v i 997 ; 3 v i 996;… thành t ng c p đ có t ng b ng 999, thì m i t ng nh v y đ u cóớ ớ ừ ặ ể ổ ằ ỗ ổ ư ậ ề
t ng các ch s là 27.vì v y có 499 t ng nh v y ,c ng thêm v i s 999 cũng có t ng các chổ ữ ố ậ ổ ư ậ ộ ớ ố ổ ữ
s b ng 27.do đó t ng các ch s nêu trên là 27.50= 13500.ố ằ ổ ữ ố
Ví d ụ. Tìm s có hai ch s ,bi r ng n u viêt ch s 0 xen gi a hai ch c a s đó thìố ữ ố ế ằ ế ữ ố ữ ữ ủ ố
đ c s có ba ch s g p 9 l n s có hai ch s ban đ u.ượ ố ữ ố ấ ầ ố ữ ố ầ
Gi iả : g i s có hai ch s ph i tìm là ọ ố ữ ố ả
ab
trong đó a ,b là các s t nhiên t 1 đ n 9.theoố ự ừ ế
đ bài ,ta có:ề
ba0
= 9
ab
hay 100a + b = 9( 10a + b ) hay 100a + b = 90a + 9b
Do đó 5a = 4b. b ng phép th tr c ti p ta th y trong các s t nhiên t 1 đ n 9 ch có a=ằ ử ự ế ấ ố ự ừ ế ỉ
4 ,b = 5 th a mãn 4a = 5b.ỏ
S có hai ch s ph i tìm là 54.ố ữ ố ả
Bài t pậ :
1. Tính
a) 1 + 7 + 8 +15 + 23 + ….+ 160;
b) 1 + 4 + 5 + 9 + 14 +….+ 60 + 97;
c) 78.31 + 78.24 + 78.17 +22.72.
2.a)Hãy vi t liên ti p 20 ch s 5 thành m t hàng ngang,r i đ t d u + xen gi a các ch sế ế ữ ố ộ ồ ặ ấ ữ ữ ố
đó đ đ c t ng b ng 1000.ể ượ ổ ằ
b) Hãy vi t liên ti p tám ch s 8 thành m t hàng ngang,r i đ t d u + xen gi a các ch sế ế ữ ố ộ ồ ặ ấ ữ ữ ố
đó đ đ c t ng b ng 1000.ể ượ ổ ằ
3.Chia các s t nhiên t 1 đ n 100 thành hai l p : l p s ch n và l p s l .h i l p nào cóố ự ừ ế ớ ớ ố ẵ ớ ố ẻ ỏ ớ
t ng các ch s l n h n và l n h n bao nhiêu?ổ ữ ố ớ ơ ớ ơ
4. Đi n các ch s thích h p vào các ch đ đ c phép tính đúng :ề ữ ố ợ ữ ể ượ
a)
ab1
+ 36 =
1ab
;
b)
abc
+
acc
+
dbc
=
bcc
5. Cho ba ch s a,b,c v i 0 < a < b < c ;ữ ố ớ
a) Vi t t p h p A các s có ba ch s ,m i s g m c ba ch s a, b ,c:ế ậ ợ ố ữ ố ỗ ố ồ ả ữ ố
b) Bi t r ng t ng hai s nh nh t trong t p h p A b ng 488.tìm t ng các ch ế ằ ổ ố ỏ ấ ậ ợ ằ ổ ữ
a + b + c.
5. Cho 1 b ng vuông g m 9 ô vuông nh hình v .ả ồ ư ẽ
hãy đi n vào các ô c a b ng các s t nhiên t 1 đ n 10 ề ủ ả ố ự ừ ế
(m i s ch đ c vi t m t l n) sao cho t ng các s ỗ ố ỉ ượ ế ộ ầ ổ ố ở
m i hang ,m i c t ,m i đ ng chéo b ng nhau.ỗ ỗ ộ ỗ ườ ằ
6. Kí hi u n! là tích c a các s t nhiên t 1 đ n n : n! = 1.2.3…n.ệ ủ ố ự ừ ế
Tính : S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + 5.5!
7. Trong m t t gi y k ô vuông kích th c 50.50 ô vuông .trong m i ô ng i ta vi t m t sộ ờ ấ ẻ ướ ỗ ườ ế ộ ố
t nhiên . bi t r ng b n ô t o thành m t hình nh hình v thì t ng các s trong b n ô đóự ế ằ ố ạ ộ ư ẽ ổ ố ố
đ u b ng 4 .hãy ch ng t r ng m i s đó đ u b ng 1.ề ằ ứ ỏ ằ ỗ ố ề ằ
4
10 2
8
8.M t s có b y ch s ,c ng v i s đ c viets b y ch s đó nh ng theo th t ng c l iộ ố ả ữ ố ộ ớ ố ượ ả ữ ố ư ứ ự ượ ạ
thì đ c t ng là s có b y ch s .hãy ch ng t r ng t ng tìm đ c có ít nh t m t ch sượ ổ ố ả ữ ố ứ ổ ằ ổ ượ ấ ộ ữ ố
ch n.ẵ
9.Cho b ng g m 16 ô vuông nh hình v .hãy đi n vào các ả ồ ư ẽ ề
ô b ng c a b ng các s t nhiên l t 1 đ n 31 (m i s ch ả ủ ả ố ự ẻ ừ ế ỗ ố ỉ
vi t m t l n.) sao cho t ng các s trong cùng m t hàng,ế ộ ầ ổ ố ộ
cùng m t c t , cùng m t đ ng chéo đ u b ng nhauộ ộ ộ ườ ề ằ
10.Cho dãy s 1,2,3,5,8,13,21,34,….( dãy s phi bô na xi) trong đó m i s (b t đ u t s thố ố ỗ ố ắ ầ ừ ố ứ
ba) b ng t ng hai s đ ng li n tr c nó.ch n trong dãy s đó 8 s liên ti p tùy ý.ch ngằ ổ ố ứ ề ướ ọ ố ố ế ứ
minh r ng t ng c a 8 s này không ph i là m t s c a dãy đã cho. ằ ổ ủ ố ả ộ ố ủ
11. M t s ch n có b n ch s , trong đó ch s hàng trăm và ch s hang ch c l p thànhộ ố ắ ố ữ ố ứ ố ứ ố ụ ậ
m t s g p ba l n ch s hàng nghìn và g p hai l n ch s hang đ n v .tìm s đó.ộ ố ấ ầ ữ ố ấ ầ ữ ố ơ ị ố
12.Tìm các s a,b,c,d trong ph p tính sau:ố ế
abcd + abc + ab + a = 4321 .
13.Hai ng i ch i m t trò ch i l n l t b c nh ng viên bi t hai h p ra ngoài.m i ng iườ ơ ộ ơ ầ ượ ố ữ ừ ộ ỗ ườ
đ n l t mình b c m t s viên bi tùy ý .ng i b c viên bi cu i cùng đ i v i cacr hai h p làế ượ ố ộ ố ườ ố ố ố ớ ộ
ng i th ng cu c.bi t r ng h p th nh t có 190 viên bi ,h p th hai có 201 viên bi.hãyườ ắ ộ ế ằ ở ộ ứ ấ ộ ứ
tìm thu t ch i đ đ m b o ng i b c bi đ u tiên là ng i th ng cu c.ậ ơ ể ả ả ườ ố ầ ườ ắ ộ
Bài t p ậcñng cè
1. Tính giá tr c a bi u th c m t cách h p lí:ị ủ ể ứ ộ ợ
A = 100 + 98 + 96 + ….+ 2 - 97 – 95 - …- 1 ;
B = 1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 + 10 – 11 – 12 + …- 299 – 330 + 301 + 302;
2. Tính nhanh
a) 53.39 +47.39 – 53.21 – 47.21.
b)2.53.12 + 4.6.87 – 3.8.40;
c) 5.7.77 – 7.60 + 49.25 – 15.42.
3.Tìm x bi t:ế
a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35);
b) [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60): 130.
4. T ng c a hai s b ng 78293.s l n trong hai s đó co ch s hàng d n v là 5 ,ch hàngổ ủ ố ằ ố ớ ố ữ ố ơ ị ữ
ch c 1,ch s trăm là 2.n u ta g ch b các ch s đó đi thì ta đ c m t s b ng s nh nh tụ ữ ố ế ạ ỏ ữ ố ượ ộ ố ằ ố ỏ ấ
.tìm hai s đó.ố
5.M t ph p chia có th ng là 6 d 3 .t ng c a s b chia ,s chia và s d là 195.tìm s bộ ế ươ ư ổ ủ ố ị ố ố ư ố ị
chia và s chia.ố
6.T ng c a hai s có a ch s là 836.ch s hàng trăm c a s th nh t là 5 ,c a s th hai làổ ủ ố ữ ố ữ ố ủ ố ứ ấ ủ ố ứ
3 .n u g ch b các ch s 5 và 3 thì s đ c hai s có hai ch s mà s này g p 2 l n sế ạ ỏ ữ ố ẽ ượ ố ữ ố ố ấ ầ ố
kia.tìm hai s đó.ố
15 29
23 5
3 17
27 9
7.M t h c sinh khi gi i bài toán đáng l ph i chia 1 s cho 2 và c ng th ng tìm đ c v iộ ọ ả ẽ ả ố ộ ươ ượ ớ
3 .nh ng do nhâm l n em đó đã nhân s đó v i 2 và sau đó l y tích tìm đ c tr đi 3 .m c dùư ẫ ố ớ ấ ượ ừ ặ
v y k t qu v n đúng .h i s c n ph i chia cho 2 là s nào?ậ ế ả ẫ ỏ ố ầ ả ố
8. Tìm s có ba ch s .bi t r ng ch s hàng trăm b ng hi u c a ch s hàng ch c v iố ữ ố ế ằ ữ ố ằ ệ ủ ữ ố ụ ớ
ch s hàng đ n v .chia ch s hàng ch c cho ch s hàng đ n v thì đ c th ng là 2 và dữ ố ơ ị ữ ố ụ ữ ố ơ ị ượ ươ ư
2.tích c a s ph i tìm v i 7 là 1 s có ch s t n cùng là 1.ủ ố ả ớ ố ữ ố ậ
9. Tìm s t nhiên a ≤ 200 .bi t r ng khi chia a cho s t nhiên b thì đ c th ng là 4 và dố ự ế ằ ố ự ượ ươ ư
35 .
10. Vi t s A b t kì có 3 ch s ,vi t ti p 3 ch s đó 1 l n n a ta đ c s B có 6 chế ố ấ ữ ố ế ế ữ ố ầ ữ ượ ố ữ
s .chia s B cho 13 ta đ c s C. chia C cho 11 ta đ c s D.l i chia s D cho 7.tìm th ngố ố ượ ố ượ ố ạ ố ưở
c a phép chia này.ủ
11. Khi chia s M g m 6 ch s gi ng nhau cho s N g m 4 ch s gi ng nhau thì đ cố ồ ữ ố ố ố ồ ữ ố ố ượ
th ng là 233 và s d là 1 s r nào đó .sau khi b 1 ch s c a s M và 1 ch s c a s N thìươ ố ư ố ỏ ữ ố ủ ố ữ ố ủ ố
th ng không đ i và s d gi m đi 1000.tìm 2 s M và N?ươ ổ ố ư ả ố
chuyªn ®Ò 3
Lũy th a ừvµ c¸c phÐp to¸n
1. Lũy th a b c n c a a là tích c a n th a s b ng nhau,m i th a s b ngừ ậ ủ ủ ừ ố ằ ỗ ừ ố ằ
a:
an = a.a…a ; (n th a s a, n ≠0).ừ ố
2.Khi nhân hai lũy th a c a cùng c s , ta gi nguyên c s và c ng các sừ ủ ơ ố ữ ơ ố ộ ố
mũ
am an = a(m+n)
Ví dụ .
Hãy ch ng t r ng: a) (2ứ ỏ ằ 2)3 = 22 . 3 ; (33)2 = 33 . 2 ; (54)3 = 5 4. 3;
b) (am)n = a m . n ; (m,n
∈
N).
Gi i:ả
a) (22)3 = 22.22.22 = 22+ 2+2 = 26 = 22.3
t ng t làm nh v y tao có: (3ươ ự ư ậ 3)2 = 33 . 2 ; (54)3 = 5 4. 3;
b) M t cách t ng quát ta có (aộ ổ m)n = a m . n ; (m,n
∈
N).
Ví d 9. a) Hãy so sánh : 2ụ3.53 v i (2.5)ớ3 ; 32 .52 v i (2.5)ớ2;
b) Hãy ch ng minh r ng : (a.b)ứ ằ n = an .bn ; (n ≠ 0);
Gi i . a) 2ả3.53 = 8.125 = 1000;
(2.5)3 = 103 = 1000;
V y 2ậ3.53 = (2.5)3
T ng t ta d dàng ch ng minh đ c : (a.b)ươ ự ễ ư ượ n = an .bn ; (n ≠ 0);
32 .52 = (2.5)2;
Bài t pậ:
1. Vi t các s sau d i d ng lũy th a:ế ố ướ ạ ừ
a) 10 ; 100 ; 1000; 10000; 100..0; (n s 0 );ố
b) 5 ; 25; 625; 3125;
2.So sánh các s sau:ố