Chuyên đề 1 Số phần tử của một tập hợp.Tập hợp con

S ph n t

ầ ử ủ

ố

Chuyªn ®Ò 1: c a m t t p h p.T p h p con ợ ộ ậ

ậ

ợ

,cũng có th

ề

ộ

ộ ậ

ầ ử

, có vô s ph n t ố

ầ ử

ể

ể nào.

ầ ử

ậ ỗ

ọ

ợ

nào g i là t p r ng.t p r ng kí hi u là : Ø. ọ c a t p h p A đ u thu c t p h p B thì t p h p A g i là

ệ ậ

ợ

ậ ỗ ợ ộ ậ (cid:204) B hay B (cid:201) A.

(cid:204) B và B (cid:201) A thì ta nói hai t p h p b ng nhau,kí hi u A=B.

1.M t t p h p có th có m t ,có nhi u ph n t ợ không có ph n t ầ ử 2.T p h p không có ph n t ậ ợ 3.N u m i ph n t ầ ử ủ ậ ề ọ ế t p h p con c a t p h p B, kí hi u là A ủ ậ ợ ậ ợ N u Aế

ệ ậ ợ ằ

ệ

ậ

t các t p h p khác t p h p r ng v a là t p h p con c a t p h p A v a là t p h p con

ậ

ừ

ủ ậ

ừ

ậ

ậ

ợ

ợ

ợ

ợ

đ th c hiên m i quan h gi a t p h p A,B và t p h p nói trong

ậ

ố

ợ

ợ

ể ự ẽ

ả

ộ ậ

ậ

ố

ợ

ợ

ệ ữ ậ ợ . , t p h p B có 6 ph n t ầ ử ộ ậ duy nh t v a thu c t p h p A v a thu c t p h p B.vì v y ch có m t t p ừ ợ

ọ ầ ử ậ ấ ừ ủ ậ

ậ ợ ộ ậ ừ

ủ ậ

ậ

ợ

ợ

ễ ở

Ví d 4.ụ Cho hai t p h p ợ A = { 3,4,5}; B = { 5,6,7,8,9,10}; a) M i t p h p có bao nhiêu ph n t ? ợ ỗ ậ ầ ử b) Vi ợ ỗ ợ ậ ế c a t p h p B. ủ ậ c) Dùng kí hi u ệ (cid:204) câu b). Dung hình v minh h a các t p h p đó. i. a) T p h p A có 3 ph n t Gi ợ ậ b) Vì s 5 là ph n t ầ ử ỉ h p C v a là t p h p con c a t p h p A ,v a là t p h p con c a t p h p B: C = {5}. ợ ậ ừ ợ c) C (cid:204) A và C (cid:204) B. bi u di n b i hình v : ẽ ể Bài t pậ :

ợ

ợ

đ th c hiên m i quan h gi a M và Q.

ệ ữ

1. Cho hai t p h p ậ M = {0,2,4,…..,96,98,100}; Q = { x ˛ N* | x là s ch n ,x<100}; ố ẵ a) M i t p h p có bao nhiêu ph n t ? ầ ử ỗ ậ b)Dùng kí hi u ệ (cid:204) ố

ể ự

ợ

ậ

N | 69 ≤ m ≤ 85}; N | 69 ≤ n ≤ 91}; t các t p h p trên;

ậ ợ

đ th c hiên m i quan h gi a hai t p h p đó.

2.Cho hai t p h p R={m ˛ S={n ˛ a) Vi ế ợ b) M i t p h p có bao nhiêu ph n t ; ầ ử ỗ ậ c) Dùng kí hi u ệ (cid:204) ố

ể ự

ệ ữ

ậ

ợ

t m i t p h p có bao nhiêu ph n t

: ầ ử

ợ

ế

ỗ ậ

˛

ợ nhiên x mà 17 – x = 3 ; nhiên x mà 15 – y = 16; nhiên x mà 13 : z = 1; nhiên t , t

N* mà 0:t = 0;

3.Vi ậ a) T p h p A các s t ợ ố ự b) T p h p B các s t ố ự ợ c) T p h p C các s t ố ự ợ d) T p h p D các s t ố ự ợ

t các t p h p sau và cho bi ế ậ ậ ậ ậ

ề

ạ

ộ

ớ

ố ể ọ

ấ ể

ọ ể

ấ

ấ

ọ

c năm đi m 10.

ể 4. Tính s đi m v môn toán trong h c kì I . l p 6A có 40 h c sinh đ t ít nh t m t đi m ọ 10 ; có 27 h c sinh đ t ít nh t hai đi m 10 ; có 29 h c sinh đ t ít nh t ba đi m 10 ; có 14 ạ h c sinh đ t ít nh t b n đi m 10 và không có h c sinh nào đ t đ ạ ượ

ạ ấ ố

ể

ể

ạ

ọ

ọ

ủ đ th c hiên m i quan h gi a các t p h p h c sinh đ t s các đi m 10 c a ậ

ạ ố

ể

ố

ợ

ọ

dung kí hi u ệ (cid:204) ệ ữ l p 6A , r i tính t ng s đi m 10 c a l p đó. ớ

ể ự ổ

ố ể

ủ ớ

ồ

nhiên t

ạ

ủ

ằ

ộ

ố ự

ừ

ỏ 1 đ n 265 .h i

ế

5. B n Nam đánh s trang c a m t cu n sách b ng các con s t ố t c bao nhiêu ch s ? b n nam ph i vi ữ ố ạ

ố t t ế ấ ả

ả

t 282 ch s . h i cu n sách đó có

ể

ủ

ạ

ố

ộ

ố

ế

t ph i vi ả

ế

ữ ố ỏ

ố

6. Đ tính s trang c a m t cu n sách b n Vi bao nhiêu trang.

Chuyªn®Ò2 C¸c phÐp to¸n trong N

1. Tính ch t giao hoán c a phép c ng và phép nhân. ủ

ộ

ấ

ỗ

ổ

D a + b = b + a ; a.b = b.a Khi đ i ch các s h ng trong m t t ng thì t ng không đ i ổ Khi đ i chõ các th a s trong m t tích thì tích không đ i.

ố ạ ừ ố

ộ ổ ộ

ổ ổ

ổ

2. Tính ch t k t h p c a phép c ng và phép nhân:

ấ ế ợ ủ

ộ

ể ộ

ố ớ

ố ứ

ộ ố ứ

ứ

ố ứ

ộ ổ ủ

ể

ố ớ ố ứ

ố ộ ấ ớ ổ ố

(a + b ) + c = a + ( b + c); (a.b).c = a(b.c); Mu n c ng m t t ng hai s v i m t s th ba , ta có th c ng s th nh t v i t ng c a hai s th hai và th ba. Mu n nhân m t tích hai s v i s th ba ,ta có th nhân s th nh t v i ố ứ ấ ớ tích c a s th hai và s th ba.

ộ ủ ố ứ

ấ

ố ủ

ố ớ

ộ

ớ ừ

ố

ể

ừ

˛

ố ị ừ ớ ơ N ; b ≠ 0) là có s t

ộ ố ớ ộ ổ i. ế ả ạ ệ ế

ố ự

ố ư

ố ị

ố

ươ cũng khác 0 và nh h n s chia.

ố ứ 3. Tính ch t phân ph i c a phép nhân đ i v i phép c ng.: a(b+ c) = ab + ac ố ạ Mu n nhân m t s v i m t t ng , ta có th nhân s đó v i t ng s h ng ố c a t ng r i c ng các k t qu l ủ ổ ồ ộ 1. Đi u ki n đ th c hi n phép tr là s b tr l n h n ho c b ng s tr . ệ ể ự ề ố ừ ặ ằ nhiên p sao cho 2. Đi u ki n đ a chia h t cho b ( a,b ệ ể ề a= b.p. 3. Trong phép chia có d a;ư s b chia = s chia x th s d bao gi ờ

ng + s d ( a = b.p + r) ỏ ơ ố

ố ư

ủ ế

1 đ n 999; ế 1 đ n 999 thành m t hang ngang ,ta đ ộ ế

ượ ố c s

123….999. tính t ng các ch s c a s đó.

nhiên t Ví dụ . a) Tính t ng c a các s ng t ừ ự ố ổ nhiên t t liên ti p các s t ố ự ừ ữ ố ủ ố

b) Vi ế ổ

i ả . a) Ta có 1 + 2 + 3 + ……+ 997 + 998 + 999 = (1+ 999) + ( 2 + 998 ) +(3 + 997 ) …..+

Gi (409 + 501 ) = 1000.250 = 250000.

ổ

ố

ồ ế ợ

ớ

ữ ố ằ ặ ừ

ố ỗ ổ

ớ

ư ậ ề ổ

ớ ố

ữ ố

ậ

ổ

ộ

ớ b) s 999 có t ng các ch s b ng 27, vì th n u tách riêng s 999 , r i k t h p 1 v i ế ế 998; 2 v i 997 ; 3 v i 996;… thành t ng c p đ có t ng b ng 999, thì m i t ng nh v y đ u có ằ ổ ể ữ t ng các ch s là 27.vì v y có 499 t ng nh v y ,c ng thêm v i s 999 cũng có t ng các ch ư ậ ổ s b ng 27.do đó t ng các ch s nêu trên là 27.50= 13500. ố ằ

ữ ố

ổ

r ng n u viêt ch s 0 xen gi a hai ch c a s đó thì

ữ ủ ố

ữ

ữ ố ế ằ

ữ ố

đ

ầ

nhiên t

1 đ n 9.theo

iả : g i s có hai ch s ph i tìm là

ọ ố

ả

ố ự

ừ

ế

ế ữ ố ab trong đó a ,b là các s t

Ví d ụ . Tìm s có hai ch s ,bi ố c s có ba ch s g p 9 l n s có hai ch s ban đ u. ầ ố ữ ố ấ ượ ố Gi ữ ố đ bài ,ta có:

ề

nhiên t

1 đ n 9 ch có a=

ba0 = 9 ab hay 100a + b = 9( 10a + b ) hay 100a + b = 90a + 9b Do đó 5a = 4b. b ng phép th tr c ti p ta th y trong các s t ố ự ử ự

ế

ằ

ấ

ừ

ế

ỉ

ỏ

4 ,b = 5 th a mãn 4a = 5b. ả

ữ ố

ố

S có hai ch s ph i tìm là 54. Bài t pậ :

1. Tính a) 1 + 7 + 8 +15 + 23 + ….+ 160; b) 1 + 4 + 5 + 9 + 14 +….+ 60 + 97; c) 78.31 + 78.24 + 78.17 +22.72.

t liên ti p 20 ch s 5 thành m t hàng ngang,r i đ t d u + xen gi a các ch s

ế

ồ ặ ấ

ữ ố

ữ ố

ữ

ế

ộ

đó đ đ

c t ng b ng 1000. ằ

t liên ti p tám ch s 8 thành m t hàng ngang,r i đ t d u + xen gi a các ch s

ồ ặ ấ

ữ ố

ữ ố

ữ

ế

ộ

đó đ đ

2.a)Hãy vi ể ượ ổ b) Hãy vi ế ể ượ ổ

c t ng b ng 1000. ằ

1 đ n 100 thành hai l p : l p s ch n và l p s l

.h i l p nào có

ố ự

ớ ố ẵ

ớ ố ẻ ỏ ớ

ớ

nhiên t t ng các ch s l n h n và l n h n bao nhiêu? ơ ổ

3.Chia các s t ữ ố ớ

ế ơ

ừ ớ

4. Đi n các ch s thích h p vào các ch đ đ

c phép tính đúng :

ữ ể ượ

ữ ố

ề

ợ

1ab ;

a) ab1 + 36 = b) abc + acc + dbc = bcc

ữ ố

ữ ố

ữ ố ợ ổ

ớ ố ố

t t p h p A các s có ba ch s ,m i s g m c ba ch s a, b ,c: ỗ ố ồ t r ng t ng hai s nh nh t trong t p h p A b ng 488.tìm t ng các ch ữ ợ ậ

ả ằ

ấ

ỏ

ổ

5. Cho ba ch s a,b,c v i 0 < a < b < c ; a) Vi ế ậ b) Bi ế ằ a + b + c.

4

ả

2

5. Cho 1 b ng vuông g m 9 ô vuông nh hình v . ẽ 1 đ n 10 hãy đi n vào các ô c a b ng các s t

ư nhiên t

ồ ủ ả

ố ự

ừ

ế

ề

8

10

(m i s ch đ

c vi

ộ ầ

ế

ổ

ố ở

m i hang ,m i c t ,m i đ

ỗ ố ỉ ượ ỗ ộ ỗ

t m t l n) sao cho t ng các s ng chéo b ng nhau. ằ ỗ ườ

1 đ n n : n! = 1.2.3…n.

ệ

ố ự

ủ

ừ

ế

6. Kí hi u n! là tích c a các s t nhiên t Tính : S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + 5.5!

c 50.50 ô vuông .trong m i ô ng

i ta vi

ế

ỗ

ộ ố t r ng b n ô t o thành m t hình nh hình v thì t ng các s trong b n ô đó

t m t s ố

ườ ố

ế ằ

ư

ẽ

ổ

ướ ộ r ng m i s đó đ u b ng 1.

7. Trong m t t ộ ờ ấ ẻ nhiên . bi t ố ự đ u b ng 4 .hãy ch ng t ề ằ

gi y k ô vuông kích th ạ ỏ ằ

ề ằ

ỗ ố

ứ

ả

ớ ố ượ

ữ ố ộ

c t ng là s có b y ch s .hãy ch ng t

ộ ố ượ ổ

ữ ố

ả

c l c viets b y ch s đó nh ng theo th t ứ ự ượ ạ i ữ ố c có ít nh t m t ch s ấ ứ

ữ ố ả r ng t ng tìm đ ổ ổ ằ

ng ộ

ư ượ

8.M t s có b y ch s ,c ng v i s đ thì đ ố ch n.ẵ

ả

ư

t ẻ ừ

ế

15

29

9.Cho b ng g m 16 ô vuông nh hình v .hãy đi n vào các ề ẽ 1 đ n 31 (m i s ch ỗ ố ỉ ộ

nhiên l ả t m t l n.) sao cho t ng các s trong cùng m t hàng, ố ế

5

23

ồ ô b ng c a b ng các s t ố ự ủ ả vi ổ cùng m t c t , cùng m t đ ộ ườ

ng chéo đ u b ng nhau ề ằ

ộ ầ ộ ộ

3

17

9

27

s th

ố

ướ

ế

ề

ằ

ố

10.Cho dãy s 1,2,3,5,8,13,21,34,….( dãy s phi bô na xi) trong đó m i s (b t đ u t ố ba) b ng t ng hai s đ ng li n tr minh r ng t ng c a 8 s này không ph i là m t s c a dãy đã cho. ủ

ỗ ố ắ ầ ừ ố ứ c nó.ch n trong dãy s đó 8 s liên ti p tùy ý.ch ng ứ ố ả

ọ ộ ố ủ

ố ứ ố

ổ ổ

ằ

ụ ậ

ữ ố

ắ

11. M t s ch n có b n ch s , trong đó ch s hàng trăm và ch s hang ch c l p thành ứ ố m t s g p ba l n ch s hàng nghìn và g p hai l n ch s hang đ n v .tìm s đó. ầ

ộ ố ộ ố ấ

ứ ố ơ

ố ữ ố

ữ ố

ầ

ấ

ố

ị

ế

ố

12.Tìm các s a,b,c,d trong ph p tính sau: abcd + abc + ab + a = 4321 .

ườ

ơ ầ ượ ố

ỗ

hai h p ra ngoài.m i ng ộ

ố ớ

ứ

i ch i m t trò ch i l n l 13.Hai ng ữ ộ t mình b c m t s viên bi tùy ý .ng đ n l ộ ố ườ ố ế ượ t r ng ng ấ ế ằ ắ ườ i b c bi đ u tiên là ng tìm thu t ch i đ đ m b o ng ầ ả

t b c nh ng viên bi t ườ i ừ ộ i b c viên bi cu i cùng đ i v i cacr hai h p là ố h p th nh t có 190 viên bi ,h p th hai có 201 viên bi.hãy ứ ộ ở ộ i th ng cu c. ộ ắ ườ ố

ơ ố i th ng cu c.bi ộ ơ ể ả

ườ

ậ

Bài t p ậ cñng cè

ị ủ

1. Tính giá tr c a bi u th c m t cách h p lí: ể

ộ

ợ

ứ A = 100 + 98 + 96 + ….+ 2 - 97 – 95 - …- 1 ; B = 1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 + 10 – 11 – 12 + …- 299 – 330 + 301 + 302;

t:ế

ố ằ

ổ

ố

ị ơ ộ ố ằ

ữ ố ượ

ữ ố

ữ ỏ

ụ

ế

ố

ng là 6 d 3 .t ng c a s b chia ,s chia và s d là 195.tìm s b

ủ ố ị

ố ị

ố ư

ươ

ư

ổ

ố

ố

ủ ố ứ ấ

ữ ố

ủ

ổ

ố

c hai s có hai ch s mà s này g p 2 l n s

ủ ố ứ ấ

ữ ố ẽ ượ

ữ ố

ữ ố

ế

ố

ố

2. Tính nhanh a) 53.39 +47.39 – 53.21 – 47.21. b)2.53.12 + 4.6.87 – 3.8.40; c) 5.7.77 – 7.60 + 49.25 – 15.42. 3.Tìm x bi a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35); b) [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60): 130. 4. T ng c a hai s b ng 78293.s l n trong hai s đó co ch s hàng d n v là 5 ,ch hàng ủ ố ớ ch c 1,ch s trăm là 2.n u ta g ch b các ch s đó đi thì ta đ ấ c m t s b ng s nh nh t ữ ố ỏ ạ .tìm hai s đó. ố 5.M t ph p chia có th ế ộ chia và s chia. 6.T ng c a hai s có a ch s là 836.ch s hàng trăm c a s th nh t là 5 ,c a s th hai là ầ ố 3 .n u g ch b các ch s 5 và 3 thì s đ ỏ ạ kia.tìm hai s đó.

ố

ng tìm đ

ph i chia 1 s cho 2 và c ng th

ộ

ố

ả

ẽ

ươ

ộ ọ

ấ

ẫ

ừ

ượ

ả ớ

i bài toán đáng l ố

ớ c v i ượ c tr đi 3 .m c dù ặ

ố

ỏ ố ầ

ư ậ ế

ữ ố

ế ằ

ả ẫ ố

ng là 2 và d

ữ ố c th

ị

ữ ố

t r ng ch s hàng trăm b ng hi u c a ch s hàng ch c v i ụ ớ ư ơ

ữ ố

ượ

ươ

ị

ữ ố ụ ữ ố ậ

ớ ả nhiên a ≤ 200 .bi

nhiên b thì đ

ng là 4 và d

c th

ố ự

ươ

ượ

ư

c s B có 6 ch

ượ ố

ế ế

ữ ố

ữ ố

ữ

ấ

c s C. chia C cho 11 ta đ

i chia s D cho 7.tìm th

t ti p 3 ch s đó 1 l n n a ta đ ố ượ ố

ầ c s D.l ạ

ữ ưở ng

ượ ố

ữ ố ố

ữ ố ố

ồ ố ữ ố ủ ố

ồ ố ư

ữ ố ủ ố

7.M t h c sinh khi gi 3 .nh ng do nhâm l n em đó đã nhân s đó v i 2 và sau đó l y tích tìm đ v y k t qu v n đúng .h i s c n ph i chia cho 2 là s nào? ả 8. Tìm s có ba ch s .bi ệ ủ ằ ch s hàng đ n v .chia ch s hàng ch c cho ch s hàng đ n v thì đ ữ ố ơ 2.tích c a s ph i tìm v i 7 là 1 s có ch s t n cùng là 1. ố ủ ố 9. Tìm s t t r ng khi chia a cho s t ố ự ế ằ 35 . t s A b t kì có 3 ch s ,vi 10. Vi ế ố s .chia s B cho 13 ta đ ố ố c a phép chia này. ủ 11. Khi chia s M g m 6 ch s gi ng nhau cho s N g m 4 ch s gi ng nhau thì đ ố th th

ượ c ng là 233 và s d là 1 s r nào đó .sau khi b 1 ch s c a s M và 1 ch s c a s N thì ỏ ng không đ i và s d gi m đi 1000.tìm 2 s M và N?

ố ố ư ả

ươ ươ

ổ

ố

chuyªn ®Ò 3 Lũy th a ừ vµ c¸c phÐp to¸n

ỗ ừ ố ằ 1. Lũy th a b c n c a a là tích c a n th a s b ng nhau,m i th a s b ng

ừ ố ằ

ừ ậ

ủ

ủ

a:

ừ ố

nguyên c s và c ng các s

ơ ố

ữ

ơ ố

ộ

ố

an = a.a…a ; (n th a s a, n ≠0). 2.Khi nhân hai lũy th a c a cùng c s , ta gi ừ ủ mũ am an = a(m+n)

r ng: a) (2

2)3 = 22 . 3 ; (33)2 = 33 . 2 ; (54)3 = 5 4. 3;

Ví dụ . Hãy ch ng t ứ

ỏ ằ

i:ả

ự

ư ậ

ng t ộ

2;

ụ

ằ

ứ 3.53 = 8.125 = 1000; i . a) 2

ả

ta d dàng ch ng minh đ

c : (a.b)

n = an .bn ; (n ≠ 0);

T

ượ

ự

ư

ễ

ươ

t các s sau d ố

ướ ạ

ừ

ế

i d ng lũy th a: ố

b) (am)n = a m . n ; (m,n ˛ N). Gi a) (22)3 = 22.22.22 = 22+ 2+2 = 26 = 22.3 3)2 = 33 . 2 ; (54)3 = 5 4. 3; t làm nh v y tao có: (3 ươ m)n = a m . n ; (m,n ˛ N). b) M t cách t ng quát ta có (a ổ 3 ; 32 .52 v i (2.5) 3.53 v i (2.5) Ví d 9. a) Hãy so sánh : 2 ớ ớ n = an .bn ; (n ≠ 0); b) Hãy ch ng minh r ng : (a.b) Gi (2.5)3 = 103 = 1000; V y 2ậ 3.53 = (2.5)3 ng t 32 .52 = (2.5)2; Bài t pậ : 1. Vi a) 10 ; 100 ; 1000; 10000; 100..0; (n s 0 ); b) 5 ; 25; 625; 3125; 2.So sánh các s sau:

ố

7 ; c)920 v i 27ớ

13 d)354 v i 2ớ 81;

d ng lũy th a:

ế

ướ ạ

ừ

10 ;

ng có c nh là 5 m.

ớ ạ

ậ

ộ

a) 3200 v i 2ớ 3000 ; b) 1255 v i 25ớ 3.Vi t các tích sau đ a) 5.125.625 ; b) 10.100.1000 ; c) 84.165.32; d) 274.8110 ; 4.So sánh: a) 1030 v i 2ớ 100 ; b) 540 v i 620 5.M t hình l p ph ươ ủ

ng; ng tăng lên 2 l n , 3 l n thì th tích c a hình l p ph

ế

ậ ậ

ươ ươ

ủ

ể

ậ

ầ

ầ

ươ ng

a) tính th tích c a hình l p ph ể b) n u c nh c a hình l p ph ủ ạ tăng lên bao nhiêu l n.ầ 6. Trong cách vi

t

h th p phân s 2

ế ở ệ ậ

ố 100 có bao nhiêu ch s ?ữ ố

ét hiÖu, mét tÝch

C®4.Tính ch t chia h t c a m t t ng,m

ế ủ

ộ ổ

ấ

t c các s h ng c a m t t ng đ u chia h t cho

ủ

ộ ổ

ề

ế

cùng m t s thì t ng chia h t cho s đó :

ố ạ ế

ố

ủ ổ

ế

ấ

ỉ

ế ố ạ

ạ ề

ố

ổ

ế

ố

.

..

1. Tính ch t 1.n u t ấ ế ấ ả ổ ộ ố a  m ; b m ; cm (cid:222) a + b + c  m . 2. Tính ch t 2 ,n u ch có m t s h ng c a t ng không chia h t cho ộ ố ạ i đ u chia h t cho s đó thì t ng không chia m t s ,các s h ng còn l ộ ố h t cho s đó: ế a . .

m ; b m ; cm (cid:222)

a + b + c

m .

nhiên a, b, c, trong đó a và b là các s chia h t cho 5 d 3 còn c là s khi ố

ố

ế

ố ự

ư

ệ

ỗ ổ

ế

ề

ệ

ế

˛

N)

ố ạ

ế

ề  5 ; a – b = 5n – 5m  5

: b + c = 5m + 5p + 5

ng t

ươ

ự

Ví dụ: Cho ba s t chia cho 5 d 2.ư a) Ch ng t r ng m i t ng (hi u)sau: a + c ; b + c ; a - b ; đ u chia h t cho 5 . ổ ằ ứ b) M i t ng(hi u) sau: a+ b + c ; a + b – c ; a+ c – b ;có chai h t cho 5 không? ỗ ổ i : đ t a = 5n + 3 ; b = 5m + 3 ; c = 5p + 2 ;(n,m,p Gi ả ặ a) t đó ta có : ừ a + c = (5n + 5p + 5)  5 vì các s h ng đ u chia h t cho 5. T b) a + b + c = 5n+ 5m + 5p + 8 không chia h t cho 5 vì 8

.. . 5;

ế

ng t

: a + b – c

.. . 5 ; a + c – b

.. . 5.

t ươ

ự

ố ự

nhiên x đ : ể

ỏ ằ

nhiên liên ti p , có m t và ch m t s chia h t cho 3; nhiên liên ti p , c m t và ch m t s chia h t cho 4;

ỉ ộ ố ỉ ộ ố

ộ ố ộ

ế ế

ế ế

ỏ ằ

r ng : n u s r ng : n u s

Bài t pậ : 1.Tìm s t a) 113 + x  7 b) 113 + x  13 2. Ch ng t r ng: ỏ ằ ứ ab + ba  11 ; abc - cba  99; r ng: 3.Ch ng t ứ a) Trong ba s t ố ự b) Trong hai s t ố ự 4. Ch ng t r ng : ứ 810 – 8 9 - 8 8 55 ; 7 6 + 7 5 - 7 4 11; 81 7 – 27 9 - 9 13 45; 109 – 10 8 - 10 7 555; 5.Ch ng t ứ 6.Ch ng t ứ

i. c l ượ ạ i c l ượ ạ

ỏ ằ ỏ ằ

ế ố abcd  99 thì ab + cd  99 và ng ế ố abcd  101 thì ab - cd  101 và ng

r ng:

ỏ ằ

nhiên có ba ch s gi ng nhau đ u chia h t cho 37;

ế

c vi

ng

c l

ề t b i chính các s đó nh ng theo th t ế ở

ố ượ

ư

ạ

ố

ứ ự ượ ạ i

ữ ố ố 11ab và s đ

ữ ố

ụ

ứ

ế

ằ

ỏ

7.Ch ng t ứ a) M i s t ọ ố ự b) Hi u gi a s có d ng ữ ố ệ thì chia h t cho 90. ế 8. M t s có ba ch s chia h t cho 12 và ch s hang trăm b ng ch s hang ch c . Ch ng t ộ ố ữ ố r ng t ng ba ch s c a s đó chia h t cho 12. ổ ằ

ữ ố ữ ố ủ ố

ế

C®6. D u hi u chia h t ế

ệ

ấ

ấ

ệ

ữ ố

ổ

ế

ố

ớ

ế

ế

ế 1. D u hi u chia h t cho 9: các s có t ng các ch s chia h t ố cho 9 thì chia h t cho 9 và ch nh ng s đó m i chia h t cho ỉ ữ 9.

ấ

ế

ệ

ổ

ữ ố

ế

ố

ế

ệ

ớ ữ ố ậ

ế ế

ố

ớ

ế 1. D u hi u chia h t cho 3: các s có t ng các ch s chia h t ố cho 3 thì chia h t cho 9 và ch nh ng s đó m i chia h t cho ỉ ữ 3.D u hi u chia h t cho 2 : các s có ch s t n cùng là ch ữ ố ấ s ch n thì chia h t cho 2 và ch nh ng s đó m i chia h t ế ỉ ữ ố ẵ cho 2. ấ

ố

ế

ệ

ữ ố ậ ố

ỉ ữ

ớ

ế

2. D u hi u chia h t cho 5: các s có ch s t n cùng là ch s ữ ố 0 ho c 5 thì chia h t cho 5 và ch nh ng s đó m i chia h t ế ặ cho 5.

2.

ộ

ố

ể

ữ ố

ữ ố ỏ

Ví d 1ụ . Dùng ba ch s 9, 0 ,5 đ ghép thành các s co ba ch s th a mãn m t trong các đi u ề kiên sau: ố ố

ặ

ằ

ậ

ậ

ế

ữ ố

ố

ố

ế

ộ ố

ữ ố

ậ

ằ

ậ

ố

x43

y

. hãy thay x,y b i các ch s đ s đã cho chia h t cho 3 và 5.

ữ ố ể ố

ế

ở 123  5 nên y = 0 ho c y = 5.

ặ . s này ph i chia h t cho 3 , nên 1 + 2 + 3 + x + 4+ +3

 3

ế

ả

ố

430

123x ư

ế ế ế

c 1232430 c 1235430 c 1238430 ả ố

ế

ớ

123x

435

a) S đó chia h t cho 5; ế b) S đó chia h t cho 2 và cho 5. ế Gi i. a) M t s chia h t cho 5 thì s đó t n cùng b ng 0 ho c 5 . v y có ba s có ch s chia ố ộ ố ả h t cho 5 là: 950 ; 590 ; 905. ế b)M t s chia h t cho 2 và cho 5 thì s đó t n cùng b ng 0 . v y có hai s có ch s chia h t ế cho 2 và cho 5 là: 950 ; 590 ; Ví d 2ụ . Cho s ố i. S Gi ố ả 123 x43 y • V i y = 0 , ta có s ố ớ hay 12 + (x+ 1)  3 , nh ng 1≤ x + 1 ≤ 10 ,nên x + 1 = 3 ; 6 ; 9. - N u x + 1 = 3 thì x = 2 ,ta đ ượ - N u x + 1 = 6 thì x = 5 ,ta đ ượ - N u x + 1 = 3 thì x = ,ta đ ượ V i y = 5 , ta có s  3 . s này ph i chia h t cho 3 , nên 1 + 2 + 3 + x + 4+ +3 + 5 ố hay 18 + x  3 ,nên x = 0 ; 3 ; 6 ; 9. ta có các s sau : 1230435; 1233435; 1236435 và 1239435 ố

Bài t p :ậ

ề

ữ ố

ố

ố ự

; ; ể

nhiên có ba ch s : ữ ố

ớ

ỏ

nhiên n v a chia h t cho 2 v a chia h t cho 5 và

ợ

ậ

ế

ế

ừ

ừ

nhiên liên ti p lu n có m t s chia h t cho 5.

ố

ế

ố ự

ộ ố

ế

ỏ ằ ỏ ằ

cũng ch n đ nhiên b t kì bao gi ờ ấ cũng ch n đ nhiên b t kì bao gi ờ ấ

ọ ượ ọ ượ

ố ố

c hai s có hi u chia h t cho 2; ệ c hai s có hi u chia h t cho 5; ệ

ế ế

ỏ ằ

nhiên n;

ớ

.

ọ ố ự

ớ nhiên tùy ý sao cho s các s l

i ta vi

g p đôi s các s ch n. t ng các s

ọ ố ự .. 2 v i m i s t ố ự

nhiên n; ố

ố ẻ ấ

ế

ố ẵ

ổ

ố

ố

ườ

ộ

gi y đó thành 6 m nh . l ả ờ ấ ộ ố ầ ứ ư ậ

i ta đ m đ ế

ườ

i l y m t trong s m nh gi y nào đó, ố ả ượ

ấ ả c 2001 m nh

i ta đ m đúng hay sai?

ườ

ế

ấ

ỏ

c l p thành t

ỗ ố ề

ữ ố

ữ ố

ố

ượ ậ

ừ

c l p thành có bao nhiêu s nh h n 400? Bao nhiêu s là s l

? bao nhiêu

ố ượ ậ

ỏ ơ

ố

ố

ố ẻ

c s : 1. Đi n ch s vào d u * đ đ ấ ể ượ ố ; 199 ; b) Chia h t cho 2 : ế 46*3 1*20 * ; 174 ; c) Chia h t cho 5 : ế 6*53 * 5*16 2. Dùng c ba s 5,6,9 đ ghép thành các s t ả a) L n nh t và chia h t cho 5; ế ấ b) Nh nh t và chia h t cho 2; ế ấ 3. Tìm t p h p các s t ố ự 1995 ≤ n ≤2001 . r ng trong năm s t 4. Ch ng t ứ r ng: 5. Ch ng t ứ a) Trong ba s t ố ự b) Trong sáu s t ố ự 6. Ch ng t r ng: ứ a) (5n + 7 )(4n + 6)  2 v i m i s t b) (8n + 1 )(6n + 5) 7. Ng t các s t ườ t có chia h t cho 2 hay không? Vì sao? đã vi ế ế i ta xé t 8. Có 5 t gi y .ng ạ ấ ờ ấ xé m i m nh thành 6 m nh.c nh v y sau m t s l n , ng ả ả ỗ gi y.h i ng 9. Cho sáu ch s : 2 , 3 ,5 ,6 ,7 ,9. ữ ố a) c bao nhiêu s có ba ch s ,các ch s trong m i s đ u khhacs nhau, đ ố các ch s trên? ữ ố b) Trong các s đ s chia h t cho 5? ế ố

ữ ố 3*2

chia h t cho 9; ế

4*

c s chia h t cho 3 mà không chia h t cho 9 :

ấ

ế

ể ượ ố

ế

*

ữ ố

ố ự

nhiên có ba ch s sao cho s đó: ữ ố

ố

123

x44

y

 3

ế ữ ố

ở

ả ổ

ệ

yx3

56

yx171 , bi

ấ ả

ế ằ

ế

nhiên liên ti p , trong đó có m t ch s chia h t cho 9 , bi

chia h t cho 2 và 9. ế chia h t cho 445. ế t r ng s đó chai h t cho 3 , cho 4 và cho 5. ố ủ t r ng t ng c a ổ ế

ế ằ

ữ ố

ộ

ố ự ỏ

ề

ệ

ố

Bài t pậ cñng cè: 1.Đi n ch s vào d u * đ : ể ấ ề a) 2001 + chia h t cho 3; ế b) 793 *5 2. Đi n ch s vào d u * đ đ ữ ố ề *51 và 745 3.Dùng ba trong 4 ch s 3,6,9,0 hãy ghép thành s t a) Chia h t cho 9; ế b) Chia h t cho 3 mà không chia h t cho 9. ế 4. Ph i thay các ch s x, y b i ch s nào đ s ể ố ữ ố 5. T ng (hi u) sau có chia h t cho 3 , cho 9 không? ế 102001 + 2 ; 102001 – 1 . t r ng s 6. Tìm các ch s x,y bi ế ằ ữ ố ố 7. Tìm các ch s x,y bi t r ng s ố ế ằ ữ ố t c các s có d ng 8. Tìm t ạ ố ba146 9. Tìm hai s t ế hai s đó th a mãn các đi u ki n sau: a) Là só có ba ch s ;ữ ố

ố

ế

ố

ị

b) Là s chia h t cho 5; c) T ng c a ch s hàng trăm và ch s hàng đ n v là s chia h t cho 9; d) T ng c a ch s hàng trăm và ch s hàng ch c là s chia h t cho 4;

ế ữ ố ữ ố

ữ ố ữ ố

ơ ụ

ủ ủ

ổ ổ

ế

ố

C§7 Phân tích m t s ra th a s nguyên t

ừ ố

ộ ố

. ố

t s đó d

ộ ố ự

là vi nhiên l n 1 đ u phân

nhiên ra th a s nguyên t ố . m i s t ọ ố ự ừ ố

ừ ố ố

ế ố ớ

ướ i ề

b ng cách nào thì cu i cùng

ố ằ

ố

c cùng m t k t qu

Phân tích m t s t d ng m t tích các th a s nguyên t ộ ạ tích đ c ra th a s nguyên t ừ ố ượ Dù phân tích m t s ra th a s nguyên t ộ ố cũng đ ộ ế

. ố ừ ố ả.

ượ

ộ

ự

nhiên khác 0 .ch ng t

xbycz trong đó a, b, c, là các s nguyên t r ng s

ứ

ỏ ằ

nhiên A = a ố ự

ố ố c s c a A đ ố ướ ố ủ

đôi m t khác nhau, c tính b i công ở ượ

a là x, ch ch a th a s nguyên t

b là y,

ừ ố

ừ ố ỉ ứ

ỉ ứ

ố ỉ ứ ừ ố ab là xy, ch ch a th a s ố abc là ố ỉ ứ

ừ ố

ừ ố

ố

c c a A b ng:

c s c a A ch ch a th a s nguyên t ố ừ ố bc là yz, ch ch a th a s nguyên t ố ố ướ ủ

ướ ủ

ằ

c s c a B là (3 + 1)(5 + 1)(4 + 1) = 4.6.5 = 120.

33554 thì s

Ví dụ . Cho sô t còn x, y ,z là các s t th c : (x + 1)(y + 1)(z + 1). ứ iả . S Gi ỉ ứ ố ướ ố ủ ch ch a th a s nguyên t c là z, ch ch a th a s nguyên t ừ ố ố ỉ ứ ac là xz, ch ch a th a s nguyên t nguyên t ỉ ứ c c a chính nó . do đó s xyz.vì A là x + y + z + xy + yz + xz + xyz + 1 = x(z + 1) + y(z + 1) + xy(z + 1) + (z + 1) = (z + 1)(x + y + xy + 1) = (z + 1)[(x + 1) + y(x + 1)] = (x + 1)(y + 1)(z + 1). Ví d : s B = 2 ụ ố

ố ướ ố ủ

ỏ

Bài t pậ . 1. Tìm s t a) Có 9 2. Cho s t

nhiên nh nh t: c. c; b) Có 15 nhiên B = a

ấ ướ xby trong đó a,b là các s nguyên t

khác nhau , x, y là các s t

ố

ố ự

c . h i B

ỏ 3 có bao nhiêu

ố c?ướ

ầ

t Bế 2 có 15 ướ t 105 nhiên a , bi  a và 16 ≤ a ≤ 50 . ế ng có 805 h c sinh. C n ph i x p m i hang bao nhiêu h c sinh đ h c sinh ỗ ọ

ọ

m i hàng là nh nhau , bi ư nhiên n có t ng các

ả ế ế c b ng n (không k n) đ

ở t r ng không x p quá 35 hàng và cũng không ít h n 15 hàng. ế ằ c g i là s hoàn ch nh (s hoàn ượ ọ ướ ằ

ể ọ ơ ỉ

ể

ố

ổ

ố

r ng các s 28,496 là s hoàn ch nh.

ứ

ố

ố

ỉ

t n = p.q trong đó p,q là các s nguyên t

ỉ

ố

. ố

nhiên n, bi

c và khi phân tích thành th a s nguyên t

thì

t r ng s n có 30 ố

ướ

ừ ố

ố

ố ự ướ ố ự nhiên khác 0 . bi 3. Tìm s t ố ự 4. M t tr ộ ườ ỗ 5. S t ố ự thi n , s hoàn toàn). ố ệ a) Ch ng t ỏ ằ b) Tìm s hoàn ch nh n , bi ế ố 6. Tìm s t ế ằ ố ự x3y trong đó x + y = 8. có d ng n = 2

ạ

C®8.

c chung và

Ướ

Ướ

c chung l n nh t ấ ớ

1 Ướ

ủ ủ

c chung c a hai hay nhi u s là ộ

c chung

ấ

ướ

ố ớ

ậ ợ

ủ ố

c sau:

ề ố

ướ

ệ

ự . ố

ọ

ướ ướ ướ

ậ

ừ ố ả

Ư

ề ố Ư

ố

ố c c a các s còn l

i thì

cùng nhau. ạ

ướ ủ

ố

ố

CLN c a các s đã cho là s nh nh t đó.

ủ

c CLN c a các

ố ỏ ấ ố c chung c a các s đã cho ,ta tìm các ố

ướ Ư

ướ

ủ

ủ

t c các s đó. c c a t ề ố ướ ủ ấ ả ố B i chung c a hai hay nhi u s là b i c a t ố . t c các s đó ộ ủ ấ ả ề ố . CLN c a hai hay nhi u s là s l n nh t trong t p h p các ề ố Ư c a các s đó. ủ 2. Mu n tìm CLN c a hai hay nhi u s , ta th c hi n ba b ố Ư ủ c 1: Phân tích m i s ra th a s nguyên t B ừ ố ỗ ố chung. c 2 : Ch n các th a s nguyên t B ố ừ ố B ỏ ấ c 3 : L p tích các th a s đó , m i th a s l y v i s mũ nh nh t ỗ ừ ố ấ ớ ố c a nó.tích đó là CLN ph i tìm. ủ Chú ý: Hai hay nhi u s có CLN là 1 g i là các s nguyên t ọ Trong các s đã cho , n u s nh nh t là ế ố ỏ ấ Ư 3.Mu n tìm ố s đóố

nhiên a bi

ố ự

ư

ư

ế ằ

iả . Chia 39 cho a thì d 4 , nên a là

ướ ủ ư c c a 48 – 6 = 42 và a > 6 . do đó a là

t r ng khi chia 39 cho a thì d 4, còn khi chia 48 cho a thì d 6. c c a 39 – 4 = 35 và a > 4 .chia 48 cho a thì d 6 nên ư c chung c a 35 và 42 dông th ng a > 6.

ướ

ủ

ồ

ướ ủ

(42) = {1,2,3,6,7,14,21,42}.

Ví d 1ụ . Tìm s t Gi a là Ư Ư

nhiên c t ng 432 và CLN cua chúng b ng 36.

Ư

ằ

Ư

nhiên ph i tìm là a và b . vì CLN(a,b) = 36 , nên a = 36c và b = 36d , (c,d) = ủ

(35) = { 1, 5, 7, 35} ; Ư C(35,42) = { 1,7}. V y a = 7 . ậ ố ổ ố ự ả ố ằ

ặ ố

ặ ố

ổ

Ví dụ.2 Tìm hai s t Giải. G i hai s t ố ự ọ 1. theo đ bài t ng c a hai s b ng 432 nên: a + b = 432 hay 36(c + d) = 432,do đó c + d = 12. ổ ề nh v y ta ph i tìm các c p s c,d có t ng b ng 12 và (c,d) = 1 . các c p s đó là 1 và 11 ; 5 và ằ ả ư ậ 7.các s t

nhiên c n tìm là a = 36 , b = 396 và a = 180 , b = 252 ho c ng

i.

c l ượ ạ

ố ự

ầ

ặ

t các t p h p : ậ

ợ

c c a 18} c c a 36}. t r ng khi chia 264 cho a thì d 24 , còn khi chia363 cho a thì d 43.

ư

ủ

ố

Bài t pậ : 1. Vi ợ ế a) C(8,12,24); C(5,15,35); Ư Ư b) BC(8,12,24); BC(5,15,35); 2. Tìm giao c a hai t p h p : ậ ủ N : n là ướ ủ N : m là ướ ủ nhiên a, bi ế ằ ể ở ư

ưở

ố ở ọ

ả ở

ể i 4 quy n và 18 bút bi không th chia đ u cho các h c sinh.tính sô h c sinh đ

ư ậ ượ c

ể

ể

ề

ọ

ọ

˙

ạ ng?. ọ

ộ ủ

ố

ợ

ợ

ố

ừ ế

ậ ừ

ố

ế ằ

ồ ố

ừ

ừ

ố

ồ

ố

ố

A = { n ˛ B = { m ˛ 3. Tìm s t ư ố ự ộ ố 4. Có 100 quy n v và 90 bút bi. Cô giáo ch nhi m mu n chia s v và bút thành m t s ể ph n th ng nh nhau gôm c v và bút đ phát ph n thuopwngr cho h c sinh. Nh v y thì ầ ầ còn l th ưở H. 5. G i G là t p h p các s là b i c a 3 ; H là t p h p các s là b i c a 18. tìm G ậ ộ ủ 6. Có m t s sách giáo khoa. N u x p thành t ng ch ng 10 cu n thì v a h t ,thàng t ng ừ ế ế ộ ố t r ng s sách ch ng 12 cu n thì th a 2 cu n, thành t ng ch ng 18 cu n thì th a 8 cu n .bi ồ ừ ố trong kho ng t

715 đ n 1000 cu n.tìm s sách đó. ố

ừ

ế

ả

ố

Bài t p ậ cñng cè.

c vi

1. Tìm CLN c a ác s có 9 ch s đ

t b i các ch s 1 , 2, 3 ,4, 5 ,6 ,7 ,8 ,9 và

ủ

Ư

ế ở

ữ ố

Ư

ủ

ủ

ằ

ổ

ữ ố ượ ố trong m i s các ch s đ u khác nhau. ữ ố ề t r ng t ng c a chúng b ng 66 , CLN c a chúng b ng 12. nhiên bi ằ ế ằ t tích c a chúng b ng 864 và CLN c a chúng b ng 6. nhiên ,bi Ư ế

ủ

ằ ủ ớ

ủ ố ọ

ữ

ổ

ỗ ố 2. Tìm hai s t ố ự 3. Tìm 2 s t ố ự ằ 4. M t l p h c có 28 nam và 24 n .có bao nhiêu cách chia s h c sinh c a l p thành các t ọ ộ ớ sao cho s nam và n đ

c chia đ u cho các t

ữ ượ

. ổ

ề

ố

5. Ng

ố

ườ

ậ

ấ

i ta mu n chia 240 bút bi , 210 bút chì và 180 t p gi y thành 1 s ph n th ng,m i ph n th

ư ng nh ng Có

ố ỗ

ầ ầ

ưở

ấ

ầ

ỏ

ưở ưở

c nhi u nh t là bao nhiêu ph n th ượ ậ

˛

nhau. H i có th chia đ ể bao nhiêu bút bi , bút chì, t p gi y?. t r ng 3n + 1 và 5n + 4 ( n

ề ấ N) là 2 s không nguyên t

ố

ố

ủ cùng nhau .tìm CLN c a 2

Ư

6. Bi ế ằ s trên. ố

ộ

ế B i chung nh nh t ỏ ấ Ti t 18. ộ ố ỏ ấ ậ ợ ủ ề ố

c sau: ệ ề ố ướ ự . ố ọ ủ ỗ ố ừ ố ố c 1: Phân tích m i s ra th a s nguyên t c 2: Ch n các th a s nguyên t chung và riêng. c 3: L p tích các th a s đó , m i th a s l y v i s mũ l n nh t c a nó.tích đó ướ ướ ướ ừ ố ố ỗ ừ ố ấ ớ ố ừ ố ấ ủ ớ ậ ả cùng nhau thì BCNN c a chúng là ừ ủ ố ộ ủ ố ố i thì BCNN c a các s đã ủ ế ố ơ ộ ủ ố ấ ạ ố ơ ấ 1.BCNN c a hai hay nhi u s là s nh nh t khác o trong t p h p các b i chung c a ủ các s đó.ố 2. Mu n tìm BCNN c a hai hay nhi u s , ta th c hi n 3 b B B B là BCNN ph i tìm. Chú ý: N u các s đã cho t ng đôi m t nguyên t ố ế tích c a các s đó. Trong các s đã cho n u s l n nh t là b i c a các s còn l ố cho là s l n nh t đó. 3.Mu n tìm bôi chung c a hai hay nhi u s , ta tìm các b i c a BCNN c a các s đó. ề ố ộ ủ ủ ủ ố ố

 ( 2 ,3 ,4, 5 , 6) nên x – 1 là b i chung c a 2, 3, 4, 5, 6.

Ví dụ: M t s t ề ư ư nhiên chia cho 2, cho 3 , cho 4 , cho 5 , cho 6 đ u d 1 , nh ng khi chia cho 7 thì không còn d . ư ỏ ấ a) Tìm s nh nh t có tính ch t trên. b) Tìm d ng chung c a các s có tính ch t trên. ộ ố ự ố ạ ấ ố ủ ấ Gi i.ả ọ ủ ộ

a) G i x là s ph i tìm thì x – 1 ố ả BCNN ( 2,3,4,5,6) = 60 V y x – 1 nh n các giá tr : 60 ,120,180,240,300,… do đó x nhân các giá tr : 61 ,121 ,181,241,301,… Trong các s trên, s nh nh t chia h t cho 7 là s 301. ố

b) Vì x – 1 là b i c a 60 nên x- 1 = 60n hay x = 60n + 1 (n (n + 2). Vì 7.8n  7 ,do đó đ x ể  7 thì ph i có 4(n + 2) N*).

ậ ậ ị ế ố ˛ ị ố ỏ ấ ộ ủ ˛ ả ặ N*) và x  7 .ta có : x = 60n + 1 = 7.8n – 7 + 4  7 hay n + 2 7 . d t n + 2 = 7k thì n = 7k – 2 (k

x = 60n + 1 = 60 (7k - 2) + 1 = 420k – 119 . đ tìm x ta ch vi c cho k các giá tr : k = 1, 2, 3, … ỉ ệ ể ị

Bài t pậ . ố 1. Tìm BCNN c a ba s sau : s nh nh t có hai ch s ,s l n nh t có ba ch s và s nh nh t có b n ữ ố ố ớ ố ỏ ấ ố ỏ ữ ố ủ ấ ấ ố ch s .ữ ố 2. Có th ch dung m t ch s 2 đ l p các s có d ng : 2, 22, 22,222,.. sao cho s đó: ể ỉ ể ậ ạ ộ ố ố

ữ ố c không? c không? là b i c a 5 đ a) ộ ủ b) Là b i c a 9 đ ộ ủ 2. Tìm BCNN(30 , 45) và CLN(30 ,45) . th l i r ng tích c a BCNN (30 , 45) và CLN(30 , 45) b ng tích ượ ượ Ư ử ạ ằ Ư ủ ằ c a hai s 30 và 45. ố ủ 3. Ba em An , B o , Ng c cùng h c m t tr ứ ự ả ậ ớ ọ ộ ầ ng nh ng 3 l p khác nhau .An c 5 ngày tr c nh t m t l n , ư ở ộ B o 10 ngày tr c nh t m t l n, còn Ng c 8 này tr c nh t m t l n.l n đ u ba em cùng tr c nh t m t ự ộ ườ ọ ộ ầ ầ ộ ầ ọ ậ ự ự ậ ầ ậ ả

ấ ự ạ ậ i cùng tr c nh t vào cùng m t ngày? Đ n ngày đó m i em đã tr c nh t ự ế ậ ỗ ộ

4. c s chia h t cho 7 .n u b t đi 9 thì đ ộ ố ế ớ ượ c ngày .h i m y ngày sau ba em l ỏ m y l n? ấ ầ B n Nam nghĩ m t s có ba ch s . n u b t s đó đi 8 thì đ ạ s chia h t cho 8 ,n u b t đi 10 thì đ ố ữ ố ế ớ ố ượ ố ế ớ ế ế ế ượ ố c s chia h t cho 9. h i b n Nam nghĩ s nào? ỏ ạ ố

ộ

ố

ấ

ố ủ ấ . C ng hai s nguyên cùng d u. ị ồ ặ Mu n c ng hai s nguyên cùng d u ta c ng hai giá tr tuyêt đ i c a chúng r i đ t ộ tr ố c k t qu d u c a chúng ả ấ ủ ố ộ ướ ế

t: Ví d .ụ tính t ng các s nguyên x bi ổ ố ế - 10 ≤ x ≤ - 1 ; b) 5 < x < 15 . ậ ổ ả

a) Gi i ả . a) - 10 ≤ x ≤ - 1 nên x = { - 10 , - 9 , - 8 , - 7 , - 6 , - 5 , - 4 , - 3 , - 2 , - 1}. V y t ng ph i tìm là : A = (- 10) + (- 9) + (- 8) + (- 7) + (- 6) + (- 5) + (- 4) + (- 3) + (- 2) + ( - 1) = - ( 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) = - 55 ả ổ b) 5 < x < 15 nên x = { 6 ,7,8,9,10,11,12,13,14} . t ng ph i tìm là B = 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 90. Bài t p:ậ 1. So sánh :

˛ Z.

a) │3 + 5│ và │3│ + │5│; b) ừ ậ ớ 2. Đi n d u < , > vào ô tr ng m t cách thích h p: │(- 3) +(- 5)│ và │- 3│ + │- 5│; T đó rút ra nh n xét gì v │a + b│ và │a│ + │b│ v i a , b ề ố ề ấ ộ ợ

15 + │- 33│

a) 7 + │- 23│ b)│- 11│ + 5 │- 8│ + │- 2│

- 7 Z bi

ế ng. Ch ng t t │x│ + │y│= 5. ố ấ ủ ố ươ ứ ỏ ằ r ng t ng c a 31 s đó là s ủ ố ổ ố c) │- 21│+│- 6│ 3. Tìm x ˛ t :ế a) (+ 22) + (+ 23) + x = 21 + │- 24│ b) │- 3│ + │- 7│ = x + 3 c) 8 +│x│ = │- 8│+ 11; d) │x│ + 15 = - 9 4. Tìm các c p s nguyên x, y bi ặ ố 5. Cho 1 s nguyên trong đó t ng c a 5 s b t kì là s nguyên d ổ nguyên d ố ng? ươ

C ng hai s nguyên khác d u.

ộ

ấ

ổ ố ố ố ộ ằ ấ ố c k t qu tìm đ ệ ượ ấ ủ ố ệ ố ủ ệ ố ớ ơ ặ ướ ế ả V i m i s nguyên a ta có a + 0 = 0 + a = a.

ố 1. Hai s nguyên đ i nhau có t ng b ng 0 . Mu n c ng hai s nguyên khác d u không đ i nhau ta tìm hi u hai giá tr tuy t đ i c a chúng 2. ị ố c d u c a s có giá tr tuy t đ i l n h n. (s l n tr s nh ) và đ t tr ị ừ ố ỏ ố ớ ớ ọ ố

ấ ủ ặ ấ ỉ ấ ấ ị ố Ví d .ụ Cho phép c ng (* 15) + ( * 7) trong đó d u * ch d u “ + “ ho c d u “ –“ . hãy xác đ nh d u c a các s ộ h ng đ t ng b ng: ể ổ ạ ằ

a) 22 ; b) – 22 ; c) 8 ; d) - 8 . i ả . Trong câu a và b , giá tr c a t ng b ng t ng các giá tr tuy t đ i c a hai s h ng nên đó là phép c ng hai ố ạ ộ ệ ố ủ ị ủ ổ ằ ổ ị ố ạ ấ ủ ổ ủ ấ ấ

Gi s nguyên cùng d u . d u c a t ng là d u chung c a hai s h ng đó, ta có : ố a) b) (+ 15) + (+7) = 22; (- 15) + (- 7) = - 22 ệ ố ủ ổ ố ạ ị ị Trong câu c và d , giá tr tuy t đ i c a t ng b ng hi u hai giá tr tuy t đ i c a hai s h ng nên đó là phép c ng ộ hai s nguyên khác d u. d u c a t ng là d u c a s có giá tr tuy t đ i l n h n, ta có: ằ ệ ấ ủ ố ệ ố ủ ơ ấ ủ ổ ệ ố ớ ấ ị

ố (+ 15) + (- 7) = 8; (- 15) + (+ 7) = - 8. c) d)

2. Tìm x ˛ Z , bi

Bài t pậ . 1. Tính t ng │a│ + b , bi ổ

3. thay d u * b ng ch s thích h p : t: ế a) a = - 117 , b = 23; b) a = -375 , b = - 725; c) a = - 425 , b = - 425 . t :ế a) x + 15 = 105 + ( - 5); x – 73 = (- 35) + │- 55│; b) c) │x│ + 45 = │- 17│ + │- 28│. ữ ố ằ ấ ợ ( - *15) + ( - 35) = - 150;

a) b) 375 + ( - 5*3) = - 288; c) 155 + ( - 1**) = 0. 4. Tính t ng c a hai s nguyên: ủ ổ ố ề

ề ề ề ề ế ướ ướ ướ ố ố ố ố ề ề ề ủ ớ ố ị ố a) Li n ti p và li n sau s + 15; c và li n sau s - 37; b) Li n tr c và li n sau s 0; c) Li n tr c và li n sau s a. d) Li n tr t s - 7 thành t ng c a hai s nguyên có giá tr tuyêt đ i không l n h n 10. ổ t s - 15 thành t ng c a hai s nguyên có giá tr tuyêt đ i không l n h n 20. 5.a) Vi b) Vi ơ ớ ơ ủ ố ố ổ ị ế ố ế ố

Tính ch t c a phép c ng các s nguyên

.

ố

˛ ˛

ộ Z : a + b = b + a. Z : a + ( b + c) = (a + b) + c.

ấ ủ 1. Tính ch t giao hoán : v i m i a , b ớ ọ ấ 2. Tính ch t k t h p: v i m i a , b ớ ọ ấ ế ợ ớ ọ ˛ 3. C ng v i s 0 : v i m i a Z : a + 0 = 0 + a = a. ớ ố 4. C ng v i s đ i : t ng c a hai s nguyên đ i nhau luôn luôn b ng 0: : v i m i a ớ ọ ủ ớ ố ố

ố ố ổ ằ ˛ ˛ ớ ọ ố ố ủ ố ộ ộ Z : a + ( - a) = 0 . ế ổ N u t ng c a hai s nguyên b ng o thì chúng là hai s đ i nhau : : v i m i a , b ằ Z : a + b = 0 thì a = - b bà b = - a.

t: ví dụ: Tính t ng c a s nguyên x , bi ủ ố ổ ế

- 10 < x < 10 ; - 10 < x ≤ 10 . ỏ ố ủ a) b) iả . a) Các s nguyên x th a mãn - 10 < x < 10 là x = - 9 , - 8 , -7 ,….., 7 , 8 ,9. Gi T ng c a các s nguyên đó là: ố ổ S = (- 9) + (- 8) + (- 7) + …+ 7 + 8 + 9 = [ (- 9) + 9] + [ (- 8) + 8] + [(- 7) + 7] …= 0. ng t a) , t ng b ng 10. ự ằ ổ b) T ươ Bài t p.ậ

1. Tính :

a) A = 1 + (-3) + 5 + ( - 7) +….+ 17 + ( -19); b) B = (- 2) + 4 + (-6) + 8 + …+ ( - 18) + 20; c) C = 1 + (-2) + 3 + (-4) + ….+ 1999 + ( - 2000) + 2001; 2. Tính t ng các s nguyên x , bi t: ế ố

ổ a) – 50 < x ≤ 50; b) - 100 ≤ x < 100. ố ề ỗ ố ộ ủ ả ỗ ố ng chéo đ u b ng nhau. ề ằ ỗ ỗ ườ ắ ế ố ố i n m ạ ằ ở tâm vòng tròn , các ng th ng mà ẳ ộ ườ ề ằ ố ấ ườ ứ ố ằ t c các s nguyên có giá tr tuy t đ i không v ứ ỗ ố ế ấ ả ệ ố ị tùy ý. Sau dod c m i s c. c m t t ng. hãy tính t ng c a t ố c a nó đ đ 3. Hãy đi n các s : 0 , - 2 , 2, - 4 , 4 ,- 6 , 6, 8 , 10 vào các ô c a b ng 3.3 = 9 ô vuông ( m i s m t ô) sao cho t ng ba s trên m i hàng ngang , m i hàng d c , m i đ ọ ổ 4. Cho các s : - 2 , -4 , - 5 , - 6 , 7, 9 , 11. hãy s p x p các s trên sao cho có m t s đ t ộ ố ặ ở ng tròn đó và c ba s b t kí trong các s trên đ u n m trên m t đ s còn l trên đ ố t ng c a chúng b ng nhau và b ng 0. ằ ủ ổ 5. Vi t t c ng v i s ch th t ộ t quá 50 theo th t ứ ự t c các t ng tìm đ ổ ớ ố ỉ ứ ự ủ ủ ấ ả ượ ổ ể ượ ộ ổ ượ

Quy t c d u ngo c.

ặ ằ ặ

ắ ấ ấ

ấ ấ ấ ắ ấ ố ạ ằ ấ ướ ỏ ấ ấ ữ nguyên. ổ ạ ố

ể ấ ủ ộ ố ạ ớ ằ ả ổ ấ ấ ả ặ ể ặ ố ạ ấ

i. áp d ng quy t c d u ngo c và tính ch t c a t ng đ i s ta có: ấ ủ ổ ắ ấ ạ ố ụ ặ ả

ặ ả ổ ấ c , ta ph i đ i d u 1. Quy t c d u ngo c : khi b d u ngo c có d u “ – “ đ ng tr ướ ỏ ấ t t các s h ng trong d u ngo c : d u “ + “ thành d u “ – “ và d u “ - “ thành d u “ ấ ấ ặ ấ + “ . Khi b d u ngo c có d u “ + “ đ ng tr ặ ẫ c thì d u các s h ng trong ngo c v n ố ạ ặ gi 2. T ng đ i s : trong m t t ng đ i s ta có th : ạ ố ộ ổ - Thay đ i tùy ý các s h ng kèm theo d u c a chúng; ổ ố ạ ế ằ - Đ t d u ngo c đ nhóm các s h ng m t cách tùy ý v i chú ý r ng n u đ ng ặ ấ t c các s h ng trong ngo c c d u ngo c là d u “ – “ thì ph i đ i d u t tr ặ ướ ấ Ví dụ. Tính nhanh: A = - 3752 – ( 29 – 3632) – 51. Gi A = - 3752 – ( 29 – 3632) – 51 = - 3752 – 29 + 3632 – 51 = - (3752 – 3632) – ( 29 + 51) A = - 120 – 80 = - 200. Bài t pậ .

1. Tính nhanh:

a) 4524 – ( 864 – 999) – ( 36 + 3999); b) 1000 – ( 137 + 572) + ( 263 – 291 ); - 329 + ( 15 – 101) – ( 25 – 440). c) 2. Tìm s nguy n x , bi t : ế ố ế

a) 3 – ( 17 – x) = 289 – ( 36 + 289) b) 25 – ( x + 5) = - 415 – ( 15 – 415); c) 34 + (21 – x) = ( 3747 – 30) – 3746. 3. Tính giá tr c a bi u th c a – b – c , bi t: ứ ể ế

1, a2 ,…,an. ch ng t

1 – a2│ + │a2 – a3│+….+│an-1 + an│+│an – a1│

4. Cho n s nguyên b t kì : a

ị ủ a) a = 45 , b = 175 , c = - 130; b) a = - 350, b = - 285, c = 85; c) a = - 720 , b = - 370 , c = - 250. r ng S = │a ấ ỏ ằ ứ

5. Cho 15 s t r ng trong 15 s ỏ ằ ứ c ít nh t m t nhóm g m 3 s mà s này b ng t ng c a hai s còn l ớ ơ ằ ỗ ố ố ủ ấ ố ổ ố ộ ố ặ i ho c ạ ồ i. ố là m t s ch n. ộ ố ẵ nhiên khác nhau và khác 0 , trong đó m i s không l n h n 28. Ch ng t ố ự dã cho bao gi ờ m t nhóm g m 2 s mà s này g p đôi s còn l ồ cũng tìm đ ố ượ ố ấ ạ ộ ố

1. Tính ch t c a đ ng th c : khi bi n đ i các đ ng th c ta th ấ ủ ẳ ứ ng áp d ng các ụ

Quy t c chuy n v . ể ế ườ ứ ẳ

ắ ế ổ

ế ế ế 2. Quy t c chuy n v : khi chuy n m t s h ng t tính ch t sau: ấ N u a = b thì a + c = b + c; N u a + c = b + c thì a = b; N u a = b thì b = a . ể ế ắ ừ ế ể ả ổ ấ ố ạ ủ ấ ẳ ấ ộ v này sang v kia c a m t ộ ố ạ ế đ ng th c ta ph i đ i d u s h ng đó: d u “ + “ thành d u “ – “ và d u “ – “ ứ ấ thành d u “ + “. ấ

Ví dụ: Tìm x ˛ Z , bi t :ế

1. Tìm y ˛ Z , bi

x – 15 = 17 – 48 hay x = - 16. a) 3 – x = (- 21) – ( - 9) , hay 3 – x = -21 + 9 hay 3 – x = - 12 , do đó x = 3 + 12 = 15. b) Bài t p:ậ t :ế

a) y + 25 = - 63 – ( - 17); b) y + 20 = 95 _ 75; c) 2y – 15 = -11 – ( - 16); d) - 7 _ 2y = - 37 – ( - 26). t :ế

ằ

t: ố

˛ Z). tìm x , bi 2. Cho ba s - 25; 15; x (x ố a) T ng c a ba s trên b ng 50; ủ ằ ố ổ b) T ng c a ba s trên b ng - 35; ủ ằ ố ổ c) T ng c a ba s trên b ng – 10. ủ ằ ố ổ 2. Cho x , y ˛ Z . Hãy ch ng minh r ng: ứ a) n u x – y > 0 thì x > y ; ế n u x > y thì x – y > 0. b) ế 3. Cho a ˛ Z. tìm s nguyên x bi ế a) a + x = 11 ; a – x = 27. b) ợ

ng h p hãy cho bi Trong m i tr t v i giá tr nào c a a thì x là s nguyên d ng, s nguyên am , s 0? ế ớ ủ ố ị ươ ố ố t ế

ỗ ườ 4. Cho a˛ Z. tìm x ˛ Z bi a) │x│= a ; b) │x + a│ = a.

b i và

ộ

ướ ủ

c c a m t s nguyên. ộ ố

c c a m t s nguyên : cho a , b

1. B i và ộ

ướ ủ ộ ố ố cho a = bq thì ta nói a chia h t cho b. ta còn nói a là b i c a b va b là

˛ Z và b≠ 0 . n u có s nguyên q sao c c a a.

ế ế ộ ủ ướ ủ Chú ý : c q và vi t a : b = q. ượ ế ộ ủ ọ ố ế ố ố ướ ủ ấ ả • N u a = bq thì ta còn nói a chia cho b đ • S 0 là b i c a m i s nguyên khác 0. • S 0 không ph i là c c a b t kì s nguyên nào. ố • Các s 1 và – 1 là ố c c a m i s nguyên. ọ ố ướ ủ 2. Tính ch t:ấ ế ế ế

ế ế ế • N u a chia h t cho b và b chia h t cho c thì a cũng chia h t cho c : ế a  b và b  c (cid:222) a  c. • N u a chia h t cho b thì b i c a a cũng chia h t cho b : ộ ủ " m ˛ Z ta có a  b (cid:222) a = am b.

• N u hai s a ,b chai h t cho c thì t ng và hi u c a chúng cũng chia h t ế ổ ệ ủ ố ế ế cho c

a  c và b  c (cid:222) ( a + b )  c và ( a – b )  c.

 ( n – 1 ).

Ví d .ụ Tìm s nguyên n , sao cho: (n - 6) ố

Gi c c a ( - 5). Do đó: ướ ủ i .ả (n - 6)  ( n – 1 ) hay [ ( n – 1 ) – 5]  ( n – 1 ) suy ra ( - 5)  ( n – 1 ) hay (n – 1) là

• N u n – 1 = -1 thì n = 0; ế

• N u n – 1 = 1 thì n = 2; ế

• N u n – 1 = - 5 thì n = -4; ế

• N u n -1 = 5 thì n = 6. ế

•

Th l i: ử ạ

 ( - 1);

• V i n = 2 thì n – 6 = - 4 , n- 1 = 1 và (– 4)

 1;

V i n = 0 thì n – 6 = - 6 , n- 1 = -1 và (– 6) ớ

• V i n = -4 thì n – 6 = - 10 , n- 1 = -5 và (– 10)

 ( - 5);

ớ

• V i n = 6 thì n – 6 = 0 , n- 1 = 5 và 0

 5;

ớ

ớ

v y n = - 4 , 0 , 2 ,6. ậ

Bài t pậ

1. Ch ng t r ng : ứ ỏ ằ

a) T ng c a ba s nguyên liên ti p thì chia h t cho 3; ủ ế ế ổ ố

b) T ng c a năm s nguyên liên ti p thì chia h t cho 5. ủ ế ế ố ổ

2. Có hay không m t hình vuông mà s đo đ dài các c nh là s nguyên và s đo di n tihcs b ng 111…11 ; ệ ằ ạ ộ ố ố ố ộ ( 2001 ch s 1)? ữ ố

a)

3. Tìm s nguyên n sao cho: ố

b)

(3n + 2)  ( n – 1 ).

c)

(3n + 24)  ( n – 4 ).

(n2 + 5)  ( n + 1 ).

4. Cho x, y là các s nguyên . ch ng t r ng n u 6x + 11y chia h t cho 31 thì x + 7y cũng chia h t cho 31. ỏ ằ ế ế ế ố ứ i có đ ng không? đi u ng ề c l ượ ạ ứ

5. Ch ng t ứ ỏ ằ r ng v i m i s nguyên n thì : ọ ố ớ

a) ( n - 1)( n + 2) + 12 không chia h t cho 9; ế

b) ( n + 2)( n + 9) + 21 không chia h t cho 49; ế

Phân s b ng nhau. ố ằ

a b

c d

và g i là b ng nhau n u : a. b = c. d. Hai phân s ố ọ ế ằ

Ví d . L p các c p phân s b ng nhau t b n trong năm s sau: 3; 6; 12; 24; 48. ố ằ ụ ặ ậ ừ ố ố

Gi i. T năm s đã cho , có ba đ ng th c sau: 3. 24 = 6.12 ; 3.48 = 6.24; 6.48 = 12.24. ả ứ ừ ẳ ố

3 6

12 24

V i đ ng th c 3.24 = 6.12 , tr = (1). Đ l p các c p phân s b ng nhau ớ ẳ ứ ướ ế c h t ta l p m t c p phân s ố ộ ặ ậ ố ằ ể ậ ặ

•

khác ta làm nh sau: ư

24 6

12 3

. Tráo đ i v trí s 3 và 24 c a (1), ta đ = ổ ị ủ ố ượ ặ c c p phân s ố

• Tráo đ i v trí s 6 và 12 c a (1), ta đ ố

3 12

6 24

• Tráo đ i v trí s 3 và 24 , 6 và 12 c a (1), ta đ

. = ổ ị ủ ượ ặ c c p phân s ố

24 12

6 3

= . ổ ị ủ ố ượ ặ c c p phân s ố

Tóm l đ ng th c 3.24 = 6.12, ta l p đ i t c 4 c p phân s b ng nhau. ạ ừ ẳ ậ ượ ứ ố ằ ặ

Cách làm t ng t v i hai đ ng th c còn l i , ta đ ươ ự ớ ứ ẳ ạ ượ c 8 c p phân s b ng nhau n a. ố ằ ữ ặ

V y có t t c 12 c p phân s b ng nhau: ậ ấ ả ố ằ ặ

3 6

12 24

24 6

12 3

3 12

6 24

24 12

6 3

= ; = ; = ; = ;

3 6

48 24

48 6

24 3

3 24

6 48

48 24

6 3

= ; = ; = ; = ;

6 12

24 48

48 12

24 6

6 24

12 48

48 24

12 6

= ; = ; = ; = ;

2 x

y 3-

t : = . Ví dụ. Tìm các c p s nguyên x, y bi ặ ố ế

2 x

y 3-

Gi = , suy ra xy = - 6. iả . T ừ

Đ tìm các c p s nguyên x , y ta ph i xét t t c các cách phân tích s -6 d c dangjtichs c a hai s nguyên: ặ ố ể ả ấ ả ố ướ ủ ố

( - 6) = ( - 1).6 = 6 .( -1) = ( -2) .3 = ( - 3) .2.

Vì vai trò c a x , y nh nhau nên có 8 c p s nguyên th a mãn đ bài : ặ ố ư ủ ề ỏ

x -1 6 1 -6 2 -3 -2 3

y 6 -1 -6 1 -3 2 3 -2

Bài t p. ậ

1.Vi t các phân s sau d i d ng phân s co m u d ng: ế ố ướ ạ ẫ ươ ố

22 37

3 19

11 39

51 57

- - - ; ; ; ; - - - -

2.Tìm các s nguyên x,y bi t: ố ế

7 y

x y

x 1-y

x 3

3- 11

5 19

a) = ; b) = ; c) = . -

3. Tìm các s nguyên x , y ,z ,t bi t : ố ế

12 6

x 5

y- 3

z 17

t 9-

3

- = = = = . - -

z

4 2 y

24 6

x 3

2

- 4.Tìm các s nguyên x, y , z bi t : = = = . ố ế - -

5. L p các c p phân s b ng nhau t b n trong sáu s sau : ố ằ ặ ậ ừ ố ố

- 5 ; - 3 ; - 2 ; 6 ; 10 ; 15.

6. Tìm các s t nhiên a , b , bi t r ng a ,b là các s nguyên t cùng nhau ố ự ế ằ ố ố

+ +

a a

7 b b 5

29 28

và = .

Rút g n phân s . ố

ọ

1. Mu n rút g n m t phân s ta chia c t ộ ả ử ọ ố c chung ( khác 1 ho c – 1) c a chúng đ đ và m u c a phân s cho m t ộ ố c phân s đ n gian ố ơ ẫ ủ ể ượ ủ ặ ố s ố ướ h n.ơ

2. Phân s t

a b

i gi n là phân s không th rút g n đ ố ố ả ọ ượ ữ c n a. phân s ố ố ể

i gi n n u │a│và│b│ là hai s nguyên t cùng nhau. t ố ả ế ố ố

+ +

n 5 n 3

3 2

là phân s t i gi n v i Ví d .ụ Ch ng t ứ ỏ ằ r ng phân s ố ố ố ả ớ " n ˛ N.

+ +

n 5 n 3

3 2

là phân s t i gi n v i Vì n ˛ N , nên 5n + 3˛ N* và 3n + 2 ˛ N* . do v y đ ch ng minh phân s ố ể ứ ậ ố ố ả ớ " n ˛

N. at ph i ch ng minh 5n + 3 và 3n + 2 là hai s nguyên t cùng nhau. ứ ả ố ố

˛ N và d≥ 1) , ta có 5n + 3  d và 3n + 2  d , do đó 3(5n + 3)  d và 5(3n

G i CLN c a 5n + 3 và 3n + 2 là d ( d ọ Ư ủ

+ +

n 5 n 3

3 2

là ậ + 2)  d . suy ra 5(3n + 2) - 3(5n + 3)  hay 15n + 10 – 15n – 9 d , hay 1 d , do đó d = 1 .v y phân s ố

phân s t i gi n v i ố ố ả ớ " n ˛ N.

188887 211109

- , bi t t ng gi a t và m u c a phân s là 6. Vì dụ . tìm phân s b ng phân s ố ố ằ ế ổ ữ ử ẫ ủ ố

188887 211109

17 19

17 k k 19

- - - Gi . Các phân s pahir tìm có d ng = (k ˛ Z , k ≠ 0). iả . ta có: ạ ố

Vì t ng gi a t và m u c a phân s là 6 nên – 17k + 19k = 6 suy ra k = 3. ữ ử ổ ẫ ủ ố

3.17 3.19

51 57

- - V y phân s ph i tìm là : = ố ả ậ

3

5

Bài t p ậ

1. Rút g n các phân s sau: a)

4

3

3 3.2 2 2 5.3.2

3 8.7.5.3.)2( 14.5.2.3

- b) ố ọ

2

2

2

2

28

24

4

+

2. Rút g n các phân s sau: ố ọ

4

30

28

2

+ +

+ +

11 16.6.5 12 10.6.2

6 15.12.6 2 3 960.81

25 25

25 25

++ ... ++ ...

25 25

1 1

a) ; b) -

3

+

r ng v i m i s nguyên n , các phân s sau là phân s t 3. Ch ng t ứ ỏ ằ ọ ố ố ố ớ ố i gi n: ả

+ +

n + 4

n +

n 15 30 n

1 1

2 2 n 3

1

n

a) b) .

+ +

n 18 21 n

3 7

4. Tìm t là phân s t ấ ả t c các s nguyên đ phân s ố ể ố ố ố i gi n. ả

13 9

. Ph i them vào t và m u c a phân s , s t nhiên nào đ đ 5. a) Cho phân s ố ả ử ố ố ự ẫ ủ ể ượ c phân s b ng phân ố ằ

5 7

? s ố

19 44

. Ph i thêm vào t và m u c a phân s , s t nhiên nào đ đ b) Cho phân s ố ả ử ố ố ự ẫ ủ ể ượ c phân s b ng phân s ố ằ ố

22 47

?

1 đ n 9 đ ghép thành m t phân s mà m i phân s l n l t b ng : 2 ,3, 4, ố ầ ượ ằ ế ể ộ ỗ ố ữ ố ừ 6. Dung m t trong chín ch s t ộ 5,6 ,7 , 8, 9.

a b

7. Tìm phân s t , bi ố ố i gi n ả t:ế

c m t phân s b ng phân s đã cho; a) C ng t ộ ử ớ v i 4 . m u v i 10 thì đ ẫ ớ ượ ố ằ ộ ố

b) c ng m u vào t , c ng m u vào m u thì đ c m t phân sô g p 2 l n phân s đã cho. ẫ ộ ử ộ ẫ ẫ ượ ấ ầ ố ộ

8. Tìm phân s , bi t : ố ế

9 20

và BCNN c a t và m u là 360; a) Phân s đó b ng phân s ố ằ ố ủ ử ẫ

20 39

và CLN c a t b) Phân s đó b ng phân s ố ằ ố ủ ử Ư và m u là 36. ẫ

1 a6

a ab

1

, bi . 9. Tìm phân s ố ế ằ t r ng phân s đó b ng phân s ố ằ ố

˛ N thì cá phân s ố

n 2

n 3

5 2 +n 6

10. Ch ng t là s t nhiên v i n và là các phân s t ứ ỏ ằ r ng n u phân s ố ế ố ự ớ iố ố

gi n.ả

Quy đ ng m u nhi u phân s

ồ

ề

ẫ

ố.

Mu n quy đ ng m u nhi u phân s v i m u d ng ta làm nh sau: ố ớ ẫ ươ ồ ố ề ẫ ư

B c 1 : Tìm m t b i chung c a các m u ( th ướ ộ ộ ủ ẫ ườ ng là BCNN) đ làm m u chung. ể ẫ

ừ c 2: Tìm th a s ph c a m i m u ( b ng cách chia m u chung cho t ng ừ ố ụ ủ ỗ ẫ ằ ẫ B ươ m u).ẫ

B c 3: Nhân t và m u c a phân s v i th a s ph t ng ng. ướ ử ố ớ ừ ố ụ ươ ứ ẫ ủ

Ví d . Rút g n r i quy đ ng m u s các phân s sau: ẫ ố ọ ồ ụ ồ ố

4

+

7.10

2

+ 11.45.4 3.47.8

8.15 + 6.5

3.20

2 7.5.2 3 11.7.5.2

- ; và . -

+

Gi ả i. rút g n các phân s : ố ọ

5(4 )11 )37.2(4

+ 11.45.4 + 3.47.8

16.4 11.4

16 11

= = = ; -

+

7.10

)7.28.3(5 + )3.46(5

8.15 + 6.5

3.20

10.5- 18.5

10 18

5- 9

4

- - - - = = = = ;

2

5.2 11.7

10 77

2 7.5.2 3 11.7.5.2

3 7.5.5.2.2 3 11.7.7.5.2

= = = .

16 11

5- 9

10 77

; ; . Quy đ ng m u ba phân s : ẫ ồ ố

M u chung : 7.9.11 = 693. ẫ

Các th a s ph t ng ng : 9.7 = 63 ; 7.11 = 77 và 9. ừ ố ụ ươ ứ

16 11

63.16 63.11

1008 693

5- 9

77.5- 77.9

385 693

10 77

9.10 9.77

90 693

- V y : = = ; = = ; = = . ậ

Bài t p:ậ

1. Tìm m u chung c a các phân s sau : ủ ẫ ố

2

4

2

13 2 5.3.2

11 2 7.5.3.2

19 11.7.3

23 2 13.7.3

- - a) và ; b) và

2. Tìm t t c cá phân s mà t nhiên khác 0 có m t ch s , t kém m u 3 đ n v và có ấ ả ố ử và m u đ u là các s t ề ố ự ẫ ữ ố ủ ộ ẫ ơ ị

a) BC c a các t là 210; ủ ử

b) BC c a các m u là 210; ủ ẫ

c) BC c a các t và m u là 210; ủ ử ẫ

3. Tìm các ch s a , b ,c đ : ể ữ ố

36 ab

= a + b; a) Phân s ố

1000 ++ cba

b) Phân s ố = abc .

2

2

5

9

4. Cho ba phân s :ố

+

5 3

12

+

2929 1919 .2

101 + 404

3.5 2 2 3.5

5

6 9.4 4 3.8

120.6 11 6

- - - ; ; -

Rút g n r i quy đ ng m u các phân s đó. ọ ồ ẫ ồ ố

t r ng khi c ng t ẫ ố ử ớ ẫ ớ v i – 18, nhân m u v i ộ c m t phân s b ng phân s ban đ u. 7 thì đ 6. Tìm phân s có m u b ng 11 , bi ộ ế ằ ố ằ ố ằ ượ ầ

7. a) Tìm phân s b ng phân s ố

8 18

, có tích gi a t và m u b ng 324; ố ằ ữ ử ẫ ằ

b)Tìm phân s bi t tích c a t và m u là 550 và m u c a phân s ch ch a các s nguyên t 2 và 5. ố ế ủ ử ố ỉ ứ ẫ ủ ẫ ố ố

So sánh phân s .ố

1. V i hai phân s cùng m u d ng , ta có : ẫ ươ ớ ố

a) N u a < c và b > 0 thì

a b

c b

< . ế

b) N u a > c và b > 0 thì

a b

c b

> . ế

t chúng d ố ẫ ế v i nhau. Phân s nào có t ồ i d ng hai phân ướ ạ ử ớ l n ố 2. Mu n so sánh hai phân s không cùng m u , ta vi ố ng r i so sánh các t ẫ ươ ử ớ ơ ơ s có cùng m t m u d ố ộ h n thì phân s đó l n h n. ố ơ

Ví dụ: Hãy tìm các phân s , th a mãn m i đi u ki n sau: ệ ề ố ỏ ỗ

a) Có m u là 30 , l n h n

5 17

6 17

và nh h n . ẫ ớ ơ ỏ ơ

b) Có m u là 5 , l n h n

2 3

1 6

và nh h n . ớ ơ ẫ ỏ ơ - -

Trong m i tr ng h p trên hãy s p x p các phân s theo th t nh đ n l n. t ỗ ườ ắ ế ứ ự ừ ỏ ế ơ ố ợ

a 30

Gi , trong đó a ˛ Z., ta có: i.ả a) G i phân s c n tìm là ố ầ ọ

a 30

6 17

17a 510

150 510

5 17 do đó 8 < a < 11 , mà a ˛ Z. nên a = 8 ,10. v y có hai phân s th a mãn đ bài :

< < , quy đ ng m u chung c a ba phân s ta đ c : < < ; suy ra 150 < 17a < 180 , ượ ủ ẫ ồ ố

180 510 9 30

3 10

10 30

1 3

= ; = . ố ỏ ề ậ

5 17

3 10

1 3

6 17

S p x p các phân s theo th t nh đ n l n : t < < < . ắ ế ứ ự ừ ỏ ế ớ ố

3- 5

2- 5

1- 5

b) Cách làm t : ta tim đ c ba phân s th a mãn đ bài : ; ; . n t ươ ự ượ ố ỏ ề

2 3

3- 5

2- 5

1- 5

1 6

S p x p các phân s theo th t nh đ n l n : t < < < < . ắ ế ứ ự ừ ỏ ế ớ ố - -

Bài t pậ :

1. Đi n s thích h p vào ch co d u … ề ố ấ ợ ỗ

... 23

... 23

... 23

... 23

10 23

5- 23

- a) < < < < < ;

... 30

... 15

1- 5

1- 10

b) < < < .

2. Hãy tìm các phân s , sao cho : ố

5 13

4 13

và nh h n ; a) Có m u là 20 , l n h n ẫ ớ ơ ỏ ơ

5 6

5 7

b) L n h n và nh h n . ớ ơ ỏ ơ

4 5

. cùng c ng thêm 3 vào t 3. a) Cho phân s ố ộ ử và m u c a phân s thì phân s tìm đ ố ẫ ủ ố ượ ớ c l n h n hay nh ơ ỏ

4 5

? h n ơ

5 4

. cùng c ng thêm 3 vào t b) Cho phân s ố ộ ử và m u c a phân s thì phân s tìm đ ố ẫ ủ ố ượ ớ c l n h n hay nh ơ ỏ

5 4

? h n ơ

1 6

2 3

và . hãy tìm : 4. Cho hai phân s ố

1 6

2 3

a) Năm phân s có t và m u cùng là s d ng , sao cho các phân sô đó l n h n và nh h n ; ố ử ố ươ ẫ ớ ơ ỏ ơ

1 6

2 3

b) hai m i phân s có t và m u cùng là s d ng , sao cho các phân sô đó l n h n và nh h n ; ươ ố ử ố ươ ẫ ớ ơ ỏ ơ

1 6

c) Có nh n xét gì v s các phân s có cùng t và m u cùng là s d ng , sao cho các phân s đó l n h n và ề ố ậ ố ử ố ươ ẫ ớ ơ ố

2 3

; nh h n ỏ ơ

1- 2

1- 3

5. Hãy vi t ba phân s có m u khác nhau , xen gi a hai phân s : và ế ữ ẫ ố ố

Tính ch t c b n c a phép c ng phân s . ố

ấ ơ ả ủ

ộ

ổ 1. Tính ch t giao hoán : khi đ i ch các phân s trông m t t ng thì t ng ỗ ộ ổ ố ổ ấ không đ i .ổ

a b

c d

a b

c d

c d

a b

và ta có : + = + . V i m i phân s ố ớ ọ

2. Tính ch t k t h p : mu n c ng m t t ng hai phân s v i phân s ấ ế ợ ố ộ ộ ổ ố ớ ố ứ ấ ớ ổ ố ể ộ ố ố th ba , ta c th c ng phân s th nh t v i t ng hai phân s còn ứ i.ạ l

p q

p q

p q

a b

c d

a b

c d

a b

c d

, , ta có : ( + ) + = + ( + ). V i m i phân s ố ớ ọ

ổ ủ ớ ọ ố

, ta có + 0 = + 0 = . s ố

3. T ng c a m t phân s v i 0 b ng chính phân s đó : V i m i phân ằ a b

a b

ố ớ a b ộ a b

Ví dụ : Tính nhanh các t ng sau: ổ

a) A =

2 7

3- 8

4 7

1 7

5- 8

1 3

+ + + + + .

b) B =

1 2

2- 3

3 4

4- 5

5 6

6- 7

7 8

6 7

5- 6

4 5

3- 4

2 3

1- 2

+ + + + + + + + + + + +

ừ iả .a) Áp d ng tính ch t giao hoán và k t h p c a phép c ng phân s , g p các phân s có cùng m u vào t ng ế ợ ủ ụ ẫ ấ ố ộ ố ộ Gi nhóm, ta có :

2 7

4 7

1 7

3- 8

5- 8

1 3

1 3

A = ( + + ) + ( + ) + = .

ụ ế ợ ủ ấ ằ ổ ố ố ộ b)Áp d ng tính ch t giao hoán và k t h p c a phép c ng phân s , g p các phân s có t ng b ng 0 vào t ng ừ ộ nhóm, ta có :

3 4

3- 4

4- 5

4 5

5 6

5- 6

6- 7

6 7

7 8

1 2

1- 2

2- 3

2 3

B = ( + )+( + )+( + )+( + )+( + )+( + ) +

7 8

B = .

Bài t p:ậ

1.Th c hi n phép tính m t cách h p lí , tính các t ng sau: ự ệ ổ ộ ợ

2- 9

3- 4

3 5

1 15

1 57

1 3

1- 36

A = + + + + + +

1 2

1- 5

5- 7

1 6

3- 35

1 3

1 41

B = + + + + + +

1- 2

3 5

1- 9

1 127

7- 18

4 35

2 7

C = = + + + + + +

t : 2. Tìm các s nguyên x bi ố ế

1 3

2- 5

1 6

1- 5

3- 4

2 7

3 5

5 7

1- 4

a) + + + ≤ x < + + + + .

5 17

4- 9

20 31

12 17

11 31

3- 7

7 15

4 7

8 15

2 3

- - b) + + + + < x ≤ + + + + -

1 51

1 52

1 53

1 99

1 100

1 2

3. Cho S = + + +….+ + . Hãy so sánh S v i ớ

ả ộ ầ c. N u m riêng t ng vòi thì vòi th nh t ch y đ y ứ ấ ừ ả ế và vòi th ba trong 5 gi 4. Ba vòi n c cùng ch y vào m t chi c b không ch a n ướ b trong 3 gi , vòi th hai ch y trong 4 gi ờ ể ứ ướ ứ ế ể ờ ứ ả ở .H i: ờ ỏ

a) Trong 1 gi , nõi vòi ch y đ ờ ả ượ c m y ph n c a b ? ầ ủ ể ấ

b) Trong 1 gi ,c ba vòi cùng ch y thì đ ờ ả ả ượ c m y ph n c a b ? ầ ủ ể ấ