Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2017. ISBN: 978-604-82-2274-1
105
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN
VỚI PHẦN PHI TUYẾN TĂNG TRƯỞNG TRÊN TUYẾN TÍNH
Nguyễn Văn Đắc
Trường Đại học Thủy lợi, email: nvdac@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG
Bao hàm thức vi phân được phát sinh từ
nhiều bài toán khác nhau. Trong nhiều áp
dụng, trễ thời gian đóng giúp ta mô tả tốt hơn
những bài toán thực tế. Hơn nữa, trong một
số bài toán điều khiển thì trễ là hạng tử tất
yếu vì nhân tố điều khiển cần lấy thông tin từ
quá khứ của hệ. Vì thế các bao hàm thức vi
phân có trễ là mô hình tổng quát và có nhiều
áp dụng. Sự tồn tại nghiệm của các bao hàm
thức là điều kiện tiên quyết để ta có thể
nghiên cứu về dáng điệu nghiệm. Khi nghiên
cứu dáng điệu nghiệm khi thời gian đủ lớn, ta
cần điều kiện về độ tăng trưởng của phần phi
tuyến là dưới tuyến tính (xem [1], [2]). Tuy
nhiên, với mục đích nghiên cứu dáng điệu
nghiệm trong khoảng thời gian hữu hạn thì ta
chỉ cần sự tồn tại nghiệm trong khoảng thời
gian compact cho trước, đây là hướng nghiên
cứu còn ít kết quả. Thế nên, theo hiểu biết
của tác giả, chưa có công trình nào công bố
về sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức vi
phân với phần phi tuyến tăng trưởng trên
tuyến tính. Trong bài báo này, tác giả trình
bày về sự tồn tại nghiệm của hệ sau với phần
phi tuyến có thể tăng trưởng trên tuyến tính
'( ) ( ) ( , ), [0, ] (1.1)
() (), [ ,0] (1.2)
t
ut Aut Ftu t T
ut t t h
với u lấy giá trị trong không gian Banach X,
A là toán tử sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh
{S(t): t ≥ 0}, ut là hàm trễ u và
12
(, ) { (, ); (, );....; (, )}
tttnt
Ftu co f tu f tu f tu
với các hàm đơn trị ( , ), 1,...,
it
f
tu i n xác định
trên [0, ] ([- ,0]; )TCh X. Hàm cho trước và
là dữ kiện đầu.
2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Sử dụng phương pháp nửa nhóm, phương
pháp điểm bất động của ánh xạ đa trị, sử
dụng các ước lượng độ đo không compact.
3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
3.1. Kiến thức chuẩn bị
Cho E là không gian Banach. Ta sử dụng
các kí hiệu sau: (), (), (), ()
bc
E
EEKvE
lần
lượt là các tập con khác rỗng, các tập con bị
chặn, các tập con đóng và các tập con lồi và bị
chặn của không gian Banach. Các không gian
hàm: 1
([0; ]; ), (0, ; )CTELTE
lần lượt là không
gian các hàm liên tục và khả tích Bochner. Để
chứng minh sự tồn tại nghiệm, chúng tôi sử
dụng phương pháp điểm bất động cho ánh xạ
nén theo độ đo không compact, nên chúng tôi
cần các độ đo không compact sau đây:
Độ đo không compact Hausdorff trên E,
kí hiệu là ()
Độ đo không compact trên C([0,T]; E):
[0, ]
0,[0,],| |
() sup (()),
mod ( ) lim sup max ( ) ( )
Lt
T
tT
Tts T t s
xD
DeDt
D
xt xs
‖‖
và () ()mod(),
TT T
D
DD
trong đó độ đo cuối cùng là độ đo có tính
chính qui. Tiếp theo ta cần một số ước lượng
về độ đo không compact.
Mệnh đề 1. (xem [2]):
Cho 1(0, ; )
D
LTE là một tập sao cho:
D
bị chặn tích phân và (()) ()
D
tqt
với hầu
khắp [0, ]tT
, với 1(0, )qL T.
Khi đó
00
() 4 () .
tt
D
sds qsds
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2017. ISBN: 978-604-82-2274-1
106
Ngoài ra, ta sử dụng đến kí hiệu chi-chuẩn:
‖‖ của toán tử tuyến tính bị chặn .
Bổ đề 1 (xem [2]) Cho :()GY E là một
ánh xạ đa trị đóng và tựa compact với giá trị
compact. Khi đó G là nửa liên tục trên.
Bổ đề 2 (xem [1]) Cho E là không gian
Banach và là một tập khác rỗng của không
gian Banach khác. Giả sử rằng :()GE
là một ánh xạ đa trị có giá trị lồi và compact
yếu. Khi đó G là nửa liên tục trên yếu khi và
chỉ khi {}
n
x với 0n
xx
và ()
nn
yGx
thì suy ra có một dãy con 00
()
k
n
yyGxÎ.
Nguyên lí điểm bất động dưới đây sẽ được
sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm.
Định lí 1 (xem [2]) Cho là tập lồi,
đóng và bị chặn của không gian E và
:()Kv
là ánh xạ đóng,
-nén. Khi
đó ():{Fix ( )}
x
x
là tập khác rỗng.
3.2. Sự tồn tại nghiệm tích phân
Đặt
[0, ], ([ ,0]; ),
{(;):(0)(0)}, .
h
h
JT ChX
CvCJXv
Với vC
, hàm [] ([ , ]; )vChTX
xác
định như sau () if [0, ],
[]() () if [ ,0].
vt t T
vt tth
Ta giả thiết:
(A) Nửa nhóm ()S sinh bởi
A
liên tục
theo chuẩn và () Stx M x x X,‖‖‖‖ .
(F) Các ánh xạ :,1,,
ih
f
JXin
thỏa mãn:
(1) (, )
i
f
x đo được mạnh với mỗi h
x
và
(,)
i
f
t liên tục với hầu khắp tJ;
(2) tồn tại hàm 1(; )mLJ
¡ và hàm thực
liên tục và không giam sao cho:
(, ) () ( ), ;
h
ih
ftx mt x x
‖‖ ‖‖
(3) Nếu nửa nhóm ()S không có tính
compact thì tồn tại hàm 1(; )kLJ
¡ sao cho
[,0]
((,)) ()sup (())
i
h
ftB kt B
với mọi tập bị chặn h
B.
Đặt 12
(, ) co{ (, ), (, ), , (, )}
n
Ftx f tx f tx f txL, thì
ta được( , ) ( ) ( ), .
hh
Ftx mt x x ‖‖ ‖‖
Ngoài ra, ta có F có giá trị lồi và compact.
Bằng cách sử dụng tính chất của độ đo không
compact và lập luận tương tự như trong [1],
ta chứng minh được hai mệnh đề sau.
Mệnh đề 2. Giả sử (F)(1) - (F)(3) đúng.
Khi đó (i) [,0]
((,)) ()sup (())
h
FtB kt B
với mọi tập bị chặn h
B;
(ii) (, ):[0, ]Fx T X
có hàm chọn đo được
mạnh và (,): h
Ft X
là nửa liên tục trên.
Mệnh đề 3. Giả sử (F)(1) - (F)(2) thỏa
mãn. Khi đó, với mỗi vC
, tập
1
(): { ( ; ): () ( ]) },,[
Ft
vfLJXftFtv tJ
là khác rỗng và 1
:((;))
FCLJX
nửa liên
tục trên yếu với giá trị lồi, compact yếu.
Sau đây là định nghĩa về nghiệm:
Định nghĩa: Hàm liên tục :[ , ]uhT X
được gọi là nghiệm tích phân của bài toán
(1.1) - (1.2) nếu và chỉ nếu () ()ut t
với
[,0]th
và tồn tại hàm [0, ]
(| )
FT
fu sao
cho 0
() () (0) ( ) ( )
t
ut St St s f sds
,[0, ]tT.
Toán tử nghiệm :()CC
được định
nghĩa như sau
0
()() ()(0) ( ) () | () .{}
t
F
u t St St s f sds f u
Đặt: 1
0
()() ( )() , (; ),
t
f
tStsfsdsfLJX
ta có: ( )() () (0) ( )().
oF
ut St ut
Ta thấy uC
là điểm bất động của khi
và chỉ khi []u
là nghiệm của bài toán (1.1) -
(1.2) trên [,]hT
.
Bổ đề 3. Với các giả thiết (A) và (F), toán
tử nghiệm là toán tử đóng với giá trị lồi
Chứng minh. Thật vậy, có giá trị lồi vì
F có giá trị lồi. Lấy {}
n
uC
, *
n
uuvà
()
nn
zu
với *
n
zz. Ta có:
() () (0) ( )().
o
nFn
zt St u t
Chọn ()
nFn
f
u
và ( ) ( ) (0) ( )( ).
nn
zt St f t
Vì
F
có giá trị lồi và compact yếu; nửa
liên tục trên yếu nên theo Bổ đề 2, ta có
*
n
ff trong 1(; )LJX và **
()
F
f
u. Hơn
nữa đặt () (,{ [ ]})
nt
Kt Ft u
thì {()} ()
n
f
tKt
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2017. ISBN: 978-604-82-2274-1
107
với hầu khắp tJ với ()
K
t là comact trong
X
vì F là nửa liên tục trên (F)(2), từ đó
{()}
n
f
là compact trong (; )CJX theo định
lí Azela-Ascoli. Chuyển qua giới hạn hai
vế của () () (0) ( )()
nn
zt St f t
, thu được
**
0
() () (0) ( ) ( ) ,
t
z t St St s f sds
**
()
F
f
u
từ đó suy ra **
()zu. Đpcm.
Bổ đề 4. Giả sử (A) và (F) thỏa mãn.
Khi đó:
()
0
[0, ]
(()) sup4 ( ) () (),
tLt s
T T
tT
eStsksds
‖‖
với mọi tập bị chặn C
.
Chứng minh. Lấy u, ta có:
( )() () (0) ( )().oF
ut St ut
Vì ()oF
là tập đồng liên tục trong C
.
Nên mod ( ( )) 0.
o
TF
Mặt khác:
( ( )( )) ( ( )( )), 0. oF
ttt
Theo Mệnh đề 1, thì:
0
( ( )( )) 4 ( ( ) ( )( )) .
oo
t
FF
tStssds
Nếu nửa nhóm ()S compact thì hạng tử
cuối bằng 0, trái lại ta có, theo (F)(3), ta được:
0[,0]
0[0, ]
( ( )( ))
4 ( ) ( ) sup ( [ ]( ))
4 ( ) ( ) sup ( ( )) .
oF
t
h
t
rs
t
St s k s s ds
St s k s r ds
‖‖
‖‖
Nên
()
0[0, ]
()
0
(()())
4()()sup(())
()4 ( ) ().
Lt
tLt s Lr
rT
tLt s
T
et
eStsksdse r
eStsksds
‖‖
‖‖
Điều này suy ra:
[0, ]
()
0
[0, ]
sup ( ( )( ))
()sup4 ( ) () .
Lt
tT
tLt s
T
tT
et
eStsksds
‖‖
Từ đó, ta được điều phải chứng minh.
Sau đây, ta chọ số L sao cho
()
0
[0, ]
4 sup ( ) ( ) 1.
tLt s
tT
eStsksds
‖‖
Định lí 2. Giả sử (A) và (F) thỏa mãn, hệ
(1.1)-(1.2) có nghiệm tích phân nếu có 0R
sao cho .
(0) ( )
h
R
M
mR
‖‖‖‖‖‖
Chứng minh. Để áp dụng Định lí 1, ta còn
phải chỉ ra giữ bất biến
R
B với
R
B là hình
cầu đóng trong
có tâm là gốc tọa độ. Thật
vậy, với
R
uB
và ()zu
, ta có:
0
0
() (0) ( ) ( )
(0) ( ) ( )
(0) ( )
.
h
h
h
t
s
t
zt M M ms u ds
M
MRmsds
MM Rm
R
‖‖ ‖ ‖ ‖‖
‖‖ ‖‖
‖‖ ‖‖ ‖‖
Bất đẳng thức cuối chỉ ra rằng ()
R
uB
với mọi
R
uB
. Kết hợp các Bổ để 3 và Bổ
đề 4, ta thu được điều phải chứng minh.
4. KẾT LUẬN
Sử dụng phương pháp điểm bất động cho
ánh xạ nén, chúng tôi thu được sự tồn tại
nghiệm của bao hàm thức vi phân nửa tuyến
tính dạng đa diện với phân phi tuyến có thể
tăng trưởng trên tuyến tính. Kết quả thu được
giúp ta có thể nghiên cứu tiếp theo về dáng
điệu nghiệm trong khoảng thời gian hữu hạn.
5. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] D. Bother (1998) Multivalued Perturbations
of m-Accretive Differential Inclusions,
Israel J.Math, Vol 108, 109-138.
[2] M. Kamenskii, V. Obukhovskii and P. Zecca
(2001), Condensing Multivalued Maps and
Semilinear Differential Inclusions in Banach
spaces, Walter de Gruyter, Berlin.
![Tài liệu học tập Chuyên đề tế bào [mới nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250906/huutuan0/135x160/56151757299182.jpg)
