Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2017. ISBN: 978-604-82-2274-1
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN VỚI PHẦN PHI TUYẾN TĂNG TRƯỞNG TRÊN TUYẾN TÍNH
Nguyễn Văn Đắc Trường Đại học Thủy lợi, email: nvdac@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG
2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Sử dụng phương pháp nửa nhóm, phương pháp điểm bất động của ánh xạ đa trị, sử dụng các ước lượng độ đo không compact.
3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
)
(
(
(
(
),
),
E
E
E Kv E
c
1 T E L
([0;
(0,
C
];
),
)
3.1. Kiến thức chuẩn bị
( )
Lt
Cho E là không gian Banach. Ta sử dụng lần các kí hiệu sau: ), b lượt là các tập con khác rỗng, các tập con bị chặn, các tập con đóng và các tập con lồi và bị chặn của không gian Banach. Các không gian T E lần lượt là không hàm: ; gian các hàm liên tục và khả tích Bochner. Để chứng minh sự tồn tại nghiệm, chúng tôi sử dụng phương pháp điểm bất động cho ánh xạ nén theo độ đo không compact, nên chúng tôi cần các độ đo không compact sau đây: Độ đo không compact Hausdorff trên E, kí hiệu là
( )),
D t
D
(
)
(
T
]
D
mod (
)
x t ( )
x s ( )
T
0
[0,
sup T t [0, lim sup max ],| , T t s t s
|
‖
‖
(
)
(
),
D
D
D
T
T
T
t
Độ đo không compact trên C([0,T]; E): e
Au t ( )
u t '( )
[0,
),
]
F t u ( , t
t
u t ( )
t ( ),
[
h ,0]
(1.2)
Bao hàm thức vi phân được phát sinh từ nhiều bài toán khác nhau. Trong nhiều áp dụng, trễ thời gian đóng giúp ta mô tả tốt hơn những bài toán thực tế. Hơn nữa, trong một số bài toán điều khiển thì trễ là hạng tử tất yếu vì nhân tố điều khiển cần lấy thông tin từ quá khứ của hệ. Vì thế các bao hàm thức vi phân có trễ là mô hình tổng quát và có nhiều áp dụng. Sự tồn tại nghiệm của các bao hàm thức là điều kiện tiên quyết để ta có thể nghiên cứu về dáng điệu nghiệm. Khi nghiên cứu dáng điệu nghiệm khi thời gian đủ lớn, ta cần điều kiện về độ tăng trưởng của phần phi tuyến là dưới tuyến tính (xem [1], [2]). Tuy nhiên, với mục đích nghiên cứu dáng điệu nghiệm trong khoảng thời gian hữu hạn thì ta chỉ cần sự tồn tại nghiệm trong khoảng thời gian compact cho trước, đây là hướng nghiên cứu còn ít kết quả. Thế nên, theo hiểu biết của tác giả, chưa có công trình nào công bố về sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức vi phân với phần phi tuyến tăng trưởng trên tuyến tính. Trong bài báo này, tác giả trình bày về sự tồn tại nghiệm của hệ sau với phần phi tuyến có thể tăng trưởng trên tuyến tính (1.1)
)
T E ;
f
);
q t ( )
D t
f
n 1,...,
i ),
( )) .
D L bị chặn tích phân và khắp
]
t
( 1(0,
)
T [0,
q L
X
([- ,0];
i )
]
x D ) mod ( và T trong đó độ đo cuối cùng là độ đo có tính chính qui. Tiếp theo ta cần một số ước lượng về độ đo không compact. Mệnh đề 1. (xem [2]): Cho 1(0, là một tập sao cho: D với hầu
T t
D s ds ( )
4
q s ds ( ) .
0
0
, với t Khi đó
105
với u lấy giá trị trong không gian Banach X, A là toán tử sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh t ≥ 0}, ut {S(t): trễ u và là hàm t u f t u co f F t u t u )} ( , ) ( , { ( , ( , ); ....; t t t t 1 2 với các hàm đơn trị xác định t u n ( , t . Hàm cho trước và trên [0, T C h là dữ kiện đầu.
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2017. ISBN: 978-604-82-2274-1
‖ ‖ của toán tử tuyến tính bị chặn .
G Y :
(
)
E
Ngoài ra, ta sử dụng đến kí hiệu chi-chuẩn:
Bổ đề 1 (xem [2]) Cho Ngoài ra, ta có F có giá trị lồi và compact. Bằng cách sử dụng tính chất của độ đo không compact và lập luận tương tự như trong [1], ta chứng minh được hai mệnh đề sau.
( , F t B
( ))
))
(
B
(
h
G
E
(
:
T
]
có hàm chọn đo được
( ) sup [ h ,0] B ; X X
là nửa liên tục trên.
là một ánh xạ đa trị đóng và tựa compact với giá trị compact. Khi đó G là nửa liên tục trên. Mệnh đề 2. Giả sử (F)(1) - (F)(3) đúng. k t Khi đó (i)
h
x và
nx
0
)
với mọi tập bị chặn (ii) ( , ) :[0, F x mạnh và ( , ) : F t Mệnh đề 3. Giả sử (F)(1) - (F)(2) thỏa
y G x ( n n . y G xÎ 0(
0
kny
,
f
t
J
) :
t ( )
f
F
Bổ đề 2 (xem [1]) Cho E là không gian Banach và là một tập khác rỗng của không gian Banach khác. Giả sử rằng ) là một ánh xạ đa trị có giá trị lồi và compact yếu. Khi đó G là nửa liên tục trên yếu khi và chỉ khi { }nx với ) thì suy ra có một dãy con
(
))
h T ,
:[
u
]
Nguyên lí điểm bất động dưới đây sẽ được mãn. Khi đó, với mỗi v C , tập 1 F t v ( L J X ( ; , [ 1 L J X ( ; ] ) } t nửa liên sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm.
( ) : { v là khác rỗng và F C : tục trên yếu với giá trị lồi, compact yếu. Sau đây là định nghĩa về nghiệm: Định nghĩa: Hàm liên tục
Kv (
x ( )}
Fix
Định lí 1 (xem [2]) Cho là tập lồi, đóng và bị chặn của không gian E và là ánh xạ đóng, -nén. Khi ( : ) đó x ) : { là tập khác rỗng.
f
, 0]
h [
X được gọi là nghiệm tích phân của bài toán (1.1) - (1.2) nếu và chỉ nếu với sao t
u t ( ) t ( ) u ( ) | F [0,
T
]
t
t
]
( ) u t
( ) (0)
( S t
) ( ) s f s ds
T [0,
S t
3.2. Sự tồn tại nghiệm tích phân và tồn tại hàm
T
],
([
C
[0,
h
, 0];
X
),
0
:
C
( C )
) : (0)
.
(0)},
h
C
cho , . Đặt J Toán tử nghiệm được định
C
([
h T X ];
,
)
[ ] v
h { v C J X v ( ; Với v C , hàm
t
( )( ) u t
) ( ) s f s ds f
|
( S t
( ) (0)
{ S t
} ( ) . u
F
0
v t ( )
if
t
[0,
T
],
[ ]( ) t v
t
nghĩa như sau xác
t ( )
if
t
h , 0].
[
f
(
)( ) t
) ( ) s f s ds f
,
1 ( ; L J X
( S t
S t
( )( ) u t
( )( ). u t
0 ( ) (0)
định như sau ), Đặt:
o F
ta có:
x X
( )S sinh bởi A liên tục
,
J
:
f
1,
n
,
S t x M x ‖ ‖ ‖ ‖ (F) Các ánh xạ
h
i
]
Ta thấy u C là điểm bất động của khi u là nghiệm của bài toán (1.1) - [ ] , h T
if
x và h
if
J ; )
Ta giả thiết: (A) Nửa nhóm ( ) theo chuẩn và . X i , . và chỉ khi (1.2) trên [ Bổ đề 3. Với các giả thiết (A) và (F), toán đo được mạnh với mỗi tử nghiệm là toán tử đóng với giá trị lồi
nu
C ,
*
)
u (
n
n
f
),
t x ( , )
thỏa mãn: (1) x ( , ) t liên tục với hầu khắp t ( , ) 1( ; (2) tồn tại hàm ¡ m L J và hàm thực Chứng minh. Thật vậy, có giá trị lồi vì * u và
x
i
‖
u
(
)( ). t
F có giá trị lồi. Lấy { }nu nz z
n
liên tục và không giam sao cho: m t ( )
( u
)
f
(
)( ). t
z . Ta có: o ( ) (0) S t F F n ( ) (0) S t
n ( ) z t n
n
k t
))
f
(
i
*
*
*( u
)
f
f trong
; x ( ‖ ‖ ‖ h h (3) Nếu nửa nhóm ( )S không có tính 1( ; sao cho compact thì tồn tại hàm k L J ¡ ) B t B ( )) ( ( ) sup ( , [ ,0] h B . t x
t x ( , ),
h f
L
f
,
với ( ) z t n f và Chọn Vì
2
K t ( )
F t u
t
( ) K t
F thì { ( )}
F t x ( , )
m t ( )
),
x
( ,{ [ ] }) n
t
nf
( , )} t x n . h
‖
‖
( x ‖ ‖
h
106
, thì với mọi tập bị chặn f F t x ( , ) co{ ( , ), 1 F có giá trị lồi và compact yếu; nửa liên tục trên yếu nên theo Bổ đề 2, ta có 1( ; . Hơn L J X và nf ) nữa đặt Đặt ta được
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2017. ISBN: 978-604-82-2274-1
( )K t
J với
t
)
( L t s
( ;
)
)
s
e
S t (
k s ds ( )
1.
‖
‖
0
]
f
)( ) t
(
Từ đó, ta được điều phải chứng minh. Sau đây, ta chọ số L sao cho là compact trong
( ) z t n
n
với hầu khắp t là comact trong X vì F là nửa liên tục trên (F)(2), từ đó C J X theo định )}nf ( { lí Azela-Ascoli. Chuyển qua giới hạn hai vế của , thu được
4 sup [0, t T Định lí 2. Giả sử (A) và (F) thỏa mãn, hệ 0R
( ) (0) S t t
*
*
f
*( u
)
( S t
* ( ) z t
( ) (0)
) s f
( ) s ds
,
S t
F
M
.
*
R
(0)
(
)
m ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
z
)
0 *( u
h
RB với
t
)
( L t s
(
(
e
S t (
s
)
k s ds ( )
(
),
))
T
T
‖
‖
0
sup 4 t T [0, ]
z
(1.1)-(1.2) có nghiệm tích phân nếu có R sao cho từ đó suy ra . Đpcm. Bổ đề 4. Giả sử (A) và (F) thỏa mãn. Khi đó:
u B và R
với mọi tập bị chặn
.
C
(0)
ds
M
)
( ) z t ‖ ‖
( u ‖ ‖ s
‖
‖
h
, ta có:
t
(0)
)
M
R
( ) m s ds
M
( )( ). u t
‖
‖
( ‖ ‖
h
o F
0
(
(0)
)
M
R
M
Chứng minh. Để áp dụng Định lí 1, ta còn phải chỉ ra giữ bất biến RB là hình cầu đóng trong có tâm là gốc tọa độ. Thật vậy, với u ( ) t M m s ( ) 0
‖
‖
( ‖ ‖
m ‖ ‖
h
.
R
0.
u ( )
Chứng minh. Lấy u , ta có: ( )( ) u t Vì
t
(
( ) (0) S t )o F F o ( Theo Mệnh đề 1, thì:
R
t
s
)
(
o
4
( ( S t
)( )) t
. s ds
)( ))
(
(
o F
Nếu nửa nhóm
Bất đẳng thức cuối chỉ ra rằng Nên mod ( T )( )) ( ( t là tập đồng liên tục trong C. Mặt khác: ( )) o F 0. )( )), t B R u B . Kết hợp các Bổ để 3 và Bổ với mọi đề 4, ta thu được điều phải chứng minh.
4. KẾT LUẬN
t )( ))
(
F 0 ( )S compact thì hạng tử cuối bằng 0, trái lại ta có, theo (F)(3), ta được: (
o F
S t (
s
k s
s
(
))
ds
4
[ ](
) ‖
t ‖ 0
( ) sup h [ ,0]
S t (
s
k s
r ds ( )) .
4
(
) ‖
t ‖ 0
( ) sup s r [0, ]
e
(
t )( ))
Sử dụng phương pháp điểm bất động cho ánh xạ nén, chúng tôi thu được sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính dạng đa diện với phân phi tuyến có thể tăng trưởng trên tuyến tính. Kết quả thu được giúp ta có thể nghiên cứu tiếp theo về dáng điệu nghiệm trong khoảng thời gian hữu hạn.
Nên Lt ( t
( L t
s
Lr
5. TÀI LIỆU THAM KHẢO
4
e
S t (
s
k s ds ( )
e
r ( ))
(
) ‖
) ‖
0
]
sup [0, T r
t
s
( L t
[1] D. Bother (1998) Multivalued Perturbations Inclusions,
(
e
)4
S t (
s
k s ds ( )
.
T
) ‖
of m-Accretive Differential Israel J.Math, Vol 108, 109-138.
Lt
) ‖ 0 Điều này suy ra: (
t )( ))
e
(
]
sup T t [0,
t
L t s (
(
e
S t (
s
k s ds ( ) .
T
[2] M. Kamenskii, V. Obukhovskii and P. Zecca (2001), Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach spaces, Walter de Gruyter, Berlin.
) ‖
) ‖
0
) sup 4 T t [0,
]
107
