Tài liệu môn Toán lớp 12 học kì 2 - Trường THCS&THPT Mỹ Thuận

TÀI LIỆU

HỌC TẬP HK2

TOÁN 12

Trường THCS&THPT Mỹ Thuận Vĩnh Long

KẾ HOẠCH TUẦN

L TUẦN 22

L TUẦN 19

L TUẦN 20

L TUẦN 23

L TUẦN 21

L TUẦN 24

L TUẦN 25

L TUẦN 28

L TUẦN 29

L TUẦN 26

L TUẦN 27

L TUẦN 30

L TUẦN 31

L TUẦN 34

L TUẦN 32

L TUẦN 35

L TUẦN 33

MỤC LỤC TOÁN 12

MỤC LỤC

PHẦN I GIẢI TÍCH

Chương 3. Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1. Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 6

6 1. Nguyên hàm và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2. Phương pháp tìm nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2. Tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1. Khái niệm tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2. Tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3. Phương pháp tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 §3. Ứng dụng của tích phân trong hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3. Tính thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4. Thể tích khối tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Chương 4. Số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 §1. Số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1. Định nghĩa số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2. Số phức bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3. Biểu diễn hình học và môđun của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 §2. Cộng, trừ và nhân số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1. Phép vộng và phép trừ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2. Phép nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 §3. Phép chia số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1. Tổng và tích của hai số phức liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2. Phép chia hai số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 §4. Phương trình bậc hai với hệ số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

PHẦN II HÌNH HỌC

1. Căn bậc hai của số thực âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2. Phương trình bậc hai với hệ số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1. Tọa độ của điểm và của vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3. Tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4. Phương trình mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 §2. Phương trình mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 §3. Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1. Phương trình tham số của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2. Hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 4 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

PHẦN I

GIẢI TÍCH

Chương 3. Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 §1. Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2. Tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 §3. Ứng dụng của tích phân trong hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Chương 4. Số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 §1. Số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 §2. Cộng, trừ và nhân số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 §3. Phép chia số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 §4. Phương trình bậc hai với hệ số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 5 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

Chương 3.

Chương 3. Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng TOÁN 12

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

§1.NGUYÊN HÀM

Đặt vấn đề

1) Bổ sung thông tin thích hợp vào các ô trống dưới đây:

f 0 f 0 f 0 STT f(x) (x) STT f(x) (x) STT f(x) (x)

n · xn−1 1 9 cos x 5 ax · ln a

0 2 10 − sin x 6 e

3 11 7 − 1 x2 1 x

1 √ 4 12 8 x 1 x · ln a 1 cos2 x 1 sin2 x

2 Tìm hàm số f(x) biết rằng

NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT

1 Nguyên hàm

2) a. f 0 (x) = 3x2 b. f 0 (x) = x2

Định nghĩa − £ Ø

K . nguyên hàm K của hàm số f(x) trên nếu . . . . . . . . . . . . với Cho hàm số f(x) xác định trên Hàm số F(x) được gọi là mọi x ∈ K .

Ví dụ 1.

• Hàm số F(x) = . . . . . . . . . là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x2. • Hàm số F(x) = . . . . . . . . . là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x.

Ví dụ 2. 1 cos2 x ?

2(x) = tan x + 2020. 4(x) = 2020 tan x.

Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số y = 1(x) = tan x. 3(x) = tan x + 2021. B . F D . F A . F C . F

Định lí 1 − £ Ø

K thì với mỗi hằng số C, hàm K Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên số G(x) = . . . . . . . . . . . . cũng là một nguyên hàm của f(x) trên .

Định lí 2 − £ Ø

K thì mọi nguyên hàm của f(x) K Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên trên đều có dạng . . . . . . . . . . . ., với C là một . . . . . . . . . . . ..

Z f(x) dx = . . . . . . . . . . . . • F(x) là một . . . . . . . . . . . . của f(x) • F(x) + C là . . . . . . tất cả các nguyên

hàm của f(x) • f(x) dx = F 0 (x) dx là vi phân của . . .

Ví dụ 3. Tìm các nguyên hàm sau:

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 6 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

§1. Nguyên hàm TOÁN 12

2 Tính chất của nguyên hàm Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên

Z Z Z c) e dx = a) x2 dx = b) x = dx √ 2

K .

Z f 0 Tính chất 1. (x) dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . .

!

Tính chất 2. k · f(x) dx = . . . . . . . . . . . . (k là hằng số)

Z Tính chất 3. (cid:3) (cid:2)f(x) ± g(x) dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3 sin x + 2 x trên khoảng (0; +∞).

3 Sự tồn tại của nguyên hàm

√ Ví dụ 5. x = và Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (0; +∞) thỏa mãn f 0 (x) · 1 2 f(4) = 5. Tìm f(x).

K K Mọi hàm số . . . . . . . . . . . . trên đều có nguyên hàm trên .

Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Z Z ax • dx = . . . . . . . . . . . . . . . (a > 0, a 6= 1) • 0 dx = . . . . . . . . . . . . . . .

Z Z • cos x dx = . . . . . . . . . . . . . . . • dx = . . . . . . . . . . . . . . .

Z Z xn sin x dx = . . . . . . . . . . . . . . . • dx = . . . . . . . . . . . . . . . (n 6= −1) •

Z Z 1 • • 1 x dx = . . . . . . . . . . . . . . . Z Z 1 • • e dx = . . . . . . . . . . . . . . . cos2 x dx = . . . . . . . . . . . . . . . sin2 x dx = . . . . . . . . . . . . . . .

Ví dụ 6. Tìm các nguyên hàm sau: Chú ý − £ Ø

(cid:19) Z (cid:18) Z (cid:16) (cid:17) cầu b) 1 + tan2 x dx 3x2 + dx a) 1 x2

Từ đây, tìm yêu nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 7 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

§1. Nguyên hàm TOÁN 12

1 Phương pháp đổi biến số Ví dụ 7. (x − 2)2021 dx.

Z Tìm

Định lí 3 − £ Ø Z Nếu f(u) dx = F(u) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

Z (x) dx = . . . . . . . . . . . . f (u(x)) · u0

Z Ví dụ 8. Tìm (3x − 2)2021 dx. Chú ý − £ Ø

Nếu tính nguyên hàm theo biến mới u = u(x) thì sau khi tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x). Hệ quả. Với u = ax + b (a 6= 0) thì Z f (ax + b) dx = . . . . . . . . . . . .

Z Ví dụ 9. cos(5x + 7) dx = . . . . . . . . . . . .

2 Phương pháp nguyên hàm từng phần Định lí 4

Z √ √ Ví dụ 10. x x + 2 dx. Nếu đặt t = x + 2 thì ta được Z (cid:0) A B dt. . I = . I = dt. Z Z (cid:0) C D Xét nguyên hàm I = Z 4t4 − 2t2(cid:1) 2t4 − 4t2(cid:1) dt. . I = . I = (cid:0)t4 − 2t2(cid:1) 2t4 − t2(cid:1) (cid:0) dt.

− £ Ø

K Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên thì Z u(x) · v0 (x) dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ví dụ 11. Tìm các nguyên hàm sau: Z Z a) (x + 1) ln x dx c) (x + 1)e dx Z Z b) (x + 1) cos x dx d) e cos x dx

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 8 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

TOÁN 12 §1. Nguyên hàm

Tips − £ Ø

THỰC HÀNH

˝ TRẮC NGHIỆM

Thứ tự ưu tiên đặt u(x) là Log arit I) Đa thức II) Lượng III) giác Mũ IV)

Z Z Câu 1. Z A Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng? (cid:3) (cid:2)f(x) · g(x) f(x) dx · g(x) dx. dx = . Z B . Z (x) + C. C . Z 0 dx = 0. f(x) dx = f 0 f 0 (x) dx = f(x) + C. D . R Câu 2. . Trong các mệnh Cho f(x), g(x) là các hàm số xác định và liên tục trên Z Z Z A . g(x) dx. Z f(x) dx + 3 Z sai ? (cid:3) dx = 2 Z đề sau, mệnh đề nào (cid:2) 2f(x) + 3g(x) (cid:3) (cid:2)f(x) − g(x) B . f(x) dx − g(x) dx. dx = Z Z C 2f(x) dx = 2 . f(x) dx. Z Z Z D . f(x) · g(x) dx = f(x) dx · g(x) dx.

−x

Câu 3. Cặp số nào sau đây có tính chất "Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại"? A

. C B . sin 2x và sin2 x. D . sin 2x và cos2 x. tan x2 và và e . e 1 cos2 x2 . . sai ? Câu 4. Z A . Z B . Z C . Z 2 ax Khẳng định nào sau đây là khẳng định cos x dx = sin x + C. x2 dx = − 1 1 x + C. √ 1 √ x dx = x + C. dx = ax · ln a + C (a > 0, a 6= 1). D .

Câu 5. A . sin x + 3x2 + C. C . sin x + 6x2 + C. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x + 6x là B . − sin x + 3x2 + C. D . − sin x + C.

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 9 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

§1. Nguyên hàm TOÁN 12

Z Câu 6. Xác định f(x) biết f(x) dx = + C.

1 x + e B A . . . f(x) = .

C . 1 x2 + e f(x) = ln x + e D . . . x2 + e Câu 7. f(x) = ln |x| + e f(x) = − 1 Hàm số F(x) = 2 sin x − 3 cos x là một nguyên hàm của hàm số nào sau

f(x) = −2 cos x + 3 sin x. f(x) = 2 cos x − 3 sin x. đây? A . C .

B f(x) = −2 cos x − 3 sin x. . D f(x) = 2 cos x + 3 sin x. . Tìm m để hàm số F(x) = mx3 + (3m + 2)x2 − 4x + 3 là một nguyên hàm

D C A . m = 0. . m = 2. . m = 3.

Câu 8. của hàm số f(x) = 3x2 + 10x − 4. B . m = 1. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x (cid:0) Câu 9. A B + C. (cid:19) + C. . x2 (cid:0) 1 + 3x2(cid:1) . x2 (cid:0)x + x3(cid:1) C 1 + + C. + C. 1 + 3x3(cid:1) là . 2x (cid:0)x + x3(cid:1) (cid:18) 6x3 D . x2 5

Câu 10. . 2x2 + x − 1 x2 Z A − 1 dx = 2 + . 1 x Z B dx = 2x + . Z C . Z D dx = x2 + ln |x| + dx = x2 − 1 . Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x2 + x − 1 x2 2x2 + x − 1 x2 2x2 + x − 1 x2 2x2 + x − 1 x2 x2 + C. 1 x + ln |x| + C. 1 x + C. x + ln |x| + C. không phải Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f(x) =

Câu 11. (2x − 3)3? A B . F(x) = + 8. . F(x) = − 3.

C D . F(x) = . . F(x) = . (2x − 3)4 8 (2x − 3)4 8 (2x − 3)4 8 (2x − 3)4 4 Câu 12. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 1 − x ? A B ln |4 − 4x| + 3. (cid:1) . F(x) = − 1 4 C . F(x) = ln |1 − x| + 2. . F(x) = − ln |1 − x| + 4. (cid:0)x2 − 2x + 1 D . F(x) = ln + 5. 1 2

Cho hàm số f(x) = x3 − x2 + 2x − 1. Gọi F(x) là một nguyên hàm của

x4 x3 x3 A B − Câu 13. f(x). Biết rằng F(1) = 4. Tìm F(x). x4 + x2 − x. − . F(x) = . F(x) = 4 x4 4 x4 3 x3 3 x3 C D − − . F(x) = + x2 − x + 2. . F(x) = + x2 − x + . 4 4 3 + x2 − x + 1. 49 12 Câu 14. Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = 3 và F(2) = 1. Khi đó 1 x − 1

2 + C.

A D ln 2 + 1. ln 2. C . B . ln . . . . 1 2 Câu 15. F(3) bằng bao nhiêu? 3 2 Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = trên khoảng (1; +∞) là A B

. x + 3 ln (x − 1) + C. 3 C . x − (x − 1) x + 2 x − 1 . x − 3 ln (x − 1) + C. 3 D . x − (x − 1)

Câu 16. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = . Z x3 x4 + 1 Z (cid:1) A B . f(x) dx = . 3x4 2x4 + 6 Z Z + C. (cid:1) C + C. (cid:0)x4 + 1 (cid:0)x4 + 1 ln . f(x) dx = x3 ln + C. D . f(x) dx = + C. (cid:1) (cid:0)x4 + 1 f(x) dx = ln 1 4

(cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận (cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 10

§1. Nguyên hàm TOÁN 12

√ 5 − 3x. Câu 17. Z √ A . Z √ B . 5 − 3x + C. Z (5 − 3x) √ C . 5 − 3x + C. Z D . 5 − 3x + C.

−3x+1(3x + n) + C với m, n là các số

−3x+1 dx = − 1 m e

Câu 18. Z A . Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = f(x) dx = − 2 5 − 3x + C. (5 − 3x) 9 f(x) dx = − 2 3 2 (5 − 3x) f(x) dx = 9 √ f(x) dx = − 2 3 Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = xe Z f(x) dx = (x + 1)e + C. B . . f(x) dx = (x − 1)e + C. Z Z C . + C. D . f(x) dx = x2e + C. f(x) dx = xe Z Câu 19. Biết (x + 3) · e

L TỰ LUẬN Câu 1 (SGK GT12).

nguyên. Tính tổng S = m + n. B A C D . 10. . 1. Câu 20. . 19. (m/s2). Biết rằng vận tốc . 9. Một vật chuyển động với vận tốc a(t) = 3 t + 1 ban đầu của vật đó là 6 (m/s), hãy tính vận tốc của vật đó tại giây thứ 10. B C D A . 15, 2 m/s. . 13, 2 m/s. . 12 m/s. . 10 m/s.

−x

Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại?

(cid:18) (cid:19)2 (cid:19)2 a) e và −e b) sin 2x và sin2 x e và e c) (cid:18) 1 − 2 x 1 − 4 x

Câu 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) f(x) = e3−2x b) f(x) = tan2 x c) f(x) = sin 5x · cos 3x d) f(x) = 1 (1 + x)(1 − 2x)

Câu 3. Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính: Z Z a) (1 − x)9 dx (đặt u = 1 − x) b) cos3 x sin x dx (đặt u = cos x)

Câu 4. Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính: Z Z Z Z (cid:1) a) x ln(1 + x) dx b) (cid:0)x2 + 2x − 1 e dx c) x sin(2x + 1) dx d) (1 − x) cos x dx

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 11 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

§1. Nguyên hàm TOÁN 12

Vocabulary − £ Ø

derivative method đạo hàm phương pháp antiderivative change of variable nguyên hàm đổi biến số differential antiderivative by parts vi phân nguyên hàm từng phần

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 12 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

§2.TÍCH PHÂN

§2. Tích phân TOÁN 12

Đặt vấn đề

Nhờ tích phân, ta có thể tính độ dài của một đường cong, diện tích của một hình phẳng, thể tích của một khối tròn xoay hay các bài toán về quãng đường, vận tốc...

y y

9 x = b y = f(x)

c x O

y = 27 x

y = x2

9 2 x = a

x2 y = 8

KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

1 Diện tích hình thang cong Cho hàm số y = f(x) liên tục, không . . . . . . . . . . . . trên đoạn [a; b]. Hình . . . . . . . . . giởi hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục . . . . . . . . . và hai đường thẳng x = a, x = b được gọi là hình thang cong. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x). Người ta chứng mình được rằng hình thang cong nêu trên có diện tích là

x O 3 6

2 Định nghĩa tích phân Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

S = F(b) − F(a)

b Z

Tích phân từ a đến b của hàm số f(x) là hiệu F(b) − F(a).

f(x) dx = F(x) = F(b) − F(a) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

a Z

Ta gọi a là cận dưới, b là cận trên. Quy ước: Ví dụ 1. Tính các tích phân sau:

x(cid:1)

(cid:18) (cid:19) • f(x) dx = . . . . . . b) dx (cid:0)x3 + 3 dx a)

!

−1

a Z

1 x − 1 x2

• f(x) dx = . . . . . .

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 13 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN

b Z

§2. Tích phân TOÁN 12

b Z

k · f(x) dx = . . . . . . . . . . . . . . . (k là hằng số) Tính chất 1.

(cid:3)

!

c Z

b Z

Tính chất 2. (cid:2)f(x) ± g(x) dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tính chất 3. f(x) dx + f(x) dx = . . . . . . . . . . . . (a < c < b)

PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1 Phương pháp đổi biến số

Ví dụ 2. Tính |x − 1| dx.

3 dx, ba bạn Trường, Mỹ và Thuận đưa ra cách

Ví dụ 3. Để tính tích phân (2x − 1)

giải như sau: Trường Mỹ

3 dx =

1 2Z

Đặt u = 2x − 1 (cid:209) du = 2dx. ( (cid:1) (cid:0) 8x3 − 3 · 4x2 + 3 · 2x − 1 dx (2x − 1) Đổi cận: x = 1 (cid:209) u = 2 · 1 − 1 = 1 x = 2 (cid:209) u = 2 · 2 − 1 = 3

3 dx =

1 (cid:18)

u4 (cid:0) (cid:1) · = 10. = Khi đó (2x − 1) = 8x3 − 12x2 + 6x − 1 dx (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) u3 du 2 1 2 4

3 dx =

x3 x2 x4 − x − 12 · + 6 · = 8 · Thuận (cid:19) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 4 3 2 2 (cid:0) = 2x4 − 4x3 + 3x2 − x(cid:1) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) = 10. (2x − 1) · (2x − 1)4 4 1 2 (cid:12) 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) 1 = 10.

π 2Z

Hãy so sánh ba lời giải trên. Ví dụ 4. Tính

−2

√ b) a) cos2 x sin x dx dx 4 − x2

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 14 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

2 Phương pháp tính tích phân từng phần Định lí

§2. Tích phân TOÁN 12

− £ Ø

b Z

K Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên thì

u(x) · v0 (x) dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ví dụ 5. Tìm các nguyên hàm sau:

π 2Z

a) (x + 1) ln x dx c) (x + 1)e dx

THỰC HÀNH

˝ TRẮC NGHIỆM

(x + 1) cos x dx e cos x dx b) d)

Câu 1. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Khi đó hiệu số F(0) − F(1) bằng

A B C . −F(x) dx. . F(x) dx. . − f(x) dx. D . f(x) dx.

b Z

Câu 2. sai ?

a b Z

a Z

(cid:3) A g(x) dx. f(x) dx + Cho hàm số f(x), g(x) liên tục trên [a; b]. Khẳng định nào sau đây (cid:2)f(x) + g(x) dx = .

b Z

b b Z

B . f(x) dx = f(x) dx.

a b Z

c Z

a b Z

C . f(x) dx = f(t) dt.

f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx. D .

15 (cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

§2. Tích phân TOÁN 12

−2

Câu 3. Biết F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [−2; 3], f(x) dx = 12 và

b Z

A C D F(3) = 7. Tính F(−2). . F(−2) = 19. B . F(−2) = 2. . F(−2) = 5. . F(−2) = −5.

Câu 4. Cho f(x) dx = −3 và g(x) dx = 4. Tính I = [4f(x) − 3g(x)] dx.

b Z

A . I = 25. B . I = −24. C . I = 24. D . I = 0. Câu 5. Giả sử các biểu thức trong dấu nguyên hàm, tích phân đều có nghĩa, trong sai ? Z A f 0 các khẳng định sau, khẳng định nào là (x) dx = f(x) + C. . Z Z B kf(x) dx = k . .

b Z

a b Z

C − u0 (x)v(x) dx. u(x)v0 (x) dx = u(x)v(x) . f(x) dx, ∀k ∈ R (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

a Câu 6.

D kf(x) dx = k f(x) dx, ∀k ∈ R . .

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; 4], f(1) = 15, f(4) = 8.

f 0 Tính (x) dx.

1 4Z

A B f 0 f 0 . (x) dx = 7. . (x) dx = 3.

C f 0 f 0 . (x) dx = 23. D . (x) dx = −7.

(cid:3) Câu 7. Cho biết f(x) dx = 3, g(t) dt = 9. Tính (cid:2)f(x) − 2g(x) dx.

A C D . −6. B . −15. . 12. . 21.

−1

Câu 8. R Cho các hàm số f(x), g(x) liên tục trên thỏa mãn (cid:3) (cid:2) 2f(x) + 3g(x) dx =

−1

(cid:3) −5; (cid:2) 3f(x) − 5g(x) dx = 21. Tính (cid:3) (cid:2)f(x) + g(x) dx.

−1 A . −5.

B C D . 1. . 5. . −1.

Câu 9. f(x) dx bằng f(x) dx = 1 thì f(x) dx = −2 và Nếu

−1

−1 I = −6. 2Z

A C D . −3. B . −1. . 1. . 3. Z 3 Z 3 Câu 10. f(x) dx = 5 và f(x) dx = 1. Tính tích Cho hàm số f(x) thỏa mãn Z 1 f(x) dx. D phân I = A C . I = 4. . I = −4. . B .

−1

I = 6. 7Z Câu 11. Cho f(x) dx = 2, f(t) dt = 9. Giá trị của f(z) dz là

A B C D . 7. . 3. . 11. . 5.

−2

Câu 12. f(y) dy. f(t) dt = −4. Tính I = f(x) dx = 1, Cho

−2 I = 3.

A D . I = 5. B . C . I = −5.

I = −3. . (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận (cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 16

§2. Tích phân TOÁN 12

Câu 13. Tính I = (2x − x3) dx.

π 2Z

A B C . I = 0. . I = 10. . I = −4. D . I = −10.

Câu 14. Cho I = sin 2x dx, J = sin x dx. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề

A B C nào đúng? . I > J. . I = J. . I < J. D . I = 2J.

Câu 15. Tích phân 32x+1 dx bằng

A B C . . . . . . D . . 9 ln 9 27 ln 9 4 ln 3 12 ln 3

Câu 16. Tích phân bằng dx 2x + 1

e2 Z

B A C . . . log . . ln . D . . 2 15 5 3 1 2 5 3 16 225

Câu 17. Tính I = dx được kết quả là (1 − ln x) x

B C A . . . . . D . . . 4 3 1 3 13 3

Câu 18. Biết rằng = a ln 2 − b ln 5 với a, b ∈ Q . Giá trị của 2a + b 5 3 x dx x2 + 1

ln 5Z

bằng A B C D . . . . . 1. . 2. 1 2 3 2

ln 2

Câu 19. Biết (x + 1)e dx = a ln 5 + b ln 2, với a, b là các số nguyên. Tính

π 4Z

A B C D T = 3a − 2b. . T = 19. . T = −4. . T = 11. . T = −16.

Câu 20. Giá trị của tích phân x sin x dx bằng

0 4 − π √ 2 4 b Z

B A C . . . . . . D . . 4 + π √ 2 4 2 − π √ 2 2 2 + π √ 2 2

Câu 21. Tìm giá trị của b để (2x − 6) dx = 0.

B . b = 0 hoặc b = 3. D . b = 5 hoặc b = 0. A . b = 0 hoặc b = 1. C . b = 1 hoặc b = 5. 3Z Câu 22. dx = a + b ln c với a, b, c ∈ Z , c < 9. Tính tổng S = Biết x + 2 x

0 B

a + b + c. A B C D . S = 6. . S = 5. . S = 8. . S = 7. 1Z Câu 23. Tích phân I = dx có giá trị là 2x2 + 3x − 6 2x + 1

C D A ln 3. + ln 3. . . 5 ln 3. . −2 ln 3. . 3 2 − 7 2 3 2 7 2

Câu 24. Cho = a ln 2 + b ln 3 với a, b là các số nguyên. Mệnh đề dx x2 + 3x + 2

A B C D nào sau đây đúng? . a + 2b = 0. . a − 2b = 0. . a + b = 2.

. a + b = −2. (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận (cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 17

§2. Tích phân TOÁN 12

Câu 25. Tính tích phân I = . dx x2 − 9

√ 6 D A B . ln . C . I = ln 2. . I = ln 2. . I = . ln I = − 1 6 1 2 1 6 1 6 1 2

Câu 26. dx = a ln 2+b ln 5+c ln 6. Tính S = 3a+2b+c. Biết

C D A 5x + 12 x2 + 5x + 6 B . −14. . −2. . 3. . −11.

(cid:0)√ Câu 27. √ a − b(cid:1) √ với a, b là các số nguyên dương. Biết x = 2 3 dx x + 1 +

C D A B . T = 10. . T = 6. . T = 8. Tính T = a + b. . T = 7. √ √ Câu 28. √ √ 3 + b 2 + c với a, b, c là các số hữu tỷ. Tính Biết x = a dx x + 1 −

A C D B . P = . . P = 5. . P = . P = a + b + c. 13 . P = . 2 16 3 2 3 √ Cho hàm số y = f(x) liên tục, nhận giá trị dương trên (0; +∞) và thỏa

π 4Z

A D C Câu 29. mãn f(1) = 1, f(x) = f 0 . 4 < f(5) < 5. (x) B . 3 < f(5) < 4. 3x + 1, với mọi x > 0. Mệnh đề nào sau đây đúng? . 1 < f(5) < 2. . 2 < f(5) < 3.

Câu 30. R dx = Cho hàm số f(x) liên tục trên , biết f (tan x) dx = 4 và x2 · f(x) x2 + 1

2. Tính I = f(x) dx.

L TỰ LUẬN Câu 1 (SGK GT12).

A B C D . 6. . 1. . 0. . 2.

π 2Z

Tính các tích phân sau:

1 2

(cid:17) (cid:16) π dx c) (x + 1)2 dx b) − x a) dx sin 1 x(x + 1) 4

π 2Z

1 2Z

Câu 2 (SGK GT12). Tính các tích phân sau:

c) ln(1 + x) dx a) sin2 x dx b) dx x3 − 1 x2 − 1

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 18 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

§3.ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

§3. Ứng dụng của tích phân trong hình học TOÁN 12

b Z

Đặt vấn đề

Trong bài §2. Tích phân, ta đã biết tích phân f(x) dx là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm

số f(x) (không âm), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b. Mời các em tính diện tích của các hình thang dưới đây:

y y

x − 3

y = −x3 + 3

1 3 x O

S S

x O 1 3

HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐƯỜNG CONG VÀ TRỤC HOÀNH

S = . . . . . . . . . . . . . . . . . . y = x3 − 3 + 3 S = . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích S của hình phẳng giởi hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục . . . . . . . . . và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức

S =

. . . . . . dx =

. . . . . . dx +

. . . . . . dx

a c x b O

y = f(x)

HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI HAI ĐƯỜNG CONG

y = f(x)

Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường cong y = x2 − 4x + 3, trục Ví dụ 1. hoành, trục tung và đường thẳng x = 5.

S =

. . . . . . . . . . . . . . . dx

Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích S của hình phẳng giởi hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức

y = g(x)

Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai parabol y = x2 − 2x − 2 và Ví dụ 2. y = 2 − x2.

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 19 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

TÍNH THỂ TÍCH

§3. Ứng dụng của tích phân trong hình học TOÁN 12

1 Thể tích của vật thể V Cắt một vật thể x = b (a < b). Cắt thiết diện có diện tích S(x).

bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a, V bởi một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại diểm x ∈ [a; b] theo

V =

. . . . . . . . . . . . dx

V Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b], khi đó vật thể có thể tích là

ln 4Z

0 ln 4Z

ln 4Z

√ Ví dụ 3. Viết công thức tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = ln 4, bị cắt bởi một mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ x ∈ (0; ln 4), có thiết diện là một hình vuông cạnh xe . ln 4Z √ A B . V = π xe dx. . V = xe dx.

2 Thể tích khối chóp và khối chóp cụt a) Cho khối chóp có chiều cao h và diện tích đáy B. Chọn hệ trục tọa độ như hình, khi đó hình chóp đã cho có thể tích là

h Z

C D . V = xe dx. . V = π [xe ] dx.

V = S(x) dx = . . . . . . dx = . . . . . . . . .

và

b) Cho khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S có diện tích hai đáy lần lượt là B, B0 chiều cao bằng h. Khi đó khối chóp cụt đã cho có thể tích bằng

V = . . . . . . . . . . . . . . .

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 20 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

§3. Ứng dụng của tích phân trong hình học TOÁN 12

V = . . .

. . . . . . . . . dx

Quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục . . . . . . tạo thành một khối . . . . . . . . . . . . có thể tích là

THỰC HÀNH

˝ TRẮC NGHIỆM

Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường Ví dụ 4. cong y = cos x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = π quanh trục hoành.

a Z

b Z

b b Z

Câu 1. Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là b Z A |f(x) − g(x)| dx. . B . |f(x)| dx.

C . f(x) dx. D . |f(x)| dx.

y = f(x) Câu 2. Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) trục Ox và đường thẳng x = −1 (phần gạch sọc như hình bên). Gọi S là diện tích của hình phẳng H. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

−1 0Z

0 2Z

−1 0Z

A . S = |f(x)| dx − |f(x)| dx. B . S = f(x) dx. x −2 O−1 2

−1

C D . S = f(x) dx − f(x) dx. . S = f(x) dx + f(x) dx.

b Z

c Z

b Z

x = b y = f(x) Câu 3. Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b và f(x) liên tục trên [a; b]) (phần gạch sọc trong hình vẽ) tính theo công thức

a b Z

b Z

a c Z

A c x . S = − f(x) dx + f(x) dx. B . S = f(x) dx. O

C D . S = f(x) dx . S = f(x) dx + f(x) dx. . x = a (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

b Z

Câu 4. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b. Diện tích S của hình phẳng D là

a b Z

A . S = [f(x) + g(x)] dx. B . S = |f(x) − g(x)| dx.

C D . S = [f(x) − g(x)] dx. . S = [g(x) − f(x)] dx.

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 21 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

§3. Ứng dụng của tích phân trong hình học TOÁN 12

Câu 5.

y = x2 − 2x − 2

−1 2Z

(cid:1) (cid:0) A B . Diện tích phần hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng 2Z (cid:0)−2x2 + 2x + 4 dx. . (cid:1) 2x2 − 2x − 4 dx.

−1

−1 Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 3

(cid:1) (cid:0) C . (cid:0)−2x2 − 2x + 4 dx. D . (cid:1) 2x2 + 2x − 4 dx.

y = −x2 + 2

, trục Câu 6. Ox và hai đường thẳng x = −1, x = 2. C D A . B . S = 12. . S = . . S = . . S = 26 3 12 ln 3 26 3 ln 3

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = −x3 + 3x2 − 2,

C D A Câu 7. trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 là B . S = . . . S = . . S = 4. . S = 3 2 7 2 5 2

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 + x Câu 8. và đường thẳng y = −x + 3. A C D . B . S = . . S = . . S = − 32 3 16 3 32 3 . S = 16. C Câu 9. ) : y = x4 − 2x2 + 1 và trục Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (

y = x − 2 √

D hoành. A . C . . . . . 8 15 . − 15 B 16 15 8 Câu 10. 16 15 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = , trục . x + 1 x + 2 hoành và đường thẳng x = 2 là A C D . 3 + ln 2. B . 3 − ln 2. . 3 + 2 ln 2. . 3 − 2 ln 2.

y =

A .

B . S = D . S = C . S = . S = . Câu 11. Tính diện tích S của hình phẳng (phần gạch sọc) trong hình bên. 10 3 7 . 3 8 . 3 11 3

y √ x, y = 0, Câu 12. y = 2 − x. Diện tích của (H) là √ Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = √ 2 4 8 A D . . B . . C . . . . 2 − 1 3 2 + 3 6 7 6 5 6 1 x2 Câu 13. , Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2, y = 8 x O 1 2 27 x . C D y = A . . 27 ln 2. . . . . 27 ln 2 − 63 B 8 . 27 ln 2 − 63 4 63 8

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi elip (E) có phương trình

(cid:18) (cid:19)2 B . . S = π(a + b)2. Câu 14. y2 x2 b2 = 1, với a, b > 0. a2 + 1 A . S = π a + 1 b

C D . S = πab. . S = πa2b2 a + b . Câu 15.

D C A Trên cánh đồng cỏ có hai con bò được cột vào hai cây cọc khác nhau. Biết khoảng cách giữa hai cọc là 4m còn hai sợi dây cột hai con bò dài 3m và 2m. Tính phần diện tích mặt cỏ lớn nhất mà hai con bò có thể ăn chung (lấy giá trị gần đúng nhất). . 1, 574m2. B . 1, 034m2. . c.

. 1, 989m2. (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận 22 (cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ

§3. Ứng dụng của tích phân trong hình học TOÁN 12

b Z

a b Z

Câu 16. Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b; V là thể tích của khối tròn xoay được thành khi quay (H) quanh trục Ox. Khẳng định nào sau đây là đúng? b Z A . V = π |f(x)| dx. B . V = f 2(x) dx.

C D . V = π f 2(x) dx. . V = |f(x)| dx.

√ Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D giới hạn

x − 1, trục hoành, x = 2 và x = 5 quanh trục Ox bằng 5Z Câu 17. bởi các đường y = 5Z √ A . (x − 1) dx. B . x − 1 dx.

C D . π (x − 1) dx. . π2 (x − 1) dx.

Câu 18. y

b Z

y = f(x) Cho hình phẳng trong hình vẽ bên (phần tô đậm) quay quanh trục hoành. Thể tích khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào trong các công thức sau đây?

a b Z

(cid:3) (cid:3)2 A dx. . V = π (cid:2)g 2(x) − f 2(x) dx. B . V = π (cid:2)f(x) − g(x)

y = g(x) (cid:3) (cid:3) C D . V = π (cid:2)f(x) − g(x) dx. . V = π (cid:2)f 2(x) − g 2(x) dx. a x b O

Tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới Câu 19. hạn bởi parabol (P) : y = x2 và đường thẳng d : y = 2x quay quanh trục Ox.

0 2Z

A . π (cid:0)x2 − 2x(cid:1)2 dx. B . π 4x2 dx − π x4 dx.

(cid:0) C D . π 4x2 dx + π x4 dx. . π 2x − x2(cid:1) dx.

√ Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi đồ thị hàm số y =

Câu 20. x, hai đường thẳng x = 1, x = 2 và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) quanh trục hoành. A B C . 3π. . . . . . D . 3 2 3π 2 2π 3

Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị Câu 21. các hàm số y = x2 − 2x, y = 0, x = −1, x = 2 quanh trục Ox bằng A B C . . . . . . . D . 18π 5 17π 5 5π 18 √

16π 5 Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = π 2 + cos x, trục hoành . Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành 2 Câu 22. và các đường thẳng x = 0, x = khi quay D quanh trục hoành. A B C D . V = π − 1. . V = π + 1. . V = π(π + 1).

. V = π(π − 1). Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = e

(cid:1) π (cid:0) A B . V = . e2 + 1 2 (cid:1) D C . V = . V = . . Câu 23. , trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng e2 − 1 . V = . 2 π (cid:0) e2 − 1 2 πe2 2

Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi Câu 24. parabol (P) : y = x2 và đường thẳng d : y = x xoay quanh trục Ox bằng

A . π x2 dx − π x4 dx. B . π x2 dx + π x4 dx.

(cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận 23 (cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ

§3. Ứng dụng của tích phân trong hình học TOÁN 12

C D (cid:0)x2 − x(cid:1)2 (cid:0)x2 − x(cid:1) . π dx. . π dx.

Câu 25. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) : y =

D C A 4 x và đường thẳng (d) : y = 5 − x. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) xung quanh trục hoành. B . V = 33π. . V = 51π. . V = 18π. . V = 9π. Câu 26.

y √

1 Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số x, đường thẳng y = 2 − x và trục hoành y = (phần gạch chéo trong hình vẽ). Thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng trên khi quay quanh trục Ox bằng A C . . B . . . . D . . 5π 4 4π 3 7π 6 5π 6 x 1 2 O

√

D A Câu 27. hạn bởi các đường y = x2 và y = π . B . V = . V = . V = . V = . . . Tính thể tích V của vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới x quanh trục Ox. 7π C 10 3π 10 9π 10 10 Câu 28. C Người ta làm một chiếc phao bơi như hình vẽ (với bề mặt có được bằng quanh trục d). Biết rằng OI = 30cm, R = 5cm. Tính thể cách quay đường tròn tích V của chiếc phao.

d O

A . V = 1500π2cm3. C . V = 1500πcm3. B . V = 9000π2cm3. D . V = 9000πcm3.

Câu 29. Một ô tô đang chạy với tốc độ 36 km/h thì người lái xe đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = −5t + 10 m/s, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? D C B A . 10 m. . 20 m. . 2 m. . 0, 2 m.

L TỰ LUẬN Câu 1 (SGK GT12).

D C B A Câu 30. Một chiếc xe đang chạy đều với vận tốc 20 m/s thì giảm phanh với vận tốc v(t) = 20 − 2t m/s đến khi dừng hẳn. Quãng đường xe đi được từ lúc bắt đầu giảm phanh đến khi dừng hẳn là . 94 m. . 100 m. . 98 m. . 96 m.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) y = x2, y = x + 2 b) y = (x − 6)2, y = 6x − x2

Câu 2 (SGK GT12). Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau π a) y = 1 − x2, y = 0 b) y = tan x, y = 0, x = 0, x = 4

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 24 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

Chương 4.

Chương 4. Số phức TOÁN 12

SỐ PHỨC

§1.SỐ PHỨC

Đặt vấn đề

ĐỊNH NGHĨA SỐ PHỨC

Số phức cho phép giải một phương trình nhất định mà không giải được trong trường số thực. Ví dụ, phương trình (x + 1) 2 = −9 không có nghiệm thực, vì bình phương của một số thực không thể âm. Các số phức cho phép giải phương trình này. Ý tưởng là mở rộng trường số thực sang đơn vị ảo i với i2 = −1, vì vậy phương trình trên được giải. Số phức được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học, như khoa học kỹ thuật, điện từ học, cơ học lượng tử, toán học ứng dụng chẳng hạn như trong lý thuyết hỗn loạn. Nhà toán học người Ý Gerolamo Cardano là người đầu tiên đưa ra số phức. Ông sử dụng số phức để giải các phương trình bậc ba trong thế kỉ 16.

số Mỗi biểu thức dạng . . . . . . . . . trong đó a, b ∈ . . . và i2 = . . . được gọi là một phức

. • Đối với số phức z = a + bi, ta nói a là . . . . . . . . . . . ., b là . . . . . . . . . . . . của z. • Số i được gọi là . . . . . . . . . . . . • Tập hợp các số phức kí hiệu là . . . . . . (The set of Complex numbers).

√ Ví dụ 1. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức −3 + 5i, 4 − i 2, −3i, 2021.

phần thực • Số phức bi có bằng . . . phần ảo

! • Mỗi số thực a đều là một số phức với bằng . . .

SỐ PHỨC BẰNG NHAU

được gọi là số . . . . . . . . .

(

i ⇔

1 + b

i = a

2 + b

a 1 = . . . 1 = . . . b

Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu . . . . . . . . . . . . và . . . . . . . . . . . . của chúng tương ứng bằng nhau.

Ví dụ 2. Tìm x, y để hai số phức z = x + 2 + (y + 4)i và w = 2x + 1 + (3y − 2)i bằng nhau

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 25 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

BIỂU DIỄN HÌNH HỌC VÀ MÔĐUN CỦA SỐ PHỨC

§1. Số phức TOÁN 12

1 Biểu diễn hình học của số phức Điểm M(. . . ; . . .) trong hệ trục tọa độ Oxy được gọi là điểm . . . . . . . . . . . . của số phức z = a + bi. Ví dụ 3. 2 Môđun của số phức Cho số phức z = a + bi có điểm biểu diễn là M(a; b).

y Trong hình bên, điểm N biểu diễn số phức nào? N(3; 2) 2

|z| = . . . . . . . . .

. . . . . . . . . của vectơ −−ˇ OM được gọi là môđun của số phức z, kí hiệu là . . . . . . x 3 O

1 = 4 − 3i, z

2 = 2021, z

3 = i

√ Ví dụ 4. Tính môđun của các số phức z 7.

3 Số phức liên hợp Cho số phức z = a + bi. Ta gọi . . . . . . . . . là Ví dụ 5.

y số phức liên hợp của z, kí hiệu là . . .. N(3; 2) 2 Ghép nối các cặp số phức liên hợp dưới đây:

x 3 O O a) 3 + 2i b) 4 − 3i √ c) i 5 • 4 + 3i √ • −i 5 • −3 + 2i

• Trên mặt phẳng Oxy, các điểm biểu diễn của z và z đối xứng với nhau qua . . . . . . . . . . . . −2

!

THỰC HÀNH

˝ TRẮC NGHIỆM

M(3; −2) • |z| = . . . . . . và z = . . . . . .

√ a2 + b2. |z| = |z| = 2 B . D . √ a2 − b2. √ a2 + b2. sai ? √ √ Cho số phức z = a + bi. Môđun của z là |z| = |z| = a2 + b2. Cho số phức z = a + bi. Khẳng định nào sau đây B . z = a + bi. D . a2 + b2. a2 − b2. Câu 1. A . C . Câu 2. A . z = a − bi. C . |z| =

|z| = Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = 2 − 3i.

Câu 3. A C . Phần thực là 2 và phần ảo là 3. . Phần thực là 2 và phần ảo là 3i. B . Phần thực là 2 và phần ảo là −3. D . Phần thực là 2 và phần ảo là −3i.

Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là Câu 4. A B C D . 4 − 3i. . 3 − 4i. . 4 + 3i. . 3 + 4i.

Gọi a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z = −3 + 2i. Giá trị

B C D A . −1. . −4. . −7. Câu 5. của a + 2b bằng . 1.

Cho số phức z = a + bi. Số phức liên hợp của z là Câu 6. A B C D . z = a − bi. . z = a − bi. . z = bi. . z = −a − bi.

√ D Câu 7. A 7. |z| = 25. . Tính môđun của số phức z = 4 − 3i. C B |z| = 5. . . |z| =

|z| = 7. . (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận (cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 26

§1. Số phức TOÁN 12

4 = 1 + i.

3 = 2.

D B C . z . z . z

3 = 3i.

4 = 1 + i.

C B D . z

. z 2 = −1 − 2i. Giá trị của biểu thức Trong các số phức sau, số nào có môđun nhỏ nhất? 2 = 2 − i. 1 = 1 + 2i. Trong các số phức sau, số nào có môđun lớn nhất? 2 = 2 − i. . z 1 = 1 + 2i. Cho hai số phức z 1 = −1 + 2i và z |2 bằng C B D . 4.

1 = −2i, z

3 = 5i, z

4 = 4 có bao nhiêu số

Câu 8. A . z Câu 9. A . z Câu 10. + |z |2 |z √ 2 1 A . . 10. 10. Câu 11. Trong các số phức z . −6. 2 = 2 − i, z

B C D . 1. . 3. thuần ảo? A . 4. Câu 12. Cho số phức z = (2m − 1) + (m2 − 4)i, m ∈ R . 2. . Tìm m để số phức z là số

thuần ảo. A

. . . m = 2, m = −2. . m = − 1 C 2 B . m = 2. 1 D . m = 2 Cho a, b là hai số thực thỏa mãn 2a + (b − 3)i = 4 − 5i với i là đơn vị ảo.

Câu 13. Giá trị của a, b bằng A . a = 1, b = 8. C . a = 2, b = −2. B . a = 8, b = 8. D . a = −2, b = 2. Câu 14. Tìm các số thực a, b thỏa mãn (a − 2b) + (a + b + 4)i = (2a + b) + 2bi với i là đơn vị ảo.

A . a = −3, b = 1. C . a = −3, b = −1. B . a = 3, b = −1. D . a = 3, b = 1. Câu 15. Tìm các số thực x, y thỏa mãn (2x + 5y) + (4x + 3y)i = 5 + 2i. A . 8 7 y . . 5 . x = 14 . x = − 5 C 14 , y = − 8 7 8 , y = 7 B . x = . x = − 5 D 14 , y = − 5 . 14 , y = − 8 7 3 x O Điểm M trong hình vẽ bên biểu diễn số phức z. Tìm phần thực và phần

Câu 16. ảo của z. A B C D . −4 và 3. . 3 và −4i. . 3 và −4. . −4 và 3i.

Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tọa độ của điểm M biểu diễn số phức z =

Câu 17. 5 − i. A B C D . M(5; 0). . M(5; −1). . M(0; −5). . M(5; 1). M −4

1 = 2 + 3i và z

y Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A, B như hình vẽ bên. Trung điểm Câu 18. của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức A B C D B 3 + 2i. i. . −1 + 2i. Câu 19. . 2 − 1 . − 1 2 2 Gọi A, B lần lượt biểu diễn các số phức z . 2 − i. 2 = 2 − 3i. Khẳng định nào sau đây đúng? A 1

1 = 3i, z

2 = −1 − 3i và z

x O −2 1 A . A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ. B . A, B đối xứng nhau qua trục hoành. C . A, B đối xứng nhau qua trục tung. D . A, B đối xứng nhau qua điểm I(1; 0).

3 = m − 2i. Tập giá trị của √

3 có môđun nhỏ nhất trong 3 số phức đã cho là (cid:16)

L TỰ LUẬN Câu 1 (SGK GT12).

√ √ A − (cid:17) . Câu 20. Cho các số phức z tham số m để số phức z √ i 5 5; √ √ √ h − n (cid:16) (cid:16)√ − ∪ . o . 5 5; . C . B . D . 5; −∞; 5 (cid:17) 5 (cid:17) 5; +∞ .

Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:

a) |z| = 1 b) |z| ≤ 1

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 27 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

§2.CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC

PHÉP VỘNG VÀ PHÉP TRỪ

§2. Cộng, trừ và nhân số phức TOÁN 12

2 = a

2 + b

1 + b

i và z i, khi đó:

1 = a 2 = . . . . . . . . . . . . . . . 2 = . . . . . . . . . . . . . . .

Cho hai số phức z 1 + z − z • z • z

Ví dụ 1. Thực hiện các phép tính sau:

PHÉP NHÂN

a) (3 − 5i) + (2 + 4i) b) (−2 − 3i) + (−1 − 7i) c) (4 + 3i) − (5 − 7i) d) (2 − 3i) − (5 − 4i)

(a + bi)(c + di) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vì i2 = . . . . . . nên ta có:

Ví dụ 2. Thực hiện các phép tính sau:

THỰC HÀNH

2 = −3 + 3i. Khi đó số phức z

2 là

a) (−1 + i)(3 + 7i) b) (3 + 4i)(3 − 4i) c) (2 + 3i)2

1 = 2 − 2i, z Cho hai số phức z B . −5 + 5i.

D C . 5 − 5i. − z . −5i. . −1 + i.

2. Tìm số phức z = z

1, điểm 1 +

P Câu 1. A Câu 2. Trong hình vẽ, điểm P biểu diễn số phức z Q biểu diễn số phức z z 2. 2

A . z = 1 + 3i. C . z = −1 + 2i. B . z = −3 + i. D . z = 2 + i. Q 1

x 0 −1 2

2 bằng

− 2z Câu 3. A C D Cho z . 5 + 8i. . −3 − 4i.

2 = 2 − 3i. Khi đó w = z 1 = 1 + 2i, z B . −3 + 8i. . 3 − i. √ 3 2

Câu 4. + i. Tìm số phức w = 1 + z + z2. Cho số phức z = − 1 √ 2 A B + i. √ 3 2 . w = − 1 2 C . w = 1. . w = 0. D . w = 2 − 3i.

Câu 5. A Cho số phức z, khi đó z + z là B C D . Số ảo. . 0. . Số thực. . 2.

√ Cho số phức z = 2 + bi. Tính z · z. 4 + b2. Câu 6. A . z · z = C . z · z = −b.

B . z · z = 4 − b2. D . z · z = 4 + b2. (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận (cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 28

§2. Cộng, trừ và nhân số phức TOÁN 12

Câu 7. A Giá trị của biểu thức z = (1 + i)2 là B C . 2i. . −2i. D . i.

2 = 1 − 5i. Tìm phần thực và phần ảo của

1 + z 2.

. −i. 1 = 3 + 2i và z Cho hai số phức z

1 =

Câu 8. số phức z A C . Phần thực là 4 và phần ảo là 3. . Phần thực là 4 và phần ảo là 3i. B . Phần thực là 4 và phần ảo là −3i. D . Phần thực là 4 và phần ảo là −3.

2 = 4 − i. Tính môđun của số phức

− 2i và z 1 2 √ B C Câu 9. z = z A . . . . . Cho hai số phức z · z 2. |z| = 34 2 17 2 |z| = − 17 2 289 |z| = 4 1 = 2 + 3i và z D . 1 + 3z |. √ √ |z |z |z| = 2 = 1 + i. Tính |z B 1 + 3z . D 1 + 3z . | = 11. | = 61. 11. 61.

. Cho hai số phức z | = 1 + 3z 1 + 3z | = Tìm số phức liên hợp của số phức z = (11 − 3i) + (5 + 2i)(1 − i). . Câu 10. A |z . C |z . Câu 11. A B C D . z = 14 + 6i. . z = 18 + 6i. . z = 18 − 6i. . z = 14 − 6i.

Cho số phức z thỏa mãn (3 + 2i)z + (2 − i)2 = 4 + i. Hiệu phần thực và

A D B C . 0. . 3. . 1. Câu 12. phần ảo của z là . 2. Câu 13. Tìm hai số thực x, y thỏa mãn (2x − 3yi) + (1 − 3i) = −1 + 6i, với i là ( ( ( đơn vị ảo. ( A B C . . D . . . . . . x = −1 y = −1 x = −1 y = −3 x = 1 y = −1

x = 1 y = −3 Cho số phức z thỏa mãn z + 2z = 6 − 3i có phần ảo bằng Câu 14. A B C D . −3. . 3. . 2i. Câu 15.

B C A i. + + i. i. i. . z = 9 5 − 2 5 . 3i. Tìm số phức z thỏa mãn z − 1 + 4i = 2iz. . z = − 9 . z = 5 7 3 2 3 2 5 − 2 3

Câu 16. A . x = −1; y = −2. C . x = −2; y = −1.

Cho số phức z thỏa mãn |z| = 2 và √ √ (cid:12) (cid:12) = 4. Tính |z + z|+|z − z|. √ D B Câu 17. A . z = − 7 D 3 Cho x, y là các số thực. Số phức z = i (1 + xi + y + 2i) bằng 0 khi B . x = 0; y = 0. D . x = 2; y = 1. (cid:12) (cid:12)z2 + 1 C . 7 + . 3 + 2 . 16. 2. 7. 3. . 3 +

Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa Câu 18. mãn điều kiện |z − 2 + 3i| = 4.

A . Đường tròn tâm I(2; −3) và bán kính R = 4. B . Đường tròn tâm I(−2; 3) và bán kính R = 16. C . Đường tròn tâm I(−2; 3) và bán kính R = 4. D . Đường tròn tâm I(2; −3) và bán kính R = 16.

Cho số phức z thỏa mãn |z + 2 − i| = 3. Tìm tập hợp các điểm trong mặt Câu 19. phẳng Oxy biểu diễn số phức w = 1 + z.

A . Đường tròn tâm I(−2; 1) bán kính R = 3. B . Đường tròn tâm I(2; −1) bán kính R = 3. C . Đường tròn tâm I(−1; −1) bán kính R = 9. D . Đường tròn tâm I(−1; −1) bán kính R = 3.

Cho số phức z thỏa mãn |z − 1| = |z − i|. Tìm môđun nhỏ nhất của số √ Câu 20. phức w = 2z + 2 − i. √ 3 2 A B C 3 √ . 3 2. . . . . D . . 2 3 2 2 2

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 29 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

§3.PHÉP CHIA SỐ PHỨC

TỔNG VÀ TÍCH CỦA HAI SỐ PHỨC LIÊN HỢP

§3. Phép chia số phức TOÁN 12

Cho số phức z = a + bi. Khi đó: ! • z + z = . . . . . . • z · z = . . . . . .

PHÉP CHIA HAI SỐ PHỨC

1 = a + bi và z

2 = c + di. Khi đó, để tính

Chú ý: Ví dụ 1. Tổng và tích của một số phức với số phức liên hợp của nó là một số . . . . . . Cho số phức z = 3 − 4i. Tính z + z và z · z.

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

z z

· z · z

, ta nhân cả tử và mẫu z z 2 Cho hai số phức z cho z 2, tức là

Ví dụ 2. Tính . 5 − 2i i 2 + i 3 − 2i và

√ Ví dụ 3. Tìm nghịch đảo của số phức z, biết z = 2 − 3i.

THỰC HÀNH

˝ TRẮC NGHIỆM

z Ví dụ 4. Tìm số phức z thỏa mãn 4 − 3i + 2 − 3i = 5 − 2i.

Câu 1. Cho số phức z = 1 + i. Số phức nghịch đảo của z là D A . C . . . . B . . 1 − i. 1 − i 2 −1 + i 2 1 − i √ 2 Câu 2. z z . D A . . C . . . . . Cho số phức z = 2 + 3i. Tính −5 + 12i B . 13 5 − 6i 11 5 − 12i 13 −5 − 12i 13

Câu 3. . √ √ A D . Tính môđun của số phức z = B |z| = . |z| = 13. 5. (−2 − 3i) (−1 + 2i) 2 + i C . |z| = 13. . |z| = 5.

Câu 4. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = 6 − 3i 2 + 5i . A .

B i. và phần ảo là − 36 29 và phần ảo là − 36 29 . Phần thực là − 3 29 . Phần thực là − 3 29 C và phần ảo là . Phần thực là .

D . Phần thực là và phần ảo là i. 12 7 12 7 1 7 1 7 30 (cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

§3. Phép chia số phức TOÁN 12

Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn = 2 − i. Tìm số phức w = 1 + z + z2. z + i z − 1 A B C D . w = 5 − 2i. . 5 + 2i. . w = + 2i. . w = − 2i. 9 2 Câu 6. 9 2 √ √ √ 5 A C B . |z| = 34. |z| = |z| = 34. . . . 34 3 34 3 Tính môđun của số phức z thỏa mãn z(2 − i) + 13i = 1. D |z| = . . Số phức z thỏa mãn điều kiện (3 + i)z + (1 − 2i)2 = 8 − 17i. Khi đó hiệu Câu 7. của phần thực và phần ảo của z là A B C D . 7. . −3. . 3. . −7.

Cho số phức z thỏa mãn (1 − 2i)z + (1 + 3i)2 = 5i. Khi đó điểm nào sau

C D Câu 8. đây biểu diễn số phức z? B A . N(2; 3). . P(−2; 3). . Q(−2; −3). . M(2; −3).

Câu 9. . Môđun của số phức Cho số phức z thỏa mãn z = 4(−3 + i) 1 − 2i + (3 − i)2 −i √ √ √ √ A C B |w| = 6 D . |w| = 48. 5. 3. . w = z − iz + 1 là |w| = 85. |w| = 4 . Câu 10. . Giá trị của tham số thực m bằng bao nhiêu để bình phương số phức

L TỰ LUẬN Câu 1 (SGK GT12).

(m + 9i)(1 + i) z = là số thực? 2 A . Không có giá trị m thỏa. C . m = 9. B . m = −9. D . m = ±9.

Thực hiện các phép tính sau:

a) c) 4 − 3i + b) 5i 2 − 3i 5 + 4i 3 + 6i (1 + i)2(2i)3 i − 2

Câu 2 (SGK GT12). Tìm nghịch đảo 1 z của số phức z, biết: √ a) z = 1 + 2i b) z = i c) z = 5 + i 3

Câu 3 (SGK GT12). Giải các phương trình sau:

a) (3 − 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i b) (1 + 3i)z − (2 + 5i) = (2 + i)z

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 31 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

§4.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

§4. Phương trình bậc hai với hệ số thực TOÁN 12

Đặt vấn đề

CĂN BẬC HAI CỦA SỐ THỰC ÂM

1. Căn bậc hai của 9 là . . . . . . . . . 2. Căn bậc hai của −9 là . . . . . . . . .

Căn bậc hai của số thực a < 0 là . . . . . . . . .

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

Ví dụ 1. Tìm căn bậc hai của −1, −4, −9.

THỰC HÀNH

˝ TRẮC NGHIỆM

2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 − 3z + 5 = 0. Giá

Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc n (n ≥ 1) đều có đúng . . . . . . nghiệm (không nhất thiết phân biệt). Ví dụ 2. Giải phương trình x2 − 2x + 5 = 0.

, z | bằng √ B D . 3. . 10. C . , z 5. 2 là hai nghiệm của phương trình z2 − 2z + 2018 = 0. Khi đó giá − z 1 z 2 | bằng A D C Câu 1. Kí hiệu z | + |z trị của |z √ 1 A 5. . 2 Câu 2. Gọi z 1 + z trị của biểu thức A = |z 2 B . 2019. . 2017. . 2018. . 2016.

Trong tập số phức, phương trình z2 − 2z + 5 = 0 có nghiệm là Câu 3. A B D C . z = −1 ± 2i. . z = 2 ± 2i. . z = −2 ± 2i. . z = 1 ± 2i.

Gọi S là tập nghiệm của phương trình z2 + z + 1 = 0 trên tập số phức. Số

C D A B . 1. . 0. . 4. Câu 4. tập con của S là . 2.

Tìm nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z2 − 4z + 13 = 0. D Câu 5. A B C . z = −2 − 3i. . z = −2 + 3i. . z = 2 + 3i.

. z = 2 − 3i. Biết phương trình z2 + az + b = 0 (a, b ∈ R ) có nghiệm z = −2 + i. Tính

Câu 6. a + b. A B D C . 4. . 9. . 1.

Câu 7. 15 = 0. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tọa độ của điểm M biểu diễn số phức z √ ! ! . −1. Kí hiệu z 0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 2z2 − 6z + √ B A i . . M . . M 21 2 − 3 ; 2 √ − 3 ; 2 √ 21 2 ! ! C D i . M ; . . M ; . 3 2 21 2 3 2 21 2

32 (cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

§4. Phương trình bậc hai với hệ số thực TOÁN 12

Tìm tập nghiệm S của phương trình z4 −7z2 −18 = 0 trên tập số phức. √ √ n Câu 8. A −

. S = {−2; 9}. C . S = {−4i; 4i; −81; 81}. B . S = D . S = 2; n −3; 3; − 2; −3i; 3i √ √ 2i 2i; o . o .

√ √ √ √ Câu 9. A Tìm một căn bậc hai của −8. B C D 2i. 2. . 2 2. . 2 −2i.

L TỰ LUẬN Câu 1 (SGK GT12).

. −2 √ √ . −2 Tìm các căn bậc hai của −6. √ B C . ± 6i. 6i. Câu 10. A . − . ±6i. 6i. D .

Câu 2 (SGK GT12). Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: −7, −8, −12, −20, −121. Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) −3z2 + 2z − 1 = 0 b) 5z2 − 7z + 11 = 0 c) z4 + 7z2 + 10 = 0

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 33 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

PHẦN II

HÌNH HỌC

Chương 3. Phương pháp tọa độ trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 §1. Hệ tọa độ trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 §2. Phương trình mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 §3. Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 34 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

Chương 3.

Chương 3. Phương pháp tọa độ trong không gian TOÁN 12

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

§1.HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Nhắc lại về Hệ tọa độ trong mặt phẳng

CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Oxy

1; a

1; b

1) và

1) và số k ∈ R

1 = . . . . . . 2 = . . . . . .

Cho hai vectơ . −ˇ b = (b y −ˇ b ⇔ −ˇa = • −ˇa = (a ( a a

1; a

. . . b . . . b −ˇa ±

1; . . . a 2)

1 + . . . . . . a2

−ˇ j x −ˇa · −ˇ b = (a • • k · −ˇa = (. . . a −ˇ b = . . . . . . . . . . . . . . . • O −ˇ i q −ˇa (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) = •

(cid:17) (cid:16)−ˇa , −ˇ b = • cos −ˇa . . . −ˇa (cid:12) (cid:12) (cid:12) . . . (cid:12) −ˇ b (cid:12) −ˇ (cid:12) b (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

−ˇa và −ˇ b cùng phương ⇔ ∃k ∈ R • sao cho . . . . . . . . . • Hệ trục tọa độ Oxy gồm trục . . . . . . Ox và trục . . . . . . Oy, vuông góc và cắt nhau tại . . . . . . . . . . . . O(. . . ; . . .).

1; u

2) nếu

0) nếu

TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ

. . . • Vectơ . . . + u PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Đường tròn tâm I(a; b) bán kính R có phương trình là . . . −ˇu = (u 0; y −ˇu = u −−ˇ OM = x . . . + y • Điểm M (x (x − . . .)2 + (y − . . .)2 = . . . . . . • −ˇ AB = (xB . . . xA; yB . . . yA) hoặc có thể viết dưới dạng (cid:17) . . . . . . • Trung điểm của đoạn AB: I x2 + y2 − . . . . . . x − . . . . . . y + c = 0 (cid:17) √ 2 . . . . . . . . . • Trọng tâm của 4ABC: G ; trong đó R = a2 + b2 − . . . (a2 + b2 − . . . > . . .) (cid:16) xA + xB ; . . . (cid:16) xA + xB + xC . . . 3

1 Hệ tọa độ Trong không gian, hệ trục tọa độ Oxyz bao gồm . . . trục Ox, Oy, Oz đôi một . . . . . . . . . . . .

−ˇ j , −ˇ i , −ˇ k lần lượt là các vectơ . . . . . . . . . trên các trục Ox, Oy, Oz.

• Các vectơ • Điểm O(. . . ; . . . ; . . .) được gọi là . . . . . . . . . . . . • Các mặt phẳng . . . . . ., . . . . . ., . . . . . . đôi một vuông góc với nhau, được gọi là các −ˇ k O x mặt phẳng tọa độ.

−ˇ i

• Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian . . . . . . 2 Tọa độ của một điểm và của vectơ −ˇ j

0; y

0; z

0) nếu

y −−ˇ OM = . . . . . . . . . . . . . . . Điểm M (x

Ví dụ 1. −ˇ i , −ˇ j , Trong không gian Oxyz, vectơ −ˇ i − 3 −ˇ j + −ˇ k , với −ˇ k là các vectơ

A −ˇa = 2 C đơn vị. Tọa độ của vectơ (1; 2; −3). . (2; −3; 1). . −ˇa là B . (2; 3; 1). (1; −3; 2).

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 35 D . (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

§1. Hệ tọa độ trong không gian TOÁN 12

Định lí − £ Ø

2; a

1; a

2; b

3). Ta có:

1; b 3) và • k · −ˇa = . . . . . . . . . . . . . . .

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ −ˇa = (a −ˇ b = (b

• −ˇa + −ˇa − −ˇ b = . . . . . . . . . . . . . . . −ˇ b = . . . . . . . . . . . . . . . •

Trong không gian Oxyz, cho ~a = (2; 1; 3), ~b = (4; −3; 5), ~c = (−2; 4; 6). Tìm tọa

D A (12; −9; 7). C . (10; −9; 6). . (12; −9; 6). Ví dụ 2. độ của vectơ ~u = ~a + 2 (10; 9; 6). . ~b − ~c. B .

1 = . . . 2 = . . . 3 = . . .

• Với vectơ −ˇa và −ˇ b 6= −ˇ b ⇔ −ˇa = •  a  a  a

!

−ˇ 0 = . . . . . . . . . • •

; ; • Trung điểm của đoạn thẳng AB là M

(cid:17) −ˇ −ˇ b 0 thì cùng phương khi và chỉ khi ∃k ∈ R 2 = . . . . . ., 1 = . . . . . ., a sao cho a 3 = . . . . . . a −ˇ AB = . . . . . . . . . . . . . . . (cid:17) . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . • Trọng tâm của tam giác ABC là G ; ; . . . . . . . . . . . . (cid:16) xA + xB . . . (cid:16) xA + xB + xC . . . 3

Cho ba điểm A(1; −1; 1), B(0; 1; 2), C(1; 0; 1). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam Ví dụ 3. giác ABC.

TÍCH VÔ HƯỚNG

1 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

1; a

2; a

1; b

2; b

3) và

Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD. Biết A(1; 0; 1), B(2; 1; 2) và Câu 1. D(1; −1; 1). Tọa độ điểm C là A B C D . C(2; 0; 2). . C(2; 2; 2). . C(2; −2; 2). . C(0; −2; 0).

−ˇa ·

−ˇ b = . . . . . . . . . . . . . . .

−ˇa = (a −ˇ b = (b Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ được xác định bởi công thức

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ −ˇa = (1; 2; −2), −ˇ b = (cid:17) −ˇ b (cid:16)−ˇa + · −ˇc . (cid:17) (cid:17) A B (cid:17) (cid:17) . D −ˇ b −ˇ b . C . −ˇc = (0; 3; 3). Tính −ˇ · −ˇc = 3. b −ˇ · −ˇc = 0. b . · −ˇc = 9. · −ˇc = −10. Ví dụ 4. (−4; 0; 1) và (cid:16)−ˇa + (cid:16)−ˇa + (cid:16)−ˇa + (cid:16)−ˇa +

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 36 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

2 Ứng dụng của tích vô hướng

§1. Hệ tọa độ trong không gian TOÁN 12

Độ dài của một vectơ − £ Ø

1; a

2; a

3). Khi đó

1 + . . . . . . . . . a2

Cho vectơ −ˇa = (a q −ˇa (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) =

Ví dụ 5. Tính chu vi của tam giác ABC, biết rằng A(1; −1; 1), B(0; 1; 2) và C(1; 0; 1).

Góc giữa hai vectơ − £ Ø

1; a

2; a

1; b

2; b

3) được tính bởi công thức

Góc giữa hai vectơ

3) và −ˇa . . . −ˇa (cid:12) (cid:12) (cid:12) . . . (cid:12)

−ˇa = (a (cid:17) (cid:16)−ˇa , −ˇ b = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cos = (cid:12) (cid:12) (cid:12) −ˇ b = (b −ˇ b (cid:12) −ˇ (cid:12) b (cid:12)

◦

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ ~u = (−1; 1; 0), ~v = (0; 0; −1). Góc giữa ~u Ví dụ 6. và ~v có số đo bằng A B C D . 120 . . 45 . . 90 . . 60 .

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Hệ quả: −ˇa ⊥ −ˇ b ⇔ . . . . . . . . . . . . . . .

Định lí − £ Ø

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính R có phương trình là

M(x; y; z) (x − . . .)2 + (y . . . . . .)2 = . . . . . . I(a; b; c) Ví dụ 7. Lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau đây:

a) Có tâm C(3; −3; 1) và đi qua điểm A(5; −2; 1) b) Có đường kính AB với A(4; −3; 7) và B(2; 1; 3)

Nhận xét: Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng

x2 + y2 + z2 − . . . . . . x − . . . . . . y − . . . . . . z + d = 0 √

trong đó R = Ví dụ 8. a2 + b2 + c2 − . . . (a2 + b2 + c2 − . . . > . . .) Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình

THỰC HÀNH

˝ TRẮC NGHIỆM

x2 + y2 + z2 − 8x − 2y + 1 = 0

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ ~a = −~i + 2 ~j − 3 ~k. Tìm

A B C Câu 2. tọa độ của ~a. . (2; −3; −1). . (−3; 2; −1). . (2; −1; −3).

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 37 D (−1; 2; −3). . (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

§1. Hệ tọa độ trong không gian TOÁN 12

Câu 3. −ˇ AB Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (1; 1; −2) và B (2; 2; 1). Vectơ

A D có tọa độ là . B . . (−1; −1; −3). (1; 1; 3). (3; 1; 1).

C (3; 3; −1). . Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 3) và B(3; 0; −5). Tọa độ trung Câu 4. điểm I của đoạn thẳng AB là A D . I(4; 2; −2). I(2; 2; −2). I(−1; 1; 4). B . .

C I(2; 1; −1). . Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 3; 4), B(2; −1; 0), C(3; 1; 2). Câu 5. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. (cid:18) (cid:19) A C D . G(2; 1; 2). B . G(6; 3; 6). . G 3; ; 3 . . G(2; −1; 2). 3 2

Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 2), B(−2; 1; 3), C(3; 2; 4)

A D Câu 6. và D(6; 9; −5). Tọa độ trọng tâm của tứ diện là C B . . . (−2; 3; 1). . (2; −3; 1).

(2; 3; −1). (2; 3; 1). Trong không gian Oxyz, cho ~a = (2; −3; 3), ~b = (0; 2; −1), ~c = (3; −1; 5). Câu 7. Tìm tọa độ của vectơ ~u = 2~a + 3 A ~b − 2~c. (−2; 2; −7). . (−2; −2; 7). (−2; 2; 7). D . B .

C (10; −2; 13). . Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; −1), B(2; −1; 3), C(−3; 5; 1). Câu 8. Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

A . D(−4; 8; −5). C . D(−2; 8; −3). B . D(−4; 8; −3). D . Không tồn tại.

Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2; −1; 5), B(5; −5; 7), M(x; y; 1). Với

Câu 9. giá trị nào của x, y thì A, B, M thẳng hàng? B . x = 4; y = −7. D . x = −4; y = −7. A . x = 4; y = 7. C . x = −4; y = 7.

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0; 1; −2) và B(3; −1; 1). Tìm tọa

C D A −ˇ −−ˇ AB. AM = 3 B . M(9; 5; 7). . M(−9; 5; −7). . M(9; −5; −5). Câu 10. độ điểm M sao cho . M(9; −5; 7).

Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc trục Oy? C D Câu 11. A B . Q(0; 3; 2). . P(2; 0; 3). . M(0; −3; 0). . N(2; 0; 0).

Trong không gian Oxyz, hình chiếu của điểm M (2; −2; 1) trên mặt phẳng

A D B . . Câu 12. (Oxy) có tọa độ là (2; 0; 1). (2; −2; 0). (0; −2; 1). (0; 0; 1).

C . Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của . Câu 13. điểm A(2; 1; −1) lên trục tung. A C . H(2; 0; −1). B . H(0; 1; 0). . H(0; 1; −1).

Trong không gian Oxyz, cho các vectơ ~a = (1; 0; 3) và D . H(2; 0; 0). ~b = (−2; 2; 5). Tích (cid:17) ~b (cid:16) ~a + C D bằng B A . 27. . 29. . 23. Câu 14. vô hướng ~a · . 25.

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; −1; 4) và B(−2; 2; −6). Tính √ Câu 15. độ dài đoạn thẳng AB. √ √ 44. B . AB = D . AB = 21 + 5. √ A . AB = 5 √ C . AB = 5. 65.

◦

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ ~u = (−1; 1; 0), ~v = (0; −1; 0). Góc

◦ . 120

C D A . 135 . . 60 . Câu 16. giữa ~u và ~v có số đo bằng B . . 45 .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x − 7)2 + (y + Câu 17. 3)2 + z2 = 16. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

B I(7; −3; 0) và R = 4. . D . I(7; −3; 0) và R = 16. I(−7; 3; 0) và R = 4. I(−7; 3; 0) và R = 16. A . C . Câu 18. Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 + 4x − 2y + 2z − 3 = 0 có tâm và bán kính là

B I(2; −1; 1), R = 3. . D . I(−2; 1; −1), R = 9. I(2; −1; 1), R = 9. I(−2; 1; −1), R = 3.

Trong không gian Oxyz, cho A(−1; 0; 0), B(0; 0; 2), C(0; −3; 0). Tính bán A . C . Câu 19. kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. √ √ √ √ C D A . B . R = 14. . . R = . . R = 14 4 14 3 14 2 (cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 38 . R = (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

§1. Hệ tọa độ trong không gian TOÁN 12

2 = 25. 2 = 25.

2 = 5. 2 = 5.

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm là điểm I (0; 0; −3) và đi

Câu 20. qua điểm M (4; 0; 0). Phương trình của (S) là B . x2 + y2 + (z + 3) D . x2 + y2 + (z − 3) A . x2 + y2 + (z + 3) C . x2 + y2 + (z − 3)

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; −2; 3) và B(5; 4; 7). Phương

Câu 21. trình mặt cầu nhận AB làm đường kính là (x − 6)2 + (y − 2)2 + (z − 10)2 = 17. (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = 17. (x − 3)2 + (y − 1)2 + (z − 5)2 = 17. (x − 5)2 + (y − 4)2 + (z − 7)2 = 17.

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; −2; 3). Gọi (S) là mặt cầu A . B . C . D . Câu 22. chứa A có tâm I thuộc tia Ox và bán kính bằng 7. Phương trình mặt cầu (S) là

2 + y2 + z2 = 49. 2 + y2 + z2 = 49.

L TỰ LUẬN

A . C . B . D . (x − 7) (x + 5) (x + 7) (x − 3)

Câu 1 (SGK HH12). Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 biết A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; −1; 1), C0 (4; 5; −5). Tính tọa độ các đỉnh còn

lại của hình hộp. Câu 2 (SGK HH12). −ˇa · −ˇ b biết

−ˇa = (3; 0; −6) và a) Tính −ˇ b = (2; −4; 0) −ˇa = (1; −5; 2) và b) −ˇ b = (4; 3; −5)

Vocabulary − £ Ø

coplanar scalar product space đồng phẳng tích vô hướng không gian midpoint length plane trung điểm độ dài mặt phẳng centroid sphere coordinates trọng tâm mặt cầu tọa độ parallel radius point cùng phương bán kính điểm

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 39 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

§2.PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

§2. Phương trình mặt phẳng TOÁN 12

Nhắc lại về Phương trình tổng quát của đường thẳng trong mặt phẳng

VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . • Nếu 6= thì ∆1 và ∆2 a a b b −ˇn 6= −ˇ 0 . Nếu . . . . . . của Cho đường thẳng ∆ và vectơ vuông góc với ∆ thì ta nói −ˇn −ˇn là vectơ . . . . . . . . . . . . của ∆. . . . . . . . . . . . . . . . = thì ∆1 và ∆2 6= • Nếu a a b b c 1 c 2 −ˇn

. . . . . . . . . . . . . . . • Nếu = = thì ∆1 và ∆2 a a b b c 1 c 2

∆

Góc giữa hai đường thẳng là một góc . . . . . . được xác định bởi công thức • Mỗi đường thẳng có . . . . . . . . . vectơ pháp tuyến.

2 + . . . . . .| · . . . . . . . . . . . .

1 + b2 a2

0; y

0) và có vectơ pháp

· a • Nếu −ˇn là vectơ pháp tuyến của ∆ thì k · −ˇn cũng là |a 1 q , ∆2) = cos (∆1 . . . . . . . . . . . . . . . của ∆.

0; y

0) đến đường thẳng ∆ : ax +

PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M (x tuyến −ˇn = (a; b). Khi đó

1 = 0 và ∆2 : a

KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG Khoảng cách từ điểm M (x by + c = 0 bằng

2 = 0.

VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG

1 Tích có hướng

1; a

2; a

2; b

3). Tích có hướng của

x + b y + c √ ∆ : . . . (x − . . .) + . . . (y − . . .) = 0 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI VÀ GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Cho hai đường thẳng ∆1 : a x + b d (M, ∆) = y + c a . . . + b . . . + c . . .2 + . . .2

−ˇa = (a −ˇa và −ˇ b = (b 1; b −ˇ −ˇa và b .

h−ˇa ,

= (. . . . . . . . . . . . ; . . . . . . . . . . . . ; . . . . . . . . . . . .)

Trong không gian, cho hai vectơ 3) và −ˇ b là một . . . . . . . . . . . . . . . . . . với cả hai vectơ −ˇ b

2 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Ví dụ 1. Tính tích có hướng của hai vectơ −ˇu = (2; 1; −2) và −ˇv = (−12; 6; 0).

Định nghĩa − £ Ø

−ˇn 6= −ˇ 0 và có . . . . . . vuông góc với mặt phẳng (α) thì Cho mặt phẳng (α). Nếu vectơ −ˇn được gọi là vectơ . . . . . . . . . . . . của (α).

• Mỗi mặt phẳng có . . . . . . . . . vectơ pháp tuyến.

−ˇn là vectơ pháp tuyến của (α) thì k · −ˇn cũng là . . . . . . . . . . . . . . . của (α). Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2; −1; 3), B(4; 0; 1), C(−10; 5; 3). Hãy tìm • Nếu Ví dụ 2. tọa độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 40 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG

0; y

0; z

0) và có vectơ pháp

1 Định nghĩa Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua điểm M (x tuyến

§2. Phương trình mặt phẳng TOÁN 12

0) = . . .

a (x − . . .) + . . . (y . . . y

0) + c (. . . − z

−ˇn = (a; b; c). Khi đó

Mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0 có một vectơ pháp tuyến (cid:73) Ví dụ 3.

2 Các trường hợp riêng Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0. A = 0: (α) song song hoặc trùng với trục . . . . . . B = 0: (α) song song hoặc trùng với trục . . . . . . C = 0: (α) song song hoặc trùng với trục . . . . . . D = 0: (α) đi qua điểm . . . . . . . . .

−ˇm = (. . . ; . . . ; . . .). Mặt phẳng (α) : 4x − 2y − 6z + 7 = 0 có một vectơ pháp tuyến là . . . . . . . . . . . . Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2; −1; 3), B(4; 0; 1), C(−10; 5; 3). Lập Ví dụ 4. phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC).

!

A = B = 0: (α) song song hoặc trùng với mặt phẳng . . . . . . A = C = 0: (α) song song hoặc trùng với mặt phẳng . . . . . . B = C = 0: (α) song song hoặc trùng với mặt phẳng . . . . . .

Mặt phẳng (β) song song với mặt phẳng Oxz và cắt trục tung tại điểm có tung Ví dụ 5. độ bằng 3. Viết phương trình mặt phẳng (β).

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn − £ Ø

(α) : Nếu mặt phẳng (α) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0) và C(0; 0; c) thì y b + z c = . . . x a +

ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG, VUÔNG GÓC

Ví dụ 6. Viết phương trình mặt phẳng (HKT), biết H(2; 0; 0), K(0; 0; 5), T(0; −3; 0).

1 = 0 và (β) : A

2 = 0. Khi đó:

2; B

2; C 2)

1) . . . k (A

1; B 1; C . . . kD 2

x + B y + C z + D x + Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (α) : A B y + C z + D ( ( ∥ • (α) ≡ (β) ⇔ (β) ⇔ (A D (A D

! • (α) • (α) ⊥ (β) ⇔ . . . . . . . . . . . .

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (Q) : 2x − y + 5z − 15 = 0 và điểm

Ví dụ 7. E(1; 2; −3). Mặt phẳng (P) qua E và song song với (Q) có phương trình là B . x + 2y − 3z − 15 = 0. D . 2x − y + 5z − 15 = 0. A . x + 2y − 3z + 15 = 0. C . 2x − y + 5z + 15 = 0.

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 41 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

0; y

0; z

0) đến mặt phẳng

§2. Phương trình mặt phẳng TOÁN 12

Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M (x (α) : Ax + By + Cz + D = 0 được tính bằng

√ d (M, (α)) = A . . . + B . . . + C . . . + D . . .2 + . . .2 + . . .2

Ví dụ 8. Tính khoảng cách từ điểm Q(1; 0; −3) đến mặt phẳng (γ) : x − 2y + 2z − 5 = 0.

THỰC HÀNH

˝ TRẮC NGHIỆM

Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (λ) : x − 2y + 2z + 5 = 0 và (γ) : x − Ví dụ 9. 2y + 2z − 5 = 0.

~b = (1; 2; m) và i h Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ ~a = (3; −1; −2), ~a, ~b D . m = 1. . m = −1. Câu 1. ~c = (5; 1; 7). Tìm giá trị của m để B . m = 0. . m = 2.

A Câu 2. Tìm tọa độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

−ˇn = (2; −5; 0). −ˇn = (−1; −2; 0). A . C .

= ~c. C Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x − 5y − 8 = 0. −ˇn = (2; −5; −8). B . −ˇn = (2; 0; −5). D . Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là −ˇn =

Câu 3. phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M(5; 2; −1) và có vectơ pháp tuyến (1; 1; −2)? A . x + y − 2z + 9 = 0. C . 5x + 2y − z + 9 = 0. B . x + y − 2z − 9 = 0. D . 5x + 2y − z − 9 = 0.

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 1; −1), B(−1; 0; 4) và C(0; −2; −1). Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC?

A . x − 2y − 5z − 5 = 0. C . x − 2y − 5z − 2 = 0. B . x − 2y − 5z + 5 = 0. D . 2x + y − z − 5 = 0.

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M(1; −2; 0) và song song với mặt phẳng (P) : x − y + 3z − 6 = 0?

A . x − y + 3z − 1 = 0. C . x − y + 3z − 3 = 0. B . x − y + 3z + 1 = 0. D . x − y + 3z + 3 = 0.

Câu 6. Trong không gian Oxyz, cho A(2; −3; 0) và mặt phẳng (α) : x+2y−z+3 = 0. Tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua A sao cho (P) vuông góc với (α) và (P) song song với trục Oz? A . 2x + y − 1 = 0. C . 2x − y − 7 = 0.

B . y + 2z + 3 = 0. D . x + 2y − z + 4 = 0. Trong không gian Oxyz, chọn câu đúng trong các câu sau: Câu 7. A . Mặt phẳng tọa độ (Oxy) có phương trình z = 0.

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 42 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

§2. Phương trình mặt phẳng TOÁN 12

B . Mặt phẳng tọa độ (Ozx) có phương trình x = 0. C . Mặt phẳng tọa độ (Oyz) có phương trình y + z = 0. D . Mặt phẳng tọa độ (Oxy) có phương trình x + y = 0.

Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) : (x − 1)2 + (y + 3)2 + (z − 2)2 = 49 Câu 8. tại điểm M(7; −1; 5) có phương trình là

A . 6x + 2y + 3z − 55 = 0. C . 3x + y + z − 22 = 0. B . 6x + 2y + 3z + 55 = 0. D . 3x + y + z + 22 = 0.

Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(3; −2; 1), B(−4; 0; 3), Câu 9. C(1; 4; −3), D(2; 3; 5). Phương trình mặt phẳng chứa AC và song song với BD là

A . 12x − 10y + 21z − 35 = 0. C . 12x + 10y + 21z + 35 = 0. B . 12x + 10y − 21z + 35 = 0. D . 12x − 10y − 21z − 35 = 0. Câu 10.

góc với đường thẳng ∆ : có phương trình là = = y − 2 2

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm M (1; 1; −1) và vuông z − 1 1 B . x − 2y − z = 0. D . x − 2y − z − 2 = 0. x + 1 2 A . 2x + 2y + z + 3 = 0. C . 2x + 2y + z − 3 = 0.

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(4; 1; −2) và B(5; 9; 3). Phương Câu 11. trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là

A . 2x + 6y − 5z + 40 = 0. C . x − 8y − 5z − 35 = 0. B . x + 8y − 5z − 41 = 0. D . x + 8y + 5z − 47 = 0.

Câu 12. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) chứa điểm H(1; 2; 2) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng (P) là A . x + 2y − 2z − 9 = 0. C . 2x + y + z − 2 = 0. B . 2x + y + z − 6 = 0. D . x + 2y + 2z − 9 = 0.

z y z A + Câu 13. trình mặt phẳng (ABC) là y = 1. + = 0. + + 3 z 7 y 3 y 7 z + 1 = 0. B . D . . C . = 1. + + + + Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(−2; 0; 0), B(0; 0; 7), C(0; 3; 0). Phương x −2 x −2 x −2 x −2 3 7 3 7

Trong không gian Oxyz, cho điểm G(1; 2; 3). Gọi (P) : px +qy +rz +1 = 0 ) là mặt phẳng qua G và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho

D C B A Câu 14. (p, q, r ∈ R G là trọng tâm của tam giác ABC. Tính T = p + q + r. . T = 18. . T = . T = −18. . . . T = − 11 18 11 18 Trong không Oxyz, gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của Câu 15. điểm M(1; 2; 3) lên các trục tọa độ. Mặt phẳng (ABC) có phương trình là x y z A . B . + + = 1. 1 x 2 y 3 z C . D . + + = 0. 1 x + 1 x + 2 y + 2 y + 3 z = 1. 3 z = 0. 1 2 3

Trong không Oxyz, gọi M, N, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của Câu 16. điểm A(2; −3; 1) lên các mặt phẳng tọa độ. Phương trình mặt phẳng (MNK) là x y z A + + = 1. 3 y 1 z 2 x − + = 0. B . 3x − 2y + 6z = 6. D . 3x − 2y + 6z − 12 = 0. . C . 1 3

2 Câu 17. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : x − 3y + 2z − 1 = 0 và (Q) : x − z + 2 = 0. Mặt phẳng (α) vuông góc với cả (P) và (Q), đồng thời cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3. Phương trình của (α) là

A . x + y + z − 3 = 0. C . −2x + z + 6 = 0. B . x + y + z + 3 = 0. D . −2x + z − 6 = 0.

Câu 18. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; 1; −2) và hai mặt phẳng (α) : x + y − 2z − 4 = 0, (β) : 2x − y + 3z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M đồng thời vuông góc với giao tuyến của (α) và (β).

A . x − 7y + 3z + 11 = 0. C . x − y + 3z + 5 = 0. B . x − 7y − 3z − 1 = 0. D . x + y − 3z − 9 = 0.

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3; −1; 2), B(4; −1; −1) và C(2; 0; 2). Câu 19. Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C có phương trình là

A . 3x − 3y + z − 14 = 0. C . 3x − 2y + z − 8 = 0.

43 B . 3x + 3y + z − 8 = 0. D . 2x + 3y − z + 8 = 0. (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận (cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ

§2. Phương trình mặt phẳng TOÁN 12

Trong không gian Oxyz, điểm M(a; b; c) thuộc mặt phẳng (P) : x + y +

A C D Câu 20. z − 6 = 0. Tổng a + b + c bằng B . −6. . 0. . 5. . 6. Câu 21. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) : x − 3y + 1 = 0 đi qua điểm nào

sau đây? A C D . A(3; 1; 1). B . B(1; −3; 1). . C(−1; 0; 0). . D(1; 0; 0).

◦

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : 2x − y − z − 3 = 0 và Câu 22. (Q) : x − z − 2 = 0. Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

◦

. . B . D . . . ((P), (Q)) = 30 ((P), (Q)) = 60 ((P), (Q)) = 45 ((P), (Q)) = 90 √ (cid:17) (cid:16) A . C . Câu 23. 2 Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(0; 2; 0), B(2; 0; 0), C 0; 0;

và D(0; −2; 0). Tính số đo góc của hai mặt phẳng (ABC) và (ACD). D C B A . 30 . 45 . 60 . 90 . . . Câu 24. . Khoảng cách từ M (1; 4; −7) đến mặt phẳng (P) : 2x − y + 2z − 9 = 0 là D B A . 7. . . 12. 25 3 C . Khoảng cách giữa mặt phẳng (P) : 2x − y + 3z + 5 = 0 và (Q) : 2x − y +

C D A 6√ 4√ . . 6. . . . 5. Câu 25. 3z + 1 = 0 bằng . 4. B . 14 14

Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm I(3; −1; 0) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) : x + 2y − 2z − 10 = 0? A B . (x − 3)2 + (y + 1)2 + z2 = 9. . (x − 3)2 + (y + 1)2 + z2 = .

C (x + 3)2 + (y − 1)2 + z2 = 9. (x + 3)2 + (y − 1)2 + z2 = . 1 9 1 9 D . Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : 2x − 3y + 4z + 20 = 0 . Câu 27. và (Q) : 4x − 13y − 6z + 40 = 0. Vị trí tương đối của (P) và (Q) là

A B C D . Song song. . Trùng nhau. . Cắt nhau nhưng không vuông góc. . Vuông góc. Câu 28. Trong không gian Oxyz, cặp mặt phẳng nào sau đây song song với

y z nhau? A . B . C − = 0. + 2 2 2 . D (P) : 2x − y + z − 5 = 0 và (Q) : − 3x + 2y − 2z + 10. (R) : x − y + z − 3 = 0 và (S) : 2x − 2y + 2z + 6 = 0. x (T) : x − y + z = 0 và (U) : (X) : 3x − y + 2z − 3 = 0 và (Y ) : 6z − 2y − 6 = 0.

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(−1; 2; 1) và hai mặt phẳng (P) : 2x + . Câu 29. 4y − 6z − 5 = 0, (Q) : x + 2y − 3z = 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A . Mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với (P). B . Mặt phẳng (Q) không đi qua A và song song với (P). C . Mặt phẳng (Q) đi qua A và không song song với (P). D . Mặt phẳng (Q) không đi qua A và không song song với (P).

Câu 30. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : x − 3y + 2z + 1 = 0 và (Q) : (2m − 1)x + m(1 − 2m)y + (2m − 4)z + 14 = 0. Tìm m để (P) và (Q) vuông góc với nhau. B A . .

. m = 1 hoặc m = − 3 2 C . m = 2. . m = −1 hoặc m = − 3 2 D . m = . 3 2

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 44 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

L TỰ LUẬN Câu 1 (SGK HH12).

TOÁN 12 §2. Phương trình mặt phẳng

Viết phương trình của mặt phẳng

−ˇn = (2; 3; 5) làm vectơ pháp tuyến;

−ˇu = (3; 2; 1) và −ˇv = (−3; 0; 1);

a) Đi qua điểm M(1; −2; 4) và nhận b) Đi qua điểm A(0; −1; 2) và song song với giá của mỗi vectơ c) Đi qua ba điểm A(−3; 0; 0), B(0; −2; 0) và C(0; 0; −1); d) Đi qua điểm M(2; −1; 2) và song song với mặt phẳng (β) : 2x − y + 3z + 4 = 0; e) Đi qua hai điểm A(1; 0; 1), B(5; 2; 3) và vuông góc với mặt phẳng (β) : 2x − y + z − 7 = 0; f) Trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 3; 7) và B(4; 1; 3). Câu 2 (SGK HH12). Xác định các giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mặt phẳng song song với nhau:

a) 2x + my + 3z − 5 = 0 và nx − 8y − 6z + 2 = 0 b) 3x − 5y + mz − 3 = 0 và 2x + ny − 3z + 1 = 0

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 45 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

§3.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

§3. Phương trình đường thẳng TOÁN 12

Nhắc lại về Phương trình tham số của đường thẳng trong mặt phẳng

0; y

0) và có vectơ chỉ

VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

2). Khi đó

−ˇ 0 . Nếu ta nói −ˇn giá của −ˇu là vectơ PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M (x 1; u phương −ˇu = (u −ˇu 6= Cho đường thẳng ∆ và vectơ . . . . . . . . . . . . hoặc . . . . . . với ∆ thì . . . . . . . . . . . . của ∆. ( −ˇu ∆ : x = . . . . . . + . . . . . . t y = . . . . . . + . . . . . . t

∆ , u Nếu u 6= 0 thì phương trình trên có thể viết Chú ý: dưới dạng chính tắc như sau: • Mỗi đường thẳng có . . . . . . . . . vectơ chỉ phương.

PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

x − . . . • Nếu −ˇu là vectơ chỉ phương của ∆ thì k · −ˇu cũng là . . . . . . . . . . . . . . . của ∆. . . . = y − . . . . . .

0; y

0; z

2; u

1; u

0) và nhận 3) làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của ∆ có dạng

Định nghĩa − £ Ø

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M (x −ˇu = (u

  (1) ∆ :  x = . . . . . . + . . . . . . t y = . . . . . . + . . . . . . t z = . . . . . . + . . . . . . t

trong đó t là . . . . . . . . . . . .

Ví dụ 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; −2; 3) và có vectơ chỉ phương −ˇv = (1; 4; 5).

, u , u 6= 0 thì phương trình (1) có thể viết dưới dạng chính tắc như sau: y − . . . x − . . .

! Nếu u

. . . = . . . = y − . . . . . .

Ví dụ 2. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng AB với A(1; −2; 3) và B(3; 0; 0).

z Ví dụ 3. Cho đường thẳng ∆ : = . Mặt phẳng nào sau đây chứa đường = x − 1 1 y − 2 2 3

thẳng ∆? A . C . B . D . (α) : 2x + 4y + 6z + 9 = 0. (λ) : x + y − z − 3 = 0. (β) : x + y − z + 3 = 0. (γ) : x + 2y − z + 3 = 0.

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 46 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU

§3. Phương trình đường thẳng TOÁN 12

Gọi

∥ ⇔ ⇔ ≡ ∆2 • ∆1 ∆2 • ∆1 (−ˇu = k . . . . . . M . . . . . . ∆2 Điều kiện để hai đường thẳng song song −ˇu , −ˇv lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng ∆1 −ˇu , ∆2 và điểm M ∈ ∆1. M ∆1 (−ˇu = k . . . . . . M . . . . . . ∆2 −ˇv ∆2

Ví dụ 4.

Cặp đường thẳng nào dưới đây song song, trùng nhau?     a) d : và d0 :   x = 3 − t y = 4 + t z = 5 − 2t

    b) d : và d0 :   x = 1 + t y = 2t z = 3 − t x = 2 − 3t0 y = 5 + 3t0 z = 3 − 6t0 x = 2 + 2t0 y = 3 + 4t0 z = 5 − 2t0

Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau

0 + v 0 + v 0 + v

    cắt nhau khi và chỉ và d0 : Hai đường thẳng d :   t0 1 t0 2 t0 t 1 t 2 t x = x0 y = y0 z = z0 x = x y = y z = z khi hệ phương trình

0 + u 0 + u 0 + u  0 + u x  y 0 + u  0 + u z

0 + v 0 + v 0 + v

t0 1 t0 2 t0 t = x0 t = y0 t = z0

có đúng . . . . . . nghiệm.

2 :

    Ví dụ 5. và d . Tìm giao điểm của hai đường thẳng d 1 :   x = 1 + 2t0 y = 3 − t0 z = 3 − 3t0 x = 3 − t y = 2 − 3t z = t

Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau

0 + u 0 + u 0 + u

0 + v 0 + v 0 + v

    chéo nhau khi và Hai đường thẳng d : và d0 :   t0 1 t0 2 t0 t 1 t 2 t x = x0 y = y0 z = z0 x = x y = y z = z chỉ khi hai vectơ

0 + v 0 + v 0 + v

t0 1 t0 2 t0 −ˇu , −ˇv . . . . . . . . . . . . phương và hệ phương trình t = x0 t = y0 t = z0  x 0 + u  y 0 + u  0 + u z

. . . . . . nghiệm.

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 47 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

§3. Phương trình đường thẳng TOÁN 12

2 :

    Ví dụ 6. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d 1 : và d .   x = 5 − t y = 2 − 3t z = 4 + t x = 1 + 2t0 y = 3 − t0 z = −3t0

0 + u 0 + u 0 + u

  Để tìm giao điểm của đường thẳng ∆ : và mặt phẳng (α) : Ax +  t 1 t 2 t x = x y = y z = z By + Cz + D = 0, ta xét phương trình

!

0 + u

t) + D = 0 (1) A (x t) + B (y t) + C (z

• Nếu (1) vô nghiệm thì ∆ . . . . . . . . . (α) • Nếu (1) vô số nghiệm thì ∆ . . . . . . . . . (α) • Nếu (1) có đúng một nghiệm thì ∆ . . . . . . . . . (α)

Ví dụ 7.

2 :

1 :

THỰC HÀNH

˝ TRẮC NGHIỆM

    Tìm giao điểm của mặt phẳng (α) : x + y + z − 3 = 0 với các đường thẳng sau:   c) d 3 : b) d a) d    x = 1 + 5t y = 1 − 4t z = 1 + 3t x = 1 + 2t y = 1 − t z = 1 − t x = 2 + t y = 3 − t z = 1

Câu 1. = x + 1 −1

= ? D y − 2 3 A Trong không gian Oxyz, điểm nàọ dưới đây thuộc đường thẳng d : z − 1 3 . P (−1; 2; 1). B . Q (1; −2; −1). C . N (−1; 3; 2).

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : .  . M (1; 2; 1).  x = 3  y = 2 + 2t z = 1 − 3t Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆. A B C D . M(0; 2; −3). . M(3; 2; 2). . M(3; 0; 4).

. M(3; 4; 2). (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận (cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 48

§3. Phương trình đường thẳng TOÁN 12

  Câu 3. . Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :  x = 2 + t y = 3 − t z = 1 Tìm tọa độ một vectơ chỉ phương của ∆.

A . C . −ˇu = (1; −1; 1). −ˇu = (2; 3; 0).

C B A . . . −ˇu = (1; −1; 0). B . −ˇu = (2; 3; 1). D . Trong không gian Oxyz, vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của −ˇu 4 = (1; 1; 1). Câu 4. đường thẳng đi qua hai điểm M (2; 3; −1) và N (4; 5; 3)? −ˇu 3 = (1; 1; 2).

Câu 5. = nhận = Trong không gian Oxyz, đường thẳng d : D . y − 3 −4 −ˇu 2 = (3; 4; 2). z − 7 1

−ˇu 1 = (3; 4; 1). x − 1 2 ~b = (2; 4; 1). ~d = (2; −4; 1). A . ~a = (−2; −4; 1). C . ~c = (1; −4; 2).

  vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương? B . D . Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(2; −2; 2) và có vectơ chỉ phương −ˇu = (3; 1; 1)?   A . . B . .

      C . D . . .   x = 2 + 3t y = −2 + t z = 2 + t x = 3 + 2t y = 1 − 2t z = 1 + 2t

x = 1 + 3t y = −1 + t z = 1 + t x = 3 + t y = 1 − t z = 1 + t Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương

A B . = = = = . . .

D . C . = = = = . . Câu 7. trình của đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 1; 2) và B(6; 11; −3)? y + 10 2 y + 1 2 y − 10 2 y − 1 2 z − 5 2 z + 2 −1 z + 5 2 z − 2 −1 x + 5 1 x + 1 1

x − 5 1 x − 1 1 Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(0; 4; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P) : 2x − 2y − z = 0?

    A . . B . .

      . . D . C .   x = 2 y = −2 + 4t z = −1 + t x = 2t y = 4 − 2t z = 1 − t Câu 9. y thẳng là

2     A . B . . .

      C . D . . .   x = 2 + 3t y = 4 + 2t z = 1 + t x = 3 + 2t y = 2 − 4t z = 1 + t

x = −2 y = 2 + 4t z = 1 + t x = t y = 4 − t z = 1 − 2t Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(3; 2; 1) và song song với đường x z + 3 = = 4 1 x = 3 − 2t y = 2 − 4t z = 1 − t x = 2t y = 4t z = 3 + t Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; 5; 3) và hai mặt phẳng (P) : 2x + y + 2z − 8 = 0, (Q) : x − 4y + z − 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và song song với cả hai mặt phẳng (P), (Q).

    A . d : . B . d : .

      C D . d : . . d : .   x = 3 + t y = 5 − t z = 3 x = 3 + t y = 5 z = 3 + t x = 3 + t y = 5 z = 3 − t x = 3 y = 5 + t z = 3 − t

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 49 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

§3. Phương trình đường thẳng TOÁN 12

= x + 3 2 và mặt phẳng (P) : 2x + z − 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng =

Câu 11. y − 5 −5 ∆ đi qua M, vuông góc với d và song song với (P). B A . ∆ : . ∆ : = = = = . .

D C . ∆ : . ∆ : = = . . Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; −3; 4), đường thẳng d : z − 2 −1 x − 1 1 x − 1 1 y + 3 −1 y + 3 1 y + 3 −1 y + 3 −1 Câu 12. z − 4 x − 1 −2 −1 z − 4 x − 1 −2 1 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : = = z − 4 −2 z − 4 = 2 y + 5 −1 = x − 1 2 z − 3 4

. Phương trình nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng (P) : x + 3 = 0?

    A B . . . .

      C . . D . .   x = −3 y = −5 − t z = −3 + 4t x = −3 y = −5 + 2t z = 3 − t

Câu 13. = = cắt Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : x = −3 y = −5 + t z = 3 + 4t x = −3 y = −6 − t z = 7 + 4t x − 1 2 z − 1 1 mặt phẳng (P) : 2x − 3y + z − 2 = 0 tại điểm I(a; b; c). Khi đó a + b + c bằng B C y − 3 −1 D A . 3. . 9. . 5. . 7. Câu 14. Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(−1; 1; 6) trên

  là đường thẳng ∆ : x = 2 + t y = 1 − 2t z = 2t

 A . M(3; −1; 2). C . K(2; 1; 0). B . H(11; −17; 18). D . N(1; 3; −2).

Trong không gian Oxyz, tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A(3; 2; −1)

(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) A D (−2; 1; 1). B . ; . ; ; (1; 1; −2). C . . . . Câu 15. lên mặt phẳng (α) : x + y + z = 0 là ; − 7 3 2 3 5 3 1 4 1 2 x Câu 16. = 1 4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆ : 1   . Mệnh đề nào dưới đây đúng? = và ∆ : y + 2 2 z − 3 −1 

A C B D . ∆ song song với ∆ . ∆ vuông góc với ∆ x = 5 − t y = −2t z = 3 + t . 0 . . ∆ trùng với ∆ . ∆ và ∆ . chéo nhau.

= x + 4 2 và mặt phẳng (P) : 4x + 2y + (m − 1)z + 13 = 0. Tìm giá trị của m = Câu 17. y + 2 1

D A Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : z − 3 3 để (P) vuông góc với ∆. B . m = 7. . m = −7. . m = . 7 3

. m = − 7 C . 3   Câu 18. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : và hai mặt  x = 1 y = 1 + t z = −1 + t

phẳng (P) : x − y + z + 1 = 0, (Q) : 2x + y − z − 4 = 0. Khẳng định nào sau đây đúng? A D C . (P) ∩ (Q) = d. . d⊥(P). . d ∥ B (Q). . d ∥ (P).

= x − 2 1 . Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆. √ = √ √ √ Câu 19. y + 1 2 A D C . B . . . . . . 2. 26 3 10 3

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 0; 3) và đường thẳng ∆ : z − 2 −2 34 3 Câu 20. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x −2)2 +(y −3)2 +(z−5)2 = 100 và điểm M(−3; 3; −3) nằm trên mặt phẳng (α) : 2x − 2y + z + 15 = 0. Đường thẳng (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận 50

§3. Phương trình đường thẳng TOÁN 12

∆ nằm trên mặt phẳng (α), đi qua M và cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B sao cho đoạn thẳng AB có độ dài lớn nhất. Viết phương trình đường thẳng ∆. A . = = . B . = = .

L TỰ LUẬN

C . = = . D . = = . x + 3 1 x + 3 5 y − 3 1 y − 3 1 z + 3 3 z + 3 8 x + 3 16 x + 3 1 y − 3 11 y − 3 4 z + 3 −10 z + 3 6

Câu 1 (SGK HH12).

Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: −ˇa = (2; −3; 1);

a) d đi qua điểm M(5; 4; 1) và có vectơ chỉ phương b) d đi qua điểm A(2; −1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α) : x + y − z + 5 = 0;

  c) d đi qua điểm B(2; 0; −3) và song song với đường thẳng ∆ : ;  x = 1 + 2t y = −3 + 3t z + 4t

d) d đi qua hai điểm P(1; 2; 3) và Q(5; 4; 4); Câu 2 (SGK HH12). Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d0 cho bởi các phương trình sau:

        a) d : và d0 : và d0 : b) d :     x = −3 + 2t y = −2 + 3t z = 6 + 4t x = 5 + t0 y = −1 − 4t0 z = 20 + t0 x = 1 + 2t0 y = −1 + 2t0 z = 2 − 2t0 x = 1 + t y = 2 + t z = 3 − t

  Câu 3 (SGK HH12). Tính khoảng cách giữa đường thẳng ∆ : và mặt phẳng (α) : 2x − 2y + z + 3 = 0.  x = −3 + 2t y = −1 + 3t z = −1 + 2t

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 51 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

Phụ lục TOÁN 12

PHỤ LỤC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2018-2019 MÔN: TOÁN 12 THPT Thời gian làm bài 90 phút (bao gồm trắc nghiệm và tự luận) VĨNH LONG (Đề có 05 trang)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (40 câu, 8.0 điểm) Câu 1.

−x

Họ và tên học sinh: Mã đề 101

C D A sin 2x và sin2 x. và e . e B . . . sin 2x và cos2 x. Cặp số nào sau đây có tính chất "Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại"? tan x2 và . 1 cos2 x2 . Câu 2. Phát biểu nào sau đây là đúng? Z Z A x sin x dx = x cos x + sin x + C. B . x sin x dx = −x cos x + sin x + C. . Z Z C x sin x dx = −x cos x − sin x + C. D . x sin x dx = x cos x − sin x + C. .

−3x+1(3x + n) + C với m, n là các số nguyên. Tính tổng S = m + n.

−3x+1 dx = − 1 m e . 1.

Câu 3. Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 x − 1 C A ln 2. D . . . B . ln 2 + 1. . ln . và F(2) = 1. Khi đó F(3) bằng bao nhiêu? 1 2 3 2 Z Câu 4. Biết (x + 3) · e B D A C . 19. . 10. . 9.

−2

Câu 5. f 0 (x) dx. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên đoạn [−2; 1] và f(−2) = 3, f(1) = 7. Tính I =

a Z

b Z

c Z

b Z

C A D . I = 4. B . I = −4. . I = 10. . I = . 7 3 Câu 6. sai ? Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Mệnh đề nào dưới đây b Z A f(x) dx = − f(x) dx. k dx = k(a − b), ∀k ∈ R . . B .

C . f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx, ∀c ∈ (a; b). D . f(x) dx = f(t) dt.

1 B .

√ Câu 7. x √ 1 + x thì f(t) là hàm số nào trong các hàm số dưới đây? f(t) dt, với t = Nếu 1 + x dx = A C 1 + f(t) = t2 − 1. . f(t) = 2t2 + 2t. . f(t) = t2 + t. D . f(t) = 2t2 − 2t.

Câu 8. Tính tích phân I = (x + 2)3 dx.

e2 Z

A C . I = 60. B . I = 240. . I = 56. D . I = 120.

Câu 9. dx được kết quả là Tính I = (1 − ln x) x

A C . . B . . . . D . . 4 3 5 3 1 3 13 3

π 2Z

Câu 10. dx = ln a. Giá trị của a là Biết rằng 1 2x − 1 A B C D . 81. . 27. . 3. . 9.

Câu 11. Cho dx = a ln 4 c + b, với a, b là các số hữu tỉ, c > 0. Tính tổng S = a + b + c. cos x 2 − 5 sin x + 6 (sin x) A C D . S = 3. B . S = 4. . S = 0. . S = 1.

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 52 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

TOÁN 12 Phụ lục

dx Câu 12. Giả sử x2 − x = a ln 5 + b ln 3 + c ln 2. Tính giá trị biểu thức S = −2a + b + 3c2.

π 4Z

A B C D . S = 3. . S = 6. . S = −2. . S = 0.

0 . 2.

Câu 13. R Cho hàm số f(x) liên tục trên , biết dx = 2. Tính I = f(x) dx. f (tan x) dx = 4 và x2 · f(x) x2 + 1 B C A D

0 . 0. 1 2

. 6. Câu 14. x2 và đường thẳng y = x được tính theo công thức nào . 1. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường cong y = sau đây? (cid:18) (cid:18) (cid:19) (cid:19)2 B A C D x2 − x x2 − x x2 − x (cid:12)x2 − 2x(cid:12) (cid:12) (cid:12) dx. . S = . S = . S = dx. . S = dx. (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) dx. (cid:12) 1 2 1 2 1 2

Câu 15.

B A Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = −x2 + 4x − 3, x = 0, x = 3, Ox. D . . C . . . . − 4 3 8 3 C Câu 16. . − 8 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( B D A C . . . . . 4 . 3 ) : y = x4 − 2x2 + 1 và trục hoành. 15 . 8 8 15 . − 15 16 16 15 √ y x, y = 0, y = 2 − x.

8 . Câu 17. Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = Diện tích của (H) là √ √ 4 C A B . . . . . D . . . 2 2 + 3 6 7 6 2 − 1 3 5 6

x O 1 2

12π Z

Gọi V là thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục hoành: y = sin x, Câu 18. y = 0, x = 0, x = 12π. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

2 dx.

A B C D . V = π . V = π sin x dx. . V = π2 . V = π2 sin x dx. (sin x) (sin x)

y Câu 19. Cho hàm bậc hai y = f(x) có đồ thị như hình bên. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và Ox quanh Ox. B C A 1 . . − 12π . . . D . . . 4π 3 15 16π 15 16π 5

x O 1 2 3

Một ô tô đang chạy với vận tốc 54 km/h thì tăng tốc chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a(t) = 3t − 8 (m/s2)

A D B . 540 m. Câu 20. trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây. Quãng đường mà ô tô đi được sau 10 s kể từ lúc tăng tốc là . 246 m. . 150 m.

Câu 21. A D B . −2 và 0. . 2 và −3.

C . 250 m. Cho hai số phức z = x − yi và w = 2i + 3x, (x, y ∈ R ). Biết z = w. Giá trị của x và y lần lượt là C . 0 và −2. . 0 và 2. −ˇ OC = Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(4; 0), B(0; −3) và điểm C thỏa mãn điều kiện −ˇ OB. Khi đó −ˇ OA + Câu 22. số phức được biểu diễn bởi điểm C là A B D C . z = −3 − 4i. . z = 4 + 3i. . z = 4 − 3i. . z = −3 + 4i.

Cho số phức z = 6 + 7i. Điểm M biểu diễn cho số phức z trên mặt phẳng Oxy là B Câu 23. A D C . M(−6; −7). . M(6; −7). . M(6; 7).

C B Câu 24. A D . x = −1; y = −2. . x = −2; y = −1. . x = 2; y = 1.

Cho số phức z thỏa mãn |z| = 2 và √ √ √ Câu 25. A (cid:12) (cid:12) = 4. Tính |z + z| + |z − z|. C B D . 3 + . M(6; 7i). Cho x, y là các số thực. Số phức z = i (1 + xi + y + 2i) bằng 0 khi . x = 0; y = 0. (cid:12) (cid:12)z2 + 1 2. . 3 + 2 . 7 + 3. . 16.

53 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận 7. (cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ

TOÁN 12 Phụ lục

Cho số phức z = x + yi (x, y ∈ R ) có môđun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện |z − 4 − 2i| = |z − 2|. Tính

A B C D Câu 26. P = x2 + y2. . 10. . 16. . 8. . 32.

√ √ Tìm các căn bậc hai của −6. √ C 6i. 6i. B . ± 6i. D .

Câu 27. A . − Câu 28. A C D . ±6i. Trong tập số phức, phương trình z2 − 2z + 5 = 0 có nghiệm là B . z = 2 ± 2i. . z = −1 ± 2i. . z = −2 ± 2i. . z = 1 ± 2i.

◦

Cho ~m = (1; 0; −1), ~n = (0; 1; 1). Kết luận nào sai ? . [ ~m, ~n] = (1; −1; 1). Câu 29. A . Góc của ~m và ~n là 30 C . ~m · ~n = −1. B . D . ~m và ~n không cùng phương. Câu 30.

−−ˇ MC (cid:12) (cid:12) (cid:12) đạt giá trị nhỏ nhất. (cid:18) −−ˇ MB + 3 (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) A C . (cid:19) . D . B . ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; ; ; . . . . Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; −2; −1), B(−2; −4; 3), C(1; 3; −1). Tìm điểm M ∈ (Oxy) (cid:12) −−ˇ (cid:12) MA + sao cho (cid:12) (cid:18) − 1 3 5 5 ; − 3 5 3 5 1 5 3 5 4 5 1 5

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 + 6x − 4y + 2z − 2 = 0. Tọa độ tâm I và bán kính R của

C I(−3; 2; −1) và R = 4. B . I(−3; 2; −1) và R = 16. D . I(3; −2; 1) và R = 16. I(3; −2; 1) và R = 4. Câu 31. (S) là A . Câu 32. . Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) : (x − 1)2 + (y + 3)2 + (z − 2)2 = 49 tại điểm M(7; −1; 5) có phương trình là D A C . 6x + 2y + 3z − 55 = 0. B . 6x + 2y + 3z + 55 = 0. . 3x + y + z − 22 = 0. . 3x + y + z + 22 = 0.

Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(3; −2; 1), B(−4; 0; 3), C(1; 4; −3), D(2; 3; 5). Phương trình mặt phẳng

Câu 33. chứa AC và song song với BD là A . 12x − 10y + 21z − 35 = 0. C . 12x + 10y + 21z + 35 = 0. B . 12x + 10y − 21z + 35 = 0. D . 12x − 10y − 21z − 35 = 0. Câu 34. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 2; 0) và mặt phẳng (α) : x + 2y − 2z + 1 = 0. Khoảng cách từ M đến (α) là B C D A . 3. . 2. . 4.

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng song song (P) : x − 2y + 2z + 6 = 0 . 1. Câu 35. và (Q) : x − 2y + 2z − 10 = 0 có tâm I trên trục Oy là A = 0.

. x2 + y2 + z2 + 2y − 55 9 C . x2 + y2 + z2 − 2y + 55 = 0. . B . x2 + y2 + z2 + 2y − 60 = 0. . x2 + y2 + z2 − 2y − 55 D 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 + 4x − 2y + 6z − 11 = 0 và mặt phẳng

D C A B . 4π. . 10π. . 6π.

Câu 36. (P) : x − 2y + 2z + 1 = 0. Gọi (C) là đường tròn giao tuyến của (P) và (S). Tính chu vi đường tròn (C). . 8π. ) : 3x + y + 11z − 1 = 0 là Vị trí tương đối của hai mặt phẳng (α) : 3x + 2y − z + 1 = 0 và (α0

Câu 37. A C B D . Vuông góc với nhau. . Cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau. . Trùng nhau. . Song song với nhau. Câu 38. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ đi qua M(0; 2; −3) và có vectơ chỉ phương ~a = (4; −3; 1). Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là

        A C . . B . . . . D . .     x = 4t y = −2 − 3t z = 3 + t x = 4t y = −2 − 3t z = −3 − t x = −4t y = 2 + 3t z = −3 − t y x Câu 39. = 2 4       A C . B . . . . . D . .     Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(3; 2; 1) và song song với đường thẳng x = 3 − 2t y = 2 − 4t z = 1 − t x = 2 + 3t y = 4 + 2t z = 1 + t x = 2t y = 4t z = 3 + t x = 4 y = −3 + 2t z = 1 − 3t z + 3 = là 1  x = 3 + 2t  y = 2 − 4t z = 1 + t y Câu 40. = = . Đường x + 1 2 1 z + 2 3 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x + 2y + z − 4 = 0 và đường thẳng d : thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P) đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d có phương trình là A B . ∆ : = = . . ∆ : = = .

II. PHẦN TỰ LUẬN (2.0 điểm)

C D . ∆ : = = . . ∆ : = = . x − 1 5 x − 1 5 y − 1 −1 y + 1 −1 z − 1 3 z − 1 −3 x − 1 5 x − 1 5 y + 1 −1 y − 1 −1 z − 1 2 z − 1 −3

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 54 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

Phụ lục TOÁN 12

Câu 41. Tính tích phân (2x + 1)5 dx.

Câu 42. Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp và tính môđun của số phức

. z = (2 − 4i) (5 + 2i) + 4 − 5i 2 + i

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; −3; 4), B(−2; −5; −7), C(6; −3; −1). Viết phương trình đường Câu 43. trung tuyến AM của tam giác ABC.

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 55 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

Phụ lục TOÁN 12

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA NĂM 2019 Bài thi: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề có 05 trang)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Mã đề 101

Câu 1. (P)? A C . −ˇn 3 = (2; 3; 1). −ˇn 4 = (2; 1; 3). D . .

2 = 8. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng . −6.

Câu 2. A D C . 4. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x − y + 3z + 1 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của −ˇn −ˇn B 2 = (2; −1; 3). 1 = (2; −1; −3). . 1 = 2 và u Cho cấp số cộng (un) với u B . 10. . 6. Câu 3.

y Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?

−1

A . y = x3 − 3x + 1. C . y = −x3 + 3x + 1. B . y = x4 − 2x2 + 1. D . y = −x4 + 2x2 + 1.

−2

−1

Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương = = x − 1 2 y − 3 −5 C của d? A . z + 2 3 −ˇu 3 = (1; 3; −2). B . D . −ˇu 2 = (1; 3; 2). Câu 5.

D A πr2h. . 2πr2h. . 1 3 Câu 6. −ˇu −ˇu 4 = (2; −5; 3). . 1 = (2; 5; 3). Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là 4 C B . πr2h. πr2h. . 3 Với a là số thực dương tùy ý, log5 A C a3 bằng a. B . a. a. D . a. + log5 . 3 log5 . 3 + log5 log5 1 3 1 3 Câu 7. Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

x −∞ +∞ 1 3 − − f 0 + (x) 0 0 +∞ 2 f(x) −2 −∞

Hàm số đã cho đạt cực đại tại A C D . x = 1. B . x = 3. . x = 2. . x = −2.

Số phức liên hợp của số phức 5 − 3i là Câu 8. A C D B . 5 + 3i. . −5 + 3i. . −3 + 5i. . −5 − 3i.

Câu 9. A C D Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + 6 là B . x2 + 6x + C. . 2x2 + 6x + C. . 2x2 + C. . x2 + C.

(cid:3) Câu 10. Biết f(x)dx = 3 và g(x)dx = −4, khi đó dx bằng

B (cid:2)f(x) + g(x) C A D . 7. . −1. . −7. . 1.

Nghiệm của phương trình 32x+1 = 27 là Câu 11. A C D . x = 1. . x = 4. B . x = 5.

. x = 2. Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(3; −1; 1) trên trục Oz có tọa độ là Câu 12. A C (3; 0; 0). B . (3; −1; 0). . (0; −1; 0). (0; 0; 1). D .

. Câu 13. A C B D . 52. . 25. Câu 14.

A C D . 3Bh. B . Số cách chọn 2 học sinh từ 5 học sinh là . C2 . A2 5. 5. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là Bh. Bh. . . Bh. 1 3 4 3 Câu 15. Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên sau:

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 56 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

Phụ lục TOÁN 12

x −∞ +∞ −2 0 2 − − f 0 + + (x) 0 0 0 +∞ +∞

3 f(x)

1 1

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? B A D . C . . (0; +∞). (0; 2). (−∞; −2). (−2; 0).

R y

−1

. Câu 16. . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các Cho hàm số f (x) liên tục trên đường y = f (x), y = 0, x = −1 và x = 5 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây là đúng? x A B . S = − . S = f (x) dx − f (x) dx. f (x) dx − f (x) dx.

−3

−1

C D . S = . S = − f (x) dx + f (x) dx. f (x) dx + f (x) dx.

Câu 17.

−1 Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau: −∞

x +∞ −2 0 2 − − f 0 + + (x) 0 0 0 +∞ +∞

2 f(x)

−1 −1

Số nghiệm thực của phương trình 3f (x) − 5 = 0 là C B A D . 2. . 3.

. 0. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (−1; 2; 0) , B (3; 0; 2). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

C B . 4. Câu 18. AB là A D . x + y + z − 3 = 0. . 2x − y + z − 2 = 0. . 2x + y + z − 4 = 0. . 2x − y + z + 2 = 0. Câu 19.

Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng 1m và 1, 4m. Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả nào dưới đây? B D C A . 2, 4 m. . 1, 9 m.

. 1, 5 m. √ . 1, 7 m. √ Câu 20. A D C B . 3. . 9. 15. .

2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 − 6z + 14 = 0. Giá trị của z2

1, z

1 + z2

2 bằng D

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 − 2x + 2y − 7 = 0. Bán kính của mặt cầu đã cho bằng 7. Gọi z B . Câu 21. A C . 36. . 28. . 8. . 18.

Cho a và b là hai số thực dương thoả mãn a3b3 = 32. Giá trị của 3 log2 a + 2 log2 B Câu 22. A C b bằng D . 2. . 5. . 32.

◦

có đáy là tam giác đều cạnh bằng a và AA0 = 2a (minh √ √ . 4. Câu 23. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 √ họa như hình vẽ bên). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng √ C A . B . . . . 3a3. D . . 3a3 3 3a3 2 3a3 6

D B Câu 24. BC = a A . 30 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a, tam giác ABC vuông tại B, AB = a, √ 3. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng C . 90 . . 45 . 60 . . .

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 57 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

Phụ lục TOÁN 12

2 = 1 + i. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm biểu diễn số phức 2z

1 + z

2 có tọa

Câu 25. A C D . x = −2. . x = 2. . x = 1. Câu 26. Nghiệm của phương trình log2 (x + 1) = 1 + log2 (x − 1) là B . x = 3. 1 = −2 + i và z Cho hai số phức z

C . B . D . (−3; 2). (3; −3).

(−3; 3). (2; −3). Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x3 − 3x + 2 trên [−3; 3] bằng độ là A . Câu 27. A B C D . 0. . 20. . −16. . 4. Câu 28. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau:

x −∞ +∞ 2 0 − − y0 + 0 +∞ 2 y 0

−2 −∞

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là A B D . 4. . 2.

. 1. Câu 29. A B C (x) = x(x − 2)2, ∀x ∈ R . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là C D . 3. Cho hàm số f(x) có đạo hàm f 0 . 3. . 1. . 2.

x2−3x

x2−3x x2−3x · ln 3.

x2−3x · ln 3.

x2−3x−1.

Hàm số y = 3 . 0. Câu 30. A B C có đạo hàm là . 3 . D . . (2x − 3) · 3

(cid:0)x2 − 3x(cid:1) · 3 √ (2x − 3) · 3 √ Cho số phức z thỏa mãn 3 (z − i) − (2 + 3i) z = 7 − 16i. Môđun của số phức z bằng . Câu 31. A B C . 3. . 5. D . 3. . 5. Câu 32. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x − 1 (x − 1) A + C. + C. 1 x − 1 2 x − 1

2 trên khoảng (1; +∞) là B . 3 ln (x − 1) + . 3 ln (x − 1) − 2 D

π 4Z

+ C. + C. . 3 ln (x − 1) + . 3 ln (x − 1) − 1 C x − 1 x − 1

Câu 33. , khi đó Cho hàm số f (x). Biết f (0) = 4 và f 0 (x) = 2 cos2 x + 3, ∀x ∈ R f (x) dx bằng

C A . D . B . . . . π2 + 8π + 2 8 π2 + 8π + 8 8 π2 + 6π + 8 8 π2 + 2 . 8 Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (1; 0; 2) , B (1; 2; 1) , C (3; 2; 0) và D (1; 1; 3). Đường thẳng đi qua A và vuông . Câu 34. góc với mặt phẳng (BCD) có phương trình là

        C A . . D . . . B . . .     x = 2 + t y = 4 + 4t z = 4 + 2t x = 1 + t y = 4 z = 2 + 2t x = 1 − t y = 4t z = 2 + 2t Câu 35. x = 1 − t y = 2 − 4t z = 2 − 2t Cho hàm số f (x), bảng xét dấu f 0 (x) như sau:

x −∞ +∞ −3 −1 1 − − f 0 + + (x) 0 0 0

Hàm số y = f (5 − 2x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A C B . D . . (5; +∞). (2; 3). (3; 5). (0; 2).

m (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của x2 − log3 (6x − 1) = − log3

B A D C . Câu 36. Cho phương trình log9 m để phương trình đã cho có nghiệm? . 5. . Vô số. . 6. . 7.

R y (x) liên tục trên

Câu 37. Cho hàm số f (x), hàm số y = f 0 và có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình f (x) > x + m (m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x ∈ (0; 2) khi và chỉ khi A C B . m < f (2) − 2. . m < f (0). D . m ≤ f (2) − 2. . m ≤ f (0).

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 58 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

Phụ lục TOÁN 12

Câu 38. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 27 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng A B D . . . . C . . . 13 27 365 729 1 2 14 27

√ √ √ √ . Câu 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) bằng B A . . . C . . D . . . 21a 7 21a 28 2a 2 21a 14

√ Câu 40. √ 2. Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một √ √ √ Cho hình trụ có chiều cao bằng 4 √ 2, thiết diện thu được có diện tích bằng 16. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng B C D A . 24 2π. . 16 2π. . 12 2π. khoảng bằng 2π. . 8 Câu 41.

2 thì a thuộc khoảng nào dưới đây? (cid:18) C

x và parabol y = y 3 4 1 2 y = 1 2 x x2 + a y = (cid:18) (cid:18) (cid:19) 3 4 D (cid:19) . (cid:19) . (cid:19) . B . 0; ; ; ; . . . . Cho đường thẳng y = x2 + a (a là tham số thực dương). Gọi S 1 và S 2 lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình bên. 1 = S Khi S (cid:18) 3 A 16 7 32 7 32 9 32 3 16 1 4 1 4 S 2

S 1 x O

√ Câu 42. Xét số phức z thỏa mãn |z| = 2. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức w = 3 + iz 1 + z là √ √ D một đường tròn có bán kính bằng B A C . 12. . 20. . 2 3. 5.

. 2 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; 4; −3). Xét đường thăng d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz

D C B A Câu 43. một khoảng bằng 3. Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, d đi qua điểm nào dưới đây? . M(0; −3; −5). . P(−3; 0; −3).

. Q(0; 11; −3). 1Z . N(0; 3; −5). 5Z Câu 44. R x2f 0 Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên . Biết f(5) = 1 và xf(5x)dx = 1, khi đó (x)dx bằng

A B D . −25. . 15. C . . . 23. 123 5

−2

là 1 2 Câu 45. Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình A D C B (cid:12) (cid:12) (cid:12)f(x3 − 3x) (cid:12) = . 3. . 12. . 10. . 6.

−1

x − m = 0 (m là tham số thực) có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên

Câu 46. + + và y = |x + 1| − x + m (m là tham số thực) có đồ thị lần x + 1 x + 2 x + 2 x + 3 x + 3 x + 4 2) cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là Cho hai hàm số y = 1) và (C + 1) và (C C D [3; +∞). . (−∞; 3). . (3; +∞). (cid:17) √ lượt là (C A . Câu 47. x − 2 Cho phương trình 3 x x + 1 2). Tập hợp các giá trị của m để (C B (−∞; 3]. . x − 3 log2

(cid:16) 2 log2 2 dương của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt? A B C D . 80. . Vô số. . 79. √ . 81. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + (z −

Câu 48. 2)2 = 3. Có tất cả bao nhiêu điểm A(a; b; c) (a, b, c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của (S) đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau? A D C B . 12. . 4. . 8. . 16.

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận 59

Phụ lục TOÁN 12

Câu 49. Cho hàm số f(x), bảng biến thiên của hàm số f 0 (x) như sau:

x −1 1 0 −∞ +∞ +∞ +∞ 2 f 0 (x) −1 −3

Số điểm cực trị của hàm số y = f (cid:0)x2 + 2x(cid:1) là A C D . 3. . 9.

, ACC0A0 . 5. có chiều cao bằng 8 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 4. Gọi M, N và P lần lượt là tâm . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C, M, N, P bằng √ √ √ 3 3 A D C . 3. . 12 3. . . . 16 B . 7. Câu 50. Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 các mặt bên ABB0A0 √ 40 3 và BCC0B0 28 B . 3

(cid:20) Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 60 (cid:19) Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

Tài liệu môn Toán lớp 12 học kì 2 - Trường THCS&THPT Mỹ Thuận

TOÁN 12

MỤC LỤC

GIẢI TÍCH

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

!

!

!

SỐ PHỨC

! • Mỗi số thực a đều là một số phức với bằng . . .

!

HÌNH HỌC

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

!

!

! • (α) • (α) ⊥ (β) ⇔ . . . . . . . . . . . .

! Nếu u

!

PHỤ LỤC

Có thể bạn quan tâm

Chuyên đề lý thuyết Toán 12 - Chương 4: Nguyên hàm. Tích phân

Bài giảng Giải tích 1: Tích phân bất định (slide)

Bài giảng Giải tích: Tích phân bất định (indefinte integral)

Luyện thi đại học chất lượng cao - Chuyên đề: Tích phân

Giáo án môn Toán 12 - Chương IV: Nguyên hàm và tích phân (Sách Kết nối tri thức)

Giáo án môn Toán 12: Hoạt động thực hành trải nghiệm (Học kì II) (Sách Kết nối tri thức)

Bài giảng Giải tích lớp 12 – Chương 3: Nguyên hàm tích phân (Bài 1: Nguyên hàm - Tiết 1)

Bài giảng Giải tích lớp 12 – Chương 3: Nguyên hàm tích phân (Bài 1: Nguyên hàm - Tiết 2)

Bài giảng Giải tích lớp 12 – Chương 3: Nguyên hàm tích phân (Bài 1: Nguyên hàm - Tiết 3)

Bài giảng Giải tích lớp 12 – Chương 3: Nguyên hàm tích phân (Bài 1: Nguyên hàm - Tiết 4)

Bài giảng Giải tích lớp 12 – Chương 3: Nguyên hàm tích phân (Bài 1: Nguyên hàm - Tiết 5)

Bài giảng Giải tích lớp 12 – Chương 3: Nguyên hàm tích phân (Bài 2: Tích phân - Tiết 1)

Bài giảng Giải tích lớp 12 – Chương 3: Nguyên hàm tích phân (Bài 2: Tích phân - Tiết 2)

Bài giảng Giải tích lớp 12 – Chương 3: Nguyên hàm tích phân (Bài 2: Tích phân - Tiết 3)

Bài giảng Giải tích lớp 12 – Chương 3: Nguyên hàm tích phân (Bài 3: Ứng dụng tích phân trong hình học - Tiết 2)

Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2025 có đáp án - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Lần 1)

Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2025 có đáp án - Trường THPT Chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An (Lần 1)

Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT: Chuyên đề 12 - Nguyên hàm của các hàm số đơn giản

Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT: Chuyên đề 22 - Nguyên hàm - tích phân - ứng dụng tích phân

Đề thi học kì 1 môn Toán lớp 12 năm 2022-2023 - Trường PTDTNT THPT Huyện Mường Áng

Tài liêu mới

Đề thi chính thức tốt nghiệp THPT năm 2025 môn tiếng Anh có đáp án

Đề thi chính thức tốt nghiệp THPT năm 2025 môn Hóa học có đáp án

Đề thi chính thức tốt nghiệp THPT năm 2025 môn Giáo dục Kinh tế và Pháp luật có đáp án

Đề thi chính thức tốt nghiệp THPT năm 2025 môn Sinh học có đáp án

Đề thi chính thức tốt nghiệp THPT năm 2025 môn Vật lí có đáp án

Đề thi chính thức tốt nghiệp THPT năm 2025 môn Địa lí có đáp án

Đề thi chính thức tốt nghiệp THPT năm 2025 môn Lịch sử có đáp án

Đề thi chính thức tốt nghiệp THPT năm 2025 môn Toán có đáp án

Đề thi chính thức tốt nghiệp THPT năm 2025 môn Ngữ văn có đáp án

11 chủ đề ôn tập môn Toán lớp 2

Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Ngữ văn năm 2025 có đáp án - Trường THPT Ngô Gia Tự, Phú Yên

Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Lịch sử năm 2025 có đáp án - Trường THPT Ngô Gia Tự, Phú Yên

Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Tiếng Anh năm 2025 có đáp án - Trường THPT Ngô Gia Tự, Phú Yên

Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Giáo dục Kinh tế và Pháp luật năm 2025 có đáp án - Trường THPT Ngô Gia Tự, Phú Yên

Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Công nghệ công nghiệp năm 2025 có đáp án - Trường THPT Ngô Gia Tự, Phú Yên

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube