Tài Liệu Ôn Thi THPT Quốc Gia Năm 2017 – 2018 GV: PHẠM THÀNH LUÂN – DĐ: 0966.666.201
Các em nhận tài liệu các môn [toán] [lý] tại : 44 phố vọng – 0966.666.201
Trang 1
TÓM TẮT LÝ THUYẾT – DẠNG TOÁN CHƯƠNG 3 HH LỚP 12
I. TỌA ĐỘ ĐIỂM – TỌA ĐỘ VECTƠ
TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM
TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ
1.
( ; ; )
M M M M M M
M x y z OM x i y j z k
2. Cho A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB)
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z
2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z
3. M là trung điểm AB thì :
M
;;
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z



4. G là trọng tâm của
thì:
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G ; ;
3 3 3



5. G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì:
G
;;
4 4 4
A B C D A B C D A B C D
x x x x y y y y z z z z



6. Ứng dụng của tích có hướng:
a) Diện tích tam giác ABC:
1,
2
ABC
S AB AC


b) Diện tích h b hành ABCD:


,
ABCD
S AB AD
c) Thể tích tứ diện ABCD:
1,.
6
ABCD
V AB AC AD


d) Thể tích khối hộp: VABCDA’B’C’D’ =
[ , ]. 'AB AD AA
7. Tọa độ các điểm đặc biệt:
( ;0;0) ( ) ( ; ;0)
(0; ;0) ( ) ( ;0; )
(0;0; ) ( ) (0; ; )
M Ox M x M Oxy M x y
M Oy M y M Oxz M x z
M Oz M z M Oyz M y z
1.
1 2 3
( ; ; )a a a a
1 2 3
a a i a j a k
2. Các tính chất:
Cho hai vecto
1 2 3 1 2 3
( ; ; ), ( ; ; )a a a a b b b b
ta có:
1 1 2 2 3 3
( ; ; )a b a b a b a b
1 2 3
( ; ; )ka ka ka ka
1 1 2 2 3 3
.a b a b a b a b
11
22
33
ab
a b a b
ab
2 2 2
1 2 3
||a a a a
1 1 2 2 3 3
. 0 0a b a b a b a b a b
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
. . .
s( , ) .
a b a b a b
co a b
a a a b b b

(với
0 , 0ab
)
3. Tích có hướng của 2 vectơ:
2 3 3 1 12
2 3 3 1 12
, ; ;
a a a a aa
a b a b b b b b bb




Độ dài tích có hướng :
222
2 3 3 1 12
2 3 3 1 12
, ; ;
 
 

a a a a aa
ab b b b b bb
Hoặc
, . sin ,


u v u v u v
4. Điều kiện 2 vectơ cùng phương:
1 2 3 1 2 3
1 2 3
( , , 0)
a a a
a cuøng phöôngb b b b
b b b



,0a cuøng phöông b a b
5. Điều kiện 3 vectơ đồng phẳng:
,,a b c
đồng phẳng



, . 0a b c
6. A, B, C thẳng hàng
,AB AC
cùng phương.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
KHOẢNG CÁCH
1. Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng: Cho 2mp
(
1
):
1 1 1 1 0A x B y C z D
(
2
):
2 2 2 2 0A x B y C z D
2 2 2
; ; 0A B C
(
1
) cắt (
2
)
1 1 1
2 2 2
;;
A B C
A B C
có một cặp khác nhau
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm Mo(xo;yo;zo) đến mặt phẳng
(
): Ax + By + Cz + D = 0:
2 2 2
( ,( )) o o o
o
Ax By Cz D
dM
A B C

O
x
y
z
i (1;0;0)
j (0;1;0)
k (0;0;1)
Tài Liệu Ôn Thi THPT Quốc Gia Năm 2017 – 2018 GV: PHẠM THÀNH LUÂN – DĐ: 0966.666.201
Các em nhận tài liệu các môn [toán] [lý] tại : 44 phố vọng – 0966.666.201
Trang 2
(
1
) // (
2
)
1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
(
1
) ≡ (
2
)
1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
(
1
)
(
2
)
1 2 1 2 1 2 1 2
. 0 . . . 0n n A A B B C C
2. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng: Cho 2 đt
d1 qua M1 và có VTCP
1
a
; d2 qua M2 và có VTCP
2
a
d1//d2
12
12
,0aa
Md


d1
d2
12
12
,0aa
Md


d1 cắt d2
12
1 2 1 2
,0
, . 0
aa
a a M M



d1 chéo d2
1 2 1 2
, . 0a a M M


12
dd
12
.0aa
3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
a) Cách 1:
Cho d:
01
02
03
x x a t
y y a t
z z a t



và (
):
0Ax By Cz D
+ Thay ptts của d vào pt (
) ta có:
A(xo + a1t) + B(yo + a2t) + C(z0 + a3t) + D = 0 (1)
Phương trình (1) có 1 nghiệm
d cắt (
)
Phương trình (1) vô nghiệm
d // (
)
Phương trình (1) vô số nghiệm
d
(
)
* Tìm tọa độ giao điểm I của d và (
):
Thay ptts của d vào pt (
), giải tìm t
Thay t vừa tìm được vào ptts của d tìm x,y,z
I(x;y;z)
b) Cách 2:
Đt d đi qua M và có VTCP
a
; mp (
) có VTPT
n
d cắt (
)
.0an
d // (
)
.0
()
an
M
d
(
)
.0
()
an
M
()d
;an
cùng phương.
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Khoảng cách từ điểm M0 đến đt d (d đi qua M1 và
có VTCP
a
):
0
0
,
( , )
a M M
d M d
a

3. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:
d1 qua M1 và có VTCP
1
a
; d2 qua M2 và có VTCP
2
a
1 2 1 2
12
12
,.
,,
a a M M
d d d
aa



4. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song:
1 2 2
,,d d d d M d
(lấy
1
Md
)
5. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song:
1 2 2
( ),( ) ,( )d d M
(lấy
1
()M
)
6. Khoảng cách giữa đt và mp song song:
,( ) ,( )d d d M

(lấy
Md
)
GÓC
1. Góc giữa 2 mặt phẳng:
Cho
1
()
có VTPT
1
n
,
2
()
có VTPT
2
n
, ta có :
12
12
.
cos .
nn
nn
2. Góc giữa 2 đường thẳng:
Cho d1 có VTCP
1
a
, d2 có VTCP
2
a
, ta có :
12
12
.
cos .
aa
aa
3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Cho d có VTCP
a
,
()
có VTPT
n
, ta có :
.
sin .
na
na
4. Góc trong tam giác ABC :
AB.AC
cos A AB.AC
II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
1. Muốn viết phương trình mặt cầu (S) ta cần tìm 2 yếu tố: tâm và bán kính
Mặt cầu (S) có:
+ Tâm I(a;b;c)
rI
Tài Liệu Ôn Thi THPT Quốc Gia Năm 2017 – 2018 GV: PHẠM THÀNH LUÂN – DĐ: 0966.666.201
Các em nhận tài liệu các môn [toán] [lý] tại : 44 phố vọng – 0966.666.201
Trang 3
+ Bán kính r
Vậy ptmc (S):
2 2 2 2
( ) ( ) ( )x a y b z c r
2. Mặt cầu (S):
2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d
có tâm I (a;b;c) , bán kính
2 2 2
r a b c d
, (với
2 2 2 0a b c d
).
1/ Bài toán 1: Viết phương trình mặt cầu dạng cơ bản
Dạng 1: Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và đi qua điểm
( ; ; )
A A A
A x y z
:
Mặt cầu (S) có:
+ Tâm I(a;b;c)
+ Do (S) đi qua A nên có bán kính:
2 2 2
A I A I A I
r IA x x y y z z
Vậy ptmc (S):
2 2 2 2
( ) ( ) ( )x a y b z c r
rIA
r IA
Dạng 2: Mặt cầu (S) có đường kính AB:
Mặt cầu (S) có:
+ Gọi I là trung điểm của AB
Tâm
;;
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
I



+ Do (S) có đkính AB nên có bkính:
2 2 2
22
B A B A B A
x x y y z z
AB
r
(Ta có thể tính bán kính r = IA hay r = IB)
Vậy ptmc (S):
2 2 2 2
( ) ( ) ( )x a y b z c r
rI
AB
AB
r2
(r IA IB)

Dạng 3: Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và tiếp xúc với mp(P): Ax+By+Cz+D = 0:
Mặt cầu (S) có:
+ Tâm I(a;b;c)
+ Do (S) tiếp xúc với mp(P) nên có bán kính:
2 2 2
,( ) Aa Bb Cc D
r d I P
A B C


Vậy ptmc (S):
2 2 2 2
( ) ( ) ( )x a y b z c r
I
P)
r d(I,(P)
r
Dạng 4: Mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A,B,C,D:
+ Gọi ptmc (S):
2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d
(đk:
2 2 2 0a b c d
)
+ Do (S) đi qua 4 điểm A,B,C,D nên: (Thay lần lượt tọa độ A,B,C,D vào ptmc (S) có hệ 4 pt, giải hệ tìm
a,b,c,d)
+ Vậy ptmc (S):
2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d
III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. Phương trình tổng quát: Muốn viết phương trình tổng
quát của mp(P) ta cần tìm 2 yếu tố:
+ Điểm thuộc mp(P) là: M0(x0;y0;z0)
+ VTPT của mp(P) là:
( ; ; )n A B C
,
0n
(VTPT là vectơ vuông góc với mp(P))
Ptmp (P) có dạng: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
P)
VTPT n (A;B;C)
0 0 0 0
M x ; y ; z
2. Chú ý
* Nếu (P) : Ax + By + Cz + D = 0 thì có
3. Các trường hợp đặc biệt:
( ) / / ( ) : 0 0 ( )Ox By Cz D D Ox
Tài Liệu Ôn Thi THPT Quốc Gia Năm 2017 – 2018 GV: PHẠM THÀNH LUÂN – DĐ: 0966.666.201
Các em nhận tài liệu các môn [toán] [lý] tại : 44 phố vọng – 0966.666.201
Trang 4
véctơ pháp tuyến là
( ; ; )n A B C
.
* Ptmp theo đoạn chắn: Nếu mp(P) cắt các
trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a;0;0),
B(0;b;0), C(0;0;c) thì:
(P):
1 ( , , 0)
x y z abc
a b c
.
( ) / / ( ) : 0 0 ( )Oy Ax Cz D D Oy
( ) / / ( ) : 0 0 ( )Oz Ax By D D Oz
( ) : 0; ( ) : 0; ( ) : 0Oxy z Oxz y Oyz x
.
1/ Bài toán 1: (P) có điểm thuộc và có 1 VTPT
* Phương pháp chung: Dựa vào dữ kiện đề bài ta xác định tọa độ một
điểm thuộc (P) và một VTPT vuông góc với (P)
+ Điểm thuộc mp(P) là: M0(x0;y0;z0)
+ VTPT của mp(P) là:
( ; ; )n A B C
,
0n
Ptmp (P) là: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
P)
VTPT n (A;B;C)
0 0 0 0
M x ; y ;z
* Một số cách xác định VTPT thường gặp:
1/ (P) // (Q): Ax + By + Cz + D = 0
+ VTPT của (Q) là:
(Q)
n (A;B;C)
+ Do (P) // (Q) nên (P) có VTPT là:
(P) (Q)
n n (A;B;C)
P)
Q)
PQ
nn
2/ (P)
d:
01
02
03



x x a t
y y a t
z z a t
(hay d:
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a

)
+ VTCP của d là:
d1 2 3
a (a ;a ;a )
+ Do (P) // (Q) nên (P) có VTPT là:
(P) d1 2 3
n a (a ;a ;a )
P)
d
Pd
na
3/ (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB
+ Gọi I là trung điểm của AB
; ; ( )
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
IP




+ Do (P)
AB nên (P) có VTPT:
;;
B A B A B A
n AB x x y y z z
P)
P
n AB
A
B
I
4/ (P)
AB thì (P) có VTPT:
;;
B A B A B A
n AB x x y y z z
P)
P
n AB
A
B
2/ Bài toán 2: (P) có điểm thuộc và có 2 VTCP
* Phương pháp chung: Dựa vào dữ kiện đề bài ta xác định tọa độ một
điểm thuộc (P) và 2 VTCP
u,v
của (P) (VTCP là vectơ nằm trong
(P) hay song song với (P))
+ Điểm thuộc mp(P) là: M0(x0;y0;z0)
+ VTPT của mp(P) là:
, ( ; ; )



n u v A B C
Ptmp (P) là: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
P)
VTPT n u,v


0
M
u
v
* Một số cách xác định VTCP của mp(P):
Tài Liệu Ôn Thi THPT Quốc Gia Năm 2017 – 2018 GV: PHẠM THÀNH LUÂN – DĐ: 0966.666.201
Các em nhận tài liệu các môn [toán] [lý] tại : 44 phố vọng – 0966.666.201
Trang 5
1/ (P) // d hay (P) chứa d thì VTCP
d
a
của d là 1 VTCP của (P)
d
a
P)
d
d
a
d
2/ (P) // AB hay (P) chứa AB thì
AB
là 1 VTCP của (P)
AB
P)
A
B
3/ (P)
(Q) thì VTPT
Q
n
của Q là 1 VTCP của (P)
Q
n
P)
Q)
4/ Chú ý: Nếu (P) chứa d:
01
02
03



x x a t
y y a t
z z a t
(hay d:
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a

)
thì (P) chứa luôn điểm M thuộc d
Lấy
0 0 0 0 0 0
M x ; y ;z M x ; y ;zd (P)
P)
d
M
3/ Bài toán 3: (P) có 1 VTPT (hoặc 2 VTCP) nhưng chưa có điểm thuộc
* Phương pháp chung: Dựa vào dữ kiện đề bài ta xác định 1 VTPT hay 2 VTCP của (P)
+ VTPT của mp(P) là:
( ; ; )
n A B C
Ptmp (P) là: Ax + By + Cz + D = 0 (trong đó D là ẩn chưa biết, đặt đk cho D nếu cần)
+ Sử dụng dữ kiện còn lại để tìm D, các dữ kiện thường gặp là:
+
2 2 2
( ,( ))


o o o
Ax By Cz D
d M P D
A B C
+ mp(P) tiếp xúc mặt cầu
d(I,(P)) R D
(I và R là tâm và bán kính của mặt cầu (S))
IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Phương trình tham số: Muốn viết phương trình
tham số của đt d ta cần tìm 2 yếu tố:
+ Điểm thuộc d là: M0(x0;y0;z0)
+ VTCP của d là:
1 2 3
a (a ;a ;a )
,
0
a
(VTCP là vectơ nằm trên d hay song song với d)
Ptts của d:
01
02
03
(t )
x x a t
y y a t
z z a t


2. Phương trình chính tắc: Muốn viết phương
trình chính tắc của đt d ta cần tìm 2 yếu tố:
+ Điểm thuộc d là: M0(x0;y0;z0)
+ VTCP của d là:
1 2 3
a (a ;a ;a )
,
1 2 3
; ; 0a a a
Ptct của d:
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a

0
M
VTCP a
a
d
3. Chú ý:
VTCP của trục Ox là :
(1;0;0)i
VTCP của trục Oy là :
(0;1;0)j
VTCP của trục Oz là :
(0;0;1)k
4. Cách tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P):