Trn Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55
1
Hàm liên tc
ðnh nghĩa 1:
Hàm s
( )
y f x
=
vi min xác ñnh D ñưc gi là liên tc ti
0
x
nu tha mãn ñng
thi ba ñiu kin sau:
i. Hàm
( )
y f x
=
xác ñnh ti ñim
0
, nghĩa là
0
x D
∈
.
ii. Tn ti
0
lim ( )
x x
f x
→
.
iii.
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
→
=
ðnh nghĩa 2: (theo ngôn ng
ε
-
δ
)
Hàm s
( )
y f x
=
v
i mi
n xác
ñ
nh D
liên tc
t
i
0
x
khi và ch
khi
0 0
0, 0, D, ( ) ( )x x x f x f x
ε δ δ ε
∀ > ∃ > ∀ ∈ − < ⇒− <
Hàm s liên tc trong khong
-
Hàm s
( )
f x
ñư
c g
i là liên t
c trong kho
ng m
(
)
,
a b
n
u nó liên t
c t
i m
i
ñ
i
m c
a kho
ng
ñ
ó.
-
N
u
( )
f x
xác
ñ
nh t
i
x a
=
và
lim ( ) ( )
x a
f x f a
+
→
=, ta nói
( )
f x
liên tc bên phi
ti ñim
x a
=
.
- Nu
( )
f x
xác ñnh ti
x b
=
và
lim ( ) ( )
x b
f x f a
−
→
=, ta nói
( )
f x
liên tc bên trái ti
ñim
x b
=
.
- Nu
( )
f x
liên tc ti mi ñim ca khong m
(
)
,
a b
và ti hai ñim biên, ta nói
( )
f x
liên tc trong khong ñóng (ñon)
[ , ]
a b
.
Các ñnh lý:
1) Tng, hiu và tích ca mt s hu hn các hàm liên tc trong min nào ñó là hàm
liên tc trong min ñó.
2) Thương ca hai hàm s liên tc trong min nào ñó là hàm s liên tc ti mi ñim
ca min ñó mà mu s khác 0.
3) Nu
( )
f x
liên tc trên khong m
(
)
,
a b
và min giá tr là khong m
( , )
c d
,
hàm
( )
x
ϕ
liên tc trong khong m
( , )
c d
, thì hàm hp
(
)
( )
f x
ϕ
liên t
c trong
kho
ng m
(
)
,
a b
.
4)
T
t c
các hàm s
ơ
c
p (
ñ
a th
c, l
ũ
y th
a, lô-ga)
ñ
u liên t
c t
i m
i
ñ
i
m trên
mi
n xác
ñ
nh c
a chúng.
t
rang 8
Trn Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55
2
5) ðnh lý Weierstrass 1:
Nu
( )
f x
liên tc trong ñon
[ , ]
a b
thì nó b ch!n trong ñon ñó, nghĩa là:
0, [ , ]: ( )
M x a b f x M
∃ > ∀ ∈ <
6) ðnh lý Weierstrass 2:
N
u
( )
f x
liên t
c trong
ñ
o
n
[ , ]
a b
thì nó
ñ
t GTLN và GTNN trong
ñ
o
n
ñ
ó,
ngh
ĩ
a là:
1 2
, [ , ]
x x a b
∃ ∈
sao cho
1[ , ]
( ) max ( )
a b
f x f x
= và
2[ , ]
( ) min ( )
a b
f x f x
=.
7) ðnh lý Bolzano – Cauchy
Nu
( )
f x
liên tc trong ñon
[ , ]
a b
và
[ , ]
min ( )
a b
A f x
= ,
[ , ]
max ( )
a b
B f x
= thì vi mi
C
mà
A C B
≤ ≤
, tn ti ñim
[ , ]
c a b
∈
sao cho
( )
f c C
=
.
H qu: Nu
( )
f x
ñ
i d
u trong
ñ
o
n
[ , ]
a b
thì
[ , ]
c a b
∃ ∈
sao cho
( ) 0
f c
=
.
Bài toán 1.
Gi
s
"
hàm
( )
f x
liên t
c trên
ℝ
, nh
#
n các giá tr
khác d
u. Ch
ng minh r
$
ng tìm
ñư
c
m
t c
p s
c
ng
, ,
abc
( )
a b c
< <
sao cho
( ) ( ) ( ) 0
f a f b f c
+ + =
.
L
i gi
i.
Theo gi
thi
t, t
n t
i
ñ
i
m
x
mà
( ) 0
f x
>
, do
( )
f x
liên t
c nên hàm nh
#
n giá tr
d
ươ
ng
trong lân c
#
n
ñ
nh
c
a
ñ
i
m này. Khi
ñ
ó, ta tìm
ñư
c m
t c
p s
c
ng
111
, ,
a b c
mà
1 1 1
( ), ( ), ( )
f a f b f c
ñ
u d
ươ
ng.
T
ươ
ng t
%
, t
n t
i m
t c
p s
c
ng
2 2 2
, ,
a b c
mà
222
( ), ( ), ( )
f a f b f c
ñ
u âm.
V
i tham s
t
, xét c
p s
c
ng sau:
1 2
1 2
1 2
( ) (1 )
( ) (1 )
( ) (1 )
a t a t a t
b t b t b t
c t c t c t
= − +
= − +
= − +
Hàm s
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
F t f a t f b t f c t
= + + liên t
c theo
t
,
(0) 0
F
>
và
(1) 0
F
<
.
Do
ñ
ó, t
n t
i
0
t
sao cho
0
( ) 0
F t
=
, khi
ñ
ó c
p s
c
ng
0 0 0
( ), ( ), ( )
a t b t c t
là m
t c
p s
c
ng th
a mãn.
Bài toán 2.
Cho
( ), ( )
f x g x
là hai hàm liên t
c, tu
n hoàn trên
ℝ
. Bi
t
(
)
lim ( ) ( ) 0
x
f x g x
→+∞
− =
.
Ch
ng minh r
$
ng
( ) ( )
f x g x
≡
.
Nh
n xét.
Quan sát
ñ
bài ta ngh
ĩ
ngay
ñ
n hàm
( ) ( ) ( )
h x f x g x
= −
. N
u
( )
h x
tu
n hoàn thì t
lim ( ) 0
x
h x
→+∞
=
ta suy ra ngay
( ) 0
h x
≡
, ñó là tính cht mu cht ca bài toán.
Trn Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55
3
Như v#y, khó khăn ch yu là vic chng minh
( ), ( )
f x g x
có cùng chu kỳ
. Ta “l
i d
ng”
gi
i h
n
vô cùng
(
)
lim ( ) ( ) 0
x
f x g x
→+∞
− =
và tính tun hoàn ñc l#p ca m(i hàm ñ dùng
ñưc nh#n xét v a nêu.
Li gii.
Trưc ht, ta cn phi chng minh hai hàm ñã cho có cùng chu kỳ.
Gi s" hàm
f
có chu kỳ
T
.
Khi
x
→ +∞
,
( ) ( ) 0
f x g x
− →
và
( ) ( ) 0
f x T g x T
+ − + →
.
Tr theo v kt hp vi
( ) ( )
f x T f x
+ =
ñưc:
*
( ) ( ) ( ) 0
h x g x T g x
= + − →
khi
x
→ +∞
.
Do
g
liên tc, tun hoàn nên
*
h
liên tc, tun hoàn, tin ti 0 khi
x
→ +∞
, vì v#y
*
( ) 0
h x
≡
, chng t
g
cũng tun hoàn chu kỳ
T
.
Xét hàm
( ) ( ) ( )
h x f x g x
= −
liên tc, tun hoàn, tin ti 0 khi
x
→ +∞
nên
( ) 0
h x
≡
.
T ñó suy ra ñpcm.
Các bài toán v hàm liên tc trong khong ñóng (trên ñon) luôn g)n lin vi 2 ñnh lý
Weierstrass và ñnh lý Bolzano-Cauchy (ñã trình bày trên).
Bài toán 3.
Tìm tt c các hàm liên tc
:f
→
ℝ ℝ
tha mãn:
( )
3
3 4
x x
f x f f
= +
(*),
x
∀ ∈
ℝ
.
L
i gi
i.
Xét s
th
%
c
0
a
≥
tùy ý.
Hàm
f
liên t
c trên
ñ
o
n
[
]
,
a a
− nên theo
ñ
nh lý Weierstrass 2, t
n t
i
[
]
1 2
, ,
x x a a
∈ −
sao cho
[ ]
1,
( ) max ( )
a a
f x M f x
−
= = ,
[ ]
2,
( ) min ( )
a a
f x m f x
−
= = .
Thay
1
x x
=
vào (*) ta có:
( )
1 1
1
3 3 2
3 4
x x
M f x f f M
= = + ≤
[ ]
1 1
do , ,
3 4
x x
a a
∈ −
, suy ra
0
M
≤
.
Thay
2
x x
=
vào (*) ta có:
( )
1 1
2
3 3 2
3 4
x x
m f x f f m
= = + ≥
[ ]
2 2
do , ,
3 4
x x
a a
∈ −
, suy ra
0
m
≥
.
Do ñó,
0
M m
= =
, suy ra
( ) 0
f x
=
trên ñon
[
]
,
a a
−, vi mi
0
a
≥
.
V#y
( ) 0
f x
=
,
x
∀ ∈
ℝ
.
Bài toán 4.
Cho
f
liên tc trên
ℝ
tha mãn
(
)
( ) ( ) 1
f f x f x
=
x
∀ ∈
ℝ
(*) và
(1000) 999
f
=
.
Tính
(500)
f.
Trn Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55
4
Hưng dn.
D* thy nu có mt s
α
sao cho
( ) 500
f
α
=
thì b$ng vic thay
x
α
=
vào (*) có th
suy ra ngay
1
(500)
500
f=. Ta cn ch ra có giá tr ca
f
cao hơn 500 và có giá tr bé
hơn 500. ðã có
(1000) 999 500
f
= >
, thay
1000
x
=
vào (*) ñưc 1
(999) 500
999
f= < .
Bài toán 5.
Cho hàm s
( )
f x
kh vi liên tc cp hai trên [0;1], có
(
)
(
)
0 1, 1 0
f f
′′ ′′
= =
.
Ch
ng minh r
$
ng t
n t
i
(
)
0;1
c∈ sao cho
(
)
f c c
′′
=
.
(KSTN 2010)
L
i gi
i.
Xét hàm
(
)
( ) fx
x
g x
′′
−
=.
Do
( )
f x
kh
vi liên t
c c
p hai trên [0;1] nên
( )
g x
liên t
c trên [0;1].
Mà
(0) 1 0
g
= >
,
(1) 1 0
g
= − <
,
do
ñ
ó t
n t
i
(
)
0;1
c∈ sao cho
( ) 0
g c
=
, khi
ñ
ó
(
)
f c c
′′
=
.
Bài toán 6.
Cho các s
th
%
c
, , , ,
a b c d e
. Ch
ng minh r
$
ng n
u ph
ươ
ng trình
(
)
2
0
ax b c x d e
+ + + + =
có nghi
m thu
c
[
)
1;
+∞
thì ph
ươ
ng trình
4 3 2
0
ax bx cx dx e
+ + + + =
c
ũ
ng có nghi
m th
%
c.
(Olympic SV 2001)
L
i gi
i.
G
i
0
1
x
≥
là m
t nghi
m c
a ph
ươ
ng trình
(
)
2
0
ax b c x d e
+ + + + =
.
Khi
ñ
ó,
(
)
2
0 0 0
ax cx d bx d
+ + = − +
.
Xét hàm
4 3 2
( )
f x ax bx cx dx e
= + + + +
.
Ta có:
(
)
(
)
( )
2
0 0 0 0 0
f x ax cx d x bx d
= + + + +
(
)
(
)
( )
2
0 0 0 0 0
f x ax cx d x bx d
− = + + − +
Suy ra
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
22 2
2
0 0 0 0 0 0 0 0
1 0
f x f x ax cx d x bx d bx d x
− = + + − + = + − ≤
.
Mà
( )
f x
liên t
c nên ph
ươ
ng trình
( ) 0
f x
=
có nghi
m thu
c
ñ
o
n
0 0
,
x x
−
, suy ra
ph
ươ
ng trình
4 3 2
0
ax bx cx dx e
+ + + + =
có nghi
m th
%
c.
Trn Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55
5
Bài toán 7.
Cho
a
∈
ℝ
, tìm tt c các hàm liên tc
:f
→
ℝ ℝ
tha mãn
( ) 1
f a a
= +
và
( ) ( )
2
( )
f f x x a a
= − +
(*),
x
∀ ∈
.
Li gii.
Gi s" tn ti hàm liên tc
f
tha mãn ñ bài.
Thay
x a
=
vào (*) ta có
(
)
( )
f f a a
=
( 1)
f a a
⇒+ =
.
Xét hàm
( ) ( )
g x f x x
= −
, liên t
c trên
ℝ
,
( ) 1 0
g a
= >
,
( 1) 1 0
g a
+ = − <
, nên
c
∃ ∈
ℝ
sao cho
( )
g c c
=
. Khi
ñ
ó,
( )
f c c
=
.
Thay
x c
=
vào (*)
ñư
c
( ) ( )
2
( )
c f f c c a a
= = − +
(
)
(
)
1 0
c a c a
⇒− − − =
c a
⇒=
ho
!
c
1
c a
= +
, vô lí vì
( ) ( ) 0 ( 1)
g a g c g a
≠ = ≠ +
.
V
#
y không t
n t
i hàm liên t
c
f
th
a mãn
ñ
bài.
Dng bài chng minh phn chng gi s hàm không ñi du
Bài toán 8.
Cho
f
liên t
c trên [0;1],
(0) 0
f
>
,
1
0
1
( )
1
f x dx
n
<
+
∫
.
Chng minh phương trình ( )
n
f x x
=
có nghim thuc (0;1).
(Olympic SV 1998)
(KSTN 2008)
Li gii.
Xét hàm ( ) ( )
n
g x f x x
= −
(
)
[0;1]
x∈.
Gi s"
( )
g x
không ñi du trên [0;1].
Ta có
(0) (0) 0
g f
= >
nên
( ) 0
g x
>
vi mi
[0;1]
x
∈
.
Khi ñó,
1 1 1 1
0 0 0 0
1
0 ( ) ( ) ( )
1
n
g x dx f x dx x dx f x dx
n
< = − = −
+
∫ ∫ ∫ ∫
,
suy ra
1
0
1
( )
1
f x dx
n
>
+
∫, mâu thun gi thit.
V#y
( )
g x
không ñi du trên [0;1], tn ti
[0;1]
c
∈
sao cho
( ) 0
g c
=
, suy ra ñpcm.
sai
khoang