1
Mt s ñ luyn tp
ð s 1
Câu I.
1) Cho hàm s
( )
2
1
( ) ln 1 2011
2
f x x= + − .
Chng minh rng
1
( )
2
f x
′
≤
và phương trình
( )
f x x
=
có nghim thc duy nht.
2) Cho dãy s thc
{
n
u
ñưc xác ñnh như sau:
1
u a
= ∈
ℝ
,
( )
2
1
1
ln 1 2011
2
n n
u u
+
= + − , vi
1
n
≥
.
Chng minh rng dãy
}
n
u
hi t.
Câu II.
Cho các s thc dương
, ,
abc
. Phương trình sau có bao nhiêu nghim thc
0
x
>
:
1 1 1 2
a x b x c x x
+ + =
+ + +
.
Câu III.
1) Cho hàm s
[
]
[
]
: 0;1 0;1
f→ th
a mãn:
( ) ( ) sin sin
f x f y x y
− < − ,
[
]
, 0;1
x y∀ ∈ ,
x y
≠
.
Ch
ng minh r
ng t
n t
i duy nh
t
[
]
0
0;1
x
∈
ñ
(
)
0 0
f x x
=
.
2)
Gi
s
hàm
( )
f x
kh
vi trên
ñ
o
n
[
]
0;1
và
(0) (1) 0
f f
′ ′
<
.
Ch
ng minh r
ng t
n t
i
(
)
0;1
c
∈ sao cho
(
)
0
f c
′
=
.
Câu IV.
1)
Ch
ng minh r
ng
2
2
0
sin d 0
x x
π
>
∫
.
2)
Hàm
( )
f x
kh
tích trên
ñ
o
n
[
]
0;1
và
1
0
( ) 0
f x dx
>
∫
. Chng minh rng tn ti ñon
[
]
[
]
, 0;1
a b ⊂ mà trên ñó
( ) 0
f x
>
.
Câu V.
Cho 2 n
a
ñư
ng th
ng chéo nhau Ax, By và AB = a (a > 0) là
ñ
o
n vuông góc chung.
Góc gi
a Ax, By b
ng 30
o
. Hai
ñ
i
m C, D l
n l
ư
t ch
y trên Ax và By sao cho t
ng
AC + BD = d (d > 0) không
ñ
i. Xác
ñ
nh v
trí c
a các
ñ
i
m C, D sao cho th
tích t
di
n ABCD
ñ
t giá tr
l
n nh
t.
***
2
ð s 2
Câu I.
Cho dãy s
{
n
u
ñưc xác ñnh bi
1
1
u
=
,
2
1
2011
n n n
u u u
+
= +
.
Tìm gii hn:
1 2
2 3 1
lim
n
nn
u
u u
u u u
→∞ +
+ + +
….
Câu II.
1) Gi s hàm
( )
f x
xác ñnh và liên tc trên
ℝ
và
(
)
( )
f f x x
=
,
x
∀ ∈
ℝ
.
Ch
ng minh r
ng t
n t
i
0
x
∈
ℝ
sao cho
(
)
0 0
f x x
=
.
2)
Tìm t
t c
các hàm liên t
c th
a mãn
(
)
(
)
sin
f x f x
=, x
∀ ∈
ℝ
.
Câu III.
1)
So sánh hai s
2012
2011
2012 và
2011
2012
2011 .
2)
Gi
s
hàm
(
)
: ,
f a b
→
ℝ
là hàm kh
vi liên t
c, và v
i m
i
(
)
, ,
x y a b
∈, t
n t
i
duy nh
t
z
mà
( ) ( )
( )
f y f x
f z
y x
−
′
=
−. Chng minh rng hoc
f
li nghiêm ngt
hoc
f
lõm nghiêm ngt trong
(
)
,
a b
.
Câu IV.
Trong phòng có 6 ngưi, c 3 ngưi thì có ít nht 2 ngưi quen nhau. Chng minh rng
có 3 ngưi ñôi mt quen nhau.
Câu V.
Cho s nguyên dương
n
. Chng minh bt ñng thc:
2
1 1 1
1 1 1 3
2 2 2
n
+ + + <
….
***
3
ð s 3
Câu I.
Cho phương trình
1 1
x m x
+ − − =
(1).
1) Gii phương trình (1) khi
4
m
=
.
2) Tìm
m
ñ phương trình (1) có nghim.
Câu II.
1) Cho hàm
f
kh vi liên tc hai ln trên ñon
[
]
,
a b
,
∃
(
)
,
c a b
∈,
( ) ( ) ( )
f a f b f c
= =
.
Ch
ng minh r
ng t
n t
i
(
)
0
,
x a b
∈ sao cho
(
)
(
)
(
)
0 0 0
2
f x f x f x
′′ ′
+ = .
2)
Tìm t
t c
các hàm
( )
f x
kh
vi hai l
n trên
ℝ
sao cho
(
)
(
)
0
f x f x
′ ′′
=
,
x
∀ ∈
ℝ
.
Câu III.
Cho hàm s
( )
2
1
sin 0
0 0
x x
xx
x
ϕ
≠
=
=
1) Chng minh rng hàm
( )
x
ϕ
kh vi ti ñim
0
x
=
.
2) Gi s
( )
f x
kh vi ti ñim
0
x
=
. Tính ño hàm ca
(
)
(
)
f x
ϕ
ti ñim
0
x
=
.
Câu IV.
1) Gi s hàm
(
)
(
)
: , \{0} 0,f a a
− → +∞
th
a mãn
0
1
lim ( ) 2
( )
x
f x f x
→
+ =
.
Ch
ng minh r
ng
0
lim ( ) 1
x
f x
→
=
.
2) Chng minh rng vi mi
0
t
≥
, phương trình
3
8 0
x tx
+ − =
luôn có nghim
dương duy nht, ký hiu là
( )
x t
. Tính tích phân
( )
72
0
( )
I x t dt
=
∫
.
Câu V.
Trong phòng có 9 ngưi, bt kì 3 ngưi nào cũng có 2 ngưi quen nhau. Chng minh
rng có 4 ngưi ñôi mt quen nhau.
***
4
ð s 4
Câu I.
1) Tính
( )
2
2
0
1 tan
dx
I
x
π
=+
∫
.
2) Tìm tt c các hàm liên tc
:f
→
ℝ ℝ
th
a mãn:
( ) ( 1) ( 1) 1 0
f x f x f x
+ + + + =
.
Câu II.
Gi
s
1 2
, , ,
n
x x x
…
là các nghi
m ph
c c
a ph
ươ
ng trình
1
1 0
n n
x x x
−
+ + + + =
…
.
Tính
1
1
1
n
k
k
x
=
−
∑
.
Câu III.
1)
Tìm t
t c
các hàm s
d
ươ
ng
( )
f x
kh
vi liên t
c trên
[
]
0;1
th
a mãn
ñ
i
u ki
n:
(1) (0)
f ef
=
và
( )
( )
2
1
0
1
f x
dx
f x
′
≤
∫
.
2) Tìm tt c các hàm kh vi
(
)
: 0;f
→ +∞
ℝ
th
a mãn
(
)
( ) ( )
f x f f x
′=,
x
∀ ∈
ℝ
.
Câu IV.
Trên m
t ph
ng Oxy cho 3
ñ
i
m không th
ng hàng A, B, C. Bi
!
t OA=1, OB=2, OC=3.
Ch
ng minh r
ng di
n tích tam giác ABC không l
n h
ơ
n 5.
Câu V.
Cho các s
th
c phân bi
t
1 2
, , ,
n
k k k
…
. Ch
ng minh r
ng:
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2
sin sin sin 0
n n
a k x a k x a k x
+ + + =
…
,
x
∀ ∈
ℝ
khi và ch
"
khi
1 2
n
a a a
= = =
…
.
***
5
ð s 5
Câu I.
1) Tính
( )
4
0
lim tan
n
n
n x dx
π
→∞
∫
2) Tìm hàm
[
]
[
]
: 0;1 0;1
f→ th
a mãn
(
)
(
)
1 2 1 2
f x f x x x
− ≥ −
,
[
]
1 2
, 0;1
x x∀ ∈
.
Câu II.
1)
Cho hàm
( )
f x
kh
vi trên
ñ
o
n
[
]
,
a b
và th
a mãn
ñ
i
u ki
n
( ) ( ) 0
f a f b
= =
,
( ) 0
f x
≠
,
(
)
,
x a b
∀ ∈
. Ch
ng minh r
ng t
n t
i dãy
{
}
n
x
,
(
)
,
n
x a b
∈
sao cho:
(
)
( )
( )
lim 2011
1
n
n
nn
f x
e f x
→∞
′
=
−.
2) Cho dãy
{
}
n
u
:
0
3
u=,
1
2
1 1
n
n
n
u
u
u
+
=
+ +
. Tìm
(
)
lim 2
n
n
n
u
→∞
.
Câu III.
1) S nào ln hơn trong hai s sau:
25
1
1
365
n
n
=
−
∏
và
1
2
.
2) Tìm tt c các hàm
( )
f x
kh vi cp hai trên
[
]
,
a b
tha mãn
( ) ( ) 0
f a f b
= =
và:
(
)
( )
x
f x e f x
′′ =
,
x
∀ ∈
ℝ
.
Câu IV.
Trong phòng có 100 ngưi, mi ngưi quen vi ít nht 67 ngưi khác. Chng minh rng,
trong phòng phi có 4 ngưi t#ng ñôi mt quen nhau.
Câu V.
Gii h phương trình:
1 2 3 1
2 3 4 1 2
1 2 1
2 3
2 3
2 3
n
n n n
x x x nx a
x x x nx a
x x x nx a
−
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =
…
…
…
…
***