Trn Vũ Trung
Tài liu này gm:
- ð thi tuyn sinh chương trình KSTN môn toán 2008 – 2010
- 12 ñ t ôn tp
- Hưng dn gii – ðáp s
Trn Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55
2
“B tài liu ôn thi Kĩ sư tài năng 2011” bao gm nhng bài vit theo ch ñ và mt s
ñ thi ñưc biên son phù hp vi ni dung ñ thi tuyn sinh môn toán vào chương trình
ñào to KSTN & KSCLC ca trưng ði hc Bách khoa Hà Ni.
B tài liu gm:
1) Hàm liên tc
2) Hàm kh vi
3) Dãy s
4) Tích phân
5) Li gii ñ thi KSTN các năm 2008, 2009, 2010
6) Mt s ñ luyn tp (12 ñ)
(Tài liu tham kho khác ñi kèm:
0.1. ð thi và ñáp án môn toán KSTN 1999 – 2007 (Vũ Hu Tip).
0.2. ð thi và ñáp án môn gii tích kì thi Olympic Sinh viên các năm.)
Các bài vit ñưc trình bày vi mc ñích h thng hóa mt cách trng tâm các lí
thuyt và phương pháp gii toán gii tích bc ph thông. Vi các bài toán ví d nhiu
dng bài thưng xut hin trong ñ thi KSTN các năm trưc ñây, bài vit mong mun
ñem ñn mt s ñnh hình cơ bn v cu trúc ñ thi cũng như nhng ni dung kin thc
cn thit mà các bn cn ôn tp, chu n b cho kì thi s!p ti. Các bài vit không ñơn thun
ch" là tp hp bài toán và li gii mà còn cung cp mt s nhn xét quan trng ñ tip cn
li gii b#ng cách ñ$t vn ñ mt cách t nhiên, có h thng. Mong r#ng ñây s% là mt tài
liu b ích phc v cho quá trình hc tp môn gii tích ph thông nói cũng như giúp
các bn ôn thi mt cách hiu qu.
M$c dù ñã có nhiu c g!ng trong quá trình biên son nhưng ch!c ch!n không th
nào tránh kh&i thiu sót, tác gi rt cám ơn nhng ý kin ñóng góp ñ b tài liu ñưc
hoàn ch"nh hơn. Mi th!c m!c, góp ý xin g'i v ña ch" hòm thư: vutrunglhp@gmail.com
Hà Ni, tháng 8 năm 2011
Trn Vũ Trung,
Sinh viên lp KSTN ðKTð – K55
Trn Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55
3
ð năm 2008
Bài 1:
Cho dãy s
( )
n
x
th&a mãn:
1
2
1 2
2
n n
x
x x x n x
=
+ + + =
…
Tìm gii hn
(
)
2
lim
n
n x
→∞
.
Bài 2:
Cho s nguyên dương
n
. Tính tích phân:
0
sin
sin
nx
I
x
π
=
∫
.
Bài 3:
Cho hàm s
( )
f x
liên tc trên [0;1] th&a mãn
(0) 0
f
>
,
1
0
1
( )d
2008
f x x <
∫
.
Chng minh r#ng phương trình
2007
( )
f x x
= có ít nht 1 nghim thuc khong (0;1).
Bài 4:
Cho hàm s
( )
f x
liên tc trên [0;1] và kh vi trên (0;1) th&a mãn
(0) 0
f
=
,
(1) 1
f
=
.
Chng minh r#ng tn ti 2 s phân bit
,
a b
∈
(0;1) sao cho
'( ) '( ) 1
f a f b
=
.
Bài 5:
Cho hàm s
: [ ; ] [ ; ]
f a b a b
→
th&
a mãn:
( ) ( )
f x f y x y
− < −
v
i m
i
, [ ; ]
x y a b
∈
;
x y
≠
.
Ch
ng minh r
#
ng ph
ươ
ng trình ( )
f x x
=
có nghi
m duy nh
t trên
[ ; ]
a b
.
Bài 6:
Cho IK là
ñ
o
n vuông góc chung c
a 2
ñư
ng th
(
ng chéo nhau
a
và
b
(,
I a K b
∈ ∈
),
M
và
N
là hai
ñ
i
m b
t kì l
n l
ư
t thu
c
a
và
b
sao cho
IM KN MN
+ =
. Trong s
các
ñ
i
m cách
ñ
u các
ñư
ng th
(
ng
a
,
b
và
MN
, hãy tìm
ñ
i
m có kho
ng cách
ñ
n m
)
i
ñư
ng nói trên là ng
!
n nh
t.
***
Trn Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55
4
ð năm 2009
Câu I:
Cho phương trình
4 2
4 0
x x mx
+ − + =
(1) trong
ñ
ó
m
là tham s
.
1)
Gi
i ph
ươ
ng trình (1) khi
6
m
=
.
2)
Tìm
m
ñ
ph
ươ
ng trình (1) có nghi
m.
Câu II:
1)
Ch
ng minh r
#
ng v
i m
i s
th
c a cho tr
ư
c thì hàm s
f(x) = |x – a| có
ñ
o hàm
t
i m
i
ñ
i
m x
≠
a và không có
ñ
o hàm t
i
ñ
i
m x
0
= a.
2)
Cho tr
ư
c các s
th
c
1 2
, ,....,
n
λ λ λ
khác nhau t
+
ng
ñ
ôi m
t. Ch
ng minh r
#
ng:
1 1 2 2
0
n n
k x k x k x
λ λ λ
− + − + + − =
…
x
∀ ∈
ℝ
khi và ch
"
khi
1 2
0
n
k k k
= = = =
…
.
Câu III:
1)
Tìm các s
th
c
, , , , ,
x y z p q r
th
&
a mãn
2 2 2
2 2 2
2 2 7 0
10 6 14 47 0
x y z x z
p q r p q r
+ + − − − =
+ + + − − + =
sao cho
2 2 2 2 2 2
2 2 2
P x y z p q r xp yq zr
= + + + + + − − −
ñ
t giá tr
l
n nh
t.
2)
Cho 2 n
'
a
ñư
ng th
(
ng chéo nhau Ax, By và AB = a (a > 0) là
ñ
o
n vuông góc
chung. Góc gi
a Ax, By b
#
ng 30
o
. Hai
ñ
i
m C, D l
n l
ư
t ch
y trên Ax, By sao cho
AC+BD = d (d > 0) không
ñ
i. Xác
ñ
nh v
trí các
ñ
i
m C, D sao cho th
tích t
di
n
ABCD
ñ
t giá tr
l
n nh
t.
Câu IV:
Tìm hàm s
:f
→
ℝ ℝ
th
&
a mãn: ( )
( ) ( ) ( )
f x x
f x y f x f y
≤
+ ≤ +
v
i m
i
,x y
∈
ℝ
.
Câu V:
Cho hàm s
:f
→
ℝ ℝ
liên t
c th
&
a mãn:
(
)
(1 ) ( ) (1 ) ( )
f x y f x f y
λ λ λ λ
+ − ≥ + − v
i m
i
,x y
∈
ℝ
và
(0;1)
λ
∈
.
Ch
ng minh r
#
ng:
( )d ( )
2
b
a
a b
f x x b a f
+
≤ −
∫
vi mi
,a b
∈
ℝ
;
a b
<
.
***
Trn Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55
5
ð năm 2010
Câu I.
1) Tính
( )
2
0
sin sin d
x nx x
π
+
∫
vi
n
∈
ℤ
.
2) Cho hàm s
( )
y f x
=
xác ñ
nh trên t
p s
th
c, th
&
a mãn:
( ) ( )
f x f y x y
− ≤ −
,x y
∀ ∈
ℝ
và
( ( (0))) 0
f f f
=
. Ch
ng minh r
#
ng
(0) 0
f
=
.
Câu II.
1)
Cho hàm s
( )
f x
kh
vi liên t
c c
p hai trên [0;1], có
"
(0) 1
f
=
và
"
(1) 0
f
=
.
Ch
ng minh r
#
ng t
n t
i
(0;1)
c
∈
sao cho
"
( )
f c c
=
.
2)
Tính
lim 30 30 30 30
+ + + +
⋯
(
n
du căn thc bc hai).
Câu III.
1) Hàm s
( )
f x
kh vi ti
0
x
ñưc gi là li (lõm) ti ñim này nu tn ti lân
cn ca ñim
0
x
là
0
( )
U x
sao cho:
0
( )
x U x
∀ ∈ ta có:
(
)
0 0 0
( ) ( ) '( )
f x f x f x x x
≥ + −
(t
ươ
ng
ng
(
)
0 0 0
( ) ( ) '( )
f x f x f x x x
≤ + − )
Ch
ng minh r
#
ng hàm s
b
t kì kh
vi trên
( ; )
a b
s
%
l
i (lõm) t
i ít nh
t m
t
ñ
i
m
0
( ; )
x a b
∈.
2)
S
nào l
n h
ơ
n trong hai s
sau:
1 2 3 1000
1 2 3 1000
+ + + +
⋯
và
2
2
2
2
2
.
Câu IV.
Trong mt phòng có 5 ngưi, gia 3 ngưi bt kì luôn tìm ñưc 2 ngưi quen nhau và 2
ngưi không quen nhau. Chng minh r#ng nhóm này có th ngi quanh mt bàn tròn sao
cho m)i ngưi ñu quen vi 2 ngưi ngi cnh mình.
Câu V.
Cho
, ,
A B C
là các góc ca mt tam giác nhn. Chng minh r#ng:
3
tan tan tan 3
2
nnn
n
A B C+ + ≥ +
n
∀ ∈
ℕ
.
***