Bài 2. Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc 2
9
BÀI 2. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ
CÓ MẪU SỐ CHỨA TAM THỨC
BẬC 2
A. CÔNG THỨC SỬ DỤNG VÀ KỸ NĂNG BIẾN ĐỔI
1.
2 2
du 1 u
arctg c
a a
u a
4.
du
2 u c
u
2.
2 2
du 1 u a
ln c
2a u a
u a
5.
2 2
du u
arcsin c a 0
a
a u
3.
2 2
du 1 a u
ln c
2a a u
a u
6.
2
2
du
ln u u p c
u p
Kỹ năng biến đổi tam thức bậc 2:
1.
22
2
2
b b 4ac
ax bx c a x 2a 4a
2.
2
2 2
ax bx c mx n p
B. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN
I. Dạng 1:
2
dx
A =
ax + bx + c
1. Phương pháp:
2 2 2
dx dx 1 mx n
arctg c
mp p
ax bx c mx n p
2 2 2
mx n pdx dx 1
ln c
2mp mx n p
ax bx c mx n p
2. Các bài tập mẫu minh họa
•
12 2 2
2
d d 1 d 2 2 1 2 2 3
ln
2
4 8 1 4 3 2 2 3
2 2 3 2 2 3
x x x x
A c
x x x
xx
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
Chương II. Nguyên hàm và tích phân
Trần Phương
10
12
dx
A
3x 4x 2
;
2 3
2 2
dx dx
A ; A ;
4x 6x 1 5x 8x 6
2 1 1
4 5 6
2 2 2
1 0 0
dx dx dx
A ; A ; A
7x 4x 3 6 3x 2x 4x 6x 3
II. Dạng 2:
2
mx + n
B = dx
ax + bx + c
1. Phương pháp:
2 2
m mb
2ax b n
mx n 2a 2a
B dx dx
ax bx c ax bx c
2
2
d ax bx c
m mb
n A
2a 2a
ax bx c
2
m mb
ln ax bx c n A
2a 2a
Cách 2:
Phương pháp hệ số bất định (sử dụng khi mẫu có nghiệm)
• Nếu mẫu có nghiệm kép
0
x x
tức là
2 2
0
( )
ax bx c a x x
thì ta giả sử:
2 2
00
mx n
x
x x
ax bx c x x
Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm
,
.
Với
,
vừa tìm ta có:
2
mx n
B dx
ax bx c
ln
0
0
x x c
x x
• Nếu mẫu có 2 nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
:
2
1 2
( )( )
ax bx c a x x x x
thì ta
giả sử
21 2
mx n
x
x x x x
ax bx c
Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm
,
.
Với
,
vừa tìm ta có:
dx
2
mx n
B
ax bx c
ln ln
1 2
x x x x c
2. Các bài tập mẫu minh họa:
•
12
2x + 3
B = dx
9x 6x + 1
2 2 2
1 11
18 6 1 18 6 d 11 d
9 3 d9 3
9 6 1 9 6 1 9 6 1
xx x x
x
x x x x x x
Bài 2. Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc 2
11
2
2 2
1 9 6 1 11 3 1 2 11
ln 3 1
9 9 9 9 3 1
9 6 1 3 1
d x x d x
x c
x
x x x
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
1 2 3
2 2 2
7 3x dx 3x 4 dx 2 7x dx
B ; B ; B
4x 6x 1 2x 7x 9 5x 8x 4
;
III. Dạng 3:
2
dx
C =
ax + bx + c
1. Phương pháp:
Bổ đề:
ln 2
2
du
u u k c
u k
Biến đổi nguyên hàm về 1 trong 2 dạng sau:
2
2 2
dx dx 1 ln
C mx n mx n k c
m
ax bx c mx n k
2 2
2
dx dx 1
arcsin 0
mx n
C p
m p
ax bx c p mx n
2. Các bài tập mẫu minh họa:
•
2
32 2
d 1 d 5 5 45
ln 4 16
2 4
45
4 10 5 5
416
x x
C x x c
x x x
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
1 2 3
2 2
2
dx dx dx
C ; C ; C
3x 8x 1 7 8x 10x
5 12x 4 2 x
IV. Dạng 4:
2
mx + n dx
D =
ax + bx + c
1. Phương pháp:
2 2
2 dx dx
2 2
ax b
m mb
Da a
ax bx c ax bx c
2
2
2 2
d ax bx c
m mb
C
a a
ax bx c
2. Các bài tập mẫu minh họa:
• D
1
=
1 1 1
2 2 2
0 0 0
4 d 2 d d
2
4 5 4 5 4 5
x x x x x
x x x x x x
1 1
1
22 2
2 2
0
0 0
1 d 4 5 d
2 4 5 2ln 2 4 5
24 5 2 1
x x x x x x x x
x x x
Chương II. Nguyên hàm và tích phân
Trần Phương
12
3 10
10 5 2ln 3 10 2ln 2 5 10 5 2ln
2 5
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
1 2 3
2 2 2
5 4x dx 3x 7 dx 8x 11 dx
D ; D ; D
3x 2x 1 2x 5x 1 9 6x 4x
V. Dạng 5:
2
dx
E =
px + q ax + bx + c
1. Phương pháp:
Đặt
2
1 dt 1 1
dx ;
px q p x q
t p t
t
. Khi đó:
2
2 2 2
2
dt ptdx dt
Epx q ax bx c t t
1 a 1 b 1
q q c
t t p t
p
2. Các bài tập mẫu minh họa:
•
3
12
2
dx
E =
x - 1 x - 2x + 2
. Đặt
2
2 1
1
1 1 3
1 ;
2
dx
x t
tx t
x x
t t dt
t
Khi đó:
1 2
32
12 2
2 1
dt t
dx
E1
x-1 x 2x 2 t 1 t 1
2 2
t t
t
11
2
21 2
1 2
dt 1 5 2 2 2
ln t t 1 ln 1 2 ln ln
2
1 5
t 1
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
2 3 3
1 2 3
2 2 2
1 2 2
dx dx dx
E ; E ; E
2x 3 x 3x 1 3x 4 2x 3x 7 x 1 x 1
VI. Dạng 6:
2
mx + n dx
F =
px + q ax + bx + c
Bài 2. Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc 2
13
1. Phương pháp:
2 2
dx
dx
mq
mpx q n
mx n p p
Fpx q ax bx c px q ax bx c
2 2
dx dxmq mqm m
F n C n E
p p
p p
ax bx c px q ax bx c
2. Các bài tập mẫu minh họa:
1
12
0
2 3 d
1 2 2
x x
Fx x x
1 1
2 2
0 0
dx dx
2 2I J
x 2x 2 x 1 x 2x 2
1
2
0
dx
2 2
Ix x
1
12
0
2
0
dx 2 5
ln 1 1 1 ln
1 2
1 1 x x
x
1
2
0
1 2 2
dx
Jx x x
. Đặt
2
0 1
1
11
1
2
dx
x t
x t
xtdt
t
. Khi đó:
1 2 1
21
2
2 2 1 2
1 1 2
dt t
dt 2 2 2
J ln t t 1 ln
1 5
1t 1
1 1
1 2 1 2
t t
t
F
1
2I + J
2 5 2 2 2 2 9 4 5
2ln ln ln
1 2 1 5
1 2 1 5
•
3 2
2
2
5
12 1
2 2
2 1 4 3
x
dx
x x x
-3 2
22
-2
x + 3 dx
F = 2x + 1 -x - 4x - 3
3 2 3 2
2 2
2 2
1 dx 5 dx 1 5
I J
2 2 2 2
x 4x 3 2x 1 x 4x 3
3 2
2
2
4 3
dx
Ix x
3 2 3 2
2
2
2
dx arcsin x 2
6
1 x 2
3 2
2
2
2 1 4 3
dx
Jx x x
. Đặt
2
1
2
3
1 1 3
1
2 1
2 2
22
x t
tx t
x x ;
t t dt
dx t